Devoir n°11 - Ts2

Classe: 
Terminale

Exercice 1 (5 points)

1) Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont correctes ?
 
a) SI j=12+i32, alors j2002+j2003+j2004=1
 
b) Si un argument du nombre complexe non nul z est θ ,alors un argument de 2z est 2θ
 
c) Si |z|=|z1|, alors e(z)=12
 
2)  Soit le nombre complexe z=sinθ+2icos2θ2θ]π, π[
 
Parmi les propositions suivantes lesquelles sont exactes ?
 
A : |z|=2cosθ2;
 
B : |z|=2cosθ2;
 
C : |z|=1;
 
D : arg(z)=θ2+π2;
 
E : arg(z)=θ2π2;
 
3) Si z1 et z2 sont les racines de l'équation Z2=8+6i et z3 et z4 sont les racines de l'équation Z2=34i, alors z1z2z3z4 vaut :
 
A : 24i
 
B : 11+2i
 
C : 5+10i
 
D : 5+10i
 
E : 510i.

Exercice 2 (4 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O, u, v).
 
On considère l'application f : C{1i}C telle que f(z)=iz1z1+i.
 
A et B sont les points d'affixes respectives i et 1i.
 
a) Soit z=x+iy. Exprimer e[f(z)] et m[f(z)] en fonction de x et y.
 
b) Déterminer l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que :
 
f(z) soit réel
 
f(z) soit imaginaire pur.
 
4)Interpréter géométriquement les modules de iz1 et z1+i; en déduire l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que |f(z)|=2.

Problème (11 ponts)

Soit g la fonction définie par : {g(x)=x+32|1x|six<0g(x)=|1x2|six0   
 
On désigne par Cg la courbe représentative de g dans un repère orthonormal (O, i, j).
 
1) Écrire g(x) sans le symbole de la valeur absolue.
 
2) a) Étudier la continuité de g en 0.
 
b) Étudier la dérivabilité de g en 0 et 1.
 
Donner une interprétation géométrique de chaque résultat.
 
3) a) Montrer que la courbe Cg admet au voisinage de une asymptote Δ dont on précisera l'équation.
 
b) Étudier la nature de branche infinie de Cg en +.
 
c) Étudier la position de Cg par rapport à Δ (on admettra que Cg est en-dessous de son asymptote en +).
 
4) a) Calculer g(x) sur les intervalles où g est dérivable.
 
b) Étudier le signe de g(x) sur ]; 0], sur [0; 1] et sur [1; +[.
 
c) En déduire les variations de g sur chacun de ces intervalles, puis dresser le tableau de variation de g.
 
5) a) Montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique α sur  ]; 0[ et que α]2; 32[.
 
b) Donner un encadrement de α à 101 près.
 
6) Résoudre sur [0; 1] l'équation g(x)=x, puis interpréter graphiquement le résultat.
 
7) Soit f la restriction de g à l'intervalle I=]; 0].
 
a) Montrer que f admet une bijection réciproque f1 définie sur un intervalle J à préciser.
 
b) Calculer f(3); en déduire l'équation de la tangente à la courbe de Cf1 au point d'abscisse 1.
 
c) Déterminer la primitive H de la fonction h définie sur ]; 0[ par :
 
h(x)=(x+3)f(x), puis exprimer en fonction de α le nombre réel positif A(α)=H(0)H(α).
 
8) Tracer Cg et Cf1 (Unité : 2cm).

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Beau travail

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