Devoir n°17 - Ts1

 

On considère la fonction $f_{n}$ définie par : $$f_{m}(x)=\left\lbrace\sqrt{x^{2}-4x+3}-\sqrt{3}+\dfrac{1}{4}\\\\ \sum_{k=0}^{n}\dfrac{\tan\left(\dfrac{x}{k+2}\right)-\tan\left(\dfrac{x}{k+3}\right)}{x\left(1+\tan\left(\dfrac{x}{k+2}\right)\tan\left(\dfrac{x}{k+3}\right)\right)}\right.$$

 

1. Montrer que $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$, où $a$ et $b$ sont des réels.

 

2. Montrer que $\lim\limits_{x\longrightarrow\;0^{-1}}\;f_{n}(x)=\dfrac{n+1}{2n+6}$

 

3. Déterminer l'entier naturel $n$ pour que $f_{n}$ soit continue en $0.$

Pour tout entier naturel non nul, on définit la fonction $f_{n}$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_{n}(x)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}+nx.$

 

On appelle $\left(\mathcal{C}_{n}\right)$ courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ d'unité $5\,cm.$

 

1. a) Déterminer, pour tout $x\in\mathbb{R}\;,\ f_{n}'(x)\quad\text{et}\quad f_{n}''(x).$

 

b) En déduire que la fonction $f_{n}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}.$

 

2. a) Calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow\;-\infty}\,f_{n}(x)\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}\,f_{n}(x).$ 

 

b) Montrer que les droites $\left(D_{m}\right)\ :\ y=nx\quad\text{et}\quad\left(\Delta_{m}\right)\ :\ y=nx+1$ sont asymptote à $\left(\mathcal{C}_{n}\right).$

 

c) Montrer que $\left(\mathcal{C}_{n}\right).$ admet un seul point d'inflexion, noté $A_{n}$ dont on donnera les coordonnées.

 

d) Donner l'équation de la tangente $\left(\mathcal{T}_{1}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right).$ en $A_{1}$, puis tracer sur un même dessin les droites $\left(D_{1}\right)\;,\ \left(\Delta_{1}\right)\text{ et }\left(\mathcal{T}_{1}\right)$ ainsi que l'allure de la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right).$

 

3. a) Montrer que l'équation $f_{n}(x)=0$ possède une seule solution sur $\mathbb{R}$, notée $u_{n}.$

 

b) Montrer que l'on a : $\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ -\dfrac{1}{n}<u_{n}<0.$

 

c) En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right).$

 

d) En revenant à la définition de $u_{n}$, montrer que $\lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\left(\dfrac{u_{n}}{-\dfrac{1}{2n}}\right)=1.$

Partie A 

 

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose : $$u_{n}=\int_{0}^{\dfrac{x}{2}}\sin^{n}x\mathrm{d}x.$$ (Cette intégrale est appelée intégrale de Wallis)

 

1. Calculer $\omega_{0}\text{ et }\omega_{1}$

 

2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a : $\omega_{n}\geq 0\text{ et }\omega_{n+1}\leq\omega_{n}.$

 

3. Montrer que, pour tout entier naturel $n\geq 2$, on a : $\omega_{n}=(n-1)\omega_{n--1}.$

 

4. Montrer que la suite $\left(n\omega_{n}\omega_{n-1}\right)_{n\geq 1}$ est constante et déterminer la valeur de cette constante.

 

5. Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $\dfrac{n}{n+1}\leq\dfrac{\omega_{n}}{\omega_{n-1}}\leq 1.$

 

6. Calculer $\lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\left(\dfrac{\omega_{n}}{\omega_{n-1}}\right)$ et en déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\left(\dfrac{\omega_{n}}{\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}}\right)\quad\text{et}\quad\lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\left(\dfrac{\omega_{n-1}}{\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}}\right).$

 

7. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a : $\omega_{2n}=\dfrac{(2n)!}{\left(2^{n}\times n!\right)^{2}}\times\dfrac{\pi}{2}$

 

Partie B

 

Soit $h$ la fonction définie sur $]-1\ ;\ 1[\quad\text{par :}\quad h(x)=\dfrac{1}{2x}\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\quad\text{si}\quad x\neq 0\quad\text{et}\quad h(0)=1.$

 

1. Étudier la parité de $h.$

 

2. Étudier la continuité de $h$ en $0.$

 

3. Montrer que pour tout $x\in\;]0\ ;\ 1[\;,\ \text{on a : }2x+\dfrac{2x^{3}}{3}\leq\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\quad\text{et}\quad 2x+\dfrac{2x^{3}}{3\left(1-x^{3}\right)}\geq\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right).$

 

Partie C 

 

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$ définie par : $u_{n}=n!\mathrm{e}^{n}n^{-\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}.$

 

1. Montrer que, si on pose $p=\dfrac{1}{2n+1}\;,\ \text{alors }\ln\left(\dfrac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)=h(p)-1.$

 

2. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\ :\ \dfrac{1}{3\left(2n+1\right)^{2}}\leq\ln\left(\dfrac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)\leq\dfrac{1}{12(n+1)}\quad\text{puis que}\quad \dfrac{1}{12(n+1)(n+2)}\leq\ln\left(\dfrac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)\leq\dfrac{1}{12(n+1)}.$

 

3. Soit les suites $\left(v_{n}\right)_{n\geq 1}\quad\text{et}\quad\left(t_{n}\right)_{n\geq 1}$ définies respectivement par $v_{n}=\ln\left(u_{n}\right)-\dfrac{1}{12n}\quad\text{et}\quad t_{n}=\ln\left(u_{n}\right)-\dfrac{1}{12(n+1)}.$

 

a) Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)_{n\geq 1}$ est croissante et que la suite $\left(t_{n}\right)_{n\geq 1}$ est décroissante.

 

b) Montrer que pour tout $n\geq 1\;,\ v_{n}\leq t_{n}\quad\text{et que}\quad\lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\;v_{n}=\lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\;t_{n}.$

 

On note $L$ la limite commune quand $n$ tend vers $+\infty$ des deux suites $\left(v_{n}\right)_{n\geq 1}\quad\text{et}\quad\left(t_{n}\right)_{n\geq 1}.$

 

4. Montrer que $\lim\limits_{n\longrightarrow\;+\infty}\left(\dfrac{n!}{\mathrm{e}^{L}\mathrm{e}^{-n}n^{\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}}\right)=1.$

 

5. En déduire que $\mathrm{e}^{L}=\sqrt{2\pi}.$ 

 

On pourra utiliser les questions $6$ et $7$ de la partie A.

 

(Pour les grandes valeurs de $n$, la formule de Stirling $\sqrt{2\pi\mathrm{e}^{-n}}n^{\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}$ donne une valeur approchée de $n!).$

 

Partie D 

 

Soit $\left(\mathcal{C}_{h}\right)$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ du plan d'unité graphique $2\,cm.$

 

1. Étudier la dérivabilité de $h$ en $0.$ 

 

On admettra que $\lim\limits_{x\longrightarrow\;0}\left[\dfrac{\ln(1+x)-x}{x^{2}}\right]=-\dfrac{1}{2}.$

 

2. Soit $g$ la fonction définie sur $]-1\ ;\ 1[\quad\text{par :}\quad g(x)=-\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)+\dfrac{2x}{1-x^{2}}.$

 

Calculer $g^{\prime}(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$ puis déterminer le signe de $g(x).$

 

3. Calculer $h'(x)$ et l'exprimer en fonction de $g(x).$

 

Dresser le tableau de variations de $h.$

 

4. Construire $\left(\mathcal{C}_{h}\right).$