Devoir n°2 - Ts2

1) Quels sont les nombres complexes solutions de l'équation $z^{4}=1.$

 

2) Déterminer la forme trigonométrique de chacune des solutions de l'équation $z^{4}=8\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right).$

 

3) Vérifier que $a=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ est une racine quatrième de $8\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right).$

 

En déduire la forme algébrique de chacune des solutions de l'équation $z^{4}=8\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right).$ 

 

4) Déduire de 2) et 3) les valeurs exactes de $\cos\dfrac{11\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{11\pi}{12}.$

1) Démontrer que $\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}=1$

 

2) Soit $f$ la fonction définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcccl} f(x)&=&-x+7-4\mathrm{e}^{x}&\text{si}&x\leq 0\\ f(x)&=&x+3-x\ln x&\text{si}&x >0 \end{array}\right.$$

 

a) Étudier la continuité de $f$ en 0.

 

b) Étudier la dérivabilité de $f$ en 0 puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

 

c) Étudier les variations de $f.$

 

d) Donner l'équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $\mathrm{e}.$ 

 

e) Tracer $(\mathcal{C})$ dans un repère orthonormé. 

 

$$\text{Durée : 4h}$$