On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation :

 

$-z^{3}+(4+\mathrm{i})z^{2}+(8+6\mathrm{i})z+4+28\mathrm{i}=0.$

 

1) Montrons que cette équation admet une solution imaginaire pure que l'on que l'on notera $\alpha$

 

2) Déterminer les autres solutions $\beta$ et $\gamma$

 

3) Soient $A\;,\ B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives $\alpha\;,\ \beta$ et $\gamma$

 

a) Placer les points $A\;,\ B$ et $C.$

 

b) Calculer $\dfrac{\beta-\alpha}{\gamma-\alpha}.$

 

c) En déduire la nature du triangle $ABC.$

Soit $z=-8\sqrt{3}+8\mathrm{i}\quad;\quad u=(\sqrt{6}-\sqrt{2})+\mathrm{i}(\sqrt{6}+\sqrt{2}).$

 

1) Calculons le module et un argument de $z.$

 

2) Déterminer sous forme trigonométrique, les racines carrées de $z.$

 

3) Calculer $u^{2}.$ Exprimer les racines carrées de $z$ sous forme algébrique.

 

4) En déduire la valeur exacte de $\cos\dfrac{5\pi}{6}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{6}$

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\ ,\ \vec{v}).$

 

On appelle $A\;,\ B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_{A}=-1+3\mathrm{i}\quad;\quad z_{B}=-2$ et $z_{C}=-\dfrac{3-3\mathrm{i}}{2}$

 

Soit $f$ l'application du plan privé de $A$ dans le plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$

distincte de $z_{A}$ associe le point $M$ d'affixe $z'$ définie par : $z'=\dfrac{z+2}{z+1-3\mathrm{i}}.$

 

1) Factoriser $z^{2}-3\mathrm{i}z-2$ en remarquant que $z=\mathrm{i}$ en est une solution, puis résoudre l'équation $(E)$ : $z^{2}-3\mathrm{i}z-2=0$

 

2) Déterminer les affixes des points invariants par $f.${Un point est invariant lorsque}

$z=z'.$

 

3) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M'$ appartienne au cercle de

centre $O$ et de rayon 1.

 

4) En posant $z=x+\mathrm{i}y,$ déterminer $\Im(z')$ en fonction de $x$ et $y.$ En déduire l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M'$ appartienne à l'axe des abscisses.

Soit $g$ la fonction définie par $$g(x)=\left\lbrace\begin{array}{lll} x\sqrt{\left|\dfrac{x+1}{x}\right|} &\text{si}& x<0\\ \\ \dfrac{x^{3}-x^{2}}{x^{2}+1} &\text{si}& x\geq 0 \end{array}\right.$$

 

1) Montrer que $g$ est définie sur $\mathbb{R}.$ Écrire $g$ sans barres de valeur absolue.

 

2) Étudier la continuité et la dérivabilité de $g$ en 0 et en -1.

 

3) Étudier les branches infinies et la position de la courbe par rapport aux éventuelles

asymptotes.

 

4) Calculer $g'(x)$ sur les intervalles où $g$ est dérivable.

 

5) Soit  $\phi(x)=x^{3}+3x-2$

 

a) Montrer que l'équation $\phi=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\mathbb{R}.$

 

Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers consécutifs.

 

b) En déduire le signe de $\phi$ sur $\mathbb{R}.$

 

6) Montrer que $g'(x)=\dfrac{x\phi(x)}{(x^{2}+1)^{2}}$ sur $[0\;;\ +\infty[$ puis établir le tableau de variation de $g$ sur $\mathbb{R}.$

 

7) Tracer les droites remarquables puis tracer $Cg$ la courbe de $g.$

 

a) Montrer que la restriction $g_{1}$ de $g$ à $]-\infty\;;\ -1]$ est bijective de $]-\infty\;;\ -1]$ sur un intervalle $J$ à préciser.

 

b) $g_{1}^{-1}$ la bijection réciproque de $g_{1}$ est-elle dérivable sur $J$ ? Calculer $g_{1}^{-1}(-2)$ puis $(g_{1}^{-1})'(-\sqrt{2}).$

 

c) Donner les variations de $g_{1}^{-1}$

 

d) Tracer $Cg_{1}^{-1}$