Devoir n°4 - Ts2

Classe: 
Terminale
 

Exercice

Les différentes questions sont indépendantes.
 
1) Résoudre l'équation log(x2)+log(x+3)=2 (où log désigne le logarithme de base 10)
 
2) Résoudre l'équation : 34x2(5×32x+1)+4=0
 
3) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
 
f : x(12)xg : xxxh : x2x2+x2 après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité.

Problème

Le but de ce problème est d'utiliser l'étude d'une fonction pour démontrer qu'une suite est convergente.
 
Première partie
 
Soit la fonction numérique f définie par f(x)=ln|5x+9x+5|
 
1) Étudier la fonction f (ensemble de définition, limites aux bornes de cet ensemble, sens de variation).
 
2) On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, i, j)(||i||=||j||=2cm)
 
Construire C ; préciser les points d'intersection de C avec les axes du repère.
 
Deuxième partie
 
On note Φ la fonction définie sur l'intervalle [1; +[ par Φ(x)=f(x)x.
 
1) Étudier les variations de Φ.
 
2) Démontrer que Φ est une bijection de [1; +[ sur un intervalle que l'on précisera.
 
3) En déduire qu'il existe un unique réel α, qu'on ne calculera pas, appartenant à [1; +[ , tel que Φ(α)=0, c'est-à-dire f(α)=α. 
 
Montrer que 12<α<1.
 
Troisième partie
 
1) Montrer que x0f(x)0.
 
En raisonnant par récurrence, en déduire l'existence d'une suite (un) définie par u0=0 et pour tout entier naturel n par : un+1=ln(5un+9un+5)
 
2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : unun+1 et unα (on pourra remarquer que f est croissante sur [0; +[.)
 
3) Démontrer que la suite (un) est convergente ; quelle est sa limite ?
 
Durée : 4h

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