Devoir n°4 - Ts2
Classe:
Terminale
Exercice
Les différentes questions sont indépendantes.
1) Résoudre l'équation log(x−2)+log(x+3)=2 (où log désigne le logarithme de base 10)
2) Résoudre l'équation : 34x−2−(5×32x+1)+4=0
3) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
f : x↦(12)xg : x↦xxh : x↦2x2+x−2 après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité.
Problème
Le but de ce problème est d'utiliser l'étude d'une fonction pour démontrer qu'une suite est convergente.
Première partie
Soit la fonction numérique f définie par f(x)=ln|5x+9x+5|
1) Étudier la fonction f (ensemble de définition, limites aux bornes de cet ensemble, sens de variation).
2) On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, →i, →j)(||→i||=||→j||=2cm)
Construire C ; préciser les points d'intersection de C avec les axes du repère.
Deuxième partie
On note Φ la fonction définie sur l'intervalle [−1; +∞[ par Φ(x)=f(x)−x.
1) Étudier les variations de Φ.
2) Démontrer que Φ est une bijection de [−1; +∞[ sur un intervalle que l'on précisera.
3) En déduire qu'il existe un unique réel α, qu'on ne calculera pas, appartenant à [−1; +∞[ , tel que Φ(α)=0, c'est-à-dire f(α)=α.
Montrer que 12<α<1.
Troisième partie
1) Montrer que x≥0⇒f(x)≥0.
En raisonnant par récurrence, en déduire l'existence d'une suite (un) définie par u0=0 et pour tout entier naturel n par : un+1=ln(5un+9un+5)
2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : un≤un+1 et un≤α (on pourra remarquer que f est croissante sur [0; +∞[.)
3) Démontrer que la suite (un) est convergente ; quelle est sa limite ?
Durée : 4h
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mar, 03/22/2022 - 22:34
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Hey
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