Devoir n°4 - Ts2

 

Les différentes questions sont indépendantes.

 

1) Résoudre l'équation $\log(x-2)+\log(x+3)=2$ (où $\log$ désigne le logarithme de base 10)

 

2) Résoudre l'équation : $$3^{4x-2}-\left(5\times 3^{2x+1}\right)+4=0$$

 

3) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

 

$$f\ :\ x\mapsto\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\quad g\ :\ x\mapsto x^{x}\quad h\ :\ x\mapsto 2^{x^{2}+x-2}$$ après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité.

Le but de ce problème est d'utiliser l'étude d'une fonction pour démontrer qu'une suite est convergente.

 

Première partie

 

Soit la fonction numérique $f$ définie par $$f(x)=\ln\left|\dfrac{5x+9}{x+5}\right|$$

 

1) Étudier la fonction $f$ (ensemble de définition, limites aux bornes de cet ensemble, sens de variation).

 

2) On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\left(||\vec{i}||=||\vec{j}||=2\;cm\right)$

 

Construire $\mathcal{C}$ ; préciser les points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec les axes du repère.

 

Deuxième partie

 

On note $\Phi$ la fonction définie sur l'intervalle $[-1\;;\ +\infty[$ par $\Phi(x)=f(x)-x.$

 

1) Étudier les variations de $\Phi.$

 

2) Démontrer que $\Phi$ est une bijection de $[-1\;;\ +\infty[$ sur un intervalle que l'on précisera.

 

3) En déduire qu'il existe un unique réel $\alpha$, qu'on ne calculera pas, appartenant à $[-1\;;\ +\infty[$ , tel que $\Phi(\alpha)=0$, c'est-à-dire $f(\alpha)=\alpha.$ 

 

Montrer que $\dfrac{1}{2}<\alpha <1.$

 

Troisième partie

 

1) Montrer que $x\geq 0\Rightarrow f(x)\geq 0.$

 

En raisonnant par récurrence, en déduire l'existence d'une suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=0$ et pour tout entier naturel $n$ par : $$u_{n+1}=\ln\left(\dfrac{5u_{n}+9}{u_{n}+5}\right)$$

 

2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\ :\ u_{n}\leq u_{n+1}$ et $u_{n}\leq\alpha$ (on pourra remarquer que $f$ est croissante sur $[0\;;\ +\infty[.$)

 

3) Démontrer que la suite $(u_{n})$ est convergente ; quelle est sa limite ?

 

$$\text{Durée : 4h}$$