Devoir n°6 - Ts2

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\sqrt{(x-1)^{2}}-\dfrac{4}{(x+1)^{2}}$

 

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en 1.

 

2) Montrer que la courbe représentative de $f\;,\ \mathcal{C}_{f}$, a trois droites asymptotes que l'on précisera.

 

3) Étudier les variations de $f.$

 

4) Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé.

 

5) a) Montrer que la restriction de $f$ à $]-1\;;\ +\infty[$, désignée par $g$, est une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

 

b) Donner l'ensemble de dérivabilité de $g.$

 

c) Calculer $g\left(\dfrac{5}{9}\right)$ (on observera que 2 est une racine du polynôme $9a^{3}+4a^{2}-19a-50).$

 

En déduire $g'\left(\dfrac{5}{9}\right).$

1) Montrer que la fonction $f$ définie sur $[-1\;;\ 1]$ par : $f(x)=x^{3}-3x+1$ est une bijection de $[-1\;;\ 1]$ sur un intervalle de $\mathbb{R}$ que l'on précisera.

 

En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-1\;;\ 1[.$

 

2) a) Établir l'identité : $\sin 3a=4\sin^{3}a-3\sin a$, pour tout réel $a.$

 

b) Calculer $f(\sin 2a)$ (on l'exprimera en fonction de $\sin 3a).$

 

c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $1-2\sin 3a=0.$

 

3) En utilisant la question 2), donner la valeur exacte de $\alpha$ (solution de $f(x)=0$ dans 

 

$]-1\;;\ 1[.$

 

4) Prouver que la fonction $f$ a une réciproque $f^{-1}$ dérivable en 0.

 

Sans calculer la dérivée de $f^{-1}$, donner la valeur exacte de $f'^{-1}(0).$

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$ A tout point $M$ de $\mathcal{P}$, on associe son affixe $z$ (nombre complexe).

On considère l'application $F$ qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $$z'= z^{2}-z$$

1) Quels sont les points $M$ de $\mathcal{P}$ invariants par $F$ ?

 

2) Quels sont les points $A$ antécédents du point $A'$ d'affixe 2 ?

 

3) Quels sont les points $B$ antécédents du point $B'$ d'affixe $-1+4\mathrm{i}$ ?

 

4) $F$ est-elle injective ? est-elle surjective ?

 

5) a) Que peut-on dire de la disposition des deux point $M_{1}$ et $M_{2}$ ayant la même image ?

 

b) Quels sont les points de $\mathcal{P}$ qui n'ont qu'un seul antécédent ?

 

6) Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que le triangle $OMM'$ soit :

 

a) isocèle ? b) équilatéral ? c) rectangle en $O$ ?

 

 

$$\text{Durée : 3 h}$$