Devoir n°6 - Ts2

Classe: 
Terminale

Exercice 1 

On considère la fonction f définie par : f(x)=(x1)24(x+1)2
 
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 1.
 
2) Montrer que la courbe représentative de f, Cf, a trois droites asymptotes que l'on précisera.
 
3) Étudier les variations de f.
 
4) Construire la courbe représentative Cf dans un repère orthonormé.
 
5) a) Montrer que la restriction de f à ]1; +[, désignée par g, est une bijection de I sur un intervalle J que l'on précisera.
 
b) Donner l'ensemble de dérivabilité de g.
 
c) Calculer g(59) (on observera que 2 est une racine du polynôme 9a3+4a219a50).
 
En déduire g(59).

Exercice 2 

1) Montrer que la fonction f définie sur [1; 1] par : f(x)=x33x+1 est une bijection de [1; 1] sur un intervalle de R que l'on précisera.
 
En déduire que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α dans ]1; 1[.
 
2) a) Établir l'identité : sin3a=4sin3a3sina, pour tout réel a.
 
b) Calculer f(sin2a) (on l'exprimera en fonction de sin3a).
 
c) Résoudre dans R l'équation : 12sin3a=0.
 
3) En utilisant la question 2), donner la valeur exacte de α (solution de f(x)=0 dans 
 
]1; 1[.
 
4) Prouver que la fonction f a une réciproque f1 dérivable en 0.
 
Sans calculer la dérivée de f1, donner la valeur exacte de f1(0).

Exercice 3 

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O, u, v). A tout point M de P, on associe son affixe z (nombre complexe).

On considère l'application F qui au point M d'affixe z associe le point M d'affixe z telle que : z=z2z
1) Quels sont les points M de P invariants par F ?
 
2) Quels sont les points A antécédents du point A d'affixe 2 ?
 
3) Quels sont les points B antécédents du point B d'affixe 1+4i ?
 
4) F est-elle injective ? est-elle surjective ?
 
5) a) Que peut-on dire de la disposition des deux point M1 et M2 ayant la même image ?
 
b) Quels sont les points de P qui n'ont qu'un seul antécédent ?
 
6) Déterminer l'ensemble des points M tels que le triangle OMM soit :
 
a) isocèle ? b) équilatéral ? c) rectangle en O ?
 
 
Durée : 3 h
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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