Douane - Épreuve de Mathématiques - 2001

 

On donne un triangle $GEO$ rectangle en $E$ tel que selon le $cm$

$$GO=4x+3\ \text{ et }\ EO=x+1$$

1) a) Calculer $GE^{2}$

 

b) En déduire la valeur numérique de $GE$ pour $x=2$ et pour $x=\dfrac{2}{3}$

 

2) a) Pour quelles valeurs de $x$ peut-on écrire

$$K=\dfrac{GE^{2}}{(3x+2)(5x+1)}$$

b) Simplifier $K$

 

c) Résoudre dans $\mathbb{R}\ :\ |GO|=|OE|\;;\ GO\times OE\geq 0$

 

3) Soit l'expression $H=GO^{2}-4EO^{2}.$

 

a) Développer, puis réduire $H$

 

b) Factoriser $H$

 

c) Déterminer la valeur numérique de $H$ pour $x=\sqrt{3}$ ; puis pour $x=-\dfrac{1}{2}$

Dans un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J)$ , placer les points A(1,2) ; B(-2 ,5) et C(5,6).

$$A\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}\;;\ B\begin{pmatrix} -2\\5\end{pmatrix}\ \text{ et }\ C\begin{pmatrix} 5\\6\end{pmatrix}$$

5) Quels sont les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AC}\ $ et $\ \overrightarrow{BC}$

 

6) Calculer les longueurs des côtés du triangle $ABC$ ;

 

7) Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle.

 

8) Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ABC.$ Calculez les coordonnées du point $G.$

 

$$\text{Durée 2 heures}$$