Douane - Épreuve de Mathématiques - 2001

 

Un tronçon d'autoroute possède deux péages identiques.

 

Chaque péage comporte deux types de passage :

 

$-\ $ un passage automatique $A$ ;

 

$-\ $ un passage à monnaie $M.$

 

$65\%$ des usagers utilisent le passage $A$ sans payer

 

$5\%$ des usagers utilisent le passage $M$ en payant.

 

Les automobilistes honnêtes perdent, à chaque péage, soit une minute (passage $A$) soit quatre minutes (passage $M$). Les automobilistes malhonnêtes ne perdent pas de temps.

 

1) un automobiliste prend ce tronçon d'autoroute. On admettra que son comportement au deuxième péage est indépendant de celui qu'il a eu au premier péage.

 

Soit $T$ la variable aléatoire égale au temps perdu à l'issue des deux péages

 

a) Déterminer la loi de probabilité $T$

 

b) Calculer l'espérance mathématique

 

2) Dix (10) voitures se présentent successivement aux deux péages.

 

Quelle est la probabilité pour que six des dix véhicules perdent exactement cinq minutes.

Soit $f(x)=x+\sqrt{|x^{2}-x|}$

 

1) Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et donner l'expression de $f$ sans le symbole valeur absolue.

 

2) Étudier la dérivabilité de $f$ en $x=0$ et en $x=1$

 

Interpréter graphiquement ces deux résultats.

 

3) a) Calculer $f'(x)$ dans les intervalles où $f$ est dérivable.

 

b) Étudier les variations de $f$

 

4) a) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)-(2x-1).$ Que peut-on en déduire ?

 

b) Donner l'autre asymptote

 

c) Étudier la position de la courbe de $f$ par rapport à ses asymptotes.

 

5) Tracer la courbe de $f$ ainsi que ses demi tangentes en $x=0\ $ et $\ x=1$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

 

6) Soit $g$ la restriction de $f$ sur $[1 +\infty[$

 

a) Montrer que $g$ est bijective de $[1 +\infty[$ vers $J$ à préciser.

 

b) $g^{-1}$ est – elle dérivable sur $J\ ?\;;\ g^{-1}$ réciproque de $g.$

 

c) Calculer $g(2)\ $ et $\ (g^{-1})'(2+\sqrt{2})$

 

7) Tracer la courbe de $g^{-1}$ dans le même repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

$$\text{Durée 2 heures}$$