Douane - Épreuve de Mathématiques - 2018

Activités numériques

Exercice 1

Soit $$x=2\sqrt{6}(-\sqrt{3}+1)+4\sqrt{18}-\sqrt{24}+3$$

1) Écris $x$ sous la forme $a\sqrt{b}+c.$ Tu préciseras les valeurs de $a\;,\ b\ $ et $\ c$ avec $b>0.$

2) On donne $y=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{21}.$

a) Montre que $x$ est l'inverse de $y.$

b) Déduis-en que $\dfrac{1}{3}(x+y)=\dfrac{x+y}{3xy}.$

3) On pose $z=\dfrac{9-3\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}.$

Montre que $z$ est l'opposé de $x.$

4) Donne un encadrement du réel $z$ à $10^{-1}$ près, sachant que $1.414<\sqrt{2}<1.415$

Exercice 2

Le service de contrôle de la douane propose deux options pour les voitures supportées :

Option $A\ :\ 100\,000\;\text{F}$ de taxe par voiture importée.

Option $B\ :$ Prendre une carte de fidélité à $50\,000\;\text{F}$ et payer $75\,000\;\text{F}$ par voiture importée.

1) Quelle option proposes-tu à un client qui importe une seule voiture ? Explique.

2) On désigne par $x$ le nombre de voitures importées.

Soit $f$ l'application qui à $x$ associe le montant à payer si le client choisit l'option $A$ et soit $g$ l'application qui à $x$ associe le montant à payer si le client choisit l'option $B.$

a) Détermine en fonction de $x\;,\ f(x)\ $ et $\ g(x).$

b) Représente graphiquement $f\ $ et $\ g$ dans un repère en prenant $1\;cm$ pour $2$ voitures sur l'axe des abscisses et $1\;cm$ pour $20\,000\;\text{F}$ sur l'axe des ordonnées.

3) Détermine pour le calcul à partir de combien de voitures au minimum importées, l'option $B$ est plus avantageuse.

4) a) Détermine graphiquement à partir de combien de voitures importées, un client payerait le même montant en choisissant l'option $A$ ou l'option $B.$

b) Quelle option proposes-tu à un client qui importe $12$ voitures ?