ESP - Epreuve de Mathématiques - 2012

 

Soit $P(X)=(X+1)^{7}-X^{7}-1$

 

1) Déterminer le degré de $P.$

 

2) Montrer que $P$ a au moins deux zéros réels entiers. En déduire leur ordre de multiplicité.

 

3) Démontrer que $P(X)$ est divisible par $X-\mathrm{j}.\quad\left(\mathrm{j}=-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

 

4) Factoriser $P$ dans $\mathbb{C}[X]$ puis dans $\mathbb{R}[X].$

 

5) Décomposer $R(X)=\dfrac{7}{P(X)}$ en éléments simples de $\mathbb{R}[X].$

 

A) Discuter et résoudre le système :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2ax+(2a+1)y+(2a^{2}+a)z&=&-3a^{2}\\x+(1-a)y+(2-2a)z&=&0\\x+ay+2az&=&1\end{array}\right.$$

où $a$ étant un paramètre réel.

 

B) Calculer les intégrales suivantes :

 

1)

$$I_{1}=18\int_{0}^{\ln 2}\mathrm{e}^{3x}\ln(1+\mathrm{e}^{x})\mathrm{d}x$$

2)

$$I_{2}=\int_{0}^{2}\dfrac{5t^{2}}{(1+t)(4+t^{2})}\mathrm{d}t$$

1) Démontrer les formules :

$$\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\quad\text{et}\quad\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\ ;\quad n\in\mathbb{N}^{*}$$

2) Déduire de 1) la valeur de la somme :

$$mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+\ldots\ldots+1.(n-m+1)$$

avec, $m\,,n\in\mathbb{N}^{*}\ $ et $\ m<n$

 

3) Calculer pour $m=7\ $ et $\ n=10$

i) Pour $x\;,\ a\ $ et $\ I$, calculez

$$I_{2}=\int_{0}^{x}(x-t)\mathrm{e}^{at}\mathrm{d}t$$

où $a$ est une constante réelle non nulle. Déduisez-en une expression de $\mathrm{e}^{ax}$ de la forme

$$\mathrm{e}^{ax}=\alpha_{0}+\alpha_{1}x+\alpha_{2}I_{2}$$

où $\alpha_{0}\;,\ \alpha_{1}\;,\ \alpha_{2}$ sont des coefficients indépendants de $x.$

 

Remarque : Une telle expression est souvent utilisée pour approcher la valeur de $\mathrm{e}^{ax}$ par $\alpha_{0}+\alpha_{1}x$ au voisinage de $x=0.$

 

ii) Généralisez le résultat du point i), en déduisant une expression de la forme

$$\mathrm{e}^{ax}=\beta_{0}+\beta_{1}x+\beta_{2}x^{2}+\beta_{3}I_{3}\quad\text{où}\quad I_{3}=\int_{0}^{x}(x-t)^{2}\mathrm{e}^{at}\mathrm{d}t$$

où $\beta_{0}\;,\ \beta_{1}\;,\ \beta_{2}\;,\ \beta_{3}$ sont des coefficients indépendants de $x.$

 

iii) Généralisez le résultat du point i), à une fonction $f$ quelconque (suffisamment continue et dérivable) en évaluant

$$I_{2}=\int_{0}^{x}(x-t)f''(t)\mathrm{d}t$$

Pour exprimer $f(x)$ sous la forme

$$f(x)=\gamma_{0}+\gamma_{1}x+\gamma_{2}I_{2}$$

où $\gamma_{0}\;,\ \gamma_{1}\;,\ \gamma_{2}$ sont des coefficients indépendants de $x.$
 

$$\text{Durée 4 heures}$$