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Exercices d'entrainement types du Bac : Arithmétique

Classe:

Terminale

I. Congruence et divisibilité

Exercice 1

1) Montrer que si

$a|(2n+3)$ et

$a|(5n+3)$ alors

$a|9$

2) Montrer que

$x(x+2)(x+4)$ est un multiple de 3

3) Montrer que

$7^{n}-1$ est un multiple de 6

Exercice 2

1) Déterminer les entiers naturels

$p$ tels que

$2^{p}-1$ soit divisible par 31.

2) Trouver le reste de la division euclidienne de

$261^{2002}$ par 7.

3) Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel

$n$ , le reste de la division euclidienne de

$2^{n}$ par 7.

Exercice 3

1) Montrer que

$\forall n$

$A=3^{n+3}-4^{4n+2}$ est divisible par 11

2) Déterminer le reste de la division de

$7^{2002}$ par 9

Exercice 4

Démontrer les critères suivants :

Divisibilité par 5

$n$ est divisible par 5 si et seulement si

$a_{n}+a_{n-1}+\ldots +a_{1}+a_{0}$ est divisible par 5.

Divisibilité par 9

$n$ est divisible par 9 si et seulement si

$a_{n}+a_{n-1}+\ldots +a_{1}+a_{0}$ est divisible par 9

Divisibilité par 11

$n$ est divisible par 11 si et seulement si

$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}$ est divisible par 11

Conjecturer puis démontrer des critères de divisibilité par 13, 17, 19 et 25.

II. Théorèmes de Bezout et de Gauss

Exercice 1

Résoudre dans

$\mathbb{Z}^{2}$

$3x=5y$

$14x=6y$

$15x+12y=3$

$945x-1275y=15$

Exercice 2

1) Prouver que l'équation

$23x-17y=1$ a au moins une solution dans

$\mathbb{Z}^{2}.$

2) Déterminer une solution de cette équation.

3) Déterminer

$S$ , ensemble des solutions de cette équation dans

$\mathbb{Z}^{2}.$

4) En déduire

$S'$ , ensemble des solutions de cette équation dans

$\mathbb{Z}^{2}$ de l'équation

$23x-17y=6.$

5) Déduire de l'étude précédente les entiers naturels

$A$ inférieurs à 1000 tels que dans la division de

$A$ par 23, le reste soit 2, et dans celle de

$A$ par 17, le reste soit 8.

Exercice 3

Pour tout entier naturel

$n$ non nul, on considère les nombres

$a_{n}=4\times 10^{n}-1\;,\quad b_{n}=2\times 10^{n}-1\text{ et }c_{n}=2\times 10^{n}+1$

1) a) Calculer

$a_{1}\;,\ b_{1}\;,\ c_{1}\;,\ a_{2}\;,\ b_{2}\;,\ c_{2}\;,\ a_{3}\;,\ b_{3}\;,\ c_{3}.$

b) Combien les écritures décimales des nombres

$a_{n}$ et

$c_{n}$ ont-elles de chiffres ?

Montrer que

$a_{n}$ et

$c_{n}$ sont divisibles par 3.

c) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100, que

$b_{3}$ est premier.

d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul

$n\;,\ b_{n}\times c_{n}=a_{2n}.$

En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de

$a_{6}.$

e) Montrer que

$PGCD(b_{n}\;;\ c_{n})=PGCD(c_{n}\;;\ 2)$ . En déduire que

$b_{n}$ et

$c_{n}$ sont premiers entre eux.

2) On considère l'équation

$(1)\quad b_{3}x+c_{3}y=1$ d'inconnues les entiers relatifs

$x$ et

$y$ .

a) Justifier le fait que (1) possède au moins une solution.

b) Appliquer l'algorithme d'Euclide aux nombres

$c_{3}$ et

$b_{3}$ ; en déduire une solution particulière de (1).

c) Résoudre l'équation (1).

d) Déterminer les couples

$(x\;;\ y)$ solutions de (1) tels que

$0\leq x\leq 10000.$

Exercice 4

Les points

$A_{0}=O\;;\ A_{1}\;;\ldots A_{20}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre

$A$ , à 21 côtés, de sens direct.

Les points

$B_{0}=O\;;\ B_{1}\;;\ldots B_{14}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre

$B$ , à 15 côtés, de sens direct.

Soit

$r_{A}$ la rotation de centre

$A$ et d'angle

$\dfrac{2\pi}{21}$ et

$r_{B}$ la rotation de centre

$B$ et d'angle

$\dfrac{2\pi}{15}.$

On définit la suite

$(M_{n})$ de points par :

$\ M_{0}$ est l'un des points

$A_{0}\;\ A_{1}\;,\ A_{2}\;,\ \ldots\;,\ A_{20}$

- pour tout entier naturel

$n$ ,

$M_{n+1}=r_{A}(M_{n})$ .

On définit la suite

$(P_{n})$ de points par :

$\ M_{0}$ est l'un des points

$B_{0}\;\ B_{1}\;,\ B_{2}\;,\ \ldots\;,\ B_{14}$

- pour tout entier naturel

$n$ ,

$P_{n+1}=r_{B}(P_{n})$ .

Le but de l'exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l'ensemble

$S$ des entiers naturels

$n$ vérifiant :

$M_{n}=P_{n}=O$

1) Dans cette question

$M_{0}=P_{0}=O$ .

a) Indiquer la position du point

$M_{2000}$ et celle du point

$P_{2000}.$

b) Déterminer le plus petit entier naturel

$n$ non nul tel que :

$M_{n}=P_{n}=O.$

En déduire l'ensemble

$S$ .

2) Dans cette question

$M_{0}=A_{19}$ et

$P_{0}=B_{10}$ .

On considère l'équation

$(E)\ :\ 7x-5y=1$ avec

$x\in\;\mathbb{Z}$ et

$y\in\;\mathbb{Z}.$

a) Déterminer une solution particulière

$(a\;;\ b)$ de

$(E)$ .

b) Déterminer l'ensemble des solutions de

$(E)$ .

c) En déduire l'ensemble

$S$ des entiers naturels

$n$ vérifiant

$M_{n}=P_{n}=O.$

Quel est le plus petit élément de

$S$ ?

Exercice 5

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

$(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$

On considère la transformation

$f$ du plan qui à tout point

$M$ d'affixe

$z$ associe le point

$M'$ d'affixe

$z'$ définie par

$z'=z\mathrm{e}^{\frac{5\mathrm{i}\pi}{6}}$ et on définit une suite de points

$(M_{n})$ de la manière suivante :

$M_{0}$ a pour affixe

$z_{0}=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{2}}$ et pour tout entier naturel

$n$ ,

$M_{n+1}=f(M_{n})$ . On appelle

$z_{n}$ l'affixe de

$M_{n}$ .

1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de

$f$ . Placer les points

$M_{0}\;,\ M_{1}\;,\ M_{2}.$

2) Montrer que pour tout entier naturel

$n$ , on a l'égalité

$z_{n}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{5n\pi}{6}\right)}$

(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence)

3) Soient deux entiers

$n$ et

$p$ tels que

$n\geq p$ , montrer que deux points

$M_{n}$ et

$M_{p}$ sont confondus si, et seulement si,

$(n-p)$ est multiple de 12.

4) a) On considère l'équation

$(E)\ :\ 12x-5y=3$ où

$x$ et

$y$ sont des entiers relatifs. Après avoir vérifier que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l'équation

$(E).$

b) En déduire l'ensemble des entiers naturels

$n$ tels que

$M_{n}$ appartienne à la demi-droite

$[ox).$

III. Nombres premiers

Exercice 1

1) Les nombres suivants sont-ils premiers ?

109 ; 209 ; 309 ; 409 ; 1009 ; 199 ; 299 ; 899.

2) Décomposer en produit de facteurs les nombres 828 et 5423.

Exercice 2

1) Montrer que pour tout entier relatif

$n$ les entiers

$14n+3$ et

$5n+1$ sont premiers entre eux.

2) Soit l'équation

$(E)\ :\ 87x+31y=2$ où

$x$ et

$y$ sont des entiers relatifs.

a) Vérifier en utilisant par exemple la question 1), que 87 et 31 sont premiers entre eux.

En déduire un couple

$(u\;;\ v)$ d'entiers relatifs tel que

$87u+31v=1$ puis une solution

$(x_{0}\;;\ y_{0})$ de

$(E).$

b) Déterminer l'ensemble des solutions de

$(E)$ dans

$\mathbb{Z}^{2}$ .

c) Application : Déterminer les points de la droite d'équation

$87x-31y-2=0$ dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est comprise entre 0 et 100.

Indication : On remarque que le point

$M$ de coordonnées

$(x\;;\ y)$ appartient à la droite

$D$ si, et seulement si, le couple

$(x\;;\ -y)$ vérifie l'équation

$(E).$

IV. PGCD et PPCM

Exercice 1

1) Déterminer

$D(91)$ , ensemble des diviseurs de 91.

2) Déterminer

$D(315)$ , ensemble des diviseurs de 315.

3) Déterminer l'intersection des ensembles

$D(91)$ et

$D(315)$ .

En déduire le

$PGCD$ de 91 et 315.

4) Résoudre dans

$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ l'équation

$x^{2}-y^{2}=91.$

Exercice 2

Déterminer le

$PGCD$ et le

$PPCM$ de :

1) 276 et 312.

$11\times 15$ et

$13\times 5$ .

$n$ et

$n+1\quad (n\in\mathbb{N})$ .

Exercice 3

Soit

$x$ et

$y$ des entiers naturels non nuls vérifiant

$x<y$ . Soit

$S$ l'ensemble des couples

$(x\;;\ y)$ tels que

$PGCD(x\;;\ y)=y-x$ .

1) Calculer

$PGCD(363\;;\ 484)$ . Le couple (363 ; 484) apparient-il à

$S$ ?

2) Soit

$n$ un entier naturel non nul; le couple

$(n\;;\ n+1)$ apparient-il à

$S$ ?

3) a) Montrer que

$(x\;;\ y)$ apparient à

$S$ si, et seulement si, il existe un entier naturel

$k$ non nul tel que

$x=k(y-x)$ et

$y=(k+1)(y-x).$

b) En déduire que pour tout couple

$(x\;;\ y)$ de

$S$ on a :

$PPCM(x\;;\ y)=k(k+1)(y-x)$

4) a) Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.

b) En déduire l'ensemble des couples

$(x\;;\ y)$ de

$S$ tels que

$PPCM(x\;;\ y)=228.$

Exercice 4

Pour tout entier naturel

$n$ supérieur ou égal à 5, on considère les nombres :

$a=n^{3}-n^{2}-12n\quad\text{ et }\quad b=2n^{2}-7n-4$

1) Montrer, après factorisation, que

$a$ et

$b$ sont des entiers naturels divisibles par

$n-4.$

2) On pose

$\alpha=2n+1$ et

$\beta=n+3$ . On note

$d$ le

$PGCD$ de

$\alpha$ et

$\beta.$

a) Établir une relation entre

$\alpha$ et

$\beta$ indépendante de

$n$ .

b) Démontrer que

$d$ est un diviseur de 5.

c) Démontrer que les nombres

$\alpha$ et

$\beta$ sont multiples de 5 si, et seulement si,

$n-2$ est multiple de 5.

3) Montrer que

$2n+1$ et

$n$ sont premiers entre eux.

4) a) Déterminer, suivant les valeurs de

$n$ et en fonction de

$n$ , le

$PGCD$ de

$a$ et

$b.$

b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers

$n=11$ et

$n=12.$

V. Système de numération

Exercice 1

1) écrire 6795 en base 6

2) écrire en base 5, 128

3) écrire dans le système décimal

$\overline{3420}^{7}$ ,

$\overline{\alpha\alpha\alpha}^{12}$

4) déterminer

$x$ et

$y$ tels que

$\overline{x2y}^{6}$ s'écrit

$\overline{3x2}^{5}$

Commentaires

chichi (non vérifié)

sam, 02/20/2021 - 08:27

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correction

svp j'ai besoin de correction ex 2 nombres premiers mrc d'avance

répondre

Accrombessy (non vérifié)

jeu, 03/17/2022 - 15:42

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Je trouve très les exercices

Je trouve très les exercices et sujet de type bac.

répondre

Bamba (non vérifié)

sam, 08/05/2023 - 00:59

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Svp j'ai besoin de la correction merci

La correction

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IV. PGCD et PPCM

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V. Système de numération

Exercice 1

Commentaires

correction

Je trouve très les exercices

Svp j'ai besoin de la correction merci

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