Exercices d'entrainement types du Bac : Arithmétique
Classe:
Terminale
I. Congruence et divisibilité
Exercice 1
1) Montrer que si a|(2n+3) et a|(5n+3) alors a|9
2) Montrer que x(x+2)(x+4) est un multiple de 3
3) Montrer que 7n−1 est un multiple de 6
Exercice 2
1) Déterminer les entiers naturels p tels que 2p−1 soit divisible par 31.
2) Trouver le reste de la division euclidienne de 2612002 par 7.
3) Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 2n par 7.
Exercice 3
1) Montrer que ∀n A=3n+3−44n+2 est divisible par 11
2) Déterminer le reste de la division de 72002 par 9
Exercice 4
Démontrer les critères suivants :
Divisibilité par 5
n est divisible par 5 si et seulement si an+an−1+…+a1+a0 est divisible par 5.
Divisibilité par 9
n est divisible par 9 si et seulement si an+an−1+…+a1+a0 est divisible par 9
Divisibilité par 11
n est divisible par 11 si et seulement si ∑nk=0(−1)kak est divisible par 11
Conjecturer puis démontrer des critères de divisibilité par 13, 17, 19 et 25.
II. Théorèmes de Bezout et de Gauss
Exercice 1
Résoudre dans Z2
a) 3x=5y
b) 14x=6y
c) 15x+12y=3
d) 945x−1275y=15
Exercice 2
1) Prouver que l'équation 23x−17y=1 a au moins une solution dans Z2.
2) Déterminer une solution de cette équation.
3) Déterminer S, ensemble des solutions de cette équation dans Z2.
4) En déduire S′, ensemble des solutions de cette équation dans Z2 de l'équation 23x−17y=6.
5) Déduire de l'étude précédente les entiers naturels A inférieurs à 1000 tels que dans la division de A par 23, le reste soit 2, et dans celle de A par 17, le reste soit 8.
Exercice 3
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres an=4×10n−1,bn=2×10n−1 et cn=2×10n+1
1) a) Calculer a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3.
b) Combien les écritures décimales des nombres an et cn ont-elles de chiffres ?
Montrer que an et cn sont divisibles par 3.
c) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100, que b3 est premier.
d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, bn×cn=a2n.
En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de a6.
e) Montrer que PGCD(bn; cn)=PGCD(cn; 2). En déduire que bn et cn sont premiers entre eux.
2) On considère l'équation (1)b3x+c3y=1 d'inconnues les entiers relatifs x et y.
a) Justifier le fait que (1) possède au moins une solution.
b) Appliquer l'algorithme d'Euclide aux nombres c3 et b3 ; en déduire une solution particulière de (1).
c) Résoudre l'équation (1).
d) Déterminer les couples (x; y) solutions de (1) tels que 0≤x≤10000.
Exercice 4
Les points A0=O; A1;…A20 sont les sommets d'un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct.
Les points B0=O; B1;…B14 sont les sommets d'un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct.
Soit rA la rotation de centre A et d'angle 2π21 et rB la rotation de centre B et d'angle 2π15.
On définit la suite (Mn) de points par :
- M0 est l'un des points A0 A1, A2, …, A20
- pour tout entier naturel n, Mn+1=rA(Mn).
On définit la suite (Pn) de points par :
- M0 est l'un des points B0 B1, B2, …, B14
- pour tout entier naturel n, Pn+1=rB(Pn).
Le but de l'exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l'ensemble S des entiers naturels n vérifiant : Mn=Pn=O
1) Dans cette question M0=P0=O.
a) Indiquer la position du point M2000 et celle du point P2000.
b) Déterminer le plus petit entier naturel n non nul tel que : Mn=Pn=O.
En déduire l'ensemble S.
2) Dans cette question M0=A19 et P0=B10.
On considère l'équation (E) : 7x−5y=1 avec x∈Z et y∈Z.
a) Déterminer une solution particulière (a; b) de (E).
b) Déterminer l'ensemble des solutions de (E).
c) En déduire l'ensemble S des entiers naturels n vérifiant Mn=Pn=O.
Quel est le plus petit élément de S ?
Exercice 5
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; →u, →v).
On considère la transformation f du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′ définie par z′=ze5iπ6 et on définit une suite de points (Mn) de la manière suivante :
M0 a pour affixe z0=eiπ2 et pour tout entier naturel n, Mn+1=f(Mn). On appelle zn l'affixe de Mn.
1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f. Placer les points M0, M1, M2.
2) Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité zn=ei(π2+5nπ6)
(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence)
3) Soient deux entiers n et p tels que n≥p, montrer que deux points Mn et Mp sont confondus si, et seulement si, (n−p) est multiple de 12.
4) a) On considère l'équation (E) : 12x−5y=3 où x et y sont des entiers relatifs. Après avoir vérifier que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l'équation (E).
b) En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi-droite [ox).
III. Nombres premiers
Exercice 1
1) Les nombres suivants sont-ils premiers ?
109 ; 209 ; 309 ; 409 ; 1009 ; 199 ; 299 ; 899.
2) Décomposer en produit de facteurs les nombres 828 et 5423.
Exercice 2
1) Montrer que pour tout entier relatif n les entiers 14n+3 et 5n+1 sont premiers entre eux.
2) Soit l'équation (E) : 87x+31y=2 où x et y sont des entiers relatifs.
a) Vérifier en utilisant par exemple la question 1), que 87 et 31 sont premiers entre eux.
En déduire un couple (u; v) d'entiers relatifs tel que 87u+31v=1 puis une solution (x0; y0) de (E).
b) Déterminer l'ensemble des solutions de (E) dans Z2.
c) Application : Déterminer les points de la droite d'équation 87x−31y−2=0 dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est comprise entre 0 et 100.
Indication : On remarque que le point M de coordonnées (x; y) appartient à la droite D si, et seulement si, le couple (x; −y) vérifie l'équation (E).
IV. PGCD et PPCM
Exercice 1
1) Déterminer D(91), ensemble des diviseurs de 91.
2) Déterminer D(315), ensemble des diviseurs de 315.
3) Déterminer l'intersection des ensembles D(91) et D(315).
En déduire le PGCD de 91 et 315.
4) Résoudre dans N×N l'équation x2−y2=91.
Exercice 2
Déterminer le PGCD et le PPCM de :
1) 276 et 312.
2) 11×15 et 13×5.
3) n et n+1(n∈N).
Exercice 3
Soit x et y des entiers naturels non nuls vérifiant x<y. Soit S l'ensemble des couples (x; y) tels que PGCD(x; y)=y−x.
1) Calculer PGCD(363; 484). Le couple (363 ; 484) apparient-il à S ?
2) Soit n un entier naturel non nul; le couple (n; n+1) apparient-il à S ?
3) a) Montrer que (x; y) apparient à S si, et seulement si, il existe un entier naturel k non nul tel que x=k(y−x) et y=(k+1)(y−x).
b) En déduire que pour tout couple (x; y) de S on a : PPCM(x; y)=k(k+1)(y−x)
4) a) Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
b) En déduire l'ensemble des couples (x; y) de S tels que PPCM(x; y)=228.
Exercice 4
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres :a=n3−n2−12n et b=2n2−7n−4
1) Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n−4.
2) On pose α=2n+1 et β=n+3. On note d le PGCD de α et β.
a) Établir une relation entre α et β indépendante de n.
b) Démontrer que d est un diviseur de 5.
c) Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 5 si, et seulement si, n−2 est multiple de 5.
3) Montrer que 2n+1 et n sont premiers entre eux.
4) a) Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b.
b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers n=11 et n=12.
V. Système de numération
Exercice 1
1) écrire 6795 en base 6
2) écrire en base 5, 128
3) écrire dans le système décimal ¯34207, ¯ααα12
4) déterminer x et y tels que ¯x2y6 s'écrit ¯3x25
Commentaires
chichi (non vérifié)
sam, 02/20/2021 - 08:27
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correction
Accrombessy (non vérifié)
jeu, 03/17/2022 - 15:42
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Je trouve très les exercices
Bamba (non vérifié)
sam, 08/05/2023 - 00:59
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Svp j'ai besoin de la correction merci
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