Exercices d'entrainement types du Bac : Fonctions Logarithmes, Exponentielles et Puissances
Classe:
Terminale
Exercice 1
Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
a) ln(2x−3)=−1
b) ln(3x+5)−ln(x−2)=1
c) (lnx)2−4lnx+3≥0
d) ln(2x−1)+ln|x−1|=ln(2x2−5x+5)
e) 1≤ex≤5
f) e2x−3√3ex+6≥0
g) ln(x+1)≥2x
h) ln(x+1x−2)≤0
i) ex+2<√e
j) (ex+1−1)(e−ex2)≤0
Exercice 2
Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
a) (2x−3)(√2x−4)(x47−2)=0
b) 4x−3×2x−10=0
c) (37)x<9
d) x√2<4
e) x√2≤√2x
f) lnx+ln(10−x2)=ln(11x2+7)−ln2
g) √5x<101000
Exercice 3
Résoudre dans R les équations suivantes :
a) e3x+e2x−10ex+8=0
b) e2x−1−√e2x+2−2e3=0
c) 2ex−4e−x+2=0
d) −e2x+ex+1+ex=e
e) Déterminer suivant m le nombre de solutions de l'équation (m−1)ex+me−x=2m
Exercice 4
Résoudre dans R2 les systèmes suivants :
(S1) : {lnx+lny=23lnx+2lny=4,(S2) : {ex+2ey=23ex−4ey=1
(S3) : {ex−2×ey−3=1ln(2x)+lny=2ln2+ln3,(S4) : {ln(xy)=53ln(xy)=3
(S5) : {ln(xy)=73lnx⋅lny=12,(S6) : {exe7=(1ey)3lnx−2lny=ln4
(S7) : {ex−e3y+1=0−ln(x+4)+ln(y+1)=ln3
Exercice 5
Déterminer les limites suivantes en +∞ :
limx→+∞x3−ex+1,limx→+∞ex+1e2x+3ex−1,limx→+∞ex−x+12x+x3+1
limx→+∞1+x+x2−e3x,limx→+∞lnx√7x,limx→+∞e2x2x4+1
Exercice 6
Déterminer les limites suivantes en −∞ :
limx→−∞x4−e−x+2,limx→−∞ex+1e2x+3ex−1,limx→−∞ln(1+ex)e2x
Exercice 7
Déterminer les limites suivantes lorsque en 0 :
limx→0ln(1+sinx)x,limx→0(x4ln2x),limx→0(−3ln(−x)+2x)
limx→0e2x−1x,limx→0e−x−1xlnx,limx→0e2x−e−x2x
Exercice 8
Déterminer les ensembles de définitions des fonctions suivantes :
a) f(x)=ln(1−lnx)
b) g(x)=ln|lnx|
c) h(x)=ln(5−2x)lnx
d) k(x)=ln|ex−2|
e) m(x)=ln(4−x2)
f) φ(x)=√2−ex
g) ψ(x)=ln|x2−5x+4|
h) χ(x)=lnxx2−1
i) τ(x)=√3−lnx
j) ι(x)=3lnx+2lnx−1
Exercice 9
Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leurs ensembles de définition respectifs et donner la fonction dérivée associée :
f(x)=ln(2+x2−x),g(x)=ln|x−2x−1|,φ(x)=√(lnx)2−1
ψ(x)=(1−lnx)3,κ(x)=ln(1+x2)x2,Φ(x)=ln(2xlnx)
χ(x)=ex−ln(ex+1),ς(x)=e1lnx,π(x)=x(e1x−1)
λ(x)=ex2x+2−3e−4x,ξ(x)=xe√x,θ(x)=xex−1ex−1
Exercice 10
1) Réaliser l'étude de la fonction f : x↦ 3e2x−6ex−1.
2) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
3) Justifier que f s'annule exactement une fois sur R et donner un encadrement à 10−2 près du "zéro" de f.
4) En déduire le tableau de variation de la fonction g définie sur R par g(x)=3e2x−12ex−2x+1.
Exercice 11
Soit k est un réel strictement positif.
On considère fk, la fonction définie sur R par fk(x)=e−kx2 et soit g, la fonction définie sur R par :
g(x)=e−x2x2+1
1) Étudier la fonction fk, k étant fixé.
2) Déterminer la position relative des courbes Ck et Cρ représentatives des fonctions fk et fρ dans un repère orthogonal (O; →i, →j) avec 0<k<ρ.
3) Construire les courbes C1, C2 et C4.
4) Étudier la fonction g et montrer que sa courbe représentative Γ dans (O; →i, →j) est située dans la portion de plan délimitée par C1 et C2.
Exercice 12
On note α la solution de l'équation ex=2α≈0.69
1) Calculer f(α) sachant que f est la fonction définie par f(t)=e3t+et−1e−t+2.
2) Résoudre dans R l'équation e2x−3ex+2=0.
3) Résoudre dans R l'inéquation ex+2e−x≥3.
Exercice 13
1) On considère la fonction fk définie sur R par :
fk=ex−kxpour k∈]0; e[
a) Étudier le sens de variation de fk.
b) Prouver que pour tout réel x, ex−kx>0.
2) Soit gk la fonction définie sur R par :
gk(x)=exex−kxpour k∈]0; e[
a) Étudier gk (limites et variations).
b) Étudier la position relative des courbes représentatives de gk et gk′ pour k<k′.
c) Construire les courbes représentatives de g1 et g2 dans un même repère.
Exercice 14
f(x)=3x+ln(x−ex+e)+1.
1) Montrer que le point A(0, 1) est centre de symétrie de la courbe représentative C de f.
2) Montrer que C possède trois droites asymptotes.
Exercice 15
1) Démontrer à l'aide d'une étude de fonction que pour tout x≥0 :
ln(1+x)≥x−x22
2) Démontrer que pour tout x≤0 :
ln(1+x)≥x−x22+x33
3) La fonction f est définie sur [0, +∞[ par : f(0)=1 et pour x>0, f(x)=ln(1+x)x
a) Profiter de l'encadrement de ln(1+x) pour démontrer que f est dérivable en 0.
b) Terminer l'étude de f et la représenter dans un repère orthogonal.
Exercice 16
La fonction fa est définie sur R par fa(x)=ex2−ax où a est un réel donné.
1) Déterminer les valeurs de a correspondant aux cas suivants :
a) fa(3)=1
b) fa(1)=2
2) Soit g la restriction de f−1 à [0; 3].
a) Montrer que g est une bijection de [0; 3] sur un intervalle que l'on précisera.
b) Donner l'expression explicite de g−1(x) pour x donné.
Exercice 17
φ et g sont les fonctions définies sur ]1, +∞[ par :
φ(x)=2x2x2−1−ln(x2−1)etg(x)=ln(x2−1)x
φ(x)=2x2x2−1−ln(x2−1)etg(x)=ln(x2−1)x
f est la fonction définie sur ]0, +∞[ par :
f(x)=ln(e2x−1)ex
f(x)=ln(e2x−1)ex
1) a) Étudier la fonction φ.
b) Montrer que l'équation φ(x)=0 possède une unique solution, notée θ, dans ]1, +∞[. Vérifier que 3.19<θ<3.2.
2) a) Montrer que g est dérivable sur ]1, +∞[ et que g′(x) est du signe de φ(x).
b) Dresser le tableau de variation de g sur ]1, +∞[.
c) Montrer que : g(θ)=2θθ2−1.
En déduire un encadrement de g(θ) d'amplitude 4×10−3.
3) a) Montrer que : ∀x∈R∗+, f(x)=g(ex).
b) En déduire le tableau de variation de f.
c) Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthogonal après avoir précisé la position relative de C et de son asymptote horizontale.
Exercice 18
1) Montrer que pour tout x, √x2+1−x=1√x2+1+x.
2) En déduire que la fonction φ définie sur R par φ(x)=ln(x+√x2+1) est impaire.
3) Calculer la dérivée de φ. En déduire le tableau de variation de φ.
Exercice 19
(C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé (O; →i, →j) de la fonction g définie par :
g(x)=x2(2lnx−1)+1 si x>0 et g(0)=1
g(x)=x2(2lnx−1)+1 si x>0 et g(0)=1
1) Montrer que g est dérivable en 0.
2) Déterminer le sens de variation de la fonction g sur son ensemble de définition Dg.
3) En déduire le signe de g(x) sur Dg.
4) Terminer l'étude de g et dresser le tableau de variation de g.
5) Déterminer la position relative de (C) et de la droite Δ d'équation y=1.
6) Tracer (C) et la droite Δ.
Exercice 20
(C) et (Γ) sont les courbes d'équations respectives : y=2x et y=log2(x) dans un repère orthogonal.
M et N sont les points d'abscisse x situés respectivement sur (C) et (Γ).
On veut déterminer x de telle façon que la distance d(x) égale à MN soit la plus petite possible.
1) Tracer (C) et (Γ).
2) Montrer que d(x)=2x−log2(x).
3) Montrer que d′(x)>0 ⇔ x+log2x+2log2(ln2)>0.
4) Étudier la fonction φ : x↦ x+log2x+2log2(ln2) et conclure.
Mettre en évidence sur le graphique toute solution trouvée.
Exercice 21
Soit f la fonction définie sur R∗+ par : f(x)=xlnx, n≥2 et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; →i, →j).
1) Étudier la fonction f.
2) Examiner la limite en +∞ de f(x)x et de f(x)xn.
3) Représenter C.
4) Montrer que la courbe Γn d'équation y=xn et C se coupent en deux points : A(1, 1) et Bn dont l'abscisse αn est le terme général d'une suite géométrique.
Donner la limite de la suite (αn).
Exercice 22
On se propose de résoudre dans R∗+ l'équation E : 3x+4x=5x.
1) Montrer que : E ⇔ f(x)=1 où f(x)=(35)x+(45)x.
2) a) Étudier la fonction f.
b) En déduire que E a une unique solution α dans R∗+.
c) Donner la valeur de α.
Exercice 23
Dans cet exercice, on se propose de comparer les réels ax et xa avec x>0 et a∈N∖{0, 1}.
On note Ia l'inéquation : ax>xa.
Posons f(x)=xlna−alnx et g(x)=xlnx−x sur ]1, +∞[.
1) Montrer que : Ia ⇔ f(x)>0.
2) a) Étudier la fonction g.
b) Comparer alors les nombres a et alna suivant les valeurs de a.
3) Dresser le tableau de variation de f grâce à la question 2.
4) Conclure.
Exercice 24
Soit f la fonction définie sur R∗+ par :
{f(0)=1f(1)=0f(x)=e1lnxsi x>1
{f(0)=1f(1)=0f(x)=e1lnxsi x>1
C est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé direct (O; →i, →j).
Δ est la droite d'équation y=x.
1) a) Montrer que f est continue en 0 et continue à gauche en 1.
b) f est-elle continue à droite en 1 ?
c) Étudier les variations de f dans ]0, 1[ et dans ]1, +∞[.
2) a) Démontrer que : ∀x∈Df, (f∘f)(x)=x.
b) En déduire que pour tout x de Df,
M(x, y)∈C ⇔ N(y, x)∈C
c) En déduire une propriété remarquable de C.
3) a) Montrer que C a une tangente verticale au point A(0, 1).
b) En déduire que C a une tangente horizontale au point B(1, 0).
c) Déterminer l'intersection C∩Δ et vérifier qu'en chacun des points d'intersection de C et Δ, la tangente à C est perpendiculaire à Δ.
d) Construire C en tenant compte de toutes les questions précédentes.
Exercice 25
Soit f et g deux fonctions définies sur R par : f(x)=ln√x2+1etg(x)=7√x2
1) Étudier f et g et construire les courbes représentatives C et Γ de f et g ainsi que celle de la fonction ln; Cln dans un même repère orthogonal.
2) Calculer limx→+∞f(x)g(x)
3) Vérifier que C et Cln sont asymptotes.
4) Pour approcher les points éventuels de C∩Γ, on se satisfait de chercher ceux de Cln∩Γ.
a) Étudier la fonction h définies sur R∗+ par h(x)=x27−lnx.
b) Déterminer des valeurs approchées à 10−3 près des abscisses α et β des deux points de Cln∩Γ.
c) Estimer (f−g)(α) et (f−g)(β). Que peut-on en dire ?
Exercice 26
1) Soit f la fonction définie sur R par :
f(x)=ex+e−x2.
f(x)=ex+e−x2.
Étudier les limites de f quand x tend vers +∞ et −∞.
2) Résoudre dans R, l'inéquation 2(x4−1)+x(x2−1)≥0.
En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation suivante dans R :
2e2x+ex≥2e−2x+e−x
3) Soit la fonction g définie sur R par : g(x)=2[f(x)]2+f(x)−1.
Démontrer que pour tout x réel, g(x)=f(2x)+f(x). Montrer que g est paire, étudier ses variations et tracer sa représentation graphique Γ dans un repère orthonormal.
Exercice 27
Soit f et g les fonctions définies sur R∗ par :
f(x)=x2−x et g(x)=x−12x
1) Étudier les limites de f et de g aux bornes de leur ensemble de définition (on pourra poser u=xln2).
2) Étudier les variations des fonctions f et g.
3) Tracer Cf et Cg, courbes représentatives de f et g.
Commentaires
Oumar drame (non vérifié)
mer, 08/19/2020 - 16:09
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Se site est vraiment
HAKIZIMANA (non vérifié)
mar, 12/13/2022 - 10:34
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Bonjour merci énormément
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