Exercices d'entrainement types du Bac : Fonctions Logarithmes, Exponentielles et Puissances

Classe: 
Terminale

Exercice 1

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
 
a) ln(2x3)=1
 
b) ln(3x+5)ln(x2)=1
 
c) (lnx)24lnx+30
 
d) ln(2x1)+ln|x1|=ln(2x25x+5)
 
e) 1ex5
 
f) e2x33ex+60
 
g) ln(x+1)2x
 
h) ln(x+1x2)0
 
i) ex+2<e
 
j) (ex+11)(eex2)0

Exercice 2

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :
 
a) (2x3)(2x4)(x472)=0
 
b) 4x3×2x10=0
 
c) (37)x<9
 
d) x2<4
 
e) x22x
 
f) lnx+ln(10x2)=ln(11x2+7)ln2
 
g) 5x<101000

Exercice 3

Résoudre dans R les équations suivantes :
 
a) e3x+e2x10ex+8=0
 
b) e2x1e2x+22e3=0
 
c) 2ex4ex+2=0
 
d) e2x+ex+1+ex=e
 
e) Déterminer suivant m le nombre de solutions de l'équation (m1)ex+mex=2m

Exercice 4

Résoudre dans R2 les systèmes suivants :
 
(S1) : {lnx+lny=23lnx+2lny=4,(S2) : {ex+2ey=23ex4ey=1

(S3) : {ex2×ey3=1ln(2x)+lny=2ln2+ln3,(S4) : {ln(xy)=53ln(xy)=3

(S5) : {ln(xy)=73lnxlny=12,(S6) : {exe7=(1ey)3lnx2lny=ln4

 
(S7) : {exe3y+1=0ln(x+4)+ln(y+1)=ln3

Exercice 5

Déterminer les limites suivantes en + :
 
limx+x3ex+1,limx+ex+1e2x+3ex1,limx+exx+12x+x3+1
 
limx+1+x+x2e3x,limx+lnx7x,limx+e2x2x4+1

Exercice 6

Déterminer les limites suivantes en  :
 
limxx4ex+2,limxex+1e2x+3ex1,limxln(1+ex)e2x

Exercice 7

Déterminer les limites suivantes lorsque en 0 :
 
limx0ln(1+sinx)x,limx0(x4ln2x),limx0(3ln(x)+2x)
 
limx0e2x1x,limx0ex1xlnx,limx0e2xex2x

Exercice 8

Déterminer les ensembles de définitions des fonctions suivantes :
 
a) f(x)=ln(1lnx)
 
b) g(x)=ln|lnx|
 
c) h(x)=ln(52x)lnx
 
d) k(x)=ln|ex2|
 
e) m(x)=ln(4x2)
 
f) φ(x)=2ex
 
g) ψ(x)=ln|x25x+4|
 
h) χ(x)=lnxx21
 
i) τ(x)=3lnx
 
j) ι(x)=3lnx+2lnx1

Exercice 9

Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leurs ensembles de définition respectifs et donner la fonction dérivée associée :
 
f(x)=ln(2+x2x),g(x)=ln|x2x1|,φ(x)=(lnx)21
 
ψ(x)=(1lnx)3,κ(x)=ln(1+x2)x2,Φ(x)=ln(2xlnx)
 
χ(x)=exln(ex+1),ς(x)=e1lnx,π(x)=x(e1x1)
 
λ(x)=ex2x+23e4x,ξ(x)=xex,θ(x)=xex1ex1

Exercice 10

1) Réaliser l'étude de la fonction f : x 3e2x6ex1.
 
2) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
 
3) Justifier que f s'annule exactement une fois sur R et donner un encadrement à 102 près du "zéro" de f.
 
4) En déduire le tableau de variation de la fonction g définie sur R par g(x)=3e2x12ex2x+1.

Exercice 11

Soit k est un réel strictement positif.

On considère fk, la fonction définie sur R par fk(x)=ekx2  et soit  g, la fonction définie sur R par :
g(x)=ex2x2+1
1) Étudier la fonction fk, k étant fixé.
 
2) Déterminer la position relative des courbes Ck et Cρ représentatives des fonctions fk et fρ dans un repère orthogonal (O; i, j) avec 0<k<ρ.
 
3) Construire les courbes C1, C2 et C4.
 
4) Étudier la fonction g et montrer que sa courbe représentative Γ dans (O; i, j) est située dans la portion de plan délimitée par C1 et C2.

Exercice 12

On note α la solution de l'équation ex=2α0.69
 
1) Calculer f(α) sachant que f est la fonction définie par f(t)=e3t+et1et+2.
 
2) Résoudre dans R l'équation e2x3ex+2=0.
 
3)  Résoudre dans R l'inéquation ex+2ex3.

Exercice 13

1) On considère la fonction fk définie sur R par :
fk=exkxpour k]0; e[
a) Étudier le sens de variation de fk.
 
b) Prouver que pour tout réel x,  exkx>0.
 
2) Soit gk la fonction définie sur R par :
gk(x)=exexkxpour k]0; e[
a) Étudier gk  (limites et variations).
 
b) Étudier la position relative des courbes représentatives de gk  et  gk pour k<k.
 
c) Construire les courbes représentatives de g1  et  g2 dans un même repère. 

Exercice 14

f(x)=3x+ln(xex+e)+1.
 
1) Montrer que le point A(0, 1) est centre de symétrie de la courbe représentative C de f.
 
2) Montrer que C possède trois droites asymptotes.

Exercice 15

1) Démontrer à l'aide d'une étude de fonction que pour tout x0 :
ln(1+x)xx22
2) Démontrer que pour tout x0 :
ln(1+x)xx22+x33
3) La fonction f est définie sur [0, +[ par : f(0)=1 et pour x>0, f(x)=ln(1+x)x
 
a) Profiter de l'encadrement de ln(1+x) pour démontrer que f est dérivable en 0.
 
b) Terminer l'étude de f et la représenter dans un repère orthogonal.

Exercice 16

La fonction fa est définie sur R par fa(x)=ex2axa est un réel donné.
 
1) Déterminer les valeurs de a correspondant aux cas suivants :
 
a) fa(3)=1
 
b) fa(1)=2
 
2) Soit g la restriction de f1 à [0; 3].
 
a) Montrer que g est une bijection de [0; 3] sur un intervalle que l'on précisera.
 
b) Donner l'expression explicite de g1(x) pour x donné.

Exercice 17

φ et g sont les fonctions définies sur ]1, +[ par :
φ(x)=2x2x21ln(x21)etg(x)=ln(x21)x
f est la fonction définie sur ]0, +[ par :
f(x)=ln(e2x1)ex
1) a) Étudier la fonction φ.
 
b) Montrer que l'équation φ(x)=0 possède une unique solution, notée θ, dans ]1, +[. Vérifier que 3.19<θ<3.2.
 
2) a) Montrer que g est dérivable sur ]1, +[ et que g(x) est du signe de φ(x).
 
b) Dresser le tableau de variation de g sur ]1, +[.
 
c) Montrer que : g(θ)=2θθ21.
 
En déduire un encadrement de g(θ) d'amplitude 4×103.
 
3) a) Montrer que : xR+, f(x)=g(ex).
 
b) En déduire le tableau de variation de f.
 
c) Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthogonal après avoir précisé la position relative de C et de son asymptote horizontale.

Exercice 18

1) Montrer que pour tout x, x2+1x=1x2+1+x.
 
2) En déduire que la fonction φ définie sur R par φ(x)=ln(x+x2+1) est impaire.
 
3) Calculer la dérivée de φ. En déduire le tableau de variation de φ.

Exercice 19

(C) est la courbe représentative dans un repère orthonormé (O; i, j) de la fonction g définie par :
g(x)=x2(2lnx1)+1  si x>0  et  g(0)=1
1) Montrer que g est dérivable en 0.
 
2) Déterminer le sens de variation de la fonction g sur son ensemble de définition Dg.
 
3) En déduire le signe de g(x) sur Dg.
 
4) Terminer l'étude de g et dresser le tableau de variation de g.
 
5) Déterminer la position relative de (C) et de la droite Δ d'équation y=1.
 
6) Tracer (C) et la droite Δ.

Exercice 20

(C) et (Γ) sont les courbes d'équations respectives : y=2x et y=log2(x) dans un repère orthogonal.

M  et  N sont les points d'abscisse x situés respectivement sur (C)  et  (Γ).

On veut déterminer x de telle façon que la distance d(x) égale à MN soit la plus petite possible.
 
1) Tracer (C) et (Γ).
 
2) Montrer que d(x)=2xlog2(x).
 
3) Montrer que d(x)>0  x+log2x+2log2(ln2)>0.
 
4) Étudier la fonction φ : x x+log2x+2log2(ln2) et conclure.

Mettre en évidence sur le graphique toute solution trouvée.

Exercice 21

Soit f la fonction définie sur R+ par : f(x)=xlnx, n2 et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; i, j).
 
1) Étudier la fonction f.
 
2) Examiner la limite en + de f(x)x et de f(x)xn.
 
3) Représenter C.
 
4) Montrer que la courbe Γn d'équation y=xn et C se coupent en deux points : A(1, 1) et Bn dont l'abscisse αn est le terme général d'une suite géométrique.
 
Donner la limite de la suite (αn).

Exercice 22

On se propose de résoudre dans R+ l'équation E : 3x+4x=5x.
 
1) Montrer que : E  f(x)=1 où f(x)=(35)x+(45)x.
 
2) a) Étudier la fonction f.
 
b) En déduire que E a une unique solution α dans  R+.
 
c) Donner la valeur de α.

Exercice 23

Dans cet exercice, on se propose de comparer les réels ax et xa avec x>0  et  aN{0, 1}.
 
On note Ia l'inéquation : ax>xa.

Posons f(x)=xlnaalnx et g(x)=xlnxx sur ]1, +[.
 
1) Montrer que : Ia  f(x)>0.
 
2) a) Étudier la fonction g.
 
b) Comparer alors les nombres a et alna suivant les valeurs de a.
 
3) Dresser le tableau de variation de f grâce à la question 2.
 
4) Conclure.

Exercice 24

Soit f la fonction définie sur R+ par :
{f(0)=1f(1)=0f(x)=e1lnxsi x>1
C est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé direct (O; i, j).

Δ est la droite d'équation y=x.
 
1) a) Montrer que f est continue en 0 et continue à gauche en 1.
 
b) f est-elle continue à droite en 1 ?
 
c) Étudier les variations de f dans ]0, 1[ et dans ]1, +[.
 
2) a) Démontrer que : xDf, (ff)(x)=x.
 
b) En déduire que pour tout x  de  Df
M(x, y)C  N(y, x)C
c) En déduire une propriété remarquable de C.
 
3) a) Montrer que C a une tangente verticale au point A(0, 1). 
 
b) En déduire que C a une tangente horizontale au point B(1, 0).
 
c) Déterminer l'intersection CΔ et vérifier qu'en chacun des points d'intersection de C et Δ, la tangente à C est perpendiculaire à Δ.
 
d) Construire C en tenant compte de toutes les questions précédentes.

Exercice 25

Soit f et g deux fonctions définies sur R par : f(x)=lnx2+1etg(x)=7x2
 
1) Étudier f et g et construire les courbes représentatives C et Γ de f et g ainsi que celle de la fonction ln; Cln dans un même repère orthogonal.
 
2) Calculer limx+f(x)g(x)
 
3) Vérifier que C et Cln sont asymptotes.
 
4) Pour approcher les points éventuels de CΓ, on se satisfait de chercher ceux de ClnΓ.
 
a) Étudier la fonction h définies sur R+ par h(x)=x27lnx.
 
b) Déterminer des valeurs approchées à 103 près des abscisses α et β des deux points de ClnΓ.
 
c) Estimer (fg)(α) et (fg)(β). Que peut-on en dire ?

Exercice 26

1) Soit f la fonction définie sur R par :
f(x)=ex+ex2.
Étudier les limites de f quand x tend vers +  et  . 
 
2) Résoudre dans R, l'inéquation 2(x41)+x(x21)0.
 
En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation suivante dans R :
2e2x+ex2e2x+ex
3) Soit la fonction g définie sur R par : g(x)=2[f(x)]2+f(x)1.
 
Démontrer que pour tout x réel, g(x)=f(2x)+f(x). Montrer que g est paire, étudier ses variations et tracer sa représentation graphique Γ dans un repère orthonormal.

Exercice 27

Soit f et g les fonctions définies sur R par :
f(x)=x2x et g(x)=x12x
1) Étudier les limites de f et de g aux bornes de leur ensemble de définition (on pourra poser u=xln2).
 
2) Étudier les variations des fonctions f  et  g.
 
3) Tracer Cf et Cg, courbes représentatives de f  et  g.

 

Commentaires

Se site est vraiment important

Bonjour merci énormément votre site est le meilleur que je n'ai jamais rencontré merci

Ajouter un commentaire