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Exercices d'entrainement types du Bac : Fonctions Logarithmes, Exponentielles et Puissances

Classe:

Terminale

Exercice 1

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

$\ln(2x-3)=-1$

$\ln(3x+5)-\ln(x-2)=1$

$(\ln x)^{2}-4\ln x+3\geq 0$

$\ln(2x-1)+\ln|x-1|=\ln(2x^{2}-5x+5)$

$1\leq\mathrm{e}^{x}\leq 5$

$\mathrm{e}^{2x}-3\sqrt{3}\mathrm{e}^{x}+6\geq 0$

$\ln(x+1)\geq 2x$

$\ln\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)\leq 0$

$\mathrm{e}^{x+2}<\sqrt{\mathrm{e}}$

$(\mathrm{e}^{x+1}-1)\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{x^{2}}\right)\leq 0$

Exercice 2

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

$(2^{x}-3)(\sqrt{2}^{x}-4)\left(x^{\frac{4}{7}}-2\right)=0$

$4^{x}-3\times 2^{x}-10=0$

$\left(\dfrac{3}{7}\right)^{x}<9$

$x^{\sqrt{2}}<4$

$x^{\sqrt{2}}\leq\sqrt{2}^{x}$

$\ln x+\ln(10-x^{2})=\ln(11x^{2}+7)-\ln 2$

$\sqrt{5}^{x}<10^{1000}$

Exercice 3

Résoudre dans

$\mathbb{R}$ les équations suivantes :

$\mathrm{e}^{3x}+\mathrm{e}^{2x}-10\mathrm{e}^{x}+8=0$

$\mathrm{e}^{2x-1}-\sqrt{\mathrm{e}^{2x+2}}-2\mathrm{e}^{3}=0$

$2\mathrm{e}^{x}-4\mathrm{e}^{-x}+2=0$

$-\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{x+1}+\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}$

e) Déterminer suivant

$m$ le nombre de solutions de l'équation

$(m-1)\mathrm{e}^{x}+m\mathrm{e}^{-x}=2m$

Exercice 4

Résoudre dans

$\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants :

$(S_{1})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \ln x+\ln y&=&2\\ 3\ln x+2\ln y&=&4 \end{array}\right.\;,\qquad(S_{2})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \mathrm{e}^{x}+2\mathrm{e}^{y} &=& 2\\ 3\mathrm{e}^{x}-4\mathrm{e}^{y} &=& 1 \end{array}\right.$

$(S_{3})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \mathrm{e}^{x-2}\times\mathrm{e}^{y-3} &=& 1\\ \ln(2x)+\ln y &=& 2\ln 2+\ln 3 \end{array}\right.\;,\qquad (S_{4})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \ln(xy) &=& 5\\ \\ 3\ln\left(\dfrac{x}{y}\right) &=& 3 \end{array}\right.$

$(S_{5})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \ln(xy) &=& 7\\ 3\ln x\cdot\ln y &=& 12 \end{array}\right.\;,\qquad(S_{6})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{7}}&=& \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{y}}\right)^{3} \\ \\ \ln x-2\ln y &=& \ln 4 \end{array}\right.$

$(S_{7})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{3y+1} &=& 0\\ -\ln(x+4)+\ln(y+1) &=& \ln 3 \end{array}\right.$

Exercice 5

Déterminer les limites suivantes en

$+\infty\ :$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{3}-\mathrm{e}^{x}+1\;,\qquad\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}-1}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}-x+1}{2^{x}+x^{3}+1}$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}1+x+x^{2}-\mathrm{e}^{3x}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt{7}^{x}}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{2x^{2}}}{x^{4}+1}$

Exercice 6

Déterminer les limites suivantes en

$-\infty\ :$

$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^{4}-\mathrm{e}^{-x}+2\;,\qquad\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}-1}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{\ln\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}{\mathrm{e}^{2x}}$

Exercice 7

Déterminer les limites suivantes lorsque en 0 :

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(1+\sin x)}{x}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow 0}(x^{4}\ln^{2}x)\;,\qquad\lim_{x\rightarrow 0}\left(-3\ln(-x)+\dfrac{2}{x}\right)$

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-1}{x}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{-x}-1}{x\ln x}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{-x}}{2x}$

Exercice 8

Déterminer les ensembles de définitions des fonctions suivantes :

$f(x)=\ln(1-\ln x)$

$g(x)=\ln|\ln x|$

$h(x)=\dfrac{\ln(5-2x)}{\ln x}$

$k(x)=\ln|\mathrm{e}^{x}-2|$

$m(x)=\ln(4-x^{2})$

$\varphi(x)=\sqrt{2-\mathrm{e}^{x}}$

$\psi(x)=\ln|x^{2}-5x+4|$

$\chi(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}-1}$

$\tau(x)=\sqrt{3-\ln x}$

$\iota(x)=3\ln x+\dfrac{2}{\ln x-1}$

Exercice 9

Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leurs ensembles de définition respectifs et donner la fonction dérivée associée :

$f(x)=\ln\left(\dfrac{2+x}{2-x}\right)\;,\qquad g(x)=\ln\left|\dfrac{x-2}{x-1}\right|\;,\qquad\varphi(x)=\sqrt{(\ln x)^{2}-1}$

$\psi(x)=(1-\ln x)^{3}\;,\qquad\kappa(x)=\dfrac{\ln(1+x^{2})}{x^{2}}\;,\qquad\Phi(x)=\ln(2x\ln x)$

$\chi(x)=\mathrm{e}^{x}-\ln(\mathrm{e}^{x}+1)\;,\qquad\varsigma(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{\ln x}}\;,\qquad\pi(x)=x\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1\right)$

$\lambda(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{x+2}-3\mathrm{e}^{-4x}\;,\qquad\xi(x)=x\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\;,\qquad\theta(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}-1}$

Exercice 10

1) Réaliser l'étude de la fonction

$f\ :\ x\mapsto\ 3\mathrm{e}^{2x}-6\mathrm{e}^{x}-1.$

2) Construire la courbe représentative de

$f$ dans un repère orthogonal.

3) Justifier que

$f$ s'annule exactement une fois sur

$\mathbb{R}$ et donner un encadrement à

$10^{-2}$ près du "zéro" de

$f.$

4) En déduire le tableau de variation de la fonction

$g$ définie sur

$\mathbb{R}$ par

$g(x)=3\mathrm{e}^{2x}-12\mathrm{e}^{x}-2x+1.$

Exercice 11

Soit

$k$ est un réel strictement positif.

On considère

$f_{k}$ , la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f_{k}(x)=\mathrm{e}^{-kx^{2}}\$ et soit

$\ g$ , la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-x^{2}}}{x^{2}+1}$

1) Étudier la fonction

$f_{k}\;,\ k$ étant fixé.

2) Déterminer la position relative des courbes

$\mathcal{C}_{k}$ et

$\mathcal{C}_{\rho}$ représentatives des fonctions

$f_{k}$ et

$f_{\rho}$ dans un repère orthogonal

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ avec

$0<k<\rho.$

3) Construire les courbes

$\mathcal{C}_{1}\;,\ \mathcal{C}_{2}$ et

$\mathcal{C}_{4}.$

4) Étudier la fonction

$g$ et montrer que sa courbe représentative

$\Gamma$ dans

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ est située dans la portion de plan délimitée par

$\mathcal{C}_{1}$ et

$\mathcal{C}_{2}.$

Exercice 12

On note

$\alpha$ la solution de l'équation

$\mathrm{e}^{x}=2\alpha\approx 0.69$

1) Calculer

$f(\alpha)$ sachant que

$f$ est la fonction définie par

$f(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{3t}+\mathrm{e}^{t}-1}{\mathrm{e}^{-t}+2}.$

2) Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'équation

$\mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^{x}+2=0.$

3) Résoudre dans

$\mathbb{R}$ l'inéquation

$\mathrm{e}^{x}+2\mathrm{e}^{-x}\geq 3.$

Exercice 13

1) On considère la fonction

$f_{k}$ définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f_{k}=\mathrm{e}^{x}-kx\quad\text{pour }k\in\;]0\;;\ \mathrm{e}[$

a) Étudier le sens de variation de

$f_{k}$ .

b) Prouver que pour tout réel

$x$ ,

$\ \mathrm{e}^{x}-kx>0$ .

2) Soit

$g_{k}$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$g_{k}(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-kx}\quad\text{pour }k\in\;]0\;;\ \mathrm{e}[$

a) Étudier

$g_{k}\$ (limites et variations).

b) Étudier la position relative des courbes représentatives de

$g_{k}\$ et

$\ g_{k'}$ pour

$k<k'.$

c) Construire les courbes représentatives de

$g_{1}\$ et

$\ g_{2}$ dans un même repère.

Exercice 14

$f(x)=3x+\ln\left(\dfrac{x-\mathrm{e}}{x+\mathrm{e}}\right)+1.$

1) Montrer que le point

$A(0,\ 1)$ est centre de symétrie de la courbe représentative

$\mathcal{C}$ de

$f.$

2) Montrer que

$\mathcal{C}$ possède trois droites asymptotes.

Exercice 15

1) Démontrer à l'aide d'une étude de fonction que pour tout

$x\geq 0$ :

$\ln(1+x)\geq x-\dfrac{x^{2}}{2}$

2) Démontrer que pour tout

$x\leq 0$ :

$\ln(1+x)\geq x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}$

3) La fonction

$f$ est définie sur

$[0,\ +\infty[$ par :

$f(0)=1\text{ et pour }x>0\;,\ f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$

a) Profiter de l'encadrement de

$\ln(1+x)$ pour démontrer que

$f$ est dérivable en 0.

b) Terminer l'étude de

$f$ et la représenter dans un repère orthogonal.

Exercice 16

La fonction

$f_{a}$ est définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f_{a}(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-ax}$ où

$a$ est un réel donné.

1) Déterminer les valeurs de

$a$ correspondant aux cas suivants :

$f_{a}(3)=1$

$f_{a}(1)=2$

2) Soit

$g$ la restriction de

$f_{-1}$ à

$[0\;;\ 3]$ .

a) Montrer que

$g$ est une bijection de

$[0\;;\ 3]$ sur un intervalle que l'on précisera.

b) Donner l'expression explicite de

$g^{-1}(x)$ pour

$x$ donné.

Exercice 17

$\varphi$ et

$g$ sont les fonctions définies sur

$]1,\ +\infty[$ par :

$\varphi(x)=\dfrac{2x^{2}}{x^{2}-1}-\ln(x^{2}-1)\quad\text{et}\quad g(x)=\dfrac{\ln(x^{2}-1)}{x}$

$f$ est la fonction définie sur

$]0,\ +\infty[$ par :

$f(x)=\dfrac{\ln(\mathrm{e}^{2x}-1)}{\mathrm{e}^{x}}$

1) a) Étudier la fonction

$\varphi$ .

b) Montrer que l'équation

$\varphi(x)=0$ possède une unique solution, notée

$\theta$ , dans

$]1,\ +\infty[.$ Vérifier que

$3.19<\theta<3.2.$

2) a) Montrer que

$g$ est dérivable sur

$]1,\ +\infty[$ et que

$g'(x)$ est du signe de

$\varphi(x).$

b) Dresser le tableau de variation de

$g$ sur

$]1,\ +\infty[.$

c) Montrer que :

$g(\theta)=\dfrac{2\theta}{\theta^{2}-1}$ .

En déduire un encadrement de

$g(\theta)$ d'amplitude

$4\times 10^{-3}.$

3) a) Montrer que :

$\forall\;x\in\mathbb{R}_{+}^{*}\;,\ f(x)=g(\mathrm{e}^{x}).$

b) En déduire le tableau de variation de

$f$ .

c) Construire la courbe représentative

$\mathcal{C}$ de

$f$ dans un repère orthogonal après avoir précisé la position relative de

$\mathcal{C}$ et de son asymptote horizontale.

Exercice 18

1) Montrer que pour tout

$x$ ,

$\sqrt{x^{2}+1}-x=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.$

2) En déduire que la fonction

$\varphi$ définie sur

$\mathbb{R}$ par

$\varphi(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ est impaire.

3) Calculer la dérivée de

$\varphi$ . En déduire le tableau de variation de

$\varphi.$

Exercice 19

$(\mathcal{C})$ est la courbe représentative dans un repère orthonormé

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ de la fonction

$g$ définie par :

$g(x)=x^{2}(2\ln x-1)+1\;\ \text{ si }x>0\;\ \text{ et }\;\ g(0)=1$

1) Montrer que

$g$ est dérivable en 0.

2) Déterminer le sens de variation de la fonction

$g$ sur son ensemble de définition

$D_{g}.$

3) En déduire le signe de

$g(x)$ sur

$D_{g}.$

4) Terminer l'étude de

$g$ et dresser le tableau de variation de

$g$ .

5) Déterminer la position relative de

$(\mathcal{C})$ et de la droite

$\Delta$ d'équation

$y=1.$

6) Tracer

$(\mathcal{C})$ et la droite

$\Delta$ .

Exercice 20

$(\mathcal{C})$ et

$(\Gamma)$ sont les courbes d'équations respectives :

$y=2^{x}\;\text{ et }\; y=\log_{2}(x)$ dans un repère orthogonal.

$M\$ et

$\ N$ sont les points d'abscisse

$x$ situés respectivement sur

$(\mathcal{C})\$ et

$\ (\Gamma).$

On veut déterminer

$x$ de telle façon que la distance

$d(x)$ égale à

$MN$ soit la plus petite possible.

1) Tracer

$(\mathcal{C})$ et

$(\Gamma)$ .

2) Montrer que

$d(x)=2^{x}-\log_{2}(x)$ .

3) Montrer que

$d'(x)>0\ \Leftrightarrow\ x+\log_{2} x+2\log_{2}(\ln 2)>0.$

4) Étudier la fonction

$\varphi\ :\ x\mapsto\ x+\log_{2} x+2\log_{2}(\ln 2)$ et conclure.

Mettre en évidence sur le graphique toute solution trouvée.

Exercice 21

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}_{+}^{*}$ par :

$f(x)=x^{\ln x}\;,\ n\geq 2$ et

$\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$

1) Étudier la fonction

$f$ .

2) Examiner la limite en

$+\infty$ de

$\dfrac{f(x)}{x}$ et de

$\dfrac{f(x)}{x^{n}}.$

3) Représenter

$\mathcal{C}$ .

4) Montrer que la courbe

$\Gamma_{n}$ d'équation

$y=x^{n}$ et

$\mathcal{C}$ se coupent en deux points :

$A(1,\ 1)$ et

$B_{n}$ dont l'abscisse

$\alpha_{n}$ est le terme général d'une suite géométrique.

Donner la limite de la suite

$(\alpha_{n})$ .

Exercice 22

On se propose de résoudre dans

$\mathbb{R}_{+}^{*}$ l'équation

$E\ :\ 3^{x}+4^{x}=5^{x}.$

1) Montrer que :

$E\ \Leftrightarrow\ f(x)=1\;\text{ où }\;f(x)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x}.$

2) a) Étudier la fonction

$f$ .

b) En déduire que

$E$ a une unique solution

$\alpha$ dans

$\mathbb{R}_{+}^{*}.$

c) Donner la valeur de

$\alpha$ .

Exercice 23

Dans cet exercice, on se propose de comparer les réels

$a^{x}$ et

$x^{a}$ avec

$x>0\$ et

$\ a\in\;\mathbb{N}\setminus\{0,\ 1\}.$

On note

$I_{a}$ l'inéquation :

$a^{x}>x^{a}$ .

Posons

$f(x)=x\ln a-a\ln x$ et

$g(x)=\dfrac{x}{\ln x}-x\;\;\text{ sur }]1,\ +\infty[.$

1) Montrer que :

$I_{a}\ \Leftrightarrow\ f(x)>0.$

2) a) Étudier la fonction

$g$ .

b) Comparer alors les nombres

$a$ et

$\dfrac{a}{\ln a}$ suivant les valeurs de

$a.$

3) Dresser le tableau de variation de

$f$ grâce à la question 2.

4) Conclure.

Exercice 24

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}_{+}^{*}$ par :

$\left\{\begin{array}{lcl} f(0) &=& 1\\ f(1) &=& 0\\ f(x) &=& \mathrm{e}^{\frac{1}{\ln x}}\quad\text{si }x>1 \end{array}\right.$

$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de

$f$ dans un repère orthonormé direct

$(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$

$\Delta$ est la droite d'équation

$y=x$ .

1) a) Montrer que

$f$ est continue en 0 et continue à gauche en 1.

$f$ est-elle continue à droite en 1 ?

c) Étudier les variations de

$f$ dans

$]0,\ 1[$ et dans

$]1,\ +\infty[.$

2) a) Démontrer que :

$\forall\;x\in\;D_{f}\;,\ (f\circ f)(x)=x.$

b) En déduire que pour tout

$x\$ de

$\ D_{f}$ ,

$M(x,\ y)\in\mathcal{C}\ \Leftrightarrow\ N(y,\ x)\in\mathcal{C}$

c) En déduire une propriété remarquable de

$\mathcal{C}.$

3) a) Montrer que

$\mathcal{C}$ a une tangente verticale au point

$A(0,\ 1).$

b) En déduire que

$\mathcal{C}$ a une tangente horizontale au point

$B(1,\ 0).$

c) Déterminer l'intersection

$\mathcal{C}\cap\Delta$ et vérifier qu'en chacun des points d'intersection de

$\mathcal{C}$ et

$\Delta$ , la tangente à

$\mathcal{C}$ est perpendiculaire à

$\Delta.$

d) Construire

$\mathcal{C}$ en tenant compte de toutes les questions précédentes.

Exercice 25

Soit

$f$ et

$g$ deux fonctions définies sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\ln\sqrt{x^{2}+1}\quad\text{et}\quad g(x)=\sqrt[7]{x^{2}}$

1) Étudier

$f$ et

$g$ et construire les courbes représentatives

$\mathcal{C}$ et

$\Gamma$ de

$f$ et

$g$ ainsi que celle de la fonction

$\ln\;;\ \mathcal{C}_{\ln}$ dans un même repère orthogonal.

2) Calculer

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$

3) Vérifier que

$\mathcal{C}$ et

$\mathcal{C}_{\ln}$ sont asymptotes.

4) Pour approcher les points éventuels de

$\mathcal{C}\cap\Gamma$ , on se satisfait de chercher ceux de

$\mathcal{C}_{\ln}\cap\Gamma.$

a) Étudier la fonction

$h$ définies sur

$\mathbb{R}_{+}^{*}$ par

$h(x)=x^{\frac{2}{7}}-\ln x.$

b) Déterminer des valeurs approchées à

$10^{-3}$ près des abscisses

$\alpha$ et

$\beta$ des deux points de

$\mathcal{C}_{\ln}\cap\Gamma.$

c) Estimer

$(f-g)(\alpha)$ et

$(f-g)(\beta)$ . Que peut-on en dire ?

Exercice 26

1) Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}.$

Étudier les limites de

$f$ quand

$x$ tend vers

$+\infty\$ et

$\ -\infty.$

2) Résoudre dans

$\mathbb{R}$ , l'inéquation

$2(x^{4}-1)+x(x^{2}-1)\geq 0.$

En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation suivante dans

$\mathbb{R}$ :

$2\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{x}\geq 2\mathrm{e}^{-2x}+\mathrm{e}^{-x}$

3) Soit la fonction

$g$ définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$g(x)=2[f(x)]^{2}+f(x)-1.$

Démontrer que pour tout

$x$ réel,

$g(x)=f(2x)+f(x)$ . Montrer que

$g$ est paire, étudier ses variations et tracer sa représentation graphique

$\Gamma$ dans un repère orthonormal.

Exercice 27

Soit

$f$ et

$g$ les fonctions définies sur

$\mathbb{R}^{*}$ par :

$f(x)=x2^{-x}\quad\text{ et }\quad g(x)=x^{-1}2^{x}$

1) Étudier les limites de

$f$ et de

$g$ aux bornes de leur ensemble de définition (on pourra poser

$u=x\ln 2$ ).

2) Étudier les variations des fonctions

$f\$ et

$\ g$ .

3) Tracer

$\mathcal{C}_{f}$ et

$\mathcal{C}_{g}$ , courbes représentatives de

$f\$ et

$\ g$ .

Commentaires

Oumar drame (non vérifié)

mer, 08/19/2020 - 16:09

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Se site est vraiment

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HAKIZIMANA (non vérifié)

mar, 12/13/2022 - 10:34

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Bonjour merci énormément

Bonjour merci énormément votre site est le meilleur que je n'ai jamais rencontré merci

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Commentaires

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