Exercices d'entrainement types du Bac : Géométrie

Classe: 
Terminale

I Fonctions de Leibniz

Exercice 1

Soit ABCD un rectangle dans le plan.
Déterminer dans chacun des cas suivants, l'ensemble des points M du plan tels que :

a) M barycentre de (A, 1),  (B, k) et (C, k) ;  k décrivant R

b) ||MA+MB+MC||=||MC+2MD||

c) ||MA+MB+MC+MD||=||MB2MC+MD||

d) (MAMB+MD)(MA+MBMD)=0

e)  (2MA+MB+MD)(2MA+MB+MD)=0

Exercice 2

Soit ABC un triangle tel que AB=AC=5 et BC=6.

1) Calculer ABAC

2) Soit G barycentre de (A, 2),  (B, 3) et (C, 3)

a) Calculer AG

b) Soit f(M) une fonction scalaire de Leibniz. Montrer que

 f(M)=4MG2+f(G). Posons f(M)=2MBMC+MA(MC+MB)

c) Calculer f(A) et f(G)

d) Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M)=f(A).

Exercice 3

On considère dans le plan un parallélogramme ABCD et M un point du plan.

Déterminer la nature de l'application f du plan dans lui même qui, à tout point M, associe le point M tel que:

a) M soit le barycentre du système (A, 1),  (B, 1),  (C, 1),  (D, 1),  (M, 1)

b) M soit le barycentre de (B, 1),  (C, 1),  (D, 1) et (M, 1)

Exercice 4

Soient huit points A,  B,  C,  D,  E,  F,  G et H.

1) Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, D est le barycentre du système M soit le barycentre du système (A, 1),  (B, 1),  (C, 1).
On suppose désormais que ABCD et EFGH sont des parallélogramme et on considère les points I, J,  K et L les milieux respectifs de [AE],  [BF],  [CG] et [DH]

2) Montrer que IJKL est un parallélogramme.

3) Soient O,  P et Q les centres respectifs des parallélogrammes IJKL,  ABCD et EFGH. Montrer que O est le milieu de [PQ].

Exercice 5

On considère un triangle ABC du plan.
1) a) Déterminer et construire le point G barycentre de (A, 1),  (B, 1) et (C, 1)

b) Déterminer et construire le point G barycentre de (A, 1),  (B, 5) et (C, 2)

2) a) Soit J le milieu de [AB]. Exprimer GG et JG en fonction de AB et AC et en déduire l'intersection des droites (GG) et (AB).

b) Montrer que le barycentre I de (B, 2) et (C, 1) appartient à (GG).

3) Soit D un point du plan, O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].

a) Déterminer trois réels a,  d et c tels que K soit le barycentre de (A, a),  (D, d) et (C, c)

b) Soit N le point d'intersection de (DK) et (AC). Déterminer les réels a et c tels que N soit le barycentre de (A, a) et (C, c)

II Angles

Exercice 1

Deux cordes orthogonales [AB] et [CD] d'un cercle se coupent en P.
Montrer que la médiane du triangle PBC issue de P est une hauteur du triangle PAD.

Exercice 2

Soit ABC un triangle isocèle en A, C est son cercle circonscrit. M est un point de C et P l'intersection des droites (AM) et (BC).
Montrer que le cercle circonscrit au triangle BMP est tangent en B à (AB).

III Transformations - Isométries

Exercice 1

Soit f l'application définie par : {x=x2y=y+1

1) Déterminer InVf

2) Montrer que f est une translation de vecteur de vecteur u dont on donnera les coordonnées.

3) Déterminer les images de A(12) ; C(A(03),5) et de Δ:y2x+1=0

Exercice 2

Soit C(O; 4) le cercle passant par A ; à tout point M de C on associe le point N tel que OANM soit un parallélogramme.
Quel est le lieu géométrique de N quand M décrit (C)?

Exercice 3

Soit f une application définie par : {x=2x1y=2y+3

1) Déterminer InVf

2) Montrer que f est une homothétie dont on donnera les éléments caractéristiques

3) Déterminer l'expression complexe

4) Déterminer les images de O ,  C(I(13),5) et de Δ:2xy+1=0

5) Soit g la transformation définie par : z=2z+1i.
Donner la nature et les éléments caractéristiques de g.

Exercice 4

Soient C1(O1; R1) et C2(O2; R2) deux cercles.
Construire les centres des homothéties qui transforment C1 en C2 et déterminer leur rapport.

Exercice 5

Soit Δ une droite ; A,  B Δ.
A tout point MΔ on associe le point G centre de gravité de ABM.
Déterminer le lieu de G.

Exercice 6

Soit C(O; 3) le cercle de centre O et de rayon 3. AC ; à tout point MC on associe le point N isobarycentre de OAM.
Quel est le lieu de N ?

Exercice 7

Soit f une application définie par : {x=15(3x+4y12)y=15(4x+3y+6)

1) Montrer que f est une isométrie

2) Montrer que f est une symétrie centrale dont on précisera l'axe.

Exercice 8

Soit ABCD un carré de centre de gravité O.

1) Décomposer r(A, π2)

2) Donner la nature et les éléments caractéristiques de :

tABr(A, π2) et r(O, π2)r(A, π4)

3) Donner la nature des transformations suivantes :

s(AB)r(A, π2) ;  r(A, π2)r(B, π) et tACr(A, π)

Exercice 9

Soit f une application définie par : {x=12(x+y3+1)y=12(x3+y+3)

a) Montrer que f est une isométrie

b) Déterminer Invf. En déduire que f est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.

Exercice 10

Soit (Δ) : 2xy3=0 et (Δ) : x+y2=0

Déterminer l'expression analytique de l'affinité d'axe (Δ), de direction (Δ) et de rapport 2.

IV Coniques

Exercice 1

Donner la nature et les éléments caractéristiques (foyer, directrice et paramètre) de :

a) y2=3x

b) x29+y24=1

c) 4x23x+y24y=5

d) y2=x+4

e) 4x22xy2+6y=0

f) y2=x24

g) x2+y24=1

h) y2+5y=2x3

i) 9y2+4x2=1

Exercice 2

Trouver l'équation de la conique de foyer F(3; 2) de directrice d:y=2 et d'excentricité e=1/2 puis donner les éléments caractéristiques.

Exercice 3

Soit P la parabole de foyer F, de directrice (Δ), de paramètre p et d'équation y2=2px

1) Tracer la courbe (P)

2) Montrer qu'en tout point M0(x0y0) , la tangente (T) a pour équation : pxy0y+px0=0

3) Montrer que

a) en tout point M0 de (P) de projeté orthogonal H sur (Δ), la tangente est la médiatrice de [FH]

b) le projeté orthogonal de F sur toute droite tangente appartient à la tangente à (P) au sommet S

c) si la tangente à (P) en un point M0 différent de S coupe la directrice en un point T1, alors ^M0FT1=π2

Exercice 4

Soit E l'ellipse de centre I(40) et dont A(10) est l'un des sommets et O un foyer.

1) Déterminer les trois (3) autres sommets de  E.

2) Calculer l'excentricité e et donner l'équation de E.

V Courbes paramétrées

Exercice 1

Donner une étude de la courbe paramétrée définie par :

{x(t)=sin2ty(t)=sin3t

VI Ensembles de points dans l'espace

Exercice 1

Déterminer le lieu des points M(xyz) de l'espace vérifiant :

a) 2x+y=0

b) 9x2=4z2

c) x2=1

d) (2x+3yz)(x+y3z+4)=0

e) 2x+3yz=0 et x+y3z+4=0

f) x2+y2+z28x+7y6z=0

g) x2+y2+z2+2x+3y+6z=k ;  kR

h) x2+y2=9 et 1z3

i) x12=y+23=z+14

j) {x=1+t2y=32t2 ; tR

Exercice 2

Soient A,  B et C trois points non alignés de l'espace.
Déterminer les ensembles E1 et E2 des points M de l'espace vérifiant respectivement :

(2AM+3BMCM)(AM+BM2CM)=0

(2MA+MB+MC)(MA+MB+2MC)=0

Exercice 3

Dans le plan P, on considère le triangle ABC isocèle en A et de hauteur [AH] tel que AH=BC=4.

1) Construire le barycentre G du système de points pondérés (A, 2),  (B, 1) et (C, 1).

2) M est un point quelconque de P.

a) Montrer que le vecteur v=2MAMBMC a pour norme 8.

b) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan P tels que ||v||=||2MA+MB+MC||
c) Déterminer et construire l'ensemble Γn, nN, des points M du plan P tels que n×||v||=||2MA+n.MB+n.MC||
d) Pour quelles valeurs de n;  nR+,  Γn contient-il le point B.

Exercice 4

Dans l'espace, on considère un tétraèdre EABCD dont la base ABCD est un parallélogramme.

1) Montrer que B  est le barycentre de (A, 1),  (C, 1) et (D, 1) et que le milieu I de [CD] est le barycentre de (A, 1),  (B, 1) et (C, 2)

2) Déterminer l'ensemble des points M barycentres du système (A, α+β),  (B, α),  (D, β) et (E, 1) lorsque (α, β) décrit R2.

3) Déterminer l'ensemble des points M vérifiant :

a) ||MAMB+2MC||=||2MA+2MC2MD||

b) ||MAMB+2MC||=||MAMBMC+MD||

c) (MAMB+2MC)(MA+MCMD)=0

d) (MAMB+2MC)(MB+MD2MA)=0

Exercice 5

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k).

1) Représenter les points M(x, y, z) tels que {x0; y0; z02x+32y+3z6

2) a) Placer les points A(121), B(230), C(022) et D(113).

b) Montrer que les vecteurs n1(101), n2(121), n3(121) et n4(143) sont respectivement normaux aux plans (ABC),  (ABD),  (ACD) et (BCD).

c) En déduire à l'aide d'un système d'inéquations une caractérisation de l'intérieur fermé I du tétraèdre ABCD.

VII Orthogonalité - Équations de droites et de plans

Exercice 1

1) Trouver une équation paramétrique de (Δ) d'équation {x2y+z=02xy+z1=0

2) Déterminer l'équation du plan qui passe par A(111) et qui est perpendiculaire à la droite (D) d'équation {xy+z1=02xy1=0

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k).

On donne les points A(200), B(211), C(110) et D(101).

1) Montrer que A,  B,  C et D ne sont pas coplanaires.

2) Montrer que ABCD est un tétraèdre régulier.

3) Vérifier que les droites (AC) et (BD) sont orthogonales.

Exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k).

On donne A(123), B(125), C(132) et D(002).

1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

2) Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur Π de [AB].

3) a) Quelle construction rapide peut-on envisager du barycentre E du système (A; 1),  (B; 2),  (C; 1) et (D; 4) ?

b) E appartient-il à Π ?

4) Déterminer une équation cartésienne du plan P perpendiculaire à Π et contenant (CD).

Exercice 4

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k).

D est la droite de système paramétrique : {x=2+ty=1+3tz=5+2t , tR

Δ est la droite de repère : A(101), u(112)

1) Donner un repère de D. Le point E(321) appartient-il à D ?

2) D et Δ sont-elles coplanaires ?

3) P est le plan contenant D et A.

a) Donner une équation de P.

b) Q a pour équation 2x+y+3z12=0. Donner PQ.

c) Donner les points de Q situés sur les axes du repère (O; i, j, k) et en donner une représentation en perspective.

4) Déterminer QQ1Q2Q1 et Q2 sont les plans d'équations respectives xy+3z9=0 et 2x+3y5z+10=0.

Exercice 5

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k).

1) Écrire une équation du plan P1 passant par les points A(121), B(311) et C(102).

2) Écrire une équation du plan P2 contenant la droite Δ de système paramétrique : {x=1+ty=2tz=1t , tR sachant qu'en outre P2 est perpendiculaire au plan Q d'équation 2x+y+z5=0

3) Donner un repère orthonormé du plan P3 d'équation x+2yz2=0

4) Vérifier que P1 et P2 sont sécants et que P2 et P3 sont perpendiculaires.

5) {F}=P1P2P3. Calculer les coordonnées du point F.  F appartient-il à Δ ?

Exercice 6

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k).

Δ est la droite de système paramétrique : {x=1+3ty=4+2tz=5+4t , tR

P est le plan dont un équation est 3x+2y+4z12=0.

A(230), B(252), C(022) et D(229) sont quatre points de l'espace.

1) Déterminer les points du plan P situés sur les axes du repère et en déduire une mise en perspective du plan P.

2) Vérifier que les points A,  B et C sont des points de P et D un point de Δ.

3) A,  B et C sont-ils alignés ?

4) Montrer (rapidement!) que ABCD est un tétraèdre, c'est-à-dire que les points A,  B,  C et D ne sont pas coplanaires.

5) Le tétraèdre ABCD est-il régulier ?

6) a) Montrer que Δ et P sont perpendiculaires et calculer les coordonnées de leur point d'intersection noté H.

b) Calculer la distance DH.

c) Σ : x2+y2+z2+4x4y+18z311=0. Montrer que Σ est une sphère et que son intersection avec P est un cercle.

Exercice 7

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1.

1) a) Exprimer plus simplement le vecteur AB+AD+AE.

b) En déduire que le produit scalaire AGBD est nul.

c) Démontrer de même que le produit scalaire AGBE est nul.

d) Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).

2) Soit I le centre de gravité du triangle BDE. Déduire du 1)a) que le point I est le point d'intersection de la droite (AG) et du plan (BDE), et préciser la position du point I sur le segment [AG].

3) Dans cette question, l'espace est rapporté à un repère orthonormé (A; AB, AD, AE).

a) Écrire une équation du plan (BDE).

b) Écrire une représentation paramétrique de la droite Δ passant par le point H et orthogonale au plan (BDE).

c) Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droite Δ avec le plan (BDE).

d) En déduire la distance du point H au plan (BDE) puis le volume du tétraèdre HBDE.

 

Exercice 8

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k).

A(210), B(111) et C(123) sont trois points de l'espace.

1) Calculer les coordonnées du barycentre H du système de points pondérés (A, 2),  (B, 1) et (C, 2).

2) Construire H.

3) Montrer que le vecteur 2MA+3MB5MC est indépendant du point M. Calculer ses coordonnées.

4) Déterminer l'ensemble des points de l'espace tels que : ||2MA+MB+2MC||=||2MA+3MB5MC||
5) a) Vérifier que les vecteurs AB et AC ne sont pas coplanaires.

b) Vérifier que le vecteur N(183) est un vecteur normal au plan (ABC). En déduire une équation de ce plan.

c) Q est le plan dont une équation est : 5x+y+z+3=0. Montrer que les plans Q et (ABC) sont perpendiculaires et déterminer leur intersection.


VIII Plan et sphère

Exercice 1

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k).
P est le plan d'équation x+2y+3z+9=0.
Σ a pour équation x2+y2+z22x+2y4z10=0.

1) Montrer que Σ est une sphère que l'on caractérisera.

2) Montrer que Σ et P sont sécants en un cercle noté C.

3) Faire une figure illustrant la situation du 2).

4) Calculer les coordonnées du point H centre de C et calculer le rayon r de C.

5) Vérifier que la droite Δ de repère (H; i+jk) est incluse dans P.
Déterminer ΔΣ et en déduire d'une autre façon le rayon r de C.

6) C étant inclus dans P, le plan Q de direction (i, k) passant par H coupe C en deux points dont on calculera les coordonnées. Retrouver encore d'une autre façon la valeur de r.

7) Vérifier que le système {x2+z2+2z1=0y=3 définit un cercle et qu'il s'agit de C

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k).
P est le plan d'équation x+2y3z=10. On donne A(2, 1, 1)

1) A appartient-il à P ?

2) Soit H le projeté orthogonal de A sur P.
Déterminer les coordonnées de H et calculer la distance d du point A au plan P.

3) Déterminer une équation de la sphère Σ de centre A et de rayon 3.

4) a) Montrer que Σ et P sont sécants après avoir rappeler une condition nécessaire et suffisante pour qu'un plan et une sphère soient sécants.

b) On note C=ΣP. Préciser le centre et le rayon de C.

Exercice 3

Soient trois points de l'espace A,  B,  C non alignés et soit k un réel de l'intervalle [1; 1].
On note Gk le barycentre du système (A, k2+1),  (B, k) et (C, k).

1) Représenter A,  B,  C, le point I milieu de [BC] et les points G1 et G1.

2) a) Montrer que pour tout réel k[1; 1], on a l'égalité : AGk=kk2+1BC
b) Établir le tableau de variation de la fonction f définie sur [1; 1] par : f(x)=xx2+1.
c) En déduire l'ensemble des points Gk quand k décrit l'intervalle [1; 1].

3) Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que ||2MA+MBMC||=||2MAMB+MC||
4) Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que ||2MA+MBMC||=||2MAMBMC||
5) L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal (O; u, v, w). Les points A,  B,  C ont pour coordonnées (0; 0; 2),  (1; 2; 1) et (1; 2; 5). Le point Gk et les ensembles E et F sont définis comme ci-dessus.

a) Calculer les coordonnées de G1 et G1. Montrer que les ensembles E et F sont sécants.

b) Calculer le rayon du cercle C intersection de E et F

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