Exercices d'entrainement types du Bac : Géométrie
I Fonctions de Leibniz
Exercice 1
Soit ABCD un rectangle dans le plan.
Déterminer dans chacun des cas suivants, l'ensemble des points M du plan tels que :
a) M barycentre de (A, 1), (B, k) et (C, −k) ; k décrivant R
b) ||→MA+→MB+→MC||=||→MC+2→MD||
c) ||→MA+→MB+→MC+→MD||=||→MB−2→MC+→MD||
d) (→MA−→MB+→MD)⋅(→MA+→MB−→MD)=0
e) (2→MA+→MB+→MD)⋅(−2→MA+→MB+→MD)=0
Exercice 2
Soit ABC un triangle tel que AB=AC=5 et BC=6.
1) Calculer →AB⋅→AC
2) Soit G barycentre de (A, 2), (B, 3) et (C, 3)
a) Calculer AG
b) Soit f(M) une fonction scalaire de Leibniz. Montrer que
f(M)=4MG2+f(G). Posons f(M)=2→MB⋅→MC+→MA⋅(→MC+→MB)
c) Calculer f(A) et f(G)
d) Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M)=f(A).
Exercice 3
On considère dans le plan un parallélogramme ABCD et M un point du plan.
Déterminer la nature de l'application f du plan dans lui même qui, à tout point M, associe le point M′ tel que:
a) M′ soit le barycentre du système (A, 1), (B, −1), (C, −1), (D, 1), (M, 1)
b) M′ soit le barycentre de (B, 1), (C, −1), (D, 1) et (M, 1)
Exercice 4
Soient huit points A, B, C, D, E, F, G et H.
1) Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, D est le barycentre du système M′ soit le barycentre du système (A, 1), (B, −1), (C, 1).
On suppose désormais que ABCD et EFGH sont des parallélogramme et on considère les points I, J, K et L les milieux respectifs de [AE], [BF], [CG] et [DH]
2) Montrer que IJKL est un parallélogramme.
3) Soient O, P et Q les centres respectifs des parallélogrammes IJKL, ABCD et EFGH. Montrer que O est le milieu de [PQ].
Exercice 5
On considère un triangle ABC du plan.
1) a) Déterminer et construire le point G barycentre de (A, 1), (B, −1) et (C, 1)
b) Déterminer et construire le point G′ barycentre de (A, 1), (B, 5) et (C, −2)
2) a) Soit J le milieu de [AB]. Exprimer →GG′ et →JG′ en fonction de →AB et →AC et en déduire l'intersection des droites (GG′) et (AB).
b) Montrer que le barycentre I de (B, 2) et (C, −1) appartient à (GG′).
3) Soit D un point du plan, O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].
a) Déterminer trois réels a, d et c tels que K soit le barycentre de (A, a), (D, d) et (C, c)
b) Soit N le point d'intersection de (DK) et (AC). Déterminer les réels a′ et c′ tels que N soit le barycentre de (A, a′) et (C, c′)
II Angles
Exercice 1
Deux cordes orthogonales [AB] et [CD] d'un cercle se coupent en P.
Montrer que la médiane du triangle PBC issue de P est une hauteur du triangle PAD.
Exercice 2
Soit ABC un triangle isocèle en A, C est son cercle circonscrit. M est un point de C et P l'intersection des droites (AM) et (BC).
Montrer que le cercle circonscrit au triangle BMP est tangent en B à (AB).
III Transformations - Isométries
Exercice 1
Soit f l'application définie par : {x′=x−2y′=y+1
1) Déterminer InVf
2) Montrer que f est une translation de vecteur de vecteur →u dont on donnera les coordonnées.
3) Déterminer les images de A(12) ; C(A(03),5) et de Δ:y−2x+1=0
Exercice 2
Soit C(O; 4) le cercle passant par A ; à tout point M de C on associe le point N tel que OANM soit un parallélogramme.
Quel est le lieu géométrique de N quand M décrit (C)?
Exercice 3
Soit f une application définie par : {x′=2x−1y′=2y+3
1) Déterminer InVf
2) Montrer que f est une homothétie dont on donnera les éléments caractéristiques
3) Déterminer l'expression complexe
4) Déterminer les images de O , C(I(13),5) et de Δ:2x−y+1=0
5) Soit g la transformation définie par : z′=2z+1−i.
Donner la nature et les éléments caractéristiques de g.
Exercice 4
Soient C1(O1; R1) et C2(O2; R2) deux cercles.
Construire les centres des homothéties qui transforment C1 en C2 et déterminer leur rapport.
Exercice 5
Soit Δ une droite ; A, B ∉Δ.
A tout point M∈Δ on associe le point G centre de gravité de ABM.
Déterminer le lieu de G.
Exercice 6
Soit C(O; 3) le cercle de centre O et de rayon 3. A∈C ; à tout point M∈C on associe le point N isobarycentre de OAM.
Quel est le lieu de N ?
Exercice 7
Soit f une application définie par : {x′=15(−3x+4y−12)y′=15(4x+3y+6)
1) Montrer que f est une isométrie
2) Montrer que f est une symétrie centrale dont on précisera l'axe.
Exercice 8
Soit ABCD un carré de centre de gravité O.
1) Décomposer r(A, π2)
2) Donner la nature et les éléments caractéristiques de :
t→AB∘r(A, π2) et r(O, π2)∘r(A, π4)
3) Donner la nature des transformations suivantes :
s(AB)∘r(A, π2) ; r(A, π2)∘r(B, π) et t→AC∘r(A, π)
Exercice 9
Soit f une application définie par : {x′=12(x+y√3+1)y′=12(−x√3+y+√3)
a) Montrer que f est une isométrie
b) Déterminer Invf. En déduire que f est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
Exercice 10
Soit (Δ) : 2x−y−3=0 et (Δ′) : x+y−2=0
Déterminer l'expression analytique de l'affinité d'axe (Δ), de direction (Δ′) et de rapport 2.
IV Coniques
Exercice 1
Donner la nature et les éléments caractéristiques (foyer, directrice et paramètre) de :
a) y2=3x
b) x29+y24=1
c) 4x2−3x+y2−4y=5
d) y2=x+4
e) 4x2−2x−y2+6y=0
f) y2=x2−4
g) x2+y24=1
h) y2+5y=2x−3
i) −9y2+4x2=1
Exercice 2
Trouver l'équation de la conique de foyer F(3; 2) de directrice d:y=2 et d'excentricité e=1/2 puis donner les éléments caractéristiques.
Exercice 3
Soit P la parabole de foyer F, de directrice (Δ), de paramètre p et d'équation y2=2px
1) Tracer la courbe (P)
2) Montrer qu'en tout point M0(x0y0) , la tangente (T) a pour équation : px−y0y+px0=0
3) Montrer que
a) en tout point M0 de (P) de projeté orthogonal H sur (Δ), la tangente est la médiatrice de [FH]
b) le projeté orthogonal de F sur toute droite tangente appartient à la tangente à (P) au sommet S
c) si la tangente à (P) en un point M0 différent de S coupe la directrice en un point T1, alors ^M0FT1=π2
Exercice 4
Soit E l'ellipse de centre I(40) et dont A(−10) est l'un des sommets et O un foyer.
1) Déterminer les trois (3) autres sommets de E.
2) Calculer l'excentricité e et donner l'équation de E.
V Courbes paramétrées
Exercice 1
Donner une étude de la courbe paramétrée définie par :
{x(t)=sin2ty(t)=sin3t
VI Ensembles de points dans l'espace
Exercice 1
Déterminer le lieu des points M(xyz) de l'espace vérifiant :
a) 2x+y=0
b) 9x2=4z2
c) x2=1
d) (2x+3y−z)(x+y−3z+4)=0
e) 2x+3y−z=0 et x+y−3z+4=0
f) x2+y2+z2−8x+7y−6z=0
g) x2+y2+z2+2x+3y+6z=k ; k∈R
h) x2+y2=9 et 1≤z≤3
i) x−12=y+23=z+14
j) {x=1+t2y=3−2t2 ; t∈R
Exercice 2
Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace.
Déterminer les ensembles E1 et E2 des points M de l'espace vérifiant respectivement :
(2→AM+3→BM−→CM)⋅(→AM+→BM−2→CM)=0
(2→MA+→MB+→MC)⋅(→MA+→MB+2→MC)=0
Exercice 3
Dans le plan P, on considère le triangle ABC isocèle en A et de hauteur [AH] tel que AH=BC=4.
1) Construire le barycentre G du système de points pondérés (A, 2), (B, 1) et (C, 1).
2) M est un point quelconque de P.
a) Montrer que le vecteur →v=2→MA−→MB−→MC a pour norme 8.
b) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan P tels que ||→v||=||2→MA+→MB+→MC||
c) Déterminer et construire l'ensemble Γn, n∈N∗, des points M du plan P tels que n×||→v||=||2→MA+n.→MB+n.→MC||
d) Pour quelles valeurs de n; n∈R∗+, Γn contient-il le point B.
Exercice 4
Dans l'espace, on considère un tétraèdre EABCD dont la base ABCD est un parallélogramme.
1) Montrer que B est le barycentre de (A, 1), (C, 1) et (D, −1) et que le milieu I de [CD] est le barycentre de (A, 1), (B, −1) et (C, 2)
2) Déterminer l'ensemble des points M barycentres du système (A, α+β), (B, −α), (D, −β) et (E, −1) lorsque (α, β) décrit R2.
3) Déterminer l'ensemble des points M vérifiant :
a) ||→MA−→MB+2→MC||=||2→MA+2→MC−2→MD||
b) ||→MA−→MB+2→MC||=||→MA−→MB−→MC+→MD||
c) (→MA−→MB+2→MC)⋅(→MA+→MC−→MD)=0
d) (→MA−→MB+2→MC)⋅(→MB+→MD−2→MA)=0
Exercice 5
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j, →k).
1) Représenter les points M(x, y, z) tels que {x≥0; y≥0; z≥02x+32y+3z≤6
2) a) Placer les points A(121), B(230), C(022) et D(113).
b) Montrer que les vecteurs →n1(101), →n2(1−2−1), →n3(121) et →n4(143) sont respectivement normaux aux plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD).
c) En déduire à l'aide d'un système d'inéquations une caractérisation de l'intérieur fermé I du tétraèdre ABCD.
VII Orthogonalité - Équations de droites et de plans
Exercice 1
1) Trouver une équation paramétrique de (Δ) d'équation {x−2y+z=02x−y+z−1=0
2) Déterminer l'équation du plan qui passe par A(111) et qui est perpendiculaire à la droite (D) d'équation {x−y+z−1=02x−y−1=0
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j, →k).
On donne les points A(200), B(211), C(110) et D(101).
1) Montrer que A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
2) Montrer que ABCD est un tétraèdre régulier.
3) Vérifier que les droites (AC) et (BD) sont orthogonales.
Exercice 3
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j, →k).
On donne A(123), B(−1−25), C(13−2) et D(002).
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
2) Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur Π de [AB].
3) a) Quelle construction rapide peut-on envisager du barycentre E du système (A; 1), (B; 2), (C; 1) et (D; 4) ?
b) E appartient-il à Π ?
4) Déterminer une équation cartésienne du plan P perpendiculaire à Π et contenant (CD).
Exercice 4
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j, →k).
D est la droite de système paramétrique : {x=2+ty=−1+3tz=5+2t , t∈R
Δ est la droite de repère : A(−101), →u(1−12)
1) Donner un repère de D. Le point E(321) appartient-il à D ?
2) D et Δ sont-elles coplanaires ?
3) P est le plan contenant D et A.
a) Donner une équation de P.
b) Q a pour équation 2x+y+3z−12=0. Donner P∩Q.
c) Donner les points de Q situés sur les axes du repère (O; →i, →j, →k) et en donner une représentation en perspective.
4) Déterminer Q∩Q1∩Q2 où Q1 et Q2 sont les plans d'équations respectives x−y+3z−9=0 et 2x+3y−5z+10=0.
Exercice 5
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j, →k).
1) Écrire une équation du plan P1 passant par les points A(121), B(3−11) et C(−102).
2) Écrire une équation du plan P2 contenant la droite Δ de système paramétrique : {x=1+ty=2tz=1−t , t∈R sachant qu'en outre P2 est perpendiculaire au plan Q d'équation 2x+y+z−5=0
3) Donner un repère orthonormé du plan P3 d'équation x+2y−z−2=0
4) Vérifier que P1 et P2 sont sécants et que P2 et P3 sont perpendiculaires.
5) {F}=P1∩P2∩P3. Calculer les coordonnées du point F. F appartient-il à Δ ?
Exercice 6
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j, →k).
Δ est la droite de système paramétrique : {x=1+3ty=4+2tz=−5+4t , t∈R
P est le plan dont un équation est 3x+2y+4z−12=0.
A(230), B(−252), C(022) et D(−22−9) sont quatre points de l'espace.
1) Déterminer les points du plan P situés sur les axes du repère et en déduire une mise en perspective du plan P.
2) Vérifier que les points A, B et C sont des points de P et D un point de Δ.
3) A, B et C sont-ils alignés ?
4) Montrer (rapidement!) que ABCD est un tétraèdre, c'est-à-dire que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
5) Le tétraèdre ABCD est-il régulier ?
6) a) Montrer que Δ et P sont perpendiculaires et calculer les coordonnées de leur point d'intersection noté H.
b) Calculer la distance DH.
c) Σ : x2+y2+z2+4x−4y+18z−311=0. Montrer que Σ est une sphère et que son intersection avec P est un cercle.
Exercice 7
On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1.
1) a) Exprimer plus simplement le vecteur →AB+→AD+→AE.
b) En déduire que le produit scalaire →AG⋅→BD est nul.
c) Démontrer de même que le produit scalaire →AG⋅→BE est nul.
d) Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).
2) Soit I le centre de gravité du triangle BDE. Déduire du 1)a) que le point I est le point d'intersection de la droite (AG) et du plan (BDE), et préciser la position du point I sur le segment [AG].
3) Dans cette question, l'espace est rapporté à un repère orthonormé (A; →AB, →AD, →AE).
a) Écrire une équation du plan (BDE).
b) Écrire une représentation paramétrique de la droite Δ passant par le point H et orthogonale au plan (BDE).
c) Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droite Δ avec le plan (BDE).
d) En déduire la distance du point H au plan (BDE) puis le volume du tétraèdre HBDE.
Exercice 8
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j, →k).
A(210), B(−111) et C(123) sont trois points de l'espace.
1) Calculer les coordonnées du barycentre H du système de points pondérés (A, 2), (B, 1) et (C, 2).
2) Construire H.
3) Montrer que le vecteur 2→MA+3→MB−5→MC est indépendant du point M. Calculer ses coordonnées.
4) Déterminer l'ensemble des points de l'espace tels que : ||2→MA+→MB+2→MC||=||2→MA+3→MB−5→MC||
5) a) Vérifier que les vecteurs →AB et →AC ne sont pas coplanaires.
b) Vérifier que le vecteur →N(−18−3) est un vecteur normal au plan (ABC). En déduire une équation de ce plan.
c) Q est le plan dont une équation est : 5x+y+z+3=0. Montrer que les plans Q et (ABC) sont perpendiculaires et déterminer leur intersection.
VIII Plan et sphère
Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j, →k).
P est le plan d'équation x+2y+3z+9=0.
Σ a pour équation x2+y2+z2−2x+2y−4z−10=0.
1) Montrer que Σ est une sphère que l'on caractérisera.
2) Montrer que Σ et P sont sécants en un cercle noté C.
3) Faire une figure illustrant la situation du 2).
4) Calculer les coordonnées du point H centre de C et calculer le rayon r de C.
5) Vérifier que la droite Δ de repère (H; →i+→j−→k) est incluse dans P.
Déterminer Δ∩Σ et en déduire d'une autre façon le rayon r de C.
6) C étant inclus dans P, le plan Q de direction (→i, →k) passant par H coupe C en deux points dont on calculera les coordonnées. Retrouver encore d'une autre façon la valeur de r.
7) Vérifier que le système {x2+z2+2z−1=0y=−3 définit un cercle et qu'il s'agit de C
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j, →k).
P est le plan d'équation x+2y−3z=10. On donne A(2, 1, 1)
1) A appartient-il à P ?
2) Soit H le projeté orthogonal de A sur P.
Déterminer les coordonnées de H et calculer la distance d du point A au plan P.
3) Déterminer une équation de la sphère Σ de centre A et de rayon 3.
4) a) Montrer que Σ et P sont sécants après avoir rappeler une condition nécessaire et suffisante pour qu'un plan et une sphère soient sécants.
b) On note C=Σ∩P. Préciser le centre et le rayon de C.
Exercice 3
Soient trois points de l'espace A, B, C non alignés et soit k un réel de l'intervalle [−1; 1].
On note Gk le barycentre du système (A, k2+1), (B, k) et (C, −k).
1) Représenter A, B, C, le point I milieu de [BC] et les points G1 et G−1.
2) a) Montrer que pour tout réel k∈[−1; 1], on a l'égalité : →AGk=−kk2+1→BC
b) Établir le tableau de variation de la fonction f définie sur [−1; 1] par : f(x)=−xx2+1.
c) En déduire l'ensemble des points Gk quand k décrit l'intervalle [−1; 1].
3) Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que ||2→MA+→MB−→MC||=||2→MA−→MB+→MC||
4) Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que ||2→MA+→MB−→MC||=||2→MA−→MB−→MC||
5) L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal (O; →u, →v, →w). Les points A, B, C ont pour coordonnées (0; 0; 2), (−1; 2; 1) et (−1; 2; 5). Le point Gk et les ensembles E et F sont définis comme ci-dessus.
a) Calculer les coordonnées de G1 et G−1. Montrer que les ensembles E et F sont sécants.
b) Calculer le rayon du cercle C intersection de E et F
Commentaires
j'adore scorpion (non vérifié)
jeu, 11/16/2023 - 03:32
Permalien
Puis avoir la solution ?
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