I Fonctions de Leibniz

Exercice 1

Soit $ABCD$ un rectangle dans le plan.
Déterminer dans chacun des cas suivants, l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

a) $M$ barycentre de $(A,\ 1)$, $\ (B,\ k)$ et $(C,\ -k)$ ; $\ k$ décrivant $\mathbb{R}$

b) $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MD}||$

c) $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}||=||\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}||$

d) $(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD})\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MD})=0$

e)  $(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD})\cdot(-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD})=0$

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=AC=5$ et $BC=6$.

1) Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$

2) Soit $G$ barycentre de $(A,\ 2)$, $\ (B,\ 3)$ et $(C,\ 3)$

a) Calculer $AG$

b) Soit $f(M)$ une fonction scalaire de Leibniz. Montrer que

 $f(M)=4MG^{2}+f(G)$. Posons $f(M)=2\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}\cdot(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB})$

c) Calculer $f(A)$ et $f(G)$

d) Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $f(M)=f(A)$.

Exercice 3

On considère dans le plan un parallélogramme $ABCD$ et $M$ un point du plan.

Déterminer la nature de l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point $M$, associe le point $M'$ tel que:

a) $M'$ soit le barycentre du système $(A,\ 1)$, $\ (B,\ -1)$, $\ (C,\ -1)$, $\ (D,\ 1)$, $\ (M,\ 1)$

b) $M'$ soit le barycentre de $(B,\ 1)$, $\ (C,\ -1)$, $\ (D,\ 1)$ et $(M,\ 1)$

Exercice 4

Soient huit points $A$, $\ B$, $\ C$, $\ D$, $\ E$, $\ F$, $\ G$ et $H$.

1) Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $D$ est le barycentre du système $M'$ soit le barycentre du système $(A,\ 1)$, $\ (B,\ -1)$, $\ (C,\ 1)$.
On suppose désormais que $ABCD$ et $EFGH$ sont des parallélogramme et on considère les points $I$, $J$, $\ K$ et $L$ les milieux respectifs de $[AE]$, $\ [BF]$, $\ [CG]$ et $[DH]$

2) Montrer que $IJKL$ est un parallélogramme.

3) Soient $O$, $\ P$ et $Q$ les centres respectifs des parallélogrammes $IJKL$, $\ ABCD$ et $EFGH$. Montrer que $O$ est le milieu de $[PQ]$.

Exercice 5

On considère un triangle $ABC$ du plan.
1) a) Déterminer et construire le point $G$ barycentre de $(A,\ 1)$, $\ (B,\ -1)$ et $(C,\ 1)$

b) Déterminer et construire le point $G'$ barycentre de $(A,\ 1)$, $\ (B,\ 5)$ et $(C,\ -2)$

2) a) Soit $J$ le milieu de $[AB]$. Exprimer $\overrightarrow{GG'}$ et $\overrightarrow{JG'}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ et en déduire l'intersection des droites $(GG')$ et $(AB)$.

b) Montrer que le barycentre $I$ de $(B,\ 2)$ et $(C,\ -1)$ appartient à $(GG')$.

3) Soit $D$ un point du plan, $O$ le milieu de $[CD]$ et $K$ le milieu de $[OA]$.

a) Déterminer trois réels $a$, $\ d$ et $c$ tels que $K$ soit le barycentre de $(A,\ a)$, $\ (D,\ d)$ et $(C,\ c)$

b) Soit $N$ le point d'intersection de $(DK)$ et $(AC)$. Déterminer les réels $a'$ et $c'$ tels que $N$ soit le barycentre de $(A,\ a')$ et $(C,\ c')$

II Angles

Exercice 1

Deux cordes orthogonales $[AB]$ et $[CD]$ d'un cercle se coupent en $P$.
Montrer que la médiane du triangle $PBC$ issue de $P$ est une hauteur du triangle $PAD$.

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$, $\mathcal{C}$ est son cercle circonscrit. $M$ est un point de $\mathcal{C}$ et $P$ l'intersection des droites $(AM)$ et $(BC)$.
Montrer que le cercle circonscrit au triangle $BMP$ est tangent en $B$ à $(AB)$.

III Transformations - Isométries

Exercice 1

Soit $f$ l'application définie par : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x' &=& x-2\\
y' &=& y+1
\end{array}
\right.$

1) Déterminer InV$f$

2) Montrer que $f$ est une translation de vecteur de vecteur $\vec{u}$ dont on donnera les coordonnées.

3) Déterminer les images de $A\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}$ ; $\mathcal{C}\left(A\begin{pmatrix}
0\\
3
\end{pmatrix}, 5\right)$ et de $\Delta : y-2x+1=0$

Exercice 2

Soit $\mathcal{C}(O;\ 4)$ le cercle passant par $A$ ; à tout point $M$ de $\mathcal{C}$ on associe le point $N$ tel que $OANM$ soit un parallélogramme.
Quel est le lieu géométrique de $N$ quand $M$ décrit $(\mathcal{C})$?

Exercice 3

Soit $f$ une application définie par : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x' &=& 2x-1\\
y' &=& 2y+3
\end{array}
\right.$

1) Déterminer InV$f$

2) Montrer que $f$ est une homothétie dont on donnera les éléments caractéristiques

3) Déterminer l'expression complexe

4) Déterminer les images de $O$ , $\ \mathcal{C}\left(I\begin{pmatrix}
1\\
3
\end{pmatrix}, 5\right)$ et de $\Delta : 2x-y+1=0$

5) Soit $g$ la transformation définie par : $z'=2z+1-i$.
Donner la nature et les éléments caractéristiques de $g$.

Exercice 4

Soient $\mathcal{C}_{1}(O_{1};\ R_{1})$ et $\mathcal{C}_{2}(O_{2};\ R_{2})$ deux cercles.
Construire les centres des homothéties qui transforment $\mathcal{C}_{1}$ en $\mathcal{C}_{2}$ et déterminer leur rapport.

Exercice 5

Soit $\Delta$ une droite ; $A$, $\ B$ $\notin\Delta$.
A tout point $M\in\Delta$ on associe le point $G$ centre de gravité de $ABM$.
Déterminer le lieu de $G$.

Exercice 6

Soit $\mathcal{C}(O;\ 3)$ le cercle de centre $O$ et de rayon 3. $A\in\mathcal{C}$ ; à tout point $M\in\mathcal{C}$ on associe le point $N$ isobarycentre de $OAM$.
Quel est le lieu de $N$ ?

Exercice 7

Soit $f$ une application définie par : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x' &=& \dfrac{1}{5}(-3x+4y-12)\\
\\
y' &=& \dfrac{1}{5}(4x+3y+6)
\end{array}
\right.$

1) Montrer que $f$ est une isométrie

2) Montrer que $f$ est une symétrie centrale dont on précisera l'axe.

Exercice 8

Soit $ABCD$ un carré de centre de gravité $O$.

1) Décomposer $r_{\left( A,\ \dfrac{\pi}{2}\right)}$

2) Donner la nature et les éléments caractéristiques de :

$t_{\overrightarrow{AB}}\circ r_{\left( A,\ \dfrac{\pi}{2}\right)}$ et $r_{\left( O,\ \dfrac{\pi}{2}\right)}\circ r_{\left( A,\ \dfrac{\pi}{4}\right)}$

3) Donner la nature des transformations suivantes :

$s_{(AB)}\circ r_{\left( A,\ \dfrac{\pi}{2}\right)}$ ; $\ r_{\left( A,\ \dfrac{\pi}{2}\right)}\circ r_{( B,\ \pi)}$ et $t_{\overrightarrow{AC}}\circ r_{( A,\ \pi)}$

Exercice 9

Soit $f$ une application définie par : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x' &=& \dfrac{1}{2}(x+y\sqrt{3}+1)\\
\\
y' &=& \dfrac{1}{2}(-x\sqrt{3}+y+\sqrt{3})
\end{array}
\right.$

a) Montrer que $f$ est une isométrie

b) Déterminer Inv$f$. En déduire que $f$ est une rotation dont on précisera le centre et l'angle.

Exercice 10

Soit $(\Delta)\ :\ 2x-y-3=0$ et $(\Delta')\ :\ x+y-2=0$

Déterminer l'expression analytique de l'affinité d'axe $(\Delta)$, de direction $(\Delta')$ et de rapport 2.

IV Coniques

Exercice 1

Donner la nature et les éléments caractéristiques (foyer, directrice et paramètre) de :

a) $y^{2}=3x$

b) $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$

c) $4x^{2}-3x+y^{2}-4y=5$

d) $y^{2}=x+4$

e) $4x^{2}-2x-y^{2}+6y=0$

f) $y^{2}=x^{2}-4$

g) $x^{2}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$

h) $y^{2}+5y=2x-3$

i) $-9y^{2}+4x^{2}=1$

Exercice 2

Trouver l'équation de la conique de foyer $F(3;\ 2)$ de directrice $d : y=2$ et d'excentricité $e=1/2$ puis donner les éléments caractéristiques.

Exercice 3

Soit $\mathcal{P}$ la parabole de foyer $F$, de directrice $(\Delta)$, de paramètre $p$ et d'équation $y^{2}=2px$

1) Tracer la courbe $(\mathcal{P})$

2) Montrer qu'en tout point $M_{0}\begin{pmatrix}
x_{0}\\
y_{0}
\end{pmatrix}$ , la tangente $(T)$ a pour équation : $px-y_{0}y+px_{0}=0$

3) Montrer que

a) en tout point $M_{0}$ de $(\mathcal{P})$ de projeté orthogonal $H$ sur $(\Delta)$, la tangente est la médiatrice de $[FH]$

b) le projeté orthogonal de $F$ sur toute droite tangente appartient à la tangente à $(\mathcal{P})$ au sommet $S$

c) si la tangente à $(\mathcal{P})$ en un point $M_{0}$ différent de $S$ coupe la directrice en un point $T_{1}$, alors $\widehat{M_{0}FT_{1}}=\dfrac{\pi}{2}$

Exercice 4

Soit $\mathfrak{E}$ l'ellipse de centre $I\begin{pmatrix}
4\\
0
\end{pmatrix}$ et dont $A\begin{pmatrix}
-1\\
0
\end{pmatrix}$ est l'un des sommets et $O$ un foyer.

1) Déterminer les trois (3) autres sommets de  $\mathfrak{E}$.

2) Calculer l'excentricité $e$ et donner l'équation de $\mathfrak{E}$.

V Courbes paramétrées

Exercice 1

Donner une étude de la courbe paramétrée définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x(t) &=& \sin 2t\\
y(t) &=& \sin 3t
\end{array}
\right.$

VI Ensembles de points dans l'espace

Exercice 1

Déterminer le lieu des points $M\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}$ de l'espace vérifiant :

a) $2x+y=0$

b) $9x^{2}=4z^{2}$

c) $x^{2}=1$

d) $(2x+3y-z)(x+y-3z+4)=0$

e) $2x+3y-z=0$ et $x+y-3z+4=0$

f) $x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x+7y-6z=0$

g) $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x+3y+6z=k$ ; $\ k\in\mathbb{R}$

h) $x^{2}+y^{2}=9$ et $1\leq z\leq 3$

i) $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{3}=\dfrac{z+1}{4}$

j) $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x &=& 1+t^{2}\\
y &=& 3-2t^{2}
\end{array}
\right.\ ;\  t\in\mathbb{R}$

Exercice 2

Soient $A$, $\ B$ et $C$ trois points non alignés de l'espace.
Déterminer les ensembles $\mathbf{E}_{1}$ et $\mathbf{E}_{2}$ des points $M$ de l'espace vérifiant respectivement :

$(2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{CM})\cdot(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}-2\overrightarrow{CM})=0$

$(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC})=0$

Exercice 3

Dans le plan $\mathcal{P}$, on considère le triangle $ABC$ isocèle en $A$ et de hauteur $[AH]$ tel que $AH=BC=4$.

1) Construire le barycentre $G$ du système de points pondérés $(A,\ 2)$, $\ (B,\ 1)$ et $(C,\ 1)$.

2) $M$ est un point quelconque de $\mathcal{P}$.

a) Montrer que le vecteur $\vec{v}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$ a pour norme 8.

b) Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan $\mathcal{P}$ tels que $$||\vec{v}||=||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||$$
c) Déterminer et construire l'ensemble $\Gamma_{n}$, $n\in\mathbb{N}^{*}$, des points $M$ du plan $\mathcal{P}$ tels que $$n\times||\vec{v}||=||2\overrightarrow{MA}+n.\overrightarrow{MB}+n.\overrightarrow{MC}||$$
d) Pour quelles valeurs de $n$; $\ n\in\mathbb{R}^{*}_{+}$, $\ \Gamma_{n}$ contient-il le point $B$.

Exercice 4

Dans l'espace, on considère un tétraèdre $EABCD$ dont la base $ABCD$ est un parallélogramme.

1) Montrer que $B$  est le barycentre de $(A,\ 1)$, $\ (C,\ 1)$ et $(D,\ -1)$ et que le milieu $I$ de $[CD]$ est le barycentre de $(A,\ 1)$, $\ (B,\ -1)$ et $(C,\ 2)$

2) Déterminer l'ensemble des points $M$ barycentres du système $(A,\ \alpha+\beta)$, $\ (B,\ -\alpha)$, $\ (D,\ -\beta)$ et $(E,\ -1)$ lorsque $(\alpha,\ \beta)$ décrit $\mathbb{R}^{2}$.

3) Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant :

a) $||\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}||=||2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}||$

b) $||\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}||$

c) $(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC})\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD})=0$

d) $(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC})\cdot(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}-2\overrightarrow{MA})=0$

Exercice 5

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$.

1) Représenter les points $M(x,\ y,\ z)$ tels que $\left\lbrace\begin{array}{lll}
x\geq 0;\ y\geq 0;\ z\geq 0\\
2x+\dfrac{3}{2}y+3z\leq 6
\end{array}
\right.$

2) a) Placer les points $A\begin{pmatrix}
1\\
2\\
1
\end{pmatrix}$, $B\begin{pmatrix}
2\\
3\\
0
\end{pmatrix}$, $C\begin{pmatrix}
0\\
2\\
2
\end{pmatrix}$ et $D\begin{pmatrix}
1\\
1\\
3
\end{pmatrix}$.

b) Montrer que les vecteurs $\vec{n}_{1}\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}$, $\vec{n}_{2}\begin{pmatrix}
1\\
-2\\
-1
\end{pmatrix}$, $\vec{n}_{3}\begin{pmatrix}
1\\
2\\
1
\end{pmatrix}$ et $\vec{n}_{4}\begin{pmatrix}
1\\
4\\
3
\end{pmatrix}$ sont respectivement normaux aux plans $(ABC)$, $\ (ABD)$, $\ (ACD)$ et $(BCD)$.

c) En déduire à l'aide d'un système d'inéquations une caractérisation de l'intérieur fermé $\mathbf{I}$ du tétraèdre $ABCD$.

VII Orthogonalité - Équations de droites et de plans

Exercice 1

1) Trouver une équation paramétrique de $(\Delta)$ d'équation $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x-2y+z &=& 0\\
2x-y+z-1 &=& 0
\end{array}
\right.$

2) Déterminer l'équation du plan qui passe par $A\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}$ et qui est perpendiculaire à la droite $(D)$ d'équation $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x-y+z-1 &=& 0\\
2x-y-1 &=& 0
\end{array}
\right.$

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$.

On donne les points $A\begin{pmatrix}
2\\
0\\
0
\end{pmatrix}$, $B\begin{pmatrix}
2\\
1\\
1
\end{pmatrix}$, $C\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0
\end{pmatrix}$ et $D\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix}$.

1) Montrer que $A$, $\ B$, $\ C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.

2) Montrer que $ABCD$ est un tétraèdre régulier.

3) Vérifier que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont orthogonales.

Exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$.

On donne $A\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}$, $B\begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
5
\end{pmatrix}$, $C\begin{pmatrix}
1\\
3\\
-2
\end{pmatrix}$ et $D\begin{pmatrix}
0\\
0\\
2
\end{pmatrix}$.

1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

2) Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur $\Pi$ de $[AB]$.

3) a) Quelle construction rapide peut-on envisager du barycentre $E$ du système $(A;\ 1)$, $\ (B;\ 2)$, $\ (C;\ 1)$ et $(D;\ 4)$ ?

b) $E$ appartient-il à $\Pi$ ?

4) Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ perpendiculaire à $\Pi$ et contenant $(CD)$.

Exercice 4

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$.

$D$ est la droite de système paramétrique : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x &=& 2+t\\
y &=& -1+3t\\
z &=& 5+2t
\end{array}
\right.\ , \ t\in\mathbb{R}$

$\Delta$ est la droite de repère : $A\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
1
\end{pmatrix}$, $\vec{u}\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
2
\end{pmatrix}$

1) Donner un repère de $D$. Le point $E\begin{pmatrix}
3\\
2\\
1
\end{pmatrix}$ appartient-il à $D$ ?

2) $D$ et $\Delta$ sont-elles coplanaires ?

3) $\mathcal{P}$ est le plan contenant $D$ et $A$.

a) Donner une équation de $\mathcal{P}$.

b) $\mathcal{Q}$ a pour équation $2x+y+3z-12=0$. Donner $\mathcal{P}\cap\mathcal{Q}$.

c) Donner les points de $\mathcal{Q}$ situés sur les axes du repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$ et en donner une représentation en perspective.

4) Déterminer $\mathcal{Q}\cap\mathcal{Q}_{1}\cap\mathcal{Q}_{2}$ où $\mathcal{Q}_{1}$ et $\mathcal{Q}_{2}$ sont les plans d'équations respectives $x-y+3z-9=0$ et $2x+3y-5z+10=0$.

Exercice 5

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$.

1) Écrire une équation du plan $\mathcal{P}_{1}$ passant par les points $A\begin{pmatrix}
1\\
2\\
1
\end{pmatrix}$, $B\begin{pmatrix}
3\\
-1\\
1
\end{pmatrix}$ et $C\begin{pmatrix}
-1\\
0\\
2
\end{pmatrix}$.

2) Écrire une équation du plan $\mathcal{P}_{2}$ contenant la droite $\Delta$ de système paramétrique : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x &=& 1+t\\
y &=& 2t\\
z &=& 1-t
\end{array}
\right.\ , \ t\in\mathbb{R}$ sachant qu'en outre $\mathcal{P}_{2}$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{Q}$ d'équation $2x+y+z-5=0$

3) Donner un repère orthonormé du plan $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $x+2y-z-2=0$

4) Vérifier que $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants et que $\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3}$ sont perpendiculaires.

5) $\{F\}=\mathcal{P}_{1}\cap\mathcal{P}_{2}\cap\mathcal{P}_{3}$. Calculer les coordonnées du point $F$. $\ F$ appartient-il à $\Delta$ ?

Exercice 6

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$.

$\Delta$ est la droite de système paramétrique : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x &=& 1+3t\\
y &=& 4+2t\\
z &=& -5+4t
\end{array}
\right.\ , \ t\in\mathbb{R}$

$\mathcal{P}$ est le plan dont un équation est $3x+2y+4z-12=0$.

$A\begin{pmatrix}
2\\
3\\
0
\end{pmatrix}$, $B\begin{pmatrix}
-2\\
5\\
2
\end{pmatrix}$, $C\begin{pmatrix}
0\\
2\\
2
\end{pmatrix}$ et $D\begin{pmatrix}
-2\\
2\\
-9
\end{pmatrix}$ sont quatre points de l'espace.

1) Déterminer les points du plan $\mathcal{P}$ situés sur les axes du repère et en déduire une mise en perspective du plan $\mathcal{P}$.

2) Vérifier que les points $A$, $\ B$ et $C$ sont des points de $\mathcal{P}$ et $D$ un point de $\Delta$.

3) $A$, $\ B$ et $C$ sont-ils alignés ?

4) Montrer (rapidement!) que $ABCD$ est un tétraèdre, c'est-à-dire que les points $A$, $\ B$, $\ C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.

5) Le tétraèdre $ABCD$ est-il régulier ?

6) a) Montrer que $\Delta$ et $\mathcal{P}$ sont perpendiculaires et calculer les coordonnées de leur point d'intersection noté $H$.

b) Calculer la distance $DH$.

c) $\Sigma\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+4x-4y+18z-311=0$. Montrer que $\Sigma$ est une sphère et que son intersection avec $\mathcal{P}$ est un cercle.

Exercice 7

On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête 1.

1) a) Exprimer plus simplement le vecteur $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$.

b) En déduire que le produit scalaire $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}$ est nul.

c) Démontrer de même que le produit scalaire $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}$ est nul.

d) Démontrer que la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.

2) Soit $I$ le centre de gravité du triangle $BDE$. Déduire du 1)a) que le point $I$ est le point d'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BDE)$, et préciser la position du point $I$ sur le segment $[AG]$.

3) Dans cette question, l'espace est rapporté à un repère orthonormé $(A;\ \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AE})$.

a) Écrire une équation du plan $(BDE)$.

b) Écrire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $H$ et orthogonale au plan $(BDE)$.

c) Déterminer les coordonnées du point d'intersection $J$ de la droite $\Delta$ avec le plan $(BDE)$.

d) En déduire la distance du point $H$ au plan $(BDE)$ puis le volume du tétraèdre $HBDE$.

 

Exercice 8

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$.

$A\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0
\end{pmatrix}$, $B\begin{pmatrix}
-1\\
1\\
1
\end{pmatrix}$ et $C\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}$ sont trois points de l'espace.

1) Calculer les coordonnées du barycentre $H$ du système de points pondérés $(A,\ 2)$, $\ (B,\ 1)$ et $(C,\ 2)$.

2) Construire $H$.

3) Montrer que le vecteur $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}$ est indépendant du point $M$. Calculer ses coordonnées.

4) Déterminer l'ensemble des points de l'espace tels que : $$||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}||=||2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}||$$
5) a) Vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas coplanaires.

b) Vérifier que le vecteur $\vec{N}\begin{pmatrix}
-1\\
8\\
-3
\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. En déduire une équation de ce plan.

c) $\mathcal{Q}$ est le plan dont une équation est : $5x+y+z+3=0$. Montrer que les plans $\mathcal{Q}$ et $(ABC)$ sont perpendiculaires et déterminer leur intersection.

VIII Plan et sphère

Exercice 1

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$.
$\mathcal{P}$ est le plan d'équation $x+2y+3z+9=0$.
$\Sigma$ a pour équation $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+2y-4z-10=0$.

1) Montrer que $\Sigma$ est une sphère que l'on caractérisera.

2) Montrer que $\Sigma$ et $\mathcal{P}$ sont sécants en un cercle noté $\mathcal{C}$.

3) Faire une figure illustrant la situation du 2).

4) Calculer les coordonnées du point $H$ centre de $\mathcal{C}$ et calculer le rayon $r$ de $\mathcal{C}$.

5) Vérifier que la droite $\Delta$ de repère $(H;\ \vec{i}+\vec{j}-\vec{k})$ est incluse dans $\mathcal{P}$.
Déterminer $\Delta\cap\Sigma$ et en déduire d'une autre façon le rayon $r$ de $\mathcal{C}$.

6) $\mathcal{C}$ étant inclus dans $\mathcal{P}$, le plan $\mathcal{Q}$ de direction $(\vec{i},\ \vec{k})$ passant par $H$ coupe $\mathcal{C}$ en deux points dont on calculera les coordonnées. Retrouver encore d'une autre façon la valeur de $r$.

7) Vérifier que le système $\left\lbrace\begin{array}{lcl}
x^{2}+z^{2}+2z-1 &=& 0\\
y &=& -3
\end{array}
\right.$ définit un cercle et qu'il s'agit de $\mathcal{C}$

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k})$.
$\mathcal{P}$ est le plan d'équation $x+2y-3z=10$. On donne $A(2,\ 1,\ 1)$

1) $A$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?

2) Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{P}$.
Déterminer les coordonnées de $H$ et calculer la distance $d$ du point $A$ au plan $\mathcal{P}$.

3) Déterminer une équation de la sphère $\Sigma$ de centre $A$ et de rayon 3.

4) a) Montrer que $\Sigma$ et $\mathcal{P}$ sont sécants après avoir rappeler une condition nécessaire et suffisante pour qu'un plan et une sphère soient sécants.

b) On note $\mathcal{C}=\Sigma\cap\mathcal{P}$. Préciser le centre et le rayon de $\mathcal{C}$.

Exercice 3

Soient trois points de l'espace $A$, $\ B$, $\ C$ non alignés et soit $k$ un réel de l'intervalle $[-1;\ 1]$.
On note $G_{k}$ le barycentre du système $(A,\ k^{2}+1)$, $\ (B,\ k)$ et $(C,\ -k)$.

1) Représenter $A$, $\ B$, $\ C$, le point $I$ milieu de $[BC]$ et les points $G_{1}$ et $G_{-1}$.

2) a) Montrer que pour tout réel $k\in[-1;\ 1]$, on a l'égalité : $$\overrightarrow{AG}_{k}=\dfrac{-k}{k^{2}+1}\overrightarrow{BC}$$
b) Établir le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $[-1;\ 1]$ par : $$f(x)=-\dfrac{x}{x^{2}+1}$$.
c) En déduire l'ensemble des points $G_{k}$ quand $k$ décrit l'intervalle $[-1;\ 1]$.

3) Déterminer l'ensemble $\mathbf{E}$ des points $M$ de l'espace tels que $$||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||=||2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||$$
4) Déterminer l'ensemble $\mathbf{F}$ des points $M$ de l'espace tels que $$||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||=||2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||$$
5) L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal $(O;\ \vec{u},\ \vec{v},\ \vec{w})$. Les points $A$, $\ B$, $\ C$ ont pour coordonnées $(0;\ 0;\ 2)$, $\ (-1;\ 2;\ 1)$ et $(-1;\ 2;\ 5)$. Le point $G_{k}$ et les ensembles $\mathbf{E}$ et $\mathbf{F}$ sont définis comme ci-dessus.

a) Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et $G_{-1}$. Montrer que les ensembles $\mathbf{E}$ et $\mathbf{F}$ sont sécants.

b) Calculer le rayon du cercle $\mathcal{C}$ intersection de $\mathbf{E}$ et $\mathbf{F}$