Exercices d'entrainement types du Bac : Nombres complexes
Classe:
Terminale
Exercice 1
Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique et déterminer leur argument
a) z1=i,z2=−1,z3=12−i√32,z4=2−2i.
b) z1=√6−i√22,z2=1+cosθ−isinθ,z3=1−cosθ−isinθ.
Exercice 2
1) Donner les nombres complexes suivants sous leur forme algébrique
z1=(2+3i)(3−4i),z2=(3+2i)3,z3=2+i3−2i−i,z4=(1+i)7
2) Calculer le conjugué du complexe (2−3i)(3+2i)+(1−i)2 et l'écrire sous sa forme trigonométrique.
Exercice 3
1) Déterminer la forme algébrique du nombre Z=(1+i)4(√3−i)3.
2) Calculer (1+i)14.
Exercice 4
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique et sous forme trigonométrique
a) z1=1+i1−i,z2=2(cosπ4+isinπ4)12(cosπ3+isinπ3),z3=√3+i1−i.
b) z1=cosπ6−isinπ6,z2=1+e−iπ6,z3=(1+i√3)6.
Exercice 5
1) Donner les nombres complexes suivants sous leur forme trigonométrique
z1=1+i,z2=−4,z3=−4−4i,z4=(−1+i)6
2) Donner les nombres complexes suivants sous leur forme exponentielle
2i,−5,cosπ5−isinπ5,2sinπ7+2icosπ7,−2√3+2i(1+i)4eti(1+i)3(√3−i)5
3) Soit z1=1+ietz2=1−i√3.
a) Calculer z1×z2.
b) Donner les écritures exponentielles des complexes z1, z2 et z1z2.
c) En déduire les valeurs exactes de cosπ12 et sinπ12.
Exercice 6
Résoudre dans C les équations suivantes :
a) z2+(2−√3−i)z+(√3−1)(−1+i)=0
b) z2−2(1+2i)z−4(−1−i)=0
c) z3−3z2+(3−i)z−2(1−i)=0
d) 8z3−12iz2−6z−12i=0
e) 2z+3¯z+4−2i=0
f) (1+2i)z+3−2i=z(2−4i)
g) (z2+1)(−2z2+3z−4)(z2−3z+2)=0
Exercice 7
1) Soit l'équation E : z3+(2−2i)z2+(5−4i)z−10i=0
a) Démontrer que E possède une unique solution imaginaire pure.
b) Déterminer les complexes λ et μ tels que pour tout complexe z, z3+(2−2i)z2+(5−4i)z−10i=(z−2i)(z2+λz+μ)
c) Résoudre E dans C
2) Résoudre dans C l'équation σ : z3=1+i
3) Montrer que l'équation Σ : z2−2¯z+1=0 a trois solutions dans C et donner la nature du triangle ABC dont les affixes sont les solutions de Σ
Exercice 8
1) Résoudre dans C l'équation (E) : z3=1 de deux manières : à l'aide des exponentielles puis, à l'aide des polynômes.
On note j la solution de (E) dont la partie imaginaire est positive.
2) Vérifier que ¯j=j2. Que valent 1+j+j2, 1+¯j+¯j2 et j3?
Écrire sous forme exponentielle chacun des nombres suivants : j2018, −j, −j2 et j3n+1 pour tout entier naturel n.
3) Soit a un complexe non nul.
A, B et C sont les points d'affixes respectives a, aj et aj2.
Quelle est la nature du triangle ABC ?
Faire une figure avec a=2 et avec a=i
Exercice 9
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; →e1, →e2).
Déterminer dans chacun des cas suivants l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie :
a) |¯z+i|=1
b) |z+2+3i|=|i−z|
c) |z−i|=|z+2¯z+1|
d) |z+2+3i|=|√3+i|
e) |(1+i)z−i|=3
f) 2¯z+z2+1 est réel
g) Pour z∈C∖{1−2i}, z+1−iz−1+2i est imaginaire pur.
h) Pour z∈C∖{1−2i}, z+1−iz−1+2i est réel.
Exercice 10
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O; →u, →v).
Dans chacun des cas suivants, donner la nature et les éléments caractéristiques des transformations f du plan complexe dont l'écriture complexe est donnée par :
1) z′=−3z+4−4i
2) z′=z+3−2i
3) z′=e−iπ3z+1+i√3
4) z′=(−√22+√22i)z
Exercice 11
A(2+3i), B(4−i) et C(10+2i) sont trois points du plan P rapporté au repère orthonormé direct (O; →e1, →e2).
f est la transformation de P dans P qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′=jz.
g est la transformation de P dans P qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′=(1+j)z.
1) Montrer que le triangle ABC est rectangle (seulement) en B.
2) Reconnaitre chacune de ces transformations.
3) Construire les images A′B′C′, (D′) et (C′) par f du triangle ABC, de la droite (D) d'équation 2(z+¯z)−3i(z−¯z)+2=0 et du cercle (C) d'équation |z−2−3i|=√13.
Exercice 12
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O; →u, →v), on considère l'application F qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′ défini par : z′=u2z+u−1(1) où u désigne un nombre complexe
1) Déterminer l'ensemble des nombres complexes u pour lesquels F est une translation ; caractériser F pour chacune des valeurs trouvées.
2) Déterminer l'ensemble des nombres complexes u pour lesquels F est une rotation d'angle de mesure π2 (en radians); caractériser F pour chacune des valeurs trouvées.
3) Déterminer l'ensemble des nombres complexes u pour lesquels F est une homothétie de rapport -2 ; caractériser F pour chacune des valeurs trouvées.
Exercice 13
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; →e1, →e2).
1) Résoudre dans C l'équation (1) : z−2z−1=z.
On donnera le module et un argument de chaque solution.
2) Résoudre dans C l'équation (2) : z−2z−1=i.
On donnera la solution sous forme algébrique.
3) Soit M, A et B les points d'affixes respectives z, 1 et 2.
On suppose que M est distincts de A et B.
a) Interpréter géométriquement le module et un argument de z−2z−1.
b) Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).
4) a) Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution de l'équation dans C : (z−2z−1)n=i où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle 32.
b) Résoudre alors dans C l'équation (3) : (z−2z−1)2=i.
On cherchera les solutions sous forme algébrique.
Exercice 14
Pour tout nombre complexe Z, on pose P(Z)=Z4−1.
a) Factoriser P(Z).
b) En déduire les solutions dans l'ensemble C des nombres complexes de l'équation P(Z)=0, d'inconnue Z.
c) Déduire de la question précédente les solutions dans C de l'équation d'inconnue z : (2z+1z−1)4=1.
2) a) Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal (O; →u, →v)
Placer les points A, B et C d'affixes respectives : a=−2, b=−15−35i et c=−15+35i
b) Démontrer que les points O, A, B et C sont situés sur un cercle, que l'on déterminera.
3) Placer le point D d'affixe d=−12.
Exprimer sous forme trigonométrique le nombre complexe z′ défini par : z′=a−cd−c
En déduire le rapport CACD.
Quelle autre conséquence géométrique peut-on tirer de l'expression de z′ ?
Exercice 15
On considère le nombre complexe a=ei2π5.
1) Vérifier que a5=1.
2) Vérifier que pour tout nombre complexe z : z5−1=(z−1)(1+z+z2+z3+z4)
3) En déduire 1+a+a2+a3+a4=0.
4) Montrer a3=(¯a)2 et que a4=¯a.
5) En déduire que (a+¯a)2+(a+¯a)−1=0.
6) Résoudre dans R l'équation 4x2+2x−1.
7) Calculer a+¯a et en déduire la valeur exacte de cos(2π5).
Exercice 16
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; →e1, →e2)
Soient Z et z deux nombres complexes tels que Z=z−1+iz−2i et z=x+iy; affixe du point M(xy)
1) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que z2 soit
a) réel
b) imaginaire pur
2) Soient A(1−1) et B(02) deux points du plan
a) Exprimer ℜeZ et ℑmZ en fonction de x et y
b) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z soit
− réel
− imaginaire pur
3) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que
a) |Z|=1
b) |Z|=2
4) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |¯z−1+i|=|2iz−4|
5) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que (z−1+i)(¯z−1−i)=16
Exercice 17
On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O; →u, →v)
1) a) Placer les points A(4+3i), B(−3+4i), C(−5i), E(4eiπ8) et F l'image de B par la réflexion d'axe (O; →u)
b) Donner l'affixe de F et l'écriture complexe de l'affixe du milieu I du segment [AF].
2) Caractériser le triangle OAB.
3) Déterminer une mesure de l'angle (→CA, →CB) et vérifier que (→CA, →CB)=12(→OA, →OB)+2kπ,k∈Z
4) r est la rotation de centre O et d'angle −π3.
A′=r(A) et B′=r(B).
a) Calculer l'affixe de A′.
b) Quelle est la nature du triangle OA′B′ ?
5) a) Calculer l'affixe du barycentre du système {(A; 3), (B; 4), (C; 5)}.
b) Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que :
||3→AM+4→BM+5→CM||=||9→AM−4→BM−5→CM||
Exercice 18
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; →u, →v).
On considère les points A, B et C d'affixes respectives : zA=3+i; zB=−2+3i; zC=1+4i
1) Calculer zA+zB−zC. En déduire le barycentre du système {(A; 1), (B; 1), (C; −1)}.
Montrer que A est le barycentre de {(A; −1), (B; 1), (O; 1)}.
2) Montrer que l'ensemble E des points M du plan vérifiant ||→MA+→MB−→MC||=||→MA+→MB−2→MC||
est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. Déterminer une équation de E.
est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. Déterminer une équation de E.
3) Déterminer la nature géométrique de l'ensemble F des points M du plan tels que ||→MA+→MB−→MC||=||−→MB+→MC+→MO||
Donner une équation cartésienne de F.
4) Soit H l'ensemble des points M du plan vérifiant (1) :
(→MA+→MB−→MC)⋅→CO=10
Vérifier que B appartient à l'ensemble H.
En déduire la nature géométrique puis une équation de H.
Exercice 19
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct (O; →u, →v).
A, B, C et D sont les points de P d'affixes respectives : 1+i√3; 1−i√3; −2+2i√3 et −2−2i√3
1) Calculer la distance AB.
2) Écrire les affixes des points A, B, C et D sous leur forme exponentielle.
3) Déduire du 2) la construction de chacun des points A, B, C et D.
4) a) Démontrer que le quadrilatère convexe ABDC admet pour axe de symétrie l'axe des abscisses (O; →u).
b) Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère ABDC ?
5) Démontrer que les points O, A et D sont alignés.
6) ω=zD−zAzC−zA.
Calculer ω et en déduire que les droites (AD) et (AC) sont perpendiculaires.
7) a) Démontrer que l'ensemble C des points M d'affixe z, tels que |z+2|=2√3 est un cercle dont on précisera l'affixe du centre Ω.
b) Vérifier que les points A, B, C et D appartiennent à C.
c) Préciser la nature du triangle ΩBA.
Exercice 20
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct (O; →u, →v).
A, B et C sont les points de P d'affixes respectives : zA=3−i√3; zB=3+i√3 et zC=2+√3+3i
1) Prouver que OAB est un triangle équilatéral direct.
Soit G le centre de gravité du triangle OAB. Déterminer l'affixe zG de G.
2) Soit a et b deux nombres complexes et R l'application qui au point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′=az+b.
a) Déterminer a et b pour que R(O)=G et R(A)=C.
b) Prouver que R est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.
c) Prouver que les droites (OA) et (GC) sont perpendiculaires.
Que peut-on dire des points G, B et C ?
3) Construire avec précision les points A, B et C.
Exercice 21
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; →u, →v).
On considère les points A et B d'affixes respectives a=1 et b=eiπ12.
Le point C est l'image de B par la rotation r de centre O et d'angle π12.
1) a) Calculer l'affixe c du point C sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
b) Soit I le milieu du segment [AC]. Calculer l'affixe de I.
2) a) Prouver que les droites (OI) et (OB) sont confondues.
b) Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de I.
c) Déterminer cos(π12) et sin(π12) sachant que √4√3+8=√6+√2.
Exercice 22
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O; →u, →v), on considère les points A d'affixe zA=1 et B d'affixe zB=2.
Soit un réel θ∈]0; π[.
On note M le point d'affixe z=1+e2iθ.
1) Montrer que le point M appartient au cercle (C) de centre A et de rayon 1.
2) Exprimer l'angle (→AB, →AM) en fonction de θ.
En déduire l'ensemble (E) des points M quand θ décrit l'intervalle ]0; π[.
3) On appelle M′ l'image de M par la rotation de centre O et d'angle −2θ et on note z′ l'affixe de M′. Montrer que z′=¯z, puis que M′ appartient à (C).
4) Dans toute la suite, on choisit θ=π3.
On appelle r la rotation de centre O et d'angle −2π3 et A′ l'image de A par r.
a) Définir l'image (C′) du cercle (C) par r.
Placer sur une figure A, B, (C), M, (C′) puis le point M′ image de M par r.
b) Montrer que le triangle AMO est équilatéral.
c) Montrer que (C) et (C′) se coupent en O et en M′.
d) Soit le point P symétrique de M par rapport à A.
Montrer que M′ est le milieu de [A′P]
Exercice 23
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; →u, →v).
Pour tout point P, on convient de noter ZP son affixe.
1) On considère dans l'ensemble des complexes l'équation (E) : z3+8=0
a) Déterminer les réels a, b, c tels que z3+8=(z+2)(az2+bz+c) pour tout complexe z.
b) Résoudre l'équation (E) (on donnera les solutions sous forme algébrique).
c) Écrire ces solutions sous la forme reiθ, où r est un réel positif.
2) On considère les points A, B et C d'affixes respectives : −2, 1−i√3 et 1+i√3, le point D milieu de [OB] et la rotation R de centre O et d'angle 2π3.
a) Montrer que R(A)=B, R(B)=C et R(C)=A.
En déduire que le triangle ABC est équilatéral.
Placer A, B, C, D dans le plan.
b) On considère le point L défini par →AL=→OD.
Déterminer son affixe ZL.
Déterminer un argument de ZLZD.
En déduire que le vecteur →OL est orthogonal au vecteur →OD et au vecteur →AL.
Montrer que L est sur le cercle de diamètre [AO].
Placer L sur la figure.
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
lun, 01/11/2021 - 10:27
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s entrainer
Thiamas (non vérifié)
jeu, 03/11/2021 - 12:31
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C'est intéressant vraiment
Anonyme (non vérifié)
ven, 05/21/2021 - 20:32
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pk y'a pas de correction
Amazon (non vérifié)
ven, 12/10/2021 - 20:09
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Apprendre à étudier
Anonyme (non vérifié)
mar, 05/03/2022 - 20:58
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cest ou les corrections svp
Koïvogui Franco (non vérifié)
mer, 01/04/2023 - 02:25
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Avoir mon bac cette année
Koïvogui Franco (non vérifié)
mer, 01/04/2023 - 02:25
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Avoir mon bac cette année
Lawan LMG Maham... (non vérifié)
lun, 10/16/2023 - 13:47
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Candidat
Anonyme (non vérifié)
mar, 10/17/2023 - 21:40
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correction svp
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