Exercices d'entrainement types du Bac : Similitudes

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$ On considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'.$

Reconnaitre la nature de $f$ et préciser ses éléments caractéristiques dans chacun des cas suivants :

 

1) 

a) $z'=\mathrm{i}\sqrt{3}z\qquad\text{b) }z'=2z+3\mathrm{i}$

 

2)

a) $z'=(1-\mathrm{i})z+2-\mathrm{i}\qquad\text{b) }z'=z+2-\mathrm{i}$

 

3)

a) $z'=(1+\mathrm{j})z\qquad\text{b) }z'=\mathrm{i}\overline{z}$

 

4) 

a) $z'=-z\qquad\text{b) }z'=\overline{z}\qquad\text{c) }z'=-\overline{z}$

 

5)

a) $z'=\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\right)z\qquad\text{b) }z'=-5z-6\mathrm{i}$

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{2}$ et $H$ le pied de sa hauteur issue de $A.$

Démontrer que les triangles $BHA$ et $AHC$ sont directement semblables et donner les éléments de la similitude directe transformant $BHA$ en $AHC$

Soit un triangle $ABC$ et $M$ le point de la bissectrice de l'angle $\widehat{A}$ tel que : $AM^{2}=AB\times AC.$

Démontrer que les triangles $ABM$ et $AMC$ sont directement semblables et donner les éléments de la similitude directe transformant $ABM$ en $AMC.$

Dans un triangle $ABC$ non isocèle, la bissectrice de l'angle $\widehat{A}$ coupe $[BC]$ en $I.$ La perpendiculaire à $(AI)$ issue de $B$ coupe $(AI)$ en $H$ et la perpendiculaire à $(AI)$ issue de $C$ coupe $(AI)$ en $K.$

 

a) Démontrer que les triangles $IKC$ et $IHB$ sont directement semblables et donner les éléments de la similitude directe transformant $IKC$ en $IHB.$

 

b) Démontrer que les triangles $ABH$ et $ACK$ sont semblables. Sont-ils directement semblables ?

Dans le plan orienté, on considère un triangle $ABC$, rectangle et isocèle en $A.$ On suppose que $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi].$ On note $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $C.$

 

1) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe $s$ qui transforme $A'$ en $C$ et $C$ en $B.$

 

2) Quelle est la transformée de la droite $(AC)$ par la similitude $s$ ?

 

3) Soit $\Omega$ le centre de la similitude $s.$

Démontrer que le triangle $\Omega CB$ est rectangle isocèle.

En déduire une construction de $\Omega.$

Dans le plan orienté, on considère un carré $AOBO'$ de sens direct. Soit $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ les cercles de centres respectifs $O$ et $O'$ et rayon $OA.$

Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$ distinct de $B$ et $M'$ le point de $\mathcal{C}'$ tel que : $(\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{O'M'})=-\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi].$

Les droites $(BM)$ et $(BM')$ recoupent respectivement $\mathcal{C}'$ en $N'$ et $\mathcal{C}$ en $N.$

 

1) En utilisant la rotation de centre $B$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$, démontrer que les droites $(BM)$ et $(BM')$ sont perpendiculaires.

 

2) On construit les carrés $MBM'P$ et $NBN'Q$. Montrer que les points $P$ et $Q$ sont respectivement les images des points $M$ et $N$ par une similitude directe de centre $B$ dont on précisera le rapport et l'angle.

 

3) En déduire que le triangle $BPQ$ est rectangle en $B.$

 

4) En choisissant $(O;\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OA})$ comme repère du plan, écrire l'expression complexe de la similitude $s.$

 

5) Déterminer les ensembles des points $P$ et $Q$ lorsque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ :

 

a) par un raisonnement géométrique;

b) en utilisant l'expression complexe de $s.$

Dans le plan orienté, on considère un point $O.$ A tout point $M$ du plan, on associe le point $G$ ainsi défini :

- si $M$ est en $O$, alors $G$ est en $O$;

- si $M$ est distinct de $O$, on construit le triangle $OMM'$, rectangle en $M$ et tel que  $(\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{OM'})=\dfrac{\pi}{4}.$

$G$ est alors le centre de gravité du triangle $OMM'.$

 

1) Montrer que si $M$ est distinct de $O$ :

 

a) $\cos(\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{OG})=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\text{ et }\sin(\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{OG})=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\;;$

 

b) $\dfrac{OG}{OM}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$

 

2) Déduire de la question précédente la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $S$ qui à tout point $M$ associe le point $G.$

Dans le plan complexe $P$ rapporté au repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$, on donne les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives $\mathrm{i}\;,\ \sqrt{2}$ et $\sqrt{2}+\mathrm{i}$; on appelle $I\;,\ J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[OB]\;,\ [AC]$ et $[BC]$ et $s$ la similitude directe qui transforme $A$ en $I$ et $O$ en $B.$

 

1) a) Déterminer le rapport et l'angle de $s.$

 

b) Donner l'écriture complexe de $s.$

 

c) En déduire l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de $s.$ Représenter $\Omega$ dans le plan $P.$

 

d) Quelle est l'image par $s$ du rectangle $AOBC$ ?

 

2) On considère la transformation $s^{2}=s\circ s.$

 

a) Quelles sont les images des points $O\;,\ B$ et $A$ par $s^{2}$ ?

 

b) Montrer que $s^{2}$ est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.

 

c) En déduire que les droites $(OC)\;,\ (BJ)$ et $(AK).$

 

3) On définit la suite de points $A_{n}$ de la façon suivante :

$A_{0}=A$ et pour tout entier naturel $n\;,\ A_{n+1}=s(A_{n}).$

 

a) Préciser les points $A_{1}\;,\ A_{2}$ et $A_{3}$ sur la figure de 1)c).

 

On note $u_{n}$ la longueur du segment $[A_{n}A_{n+1}].$

Exprimer $u_{n}$ en fonction de $u_{n-1}.$

Calculer $u_{0}$ et en déduire $u_{n}$ en fonction de $n.$

Dans un plan orienté on considère un triangle  isocèle $AHH'$ tel que : $$(\overrightarrow{HH'},\ \overrightarrow{HA})=\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$$

Soit $(D)$ la droite $(HH')$.

$M$ est un point quelconque de la droite $(D)$ et $M'$ le point tel que le triangle $AMM'$ est rectangle isocèle et vérifie $(\overrightarrow{MM'},\ \overrightarrow{MA})=\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi].$

 

1) Préciser la similitude directe de centre $A$ qui transforme $M$ en $M'.$

 

2) Montrer que l'ensemble $(E)$ des points $M'$, quand $M$ décrit la droite $(D)$, est la droite perpendiculaire en $H'$ à la droite $(AH').$

 

3) Soit $J$ le milieu de $[MM']$ et $J_{0}$ le milieu de $[HH'].$

 

a) Calculer $\dfrac{AJ}{AM}$ et montrer que $(\overrightarrow{AM},\ \overrightarrow{AJ})$ est indépendant de $M.$

 

b) Quelle est la nature de l'ensemble $(F)$ des points $J$ lorsque $M$ décrit la droite $(D)$ ?

 

c) Préciser la position de $(F)$.

Représente $(F)$ sur une figure.

Dans le plan orienté, $OIKJ$ désigne un carré de coté 1 tel que $+\dfrac{\pi}{2}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{OJ}).$ $A$ est un point quelconque de la droite $(IJ)$ différent de $I.$

 

 

$s$ désigne la similitude directe de centre $O$ qui transforme $I$ en $A.$ Les images de $J\;,\ K$ et $A$ par $s$ sont respectivement notées $J'\;,\ K'$ et $A'.$

 

1) a) Quelle est la nature du quadrilatère $OAK'J'$ ?

 

b) Prouver que les points $J'\;,\ A$ et $A'$ sont alignés.

 

c) Comparer les angles $(\overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{OA})$ et $(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OA'}).$

 

d) Reproduire le dessin ci-dessus et construire les points $J'\;,\ K'$ et $A'.$

 

e) Prouver que $A'O=A'K'$.

 

2) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $(O;\ \overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{OJ})$, on note dorénavant $a$ l'affixe du point $A$ et $\alpha$ un argument de $a.$

 

a) Prouver que $a-1$ admet pour argument $-\dfrac{\pi}{4}$ ou $\dfrac{3\pi}{4}.$

 

b) En utilisant la réflexion d'axe $(IJ)$ prouver que $(\overrightarrow{OI},\ \overrightarrow{OA})=(\overrightarrow{kA},\ \overrightarrow{KI}).$

En déduire qu'un argument de $a-(1+\mathrm{i})$ admet pour mesure $-\alpha-\dfrac{\pi}{2}.$

 

3) a) Prouver que si $z'$ désigne l'affixe du point $M'$, image du point $M$ d'affixe $z$ par $s\;,\ z'=az.$

 

b) Déterminer $k'$ et $a'$ les affixes respectives des points $K'$ et $A'$ en fonction de $a.$

 

c) On note $z_{1}$ et $z_{2}$ les affixes respectives de $\overrightarrow{KK'}$ et de $\overrightarrow{K'A'}.$

En utilisant la question 2), prouver que $z_{1}$ est un réel et que $z_{2}$ est un imaginaire pur.

 

4) Prouver que $K'$ est le projeté orthogonal de $A'$ sur la droite $(JK).$