Exercices d'entrainement types du Bac : Similitudes
Classe:
Terminale
Exercice 1
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O; →u, →v). On considère l'application f du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′.
Reconnaitre la nature de f et préciser ses éléments caractéristiques dans chacun des cas suivants :
1)
a) z′=i√3zb) z′=2z+3i
2)
a) z′=(1−i)z+2−ib) z′=z+2−i
3)
a) z′=(1+j)zb) z′=i¯z
4)
a) z′=−zb) z′=¯zc) z′=−¯z
5)
a) z′=(−12+√32i)zb) z′=−5z−6i
Exercice 2
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que (→AB, →AC)=π2 et H le pied de sa hauteur issue de A.
Démontrer que les triangles BHA et AHC sont directement semblables et donner les éléments de la similitude directe transformant BHA en AHC
Exercice 3
Soit un triangle ABC et M le point de la bissectrice de l'angle ˆA tel que : AM2=AB×AC.
Démontrer que les triangles ABM et AMC sont directement semblables et donner les éléments de la similitude directe transformant ABM en AMC.
Exercice 4
Dans un triangle ABC non isocèle, la bissectrice de l'angle ˆA coupe [BC] en I. La perpendiculaire à (AI) issue de B coupe (AI) en H et la perpendiculaire à (AI) issue de C coupe (AI) en K.
a) Démontrer que les triangles IKC et IHB sont directement semblables et donner les éléments de la similitude directe transformant IKC en IHB.
b) Démontrer que les triangles ABH et ACK sont semblables. Sont-ils directement semblables ?
Exercice 5
Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC, rectangle et isocèle en A. On suppose que (→AB, →AC)=π2 [2π]. On note A′ le symétrique de A par rapport à C.
1) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe s qui transforme A′ en C et C en B.
2) Quelle est la transformée de la droite (AC) par la similitude s ?
3) Soit Ω le centre de la similitude s.
Démontrer que le triangle ΩCB est rectangle isocèle.
En déduire une construction de Ω.
Exercice 6
Dans le plan orienté, on considère un carré AOBO′ de sens direct. Soit C et C′ les cercles de centres respectifs O et O′ et rayon OA.
Soit M un point du cercle C distinct de B et M′ le point de C′ tel que : (→OM, →O′M′)=−π2 [2π].
Les droites (BM) et (BM′) recoupent respectivement C′ en N′ et C en N.
1) En utilisant la rotation de centre B et d'angle −π2, démontrer que les droites (BM) et (BM′) sont perpendiculaires.
2) On construit les carrés MBM′P et NBN′Q. Montrer que les points P et Q sont respectivement les images des points M et N par une similitude directe de centre B dont on précisera le rapport et l'angle.
3) En déduire que le triangle BPQ est rectangle en B.
4) En choisissant (O; →OB, →OA) comme repère du plan, écrire l'expression complexe de la similitude s.
5) Déterminer les ensembles des points P et Q lorsque M décrit le cercle C :
a) par un raisonnement géométrique;
b) en utilisant l'expression complexe de s.
Exercice 7
Dans le plan orienté, on considère un point O. A tout point M du plan, on associe le point G ainsi défini :
- si M est en O, alors G est en O;
- si M est distinct de O, on construit le triangle OMM′, rectangle en M et tel que (→OM, →OM′)=π4.
G est alors le centre de gravité du triangle OMM′.
1) Montrer que si M est distinct de O :
a) cos(→OM, →OG)=2√55 et sin(→OM, →OG)=√55;
b) OGOM=√55.
2) Déduire de la question précédente la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S qui à tout point M associe le point G.
Exercice 8
Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct (O; →u, →v), on donne les points A, B et C d'affixes respectives i, √2 et √2+i; on appelle I, J et K les milieux respectifs des segments [OB], [AC] et [BC] et s la similitude directe qui transforme A en I et O en B.
1) a) Déterminer le rapport et l'angle de s.
b) Donner l'écriture complexe de s.
c) En déduire l'affixe ω du centre Ω de s. Représenter Ω dans le plan P.
d) Quelle est l'image par s du rectangle AOBC ?
2) On considère la transformation s2=s∘s.
a) Quelles sont les images des points O, B et A par s2 ?
b) Montrer que s2 est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.
c) En déduire que les droites (OC), (BJ) et (AK).
3) On définit la suite de points An de la façon suivante :
A0=A et pour tout entier naturel n, An+1=s(An).
a) Préciser les points A1, A2 et A3 sur la figure de 1)c).
On note un la longueur du segment [AnAn+1].
Exprimer un en fonction de un−1.
Calculer u0 et en déduire un en fonction de n.
Exercice 9
Dans un plan orienté on considère un triangle isocèle AHH′ tel que : (→HH′, →HA)=π2 [2π]
Soit (D) la droite (HH′).
M est un point quelconque de la droite (D) et M′ le point tel que le triangle AMM′ est rectangle isocèle et vérifie (→MM′, →MA)=π2 [2π].
1) Préciser la similitude directe de centre A qui transforme M en M′.
2) Montrer que l'ensemble (E) des points M′, quand M décrit la droite (D), est la droite perpendiculaire en H′ à la droite (AH′).
3) Soit J le milieu de [MM′] et J0 le milieu de [HH′].
a) Calculer AJAM et montrer que (→AM, →AJ) est indépendant de M.
b) Quelle est la nature de l'ensemble (F) des points J lorsque M décrit la droite (D) ?
c) Préciser la position de (F).
Représente (F) sur une figure.
Exercice 10
Dans le plan orienté, OIKJ désigne un carré de coté 1 tel que +π2 soit une mesure de (→OI, →OJ). A est un point quelconque de la droite (IJ) différent de I.

s désigne la similitude directe de centre O qui transforme I en A. Les images de J, K et A par s sont respectivement notées J′, K′ et A′.
1) a) Quelle est la nature du quadrilatère OAK′J′ ?
b) Prouver que les points J′, A et A′ sont alignés.
c) Comparer les angles (→OI, →OA) et (→OA, →OA′).
d) Reproduire le dessin ci-dessus et construire les points J′, K′ et A′.
e) Prouver que A′O=A′K′.
2) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O; →OI, →OJ), on note dorénavant a l'affixe du point A et α un argument de a.
a) Prouver que a−1 admet pour argument −π4 ou 3π4.
b) En utilisant la réflexion d'axe (IJ) prouver que (→OI, →OA)=(→kA, →KI).
En déduire qu'un argument de a−(1+i) admet pour mesure −α−π2.
3) a) Prouver que si z′ désigne l'affixe du point M′, image du point M d'affixe z par s, z′=az.
b) Déterminer k′ et a′ les affixes respectives des points K′ et A′ en fonction de a.
c) On note z1 et z2 les affixes respectives de →KK′ et de →K′A′.
En utilisant la question 2), prouver que z1 est un réel et que z2 est un imaginaire pur.
4) Prouver que K′ est le projeté orthogonal de A′ sur la droite (JK).
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
lun, 05/16/2022 - 06:15
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Merci beaucoup c'est très
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