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Exercices : Vecteurs 3e

Classe:

Troisième

Exercice 1

$L,\ O,\ U$ sont trois points non alignés du plan.

$S$ est le milieu du segment

$[OU].$

1) Construis le point

$I$ tel que :

$\overrightarrow{LI}=\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{LU}$

2) Démontre que :

$\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{LU}=2\overrightarrow{LS}$

Exercice 2

Un parallélogramme

$ABCD$ a pour centre

$O$ . Soit

$M$ un point quelconque du plan.

1) Construire un point

$N$ tel que

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MN}$

2) Montrer que

$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MO}$

3) Montrer que

$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MN}$

4) En déduire que

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$

Exercice 3

Soit un parallélogramme

$ABCD.$ Place un point

$M$ quelconque sur la diagonale

$[BD].$

1) Construis les points

$E$ et

$F$ vérifiant :

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AF}$

2) Cite deux vecteurs égaux à

$\overrightarrow{AD}$ . En déduire que

$MBCE$ est un parallélogramme.

3) Cite deux vecteurs égaux à

$\overrightarrow{AB}$ . Que peut-on en déduire pour le quadrilatère

$MDCF\; ?$

4) Démontre, en utilisant les questions précédentes, que les points

$E,\ C$ et

$F$ sont alignés.

Exercice 4

1) Construire le triangle

$ABC$ tel que

$AB=5\;cm\;;\ AC=4\;cm$ et

$BC=3\;cm.$

2) On pose

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}\;;\ \vec{v}=\overrightarrow{AC}$ . Construire

$\vec{u}+\vec{v}$

3) Placer le point

$E$ tel que

$\overrightarrow{AE}=\vec{u}+\vec{v}$ et diviser le segment

$[AE]$ en trois parties égales.

4) On pose

$\vec{w}=\overrightarrow{BC}$ . Construire

$\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$

5) Soit

$G$ un point du plan tel que

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}.$

Démontrer que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}$

Exercice 5

1) a) Tracer un rectangle

$ABCD$ de centre

$I.$

Construire le point

$K$ tel que

$\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}$

b) Montrer que le quadrilatère

$AKBI$ est un losange.

2) a) Construire le point

$P$ , symétrique de

$I$ par rapport à

$B$ , et le point

$R$ , symétrique de

$K$ par rapport à

$B.$

b) Prouver que les points

$I,\ K,\ P$ et

$R$ sont sur un même cercle. Indiquer le centre et le rayon de ce cercle. Construire ce cercle sur la figure.

c) En déduire la nature du quadrilatère

$IKPR$ .

Exercice 6

1) Construire un triangle isocèle

$ABC$ de sommet

$A$ tel que :

$AB=4.5\;cm$ et

$BC=5.4\;cm$

Placer le point

$H$ , pied de la hauteur issue de

$A$ , et le point

$M$ , milieu de

$[AB].$

2) Justifier que

$H$ est le milieu de

$[BC].$

3) Calculer la longueur du segment

$[MH].$

4) Construire le point

$D$ , symétrique du point

$M$ par rapport au point

$H$ . Quelle est la nature du quadrilatère

$BMCD\; ?$ Justifier la réponse.

5) Démontrer que :

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MD}$

Exercice 7

Soit

$I$ le milieu d'un segment

$[AB]$ et

$M$ un point n'appartenant pas à

$(AB).$

1)Construire les points

$C$ et

$D$ tels que

$\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IM}$

2) Démontrer que

$M$ est le milieu de

$[CD]$

3) Démontrer que

$\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BM}$

4) Soit

$E$ le symétrique de

$I$ par rapport à

$M$ . Démontrer que

$\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IE}$

Exercice 8

$A,\ B$ et

$C$ sont trois points non alignés.

1) Construis le point

$L$ tel que

$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BL}$

2) La parallèle à

$(AC)$ passant par

$L$ coupe

$(BA)$ en

$M$ et

$(BC)$ en

$N$

Démontre que

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{LN}$

Exercice 9

Soit

$ABC$ un triangle ;

$\vec{u}$ et

$\vec{v}$ deux vecteurs tels que

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et

$\vec{v}=\overrightarrow{AC}$

Soit

$I$ le milieu de

$[BC]$

1) Démontrer que

$\vec{u}+\vec{v}=2\overrightarrow{AI}$

2) Soit

$D$ le point tel que

$\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AD}$ ; la parallèle à

$(BC)$ passant par

$D$ coupe

$(AB)$ en

$E$ et

$(AC)$ en

$F.$

Démontrer que

$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}$ et

$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AC}$

3) Déterminer le réel

$k$ tel que

$\overrightarrow{EF}=k\overrightarrow{CB}$

4) Démontrer que

$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{AI}$

Exercice 10

1) Tracer un triangle

$BDS$ et marquer le milieu

$I$ du segment

$[SD]$

2) Construire le point

$H$ symétrique du point

$B$ par rapport à

$I.$

3) Démontrer que

$\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{SB}$

4) Construire le point

$R$ , image du point

$D$ par la translation de vecteur

$\overrightarrow{SB}$

5) Démontrer que le point

$D$ est le milieu du segment

$[HR].$

Exercice 11

$A,\ B$ et

$C$ sont trois points du plan.

$M'$ est l'image de

$M$ par la translation de vecteur

$\overrightarrow{AB}$ et

$M''$ est l'image de

$M'$ par la translation de vecteur

$\overrightarrow{BC}.$

1) Démontrer que

$\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{AB}$ et

$\overrightarrow{M'M''}=\overrightarrow{BC}$

2) Démontrer que

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CM''}$

3) Démontrer que

$\overrightarrow{MM''}=\overrightarrow{AC}$

Exercice 12

1) Construire un triangle isocèle

$ABC$ de sommet

$A$ tel que

$AB=4.5\;cm$ et

$BC=5.4\;cm.$

Placer le point

$H$ , pied de la hauteur issue de

$A$ , et le point

$M$ , milieu de

$[AB].$

2) Justifier que

$H$ est milieu de

$[BC]$ .

3) Calculer la longueur du segment

$[HA]$ .

4) Construire le point

$D$ , symétrique du point

$M$ par rapport au point

$H.$

Quelle est la nature du quadrilatère

$BMCD$ ? Justifier la réponse.

5) Démontrer que :

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MD}$

Exercice 13

Dessiner un triangle quelconque

$ABC$ , placer un point

$M$ sur

$[AB]$ , et un point

$N$ sur

$[AC]$ de façon à ce que les droites

$(MN)$ et

$(BC)$ soient parallèles.

1) Soit

$K$ le point de

$(BC)$ tel que

$(NK)$ soit parallèle à

$(AB)$ . Recopier et compléter :

$\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{BM}=\ldots\qquad\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{KC}=\ldots$

2) Quelle est l'image de

$B$ par la translation de vecteur

$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{KM}\; ?$ Justifier.

Exercice 14

Simplifier les expressions suivantes en précisant les propriétés de l'addition vectorielle utilisées.

$\vec{E}_{1}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{FG}-\overrightarrow{FE}+\vec{0}-\overrightarrow{AC}$

$\vec{E}_{2}=5\sqrt{3}\overrightarrow{AB}-2\sqrt{2}\overrightarrow{DC}-2\sqrt{3}\overrightarrow{BA}-5\sqrt{2}\overrightarrow{DC}$

Exercice 15

Répondre par vrai on faux en justifiant la réponse

1) Si

$ABCD$ est un parallélogramme alors :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}.$

2) Si

$E\;,\ D$ et

$F$ sont trois points distincts du plan d'après la relation de Chasles on a :

$\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{EF}$

3) Le vecteur

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}$ est un vecteur nul.

4) Si

$ABCD$ est un parallélogramme de centre

$O$ alors :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{OC}$

5) Si

$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{RS}$ alors les segments

$[AS]$ et

$[RE]$ ont le même milieu.

Exercice 16

Démontrer chacune des égalités suivantes.

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$

Exercice 17

On donne les égalités vectorielles suivantes :

$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}$ et

$\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{EF}.$

1) Exprimer

$\overrightarrow{AB}$ en fonction de

$\overrightarrow{EF}.$

2) Exprimer

$\overrightarrow{EF}$ en fonction de

$\overrightarrow{AB}$

3) Conclure.

Exercice 18

Soit

$ABC$ un triangle tel que :

$AB=2\;cm\;;\ AC=3\;cm$ et

$BC=4\;cm.$

1) Construire le point

$M$ tel que :

$\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CA}$

2) Construire le point

$M$ tel que :

$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}$

3) Montrer que :

$\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AN}$

En déduire que les points

$A\;,\ M$ et

$N$ sont alignés.

Exercice 19

$ABC$ est un triangle et

$G$ le point du plan tel que :

$\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\vec{0}.$

1) Montrer que le point

$G$ est unique.

2) Construire le point

$G.$

3) Soit

$I$ milieu de

$[AB]$ ; montrer que :

$\overrightarrow{IG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GC}.$

Exercice 20

1) On considère un triangle

$ABC$ , tel que :

$AB=5\;cm\;;\ BC=6\;cm$ et

$AC=7\;cm.$ Soit

$I$ milieu de

$[AB].$

Construire le point

$G$ centre gravité du triangle

$ABC.$

2) Sachant que :

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}.$ Démontrer que pour tout point

$M$ du plan, on a :

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

Exercice 21

$ABC$ est un triangle quelconque, les points

$D$ et

$F$ sont tels que :

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BA}$ et

$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$

1) Démontrer que :

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}$

2) Construire les points

$D$ et

$F.$

3) En déduire que le point

$B$ est le milieu du segment

$[DF].$

Exercice 22

1) On considère un segment

$[AB]$ de milieu

$I$ , démontrer que pour tout point

$M$ ,

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

$ABC$ est un triangle, on suppose qu'il existe un point

$H$ tel que

$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\vec{0}$ , en utilisant

$I$ milieu de

$[AB]$ , démontrer que

$H$ est un point de

$[IC].$

Exercice 23

Reproduis la figure ci-dessous en utilisant le quadrillage du cahier puis construis les vecteurs

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ ;

$\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$ ;

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$ ;

$\overrightarrow{s}+\overrightarrow{t}$

Exercice 24

a) Construis un triangle

$ABC$ tel que

$AB=4\;cm$ ,

$AC=3.5\;cm$ et

$BC=3\;cm.$

b) Construis les vecteurs :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ;

$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ et

$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}.$

c) Marque le point

$E$ milieu de

$[AB]$ puis construis le vecteur

$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CB}$

Exercice 25

Soit

$ABC$ un triangle.

1) a) Construis les points

$E$ et

$F$ tels que :

$\overrightarrow{CE}=\dfrac{-1}{3}\overrightarrow{CA}$ et

$\overrightarrow{CF}=\dfrac{-1}{3}\overrightarrow{CB}.$

b) Démontre que les droites

$(EF)$ et

$(AB)$ sont parallèles.

2) a) Construis les points

$O$ et

$N$ tels que :

$\overrightarrow{EO}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{EF}$ et

$\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}$

b) Démontre que les points

$C$ ,

$O$ et

$N$ sont alignés.

Exercice 26

Reproduis la figure ci-dessous en utilisant le quadrillage du cahier puis construis les vecteurs :

$2\overrightarrow{u}\;;\ \overrightarrow{-u}$ ;

$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}\;;\ -\dfrac{2}{3}\overrightarrow{u}.$

Exercice de Synthèse

a) Tracer un parallélogramme

$ABCD$ de centre

$O.$

On note

$I$ le milieu de

$[AB].$

b) Simplifier les sommes vectorielles suivantes en un seul vecteur

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\ldots$

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\ldots$

$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=\ldots$

$\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{AD}=\ldots$

$ABCD$ est un parallélogramme alors :

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$

II. Pour trois points quelconques du plan

$M$ ,

$N$ et

$P$ :

$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}$ est égal à :

$\overrightarrow{NP}$ b)

$\overrightarrow{PM}$ c)

$\overrightarrow{MP}$

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

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Commentaires

Anonyme (non vérifié)

mer, 05/01/2019 - 00:31

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Vous êtes les meilleurs

Vous êtes les meilleurs continuez

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Anonyme (non vérifié)

mar, 07/02/2019 - 16:37

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Je vous remercie de votre

Je vous remercie de votre aide

répondre

Anonyme (non vérifié)

mer, 01/08/2020 - 00:44

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Comment faire pour obtenir le

Comment faire pour obtenir le support de cours électronique

répondre

Anonyme (non vérifié)

mer, 01/08/2020 - 00:44

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répondre

ibrahima BA (non vérifié)

lun, 08/31/2020 - 21:55

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c'est super

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Anonyme (non vérifié)

mar, 02/23/2021 - 13:08

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mmlljml

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Anonyme (non vérifié)

jeu, 07/01/2021 - 17:50

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Merci pour votre aide

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Anonyme (non vérifié)

lun, 07/05/2021 - 16:01

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Mary (non vérifié)

mar, 08/03/2021 - 12:37

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Excellent

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ALHASSANE DABO (non vérifié)

mar, 09/06/2022 - 12:22

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Bien

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Anonyme (non vérifié)

sam, 01/18/2025 - 11:15

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bon choix des exercices avec

bon choix des exercices avec bonne présentation. Bon courage.

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