Fonction Ln - TL

 

Nous admettrons qu'il existe une seule fonction $F$ ayant les trois propriétés suivantes :

 

$\bullet\ $Elle n'est définie que pour $x>0$, soit sur $]0\ ;\ +\infty[$ ;

 

$\bullet\ $Elle s'annule pour $x=1$, soit $F(1)=0.$

 

$\bullet\ $Elle admet pour fonction dérivée $F'$ telle que $F'(x)=\dfrac{1}{x}\forall\,x>0.$

 

Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien $($notée en abrégé $\ln).$

1. $\forall\;a>0$, $\forall\;b>0$, $\ln ab=\ln a+\ln b.$

 

2. $\forall a\;>0$, $\forall\;b>0$, $\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$

 

3. $\forall\;n\in\mathbb{Z}$, $\forall\;a>0$, $\ln a^{n}=n\ln a$

$\forall\;a>0$, $\ln\dfrac{1}{a}=-\ln a.$

 

4. $\forall\;a>0$, $=\ln\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a.$

 

$\bullet\ $Limites importantes

 

$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;0^{+}}\ln x=-\infty$

 

$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}\ln x=+\infty$

 

$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;0^{+}}x\ln x=0$

 

$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$

 

$\lim\limits_{x\;\longrightarrow\;0^{+}}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1.$

Par définition, la fonction $\ln$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+\ast}$ et on a :

 

$(\ln x)^{\prime}=\dfrac{1}{x}\forall\;x>0$

 

Tableau de variation 

Tableau

 

Tableau de valeurs

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0.1&0.3&0.5&1&2&3\\ \hline \ln x&-2.303&-1.204&-0.693&0&0.693&1.099\\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline x&4&5&6&7&8&9\\ \hline \ln x&1.386&1.609&1.792&1.946&2.079&2.197\\ \hline \end{array}$$

Donner les équations des tangentes à $\mathfrak{C}$, courbe représentative de $\ln$ aux points d'abscisse respectives $1$ et $\mathrm{e}$

 

La fonction la réalise une bijection de $]0\ ;\ +\infty[$ vers $\mathbb{R}.$

 

Cela signifie que pour tout réel $\lambda$ l'équation $f(x)=\lambda$ admet une solution et une seule.

 

En particulier, il existe un nombre et un seul, noté $\mathrm{e}$ tel que : $\ln\mathrm{e}=1.$