Généralités sur les fonctions numériques - 1er L
Classe:
Première
I. Fonction numérique d'une variable réelle
1. Définition
Une fonction numérique de la variable réelle x notée f est définie par une expression notée f(x) donnée en fonction de x.
2. Exemples
√ L'expression f(x) donnée par f(x)=2x3+x2−25x+12 définie une fonction numérique de la variable réelle x notée f.
√ L'expression g(x) donnée par g(x)x−23x+1
définie une fonction numérique de la variable réelle x notée g.
3. Ensemble de définition d'une fonction numérique
a. Définition
Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par l'expression f(x).
L'ensemble de définition de f ou domaine de définition de f notée Df est l'ensemble des réels x pour lesquels l'expression f(x) existe.
b. Ensemble de définition d'une fonction polynôme
Si f est une fonction définie par une expression f(x) qui est un polynôme alors l'ensemble de définition de f est Df=R=]−∞ ; +∞[
√ Exemple
Soit f la fonction numérique définie par f(x)=2x3+x2−25x+12.
L'ensemble de définition de la fonction f est Df
c. Fraction rationnelle
i. Définition et Exemple
On dit qu'une fonction f est une fraction rationnelle si son expression f(x) est donnée par un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.
Par exemple, la fonction f définie par f(x)=x3−2x+13x+1 est une fraction rationnelle.
ii. Ensemble de définition d'une fraction rationnelle
√ Soit f une fraction rationnelle.
L'ensemble de définition DSf de f est l'ensemble des nombres réels x pour lesquels son dénominateur est différent de zéro autrement dit c'est l'ensemble de tous les nombres réels sauf les racines de son dénominateur.
√ Exemples
Soit f la fonction numérique définie par f(x)=x3−2x+13x+1.
Déterminons Df, f est une fraction rationnelle donc f(x) existe ⇔3x+1≠0.
Ainsi pour trouver Df, on peut chercher les racines de 3x+1 c'est-à-dire les solutions de l'équation 3x+1=0
3x+1=0 ⇔ 3x=−1 ⇔ x=−13.
Par suite Df est l'ensemble de tous les nombres réels sauf −13.
Cet ensemble est noté R∖{−13} et est égal à ]−∞ ; −13[⋃]−13 ; +∞[.
On a donc Df=]−∞ ; −13[⋃]−13 ; +∞[.
Exercice d'application :
Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
1. f la fonction numérique définie par f(x)=4x−1−x+3
2. g est la fonction définie par g(x)=x4x2+x−6
II. Parité d'une fonction
1. Ensemble symétrique par rapport à zéro
a. Définition
Un ensemble de nombres réels est dit symétrique par rapport à zéro si à chaque fois qu'il contient un nombre réel alors il contient nécessairement son opposé.
b. Exemples et contre-exemples
√ R=]−∞ ; +∞[ est symétrique par rapport à 0.
√ R∖0=]−∞ ; 0[⋃]0 ; +∞[ est symétrique par rapport à zéro.
√ Si a est un nombre réel alors R∖a ; −a est symétrique par rapport à zéro.
Par exemple R∖1 ; −1 est symétrique par rapport à zéro.
√ Si a est un nombre réel différent de zéro alors R∖a n'est pas symétrique par rapport à zéro.
Par exemple R∖−12 n'est pas symétrique par rapport à zéro.
√ Si a et b sont des nombres réels qui ne sont pas opposés alors R∖a ; b n'est pas symétrique par rapport à zéro.
Par exemple R∖0 ; 1 n'est pas symétrique par rapport à zéro.
2. Fonction paire et fonction impaire
a. Fonction paire
√ Une fonction f est paire si son ensemble de définition Df est symétrique par rapport à zéro et si f(−x)=f(x) pour tout x∈Df.
√ Exemple :
Soit f la fonction définie par f(x)=x2.
Montrons que f est une fonction paire.
f est une fonction polynôme donc Df=R d'où Df est symétrique par rapport à zéro.
Comparons maintenant f(−x) et f(x).
Comme on connait déjà f(x) alors calculons f(−x).
f(−x)=(−x)2=x2 donc f(−x)=f(x).
Par suite f est une fonction paire.
b. Fonction impaire
√ Une fonction f est impaire si son ensemble de définition Df est symétrique par rapport à zéro et si f(−x)=−f(x) pour tout x∈Df.
Exemple :
Soit f la fonction définie par f(x)=x3.
Montrons que f est une fonction impaire.
f est une fonction polynôme donc Df=R d'où Df est symétrique par rapport à zéro.
Comparons maintenant f(−x) et −f(x).
Calculons d'abord f(−x).
On a : f(−x)=(−x)3=−x3.
Calculons ensuite −f(x).
On a : −f(x)=−x3.
D'où f(−x)=−f(x).
Par suite f est une fonction impaire.
c. Remarque
∙ Si l'ensemble de définition Df de f n'est pas symétrique par rapport à zéro ou bien si f(−x)≠f(x) et f(−x)≠−f(x) alors f n'est ni une fonction paire ni une fonction impaire.
∙ Étudier la parité d'une fonction f, c'est étudier si la fonction f est paire ou bien impaire.
d. Exercice d'application
Étudier la parité des fonctions définies ci-dessous :
1. f(x)=x4x2−4
2. g(x)=x3−xx2+1
3. h(x)=3x−1x−3
Commentaires
Khadim Diaw (non vérifié)
mar, 01/31/2023 - 20:40
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