Généralités sur les fonctions numériques - 1er L

Classe: 
Première
 

I. Fonction numérique d'une variable réelle

1. Définition

Une fonction numérique de la variable réelle x notée f est définie par une expression notée f(x) donnée en fonction de x.

2. Exemples

 L'expression f(x) donnée par f(x)=2x3+x225x+12 définie une fonction numérique de la variable réelle x notée f.
 
 L'expression g(x) donnée par g(x)x23x+1 
 
définie une fonction numérique de la variable réelle x notée g.

3. Ensemble de définition d'une fonction numérique

a. Définition 

Soit f une fonction numérique de la variable réelle x définie par l'expression f(x).
 
L'ensemble de définition de f ou domaine de définition de f notée Df est l'ensemble des réels x pour lesquels l'expression f(x) existe.

b. Ensemble de définition d'une fonction polynôme

Si f est une fonction définie par une expression f(x) qui est un polynôme alors l'ensemble de définition de f est Df=R=] ; +[

 Exemple

Soit f la fonction numérique définie par f(x)=2x3+x225x+12.
 
L'ensemble de définition de la fonction f est Df

c. Fraction rationnelle

i. Définition et Exemple

On dit qu'une fonction f est une fraction rationnelle si son expression f(x) est donnée par un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. 
 
Par exemple, la fonction f définie par f(x)=x32x+13x+1 est une fraction rationnelle.

ii. Ensemble de définition d'une fraction rationnelle

 Soit f une fraction rationnelle. 
 
L'ensemble de définition DSf de f est l'ensemble des nombres réels x pour lesquels son dénominateur est différent de zéro autrement dit c'est l'ensemble de tous les nombres réels sauf les racines de son dénominateur.

 Exemples

Soit f la fonction numérique définie par f(x)=x32x+13x+1.
 
Déterminons Df, f est une fraction rationnelle donc f(x) existe 3x+10.
 
Ainsi pour trouver Df, on peut chercher les racines de 3x+1 c'est-à-dire les solutions de l'équation 3x+1=0
 
3x+1=0  3x=1  x=13.
 
Par suite Df est l'ensemble de tous les nombres réels sauf 13.
 
Cet ensemble est noté R{13} et est égal à ] ; 13[]13 ; +[.
 
On a donc Df=] ; 13[]13 ; +[.

Exercice d'application : 

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
 
1. f la fonction numérique définie par f(x)=4x1x+3
 
2. g est la fonction définie par g(x)=x4x2+x6

II. Parité d'une fonction

1. Ensemble symétrique par rapport à zéro

a. Définition

Un ensemble de nombres réels est dit symétrique par rapport à zéro si à chaque fois qu'il contient un nombre réel alors il contient nécessairement son opposé.

b. Exemples et contre-exemples

 R=] ; +[ est symétrique par rapport à 0.
 R0=] ; 0[]0 ; +[ est symétrique par rapport à zéro.
 
 Si a est un nombre réel alors Ra ; a est symétrique par rapport à zéro. 
 
Par exemple R1 ; 1 est symétrique par rapport à zéro.
 
 Si a est un nombre réel différent de zéro alors Ra n'est pas symétrique par rapport à zéro. 
 
Par exemple R12 n'est pas symétrique par rapport à zéro.
 
 Si a et b sont des nombres réels qui ne sont pas opposés alors Ra ; b n'est pas symétrique par rapport à zéro. 
 
Par exemple R0 ; 1 n'est pas symétrique par rapport à zéro.

2. Fonction paire et fonction impaire

a. Fonction paire

 Une fonction f est paire si son ensemble de définition Df est symétrique par rapport à zéro et si f(x)=f(x) pour tout xDf.

 Exemple : 

Soit f la fonction définie par f(x)=x2. 
 
Montrons que f est une fonction paire.
 
f est une fonction polynôme donc Df=R d'où Df est symétrique par rapport à zéro.
 
Comparons maintenant f(x) et f(x).
 
Comme on connait déjà f(x) alors calculons f(x).
 
f(x)=(x)2=x2 donc f(x)=f(x).
 
Par suite f est une fonction paire.

b. Fonction impaire

 Une fonction f est impaire si son ensemble de définition Df est symétrique par rapport à zéro et si f(x)=f(x) pour tout xDf.

Exemple : 

Soit f la fonction définie par f(x)=x3. 
 
Montrons que f est une fonction impaire.
 
f est une fonction polynôme donc Df=R d'où Df est symétrique par rapport à zéro. 
 
Comparons maintenant f(x) et f(x). 
 
Calculons d'abord f(x).
 
On a : f(x)=(x)3=x3.
 
Calculons ensuite f(x).
 
On a : f(x)=x3.
 
D'où f(x)=f(x).
 
Par suite f est une fonction impaire.

c. Remarque

 Si l'ensemble de définition Df de f n'est pas symétrique par rapport à zéro ou bien si f(x)f(x) et f(x)f(x) alors f n'est ni une fonction paire ni une fonction impaire.
 
 Étudier la parité d'une fonction f, c'est étudier si la fonction f est paire ou bien impaire.

d. Exercice d'application

Étudier la parité des fonctions définies ci-dessous :
 
1. f(x)=x4x24
 
2. g(x)=x3xx2+1
 
3. h(x)=3x1x3

Commentaires

J'aimerais bien m'exercer et anticiper mes cours au programme

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