La puissance dans D - 5e

Classe: 
Cinquième
 

I. Activités préparatoires

$x\times x=x^{2}$ (2 facteurs égaux à $x$)
 
$x\times x\times x\times x=x^{4}$ (4 facteurs égaux à $x$)
 
Recopie puis complète
 
$a\times a\times a=\ldots\ldots$
 
$b\times b\times b\times b\times b\times b=\ldots\ldots$
 
$\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}=\ldots\ldots$

Résolution

$a\times a\times a=a^{3}$
 
$b\times b\times b\times b\times b\times b=b^{6}$
 
$\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}=\left(\dfrac{1}{c}\right)^{5}=\dfrac{1}{c^{5}}$
 
Si on a $n$ facteurs égaux à $x$, on écrit :
$$x^{n}$$
Dans l'écriture $x^{n}$, le $x$ représente un nombre décimal et le $n$ un entier naturel qui est appelé puissance ou exposant.
 
Exemples : $2\times 2\times 2=2^{3}=8\;;\quad(5.4)\times(5.4)\times(5.4)\times(5.4)=(5.4)^{4}$

II. Définition

On appelle puissance $n\,\text{ième}$ d'un décimal $a$, notée $a^{n}$ le produit de $n$ facteurs égaux à $a.$
 
Remarque
$$a^{0}=1\quad\text{et}\quad a^{1}=a$$

Application

1) Écrire les expressions suivantes sous forme de puissance $n\text{ième}$
 
$A=5\times 5\times 5\times 5\;;\quad B=4\times 4\times 4$
 
2) Calculez : $\ 2^{4}\;;\quad\left(\dfrac{3}{2}\right)^{0}\;;\quad(10)^{3}$

Résolution

1) $A=5\times 5\times 5\times 5=5^{4}$
 
$B=4\times 4\times 4=4^{3}$
 
2) $2^{4}=2\times 2\times 2\times 2=16$
 
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{0}=1$
 
$(10)^{3}=10\times 10\times 10=1000$

III. Propriétés

$\centerdot\ 2^{3}\ $ et $\ 2^{5}$ à écrire sous forme de produit de facteurs égaux.
 
$2^{3}=3$ facteurs égaux à $2=2\times 2\times 2=8$
 
$2^{5}=5$ facteurs égaux à $2=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$
 
$\centerdot\ $ écrire $2^{3}\times 2^{5}$ sous forme de produit de facteurs égaux à 2.
 
$\underbrace{2\times 2\times 2}_{2^{3}}\times\underbrace{2\times 2\times 2\times 2\times 2}_{2^{5}}=2^{8}$

III.1. Produit de puissances d'un même décimal

$\centerdot\ $ Si $a$ est un décimal, $m\ $ et $\ n$ des entiers naturels alors, on a :
$$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$$

Application

$7^{3}\times 7^{6}=7^{9}$
 
$9^{4}\times 9^{3}\times 9^{10}=9^{17}$
 
$(12.5)^{4}\times(12.5)^{7}\times(12.5)^{12}=(12.5)^{23}$
 
$4^{6}\times 8^{3}=(4^{6}\times 4^{3}\times 4^{1})\times 2=4^{10}\times 2$

III.2. Puissance d'une puissance décimale

$\centerdot\ $ Si $a$ est un décimal, $m\ $ et $\ n$ des entiers naturels alors, on a :
$$(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$$
Exemples :
 
$(5^{4})^{2}=5^{4\times 2}=5^{8}$
 
$\begin{array}{rcl} (4)^{6}\times(8)^{3}&=&(2^{2})^{6}\times(2^{3})^{3}\\ \\&=&2^{2\times 6}\times 2^{3\times 3}\\ \\&=&2^{12}\times 2^{9}\\ \\&=&2^{21}\end{array}$

Application

Écrire avec une puissance :
 
$A=(y^{2})^{6}\;;\quad B=[(9)^{3}]^{5}\times(3^{6})^{2}\;;\quad C=[(3^{2})^{3}]^{4}$

Résolution

$A=(y^{2})^{6}=y^{2\times 6}=y^{12}$
 
$\begin{array}{rcl} B&=&[(9)^{3}]^{5}\times(3^{6})^{2}\\ \\&=&[(3^{2})^{3}]^{5}\times(3^{12})\\ \\&=&(3^{2\times 3\times 5})\times(3^{12})\\ \\&=&3^{30}\times 3^{12}\\ \\&=&3^{30+12}\\ \\&=&3^{42}\end{array}$
 
$C=[(3^{2})^{3}]^{4}=3^{2\times 3\times 4}=3^{24}$

III.3. Puissance d'un produit de deux décimaux

$\centerdot\ $ Si $a\ $ et $\ b$ sont deux décimaux et $n$ un entier naturel alors, on a :
$$(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{b}$$
Exemples :
 
$(5\times 2)^{3}=5^{3}\times 2^{3}$ or, $\ 5^{3}=125\ $ et $\ 2^{3}=8$
 
Donc, $\ 5^{3}\times 2^{3}=125\times 8=1000$

IV. Ordre de priorités

Dans une suite d'opérations sans parenthèses, les calculs des puissances sont prioritaires devant les multiplications et les divisions.
 
Exemples :
 
$\begin{array}{rcl} A&=&12-2^{2}+8-5\times 3^{2}\\ \\&=&12-4+8-5\times 9\\ \\&=&8+8-45\\ \\&=&-29\end{array}$
 
$\begin{array}{rcl} B&=&8\div 2^{2}-2+3\times 2^{3}\\ \\&=&8\div 4-2+3\times 8\\ \\&=&2-2+24\\ \\&=&24\end{array}$

 
Auteur: 
Mamadou Siradji Dia

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/26/2020 - 12:52

Merci

Lassana (non vérifié)

dim, 11/28/2021 - 01:05

À la puissance D

Anonyme (non vérifié)

sam, 03/06/2021 - 05:32

Merci beaucoup vraiment

Anonyme (non vérifié)

mar, 06/01/2021 - 02:20

Merci beaucoup

Anonyme (non vérifié)

lun, 10/25/2021 - 04:41

Intéressant

CAMARAMoussa (non vérifié)

jeu, 10/28/2021 - 01:14

Je suis étudiant à l'université Assane SECK de Ziguinchor au département de mathématique j'ai besoin de cours de mathématiques

Anonyme (non vérifié)

mer, 11/10/2021 - 07:44

Très Pratique ! Nous vous remercions vivement

Anonyme (non vérifié)

mar, 11/16/2021 - 03:04

Merci beaucoup

Anonyme (non vérifié)

ven, 03/11/2022 - 21:07

.

Anonyme (non vérifié)

mer, 10/19/2022 - 22:19

Y’a un erreur au niveau de deux à la puissance 3 parce que au lieu de deux fois deux fois deux vous avez écrit 2 fois 2fois2fois2

Anonyme (non vérifié)

mer, 10/19/2022 - 22:19

Y’a un erreur au niveau de deux à la puissance 3 parce que au lieu de deux fois deux fois deux vous avez écrit 2 fois 2fois2fois2

Anonyme (non vérifié)

mer, 10/19/2022 - 22:19

Y’a un erreur au niveau de deux à la puissance 3 parce que au lieu de deux fois deux fois deux vous avez écrit 2 fois 2fois2fois2

Anonyme (non vérifié)

mer, 10/26/2022 - 20:02

Je l'ai trouvé sur et très utile

Seydina Mohamed... (non vérifié)

mer, 10/26/2022 - 20:04

Je l'ai trouvé sur et très utile merci beaucoup

Anonyme (non vérifié)

ven, 10/28/2022 - 21:46

J'ai rien compris sîl vous plaît aide moi

Anonyme (non vérifié)

ven, 11/04/2022 - 19:19

Merci

Massira Cathy Bâ (non vérifié)

lun, 10/23/2023 - 19:52

Merci beaucoup,je trouve que c'est très intéressant.

Inconnu (non vérifié)

jeu, 11/30/2023 - 19:52

C’est trop compliqué

Vvggdddc (non vérifié)

sam, 03/09/2024 - 07:43

Vraiment merci pour cette cours de maths

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