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La puissance dans D - 5e

Classe:

Cinquième

I. Activités préparatoires

$x\times x=x^{2}$ (2 facteurs égaux à

$x$ )

$x\times x\times x\times x=x^{4}$ (4 facteurs égaux à

$x$ )

Recopie puis complète

$a\times a\times a=\ldots\ldots$

$b\times b\times b\times b\times b\times b=\ldots\ldots$

$\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}=\ldots\ldots$

Résolution

$a\times a\times a=a^{3}$

$b\times b\times b\times b\times b\times b=b^{6}$

$\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}\times\dfrac{1}{c}=\left(\dfrac{1}{c}\right)^{5}=\dfrac{1}{c^{5}}$

Si on a

$n$ facteurs égaux à

$x$ , on écrit :

$x^{n}$

Dans l'écriture

$x^{n}$ , le

$x$ représente un nombre décimal et le

$n$ un entier naturel qui est appelé puissance ou exposant.

Exemples :

$2\times 2\times 2=2^{3}=8\;;\quad(5.4)\times(5.4)\times(5.4)\times(5.4)=(5.4)^{4}$

II. Définition

On appelle puissance

$n\,\text{ième}$ d'un décimal

$a$ , notée

$a^{n}$ le produit de

$n$ facteurs égaux à

$a.$

Remarque

$a^{0}=1\quad\text{et}\quad a^{1}=a$

Application

1) Écrire les expressions suivantes sous forme de puissance

$n\text{ième}$

$A=5\times 5\times 5\times 5\;;\quad B=4\times 4\times 4$

2) Calculez :

$\ 2^{4}\;;\quad\left(\dfrac{3}{2}\right)^{0}\;;\quad(10)^{3}$

Résolution

$A=5\times 5\times 5\times 5=5^{4}$

$B=4\times 4\times 4=4^{3}$

$2^{4}=2\times 2\times 2\times 2=16$

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{0}=1$

$(10)^{3}=10\times 10\times 10=1000$

III. Propriétés

$\centerdot\ 2^{3}\$ et

$\ 2^{5}$ à écrire sous forme de produit de facteurs égaux.

$2^{3}=3$ facteurs égaux à

$2=2\times 2\times 2=8$

$2^{5}=5$ facteurs égaux à

$2=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

$\centerdot\$ écrire

$2^{3}\times 2^{5}$ sous forme de produit de facteurs égaux à 2.

$\underbrace{2\times 2\times 2}_{2^{3}}\times\underbrace{2\times 2\times 2\times 2\times 2}_{2^{5}}=2^{8}$

III.1. Produit de puissances d'un même décimal

$\centerdot\$ Si

$a$ est un décimal,

$m\$ et

$\ n$ des entiers naturels alors, on a :

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$

Application

$7^{3}\times 7^{6}=7^{9}$

$9^{4}\times 9^{3}\times 9^{10}=9^{17}$

$(12.5)^{4}\times(12.5)^{7}\times(12.5)^{12}=(12.5)^{23}$

$4^{6}\times 8^{3}=(4^{6}\times 4^{3}\times 4^{1})\times 2=4^{10}\times 2$

III.2. Puissance d'une puissance décimale

$\centerdot\$ Si

$a$ est un décimal,

$m\$ et

$\ n$ des entiers naturels alors, on a :

$(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$

Exemples :

$(5^{4})^{2}=5^{4\times 2}=5^{8}$

$\begin{array}{rcl} (4)^{6}\times(8)^{3}&=&(2^{2})^{6}\times(2^{3})^{3}\\ \\&=&2^{2\times 6}\times 2^{3\times 3}\\ \\&=&2^{12}\times 2^{9}\\ \\&=&2^{21}\end{array}$

Application

Écrire avec une puissance :

$A=(y^{2})^{6}\;;\quad B=[(9)^{3}]^{5}\times(3^{6})^{2}\;;\quad C=[(3^{2})^{3}]^{4}$

Résolution

$A=(y^{2})^{6}=y^{2\times 6}=y^{12}$

$\begin{array}{rcl} B&=&[(9)^{3}]^{5}\times(3^{6})^{2}\\ \\&=&[(3^{2})^{3}]^{5}\times(3^{12})\\ \\&=&(3^{2\times 3\times 5})\times(3^{12})\\ \\&=&3^{30}\times 3^{12}\\ \\&=&3^{30+12}\\ \\&=&3^{42}\end{array}$

$C=[(3^{2})^{3}]^{4}=3^{2\times 3\times 4}=3^{24}$

III.3. Puissance d'un produit de deux décimaux

$\centerdot\$ Si

$a\$ et

$\ b$ sont deux décimaux et

$n$ un entier naturel alors, on a :

$(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{b}$

Exemples :

$(5\times 2)^{3}=5^{3}\times 2^{3}$ or,

$\ 5^{3}=125\$ et

$\ 2^{3}=8$

Donc,

$\ 5^{3}\times 2^{3}=125\times 8=1000$

IV. Ordre de priorités

Dans une suite d'opérations sans parenthèses, les calculs des puissances sont prioritaires devant les multiplications et les divisions.

Exemples :

$\begin{array}{rcl} A&=&12-2^{2}+8-5\times 3^{2}\\ \\&=&12-4+8-5\times 9\\ \\&=&8+8-45\\ \\&=&-29\end{array}$

$\begin{array}{rcl} B&=&8\div 2^{2}-2+3\times 2^{3}\\ \\&=&8\div 4-2+3\times 8\\ \\&=&2-2+24\\ \\&=&24\end{array}$

Auteur:

Mamadou Siradji Dia

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/26/2020 - 12:52

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I. Activités préparatoires

Résolution

II. Définition

Application

Résolution

III. Propriétés

III.1. Produit de puissances d'un même décimal

Application

III.2. Puissance d'une puissance décimale

Application

Résolution

III.3. Puissance d'un produit de deux décimaux

IV. Ordre de priorités

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