Les pyramides-4e

Un point, appelé sommet, et un polygone, appelé base, constituent les éléments définissant une pyramide.

 

 

La base est le polygone $ABCDEF$ 

 

Le sommet est $S.$

 

Les triangles $SAB\;,\ SBC\;,\ SCD\;,\ SDE\;,\ SEF\;,\ SFA$ sont les faces latérales.

 

Le segment $[SH]$ est la hauteur de la pyramide.

 

$[SH]$ est perpendiculaire à la base donc à toutes les droites de la base , en particulier aux droites $(AH)\;,\ (BH)\;,\ (CH)\;,\ (DH)\;,\ (EH)\text{ et }(FH).$

 

Si la base est placée dans un plan horizontal, la hauteur $[SH]$ est une verticale. 

 

Les triangles $SAH\;,\ SBH\;,\ SCH\;,\ SDH\;,\ SEH\;,\ SFH$ sont des triangles rectangles en $H$ ; ils définissent des plans verticaux.

 

Un tétraèdre (pyramide à quatre faces=pyramide à base triangulaire)

 

 

Une pyramide est dite régulière si sa base est un polygone régulier 

triangle équilatéral carré, pentagone régulier, hexagone régulier...

 

Pour la pyramide $SABCD$ ci-contre :

 

Sa base est le carré $ABCD.$

 

Son sommet est $S.$

 

Le pied $H$ de sa hauteur $[SH]$ est au centre du carré de base.

 

 

Toutes ses faces sont des triangles équilatéraux identiques ; toutes ses arêtes sont donc égales.

 

$ABCD$ est un tétraèdre régulier : 

 

$ABC\;,\ ACD\;,\ ABD\;,\ BCD$ sont des triangles équilatéraux.

 

Ses six arêtes sont égales :

 

$AB=AC=AD=BC=BD=CD$

 

$H$, pied de la hauteur du tétraèdre, issue de $A$, est le centre de gravité du triangle $BCD.$

 

 

Les fiches précédentes ont permis d'avoir une idée du volume d'une pyramide.

 

D'une façon générale, le volume d'une pyramide est le tiers du volume du prisme droit qui a la même base et la même hauteur.

 

 

$\text{V(prisme)}=\text{Aire(base)}\times\text{hauteur}$

 

$\boxed{\text{V(pyramide)}=\dfrac{\text{Aire(base)}\times\text{hauteur}}{3}}$

 

Pour la pyramide ci-contre :

 

$\text{Volume}(SABCDEF)=\dfrac{\text{Aire}(ABCDEF)\times SH}{3}$

Volume de la pyramide $IEFGH$ dont la base est un carré de côté 4 cm et dont la hauteur mesure 4 cm.

 

 

$V=\dfrac{\text{aire}(EFGH)\times\text{hauteur}}{3}$

 

$V=\dfrac{EF^{2}\times IJ}{3}$

 

$V=\dfrac{4^{2}\times 4}{3}=\dfrac{64}{3}\approx 21.3\,cm^{3}$

Pour réaliser le patron de la précédente pyramide régulière $(IEFGH)$, si sa base $EFGH$ est un carré de 4 cm de côté, il reste à calculer l'arête $IE$ :

 

Le triangle $IJE$ est rectangle en $J$ car $(IJ)$ est perpendiculaire au plan $EFGH$ donc à $(EJ).$

 

D'après la propriété de Pythagore :

 

$IE^{2}=IJ^{2}+EJ^{2}\qquad(1)$ 

 

$EJ$ est la moitié de la diagonale $EG$ du carré.

 

Le triangle $EFG$ est rectangle en $F$ ; d'après la propriété de Pythagore :

 

$EG^{2}=EF^{2}+FG^{2}$

 

$EG^{2}=4^{2}+4^{2}$

 

$EG^{2}=32$

 

Or : $EJ=\dfrac{EG}{2}$

 

Donc : $EJ^{2}=\left(\dfrac{EG}{2}\right)^{2}=\dfrac{EG^{2}}{2^{2}}=\dfrac{32}{4}=8\qquad(2)$ 

 

En reportant (2) dans (1) :

 

$IE^{2}=IJ^{2}+EJ^{2}=4^{2}+8^{2}=16+8=24$

 

$IE\approx 4.9\;cm$