Limites et continuité : rappels et compléments - T S
Classe:
Terminale
I. Rappels
I.1 Limites
I.1.1 Limites à l'infini
On a :
∗ limx→+∞f(x)=+∞ si, et seulement si,
∀A>0, ∃B>0 tel que si x≥B alors f(x)≥A
∗ limx→+∞f(x)=−∞ si, et seulement si,
∀A<0, ∃B>0 tel que si x≥B alors f(x)≤A
∗ limx→−∞f(x)=+∞ si, et seulement si,
∀A>0, ∃B<0 tel que si x≤B alors f(x)≥A
∗ limx→−∞f(x)=−∞ si, et seulement si,
∀A<0, ∃B<0 tel que si x≤B alors f(x)≤A
∗ limx→+∞f(x)=ℓ∈R si, et seulement si,
∀ε>0, ∃A>0 tel que si x≥A alors |f(x)−ℓ|≤ε
I.1.2. Limites en x0
On a :
∗ limx→x+0f(x)=+∞ si, et seulement si,
∀A>0, ∃α>0 tel que si x0<x≤x0+α alors f(x)≥A
∗ limx→x−0f(x)=−∞ si, et seulement si,
∀A<0, ∃α>0 tel que si x0−α≤x<x0 alors f(x)≤A
Théorème
Soit f une fonction non définie en x0, alors f admet une limite en x0 si, et seulement si, limx→x+0f(x)=limx→x−0f(x)=ℓ∈R
I.1.3. Opération sur les limites
Soient f et g deux fonctions de limites finies ou non. Les limites de f+g, f×g et de fg sont récapitulées dans les tableaux ci-dessous.
N.B : Dans les cas où on ne peut conclure, on dira qu'on est en face d'une indétermination ou simplement une "forme indéterminée" notée (F.I)
I.1.3.1 Limites d'une somme de deux fonctions
limfℓℓℓ+∞−∞+∞limgℓ′+∞−∞+∞−∞−∞lim(f+g)ℓ+ℓ′+∞−∞+∞−∞F.I
I.1.3.2 Limites d'un produit
limfℓℓ>0ℓ<0ℓ>0ℓ<0+∞−∞+∞0limgℓ′+∞+∞−∞−∞+∞−∞−∞∞lim(f×g)ℓ×ℓ′+∞−∞−∞+∞+∞+∞−∞F.I
I.1.3.3 Limites d'un quotient
limf∞ℓℓ+∞+∞−∞−∞limg∞ℓ′≠0∞ℓ′<0ℓ′>0ℓ′<0ℓ′>0lim(fg)F.Iℓℓ′0−∞+∞+∞−∞
limfℓ>0ℓ>0ℓ<0ℓ<00limg0+0−0+0−0lim(fg)+∞−∞−∞+∞F.I
Remarque
On a quatre "formes indéterminées" : ∞−∞,0×∞,00et∞∞
I.1.4. Levée d'une indétermination
Pour lever une indétermination on doit, selon le cas :
− Utiliser l'un des théorèmes suivants
Théorème 1
La limite à l'infini d'un polynôme est la limite à l'infini de son monôme de plus haut degré.
Théorème 2
La limite à l'infini d'une fraction rationnelle est la limite à l'infini du quotient des monômes de plus haut degré.
− Factoriser par (x−x0) ou multiplier par l'expression conjuguée
− Utiliser les théorèmes de comparaison
Soit f, g : I⟶R et soit x0∈I ou x0=±∞
Théorème 3
Si au voisinage de x0 on a f(x)≤g(x) alors on a :
si limf(x)=+∞alors,limg(x)=+∞si limg(x)=−∞alors,limf(x)=−∞
Théorème 4 : (Théorème des gendarmes)
Si au voisinage de x0 on a g(x)≤f(x)≤h(x) et que
limx→x0g(x)=limx→x0h(x)=ℓ (finie ou infinie) alors, limx→x0f(x)=ℓ
− Utiliser le théorème de composée de fonctions
Théorème 5
Soit deux fonctions f et g telles que : f : I⟶R, g : J⟶R
I et J sont deux intervalles de R tels que f(I)⊂J et soit x0, ℓ, ℓ′ finis ou infinis, on a :
Si limx→x0f(x)=ℓ et si limx→ℓg(x)=ℓ′ alors, limx→x0g∘f(x)=ℓ′
I.2. Continuité
I.2.1. Définition
Soit f : I⟶R et x0∈I alors :
⋅ f est continue à gauche x0 si, et seulement, limx→x−0f(x)=f(x0)
⋅ f est continue à droite x0 si, et seulement, limx→x+0f(x)=f(x0)
⋅ f est continue en x0 si, et seulement, limx→x0f(x)=f(x0)
Théorème 6
Soit f : I⟶R et x0∈I
On dit que f est continue en x0 si, et seulement, f est continue à gauche et à droite de x0, c'est-à-dire limx→x−0f(x)=limx→x+0f(x)=f(x0)
I.2.2. Opérations sur les continuités
Si f est continue sur I et g continue sur J alors :
⋅ f+g est continue sur I∩J et ∀x0∈I∩J, limx→x0[f(x)+g(x)]=f(x0)+g(x0)
⋅ fg est continue sur I∩J et ∀x0∈I∩J, limx→x0f(x)g(x)=f(x0)×g(x0)
⋅ fg est continue sur A=I∩J∖{x∈J tels que g(x)=0} et ∀x0∈A, limx→x0f(x)g(x)=f(x0)g(x0)
Théorème 7 (composée)
Soit f : I⟶R et g : J⟶R avec f(I)⊂J
Si f est continue sur I et g continue sur J alors g∘f est continue sur I et ∀x0∈I, limx→x0g∘f=g∘f(x0)
Remarques
− Toute fonction polynôme est continue sur R
− Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
− La fonction √f(x) est continue sur son domaine de définition.
− La fonction |f(x)| est continue sur son domaine de définition.
− Les fonctions sinx, cosx sont continues sur leur domaine de définition.
− La fonction tanx est continue sur R∖{π2+kπ, k∈Z}.
I.2.3. Prolongement par continuité
Si x0∉Df et si limx→x0f(x)=ℓ∈R et ]x0−α; x0+α[∩Df=∅ alors, f est prolongeable par continuité en x0.
On définit f1(x) le prolongement par continuité en x0 de f par : f1(x)={f(x)six≠x0ℓsix=x0
II. Compléments
II.1. Image d'un intervalle par une fonction continue
Soit I un intervalle de R alors
⋅ f est continue sur I si, et seulement si, elle est continue en tout point de x0∈I
⋅ l'image d'un intervalle I⊂R par une fonction continue est un intervalle J=f(I)
⋅ l'image d'un intervalle fermé et borné [a, b] de R par une fonction continue est un intervalle fermé et borné de R, [α, β] où α=minf(x); x∈[a, b] et β=maxf(x); x∈[a, b]
Exemple
Ci-dessous on considère le tableau de variation d'une fonction f définie sur R∗
x−∞−4−3012+∞f′(x)+0−0+||−0+0−2+∞||+∞4f↗↘↗||↘↗↘−∞−4||00
Déterminer les images des intervalles suivants :
]−∞; −4], ]−∞; −3], ]−∞; 0[, [−4; −3]
[1; +∞[, [−4; 0], [0; +∞[, ]0; 2]
Résolution
f(]−∞; −4])=]−∞; 2],f(]−∞; −3])=]−∞; 2],f(]−∞; 0[)=R
f([−4; −3])=[−4; 2],f([1; +∞[)=[0; 4]
f([−4; 0])=[−4; +∞[,f([0; +∞[)=[0; +∞[
f(]0; 2])=[0; +∞[
II.2. Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur I et que f(I)=J alors ∀y0∈J il existe au moins un x0∈I tel que f(x0)=y0
Corollaire
Si f est continue sur I=[a, b] et si f(a)×f(b)<0 alors l'équation f(x)=0 admet au moins une solution sur ]a, b[ c'est-à-dire il existe c∈]a, b[ tel que f(c)=0.
Théorème 8 (bijection)
Si f est continue et strictement monotone sur I alors f est une bijection de I sur f(I)
Remarque
Si f est continue et strictement monotone sur I et que f(I)=J alors ∀y0∈J il existe un unique x0∈I tel que f(x0)=y0
Exemple
Soit f(x)=x3−3x+1
1) Donner le tableau de variation de f
2) Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=0
Résolution
1) f(x)=x3−3x+1 alors Df=R et f est continue et dérivable sur R
On a : f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)
Donc, f′(x)>0 sur ]−∞; −1[∪]1; +∞[, f′(x)<0 sur ]−1; 1[ et f′(x)=0 si x=−1 ou x=1
D'où :
⋅ f est croissante si, et seulement si, x∈]−∞; −1[∪]1; +∞[
⋅ f est décroissante si, et seulement si, x∈]−1; 1[
⋅ f est constante si, et seulement si, x=−1 ou x=1
Aussi, f(−1)=3, f(1)=−1
limx→+∞f(x)=+∞ et limx→−∞f(x)=−∞
Tableau de variation de f
x−∞−11+∞f′(x)+0−0+3+∞f↗↘↗−∞−1
2) f est continue sur ]−∞; −1[ alors, f(]−∞; −1])=]−∞; 3]
Or, 0∈]−∞; 3] donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe x0∈]−∞; −1] tel que f(x0)=0. Et x0 est unique pour que f soit strictement croissante.
f est continue sur [−1; 1]; f(−1)×f(1)=−3<0 alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires il existe x1∈]−1; 1[ tel que f(x1)=0.
Et donc x1 est unique pour que f est strictement décroissante sur [−1; 1].
f est continue et strictement croissante sur [1; +∞[ donc, f est une bijection de [1; +∞[ sur [−1; +∞[
Or, 0∈[−1; +∞[ donc, il existe un unique x2∈[1; +∞[ tel que f(x2)=0.
Ainsi, l'équation f(x)=0 admet trois solutions distinctes x0<−1<x1<1<x2
Auteur:
Seyni Ndiaye & Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mer, 08/03/2022 - 01:06
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Très bien contenu facile à
Anonyme (non vérifié)
mer, 08/03/2022 - 01:09
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Très bien contenu facile à
Barro Ndiogou (non vérifié)
lun, 10/03/2022 - 17:47
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Bonjour
thierno diallo (non vérifié)
ven, 04/12/2024 - 03:38
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