Limites et continuité : rappels et compléments - T S

Classe: 
Terminale
 

I. Rappels

I.1 Limites

I.1.1 Limites à l'infini

On a : 
 
  limx+f(x)=+ si, et seulement si,
 
A>0, B>0  tel que si xB  alors f(x)A
 
  limx+f(x)= si, et seulement si,
 
A<0, B>0  tel que si xB  alors f(x)A
 
  limxf(x)=+ si, et seulement si,
 
A>0, B<0  tel que si xB  alors f(x)A
 
  limxf(x)= si, et seulement si,
 
A<0, B<0  tel que si xB  alors f(x)A
 
  limx+f(x)=R si, et seulement si,
 
ε>0, A>0  tel que si xA  alors |f(x)|ε

I.1.2. Limites en x0

On a : 
 
  limxx+0f(x)=+ si, et seulement si,
 
A>0, α>0  tel que si x0<xx0+α  alors f(x)A
 
  limxx0f(x)= si, et seulement si,
 
A<0, α>0  tel que si x0αx<x0  alors f(x)A

Théorème

Soit f une fonction non définie en x0, alors f admet une limite en x0 si, et seulement si, limxx+0f(x)=limxx0f(x)=R

I.1.3. Opération sur les limites

Soient f et g deux fonctions de limites finies ou non. Les limites de f+g, f×g et de fg sont récapitulées dans les tableaux ci-dessous.
 
N.B : Dans les cas où on ne peut conclure, on dira qu'on est en face d'une indétermination ou simplement une "forme indéterminée" notée (F.I)

I.1.3.1 Limites d'une somme de deux fonctions

limf++limg++lim(f+g)+++F.I

I.1.3.2 Limites d'un produit

limf>0<0>0<0++0limg+++lim(f×g)×++++F.I

I.1.3.3 Limites d'un quotient 

limf++limg0<0>0<0>0lim(fg)F.I0++
 
limf>0>0<0<00limg0+00+00lim(fg)++F.I

Remarque

On a quatre "formes indéterminées" : ,0×,00et

I.1.4. Levée d'une indétermination

Pour lever une indétermination on doit, selon le cas :
 
   Utiliser l'un des théorèmes suivants

Théorème 1

La limite à l'infini d'un polynôme est la limite à l'infini de son monôme de plus haut degré.

Théorème 2

La limite à l'infini d'une fraction rationnelle est la limite à l'infini du quotient des monômes de plus haut degré.
 
   Factoriser par (xx0) ou multiplier par l'expression conjuguée
 
   Utiliser les théorèmes de comparaison
 
Soit f, g : IR et soit x0I  ou  x0=±

Théorème 3

Si au voisinage de x0 on a f(x)g(x) alors on a :
si limf(x)=+alors,limg(x)=+si limg(x)=alors,limf(x)=

Théorème 4 : (Théorème des gendarmes)

Si au voisinage de x0 on a g(x)f(x)h(x) et que 
 
limxx0g(x)=limxx0h(x)= (finie ou infinie) alors, limxx0f(x)=
 
   Utiliser le théorème de composée de fonctions

Théorème 5

Soit deux fonctions f et g telles que : f : IR, g : JR
 
I et J sont deux intervalles de R tels que f(I)J et soit x0, ,  finis ou infinis, on a :
 
Si limxx0f(x)= et si limxg(x)= alors, limxx0gf(x)=

I.2. Continuité

I.2.1. Définition 

Soit f : IR et x0I alors :
 
  f est continue à gauche x0 si, et seulement, limxx0f(x)=f(x0)
 
  f est continue à droite x0 si, et seulement, limxx+0f(x)=f(x0)
 
  f est continue en x0 si, et seulement, limxx0f(x)=f(x0)

Théorème 6

Soit f : IR et x0I
 
On dit que f est continue en x0 si, et seulement, f est continue à gauche et à droite de x0, c'est-à-dire  limxx0f(x)=limxx+0f(x)=f(x0)

I.2.2. Opérations sur les continuités

Si f est continue sur I et g continue sur J alors :
 
  f+g est continue sur IJ et x0IJ, limxx0[f(x)+g(x)]=f(x0)+g(x0)
 
  fg est continue sur IJ et x0IJ, limxx0f(x)g(x)=f(x0)×g(x0)
 
  fg est continue sur A=IJ{xJ  tels que  g(x)=0} et x0A, limxx0f(x)g(x)=f(x0)g(x0)

Théorème 7 (composée)

Soit f : IR et g : JR avec f(I)J
 
Si f est continue sur I et g continue sur J alors gf est continue sur I et x0I, limxx0gf=gf(x0)

Remarques

   Toute fonction polynôme est continue sur R
 
   Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
 
   La fonction f(x) est continue sur son domaine de définition.
 
   La fonction |f(x)| est continue sur son domaine de définition.
 
   Les fonctions sinx, cosx sont continues sur leur domaine de définition.
 
   La fonction tanx est continue sur R{π2+kπ, kZ}.

I.2.3. Prolongement par continuité

Si x0Df et si limxx0f(x)=R et ]x0α; x0+α[Df= alors, f est prolongeable par continuité en x0.
 
On définit f1(x) le prolongement par continuité en x0 de f par : f1(x)={f(x)sixx0six=x0

II. Compléments

II.1. Image d'un intervalle par une fonction continue

Soit I un intervalle de R alors 
 
  f est continue sur I si, et seulement si, elle est continue en tout point de x0I
 
   l'image d'un intervalle IR par une fonction continue est un intervalle J=f(I)
 
   l'image d'un intervalle fermé et borné [a, b] de R par une fonction continue est un intervalle fermé et borné de R, [α, β]α=minf(x); x[a, b] et β=maxf(x); x[a, b]

Exemple

Ci-dessous on considère le tableau de variation d'une fonction f définie sur R
 
x43012+f(x)+00+||0+02+||+4f||4||00
 
Déterminer les images des intervalles suivants :
 
]; 4], ]; 3], ]; 0[, [4; 3]
 
[1; +[, [4; 0], [0; +[, ]0; 2]

Résolution

f(]; 4])=]; 2],f(]; 3])=]; 2],f(]; 0[)=R
 
f([4; 3])=[4; 2],f([1; +[)=[0; 4]
 
f([4; 0])=[4; +[,f([0; +[)=[0; +[
 
f(]0; 2])=[0; +[

II.2. Théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur I et que f(I)=J alors y0J il existe au moins un x0I tel que f(x0)=y0

Corollaire

Si f est continue sur I=[a, b] et si f(a)×f(b)<0 alors l'équation f(x)=0 admet au moins une solution sur ]a, b[ c'est-à-dire il existe c]a, b[ tel que f(c)=0.

Théorème 8 (bijection)

Si f est continue et strictement monotone sur I alors f est une bijection de I sur f(I)

Remarque

Si f est continue et strictement monotone sur I et que f(I)=J alors y0J il existe un unique x0I tel que f(x0)=y0

Exemple

Soit f(x)=x33x+1
 
1) Donner le tableau de variation de f
 
2) Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=0

Résolution

1) f(x)=x33x+1 alors Df=R et f est continue et dérivable sur R
 
On a : f(x)=3x23=3(x1)(x+1)
 
Donc, f(x)>0 sur ]; 1[]1; +[, f(x)<0 sur ]1; 1[ et f(x)=0 si x=1 ou x=1
 
D'où :
 
  f est croissante si, et seulement si, x]; 1[]1; +[
 
  f est décroissante si, et seulement si, x]1; 1[
 
  f est constante si, et seulement si, x=1 ou x=1
 
Aussi, f(1)=3, f(1)=1 
 
limx+f(x)=+  et  limxf(x)=
 
Tableau de variation de f
 
x11+f(x)+00+3+f1
 
2) f est continue sur ]; 1[ alors, f(]; 1])=]; 3]
 
Or, 0]; 3] donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe x0]; 1] tel que f(x0)=0. Et x0 est unique pour que f soit strictement croissante.
 
f est continue sur [1; 1]; f(1)×f(1)=3<0 alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires il existe x1]1; 1[ tel que f(x1)=0.
 
Et donc x1 est unique pour que f est strictement décroissante sur [1; 1].
 
f est continue et strictement croissante sur [1; +[ donc, f est une bijection de [1; +[ sur [1; +[
 
Or, 0[1; +[ donc, il existe un unique x2[1; +[ tel que f(x2)=0.
 
Ainsi, l'équation f(x)=0 admet trois solutions distinctes x0<1<x1<1<x2

 
Auteur: 
Seyni Ndiaye & Diny Faye

Commentaires

Très bien contenu facile à comprendre.

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