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Racine carrée - 3e

Classe:

Troisième

I. Définition et propriétés

I.1 Définition

On appelle racine carrée d'un nombre réel positif

a

$a$ le réel noté

\sqrt{a}

$\sqrt{a}$ dont le carré est égal à

a

$a$ .

I.2 Propriétés

$\centerdot\ \ (\sqrt{a})^{2}=a$

$\centerdot\ \ \sqrt{a^{2}}=|a|$

$\centerdot\ \ a\geq 0\ ,\ b\geq 0\ ;\qquad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$

$\centerdot\ \ a\geq 0\ ,\ b>0\ ;\qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$\centerdot\ \ x^{2}=a\$ avec

$a$ positif

$\Rightarrow\ x=\sqrt{a}\$ ou

$x=-\sqrt{a}$

Attention :

$\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b};\qquad$

$\forall a>0,\ b>0$

Exemple 1 :

Donnons une écriture plus simple des expressions suivantes

$\begin{array}{rcl} A&=&5\sqrt{25\times 6}-8\sqrt{36\times 6}+6\sqrt{6}-7\sqrt{100\times 6}\\ \\&=&5\sqrt{25}\times\sqrt{6}-8\sqrt{36}\times\sqrt{6}+6\sqrt{6}-7\sqrt{100}\times\sqrt{6}\\ \\& = &25\sqrt{6}-48\sqrt{6}+6\sqrt{6}-70\sqrt{6}\\ \\&=&(25-48+6-70)\sqrt{6}\\ \\&=&-87\sqrt{6}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=-87\sqrt{6}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{5}{3}\sqrt{108}-\dfrac{4}{5}\sqrt{432}+\dfrac{3}{2}\sqrt{243}-\dfrac{1}{3}\sqrt{75}\\ \\&=&\dfrac{5}{3}\sqrt{36\times 3}-\dfrac{4}{5}\sqrt{144\times 3}+\dfrac{3}{2}\sqrt{81\times 3}-\dfrac{1}{3}\sqrt{25\times 3}\\ \\&=&\dfrac{30}{3}\sqrt{3}-\dfrac{48}{5}\sqrt{3}+\dfrac{27}{2}\sqrt{3}-\dfrac{5}{3}\sqrt{3}\\ \\&=& \dfrac{300}{30}\sqrt{3}-\dfrac{288}{30}\sqrt{3}+\dfrac{405}{30}\sqrt{3}-\dfrac{50}{30}\sqrt{3}\\ \\&=&\dfrac{367}{30}\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=\dfrac{367}{30}\sqrt{3}}$

Exemple 2 :

Ecrivons les expressions suivantes sous la forme

$a+b\sqrt{c}$ avec

$a\in\mathbb{Q}\;,\ b\in\mathbb{Q}$ et

$c\in\mathbb{Q}$

$\begin{array}{rcl} A&=&2\sqrt{3}(4-3\sqrt{3})\\ \\&=&8\sqrt{3}-18\end{array}$

D'où, $\boxed{A=8\sqrt{3}-18}$

$\begin{array}{rcl} B&=&3\sqrt{2}(3\sqrt{6}-2\sqrt{2})\\ \\&=&9\sqrt{12}-12\\ \\&=&9\sqrt{4\times 3}-12\\ \\&=&18\sqrt{3}-12\end{array}$

Donc,

$\boxed{B=18\sqrt{3}-12}$

$\begin{array}{rcl} C&=&(2\sqrt{5}-3)^{2}\\ \\&=&20-12\sqrt{5}+9\\ \\&=&29-12\sqrt{5}\end{array}$

D'où, $\boxed{C=29-12\sqrt{5}}$

$\begin{array}{rcl} D&=&(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+3)\\ \\&=&2+3\sqrt{2}+\sqrt{2}+3\\ \\&=&5+4\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{D=5+4\sqrt{2}}$

$\begin{array}{rcl} E&=&(2+\sqrt{5})^{2}\\ \\&=&4+4\sqrt{5}+5\\ \\&=&9+4\sqrt{5}\end{array}$

Donc,

$\boxed{E=9+4\sqrt{5}}$

$\begin{array}{rcl} F&=&(\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{7})\\ \\&=&5-7\\ \\&=&-2\end{array}$

D'où, $\boxed{F=-2}$

II. Rendre rationnel le dénominateur d'un quotient : Expression conjuguée

II.1 Expression de la forme $\dfrac{N}{a\sqrt{b}}$ avec $a\in\mathbb{Q}^{}$ et $b\in\mathbb{N}^{}$

Règles :

Pour rendre rationnel le dénominateur d'une expression de la forme

$\dfrac{N}{a\sqrt{b}}$ , on multiplie tout simplement les termes du quotient par

$\sqrt{b}.$

On a :

$\dfrac{N}{a\sqrt{b}}=\dfrac{N\times\sqrt{b}}{a\sqrt{b}\times\sqrt{b}}=\dfrac{N\sqrt{b}}{a.b}$

Exemple 1 :

Rendons rationnel le dénominateur des expressions suivantes

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{5}{2\sqrt{3}}\\ \\&=&\dfrac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\\ \\&=&\dfrac{5\sqrt{3}}{6}\end{array}$

Donc, $\boxed{A=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{2-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\ \\&=&\dfrac{(2-2\sqrt{3})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\ \\&=&\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{B=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{2}}$

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\\ \\&=&\dfrac{2\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\ \\&=&\dfrac{2\sqrt{6}}{6}\\ \\&=& \dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{array}$

Donc, $\boxed{C=\dfrac{\sqrt{6}}{3}}$

Exemple 2 :

Ecrivons les expressions suivantes sous la forme

$a\sqrt{b}$ avec

$a\in\mathbb{Q}$ et

$b\in\mathbb{N}$

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} \\ \\&=&5\sqrt{\dfrac{27}{8}}-4\sqrt{\dfrac{15}{10}}-7\sqrt{\dfrac{48}{98}} \\ \\&=&5\sqrt{\dfrac{9\times 3}{4\times 2}}-4\sqrt{\dfrac{5\times 3}{5\times 2}}-7\sqrt{\dfrac{2\times 24}{2\times 49}} \\ \\&=&\dfrac{15\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}-4\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-7\sqrt{\dfrac{24}{49}} \\ \\ &=&\dfrac{15\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}-4\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-7\dfrac{\sqrt{4\times 6}}{\sqrt{49}} \\ \\&=&\dfrac{15\sqrt{6}}{4}-4\dfrac{\sqrt{6}}{2}-2\sqrt{6} \\ \\&=&\dfrac{15\sqrt{6}}{4}-8\dfrac{\sqrt{6}}{4}-8\dfrac{\sqrt{6}}{4} \\ \\&=&-\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=-\dfrac{\sqrt{6}}{4}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{54}{16}}-\dfrac{6}{5}\sqrt{\dfrac{3}{2}}-\dfrac{6}{18}\sqrt{6} \\ \\&=&\dfrac{2}{3}\dfrac{\sqrt{9\times 6}}{\sqrt{4\times 4}}-\dfrac{6}{5}\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\dfrac{6\sqrt{6}}{18} \\ \\&=&\dfrac{6\sqrt{6}}{12}-\dfrac{6\sqrt{6}}{10}-\dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ \\&=&\dfrac{15\sqrt{6}}{30}-\dfrac{18\sqrt{6}}{30}-\dfrac{10\sqrt{6}}{30} \\ \\&=&-\dfrac{13\sqrt{6}}{30}\end{array}$

D'où, $\boxed{B=-\dfrac{13\sqrt{6}}{30}}$

II.2 Expression de la forme $\dfrac{N}{d(a+b\sqrt{c})}$ avec $a\;,\ b\;,\ d\;\in\mathbb{Q}^{*}$ et $c\in\mathbb{N}$

Règles :

Pour rendre rationnel le dénominateur d'une expression de la forme

$\dfrac{N}{d(a+b\sqrt{c})}$ , on multiplie tout simplement les termes du quotient par

$(a-b\sqrt{c})$ , appelé expression conjuguée de

$(a+b\sqrt{c}).$

Remarque :

Cas où l'expression est de la forme

$\dfrac{N}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}$

Pour rendre rationnel le dénominateur d'une expression de la forme

$\dfrac{N}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d}}$ , on multiplie les termes du quotient par

$(a\sqrt{b}-c\sqrt{d})$ , appelé expression conjuguée de l'expression

$(a\sqrt{b}+c\sqrt{d}).$

Ainsi,

$\begin{eqnarray}\dfrac{N}{d(a+b\sqrt{c})} & = & \dfrac{N\times (a-b\sqrt{c})}{d(a+b\sqrt{c})(a-b\sqrt{c})} \nonumber\\ \\ & = & \dfrac{N(a-b\sqrt{c})}{d(a^{2}-b^{2}.c)} \nonumber\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}\dfrac{N}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d})} & = & \dfrac{N\times (a\sqrt{b}-c\sqrt{d})}{a\sqrt{b}+c\sqrt{d})(a\sqrt{b}-c\sqrt{d})} \nonumber\\ \\ & = & \dfrac{N(a\sqrt{b}-c\sqrt{d})}{a^{2}.b-c^{2}.d} \nonumber\end{eqnarray}$

Exemple 1 :

Rendons rationnel le dénominateur des expressions suivantes

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{2-3\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}} \\ \\&=&\dfrac{(2-3\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})} \\ \\&=&\dfrac{6-4\sqrt{3}-9\sqrt{3}+12}{9-12} \\ \\&=&\dfrac{24-13\sqrt{3}}{-3} \\ \\&=&\dfrac{-24+13\sqrt{3}}{3} \\ \\&=&-8+\dfrac{13\sqrt{3}}{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=-8+\dfrac{13\sqrt{3}}{3}}$

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{2\sqrt{2}}{-3(-3+2\sqrt{2})} \\ \\&=&\dfrac{2\sqrt{2}(-3-2\sqrt{2})}{-3(-3+2\sqrt{2})(-3-2\sqrt{2})} \\ \\&=&\dfrac{-6\sqrt{2}-8}{-3(9-8)} \\ \\&=&\dfrac{-6\sqrt{2}-8}{-3} \\ \\&=&\dfrac{6\sqrt{2}+8}{3}\end{array}$

Donc,

$\boxed{B=\dfrac{6\sqrt{2}+8}{3}}$

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{2\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}+5\sqrt{2}} \\ \\&=&\dfrac{(2\sqrt{2}-3\sqrt{3})(4\sqrt{3}-5\sqrt{2})}{(4\sqrt{3}+5\sqrt{2})(4\sqrt{3}-5\sqrt{2})} \\ \\&=&\dfrac{8\sqrt{6}-20-36+15\sqrt{6}}{48-50} \\ \\&=&\dfrac{-56+23\sqrt{6}}{-2} \\ \\&=&\dfrac{56-23\sqrt{6}}{2} \\ \\&=&28-\dfrac{23\sqrt{6}}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{C=28-\dfrac{23\sqrt{6}}{2}}$

Exemple 2 :

Ecrivons l'expression suivante sous la forme

$a+b\sqrt{c}$ avec

$a\;,\ b\;\in\mathbb{Q}$ et

$c\in\mathbb{N}$

$\begin{array}{rcl} A=\dfrac{\left(\dfrac{-4+2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}-1}\right)}{\left(\dfrac{2\sqrt{5}-1}{-\sqrt{5}-3}\right)}&=&\dfrac{-4+2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}-1}\times\dfrac{-\sqrt{5}-3}{2\sqrt{5}-1} \\ \\ & = & \dfrac{4\sqrt{5}+12-10-6\sqrt{5}}{45-6\sqrt{5}+1} \\ \\&=&\dfrac{2-2\sqrt{5}}{46-6\sqrt{5}} \\ \\&=&\dfrac{1-\sqrt{5}}{23-3\sqrt{5}} \\ \\&=&\dfrac{(1-\sqrt{5})(23+3\sqrt{5})}{(23-3\sqrt{5})(23+3\sqrt{5})} \\ \\&=&\dfrac{23+3\sqrt{5}-23\sqrt{5}-15}{529-45} \\ \\&=&\dfrac{8-20\sqrt{5}}{484} \\ \\&=&\dfrac{2-5\sqrt{5}}{121}\end{array}$

D'où, $\boxed{A=\dfrac{2-5\sqrt{5}}{121}}$

III. Comparaison de réels comportant des radicaux

III.1 Réels du type $a\sqrt{b}$

Règle 1 :

Pour comparer deux réels positifs du type

$a\sqrt{b}$ on les élève au carré et celui qui aura le carré le plus grand correspondra au réel le plus grand.

Exemple 1 :

Comparons les réels suivants

$3\sqrt{2}$ et

$2\sqrt{3}$ puis,

$5$ et

$2\sqrt{7}.$

On a :

$(3\sqrt{2})^{2}=18$ et

$(2\sqrt{3})^{2}=12$

Or,

$18>12$ alors,

$3\sqrt{2}>2\sqrt{3}.$

De même on a

$(5)^{2}=25$ et

$(2\sqrt{7})^{2}=28$

Or,

$28>25$ alors,

$2\sqrt{7}>5.$

Exemple 2 :

Trouvons le signe des expressions suivantes

$3-2\sqrt{5}$ puis

$-5+2\sqrt{7}$

On a :

$(3)^{2}=9$ et

$(2\sqrt{7})^{2}=28$

Or,

$9<28$ alors,

$3<2\sqrt{7}$

Donc,

$3-2\sqrt{5}<0$

De même on a

$(5)^{2}=25$ et

$(2\sqrt{7})^{2}=28$

Or,

$28>25$ alors,

$2\sqrt{7}>5$

Donc,

$-5+2\sqrt{7}>0$

Règle 2 :

Pour comparer deux réels négatifs du type

$a\sqrt{b}$ on les élève au carré et celui qui aura le carré le plus petit correspondra au réel le plus grand.

Exemple 1 :

Comparons les réels suivants

$-3\sqrt{2}$ et

$-2\sqrt{3}$ puis,

$-4$ et

$-2\sqrt{5}.$

On a :

$(-3\sqrt{2})^{2}=18$ et

$(-2\sqrt{3})^{2}=12$

Or,

$12<18$ alors,

$-3\sqrt{2}<-2\sqrt{3}.$

De même on a

$(-4)^{2}=16$ et

$(-2\sqrt{5})^{2}=20$

Or,

$16<20$ alors,

$-4>-2\sqrt{5}.$

Exemple 2 :

Trouvons deux entiers relatifs consécutifs qui encadrent

$-2\sqrt{3}$

On a :

$(-2\sqrt{3})^{2}=12$ ; or 9<12<16 et

$-2\sqrt{3}<0$ alors,

$(-3)^{2}<(-2\sqrt{3})^{2}<(-4)^{2}$

Donc,

$-4<-2\sqrt{3}<-3$

III.2 Réels du type $a+b\sqrt{c}$ et $\sqrt{a'+b'\sqrt{c}}$

Exemple :

Comparons les réels suivants

$2-\sqrt{2}$ et

$\sqrt{6-4\sqrt{2}}$

signe de

$2-\sqrt{2}$ : on a

$(2)^{2}=4$ et

$(\sqrt{2})^{2}=2$ alors,

$2>\sqrt{2}.$

Donc,

$2-\sqrt{2}>0$

Ainsi,

$(2-\sqrt{2})^{2}=4-4\sqrt{2}+2=6-4\sqrt{2}$ et

$\left(\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^{2}=6-4\sqrt{2}$

Par suite,

$2-\sqrt{2}=\sqrt{6-4\sqrt{2}}$

IV Racine carrée du carré d'un réel

IV.1 Rappels : valeur absolue d'un réel

IV.1.1 Définition :

On appelle valeur absolue d'un nombre réel

$a$ , notée

$|a|$ , le réel positif défini de la manière suivante :

$|a|=a\;\text{ si, et seulement si, }\;a\geq 0$

$|a|=-a\;\text{ si, et seulement si, }\;a<0$

Remarque :

La valeur absolue d'un nombre réel est toujours positif.

Exemple :

On a :

$|2.21|=2.21\;,\ \left|-\dfrac{3}{7}\right|=\dfrac{3}{7}\;,\ |-2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}$

$|3+\sqrt{2}|=3+\sqrt{2}\;,\ |3-\sqrt{2}|=3-\sqrt{2}$

$|2\sqrt{3}-4|=-(2\sqrt{3}-4)=-2\sqrt{3}+4$

IV.1.2 Propriétés

$P_{1}\ :\$ Soient

$x\in\mathbb{R}$ et

$y\in\mathbb{R}^{+}$

On a :

$|x|=y$ si, et seulement si

$x=y$ ou

$x=-y$

Exemple :

Résolvons les équations suivantes

$\centerdot\ \ |2x+3|=5$

On aura

$2x+3=5$ ou

$2x+3=-5$

Alors,

$2x=2$ ou

$2x=-8$

Donc,

$x=1$ ou

$x=-4$

D'où,

$S=\{-4\;;\ 1\}$

$\centerdot\ \ \left|-\dfrac{2}{3}x+4\right|=6$

On aura

$-\dfrac{2}{3}x+4=6$ ou

$-\dfrac{2}{3}x+4=-6$

Alors,

$-\dfrac{2}{3}x=2$ ou

$-\dfrac{2}{3}x=-10$

Donc,

$x=2\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-3$ ou

$x=-10\left(-\dfrac{3}{2}\right)=15$

D'où,

$S=\{-3\;;\ 15\}$

$P_{2}\ :\$ Soient

$x\in\mathbb{R}$ et

$y\in\mathbb{R}$

On a :

$|x|=|y|$ si, et seulement si,

$x=y$ ou

$x=-y$

Exemple :

Résolvons les équations suivantes

$\centerdot\ \ |3x+5|=|2x+7|$

On aura

$3x+5=2x+7$ ou

$3x+5=-2x-7$

Alors,

$x=2$ ou

$5x=-12$

Donc,

$x=2$ ou

$x=-\dfrac{12}{5}$

D'où,

$S=\left\lbrace-\dfrac{12}{5}\;;\ 1\right\rbrace$

$\centerdot\ \ \left|\dfrac{2}{3}x+3\right|=\left|-\dfrac{3}{2}x+5\right|$

On aura

$\dfrac{2}{3}x+3=-\dfrac{3}{2}x+5$ ou

$\dfrac{2}{3}x+3=\dfrac{3}{2}x-5$

Alors,

$\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{2}x=2$ ou

$\dfrac{2}{3}x-\dfrac{3}{2}x=-8$

Donc,

$\dfrac{4}{6}x+\dfrac{9}{6}x=2$ ou

$\dfrac{4}{6}x-\dfrac{9}{6}x=-8$

Ainsi,

$\dfrac{13}{6}x=2$ ou

$\dfrac{5}{6}x=-8$

Par suite,

$x=2\left(\dfrac{6}{13}\right)=\dfrac{12}{13}$ ou

$x=-8\left(-\dfrac{6}{5}\right)=\dfrac{48}{5}$

D'où,

$S=\left\lbrace\dfrac{12}{13}\;;\ \dfrac{48}{5}\right\rbrace$

$P_{3}\ :\$ Soient

$x\in\mathbb{R}$ et

$y\in\mathbb{R}^{+}$

On a :

$|x|\leq y$ si, et seulement si

$x\leq y$ et

$x\geq -y$

Exemple :

Résolvons les inéquations suivantes

$\centerdot\ \ |3x+7|\leq 5$

On aura :

$3x+7\leq 5$ et

$3x+5\geq -5$

Alors,

$3x\leq -2$ et

$3x\geq -12$

Donc,

$x\leq -\dfrac{2}{3}$ et

$x\geq -4$

D'où

$S=\left[-4\;;\ -\dfrac{2}{3}\right]$

$\centerdot\ \ \left|-\dfrac{2}{3}x+4\right|< 6$

On aura :

$-\dfrac{2}{3}x+4< 6$ et

$-\dfrac{2}{3}x+4> -6$

Alors,

$-\dfrac{2}{3}x< 2$ et

$-\dfrac{2}{3}x>-10$

Donc,

$x>6\left(-\dfrac{3}{2}\right)$ et

$x< -10\left(-\dfrac{3}{2}\right)$

Ainsi,

$x>-3$ et

$x<15$

D'où,

$S=\left]-3\;;\ 15\right[$

$P_{4}\ :\$ Soient

$x\in\mathbb{R}$ et

$y\in\mathbb{R}^{+}$

On a :

$|x|\geq y$ si, et seulement si

$x\geq y$ ou

$x\leq -y$

Exemple :

Résolvons les inéquations suivantes

$\centerdot\ \ |2x-5|\geq 7$

On aura :

$2x-5\geq 7$ ou

$2x-5\leq -7$

Alors,

$2x\geq 12$ ou

$2x\leq -2$

Donc,

$x\geq 6$ ou

$x\leq -1$

D'où

$S=]-\infty\;;\ -1]\cup[6\;;\ +\infty[$

$\centerdot\ \ \left|-\dfrac{3}{2}x+6\right|>9$

On aura :

$-\dfrac{3}{2}x+6>9$ ou

$-\dfrac{3}{2}x+6<-9$

Alors,

$-\dfrac{3}{2}x>3$ ou

$-\dfrac{3}{2}x<-15$

Donc,

$x<3\left(-\dfrac{2}{3}\right)$ ou

$x>-15\left(-\dfrac{2}{3}\right)$

Ainsi,

$x<-2$ ou

$x>10$

$S=]-\infty\;;\ -2[\cup]10\;;\ +\infty[$

IV.2 Expression de la racine carrée du carré d'un réel en fonction de la valeur absolue du réel

On a ; pour

$x\geq 0\;;\ \sqrt{x^{2}}=x$ et pour

$x<0\;;\ \sqrt{x^{2}}=-x.$

Et comme pour

$x\geq 0\;;\ |x|=x$ et pour

$x<0\;;\ |x|=-x.$

Ainsi,

$|x|=\sqrt{x^{2}}$

$\text{Pour }\;x\in\mathbb{R}\;;\ \text{ on a }\;\ \sqrt{x^{2}}=|x|$

Applications

1) On donne

$A=2\sqrt{3}-4$ et

$B=\sqrt{28-16\sqrt{3}}$

Calculer

$A^{2}$ puis en déduire une écriture simplifiée de

$B.$

On a :

$A^{2}=(2\sqrt{3}-4)^{2}=12-16\sqrt{3}+16=28-16\sqrt{3}$

Alors,

$B=\sqrt{28-16\sqrt{3}}=\sqrt{A^{2}}=|A|.$

Donc,

$B=|2\sqrt{3}-4|$

signe de

$2\sqrt{3}-4$ : on a

$(2\sqrt{3})^{2}=12$ et

$(4)^{2}=16$ . Alors,

$2\sqrt{3}-4<0.$

Ainsi,

$B=-2\sqrt{3}+4$

2) Résoudre l'équation suivante :

$4x^{2}-9=0$

On aura :

$4x^{2}=9$

Alors,

$x^{2}=\dfrac{9}{4}$

Donc,

$\sqrt{x^{2}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}$

Par suite

$|x|=\dfrac{3}{2}$

Ainsi,

$x=\dfrac{3}{2}$ ou

$x=-\dfrac{3}{2}$

D'où,

$S=\left\lbrace -\dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{3}{2}\right\rbrace$

3) Résoudre l'inéquation suivante :

$16x^{2}-25\leq 0$

On aura :

$16x^{2}\leq 25$

Alors,

$x^{2}\leq\dfrac{25}{16}$ , donc

$\sqrt{x^{2}}\leq\sqrt{\dfrac{25}{16}}.$

Ainsi,

$|x|\leq\dfrac{5}{4}$

Par suite,

$x\leq\dfrac{5}{4}$ et

$x\geq\dfrac{-5}{4}$

D'où

$S=\left[-\dfrac{5}{4}\;;\ \dfrac{5}{4}\right]$

V. Valeur approchée - encadrement

V.1 Valeur approchée

$3$ n'étant pas un carré parfait, il nous est alors impossible de donner la valeur exacte de

$\sqrt{3}.$

Mais pour

$k\in\mathbb{N}$ , on peut trouver une valeur approchée par défaut ou par excès de

$\sqrt{3}$ à

$10^{-k}$ près (

$k$ chiffres après la virgule).

Exemple 1 :

Trouver la valeur approchée par défaut de

$\sqrt{3}$ à

$10^{-1}$ près.

Je cherche deux entiers consécutifs tels que ,

$a.10^{-1}<\sqrt{3}<(a+1).10^{-1}.$

J'élève l'inégalité au carré. On obtient

$a^{2}.10^{-2}<3<(a+1)^{2}.10^{-2}.$

Je multiplie par

$10^{+2}$ pour faire disparaitre les

$10^{-2}.$ On trouve

$a^{2}<300<(a+1)^{2}.$

Je cherche maintenant deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent

$300.$

On a :

$289<300<324$ , c'est à dire

$17^{2}<300<(17+1)^{2}.$

J'en déduis alors que

$a=17\;,\ a+1=18$ et

$a.10^{-1}=1.7$

Je reviens à la condition posée au départ,

$1.7<\sqrt{3}<1.8$

$1.7$ est la valeur approchée par défaut de

$\sqrt{3}$ à

$10^{-1}$ près.

$1.8$ est la valeur approchée par excès de

$\sqrt{3}$ à

$10^{-1}$ près.

Exemple 2 :

Donner l'encadrement de

$\sqrt{2}$ à

$10^{-3}$ près.

Soit

$a\in\mathbb{N}$

On aura :

$a.10^{-3}<\sqrt{2}<(a+1).10^{-3}.$

Alors,

$a^{2}.10^{-6}<2<(a+1)^{2}.10^{-6}.$

Donc,

$a^{2}<2.000.000<(a+1)^{2}.$

Ainsi,

$a=1414$ et

$a.10^{-3}=1.414$ , d'où

$1.414<\sqrt{2}<1.415$

V.2 Encadrement de réels comportant des radicaux

Exemple 1 :

Sachant que

$1.732<\sqrt{3}<1.733$ donner un encadrement de

$2\sqrt{3}-4$ à

$10^{-2}$ près.

On a :

$1.732<\sqrt{3}<1.733$

Alors,

$3.464<2\sqrt{3}<3.466$

Donc,

$-0.536<2\sqrt{3}-4<-0.534$

D'où,

$-0.54<2\sqrt{3}-4<-0.53$

Exemple 2 :

Sachant que

$2.236<\sqrt{5}<2.237$ donnons un encadrement de

$\dfrac{5-2\sqrt{5}}{2}$ à

$10^{-2}$ près.

On a :

$2.236<\sqrt{5}<2.237$

Alors,

$-4.472>-2\sqrt{5}>-4.474$

Donc,

$0.528>5-2\sqrt{5}>0.526$

Ainsi,

$0.264>\dfrac{5-2\sqrt{5}}{2}>0.263$

Par suite,

$0.263<\dfrac{5-2\sqrt{5}}{2}<0.264$ , d'où

$0.26<\dfrac{5-2\sqrt{5}}{2}<0.27$

Auteur:

Abdoulaye Ba

Lien cours vidéo:

Vidéo Cours Racine Carrée

Commentaires

Moctar greve (non vérifié)

mer, 09/25/2019 - 23:51

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Machalah

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Moctar greve (non vérifié)

mer, 09/25/2019 - 23:51

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Machalah

répondre

sokhna thioub (non vérifié)

dim, 12/01/2024 - 23:25

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sokhoubb

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babacar diagne (non vérifié)

mar, 10/01/2019 - 23:36

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je suis trés content pour ce

je suis trés content pour ce cite

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Anonyme (non vérifié)

jeu, 10/24/2019 - 19:15

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Très intéressant

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MODOU SARR (non vérifié)

mar, 12/17/2019 - 16:48

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très bon cours

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Anonyme (non vérifié)

mar, 01/14/2020 - 22:57

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J'aime vraiment

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Papa Dieng (non vérifié)

mar, 01/14/2020 - 23:02

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J'aime vraiment

répondre

Bouchaib (non vérifié)

sam, 08/29/2020 - 11:01

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Bravo pour le grand effort

Bravo pour le grand effort que vos faire pour les étudiant surtout pour les étudiants qui voulent travailler a distance

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Anonyme (non vérifié)

mer, 09/09/2020 - 18:20

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Bien!!

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Anonyme (non vérifié)

ven, 09/18/2020 - 14:01

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Les cours sont excellents,je

Les cours sont excellents,je comprends vite merci 1000fois

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Anonyme (non vérifié)

jeu, 10/29/2020 - 11:42

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Nous vous remercions

Nous vous remercions infiniment

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Mohamed NDOUR (non vérifié)

lun, 11/30/2020 - 22:11

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Bonjour, je voulais signalé

Bonjour, je voulais signalé une erreur, à la place de trouver 18 sur le calcul 3carréede3 facteur de 2carréede3, vous avez trouvé 12 merci

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Seynabou(non vé... (non vérifié)

mer, 12/09/2020 - 22:55

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je suis très content pour

je suis très content pour vous

répondre

Ismaïla Siby (non vérifié)

mar, 01/12/2021 - 21:47

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Très fort

répondre

Ismaïla Siby (non vérifié)

mar, 01/12/2021 - 21:48

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Très fort

répondre

Ismaïla Siby (non vérifié)

mar, 01/12/2021 - 21:48

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C'EST trop bien

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Ismaïla Siby (non vérifié)

mar, 01/12/2021 - 21:50

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C'est super merci beaucoup

répondre

Anonyme (non vérifié)

jeu, 03/04/2021 - 16:09

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je valide

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Fatou gueye (non vérifié)

dim, 04/25/2021 - 15:21

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Merci du courage

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Cherif sow (non vérifié)

mar, 04/27/2021 - 17:50

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Je vous remercie parfaitement

Je vous remercie parfaitement , je suis anthousiaste d'avoir cette site

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Al moustapha (non vérifié)

lun, 08/02/2021 - 18:08

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Très intéressant

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Anonyme (non vérifié)

lun, 08/02/2021 - 18:16

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Intéressant

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Abdoulaye sy (non vérifié)

lun, 09/13/2021 - 02:47

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Constat d’une erreur de saisie sur l’inégalité d’une valeur abso

|x|<y => x<y et x>-y au lieu de x<-y

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Cheikhou Kanté (non vérifié)

mer, 11/03/2021 - 12:37

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Les cours sont claires et

Les cours sont claires et facile à comprendre

répondre

Anonyme (non vérifié)

mar, 01/11/2022 - 20:49

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C'est bien.

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Ndéné Ndiaye (non vérifié)

mer, 08/17/2022 - 09:00

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Excellent cours

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Mouhamed Habib ... (non vérifié)

dim, 10/22/2023 - 17:19

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Vous êtes imparfait mais

Vous êtes imparfait mais parfaitement

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Philo (non vérifié)

ven, 01/26/2024 - 10:33

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Les cours sont bien détaillés

Les cours sont bien détaillés ya pas mieux vraiment merciiii

répondre

sokhna thioub (non vérifié)

dim, 12/01/2024 - 23:27

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la pertinence

vous etes pertinente

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Racine carrée - 3e

Formulaire de recherche

I. Définition et propriétés

I.1 Définition

I.2 Propriétés

Attention :

Exemple 1 :

Exemple 2 :

II. Rendre rationnel le dénominateur d'un quotient : Expression conjuguée

II.1 Expression de la forme Na√b\dfrac{N}{a\sqrt{b}} avec a∈Q∗a\in\mathbb{Q}^{*} et b∈N∗b\in\mathbb{N}^{*}

Règles :

Exemple 1 :

Exemple 2 :

II.2 Expression de la forme Nd(a+b√c)\dfrac{N}{d(a+b\sqrt{c})} avec a, b, d∈Q∗a\;,\ b\;,\ d\;\in\mathbb{Q}^{*} et c∈Nc\in\mathbb{N}

Règles :

Remarque :

Exemple 1 :

Exemple 2 :

III. Comparaison de réels comportant des radicaux

III.1 Réels du type a√ba\sqrt{b}

Règle 1 :

Exemple 1 :

Exemple 2 :

Règle 2 :

Exemple 1 :

Exemple 2 :

III.2 Réels du type a+b√ca+b\sqrt{c} et √a′+b′√c\sqrt{a'+b'\sqrt{c}}

Exemple :

IV Racine carrée du carré d'un réel

IV.1 Rappels : valeur absolue d'un réel

IV.1.1 Définition :

Remarque :

Exemple :

IV.1.2 Propriétés

Exemple :

Exemple :

Exemple :

Exemple :

IV.2 Expression de la racine carrée du carré d'un réel en fonction de la valeur absolue du réel

Applications

V. Valeur approchée - encadrement

V.1 Valeur approchée

Exemple 1 :

Exemple 2 :

V.2 Encadrement de réels comportant des radicaux

Exemple 1 :

Exemple 2 :

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II.1 Expression de la forme $\dfrac{N}{a\sqrt{b}}$ avec $a\in\mathbb{Q}^{}$ et $b\in\mathbb{N}^{}$

II.2 Expression de la forme $\dfrac{N}{d(a+b\sqrt{c})}$ avec $a\;,\ b\;,\ d\;\in\mathbb{Q}^{*}$ et $c\in\mathbb{N}$

III.1 Réels du type $a\sqrt{b}$

III.2 Réels du type $a+b\sqrt{c}$ et $\sqrt{a'+b'\sqrt{c}}$