Série d'exercice sur les dérivées et applications 1e S

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, en utilisant la définition de la dérivée, étudier la dérivabilité de la fonction $f$ au point $x_{0}$.

Dans les cas où $f$ est dérivable en $x_{0}$, écrire l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point $M_{0}$ d'abscisse $x_{0}$

dans les cas où $f$ n'est pas dérivable, interpréter géométriquement les résultats.

Construire les tangentes et demi-tangentes correspondantes.

$1)\ f(x)=x^{3}+3x^{2}\;(x_{0}=-1)\qquad 2)\ f(x)=\dfrac{1}{2x^{2}}\;(x_{0}=3)$

$3)\ f(x)=\sqrt{x+5}\;(x_{0}=4)\qquad 4)\ f(x)=\sqrt{x^{2}+4x+4}\;(x_{0}=-2)$

$5)\ f(x)=\dfrac{x+3}{x}\;(x_{0}=-2)\qquad 6)\ f(x)=|x(x-1)|\;(x_{0}=0\;;\ x'_{0}=1)$

$7)\ f(x)=x|x-3|\;(x_{0}=0\;;\ x'_{0}=1)$

$$8)\ f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} x^{2}-1 & \text{ si} & x<1 \\ \\ \dfrac{x-1}{x+1} & \text{si} & x\geq 1\ (x_{0}=1) \end{array} \right.$$

$9)\ f(x)=\sqrt{|x^{2}-x|}\ (x_{0}=0\;;\ x'_{0}=1)$

$10)\ f(x)=x^{2}-|x|\ (x_{0}=0)$

Exercice 2

Soient $a$ et $b$ deux réels.

On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x)=\dfrac{3x^{2}+ax+b}{x^{2}+1}$$

Déterminer $a$ et $b$ pour que $\mathcal{C}_{f}$ passe par $A(0\;;\ 1)$ et admette en $A$ une tangente d'équation $y=4x+3.$

Exercice 3

Soit $a$ un réel. On considère la fonction $f$ définie par :

 $f(x)=2x^{3}+ax^{2}+3.$
 
Déterminer $a$ pour que $\mathcal{C}_{f}$ admette au point d'abscisse $x_{0}=1$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

Exercice 4

Soit $a\;,\ b$ et $c$ trois nombres réels.

On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x)=\dfrac{ax^{2}+bx+c}{x-2}$$

Déterminer $a\;,\ b\;,\ c$ pour que $\mathcal{C}_{f}$ :

admette au point d'abscisse 0 une tangente parallèle à l'axe des abscisses

coupe la courbe $\Gamma$ de la fonction $g$ définie par :

$g(x)=-2x^{2}+x+5$ au point d'abscisse $x_{0}=1$ et admette en ce point la même tangente que $\Gamma$

Exercice 5

Soit $a$ et $b$ deux paramètres réels. On définit la fonction $f$ de la façon suivante :

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} ax+b & \text{si} & x\leq 3 \\ \\ \dfrac{\sqrt{2x+3}-3}{x-3} & \text{si} & x>3 \end{array}\right.$$

Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue et dérivable en $x_{0}=3$

Exercice 6

Déterminer $m$ pour que la fonction $f$ soit dérivable sur $\mathbb{R}$ dans las cas suivants :

$$a)\quad\left\lbrace\begin{array}{lllll} \text{si} & x\leq 2\;, & f(x) &=& \dfrac{x-2}{x-1} \\ \\ \text{si} & x>2\;, & f(x) &=& m(x-4) \end{array}\right.$$ $$\qquad b)\quad\left\lbrace\begin{array}{lllll} \text{si} & x\leq 0\;, & f(x) &=& x^{3}+x^{2}+(m^{2}-2)x+2 \\ \\ \text{si} & x>0\;, & f(x)&=& \dfrac{x+2m}{x+1} \end{array}\right.$$

Exercice 7

Soit $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$

Déterminer les nombres réels $a\;,\ b\;,\ c\;,\ d$ pour que $\mathcal{C}_{f}$ admette pour asymptotes les droites d'équations respectives $y=3\text{ et }x=-2$ et admette au point d'abscisse $x_{0}=1$ une tangente de coefficient directeur $\dfrac{8}{9}$

Exercice 9

Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction $f.$

Exercice 10

Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :

1) $f(x)=E(x)\sin^{2}\pi x$ où $E(x)$ désigne la partie entière de $x$

2) $f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{x}}$ pour $x\neq 0\text{ et }f(0)=0$

$3)\ f(x)=x^{2}+|x-1|\qquad 4)\ f(x)=\sqrt{|x|}$

5) $f(x)=\dfrac{|x|}{x}\text{ et }f(0)=0$

En utilisant la définition de la dérivabilité, calculer les limites suivantes :

$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\;;\qquad\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}$

$\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{2x+3}-2}{2x^{2}+7x-4}\;;\qquad\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+2x}}{x}$

Exercice 11

En utilisant la définition de la dérivabilité, calculer les limites suivantes :

$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\;;\qquad \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}$

$\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}\dfrac{\sqrt{2x+3}-2}{2X^{2}+7x-4}\;;\qquad \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+2x}}{x}$

Exercice 12

Dresser le tableau de variation des fonctions $f$ suivantes :

$1)\ f(x)=x^{2}+4x-1\;;\qquad 2)\ f(x)=ax^{2}+bx+c\ (a\neq 0)$

$3)\ f(x)=\dfrac{2x-5}{x+1}\;;\qquad 4)\ f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$

$5)\ f(x)=x^{3}-4x+5\;;\qquad 6)\ f(x)=-4x^{3}+3x$

$7)\ f(x)=x^{4}+2x^{2}-10\;;\qquad 8)\ f(x)=-x^{4}+8x^{2}-5$

$9)\ f(x)=\dfrac{x^{2}-x}{x^{2}+x}\;;\qquad 10)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+x}{x^{2}-4}$

$11)\ f(x)=\dfrac{5x^{2}+2x-11}{x^{2}-x-2}\;;\qquad 12)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}}$

$13)\ \dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{x^{2}}\;;\qquad 14)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+2x-3}{x-2}$

$15)\ f(x)=\sqrt{-x+3}\;;\qquad 16)\ f(x)=\dfrac{2x^{2}+|x-3|}{x^{2}-|x-1|}$

Exercice 13

On considère la fonction $f_{m}\ :\ x\mapsto mx^{2}-(2m+1)x+m+1$ où $m$ est un paramètre réel.

Soit $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Étudier suivant les valeurs de $m$ le sens de variation de $f_{m}$.

2) Montrer que quel que soit $m$, $\mathcal{C}_{f}$ passe par un point fixe $A$
(dont les coordonnées sont indépendantes de $m$) .

Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{m}$ admettent la même tangente en $A$.

3) Construire dans le même repère les courbes $\mathcal{C}_{m}$ pour $m\in\;\{-1\;,\ 0\;,\ 1\}.$

Exercice 14

Déterminer suivant les valeurs de $m$ le sens de variation de la fonction $f_{m}$ dans les cas suivants :

$a)\ f_{m}\ :\ x\mapsto\dfrac{(5m+1)x+m+2}{2mx+1}\;;\qquad b)\ f_{m}\ :\ x\mapsto\dfrac{mx+m+4}{x+m+1}$

$c)\ f_{m}\ :\ x\mapsto\dfrac{mx-5}{x^{2}+1}\;;\qquad d)\ f_{m}\ :\ x\mapsto(m+1)x^{3}+(2m-1)x+2$

Exercice 15

Problèmes d'extremum

Les différentes questions sont totalement indépendantes.

1-

Le triangle $IJK$ est équilatéral de coté $a.$

On construit un rectangle $ABCD$ en choisissant :

$A$ sur $[JK]$ de sorte que :

$JA=x\left(0<x<\dfrac{a}{2}\right)$

$D\in\;[IJ]\;,\ C\in\;[IK]\;,\ B\in\;[JK]$

Comment faut-il choisir $x$ pour que l'aire du rectangle $ABCD$ soit maximum ?

2-

On veut enclore le long d'une rivière, avec $1000\;m$ de clôture, un champ rectangulaire d'aire maximale (aucune clôture n'est nécessaire le long de la rivière et cette rivière est rectiligne).

Quelles sont les dimensions du champ obtenu et quelle est son aire ?

3-

On veut réaliser une boite de conserve cylindrique avec un minimum de métal, le volume de la boite étant $1\;dm^{3}$.

On note $h$ la hauteur de la boite et $r$ son rayon exprimé en $dm$.

a) Exprimer le volume $V$ de la boite en fonction de $r$ et $h$, puis en faisant $V=1$, exprimer $h$ en fonction de $r$

b) Déterminer en fonction de $h$ et $r$ la surface $S$ de métal nécessaire à la réalisation de la boite.

Exprimer $S$ uniquement en fonction de $r$

c) Pour quelle valeur de $r$ la surface $S$ est-elle minimale ?

Quelle est la valeur de $h$ correspondante ?

4-

On dispose d'une feuille de carton carrée de coté $10\;cm$.

Aux quatre coins de cette feuille, on découpe un carré de coté $x\;cm$, puis on plie le morceau restant pour obtenir une boite en forme de parallélépipède rectangle sans couvercle.

On désigne par $V(x)$ le volume de cette boite exprimé en $cm^{3}$.

1) a) Préciser l'ensemble des valeurs possibles de $x$.

b) Démontrer que :

$V(x)=x(100-2x)^{2}$

2) Étudier le sens de variation de la fonction $V$ ainsi obtenue et dresser son tableau variation.

3) En déduire la valeur de $x$ pour laquelle le volume de la boite est maximum.

Calculer ce volume maximum.

Exercice 16

A quelle condition la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x-b}\text{ (où $a$ et $b$ sont des réels distincts)}$ admet-elle un maximum ? un minimum ?

Exercice 17

Déterminer $b$ et $c$ pour que $f\ :\ x\mapsto x^{3}+bx^{2}+cx+2$ admette en $x_{0}=1$ un extremum égal à 2.

Étudier alors le sens de variation de $f.$

Exercice 18

Déterminer $b$ et $c$ pour que $f\ :\ x\mapsto \dfrac{x^{2}+bx+c}{x-2}$ admette en $x_{0}=-1$ un maximum égal à $-3$.

Étudier alors le sens de variation de $f.$

Exercice 19

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par :

$f(x)=\dfrac{-x^{2}+bx+3}{x-1}\text{ (où $b$ est un paramètre réel)}$.

1) Comment faut-il choisir $b$ pour que $f$ n'admette pas d'extremum ?

2) Déterminer alors $b$ pour que la courbe représentative de $f$ admette au point d'abscisse 2 une tangente parallèle à la droite d'équation $2x+2y-3=0$.

Exercice 20

Soit la fonction $f\ :\ x\mapsto \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x^{2}+bx+a}$

Déterminer suivant les valeurs de $a$ et $b$ le nombre d'extremums de $f$.

Exercice 21

Soit $f(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}$

on suppose que $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ est un repère orthonormé.

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe de $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=-1$

Soit $x_{0}\in\;\mathbb{R}$ et $M_{0}$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x_{0}$

1) Déterminer en fonction de $x_{0}$ une équation de la tangente $T_{0}$ à $\mathcal{C}$ en $M_{0}.$

2) Soit $H_{0}$ le projeté orthogonal de $M_{0}$ sur $\mathcal{D}$

a) Démontrer que $M_{0}J=M_{0}H_{0}$, puis que $(T_{0})$ est la médiatrice de $[JH_{0}]$.

b) En déduire une construction géométrique simple de $M_{0}$ et de $(T_{0})$ connaissant $H_{0}$.

3) Application : Construire géométriquement les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-2$ et 3 puis les tangentes à $\mathcal{C}$ en ces points.

Exercice 22

1) Démontrer que si $f$ est une fonction dérivable en $x_{0}$, alors :
$$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{xf(x_{0})-x_{0}f(x)}{x-x_{0}}=f(x_{0})-x_{0}f'(x_{0})$$

2) Prouver que si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables en 0, telles que :
$$f(0)=g(0)\text{ et }g'(0)\neq 0$$

alors $$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f'(0)}{g'(0)}$$

Exercice 23

1) Soit $f$ une fonction dérivable sur un ensemble $\mathbb{D}$ de $\mathbb{R}$ symétrique par rapport à 0 (c'est-à-dire que tel que, pour tout $x$ de $\mathbb{D}\;,\ -x\in\;\mathbb{D}$)

Montrer que que si $f$ est paire (respectivement impaire), alors $f'$ est impaire (respectivement paire)

2) Montrer que si une fonction définie sur $\mathbb{R}$ est périodique de période $T$, dérivable sur $\mathbb{R}$ alors sa fonction dérivée est également périodique, de période $T.$

Exercice 24

Soit $a$ un nombre réel.

On dit qu'un polynôme $P$ est factorisable par $(x-a)^{2}$ lorsqu'il existe un polynôme $Q$ tel que :
$$P(x)=(x-a)^{2}Q(x)$$

1) Montrer que si $P$ est factorisable par $(x-a)^{2}$, alors $P(a)=P'(a)=0$

2) On suppose que $P(a)=0$ et on désigne par $f$ le polynôme tel que $$P(x)=(x-a)f(x)$$

Montrer que si $P'(a)=0$, alors $f$ est factorisable par $x-a$

3) En déduire que les propriétés sont équivalentes :

(1) Le polynôme $P$ est factorisable par $(x-a)^{2}$

(2) On a $P(a)=P'(a)=0$

Applications

$A_{1}\ :$ Montrer que $$P(x)=x^{4}-2x^{3}-7x^{2}+20x+12$$ est factorisable par $(x-2)^{2}$

Résoudre ensuite l'équation $P(x)=0$

$A_{2}\ :$ Soit $n$ un entier naturel non nul.

A l'aide des questions précédentes, montrer que le polynôme
$$P(x)=nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1$$ est factorisable par $(x-1)^{2}$

$A_{2}\ :$ Soit $P$ un polynôme de degré 3 admettant trois racines distinctes $x_{1}\;,\ x_{2}$ et $x_{3}$.

Montrer que $P'$ ne s'annule ni en $x_{1}$, ni en $x_{2}$, ni en $x_{3}$, puis que :
$$\dfrac{x_{1}}{P'(x_{1})}+\dfrac{x_{2}}{P'(x_{2})}+\dfrac{x_{3}}{P'(x_{3})}=0$$