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Série d'exercice sur les suites numériques 1e S1

Classe:

Première

Exercice 1

1) Soit

$(u_{n})$ une suite arithmétique de raison

$r$ et de premier terme

$u_{1}$ , telle que :

$u_{15}=137.$ Calculer

$u_{1}$ et

$S_{15}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{15}.$

2) Soit

$(v_{n})$ une suite arithmétique de raison

$r'$ et de premier terme

$v_{0}$ , telle que :

$u_{19}=39$ et

$S'_{19}=v_{0}+v_{1}+\cdots+v_{19}=400.$ Calculer

$v_{0}$ et

$r'.$

3) Résoudre dans

$\mathbb{R}^{3}$ le système suivant où

$a\;,\ b$ et

$c$ sont en progression géométrique dans cet ordre.

$\left\lbrace\begin{array}{lll} a+b+c &=& 14 \\ \\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} &=& \dfrac{7}{8}\end{array}\right.$

Exercice 2

Soit

$(U_{n})$ la suite définie par

$\left\lbrace\begin{array}{lll}U_{0} &=& 0 \\ U_{n+1} &=& \sqrt{12+U_{n}}\end{array}\right.$

1) Démontrer que

$\forall\;n\ \in\ \mathbb{N}\;:\ 0\;\leq\;U_{n}\;\leq4.$

2) Montrer que la suite

$(U_{n})$ est croissante.

Exercice 3

Démontrer par récurrence les égalités suivantes :

$\sum_{p=1}^{n}p^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}=2n^{4}-n^{2}$

$\sum_{p=1}^{n}p=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Exercice 4

Les lettres

$a\;,\ b$ et

$c$ désignant trois nombres réels donnés, on considère la suite

$(u_{n})$ définie par

$u_{n}=a+bn+c2^{n}.$ Montrer qu'il existe trois nombres réels

$A\;,\ B$ et

$C$ , indépendants de

$a\;,\ b\;,\ c$ et

$n$ tels que :

$u_{n+3}=Au_{n+2}+Bu_{n+1}+Cu_{n}$

Exercice 5

On donne deux suites

$(u_{n})$ et

$(v_{n})$ telles que :

pour tout entier naturel

$n$ :

$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_{n+1} &=& 3u_{n}+2v_{n} \\ v_{n+1} &=& 2u_{n}+3v_{n}\end{array}\right.$ et

$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_{0} &=& 1 \\v_{0} &=& 2\end{array}\right.$

On définit deux suites

$(x_{n})$ et

$(y_{n})$ par :

$x_{n}=u_{n}+v_{n}$ et

$y_{n}=u_{n}-v_{n}.$

1) Montrer que

$(x_{n})$ est une suite géométrique et

$(y_{n})$ est une suite constante.

2) En déduire

$u_{n}$ et

$v_{n}$ en fonction de

$n$

Exercice 6

On considère la suite

$(u_{n})$ telle que :

$u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{2}+\dfrac{n}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et

$u_{0}=\dfrac{2}{3}.$

1) Calculer

$u_{1}$ et

$u_{2}.$

2) On pose

$v_{n}=u_{n}\sqrt{2}-n.$

Montrer que

$v_{n}$ est une suite géométrique.

3) En déduire

$u_{n}$ en fonction de

$n.$

4) Calculer

$S_{n}=\sum_{\mathrm{i=0}}^{n}u_{\mathrm{i}}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$ en fonction de

$n$

Exercice 7

$x\;,\ y$ et

$z$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Calculer ces trois nombres, sachant que leur somme est 9 et la somme de leurs carrés est 59.

$a\;,\ b$ et

$c$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométique croissante.

Calculer ces trois nombres, sachant que leur somme est 63 et la somme de leurs inverses est

$\dfrac{7}{16}.$

Exercice 8

On considère la suite de terme général

$u_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{2}}.$

1) Montrer que la suite

$(u_{n})$ est croissante.

2) a) Montrer que

$\dfrac{1}{k^{2}}<\dfrac{1}{k(k-1)}.$

b) Vérifier que

$\dfrac{1}{k(k-1)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$

c) En déduire que :

$\forall\;n\;\in\;\mathbb{N}^{\ast}$ :

$u_{n}<2.$

Exercice 9

Soit

$(u_{n})$ la suite définie par

$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_{0} &=& 0 \\ u_{n+1} &=& \sqrt{3u_{n}}+4\end{array}\right.$

1) Calculer les trois premiers termes de la suite. Montrer que la suite est positive.

2) Montrer que

$(u_{n})$ est majorée par 4.

3) Montrer que

$\forall\;n\;\in\;\mathbb{N}\;,\;4-u_{n+1}\leq\dfrac{1}{2}(4-u_{n}).$

4) En déduire par récurrence que

$\forall\;n\;\in\;\mathbb{N}\;,\;4-u_{n}\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.$

Exercice 10

Soit

$(D)$ une droite munie d'un repère

$(O\;,\ \vec{\mathrm{i}}).$

$A_{0}$ et

$B_{0}$ sont les points d'abscisses respectives

$a_{0}=-4$ et

$b_{0}=3.$ Pour tout entier naturel

$n$ on note :

$A_{n+1}$ le barycentre de

$\left\lbrace(A_{n}\;;\ 1)\;,\;(B_{n}\;;\ 4)\right\rbrace$

$B_{n+1}$ le barycentre de

$\left\lbrace(A_{n}\;;\ 3)\;,\;(B_{n}\;;\ 2)\right\rbrace$

1) Placer les points

$A_{0}\;,\ B_{0}\;,\ A_{1}$ et

$B_{1}.$

2) Les points

$A_{n}$ et

$B_{n}$ ont pour abscisses respectives

$a_{n}$ et

$b_{n}.$

a) Démontrer que pour tout entier naturel

$n$ :

$a_{n+1}=\dfrac{1}{5}(a_{n}+4b_{n}.$

b) Démontrer que pour tout entier naturel

$n$ :

$b_{n+1}=\dfrac{1}{5}(3a_{n}+2b_{n})$

3) a) Démontrer que pour tout entier naturel

$n$ :

$3a_{n}+4b_{n}=0$

b) En déduire que

$a_{n+1}=-\dfrac{2}{5}\;a_{n}$ et

$b_{n+1}=-\dfrac{2}{5}\;b_{n}$

c) Exprimer

$a_{n}$ et

$b_{n}$ en fonction de

$n.$

Commentaires

Emmanuel KOUETOLO (non vérifié)

dim, 03/30/2025 - 16:33

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Difficultés à traiter l'exercice 1

En essayant à mainte reprise de répondre à la première question j'ai du mal à trouver une valeur constante du premier terme U1 et S15. à chaque fois que je trouve une formule, il ya la présence de la raison r et je n'arrive pas à calculer r car je n'ai pas une expression de Un. pourriez vous m'aider à me montrer la solution ?

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