Série d'exercice sur les suites numériques 1e S1

 

1) Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{1}$, telle que :

 

$u_{15}=137.$ Calculer $u_{1}$ et $S_{15}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{15}.$

 

2) Soit $(v_{n})$ une suite arithmétique de raison $r'$ et de premier terme $v_{0}$, telle que :

 

$u_{19}=39$ et $S'_{19}=v_{0}+v_{1}+\cdots+v_{19}=400.$ Calculer $v_{0}$ et $r'.$

 

3) Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système suivant où $a\;,\ b$ et $c$ sont en progression géométrique dans cet ordre. 

$$\left\lbrace\begin{array}{lll} a+b+c &=& 14 \\ \\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} &=& \dfrac{7}{8}\end{array}\right.$$

Soit $(U_{n})$ la suite définie par

$$\left\lbrace\begin{array}{lll}U_{0} &=& 0  \\ U_{n+1} &=& \sqrt{12+U_{n}}\end{array}\right.$$

 

1) Démontrer que $\forall\;n\ \in\ \mathbb{N}\;:\ 0\;\leq\;U_{n}\;\leq4.$

 

2) Montrer que la suite $(U_{n})$ est croissante.

Démontrer par récurrence les égalités suivantes :

 

a) $\sum_{p=1}^{n}p^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

 

b) $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}=2n^{4}-n^{2}$

 

c) $\sum_{p=1}^{n}p=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Les lettres $a\;,\ b$ et $c$ désignant trois nombres réels donnés, on considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{n}=a+bn+c2^{n}.$ Montrer qu'il existe trois nombres réels $A\;,\ B$ et $C$, indépendants de $a\;,\ b\;,\ c$ et $n$ tels que :

 

$u_{n+3}=Au_{n+2}+Bu_{n+1}+Cu_{n}$

On donne deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ telles que :

 

pour tout entier naturel $n$:

 

$$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_{n+1} &=& 3u_{n}+2v_{n} \\ v_{n+1} &=& 2u_{n}+3v_{n}\end{array}\right.$$ et $$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_{0} &=& 1 \\v_{0} &=& 2\end{array}\right.$$

 

On définit deux suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ par : $x_{n}=u_{n}+v_{n}$ et $y_{n}=u_{n}-v_{n}.$

 

1) Montrer que $(x_{n})$ est une suite géométrique et $(y_{n})$ est une suite constante.

 

2) En déduire $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n$

On considère la suite $(u_{n})$ telle que :

 

$u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{2}+\dfrac{n}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $u_{0}=\dfrac{2}{3}.$

 

1) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}.$

 

2) On pose $v_{n}=u_{n}\sqrt{2}-n.$

 

Montrer que $v_{n}$ est une suite géométrique.

 

3) En déduire $u_{n}$ en fonction de $n.$

 

4) Calculer $S_{n}=\sum_{\mathrm{i=0}}^{n}u_{\mathrm{i}}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$ en fonction de $n$

1) $x\;,\ y$ et $z$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.

 

Calculer ces trois nombres, sachant que leur somme est 9 et la somme de leurs carrés est 59.

 

2) $a\;,\ b$ et $c$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométique croissante.

 

Calculer ces trois nombres, sachant que leur somme est 63 et la somme de leurs inverses est $\dfrac{7}{16}.$

On considère la suite de terme général $u_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{2}}.$

 

1) Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.

 

2) a) Montrer que $\dfrac{1}{k^{2}}<\dfrac{1}{k(k-1)}.$

 

b) Vérifier que $\dfrac{1}{k(k-1)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$

 

c) En déduire que : $\forall\;n\;\in\;\mathbb{N}^{\ast}$ : $u_{n}<2.$

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_{0} &=& 0 \\ u_{n+1} &=& \sqrt{3u_{n}}+4\end{array}\right.$$

 

1) Calculer les trois premiers termes de la suite. Montrer que la suite est positive.

 

2) Montrer que $(u_{n})$ est majorée par 4.

 

3) Montrer que $\forall\;n\;\in\;\mathbb{N}\;,\;4-u_{n+1}\leq\dfrac{1}{2}(4-u_{n}).$

 

4) En déduire par récurrence que $\forall\;n\;\in\;\mathbb{N}\;,\;4-u_{n}\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.$

Soit $(D)$ une droite munie d'un repère $(O\;,\ \vec{\mathrm{i}}).$ $A_{0}$ et $B_{0}$ sont les points d'abscisses respectives $a_{0}=-4$ et $b_{0}=3.$ Pour tout entier naturel $n$ on note :

 

$A_{n+1}$ le barycentre de $\left\lbrace(A_{n}\;;\ 1)\;,\;(B_{n}\;;\ 4)\right\rbrace$

 

$B_{n+1}$ le barycentre de $\left\lbrace(A_{n}\;;\ 3)\;,\;(B_{n}\;;\ 2)\right\rbrace$

 

1) Placer les points $A_{0}\;,\ B_{0}\;,\ A_{1}$ et $B_{1}.$

 

2) Les points $A_{n}$ et $B_{n}$ ont pour abscisses respectives $a_{n}$ et $b_{n}.$

 

a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $a_{n+1}=\dfrac{1}{5}(a_{n}+4b_{n}.$

 

b) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $b_{n+1}=\dfrac{1}{5}(3a_{n}+2b_{n})$

 

3) a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $3a_{n}+4b_{n}=0$

 

b) En déduire que $a_{n+1}=-\dfrac{2}{5}\;a_{n}$ et $b_{n+1}=-\dfrac{2}{5}\;b_{n}$

 

c) Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n.$