Série d'exercices : Équation et inéquation du $2^{nd}$ degré - 2nd L

Forme canonique

Donner la forme canonique des fonctions polynômes $f$ du second degré définies par

1. $f(x)=x^{2}-4x+3$ ;

2. $f(x)=2x^{2}-3x+7$ ;

3. $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{x}-5x-1$ ;

4. $f(x)169x^{2}+13x-1$ ;

5. $f(x)=\sqrt{3}x^{2}-\left(1-\sqrt{3}\right)x+4$

6. $f(x)=x^{2}+2x+2$

7. $f(x)=3x^{2}+12x-7$ ;

8. $f(x)=-x^{2}+x+2$ ;

9. $f(x)-3x^{2}+7x-2$

Calcule du discriminant

Calcule le discriminant des fonctions polynômes $f$ du second degré définies par :

. $f(x)=x^{2}-4x+3$ ;

2. $f(x)=2x^{2}-3x+7$ ;

3. $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{x}-5x-1$ ;

4. $f(x)169x^{2}+13x-1$ ;

5. $f(x)=\sqrt{3}x^{2}-\left(1-\sqrt{3}\right)x+4$

6. $f(x)=x^{2}+2x+2$

7. $f(x)=3x^{2}+12x-7$ ;

8. $f(x)=-x^{2}+x+2$ ;

9. $f(x)-3x^{2}+7x-2$

Équations

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes

1. $x^{2}+3x-2=0$ ;

2. $x^{2}+4x-21=0$ ;

3. $6x^{2}-x-5=0$ ;

4. $x^{2}+x+1=0$

5. $2x^{2}+2x-7=0$ ;

6. $6x^{2}-x-5=0$ ;

7. $x^{2}+x+1=0$ ;

8. $\sqrt{2}x^{2}-\left(1-\sqrt{2}\right)x-1=0$

9. $3x^{2}+12-7=0$ ;

10. $-x^{2}+x+2=0$ ;

11. $-2x^{2}-2x+5=0$

Somme et produit

1. Détermine s'ils existent deux nombre réels dont la somme est $S$

a. $S=3$ et $P=-10$ ;

b. $S=5$ et $P=6$ ;

c. $S=-6$ et $P=9$ ;

d. $S=3$ et $P=-10$ ;

2. 2. Existe-t-il deux nombres ayant pour somme $9$ et pour produit $-70$ ?

Si oui, les calculer.

3. Soit $x_{1}$ et $x_{2}$ les solutions de l'équation : $x^{2}-3x+2=0$

Sans calculer $x_{1}$ et $x_{2}$, calculer :

a. $x_{1}+x_{2}$ ;

b. $x_{1}\times x_{2}$ ;

c. $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}$ ;

d. $x_{1}x^{2}+x_{2}^{2}$

Somme et produit

a. $x^{2}-2x+7=0$

b. $6x^{2}-x-5=0$ ;

c. $8x^{2}+x+1=0$ ;

d. $\sqrt{2}x^{2}-\left(1\sqrt{2}\right)x-1=0$

2. Trouver les dimensions d'un rectangle dont la surface est égale à $861$ et le périmètre $124$

3. Résoudre mentalement les équations suivantes :

a. $3x^{2}+7x-10=0$ ;  

b. $2x^{2}+9x+7=0$

4. Vérifier que $2$ est racine de l'équation : $x^{4}+11x-26=0$

Quelle est l'autre racine ?

Somme et produit

Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ chacune des système d'équation ci-dessous.

$\left(S_{1}\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&13\\ xy&=&40 \end{array}\right.$

$\left(S_{2}\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&-1\\ xy&=&-1 \end{array}\right.$

$\left(S_{3}\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&2\\xy&=&3 \end{array}\right.$

$\left(S_{4}\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&4\\ xy&=&-12 \end{array}\right.$

$\left(S_{5}\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&5\\ x^{2}+y^{2}&=&13 \end{array}\right.$

$\left(S_{6}\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} xy&=&-2\\ x^{2}+y^{2}&=&5 \end{array}\right.$

$\left(S_{7}\right)\ :\ \left(\begin{array}{rcl} x+y&=&9\\ x^{2}+y^{2}&=&25 \end{array}\right.$

$\left(S_{8}\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&4\\ x^{2}+y^{2}&=&10 \end{array}\right.$

Factorisation

Factoriser si possible chacune des expressions suivantes.

1. $f(x)=4x^{2}-4x+1$ ;

2. $f(x)=-x^{2}+4x+30$ ;

3. $f(x)=x^{2}-5x-1$ ;

4. $f(x)=5x^{2}-15x-20$ ;

5. $f(x)=x^{2}-\sqrt{3}x+4$ ;  

6. $f(x)=-3x^{2}+4x+3$

7. $f(x)=-9x^{2}+12x-4$

8. $f(x)=-15x^{2}+11x-2$

9. $f(x)=2x^{2}-x+1$

Factorisation

Factorise $f(x)=x^{2}+4x+4$ ; en déduire une factorisation de $g(x)=(x+2)(2x-4)+x^{2}+4x+4$

Inéquation dans $\mathbb{R}$ les inéquations

1. $x^{2}-2x-1<0$ ;

2. $3x^{2}-5x+22\leq 0$

3. $9x^{2}+6x+1\leq 0$

4. $4x^{2}-4x-1\geq 0$

5. $2x^{2}+2x-7\prec 0$

6. $6x^{2}-x-5<0$

7. $x^{2}+x+1\geq 0$

8. $x^{2}-x-1\succ 0$

9. $\left(x^{2}+x+1\right)^{2}<\left(x^{2}-x+1\right)^{2}$

10. $\left(-3x^{2}+4x-2\right)^{2}\geq \left(3x^{2}-x+5\right)^{2}$

Un bateau descend une rivière d'une ville $A$ à une ville $B$, les deux villes étant distantes de $75\,km$, puis revient à la ville $A.$

La vitesse propre du bateau, inconnue, est notée $v$ ; la vitesse du courant est $5\,km/h$

La durée totale du déplacement (aller de $A$ à $B$ et retour, temps d'arrêt éventuel en $B$ non compris) est de $8\,h$
 
Pour calculer la vitesse propre du bateau, répondre aux questions suivantes :

1. Exprimer, en fonction de $v$, la vitesse du bateau par rapport à la rive à l'aller puis au retour.

2. Exprimer, en fonction de $v$, la durée du trajet à l'aller puis au retour.
 
3. Calculer la vitesse propre du bateau