Série d'exercices : Etudes de fonctions - Ts

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, démontrer que le point $A$ est centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$
d'équation $y=f(x).$
 
$1)\ y=\dfrac{x-1}{x^{2}-2x-2}\;;\ A(1\;;\ 0)\quad 2)\ y=\dfrac{x^{2}-9x+7}{x^{2}-4x-3}\;;\ A(2\;;\ 1)$
 
$3)\ y=\sqrt{x^{2}-4}-\sqrt{x^{2}+4x}\;;\ A(-1\;;\ 0)\quad 4)\ y=\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt{-x-1}}{x^{3}+6x^{2}+8x}\;;\ A(-2\;;\ 0)$
 
$5)\ y=\cos 3x+\left(\dfrac{\sqrt{3}\sin x+\cos x}{\sin x-\sqrt{3}\cos x}\right)^{3}\;;\ A\left(-\dfrac{\pi}{6}\;;\ 0\right)$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, démontrer que la droite $\mathcal{D}$ est un axe de symétrie de la courbe
$\mathcal{C}$ d'équation $y=f(x).$
 
$1)\ y=\dfrac{7}{x^{2}-4x}\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=2\quad 2)\ y=\dfrac{x^{4}+4x^{3}-8x}{|x|+|x+2|}\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=-1$
 
$3)\ y=5\sin x-3\cos^{2}x+\tan^{2}x\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=\dfrac{\pi}{2}\quad 4)\ y=\sqrt{x^{2}+12x+27}+\sqrt{x^{2}-9}\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=-3$
 
$5)\ y=\left|\dfrac{x^{4}+4x^{3}+x^{2}-6x}{x+1}\right|\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=-1\quad 6)\ y=\dfrac{\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}}{x^{2}-6x+3}\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=3$
 
7) $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \text{ si }\ x<\dfrac{3}{2} & :\ y=3-x & +\dfrac{1}{2x-3}\\ \\ \text{ si }\ x>\dfrac{3}{2} &:\ y=x &-\dfrac{1}{2x-3} \end{array}\quad \mathcal{D}\ :\ x=\dfrac{3}{2}\right.$$

Exercice 3

Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y=\dfrac{3}{5}x^{5}+x^{4}-2x^{3}+6x^{2}-1$ n'a qu'un seul point
d'inflexion.

Exercice 4

Discuter suivant les valeurs de $n\in\;\mathbb{Z}^{\ast}$ le nombre de points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y=(x-1)^{2n}(x+2)^{-n}.$

Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, déterminer les points d'inflexion éventuels de la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y=f(x).$
 
$1)\ y=(x-1)^{3}(x+2)^{4}\quad 2)\ y=x^{5}+x^{4}-32x^{3}-136x^{2}\quad 3)\ y=\dfrac{x^{2}}{2}+\sin x+\cos x$

Exercice 6

Dans chacun des cas suivants, vérifier que les droites fixées sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}.$
 
$1)\ \mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{x+2}{2x-3}\;;\ D_{1}\ :\ x=\dfrac{3}{2}\;;\ D_{2}\ :\ y=2$
 
$2)\ \mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{2x-3}{3x-|x+1|}\;;\ D_{1}\ :\ x=\dfrac{1}{2}\;;\ D_{2}\ :\ y=\dfrac{1}{2}\;;\ D_{3}\ :\ y=x+3$
 
$3)\ \mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{x^{2}+1}{x-3}\;;\ D_{1}\ :\ x=3\;;\ D_{2}\ :\ y=\dfrac{1}{2}\;;\ D_{3}\ :\ y=x+3$
 
$4)\ \mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{x^{3}+4x^{2}+3}{x^{2}+2x-1}\;;\ D_{1}\ :\ x=-1-\sqrt{2}\;;\ D_{2}\ :\ x=-1+\sqrt{2}\;;\ D_{3}\ :\ y=3x-\dfrac{1}{2}$
 
$5)\ \mathcal{C}\ :\ y=\sqrt{4x^{2}-3x+1}+x+\dfrac{1}{4}\;;\ D_{1}\ :\ y=-x+1\;;\ D_{2}\ :\ y=3x-\dfrac{1}{2}$
 
$6)\ \mathcal{C}\ :\ y=\sqrt{4x^{2}-3x}-\sqrt{x^{2}+x}\;;\ D_{1}\ :\ y=x-\dfrac{5}{4}\;;\ D_{2}\ :\ x=-x+\dfrac{5}{4}$

Exercice 7

Dans chacun des cas suivants, déterminer les branches infinies de la courbe $\mathcal{C}.$
 
$1)\ \mathcal{ C}\ :\ y=1-2x-x^{3}\quad 2)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{2x^{2}}{x^{2}+x-3}$
 
$3)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{x^{2}-|x-1|}{x+3}\quad 4)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\sqrt{x^{2}-3x}$
 
$5)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{\sqrt{x^{2}+4}}{1-2x}\quad 6)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{x}{\sin x}$
 
$7)\ \mathcal{ C}\ :\ y=2\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\quad 8)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{2x^{3}-3x^{2}-4x}{2x^{2}+3x-2}$
 
$9)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{x^{3}-x^{2}+5x}{2x^{2}+3x-|x^{3}-1|}\quad 10)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x^{2}+x-7}$
 
$11)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}+x-7}\quad 12)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\sqrt{4x^{2}-3x+1}+2x+\dfrac{1}{4}$
 
$13)\ \mathcal{ C}\ :\ y=x-3\tan x\quad 14)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{2x^{2}-5x-3}{3x^{2}-10x+3}$
 
$15)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{\sqrt{x^{2}+x-7}-\sqrt{x^{2}-1}}{2x+1}\quad 16)\ \mathcal{ C}\ :\ y= \dfrac{\sqrt{x^{4}-3x^{2}+2}}{x-2}$

Exercice 8

Étudier et représenter graphiquement les fonctions suivantes :
 
$1)\ f(x)=x^{6}-2x^{3}+1\quad 2)\ f(x)=x^{2}(x-1)^{2}$
 
$3)\ f(x)=|x^{3}|+|3x^{2}-4|\quad 4)\ f(x)=\dfrac{1}{4}x^{4}-2x^{2}+2$
 
$5)\ f(x)=\text{sup}(-x^{3}+x^{2}+5x\;,\ 2x^{3}+x)\quad 6)\ f(x)=\dfrac{2x-3}{3x+3}$
 
$7)\ f(x)=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^{2}\quad 8)\ f(x)=\dfrac{|x+1|-2x}{|x-1|}$
 
$9)\ f(x)=\dfrac{|x^{2}+x|+1}{|x|+1}\quad 10)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+4x+3}{x^{2}+6x+8}$ $11)\ f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-4x+5}\quad 12)\ f(x)=\dfrac{-3x+2}{x^{2}-3x+2}$
 
$13)\ f(x)=\sqrt{\dfrac{-x^{3}}{x+1}}\quad 14)\ f(x)=x\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$
 
$15)\ f(x)=x\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}\quad 16)\ f(x)=\sqrt{\dfrac{x^{2}(x+1)}{x-1}}$
 
$17)\ f(x)=x\sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}\quad 18)\ f(x)=(1-x)\sqrt{1+x}$
 
$19)\ f(x)=\cos^{2}x\quad 20)\ f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$
 
$21)\ f(x)=2 \cos 3x+1\quad 22)\ f(x)=3\sin 2x+2\cos 3x-3$
 
$23)\ f(x)=\dfrac{\cos 3x}{1+\cos 2x}\quad 24)\ f(x)=\dfrac{\cos 3x}{(\cos x-1)^{2}}$
 
$25)\ f(x)=\dfrac{\cos^{3}x}{(\cos x-1)^{2}}\quad 26)\ f(x)=\sqrt{\dfrac{1-2\sin x}{1+2\sin x}}$
 
$27)\ f(x)=\dfrac{\cos 2x}{\sin x}\quad 28)\ f(x)=\sin^{2}x-2 \cos x$
 
$29)\ f(x)=x-\sin x\quad 30)\ f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin 2x}\quad 31)\ f(x)=\dfrac{\tan x}{1-2\sin x}$
 
$32)\ f(x)=\tan\dfrac{x}{2}+\sin x\quad 33)\ f(x)=\tan x+\cos x$
 
$34)\ f(x)=\sin^{3}x-\sqrt{3}\cos^{3}x\quad 35)\ f(x)=\cos^{4}+2\cos^{2}x+1$ $36)\ f(x)=\cos 3x \cos^{3}x$

Exercice 9

Soit la fonction $f$ définie par :
 
$f(x)=\dfrac{x^{3}+x^{2}-2x-3}{x^{2}-3}$
 
1) Déterminer le domaine de définition de $f$, les limites et les asymptotes.
 
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à son asymptote oblique.
 
2) Montrer que le point $I(0\;;\ 1)$ est centre de symétrie.
 
Déterminer l'équation de la tangente au point $I$ et montrer que $I$ est un point d'inflexion.
 
3) Montrer que $f'(x)=\dfrac{(x^{2}-1)(x^{2}-6)}{(x^{2}-3)^{2}}\;;$ en déduire le tableau de variation de $f.$
 
4) Tracer $\mathcal{C}_{f}$ 

Exercice 10

On considère la fonction suivante définie par :
 
$f(x)=\dfrac{-2x^{2}+3x}{x-1}$
 
1) Déterminer le domaine de définition de $f$, puis calculer les limites aux bornes de $\mathcal{D}_{f}$; préciser les asymptotes.
 
2) Trouver les réels $a\;,\ b\text{ et }c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}.$
 
En déduire que la droite $\mathcal{D}$ d'équation, $y=-2x-1$ est asymptote oblique à la courbe de $f.$
 
Donner la position relative de $\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{C}.$
 
3) Montrer que le point $I$ d'intersection de $\mathcal{D}$ et de l'asymptote verticale est centre de symétrie à $\mathcal{C}.$
 
4) Étudier les variations de $f$, dresser le tableau de variation de $f$ et construire $\mathcal{C}.$
 
5) Déduire du graphique précédent la courbe représentative de la fonction $g$ définie par :
$$g(x)=|f(x)|\text{ pour tout }x\neq 1.$$

Exercice 11

On considère la fonction suivante définie par :
 
$f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+1}{x+2}$
 
1) a) Déterminer l'ensemble de définition  $\mathcal{D}f$ de $f.$
 
b) Déterminer les limites aux bornes de $\mathcal{D}_{f}.$ En déduire que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote verticale.
 
2) a) Montrer qu'il existe des réels $a\text{ et }b$ tels que $f(x)=ax+\dfrac{b}{x+2}.$
 
En déduire que la droite $\Delta$ d'équation, $y=x$ est asymptote oblique à la courbe de $f.$
 
b) Étudier la position relative de $\mathcal{C}_{f}\text{ et }\Delta.$
 
3) Étudier les variations de $f.$ Dresser le tableau de variation de $f.$
 
4) Montrer que le point $I(-2\;;\ -2)$ est centre de symétrie à $\mathcal{C}_{f}.$
 
5) Soit $A$ le point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des ordonnées; donner l'équation de la tangente $T_{A}$ au point $A.$
 
6) Construire la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i};,\ \vec{j}).$
 
7) Expliquer comment, puis effectuer la construction de la fonction $g$ définie par :
$$g(x)=|f(x)|\text{ pour tout }x\neq 2.$$

Exercice 12

Soit la fonction $g$ définie par :
 
$g(x)=\dfrac{(x+2)^{2}-|x+2|}{x-1}$
 
1) Écrire $g(x)$ sans la barre de valeur absolue.
 
2) Déterminer les limites, les asymptotes et leur position par rapport à $\mathcal{C}_{g}$
 
3) Étudier la continuité et la dérivabilité de $g\text{ en }-2.$
 
4) Établir le tableau de variation de $g.$
 
5) Tracer $\mathcal{C}_{g}.$

Exercice 13

Soit la fonction $f$ définie par :
 
$f(x)=\dfrac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{4}+2x+1}$
 
1) Démontrer que $f$ est paire.
 
2) Étudier les limites aux bornes de $\mathcal{D}_{f}.$
 
Interpréter les résultats.
 
3) Étudier les variations de $f.$
 
4) Démontrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une solution unique $\alpha\text{ dans }[0\;;\ 1].$
 
5) Tracer la courbe de $f.$

Exercice 14

On considère la fonction $f$ définie par :
 
$f(x)=\dfrac{2x^{2}+3x+1}{x+2}$
 
1) a) Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f}$ de $f.$
 
b) Déterminer les limites aux bornes de $\mathcal{D}_{f}.$
 
En déduire que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote verticale.
 
2) Montrer qu'il existe des réels $\alpha\;,\ \beta\text{ et }\gamma$ tels que $f(x)=\alpha x+\beta+\dfrac{\gamma}{x+2}.$ 
 
En déduire que la droite $\Delta$ d'équation , $y=2x-1$ est asymptote oblique à la courbe de $f.$
 
3) Étudier les variations de $f.$
 
Dresser le tableau de variation de $f.$
 
4) Démontrer que le point $I(-2\;;\ -5)$ est centre de symétrie à $\mathcal{C}_{f}.$
 
5) Soit $A\text{ et }B$ les points d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses ; donner les
équations des tangentes $T_{A}\text{et}T_{B}$ aux points $A\text{ et }B.$
 
6) Construire $\Delta\;,\ T_{A}\;,\text{ et }\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
7) Discuter suivant les valeurs de $m$ le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$ où $m$ est un paramètre réel.

Exercice 15

1) Soit $g$ la fonction définie par :
 
$g(x)=2x^{3}+3x^{2}+1.$
 
a) Étudier les variations de $g.$
 
b) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha\in\;]-2\;;\ -1.5[$ ; en déduire le signe de $g.$
 
2) On considère la fonction $f$ définie par :
 
$f(x)=\dfrac{1+x}{1-x^{3}}$
 
a) Déterminer $\mathcal{C}_{f}$ et les limites aux bornes de $\mathcal{D}_{f}.$
 
Préciser les asymptotes.
 
b) Établir le tableau de variation de $f.$
 
c) Soit $h$ la restriction de $f$ sur $]1\;;\ +\infty[$, montrer que $h$ permet de définir une bijection de
$]1\;;\ +\infty[$ vers un intervalle $J$ à préciser.
 
d) Calculer $h(2)$ ; en déduire $(h^{-1})'\left(-\dfrac{3}{7}\right).$
 
e) Construire la courbe de $f$ et la courbe de $h^{-1}$ dans un même repère.

Exercice 16

On considère la fonction $f$ définie par :
 
$f(x)=\dfrac{ax^{3}-4x^{2}+8x+b}{(x-c)^{2}}\;,\text{ où }a\;,\ b\;,\ c$ sont des réels.
 
1) Déterminer $a\;,\ b\;,\ c$ sachant que la droite $(D)\ :\ x=1$ est asymptote verticale à la courbe de $f$, que $f(0)=-4$ et que la courbe admet, au point d'abscisse 2 une tangente parallèle à la droite d'équation $y=-4x.$
 
2) Pour la suite, on donne $f(x)=\dfrac{x^{3}-4x^{2}+8x-4}{(x-1)^{2}}.$
 
a) Déterminer $\mathcal{D}_{f}$ calculer les limites aux bornes de $\mathcal{D}_{f}$
 
b) Étudier les variations de $f$, dresser le tableau de variation de $f.$
 
c) Montrer que $f(x)=x-2-\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^{2}}.$
 
d) En déduire que la droites $(D')$ d'équation $y=x-2$ est asymptote oblique à la courbe de $f.$
 
e) Étudier la position relative de $(D')\text{ et de }\mathcal{C}_{f}.$
 
3) Soit $A$ le point d'intersection de $(D)\text{ et }(D').$
 
Montrer que $A$ est un centre de symétrie à la courbe de $f.$
 
4) Soit $B$ le point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et de l'axe des ordonnées.
 
Donner une équation de la tangente $T_{B}\text{ en }B.$
 
5) tracer la courbe de $f$ dans un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ unité : $2\;cm.$
 
6) Soit $g$ la restriction de $f$ à $]3\;;\ +\infty[.$
 
Montrer que $g$ réalise une bijection de $]3\;;\ +\infty[$ vers un intervalle $J$ à préciser.
 
7) Construire $\mathcal{C}_{g}$ dans le même repère.
 
8) Déduire de l'étude de $\mathcal{C}_{f}$ le nombre de racines de l'équation :
 
$$x^{3}-(4+m)x^{2}+2(4+m)x-4-m=0$$

Exercice 17

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
 
A) Soit la fonction $f\text{ de }\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}$ définie par :
 
$f(x)=\dfrac{x^{3}-4x^{2}+8x-4}{(x-1)^{2}}$
 
1) Lorsque $f$ est définie, déterminer $a\;,\ b\;,\ c$, réels tels que $f(x)=x+a+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{(x-1)^{2}}$
 
2) Étudier la fonction $f.$
 
3) Démontrer que $\mathcal{C}$, courbe représentative de $f$, admet deux asymptotes, dont l'une est la droite $D$ d'équation $y=x-2.$
 
Préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $D$, et les coordonnées de leur point commun.
 
4) Construire la courbe $\mathcal{C}.$
 
B) En utilisant la courbe $\mathcal{C}$, déterminer, suivant les valeurs de $m$, paramètre réel, le nombre et le signe des solutions réelles de chaque équation :
 
$x^{3}-(4+m)x^{2}+2(4+m)x-4-m=0\;,\ \sin^{3}u-(4+m)\sin^{2}u+2(4+m)\sin u-4-m=0.$
 
(inconnue $u$ telle que : $-\pi\leq u<+\pi)$

Exercice 18

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
 
$f(x)=x+\sqrt{|4x^{2}-1|}.$
 
Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
 
1) Étudier la continuité de $f.$
 
2) Étudier la dérivabilité de $f.$ Calculer sa dérivée sur chaque intervalle où $f$ est dérivable.
 
3) Démontrer les équivalences :
 
$\sqrt{4x^{2}-1}+4x<0 \Leftrightarrow x \in\;]-\infty\;;\ -\dfrac{1}{2}]\text{ et }\sqrt{1-4x^{2}}-4x> 0 \Leftrightarrow x\in\;\left]-\dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{1}{2\sqrt{5}}\right[.$
 
En déduire le signe de $f'(x).$
 
4) a) Calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}f\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}f.$
 
Dresser le tableau de variation de $f.$
 
b) Calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}\;[f(x)+x]\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}\;[f(x)-3x].$
 
En déduire que $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes, d'équations $y=-x\text{ et }y=3x.$
 
Tracer la courbe $\mathcal{C}.$
 
5) a) Soit $h$ la restriction de $f$ à $\left]-\infty\;;\ -\dfrac{1}{2}\right].$
 
Démontrer que $h$ admet une réciproque $h^{-1}.$
 
En préciser l'ensemble de définition et la variation.
 
b) Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}\;[x+h^{-1}(x)].$
 
En déduire que $\mathcal{C}\text{ et }\Gamma$, courbe représentative de $h^{-1}$, ont une asymptote commune.
 
Tracer $\Gamma.$
 
c) Calculer $h^{-1}(0).$
 
Déterminer une équation de la tangente à $\Gamma$ au point de coordonnées $(0\;;\ h^{-1}(0)).$

Exercice 19

Soit dans le plan les courbes $\mathcal{C}m\ :\ y=\dfrac{mx^{2}-mx-1}{x^{2}+mx+1}.$
 
1) Déterminer $m$ tel que $\mathcal{C}_{m}$ soit une droite.
 
On suppose dans la suite : 
 
$m\in\;\mathbb{R}\setminus\{-1\;;\ 0\}.$
 
2) Démontrer que $A(0\;;\ -1)$ est le seul point commun à toutes les courbes $\mathcal{C}_{m}$, et qu'elles sont tangentes en $A.$
 
3) Déterminer les valeurs de $m$ telles que $\mathcal{C}_{m}$ ait trois asymptotes.
 
4) Calculer $\alpha \neq 0$ tel que $f(\alpha)=0.$
 
Déterminer les valeurs de $m$ telles que $f(\alpha)$ soit un minimum de $f$ ; un maximum.
 
5) Soit $M[\alpha\;;\ f(\alpha)].$ Déterminer $E$, ensemble des points $M$ quand $m$ varie.
 
6) Tracer, dans un même repère, la courbe $E$ et les courbes $\mathcal{C}_{m}$ correspondant à $m\in\;\left\lbrace -2\;;\ -\dfrac{1}{2}\;;\ 3\right\rbrace.$

Exercice 20

Soit $f$ la fonction définie par :
 
$f(x)=\sqrt{|x^{2}-6x+5|}\text{ et }\mathcal{C}$ sa courbe.
 
1) Étudier le signe de $x^{2}-6x+5$ suivant les valeurs de $x.$
 
2) En déduire l'expression de $f$ sans valeur absolue.
 
3) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en particulier aux points d'abscisses 1 et 5.
 
$\mathcal{C}$ admet-elle des tangentes en ces points ?
 
4) Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x=3$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}.$
 
5) Étudier les variations de $f.$
 
6) Démontrer que les droites d'équation $y=x-3\text{ et }y=-x+3$ sont des asymptotes à $\mathcal{C}.$
 
7) Déterminer les coordonnées des points $A\text{ et }B$, intersections de $\mathbb{C}$ avec ses deux asymptotes.
 
8) Montrer que $f$ réalise une bijection de $[5\; +\infty[$ vers un intervalle à déterminer.
 
9) Représenter $\mathcal{C}.$
 
10) Pour $x\in\;[5\;;\ +\infty[$, représenter la courbe de $f^{-1}.$

Exercice 21

Soit $f\ :\ f\ :x\mapsto\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sqrt{|x^{2}-1|}}{x}$
 
1) $f$ est-elle dérivable en 1 ?
 
Calculer la dérivée de $f$ là où elle est définie.
 
2) Pour $x\geq 1$, mettre $f(x)$ sous la forme :
 
$f(x)=\dfrac{x}{2}-1+\epsilon(x) \text{ où }\lim_{x\rightarrow +\infty}\epsilon(x)=0.$
 
Que peut-on en conclure ?
 
3) Construire la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 22

Soit $f$ la fonction numérique définie par :
 
$f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$
 
1) Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f}$ de $f.$
 
2) Démontrer que : $\forall\;x\in\;\mathcal{D}_{f}\;,\ f(x)=\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}.$
 
3) Démontrer que la fonction $f$ est impaire.
 
4) Étudier la continuité de $f.$
 
5) Calculer $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}.$
 
Que peut-on en déduire ?
 
6) Sur quelle partie de $\mathcal{D}_{f}$ la fonction $f$ est-elle dérivable ?
 
Déterminer sa fonction dérivée $f'.$
 
7) Établir le tableau de variation de $f.$
 
8) Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité :$5\;cm$).

Exercice 23

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}\text{ par : }f(x)=\dfrac{x^{3}-4x^{2}+8x-4}{(x-1)^{2}}\text{ et }\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques :)
 
$2\;cm\text{ sur }(Ox)\;,\ 1\;cm\text{ sur }(Oy)$
 
1) Étudier la fonction $f$ (limites, variations).
 
2) a) Déterminer les réels $a\;,\ b\;,\ c\text{ et }d$ tels que, pour tout réel $x \neq 1\;,\ f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{(x-1)^{2}}.$
 
b) En déduire que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x-2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}.$
 
c) Préciser la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ et les coordonnées du point $I$ commun à la courbe $\mathcal{C}$ et à la droite $\mathcal{D}.$
 
3) Tracer $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{D}.$
 
4) a) Déterminer l'abscisse du point $J$ de la courbe $\mathcal{C}$, où la tangente est parallèle à $\mathcal{D}$ , puis l'équation de cette tangente.
 
Tracer cette tangente $T$.
 
b) En déduire graphiquement, suivant les valeurs de $p$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=x+p.$
 
5) On se propose de retrouver par le calcul le résultat trouvé au 4).
 
a) Montrer que les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x+p$ sont les solutions de l'équation $(E)\ :\ (p+2)x^{2}+x(-2p-7)+p+4=0.$
 
b) Trouver, suivant les valeurs de $p$, le nombre de solutions de l'équation $(E).$
 
c) Pour quelles valeurs de $p$ la courbe $\mathcal{C}$ et la droite d'équation $y=x+p$ ont-elles deux points communs $M\text{ et }N$ ?
 
d) Dans ce cas, calculer, en fonction de $p$, l'abscisse du milieu $P\text{ de }[MN].$
 
e) Montrer que lorsque $p$ varie, le point $P$ appartient à la courbe $\mathcal{C'}$ d'équation :
$$y=x+\dfrac{7x-4x}{2x-2}.$$

Exercice 24

Soit $f$ la fonction définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llllll} f(x) &=& \dfrac{x(x-2)}{x-1} & \text{si }\ x & < & 0 \\ \\ f(x) &=& x+\sqrt{|x^{2}-x|} & \text{si }\ x & \geq & 0 \end{array}\right.$$
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$(unité : $1\;cm$)
 
1) a) Déterminer et calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}.$
 
b) Étudier la continuité de $f$ en 0.
 
c) Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_{1}=0\text{ et }x_{2}=1.$
 
Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_{f}$ aux points d'abscisses 0 et 1 ?
 
d) Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus \{0\;,\ 1\}$ et calculer $f'(x)$ dans les intervalles où $f$ est dérivable.
 
e) Résoudre dans $]0\;;\ 1[$ l'inéquation $2\sqrt{x-x^{2}}+1-2x\leq 0.$
 
En déduire le signe de $f'(x)\text{ sur }]0\;;\ 1[$ puis étudier son signe sur les autres intervalles.
 
Dresser le tableau de variation de $f.$
 
2) a) Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote oblique $\Delta\text{ en }+\infty.$
 
Étudier la position relative de $\mathcal{C}\text{ et }\Delta\text{ sur }]1\;;\ +\infty[.$
 
b) Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote oblique $\mathcal{D}\text{ en }-\infty.$
 
Étudier la position relative de $\mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{D}\text{ sur }]-\infty\;;\ 0[.$
 
3) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]1\;;\ +\infty[.$
 
a) Montrer que $g$ définit une bijection de $I=]1\;;\ +\infty[$ sur un intervalle $J$ à préciser.
 
b) La bijection réciproque $g^{-1}$ est-elle dérivable sur $J$ ? Calculer $(g^{-1})'(2).$
 
c) Expliciter $g^{-1}(x)\text{ pour }x\in\;J.$
 
4) Construire $\mathcal{C}_{f}$ , ainsi que $\mathcal{C}_{g^{-1}}$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 25

(d'après le problème du Bac D 1987)
 
Soit la fonction numérique définie par :
 
$f(x)=\dfrac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$
 
Partie A
 
1) Déterminer le domaine de définition de $f.$ 
 
On le notera $D_{f}.$
 
2) Montrer que, pour tout $x\in\;D_{f}$ , on a $f(x)>0.$
 
3) Étudier la parité de $f.$
 
Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_{f}$ courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé ?
 
4) Calculer $f'(x)$ puis étudier le signe de $f'(x)\text{ pour }x>1.$
 
En déduire le tableau de variation de $f$ pour $x>1.$ 
 
Construire $\mathcal{C}_{f}.$
 
Partie B
 
La fonction numérique $g$ est définie par : 
 
$g(x)=x\sqrt{x^{2}-1}.$
 
1) Donner l'ensemble de définition de $g.$
 
2) Étudier la parité de $g.$
 
3) La droite $(D)$ a pour équation $y=x.$
 
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(D)$ et de la courbe représentative de $g.$
 
4) Calculer $g'(x)$ et exprimer $g(x)$ en fonction de $f(x)$ de A).
 
5) Soit $h$ la fonction définie sur $]1\;;\ +\infty[\text{ par }h(x)=g(x).$
 
a) Donner le tableau de variation de $h.$
 
b) Montrer que $h$ est une bijection de $]1\;;\ +\infty[$ sur un intervalle que l'on précisera.
 
c) Tracer la courbe représentative de $h$ 
 
d) Tracer la courbe représentative de $h^{-1}$ dans le même repère.

Exercice 26

Soit $f$ définie par $f(x)=x-\sqrt{4-x^{2}}.$
 
1) Déterminer $D_{f}$; calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
 
2) Étudier la dérivabilité de $f$ en -2 et en 2 et interpréter géométriquement chaque résultat.
 
3) Déterminer le tableau de variation de $f.$
 
4) a) Résoudre l'équation $f(x)=0.$
 
Conclusion.
 
b) Calculer $f'(0).$
 
Conclusion.
 
c) Construire $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé.

Exercice 27

Soit $f$ définie par :
 
$f(x)=\sqrt{x^{2}-4}-x.$
 
1) Déterminer le domaine de définition de $f.$
 
2) Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe.
 
2) Étudier la dérivabilité de $f$ en -2 et en 2 ; interpréter géométriquement les résultats obtenus.
 
3) Déterminer le tableau de variation de $f.$
 
4) Étudier les branches infinies de $\mathcal{C}_{f}$ puis construire $\mathcal{C}_{f}.$
 
5) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[2\;;\ +\infty[.$
 
Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}.$
 
Construire $\mathcal{C}_{g}\text{ et }\mathcal{C}_{g^{-1}}$ dans un même repère orthonormé.
 
6) Calculer $g^{-1}(2)\;;\ g^{-1}(-1)\;;\ (g^{-1})'(-1).$
 
7) Déterminer l'expression de $g^{-1}(x).$

Exercice 28

Soit $f$ définie par :
$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llllll} f_{1}(x) &=& \dfrac{x}{x^{2}+1}-x & \text{si }\ x & \leq & 0 \\ \\ f_{2}(x) &=& \sqrt{x^{2}+2x}+x & \text{si }\ x & > & 0 \end{array}\right.$$
 
1) $f$ est-elle continue en $x_{0}=0$ ?
 
2) a) Calculer la dérivée $f'(x).$
 
b) $f$ est-elle dérivable en $x_{0}=0$ ?
 
3) Étudier les variations de $f.$
 
4) Étudier les branches infinies de $\mathcal{C}_{f}$ 
 
5) Préciser la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à ses asymptotes.
 
6) Étudier les points d'inflexion et la concavité de $\mathcal{C}_{f}$ 
 
7) Pour $x\in\;]-\infty\;;\ 0]$, déterminer le point où $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente de coefficient directeur -1.
 
8) Construire $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
9) Montrer que $f_{1}$ admet une fonction réciproque $f_{1}^{-1}$
 
Construire $\mathcal{C}_{f_{1}}\text{ et }\mathcal{C}_{f^{-1}}$ dans un même repère orthonormé et préciser le point d'inflexion de $\mathcal{C}_{f_{1}^{-1}}$ ainsi que son asymptote.
 
Calculer enfin le nombre dérivé de $f_{1}^{-1}\text{ en }\dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $(f_{1}^{-1})'\left(\dfrac{1}{2}\right).$
 
10) Montrer que $f_{2}$ admet une fonction réciproque $f_{2}^{-1}.$
 
Déterminer l'expression de $f_{2}^{-1}(x).$

Exercice 29

Soit $f$ définie par :
$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llllll} f_{1}(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}} {\sqrt{x^{2}+1}-2} & \text{si }\ x & \leq & 0\\ \\ f_{2}(x) &=& x+\sqrt{x+1}-\dfrac{2}{\sqrt{x^{2}+1}} & \text{si }\ x & > & 0 \end{array}\right.$$
 
1) Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}_{f}$ de $f.$
 
$f$ est-elle continue en $x_{0}=0$ ?
 
2) Calculer la dérivée $f'(x).$
 
$f$ est-elle dérivable en $x_{0}=0$ ?
 
3) Étudier les variations de $f.$
 
4) Étudier les branches infinies de $\mathcal{C}$
 
5) a) Soit $u(x)=x^{3}+x^{2}+x-3.$
 
Calculer $u(1).$
 
Étudier le signe de $u(x)\text{ sur }[0\;;\ +\infty[.$
 
b) Pour $x\in\;[0\;;\ +\infty[$, étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite d'équation $y=x.$
 
6) Construire $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé.
 
7) Soit $g$ la restriction de $f_{1}$ à l'intervalle $]-\sqrt{3}\;;\ 0].$
 
Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}.$
 
Construire $\mathcal{C}_{g}\text{ et }\mathcal{C}_{g^{-1}}$ dans un même repère orthonormé.
 
Calculer le nombre dérivé de $g^{-1}$ en 3, c'est-à-dire $(g^{-1})'(3).$
 
8) Déterminer l'expression de $g^{-1}(x).$

Exercice 30

Soit $f$ définie par :
$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llllll} f_{1}(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{4}+1}-1}{x} & \text{si }\ x & < & 0 \\ \\ f_{2}(x) &=& x\sqrt{x^{4}+8x} & \text{si }\ x & \geq & 0 \end{array}\right.$$
 
1) Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}_{f}$ de $f.$
 
$f$ est-elle continue en $x_{0}=0$ ?
 
2) $f$ est-elle dérivable en $x_{0}=0$ ?
 
3) Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe.
 
4) Étudier les variations de $f.$
 
5) Étudier les branches infinies de $\mathcal{C}_{f}$ 
 
6) Étudier sur $]-\infty\;;\ 0[$ la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à son asymptote.
 
7) Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty} [f(x)-x^{3}].$
 
Conclusion.
 
8) Soit $g$ définie par $g(x)=x^{3}+4.$
 
Étudier sur $[0\;;\ +\infty[$ la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $\mathcal{C}_{g}.$
 
9) Calculer $g(1)\text{ et }f(1).$
 
Construire dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ la courbe de $\mathcal{C}_{g}\text{ pour }x\in\;[0\;;\ +\infty[.$
 
Construire enfin dans ce même repère la courbe $\mathcal{C}_{f}$ 

Problème 31

Soit $f$ définie par :
$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llllll} f_{1}(x) &=& x^{2}+\sqrt{x^{2}+4} & \text{si }\ x & \leq & 0 \\ \\ f_{2}(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{2}+7x+1}}{\sqrt{x}} & \text{si }\ x &>& 0 \end{array}\right.$$
 
1) Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}_{f}$ de $f.$
 
$f$ est-elle continue en $x_{0}=0$ ?
 
2) Calculer la dérivée $f'(x).$
 
$f$ est-elle dérivable en $x_{0}=0$ ?
 
3) Étudier le signe de $f'(x)$ et les variations de $f.$
 
4) Étudier les branches infinies de $\mathcal{C}_{f}$ 
 
5) Soit $g$ définie par :
 
$g(x)=x^{2}-x\text{ pour }x\in\;]-\infty\;;\ \dfrac{1}{2}].$
 
Sur $]-\infty\;;\ 0]$, étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $\mathcal{C}_{g}$
 
Calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-g(x)].$
 
Conclusion.
 
6) Soit $h$ définie par : 
 
$h(x)=\sqrt{x}-1.$
 
Sur $]0\;;\ +\infty[$, étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $\mathcal{C}_{h}.$
 
Calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-h(x)].$
 
Conclusion.
 
7) Étudier les variations de $g\text{ sur }]-\infty\;;\ \dfrac{1}{2}]$ et les variations de $h\text{ sur }]0\;;\ +\infty[.$
 
8) Construire $\mathcal{C}_{g}\;,\ \mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathbb{C}_{h}$ dans un même repère orthonormé.
 
9) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$
 
Déterminer l'expression de $g^{-1}(x).$

Exercice 32

Soit $f$ définie par :
 
$f(x)=x\sqrt{x^{2}-2x}.$
 
1) Déterminer et calculer $f'(x).$
 
2) Étudier la dérivabilité de $f$ en 0 et en 2; interpréter géométriquement chaque résultat.
 
3) Déterminer le tableau de variation de $f.$
 
4) Étudier les branches infinies de $\mathcal{C}_{f}$ 
 
5) Préciser les points d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite d'équation $y=x.$
 
Construire la courbe $\mathcal{C}_{f}$
 
6) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]-\infty\;;\ 0]$
 
Montrer que $g$ est une bijection de $]-\infty\;;\ 0]$ sur un intervalle que l'on déterminera.
 
Soit $g^{-1}$ la fonction réciproque de $g.$
 
a) Donner les valeurs de $g^{-1}(0)\text{ et }g^{-1}(1-\sqrt{2}).$
 
b) Construire $\mathcal{C}_{g}\text{ et }\mathcal{C}_{g^{-1}}$ dans un même repère orthonormé.
 
7) Soit $h(x)=x^{4}-2x^{3}-3.$
 
Calculer $h(-1).$
 
En déduire les valeurs de $g^{-1}(\sqrt{3})\text{ et }(g^{-1})'(\sqrt{3}).$

Exercice 33

Soit la fonction $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin 2x}{1+\sin x}$ 
 
1) Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}\text{ de }f$ et montrer que $f$ est périodique.
 
2) Montrer que, pour tout $x\in\;\mathcal{D}$ , on a : $\pi-x\in\;\mathcal{D}\text{ et }f(\pi-x)=-f(x).$
 
En déduire que la courbe représentative $\mathcal{C}\text{ de }f\text{ dans }(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ admet le point $A\left(\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\right)$ pour centre de symétrie.
 
3) Étudier $f$ sur l'intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$
 
4) Tracer la courbe $\mathcal{C}.$
 
Construire la tangente en $A\text{ à }\mathcal{C}.$

Exercice 34

Soit la fonction $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin^{2}x}{\sin x-1}$
 
1) Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}\text{ de }f$ et montrer que $f$ est périodique.
 
2) Montrer que, pour tout $x\in\;\mathcal{D}$ , on a : $\pi-x\in\;\mathbb{D}\text{ et }f(\pi-x)=f(x).$
 
En déduire que la courbe représentative $\mathcal{C}\text{ de }f\text{ dans }(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ admet la droite :
 
$x=\dfrac{\pi}{2}$ pour axe de symétrie.
 
3) Étudier $f$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$
 
4) Tracer la courbe $\mathcal{C}.$

Exercice 35

Soit $m$ un réel non nul,$f_{m}$ la fonction définie par :
 
$f_{m}(x)=x+m \sin x.$
 
1) Montrer que $O$ est centre de symétrie pour $\mathcal{C}_{m}.$
 
2) Montrer que l'on a :
 
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f_{m}(x)}{x}=1.$
 
Interprétation géométrique ?
 
3) a) Étudier $f_{1}$ sur $[0\;;\ \pi].$
 
Tracer la courbe représentative $\Gamma_{0}$ de la restriction de $f_{1}\text{ à }[-\pi\;;\ \pi].$
 
b) Soit $\Gamma$ l'ensemble des points de $\mathcal{C}_{1}$ qui satisfont à :
 
$(2k-11)\pi\leq x \leq(2k+1)\pi\;,\ k\in\; \mathbb{Z}.$
 
Montrer que $\Gamma$ se déduit de $\Gamma_{0}$ par une translation de vecteur $2k\pi(\vec{i}+\vec{j}).$
 
c) En déduire le tracé de la courbe représentative de la restriction de $f_{1}\text{ à }[-\pi\;;\ 3\pi].$
 
4) Étudier $f_{-2}\text{ sur }[0\;;\ \pi].$
 
Tracer la courbe représentative de la restriction de $f_{-2}\text{ à }[-\pi\;;\ 3\pi].$

Exercice 36

Soit la fonction $f\ :\ x\mapsto x \sin x.$
 
1) Montrer que la droite $y'y$ est un axe de symétrie pour la courbe représentative $\mathcal{C}\text{ de }f.$
 
2) Déterminer la fonction dérivée $f'.$
 
3) a) Tracer la courbe représentative de la fonction tan pour étudier graphiquement le signe de $\tan x+x$ quand $x$ varie de 0 à $2\pi.$
 
b) En déduire le tableau de variation de $f\text{ sur }[0\;;\ 2\pi].$
 
4) a) Tracer sur un autre graphique les droites d'équation $y=x\text{ et }y=-x.$
 
b) Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ est tangente à chacune de ces deux droites.
 
Préciser les coordonnées des points de contact.
 
c) Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la restriction de $f$ à l'intervalle $]-2\pi\;;\ 2\pi].$
 
Construire les tangentes à $\mathcal{C}_{1}$ aux points d'intersection avec l'axe $x'x.$

Exercice 37

1) Soit la fonction $g$ définie sur $[0\;;\ \pi]$ par :
 
$g(x)=1-2 \cos x.$
 
Déterminer le signe de $g\text{ sur }[0\;;\ \pi].$
 
2) Soit la fonction $f$ définie par :
 
$\dfrac{1+\cos3x}{\cos^{3}x}$
 
a) Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f}.$
 
b) Montrer qu'on peut réduire l'étude de $f\text{ à }\mathcal{D}_{f}\cap [0\;;\ \pi].$
 
c) Dresser le tableau de variation de $f.$
 
d) Construire la courbe $\mathcal{C}\text{ de }f$ après avoir précisé les points d'intersection avec l'axe $(Ox).$

Exercice 38

Soit $f$ définie par :
 
$f(x)=\sqrt{3} \sin x+ \cos x-1$
 
1) Montrer qu'il suffit $f$ sur l'intervalle $\mathcal{D}_{E}=[-\pi\;;\ \pi].$
 
2) Étudier le signe de $g(x)=\sqrt{3} \cos x-\sin x\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$
 
3) Étudier les variations de $f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$
 
4) Calculer $f\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\;,\ f\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\;,\ f'\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\;,\ f'\left(\dfrac{5\pi}{6}\right).$
 
5) Déterminer les équations des tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ aux points
$A\left(-\dfrac{\pi}{6}\;,\ -1\right)\text{ et }B\left(-\dfrac{5\pi}{6}\;,\ -1\right).$
 
6) Étudier sur les points d'inflexion et la concavité de $\mathcal{C}_{f}.$
 
7) Résoudre sur l'équation $f(x)=0.$
 
Conclusion ?
 
8) Construire $\mathcal{C}_{f}\text{ pour }x\in\;\mathcal{D}_{E}.$

Exercice 39

Partie A
 
1) Montrer que :
 
$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos h}{h}\;\dfrac{1}{\sin h}=\dfrac{1}{2}.$
 
2) En déduire que :
 
$\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{1+\sin x}{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cos x}=\dfrac{1}{2}\text{( poser }h=x+\dfrac{\pi}{2}).$
 
Partie B
 
Soit $f$ définie par : 
 
$f(x)=\dfrac{1+\sin x}{\cos x}.$
 
1) Montrer qu'il suffit d'étudier $f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}=\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$
 
2) Montrer que :
 
$\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{2}}f(x)=0$
 
3) Étudier les variations de $f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$
 
4) Préciser la courbe de $f$ au point $A\left(-\dfrac{\pi}{2}\;,\ 0\right).$
 
(Pour cela, considérer sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ le prolongement $g$ par continuité de $f$ à droite en $-\dfrac{\pi}{2}).$
 
5) Tracer la courbe de $f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$
 
Compléter cette courbe sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$ puis sur $\left]-\dfrac{3\pi}{2}\;;\ \dfrac{5\pi}{2}\right[$ en expliquant les opérations et les transformations utilisées.

Exercice 40

Soit $f$ définie par : $f(0)=1$ et
$$\left\lbrace\begin{array}{llllll} f_{1}(x) &=& \dfrac{\tan x-1}{\sin x} & \text{ pour }\ x\in\;]-\pi\;;\ 0[\setminus\left\{-\dfrac{\pi}{2}\right\} &=& \mathcal{D}_{1}\\ \\ f_{2}(x) &=& \dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1-\cos x}{\sin x} & \text{ pour }\ x\in\;]0\;;\ \pi[\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\} &=& \mathcal{D}_{2} \end{array}\right.$$
 
1) Préciser que $-\pi\;,\ \pi\;,\ \dfrac{\pi}{2}\;,\ -\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}$ n'appartiennent pas au domaine de définition de la fonction $f.$
 
2) $f$ est-elle continue en $x_{0}=0$ ?
 
3) $f$ est-elle dérivable en $x0=0$ ?
 
4) Étudier le signe de $\sin x+\cos x\text{ sur }[-\pi\;;\ 0].$
 
5) Calculer la dérivée $f'(x).$
 
6) Étudier le signe de $f'(x).$
 
7) Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $\mathcal{D}_{1}\text{ et }\mathcal{D}_{2}.$
 
8) Déterminer le tableau de variation de $f.$
 
9) Calculer $f\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\text{ et }f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right).$
 
Construire $\mathcal{C}_{f}$

Exercice 41

Soit $f$ définie par : 
 
$f(x)=\dfrac{\tan x+1}{\tan^{2}x-3}$
 
1) Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}_{f}\text{ de }f.$
 
2) Montrer qu'il suffit d'étudier $f$ sur $\mathcal{D}_{E}=\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\setminus\left\lbrace-\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right\rbrace$
 
3) Étudier le signe de $u(x)=\tan^{2} x-3\text{ sur }\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$
 
En déduire les limites suivantes :
 
$\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{3}^{-}}f(x)\;;\quad\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{3}^{+}}f(x)$
 
$\lim_{h\rightarrow \dfrac{\pi}{3}^{-}}f(x)\;;\quad\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{3}^{+}}f(x)$
 
4) Étudier les variations de $f$ sur $\mathcal{D}_{E}.$
 
5) Soit $g$ définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} g(x) &=& f(x) & \text{pour} & x\in\;\mathcal{D}_{E}\\ \\ g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) &=& g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &=& 0 \end{array}\right.$$
 
a) Étudier la dérivabilité de $g$ à gauche en 2 (poser $h=\dfrac{\pi}{2}-x).$
 
b) Étudier la dérivabilité de $g$ à droite en $-\dfrac{\pi}{2}$(poser $t=\dfrac{\pi}{2}+x).$
 
6) Construire la courbe représentative $\mathcal{C}_{g}\text{ de }_{g}$ dans un repère orthonormé.
 
En déduire la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}\text{ de }f\text{ pour }x\in\;\mathcal{D}_{E}.$

Exercice 42

Soit $f$ la fonction définie par :
 
$f(x)=\dfrac{1}{2\sin^{4}x-\sin^{2}x}$
 
1) Déterminer le domaine de définition $\mathcal{D}f\text{ de }f.$
 
2) Calculer $f(\pi+x).$
 
Conclusion.
 
En déduire que le domaine d'étude de $f$ se réduit à l'intervalle $\mathcal{D}_{E}=\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\setminus\left\{\dfrac{\pi}{4}\right\}.$
 
3) Étudier le signe de $4 \sin^{2}x-1\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$
 
Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe sur $\mathcal{D}_{E}.$
 
4) Étudier le signe de $2 \sin^{4}x-\sin^{2}x\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$
 
En déduire :
 
$\lim_{x\mapsto 0^{+}}f(x)\;;\quad \lim_{x\mapsto\dfrac{\pi}{4}^{-}}f(x)\text{ et }\lim_{x\mapsto\dfrac{\pi}{4}^{+}}f(x).$
 
5) Déterminer le tableau de variation de $f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$
 
Construire $\mathcal{C}_{f}\text{ pour }x\in\;\mathcal{D}_{E}.$ 
 
Compléter $\mathcal{C}_{f}\text{ sur }\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\right[.$

Exercice 43

Soit $f$ la fonction définie par : 
 
$f(x)=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\sin^{2}x+\sin x\cos x}$
 
1) Déterminer le domaine de définition de $f.$
 
2) Calculer $f(\pi+x).$
 
Conclusion.
 
En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur $\mathcal{D}_{E}\left]-\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{3\pi}{4}\right]\setminus\{0\}$
 
3) Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe sur $\mathcal{D}_{E}.$
 
4) Calculer $f\left(-\dfrac{\pi}{8}\right)-g\left(\dfrac{3\pi}{8}\right).$
 
5) Déterminer le tableau de variation de $f\text{ sur }\mathcal{D}_{f}.$
 
6) Construire la courbe représentative de $f\text{ pour }x\in\;\mathcal{D}_{f}.$

Exercice 44

Soit $f$ la fonction définie par :
 
$f(x)\dfrac{\sin x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}$
 
1) Montrer que : 
 
$\forall\;x\in\;\mathbb{R}\;,\ \sin x+\sqrt{3} \cos x=2 \cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right).$
 
En déduire le domaine de définition de $f.$
 
2) Calculer $f(\pi+x).$
 
Conclusion.
 
En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur l'intervalle $\mathcal{D}_{E}=\left]-\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\right[.$
 
3) Calculer $\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{3}^{+}}f(x)\text{ et }\lim_{h\rightarrow\dfrac{2\pi}{3}^{-}}f(x).$
 
Interpréter géométriquement les résultats obtenus.
 
4) Étudier les variations de $f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$
 
Montrer que : 
 
$\forall\;x\in\;\mathcal{D}_{E}\;,\ \dfrac{\sqrt{3}\sin x-\cos x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}=\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right).$
 
6) Étudier sur $\mathcal{D}_{E}$ les points d'inflexion et la concavité de $\mathcal{C}_{f}.$
 
7) Construire $\mathcal{C}_{f}\text{ pour }x\in\;\mathcal{D}_{E}$ et montrer que le point $I\left(\dfrac{\pi}{6}\;,\ \dfrac{1}{4}\right)$ est un centre de symétrie.
 
8) Déterminer 2 nombres réels $a\text{ et }b$ tels que pour tout $x\in\;\mathcal{D}_{E}$, on ait :
$$f(x)=a\dfrac{\cos x-\sqrt{3}\sin x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}+b.$$
 
9) En déduire l'aire du domaine plan limité par $\mathcal{C}_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\dfrac{\pi}{6}\text{ et }x=\dfrac{\pi}{2}.$
 
(on donne $||\vec{i}=||\vec{j}||=2\;cm).$

Exercice 45

1) Soit $g(x)=3 \cos^{2}x-1.$ 
 
Étudier les variations de $g\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$
 
En déduire que $g$ s'annule en $x_{0}\in\;\left]\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right[.$ 
 
En déduire enfin le signe de $g(x)\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$
 
2) Soit $f(x)=3 \sin^{2}x \cos x.$
 
Démontrer qu'il suffit d'étudier $f\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$
 
3) Montrer que :
 
$\forall x\in\;\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\;,\ f'(x)=3 \sin x(3 \cos^{2}x-1).$
 
4) Déterminer la valeur de $f(x_{0})\text{ avec }x_{0}$ définie déjà définie en 1).
 
5) Représenter graphiquement $f\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$
 
Compléter $\mathcal{C}_{f}\text{ sur }\left[-\pi\;;\ \pi\right]$ en expliquant les opérations et les transformations utilisées.
 
6) Déterminer une primitive de $f\text{ sur }\mathbb{R}.$
 
En déduire l'aire du domaine plan limité par $\mathcal{C}_{f}$ ,l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0\text{ et }x=\pi.$
 
(on donne $||\vec{i}||=||\vec{j}||=2\;cm).$

Exercice 46

1) Soit $f(x)= \cos \pi x+2 \sin\dfrac{\pi}{2}x.$
 
Montrer qu'il suffit d'étudier $f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}=[-1\;;\ 1].$
 
2) Déterminer le tableau de variation de $f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$
 
3) Montrer que $f$ s'annule en $\alpha \in\; \left]-\dfrac{1}{4}\;;\ -\dfrac{1}{6}\right[.$
 
4) Construire $\mathcal{C}_{f}\text{ sur }[[-1\;;\ 1].$
 
Compléter $\mathcal{C}_{f}\text{ sur }[-1\;;\ 3].$

Exercice 47

1) Soit $f(x)= \tan\left(\pi \sin\dfrac{\pi}{6}x\right).$
 
1) Déterminer le domaine de définition de $f.$
 
2) Calculer $f(x+12).$
 
Conclusion ? 
 
Retrouver ce résultat par une autre méthode.
 
3) Montrer qu'il suffit d'étudier $f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}=[0\;;\ 3]\setminus\{1\}.$
 
4) Étudier les variations de $f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}$ et représenter graphiquement $f.$
 
5) Compléter la courbe de $f\text{ sur }[-6\;;\ 6]$ en expliquant les opérations et les transformations utilisées.
 

Commentaires

Merci beaucoup pour ce travail très instructif. Félicitations à tous ceux qui ont contribué pour la rédaction de ces exercices que je trouve très utiles aux étudiants et aident à la fois: à développer leurs niveaux, à bien métriser toutes les astuces de solutions et à avoir une bonne note en examens. Bonne chance à tous le monde ;)

Ajouter un commentaire