Série d'exercices : Fonctions exponentielle - Ts

Classe: 
Terminale

Simplification d'écritures

Exercice 1

1) Simplifier l'écriture de :

e4x2ex(ex1)2ex

2) Prouver que :

exexex+ex=e2x1e2x+1=1e2x1+e2x

3) Prouver que :

ln(1+ex)=x+ln(1+ex).

4) Simplifier l'écriture de :

e3+lnx2ln3x

Équations et Inéquations

Exercice 2

Résoudre dans R :

1) e3xex+3ex=02) e2x5ex+6=0

3) e2x3ex+2=04) e4x2e3x9e2x+18ex=0

5) 6e5x+27e8x+4+e3x+2=6) e2x622ex=1

7) eln(1x2)=2x+18) (x21)eln(x2)=lne(x+1)

9) e3xe2x+3ex<010) e2x3ex+3<0

11) e2x5x+6>012) e2x4ex5>0

Calculs de limites

Exercice 3

Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes des intervalles de leur ensemble de définition :

1) f(x)=ex+exexex2) f(x)=ex+exx

3) f(x)=e2x+3x4) f(x)=5e3x+e2x3

5) f(x)=e2x4ex5x6) f(x)=ex2

7) f(x)=ex1x8) f(x)=x2e2x4xex5x4

9) f(x)=exxexex10) f(x)=exexx2+x

11) f(x)=ln(1+ex)12) f(x)=x3ln(x3)2

13) f(x)=exln|x|14) f(x)=ln(x2x+1)x+115) f(x)=ln(x2+1)|x|+1ex

Dérivés

Exercice 4

Calculer la dérivée de chacune des fonctions f suivantes :

1) f(x)=(x25x+1)e3x12) f(x)=ex2

3) f(x)=ln(1+ex)4) f(x)= exp (1x2x)

5) f(x)=ex+exexex6) f(x)=ex1x

Exercice 5

Déterminer les primitives de chacune des fonctions f suivantes :

1) f(x)=e2x12) f(x)=(x+2)ex2+4x1

3) f(x)=sinxecosx4) f(x)=ex+exexex

Étude de fonctions

Exercice 6

Étudier les fonctions suivantes (limites, sens et tableau de variation) et tracer leur courbe représentative dans le plan P rapporté à un repère (O, i, j) :

1) f : xxex2) f : xx3ex

3) f : xexx4) f : xexx2

5) f : xxex6) f : xx2ex7) f : xex+1x2

Exercice 7

1) Étudier le signe de exe2x.

2) Soit f la fonction définie par :

f(x)=exe2x.

Étudier la dérivabilité de f en 0.

3) Étudier f et tracer sa courbe représentative C.

On tracera la tangente à C au point O origine du repère.

Exercice 8

Étudier la fonction définie sur R par f(x)=(x+2)e1x.

Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0.

Tracer la courbe représentative.

Exercice 9

Déterminer le domaine de définition et étudier la fonction f définie par f(x)=x+ln(2ex).

Construire la représentation graphique de f.

Déterminer l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x, y) sont solutions de l'inéquation eyx+ex>2.

Exercice 10

Étudier la fonction définie sur R{ln3} par f(x)=ex+213ex

Démontrer que la représentation graphique de f admet un centre de symétrie.

Exercice 11

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=1x2e1x

1) Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0.

2) Étudier f.

Exercice 12

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=ex+ln|x|.

1) Étudier les variations de la fonction g définie sur R par g(x)=xex+1.

En déduire le signe de g(x)x.

2) Étudier f et construire sa courbe représentative relativement à un repère orthonormal (O, i, j).

En déduire que l'équation f(x)=m admet quel que soit le réel m, deux racines distinctes x1 et x2.

Exercice 13

Soit f la fonction définie sur R par : f(x=11+ex

Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (unités : 1cm sur l'axe des abscisses, 5cm sur l'axe des ordonnées).

1) Étudier le sens de variation de f.

2) Déterminer les limites de f en + et en  ; en déduire que la courbe admet deux asymptotes.

3) Dresser le tableau de variation de f.

4) Démontrer que le point A(0; 12) est centre de symétrie pour la courbe Cf.

Calculer le coefficient directeur de la tangente en ce point.

5) Tracer les asymptotes, la tangente en A et la courbe Cf.

6) Déterminer une primitive de f (on remarquera que f(x)=1ex1+ex.

Problèmes

Exercice 14

Soit f l'application de Rln2 dans R définie par : f(x)=x+ex2(ex2)

1) Étudier les limites et les variations de f

2) a) Déterminer l'équation de l'asymptote oblique à (Cf), courbe représentative de f, quand x.

Préciser la position de (Cf) par rapport à l'asymptote.

b) Calculer limx+[(x)(x+12)].

En déduire l'équation de l'asymptote oblique à (Cf) en +, ainsi que la position de (Cf) par rapport à l'asymptote.

3) Montrer que le point I de coordonnées (ln2, ln2+14) est centre de symétrie de (Cf).

4) Construire (Cf) dans un repère orthonormé (O, i, j) (On prendra pour unité de longueur 2cm).

5) a) Résoudre l'équation f(x)=x+b(bR) suivant les valeurs du réel b.

b) Retrouver les résultats graphiquement.

Exercice 15

On se propose d'étudier la fonction numérique de variable réelle f définie par :
f(x)=ex2(ex2)
On appelle C la courbe représentative de f dans un plan P muni d'un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 3cm).

1) Quel est l'ensemble de définition de f ? Étudier la limite de f en .

Montrer que pour tout x réel, on a :

f(x)=12ex2; en déduire limx+f(x).

Préciser si la courbe C admet des asymptotes.

2) Montrer que f est dérivable en tout point de son ensemble de définition et expliciter la fonction f.

Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

3) Calculer f(0), f(ln2), f(ln4) et f(ln8).

Déterminer l'abscisse du point de C dont l'ordonnée est 89.

Donner une équation de la tangente D à C au point d'abscisse ln2.

4) On pose x=X+ln2 et f(x)=12+g(X).

Montrer que la fonction g ainsi définie est impaire. Quelle est l'interprétation géométrique de ce résultat ?

Construire dans le plan P la courbe C et la droite D.

Exercice 16

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 2cm).

On not E le point de coordonnées (ln2, ln2).

I. Soient a et b deux nombres réels ; on désigne par g la fonction de la variable réelle x définie sur R par g(x)=ax+b4exex+2.

Calculer la dérivée de g.

Déterminer a et b pour que la courbe représentative de g passe par le point E et admette en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

II. On se propose d'étudier la fonction numérique f définie pour tout réel x par :
f(x)=x+24exex+2
1) Montrer que, pour tout nombre réel x, on a :

f(x)=x2+8ex+2

2) En utilisant l'une des formes de f(x), calculer : limx+f(x) et limx+f(x).

Montrer que les droites D1 d'équation y=x2 et D2 d’équation y=x+2 sont asymptotes à la courbe représentative C de f dans le plan P

Préciser la position de la courbe C par rapport à chacune de ces droites.

3) Calculer la dérivée de f0, étudier son signe et en déduire le tableau de variation de f.

4) Construire dans P la courbe C , sa tangente en E et ses asymptotes.

III. 1) Déterminer une primitive de la fonction h définie pour tout nombre réel x par :
h(x)=exex+2.
2) a) Déterminer à l'aide de la question précédente une primitive de f.

b) Quelle est la primitive de f qui s'annule pour x=ln2 ?

Exercice 17

Soit a un nombre réel. on considère la fonction numérique fa de la variable réelle x définie par :

fa(x)=(x2+axa)ex pour tout réel x.

On note C a la courbe représentative de dans un plan P muni d'un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 2cm).

1) Étudier, suivant les valeurs de a, les variations de fa et donner les différents tableaux de variation possibles pour fa.

2) On suppose a2.

Démontrer que l'ensemble des points du plan en lesquels la tangente à Ca est parallèle à l'axe des abscisses, est la réunion d'une partie de droite E1 et d'une partie de courbe E2 dont on donnera une équation cartésienne de la forme y=g(x).

3) Étudier la fonction numérique g de la variable réelle x définie par :

g(x)=xex.

Tracer la courbe E2 dans le plan rapporté au repère (O, i, j).

Exercice 18

Soient f et g les fonctions définies par :

f(x)=ex+ex2 et g(x)=exex2.

1) a) Étudier f et g.

b) Étudier la position relative des courbes Cf et Cg.

Démontrer qu'elles sont asymptotes.

c) Tracer les deux courbes sur une même figure (On travaillera en repère orthonormé : unité 2cm).

2) a) Démontrer que g est une bijection de R sur un ensemble D que l'on précisera.

b) Déterminer g1(x) avec xD (on montrera que :

g1(x)=ln(x+x2+1).

c) Tracer la courbe représentative de g1 dans le repère précédent.

Exercice 19

I) 1) Étudier les variations de la fonction u : xx+1+ex

2) En déduire que u(x) est strictement positif pour tout réel.

2) En déduire que u (x) est strictement positif pour tout réel.

II) On note ln la fonction logarithme népérien.

On considère la fonction f : xln(x+1+ex) et la courbe C représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O, i, j) , l'unité étant le centimètre.

Soit C la courbe représentant ln dans le repère (O, i, j).

1) Étudier la fonction f.

2) Pour tout réel x strictement positif, on note M le point de C d'abscisse x et N le point de C de même abscisse.

Démontrer que pour x strictement positif on a :

0<¯MN<ln(x+2x).

Quelle est la limite de ¯MN quand x tend vers + ?

b) En admettant qu'un trait de crayon a une épaisseur de 0.1mm, donner une valeur de x à partir de laquelle les tracés des courbes C et C peuvent être considérés comme confondus.

3) Démontrer que pour tout réel x : f(x)=x+ln(xex+ex+1).

En déduire que C admet une asymptote oblique D et déterminer la position de C par rapport à D.

4) Construire C, C et D dans le repère (O, i, j).

Exercice 20

A) Soit f la fonction numérique de la variable réelle :

x(e1)x1+ex

1) a) Étudier le sens de variation de f et ses limites en plus l'infini et moins l'infini.

Dresser le tableau de variation.

b) Soit a le nombre réel solution de l'équation f(x)=0.

Calculer une valeur approchée à 102 près de a et f(a).

c) Calculer les images par f des nombres 2, 1, 0, 1 et 2.

Donner une valeur approchée à 102 près pour chacune des images.

2) On appelle (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O, i, j) avec ||i||=2 et ||j||=4 (unité graphique : 1cm).

a) Démontrer que la droite (D) d'équation y=(e1)x1 est asymptote à (γ) lorsque x tend vers plus l'infini.

Déterminer la position de (γ) par rapport à (D).

b) Déterminer une équation de chacune des tangentes à (γ) aux deux points communs à (γ) et à l'axe des abscisses.

Calculer les coordonnées des points communs à la droite (D) et à ces tangentes.

c) Tracer (γ), les deux tangentes précédentes et la droite (D).

B) 1) Soit F la fonction numérique de la variable réelle :

xe12x2xex et (Γ) la courbe représentative de F dans un repère (O, i, j).

a) Étudier les limites de f en plus l'infini et moins l'infini.

b) Dresser le tableau de variation de F.

2) Soit C la parabole d'équation :

y=(e12)x2x.

Déterminer la position de (Γ) par rapport à C.

Tracer les deux courbes (Γ) et C en plaçant en particulier les points de ces courbes d'abscisses 0, 1 et 2.

Exercice 21

I. On considère la fonction f définie pour x réel par :

f(x)=8(exe2x).

1) Démontrer que, pour tout x réel, f(x)=8(ex1)e2x.

2) Démontrer que, pour tout x réel, f(x)=8(2ex)e2x, f désignant la dérivée de f.

En déduire le signe de f(x).

3) Déterminer les limites de f aux bornes de l'ensemble de définition.

4) Donner le tableau de variations de f.

5) Représenter la fonction f dans un repère orthogonal (unités : 4cm en abscisses et 2cm en ordonnées).

II. On injecte à l'instant t=0 une substance dans le sang d'un animal.

A l'instant t (t positif exprimé en secondes), la concentration y de la substance injectée est y=8 (ete2t).

On appelle « concentration » le rapport entre la quantité du liquide injecté  et la quantité du sang qui le contient ».

1) En utilisant les résultats de la partie I., donner le tableau de variations de la concentration en fonction du temps t, t positif exprimé en secondes.

2) Au bout de combien de temps la concentration est-elle maximale ? On donnera une valeur approchée par défaut de ce résultat en centièmes de secondes.

3) Calculer au bout de combien de temps la concentration « retombe » au quart de sa valeur maximale.

Donner ce résultat avec la même précision que dans la question II. 2).

Vérifier graphiquement en utilisant la question I.5).

4) Donner une valeur approchée de f(9).

En déduire qu'à l'instant t, t9, la concentration est inférieure à 103.

Exercice 22

Soit f la fonction définie par :
{f(x)=ln|x2x2|six0f(x)=1+ln(x+2)six>0
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.

2) Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

3) Soit g la restriction de f à ]; 1[.

Montrer que g est bijective de ]; 1[ vers un intervalle que l'on déterminera.

Calculer g1(2).

Exercice 23

Soit f l'application de R dans R définie par :
{f(x)=exxsix<0f(x)=cos2πxsix[0; 1]f(x)=1+lnxxsix>1
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f.

2) Étudier les variations de f.

3) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Exercice 24

Soit f l'application de R dans R définie par :
{f(x)=xex+1six<0f(x)=x+1six[0; 1]f(x)=2+lnxxsix>1
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f.

2) Étudier les variations de f.

3) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Exercice 25

1) Démontrer que , pour tout x réel, 1<e2x1e2x+1<1.

2) Soit f l'application de R dans ]1; 1[ définie par :

f(x)=e2x1e2x+1

a) Montrer que f est impaire.

b) Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

3) Expliquer pourquoi f admet une fonction réciproque g.

Pour y donné dans ]1; 1[ , calculer g(y).

4) Montrer que g est dérivable dans ]1; 1[ et calculer g(y).

Exercice 26

Soit la fonction définie par :

f(x)=1|exe3x|.

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f.

2) Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormé (O,i, j).

Exercice 27

A tout réel a, on associe la fonction numérique fa définie sur R par :

fa(x)=ex+ax.

Soit Ca sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j).

1) a) Étudier la fonction fa :

continuité, dérivabilité, nature des branches infinies, asymptotes éventuelles de Ca , variation de fa et tableau de variation (on distinguera les cas a=0, a<0 et a>0).

b) Déduire de ce qui précède l'ensemble A des valeurs de a pour lesquelles fa admet un extremum.

2) Pour aA , on désigne par Ia le point de Ca correspondant à l'extremum.

Déterminer en fonction de a les coordonnées de Ia.

3) Démontrer que l'ensemble E des points Ia, lorsque a décrit A est la représentation graphique d'une fonction g que l'on déterminera.

Étudier les variations de g et construire E.

Exercice 28

Soit la fonction définie par :
{f(x)=x+4+2ln(x1)si1<x<2f(x)=x1+ex+2six2
1) Étudier la continuité de f au point x=2.

2) Calculer limh0+f(2+h)f(2)h et limh0f(2+h)f(2)h.

Que peut-on en déduire pour f au point x=2 ?

3) Étudier les variations de f.

4) Montrer que Cf admet une asymptote « oblique » D dont on donnera l'équation.

Préciser la position de Cf par rapport à la droite D.

5) Tracer Cf dans un repère orthonormé (O, i, j).

Exercice 29

Soit f la fonction R dans R telle que :
{f(x)=e2x+3+x1six<0f(0)=x2+2xsi1<x0f(x)=ln|1+x1x|six>0
1) Préciser l'ensemble de définition de f.

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.

2) Étudier les variations de f puis tracer Cf dans un repère orthonormé du plan.

Exercice 30

Soit f la fonction définie de R dans R telle que :

{f(x)=xe1x  pour  x<0f(0)=0f(x)=xlnx  pour  x>0
 
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de f.

2) Étudier les variations de f.

3) a) Montrer que la droite D d'équation y=x+1 est asymptote à la courbe Cf.

b) Préciser la tangente à Cf au point O(0, 0)et au point A (1, 0).

4) Construire Cf dans un repère orthonormé.

Exercice 31

Soit f la fonction définie par f(x)=ln(e2x3ex+2).

1) Étudier f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

2) Soit g la restriction de f à ]ln2 +[. Montrer que g admet une fonction réciproque g1.

Exprimer g1(x) à l'aide de fonctions usuelles.

Exercice 32

Soit f la fonction définie par :

f(x)=x1(x+1)ex.

1) Montrer que f est dérivable sur R

Étudier le sens de variation de f. En déduire le signe de f.

2) Étudier la fonction f puis tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

3) Montrer que f possède une fonction réciproque g. (On ne cherchera pas à exprimer g à l'aide des fonctions usuelles).

Préciser les propriétés de g : ensemble de définition, sens de variation, continuité et dérivabilité.

Exercice 33

Soit f la fonction définie par :

f(x)=ln(e2x+3ex1)

1) Déterminer Df et vérifier que xDf, f(x)=x+ln(1+3e2x1ex)

2) Étudier la fonction f. Préciser les asymptotes de la courbe Cf.

Construire Cf dans un repère orthonormé. Unité : 2cm.

3) Soit g la restriction de f à l'intervalle I=[ln3; +[.

a) Montrer que g est une bijection de I sur un intervalle J à préciser.

Énumérer les propriétés de g1(domaine de définition, sens de variation, continuité, dérivabilité).

b) Sans calculer g1(x), déterminer (g1)(ln7) (nombre dérivé de g1 au point ln7).

c) Tracer sur la même figure que Cf la courbe représentative de g1.

Exercice 34

On considère la fonction f définie par f(x)=ln|exe2x|.

1) a) Préciser Df.

b) Démontrer que :

x>0, f(x)2x=ln(1ex)

c) Calculer limx+ln(1ex); en déduire l'existence d'une asymptote oblique (Δ1) à la courbe Cf.

Étudier la position de Cf par rapport à (Δ1).

2) a) Démontrer que :

x<0, f(x)x=ln(1ex).

c) Calculer limxln(1ex) ; en déduire l'existence d'une deuxième asymptote (Δ2) à la courbe Cf. Étudier leur position.

3) Faire l'étude complète de f et construire Cf dans un repère orthonormé.

4) Montrer que la restriction φ de f à ]0; +[ admet une bijection réciproque φ1 et construire la courbe C de φ1 dans le même repère que Cf.

Fonction Exponentielle de base a

Exercice 35

Résoudre dans R les équations suivantes :

1) 2×32x15×3x11=0

2) 1+2x+10×22x+8×23x=0

3) 54x4×52x21=04) 4x34x12=3x+1222x1

5) 22x+13x+1+4x+329x2+32=0

6) 8x=2×4x27) 7x+4353x=2(7x+13+53x1)

8) 3x+2+9x1=14589) 4x3×2x+226=010) 22x1+3x+4x+129x2+1=0

Exercice 36

Résoudre les systèmes suivants :

1) {log2(x+2y)+1=log2(2x3y+4)35x+y×3x6y=81

2) {xy=yxx3=y2

Exercice 37

Calculer les fonctions dérivées, puis dresser le tableau de variation des fonctions suivantes :

1) f(x)=3x22) f(x)=3x21 3) f(x)=x×2x4) f(x=2xx

5) f(x)=(x+4)2x6) f(x)=λ2x+2x (discuter suivant les valeurs de λ).

7) f(x)=π(x21)8) f(x)=(x+1)3x2+2x1

Fonctions puissance

Exercice 38

Construire sur un même graphique les courbes représentatives des fonctions suivantes :

xx13; xx0.7; xx0.7; xx2.6; xx2; xx1x

Exercice 39

Soit α un réel. Discuter suivant la valeur de α la position relative des courbes représentatives des fonctions :

xxα et xxα+1.

Exercice 40

Calculer les limites suivantes :

limx0xsinx; limx+(1+1x)x; limxπ2(ln2xπ)e1cosx; limx0(2cosx1cosx)sin2x

Exercice 41

Déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie par f(x)=(xa)α(x+a)β avec aR et (α;, β)Q2.

Exercice 42

Calculer la fonction dérivée de la fonction f dans chacun des cas suivants :

a) f : x3xb) f : xlnxx13

c) f : xx73exd) f : x(x1)(x+2)13

Exercice 43

Simplifier les expressions suivantes :

A=3425×(423)5; B=(215×423)52×(12)12(235×853)12

C=532×395×(63)2427×(334)2

D=(352×525)2(15)3×453
 

E=(a2+a43×b23)12+(b2+b43×a23)12

F=(a32b13)4×(a12b13)54÷(b2a)13(a12b)3

Exercice 44

Résoudre dans R :

1) x53>x342) xx=(2x+1)x3) x(x+1)=(x2)x

Exercice 45

Étudier la fonction xx1x

Exercice 46

Étude et représentation graphique de la fonction f définie par :
f(x)=|x|x  pour  x0  et  f(0)=1

Exercice 47

Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur des intervalles que l'on précisera :

1) f(x)=32x+32) f(x)=1(x1)2x1

3) f(x)=(3x+5)33x+54) f(x)=x(x2+1)3(x+1)25) f(x)=sinxcosx

6) f(x)=sinxcos3X7) f(x)=1xlnx

8) f(x)=ex(ex+1)32

Exercice 48

Soit f la fonction définie par :

f(x)=x134x3

1) Écrire f(x) sous la forme xα avec αR.

2) Étudier la fonction f.

Exercice 49

Soit h la fonction définie par :

h(x)=x(3x)13.

1) Montrer qu'on peut prolonger h par continuité à droite de 0.

2) Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.

Exercice 50

Soit l'équation d'inconnue x positive :

2x+3x=7x(E).

1) Justifier que résoudre l'équation (E) revient à résoudre l'équation f(x)=1, où f est la fonction définie sur R+ par : f(x)=(27)x+(37)x.

2) Étudier les variations de f.

3) a) En déduire que l'équation (E) ne possède qu'une seule solution dans R+.

b) Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude 102 de cette solution.

Exercice 51

Soit f la fonction définie par : f(x)=5x52x1

1) Déterminer , puis montrer que f est impaire.

2) Étudier les variations de f sur ]0; +[, et en déduire ses variations sur ]; 0[.

3) a) Résoudre dans R l'équation :

f(x)=23.

b) En déduire les solutions dans R de l'équation :

f(x)=23.

Exercice 52

Soit f la fonction définie par :

f(x)=x3x

1) a) Déterminer la limite de f en .

b) Déterminer la limite en + de la fonction xxln3exln3.

En déduire la limite de f en +.

2) Étudier les variations de f.

3) Tracer la courbe C de f dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Exercice 53

Soit f la fonction définie par :

f(x)=(4x21)34

1) Déterminer Df et montrer que f est prolongeable par continuité en 2 et en -2.

2) Montrer que f est une fonction paire.

3) Étudier le comportement de en +, puis en déduire son comportement en .

4) Étudier la dérivabilité de f en 12 puis en 2.

5) Étudier les variations de f.

6) Tracer la courbe Γ def dans le plan muni d'un repère orthogonal, en indiquant ses demi-tangentes aux points d'abscisses 2 et -2.

Exercice 54

Soit αR et a]1; +[.

On se propose de résoudre dans ]0; +[ l'équation :
ax=xα (1)
1) Montrer que (1) axxα=1.

2) Soit f la fonction définie sur ]0; +[ par : f(x)=axxα

Déterminer la fonction dérivée de la fonction f.

3) On suppose que α0. Montrer que, dans ce cas, l'équation (1) admet une solution et une seule.

4) On suppose α>0.

a) Dresser le tableau de variation de f.

b) Déterminer le minimum m de f.

c) En déduire le nombre de solutions de (1).

Exercice 55

Soit pN et gp la fonction définie par :

gp(x)=x1plnx.

Soit Cp la courbe représentative de gp dans un repère orthonormé (unité : 4cm).

1) Étudier et représenter graphiquement.

2) Montrer que toutes les courbes Cp passent par un point fixe.

Calculer l'équation de la tangente à Tp à Cp au point A.

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Très intéressant

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