Série d'exercices : Fonctions exponentielle - Ts

Simplification d'écritures

Exercice 1

1) Simplifier l'écriture de :

$\dfrac{\mathrm{e}^{4x-2}-\mathrm{e^{x}}}{(\mathrm{e^{x-1})^{2}}-\mathrm{e^{-x}}}$

2) Prouver que :

$\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}=\dfrac{1-\mathrm{e}^{-2x}}{1+\mathrm{e}^{-2x}}$

3) Prouver que :

$\ln(1+\mathrm{e}^{x})=x+\ln(1+\mathrm{e}^{-x}).$

4) Simplifier l'écriture de :

$\dfrac{\mathrm{e}^{3+\ln x^{2}}}{\ln 3^{x}}$

Équations et Inéquations

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

$1)\ \mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{x}+3\mathrm{e}^{x}=0\quad 2)\ \mathrm{e}^{2x}-5\mathrm{e}^{x}+6=0$

$3)\ \mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^{x}+2=0\quad 4)\ \mathrm{e}^{4x}-2\mathrm{e}^{3x}-9\mathrm{e}^{2x}+18\mathrm{e}^{x}=0$

$5)\ 6\mathrm{e}^{5x+2}-7\sqrt{\mathrm{e}^{8x+4}}+\mathrm{e}^{3x+2}=\quad 6)\ \dfrac{\mathrm{e}^{2x-6}}{2-2\mathrm{e}^{x}}=1$

$7)\ \mathrm{e}^{\ln(1-x^{2})}=-2x+1\quad 8)\ (x^{2}-1)\mathrm{e}^{\ln(x-2)}=\ln\mathrm{e}^{(x+1)}$

$9)\ \mathrm{e}^{3x}-\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}<0\quad 10)\ \mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^{x}+3<0$

$11)\ \mathrm{e}^{2x}-5\mathrm{x}+6>0\quad 12)\ \mathrm{e}^{2x}-4\mathrm{e}^{x}-5>0$

Calculs de limites

Exercice 3

Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes des intervalles de leur ensemble de définition :

$1)\ f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{x}$

$3)\ f(x)=\mathrm{e}^{-2x}+3x\quad 4)\ f(x)=5\mathrm{e}^{3x}+\mathrm{e}^{2x}-3$

$5)\ f(x)=\mathrm{e}^{2x}-4\mathrm{e}^{x}-5x\quad 6)\ f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$

$7)\ f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}\quad 8)\ f(x)=x^{2}\mathrm{e}^{2x}-4x\mathrm{e}^{-x}-5x-4$

$9)\ f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-x\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{-\sqrt{x}}}\quad 10)\ f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{x^{2}+x}$

$11)\ f(x)=\ln(1+\mathrm{e}^{x})\quad 12)\ f(x)=\sqrt{x-3}\ln(x-3)^{2}$

$13)\ f(x)=\mathrm{e}^{x}\ln|x|\quad 14)\ f(x)=\dfrac{\ln(x^{2}-x+1)}{x+1}\quad 15)\ f(x)=\dfrac{\ln(x^{2}+1)}{|x|+1}\mathrm{e}^{-x}$

Dérivés

Exercice 4

Calculer la dérivée de chacune des fonctions $f$ suivantes :

$1)\ f(x)=(x^{2}-5x+1)\mathrm{e}^{3x-1}\quad 2)\ f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$

$3)\ f(x)=\ln(1+\mathrm{e}^{x})\quad 4)\ f(x)=\text{ exp }\left(\dfrac{1}{x^{2}-x}\right)$

$5)\ f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}\quad 6)\ f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}$

Exercice 5

Déterminer les primitives de chacune des fonctions $f$ suivantes :

$1)\ f(x)=\mathrm{e}^{-2x-1}\quad 2)\ f(x)=(-x+2)\mathrm{e}^{-x^{2}+4x-1}$

$3)\ f(x)=\sin x\mathrm{e}^{\cos x}\quad 4)\ f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}$

Étude de fonctions

Exercice 6

Étudier les fonctions suivantes (limites, sens et tableau de variation) et tracer leur courbe représentative dans le plan $\mathcal{P}$ rapporté à un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ :

$1)\ f\ :\ x\mapsto x\mathrm{e}^{x}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}\mathrm{e}^{x}$

$3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$

$5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto x^{2}\mathrm{e}^{x}\quad 7)\ f\ :\ x\mapsto\mathrm{e}^{\tfrac{x+1}{x^{2}}}$

Exercice 7

1) Étudier le signe de $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}.$

2) Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\sqrt{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}}.$

Étudier la dérivabilité de $f$ en 0.

3) Étudier $f$ et tracer sa courbe représentative $\mathcal{C}.$

On tracera la tangente à $\mathcal{C}$ au point $O$ origine du repère.

Exercice 8

Étudier la fonction définie sur $\mathbb{R}_{-}^{\ast}\text{ par }f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}}.$

Montrer que $f$ peut être prolongée par continuité en 0.

Tracer la courbe représentative.

Exercice 9

Déterminer le domaine de définition et étudier la fonction $f$ définie par $f(x)=x+\ln(2-\mathrm{e}^{x}).$

Construire la représentation graphique de $f.$

Déterminer l'ensemble des points du plan dont les coordonnées $(x\;,\ y)$ sont solutions de l'inéquation $\mathrm{e}^{y-x}+\mathrm{e}^{x}>2.$

Exercice 10

Étudier la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\lbrace-\ln 3\right\rbrace\text{ par }f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+2}{1-3\mathrm{e}^{x}}$

Démontrer que la représentation graphique de $f$ admet un centre de symétrie.

Exercice 11

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{-}^{\ast}\text{ par : }f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\mathrm{e}^{-\dfrac{1}{x}}$

1) Montrer que $f$ peut être prolongée par continuité en 0.

2) Étudier $f.$

Exercice 12

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{\ast}\text{ par }f(x)=\mathrm{e}^{x}+\ln|x|.$

1) Étudier les variations de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}\text{ par }g(x)=x\mathrm{e}^{x}+1.$

En déduire le signe de $\dfrac{g(x)}{x}.$

2) Étudier $f$ et construire sa courbe représentative relativement à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

En déduire que l'équation $f(x)=m$ admet quel que soit le réel $m$, deux racines distinctes $x_{1}\text{ et }x_{2}.$

Exercice 13

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\text{ par : }f(x=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}$

Soit $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (unités : $1\;cm$ sur l'axe des abscisses, $5\;cm$ sur l'axe des ordonnées).

1) Étudier le sens de variation de $f.$

2) Déterminer les limites de $f\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty$ ; en déduire que la courbe admet deux asymptotes.

3) Dresser le tableau de variation de $f.$

4) Démontrer que le point $A\left(0\;;\ \dfrac{1}{2}\right)$ est centre de symétrie pour la courbe $\mathcal{C}_{f}.$

Calculer le coefficient directeur de la tangente en ce point.

5) Tracer les asymptotes, la tangente en $A$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}.$

6) Déterminer une primitive de $f$ (on remarquera que $f(x)=1-\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}.$

Problèmes

Exercice 14

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}\setminus{\ln 2}\text{ dans }\mathbb{R}\text{ définie par : }f(x)=x+\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2(\mathrm{e}^{x}-2)}$

1) Étudier les limites et les variations de $f\cdots$

2) a) Déterminer l'équation de l'asymptote oblique à $(\mathcal{C}_{f})$, courbe représentative de $f$, quand $x\mapsto-\infty.$

Préciser la position de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à l'asymptote.

b) Calculer $\lim _{x\rightarrow +\infty}\left[(x)-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right].$

En déduire l'équation de l'asymptote oblique à $(\mathcal{C}_{f})\text{ en }+\infty$, ainsi que la position de $(\mathcal{C}_{f})$ par rapport à l'asymptote.

3) Montrer que le point $I$ de coordonnées $\left(\ln 2\;,\ \ln 2+\dfrac{1}{4}\right)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}_{f}).$

4) Construire $(\mathcal{C}_{f})$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (On prendra pour unité de longueur $2\;cm$).

5) a) Résoudre l'équation $f(x)=x+b\;(b\in\mathbb{R}$) suivant les valeurs du réel $b.$

b) Retrouver les résultats graphiquement.

Exercice 15

On se propose d'étudier la fonction numérique de variable réelle $f$ définie par :
$$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2(\mathrm{e}^{x}-2)}$$
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $3\;cm$).

1) Quel est l'ensemble de définition de $f$ ? Étudier la limite de $f\text{ en }-\infty.$

Montrer que pour tout $x$ réel, on a :

$f(x)=1-\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x}-2}\;;\text{ en déduire }\lim _{x\rightarrow +\infty}f(x).$

Préciser si la courbe $\mathcal{C}$ admet des asymptotes.

2) Montrer que $f$ est dérivable en tout point de son ensemble de définition et expliciter la fonction $f'.$

Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.

3) Calculer $f(0)\;,\ f(\ln 2)\;,\ f(\ln 4)\text{ et }f(\ln 8).$

Déterminer l'abscisse du point de $\mathcal{C}$ dont l'ordonnée est $\dfrac{8}{9}.$

Donner une équation de la tangente $\mathcal{D}\text{ à }\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\ln 2.$

4) On pose $x=X+\ln 2\text{ et }f(x)=\dfrac{1}{2}+g(X).$

Montrer que la fonction $g$ ainsi définie est impaire. Quelle est l'interprétation géométrique de ce résultat ?

Construire dans le plan $\mathcal{P}\text{ la courbe }\mathcal{C}\text{ et la droite }\mathcal{D}.$

Exercice 16

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $2\;cm$).

On not $E$ le point de coordonnées $(\ln 2\;,\ \ln 2).$

I. Soient $a\text{ et }b$ deux nombres réels ; on désigne par $g$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}\text{ par }g(x)=ax+b-\dfrac{4\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+2}.$

Calculer la dérivée de $g.$

Déterminer $a\text{ et }b$ pour que la courbe représentative de $g$ passe par le point $E$ et admette en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

II. On se propose d'étudier la fonction numérique $f$ définie pour tout réel $x$ par :
$$f(x)=x+2-\dfrac{4\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+2}$$
1) Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a :

$f(x)=x-2+\dfrac{8}{\mathrm{e}^{x}+2}$

2) En utilisant l'une des formes de $f(x)\;,\text{ calculer : }\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

Montrer que les droites $D_{1}$ d'équation $y=x-2\text{ et }D_{2}\text{ d’équation }y=x+2$ sont asymptotes à la courbe représentative $\mathcal{C}\text{ de }f\text{ dans le plan }\mathcal{P}\cdots$

Préciser la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à chacune de ces droites.

3) Calculer la dérivée de $f$0, étudier son signe et en déduire le tableau de variation de $f.$

4) Construire dans $\mathcal{P}$ la courbe $\mathcal{C}$ , sa tangente en $E$ et ses asymptotes.

III. 1) Déterminer une primitive de la fonction $h$ définie pour tout nombre réel $x$ par :
$$h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+2}.$$
2) a) Déterminer à l'aide de la question précédente une primitive de $f.$

b) Quelle est la primitive de $f$ qui s'annule pour $x=\ln 2$ ?

Exercice 17

Soit $a$ un nombre réel. on considère la fonction numérique $f_{a}$ de la variable réelle $x$ définie par :

$f_{a}(x)=(x^{2}+ax-a)\mathrm{e}^{-x}$ pour tout réel $x.$

On note $\mathcal{C}$ a la courbe représentative de dans un plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité : $2\;cm$).

1) Étudier, suivant les valeurs de $a$, les variations de $f_{a}$ et donner les différents tableaux de variation possibles pour $f_{a}.$

2) On suppose $a\neq-2.$

Démontrer que l'ensemble des points du plan en lesquels la tangente à $\mathcal{C}_{a}$ est parallèle à l'axe des abscisses, est la réunion d'une partie de droite $E_{1}$ et d'une partie de courbe $E_{2}$ dont on donnera une équation cartésienne de la forme $y=g(x).$

3) Étudier la fonction numérique $g$ de la variable réelle $x$ définie par :

$g(x)=x\mathrm{e}^{-x}.$

Tracer la courbe $E_{2}$ dans le plan rapporté au repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 18

Soient $f\text{ et }g$ les fonctions définies par :

$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}\text{ et }g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}.$

1) a) Étudier $f\text{ et }g.$

b) Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{C}_{g}.$

Démontrer qu'elles sont asymptotes.

c) Tracer les deux courbes sur une même figure (On travaillera en repère orthonormé : unité $2\;cm$).

2) a) Démontrer que $g$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur un ensemble $D$ que l'on précisera.

b) Déterminer $g^{-1}(x)\text{ avec }x\in  D$ (on montrera que :

$g^{-1}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right).$

c) Tracer la courbe représentative de $g^{-1}$ dans le repère précédent.

Exercice 19

I) 1) Étudier les variations de la fonction $u\ :\ x\mapsto x+1+\mathrm{e}^{-x}$

2) En déduire que $u(x)$ est strictement positif pour tout réel.

2) En déduire que u (x) est strictement positif pour tout réel.

II) On note $\ln$ la fonction logarithme népérien.

On considère la fonction $f\ :\ x\mapsto \ln(x+1+\mathrm{e}^{-x})$ et la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ , l'unité étant le centimètre.

Soit $\mathcal{C'}$ la courbe représentant $\ln$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

1) Étudier la fonction $f.$

2) Pour tout réel $x$ strictement positif, on note $M$ le point de $\mathcal{C'}$ d'abscisse $x\text{ et }N$ le point de $\mathcal{C}$ de même abscisse.

Démontrer que pour $x$ strictement positif on a :

$0<\overline{MN}<\ln\left(\dfrac{x+2}{x}\right).$

Quelle est la limite de $\overline{MN}$ quand $x\text{ tend vers }+\infty$ ?

b) En admettant qu'un trait de crayon a une épaisseur de $0.1\;mm$, donner une valeur de $x$ à partir de laquelle les tracés des courbes $\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{C'}$ peuvent être considérés comme confondus.

3) Démontrer que pour tout réel $x\ :\ f(x)=-x+\ln(x\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}+1).$

En déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote oblique $\mathcal{D}$ et déterminer la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}.$

4) Construire $\mathcal{C'}\;,\ \mathcal{C}\text{ et }\mathcal{D}$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 20

A) Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle :

$x\mapsto(e-1)x-1+\mathrm{e}^{-x}$

1) a) Étudier le sens de variation de $f$ et ses limites en plus l'infini et moins l'infini.

Dresser le tableau de variation.

b) Soit a le nombre réel solution de l'équation $f'(x)=0.$

Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $a\text{ et }f(a).$

c) Calculer les images par $f$ des nombres $-2\;,\ -1\;,\ 0\;,\ 1\text{ et }2.$

Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près pour chacune des images.

2) On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})\text{ avec }||\vec{i}||=2\text{ et }||\vec{j}||=4$ (unité graphique : $1\;cm$).

a) Démontrer que la droite $(D)$ d'équation $y=(\mathrm{e}-1)x-1$ est asymptote à $(\gamma)$ lorsque $x$ tend vers plus l'infini.

Déterminer la position de $(\gamma)$ par rapport à $(D).$

b) Déterminer une équation de chacune des tangentes à $(\gamma)$ aux deux points communs à $(\gamma)$ et à l'axe des abscisses.

Calculer les coordonnées des points communs à la droite $(D)$ et à ces tangentes.

c) Tracer $(\gamma)$, les deux tangentes précédentes et la droite $(D).$

B) 1) Soit $F$ la fonction numérique de la variable réelle :

$x\mapsto\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}x^{2}-x-\mathrm{e}^{-x}\text{ et }(\Gamma)$ la courbe représentative de $F$ dans un repère $(O'\;,\ \vec{i'}\;,\ \vec{j'}).$

a) Étudier les limites de $f$ en plus l'infini et moins l'infini.

b) Dresser le tableau de variation de $F.$

2) Soit $\mathcal{C}$ la parabole d'équation :

$y=\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{2}\right)x^{2}-x.$

Déterminer la position de $(\Gamma)$ par rapport à $\mathcal{C}.$

Tracer les deux courbes $(\Gamma)\text{ et }\mathcal{C}$ en plaçant en particulier les points de ces courbes d'abscisses $0\;,\ 1\text{ et }2.$

Exercice 21

I. On considère la fonction $f$ définie pour $x$ réel par :

$f(x)=8(\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-2x}).$

1) Démontrer que, pour tout $x$ réel, $f(x)=\dfrac{8(\mathrm{e}^{x}-1)}{\mathrm{e}^{2x}}.$

2) Démontrer que, pour tout $x$ réel, $f'(x)=\dfrac{8(2-\mathrm{e}^{x})}{\mathrm{e}^{2x}}\;,\ f'$ désignant la dérivée de $f.$

En déduire le signe de $f'(x).$

3) Déterminer les limites de $f$ aux bornes de l'ensemble de définition.

4) Donner le tableau de variations de $f.$

5) Représenter la fonction $f$ dans un repère orthogonal (unités : $4\;cm$ en abscisses et $2\;cm$ en ordonnées).

II. On injecte à l'instant $t=0$ une substance dans le sang d'un animal.

A l'instant $t$ ($t$ positif exprimé en secondes), la concentration $y$ de la substance injectée est $y=8$ ($\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-2t}).$

On appelle « concentration » le rapport entre la quantité du liquide injecté  et la quantité du sang qui le contient ».

1) En utilisant les résultats de la partie I., donner le tableau de variations de la concentration en fonction du temps $t$, $t$ positif exprimé en secondes.

2) Au bout de combien de temps la concentration est-elle maximale ? On donnera une valeur approchée par défaut de ce résultat en centièmes de secondes.

3) Calculer au bout de combien de temps la concentration « retombe » au quart de sa valeur maximale.

Donner ce résultat avec la même précision que dans la question II. 2).

Vérifier graphiquement en utilisant la question I.5).

4) Donner une valeur approchée de $f(9).$

En déduire qu'à l'instant $t\;,\ t\geq 9$, la concentration est inférieure à $10^{-3}.$

Exercice 22

Soit $f$ la fonction définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& \ln|x^{2}-x-2| & \text{si}&x\leq 0\\ \\ f(x) &=& -1+\ln(x+2) & \text{si}&x> 0 \end{array}\right.$$
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur son ensemble de définition.

2) Étudier les variations de $f$ et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

3) Soit $g$ la restriction de $f\text{ à }]-\infty\;;\ -1[.$

Montrer que $g$ est bijective de $]-\infty\;;\ -1[$ vers un intervalle que l'on déterminera.

Calculer $g^{-1}(2).$

Exercice 23

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}\text{ dans }\mathbb{R}$ définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x)&=&\mathrm{e}^{x}-x &\text{si}& x<0 \\ f(x) &=& \cos^{2}\pi x & \text{si} & x\in[0\;;\ 1] \\ \\ f(x) &=& 1+\dfrac{\ln x}{x} & \text{si} & x>1 \end{array}\right.$$
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f.$

2) Étudier les variations de $f.$

3) Construire la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

Exercice 24

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}\text{ dans }\mathbb{R}$ définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& x\mathrm{e}^{x}+1 & \text{si} & x<0 \\ f(x) &=& x+1 & \text{si} & x\in[0\;;\ 1] \\ \\ f(x) &=& 2+\dfrac{\ln x}{x} & \text{si} & x>1 \end{array}\right.$$
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f.$

2) Étudier les variations de $f.$

3) Construire la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

Exercice 25

1) Démontrer que , pour tout $x$ réel, $-1<\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}<1.$

2) Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $]-1\;;\ 1[$ définie par :

$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}$

a) Montrer que $f$ est impaire.

b) Étudier les variations de $f$ et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

3) Expliquer pourquoi $f$ admet une fonction réciproque $g.$

Pour y donné dans $]-1\;;\ 1[$ , calculer $g(y).$

4) Montrer que $g$ est dérivable dans $]-1\;;\ 1[$ et calculer $g'(y).$

Exercice 26

Soit la fonction définie par :

$f(x)=1-|\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{3x}|.$

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f.$

2) Étudier les variations de $f$ et tracer sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 27

A tout réel $a$, on associe la fonction numérique $f_{a}$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f_{a}(x)=\mathrm{e}^{-x}+ax.$

Soit $\mathcal{C}_{a}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

1) a) Étudier la fonction $f_{a}$ :

continuité, dérivabilité, nature des branches infinies, asymptotes éventuelles de $\mathcal{C}_{a}$ , variation de $f_{a}$ et tableau de variation (on distinguera les cas $a=0\;,\ a<0\text{ et }a>0).$

b) Déduire de ce qui précède l'ensemble $\mathfrak{A}$ des valeurs de $a$ pour lesquelles $f_{a}$ admet un extremum.

2) Pour $a \in \mathfrak{A}$ , on désigne par $I_{a}$ le point de $\mathcal{C}_{a}$ correspondant à l'extremum.

Déterminer en fonction de $a$ les coordonnées de $I_{a}.$

3) Démontrer que l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $I_{a}$, lorsque $a\text{ décrit }\mathfrak{A}$ est la représentation graphique d'une fonction $g$ que l'on déterminera.

Étudier les variations de $g$ et construire $\mathcal{E}.$

Exercice 28

Soit la fonction définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& -x+4+2\ln(x-1) & \text{si} & 1<x<2 \\ f(x) &=& x-1+\mathrm{e}^{-x+2} & \text{si} & x\geq 2 \end{array}\right.$$
1) Étudier la continuité de $f$ au point $x=2.$

2) Calculer $\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\text{ et }\lim_{h\rightarrow 0^{-}}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}.$

Que peut-on en déduire pour $f$ au point $x=2$ ?

3) Étudier les variations de $f.$

4) Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote « oblique » $\mathcal{D}$ dont on donnera l'équation.

Préciser la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}.$

5) Tracer $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 29

Soit $f$ la fonction $\mathbb{R}\text{ dans }\mathbb{R}$ telle que :
$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& \mathrm{e}^{2x+3}+x-1 & \text{si}&x<0 \\ f(0) &=& x^{2}+2x & \text{si}&-1<x\leq 0 \\ \\ f(x) &=& \ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right| & \text{si}&x>0 \end{array}\right.$$
1) Préciser l'ensemble de définition de $f.$

1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur son ensemble de définition.

2) Étudier les variations de $f$ puis tracer $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé du plan.

Exercice 30

Soit $f$ la fonction définie de $\mathbb{R}\text{ dans }\mathbb{R}$ telle que :

$$\left\lbrace\begin{array}{lll} f(x) &=& x\mathrm{e}^{\tfrac{1}{x}}\ \text{ pour }\ x<0 \\ f(0) &=& 0 \\ f(x) &=& x\ln x\ \text{ pour }\ x>0 \end{array}\right.$$
 
1) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f.$

2) Étudier les variations de $f.$

3) a) Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x+1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}.$

b) Préciser la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point $O(0\;,\ 0)\text{et au point A }(1\;,\ 0).$

4) Construire $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé.

Exercice 31

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln(\mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^{x}+2).$

1) Étudier $f$ et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

2) Soit $g$ la restriction de $f$ à $]\ln 2\;\ +\infty[.$ Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}.$

Exprimer $g^{-1}(x)$ à l'aide de fonctions usuelles.

Exercice 32

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=x-1(x+1)\mathrm{e}^{-x}.$

1) Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$

Étudier le sens de variation de $f'.$ En déduire le signe de $f'.$

2) Étudier la fonction $f$ puis tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

3) Montrer que $f$ possède une fonction réciproque $g.$ (On ne cherchera pas à exprimer $g$ à l'aide des fonctions usuelles).

Préciser les propriétés de $g$ : ensemble de définition, sens de variation, continuité et dérivabilité.

Exercice 33

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\ln\left(\dfrac{\mathrm{e}^{2x}+3}{\mathrm{e}^{x}-1}\right)$

1) Déterminer $D_{f}$ et vérifier que $\forall\;x\in D_{f}\;,\ f(x)=x+\ln\left(\dfrac{1+3\mathrm{e}^{-2x}}{1-\mathrm{e}^{-x}}\right)$

2) Étudier la fonction $f.$ Préciser les asymptotes de la courbe $\mathcal{C}_{f}.$

Construire $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé. Unité : $2\;cm.$

3) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $I=[\ln 3\;;\ +\infty[.$

a) Montrer que $g$ est une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser.

Énumérer les propriétés de $g^{-1}$(domaine de définition, sens de variation, continuité, dérivabilité).

b) Sans calculer $g^{-1}(x)$, déterminer $(g^{-1'})(\ln 7)$ (nombre dérivé de $g^{-1}$ au point $\ln 7$).

c) Tracer sur la même figure que $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $g^{-1}.$

Exercice 34

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln|\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}|.$

1) a) Préciser $D_{f}.$

b) Démontrer que :

$\forall \;x>0\;,\ f(x)-2x=\ln(1-\mathrm{e}^{-x})$

c) Calculer $\lim _{x\rightarrow +\infty}\ln(1-\mathrm{e}^{-x})$; en déduire l'existence d'une asymptote oblique $(\Delta_{1})$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}.$

Étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $(\Delta_{1}).$

2) a) Démontrer que :

$\forall \;x<0\;,\ f(x)-x=\ln(1-\mathrm{e}^{x}).$

c) Calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}\ln(1-\mathrm{e}^{x})$ ; en déduire l'existence d'une deuxième asymptote $(\Delta_{2})$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}.$ Étudier leur position.

3) Faire l'étude complète de $f$ et construire $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé.

4) Montrer que la restriction $\varphi$ de $f$ à $]0\;;\ +\infty[$ admet une bijection réciproque $\varphi^{-1}$ et construire la courbe $\mathcal{C}\text{ de }\varphi^{-1}$ dans le même repère que $\mathcal{C}_{f}.$

Fonction Exponentielle de base $a$

Exercice 35

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

$1)\ 2\times 3^{2x-1}-5\times 3^{x-1}-1=0$

$2)\ 1+2^{-x}+10\times 2^{-2x}+8\times 2^{-3x}=0$

$3)\ 5^{4x}-4\times 5^{2x}-21=0\quad 4)\ 4^{x}-34^{x-\tfrac{1}{2}}=3^{x+\tfrac{1}{2}}-2^{2x-1}$

$5)\ 2^{2x+1}3^{x+1}+4^{x+\tfrac{3}{2}}-9^{\tfrac{x}{2}+\tfrac{3}{2}}=0$

$6)\ 8^{x}=2\times 4^{x-2}\quad 7)\ 7^{x+\tfrac{4}{3}}-5^{3x}=2\left(7^{x+\tfrac{1}{3}}+5^{3x-1}\right)$

$8)\ 3^{x+2}+9^{x-1}=1458\quad 9)\ 4^{x}-3\times 2^{x+2}-2^{6}=0\quad 10)\ 2^{2x-1}+3^{x}+4^{x+\dfrac{1}{2}}-9^{\tfrac{x}{2}+1}=0$

Exercice 36

Résoudre les systèmes suivants :

1) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} \log_{2}(-x+2y)+1 &=& \log_{2}(2x-3y+4)\\ 3^{5x+y}\times 3^{-x-6y} &=& 81 \end{array}\right.$

2) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x^{y} &=& y^{x}\\ x^{3} &=& y^{2} \end{array}\right.$

Exercice 37

Calculer les fonctions dérivées, puis dresser le tableau de variation des fonctions suivantes :

$1)\ f(x)=3^{x-2}\quad 2)\ f(x)=3^{x^{2}-1}$ $3)\ f(x)=x\times 2^{x}\quad 4)\ f(x=\dfrac{2^{x}}{x}$

$5)\ f(x)=(x+4)^{2x}\quad 6)\ f(x)=\lambda 2^{-x}+2^{x}$ (discuter suivant les valeurs de $\lambda$).

$7)\ f(x)=\pi^{(x^{2}-1)}\quad 8)\ f(x)=(x+1)^{3x^{2}+2x-1}$

Fonctions puissance

Exercice 38

Construire sur un même graphique les courbes représentatives des fonctions suivantes :

$x\mapsto x^{\tfrac{1}{3}}\;;\ x\mapsto x^{0.7}\;;\ x\mapsto x^{-0.7}\;;\ x\mapsto x^{2.6}\;;\ x\mapsto x^{\sqrt{2}}\;;\ x\mapsto x^{\tfrac{1}{x}}$

Exercice 39

Soit $\alpha$ un réel. Discuter suivant la valeur de $\alpha$ la position relative des courbes représentatives des fonctions :

$x\mapsto x^{\alpha}\text{ et }x\mapsto x^{\alpha+1}.$

Exercice 40

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x^{\sin x}\;;\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}\;;\ \lim_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{2}}\left(\ln\dfrac{2x}{\pi}\right)\mathrm{e}^{\tfrac{1}{\cos x}}\;;\ \lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{2-\cos x}{1-\cos x}\right)^{\sin^{2}x}$

Exercice 41

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{(x-a)^{\alpha}}{(x+a)^{\beta}}\text{ avec }a \in\mathbb{R}\text{ et }(\alpha\;;,\ \beta)\in\mathbb{Q}^{2}.$

Exercice 42

Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :

$\text{a)}\ f\ :\ x\mapsto\sqrt[3]{x}\quad \text{b)}\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\ln x}{x^{\tfrac{1}{3}}}$

$\text{c)}\ f\ :\ x\mapsto x^{\dfrac{7}{3}}\mathrm{e}^{x}\quad \text{d)}\ f\ :\ x\mapsto(x-1)(x+2)^{\tfrac{1}{3}}$

Exercice 43

Simplifier les expressions suivantes :

$\text{A}=\sqrt[3]{\sqrt[4]{2}^{5}}\times\left(\sqrt[4]{2}^{3}\right)^{5}\;;\ \text{B}=\dfrac{\left(2^{\tfrac{1}{5}}\times 4^{\tfrac{2}{3}}\right)^{\tfrac{5}{2}}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\tfrac{1}{2}}}{\left(2^{\dfrac{3}{5}}\times 8^{\dfrac{5}{3}}\right)^{\tfrac{1}{2}}}$

$\text{C}=\dfrac{\sqrt[5]{3}^{2}\times\sqrt[3]{9}^{5}\times(\sqrt[6]{3})^{2}}{\sqrt[4]{27}\times\left(\sqrt{3\sqrt{3}^{4}}\right)^{2}}$

$\text{E}=\left(a^{2}+a^{\tfrac{4}{3}}\times b^{\tfrac{2}{3}}\right)^{\tfrac{1}{2}}+\left(b^{2}+b^{\tfrac{4}{3}}\times a^{\tfrac{2}{3}}\right)^{\tfrac{1}{2}}$

$\text{F}=\left(a^{\tfrac{3}{2}}b^{\tfrac{1}{3}}\right)^{4}\times\left(\dfrac{a^{\tfrac{1}{2}}}{b^{\tfrac{1}{3}}}\right)^{\tfrac{5}{4}}\div\dfrac{(b^{2}a)^{\tfrac{1}{3}}}{\left(a^{\tfrac{1}{2}}b\right)^{3}}$

Exercice 44

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

$1)\ x^{\tfrac{5}{3}}>x^{\tfrac{3}{4}}\quad 2)\ x^{x}=(2x+1)^{x}\quad 3)\ x^{(x+1)}=(x^{2})^{x}$

Exercice 45

Étudier la fonction $x\mapsto x^{\tfrac{1}{x}}$

Exercice 46

Étude et représentation graphique de la fonction $f$ définie par :
$$f(x)=|x|^{x}\ \text{ pour }\ x\neq 0\ \text{ et }\ f(0)=1$$

Exercice 47

Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur des intervalles que l'on précisera :

$1)\ f(x)=\sqrt[3]{2x+3}\quad 2)\ f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{2}\sqrt{x-1}}$

$3)\ f(x)=\dfrac{(3x+5)^{3}}{\sqrt{3x+5}}\quad 4)\ f(x)=\dfrac{x\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}{(x+1)^{2}}\quad 5)\ f(x)=\sin x\sqrt{\cos x}$

$6)\ f(x)=\dfrac{\sin x}{\sqrt{\cos^{3}X}}\quad 7)\ f(x)=\dfrac{1}{x}\sqrt{\ln x}$

$8)\ f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{(\mathrm{e}^{x}+1)^{\tfrac{3}{2}}}$

Exercice 48

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\dfrac{x^{\tfrac{1}{3}}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

1) Écrire $f(x)$ sous la forme $x^{\alpha}\text{ avec }\alpha\in\mathbb{R}.$

2) Étudier la fonction $f.$

Exercice 49

Soit $h$ la fonction définie par :

$h(x)=x-(3x)^{\tfrac{1}{3}}.$

1) Montrer qu'on peut prolonger $h$ par continuité à droite de 0.

2) Étudier la fonction $f$ et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.

Exercice 50

Soit l'équation d'inconnue $x$ positive :

$2^{x}+3^{x}=7^{x}\quad (E).$

1) Justifier que résoudre l'équation $(E)$ revient à résoudre l'équation $f(x)=1\;,\text{ où }f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}\text{ par : }f(x)=\left(\dfrac{2}{7}\right)^{x}+\left(\dfrac{3}{7}\right)^{x}.$

2) Étudier les variations de $f.$

3) a) En déduire que l'équation $(E)$ ne possède qu'une seule solution dans $\mathbb{R}^{+}.$

b) Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette solution.

Exercice 51

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{5^{x}}{5^{2x}-1}$

1) Déterminer , puis montrer que $f$ est impaire.

2) Étudier les variations de $f$ sur $]0\;;\ +\infty[$, et en déduire ses variations sur $]-\infty\;;\ 0[.$

3) a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :

$f(x)=\dfrac{2}{3}.$

b) En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation :

$f(x)=-\dfrac{2}{3}.$

Exercice 52

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=x 3^{-x}$

1) a) Déterminer la limite de $f\text{ en }-\infty.$

b) Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $x\mapsto\dfrac{x\ln 3}{\mathrm{e}^{x\ln 3}}.$

En déduire la limite de $f\text{ en }+\infty.$

2) Étudier les variations de $f.$

3) Tracer la courbe $\mathcal{C}\text{ de }f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Exercice 53

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=(4x^{2}-1)^{\dfrac{3}{4}}$

1) Déterminer $D_{f}$ et montrer que $f$ est prolongeable par continuité en 2 et en -2.

2) Montrer que $f$ est une fonction paire.

3) Étudier le comportement de en $+\infty$, puis en déduire son comportement en $-\infty$.

4) Étudier la dérivabilité de $f\text{ en }\dfrac{1}{2}\text{ puis en }-2.$

5) Étudier les variations de $f.$

6) Tracer la courbe $\Gamma\text{ de}f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal, en indiquant ses demi-tangentes aux points d'abscisses 2 et -2.

Exercice 54

Soit $\alpha\in\mathbb{R}\text{ et }a\in]1\;;\ +\infty[.$

On se propose de résoudre dans $]0\;;\ +\infty[$ l'équation :
$$a^{x}=x^{\alpha}\ (1)$$
1) Montrer que $(1)\ \leftrightarrow a^{x}x^{-\alpha}=1.$

2) Soit $f$ la fonction définie sur $]0\;;\ +\infty[\text{ par : }f(x)=a^{x}x^{-\alpha}$

Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f.$

3) On suppose que $\alpha\leq 0.$ Montrer que, dans ce cas, l'équation (1) admet une solution et une seule.

4) On suppose $\alpha>0.$

a) Dresser le tableau de variation de $f.$

b) Déterminer le minimum $m\text{ de }f.$

c) En déduire le nombre de solutions de (1).

Exercice 55

Soit $p\in\mathbb{N}^{\ast}\text{ et }g_{p}$ la fonction définie par :

$g_{p}(x)=x^{\dfrac{1}{p}}\ln x.$

Soit $\mathcal{C}_{p}$ la courbe représentative de $g_{p}$ dans un repère orthonormé (unité : $4\;cm$).

1) Étudier et représenter graphiquement.

2) Montrer que toutes les courbes $\mathcal{C}_{p}$ passent par un point fixe.

Calculer l'équation de la tangente à $T_{p}\text{ à }\mathcal{C}_{p}$ au point $A.$