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Série d'exercices : Limites et continuité - Ts

Classe:

Terminale

Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

Exercice 1

Déterminer l'ensemble de définition $f$ dans chacun des cas suivants :

1) $f\ :\ \mapsto\sqrt{x^{2}+2x+3}-\sqrt{x^{2}-3x-4}$

2) $f\ :\ x\mapsto\left\lbrace\begin{array}{ll} x+\dfrac{2}{\sqrt{x+4}}&\text{si }x\leq 0\\ \\ x+3-\sqrt{x^{2}+x-2}&\text{si }x>0 \end{array}\right.$

3) $f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{1-3x}{x^{2}+5x}}$

4) $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{1+3x}}{\sqrt{x^{2}+5x}}$

5) $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{x^{3}-12x}+16}$

6) $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{1-x}sq}{|x-3|-5}$

7) $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sin\pi x}$

8) $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan x}{\sin(x^{2}-\pi^{2})}$

9) $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{2\sin x-1}}{2\sin^{2}x-1}$

Calculs de limites

Exercice 2

limite d'une fonction en

$x_{0}$

Justifier les limites suivantes (en utilisant les limites de références du cours et les théorèmes sur les opérations sur les limites finies) :

$1)\ \lim_{x\rightarrow 1}(x^{3}-3x+5)=3\quad 2)\ \lim_{x\rightarrow -1}(2x^{2}+x-2)=-1\quad 3)\ \lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{3x+1}{x-3}=-7$

$4)\ \lim_{x\rightarrow 3}\dfrac{x-1}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{5}\quad 5)\ \lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{2x^{2}+x-7}{x^{2}+3}=-1\quad 6)\ \lim_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{6}}(3\sin x+1)=\dfrac{5}{2}\quad 7)\ \lim_{x\rightarrow 5}\sqrt{x-1}=2$

Extension de la notion de limite

Exercice 3

1) Déterminer la limite pour

$x\mapsto+\infty$ , et pour

$x\mapsto -\infty$ , de la fonction

$f$ , dans les cas suivants :

$\text{a) }f\ :\ x\mapsto x^{2}-3x+1\quad \text{b) }f\ :\ x\mapsto(x^{3}-x)(x+1)\quad \text{c) }f\ :\ x\mapsto x^{2}+|x-3|$

$\text{d) }f\ :\ x\mapsto 2x^{2}-|5x+4|\quad \text{e) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x^{2}-x}{x+3}\quad \text{f) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{x+1}{x^{2}+2}$

$\text{g) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{3}-3x}{x^{3}+x+2}\qquad \text{h) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

2) Déterminer la limite quand

$x\mapsto x_{0}$ de la fonction

$f$ dans les cas suivants :

$\text{a) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x-1}\;,\ x_{0}=1\qquad \text{b) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{-3}{x^{2}-4}\;,\ x_{0}=-2\text{ et }x_{0}=2$

$\text{c) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+x+3}{(x+3)^{2}(x-2)}\;,\ x_{0}=-3\text{ et }x_{0}=2\quad \text{d) }f\ :\ x\mapsto\tan x\;,\ x_{0}=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}$

$\text{e) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{2}{1+\cos x}\;,\ x_{0}=\pi\qquad \text{f) }f\ :\ x\mapsto\dfrac{3}{1+2\sin x}\;,\ x_{0}=-\dfrac{\pi}{6}$

Exercice 4

Levée d'indétermination

Déterminer les limites des fonctions suivantes :

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{3}+3x-4}{x-1}\text{ en }1\;,\ -\infty\;,\ +\infty\quad 2)\ f\ : x\mapsto\dfrac{x^{2}+4x+4}{x^{3}+8}\text{ en }-2\;,\ -\infty\;,\ +\infty$

$3)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{1+x^{2}}-x\text{ en }-\infty\;,\ +\infty\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{3+x}-2x}{x-1}\text{ en }1\;,\ +\infty$

$5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{3}+6x+7}{3x^{2}-x-4}\text{ en }-1\;,\ -\infty\;,\ +\infty\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{1+x}-x\text{ en }+\infty$

$7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\text{ en }1\;,\ +\infty\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x+1}-2\sqrt{x-2}}{x-3}\text{ en }3\;,\ +\infty$

$9)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{3x+2}-\sqrt{11x-6}}{x-\sqrt{x+3}+1}\text{ en }1\quad 10)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x^{2}+x+3}-3}{x^{2}+x-6}\text{ en }2$

$11)\ f\ :\ x\mapsto x\sqrt{\dfrac{2x}{x+1}}-2x\text{ en }-\infty\;,\ +\infty\quad 12)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}+3x}{x}\text{ en }+\infty$

$13)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+4x+3}-x\text{ en }+\infty\quad 14)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+4x+3}-(x+2)\text{ en }+\infty$

$15)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+4x+3}+x\text{ en }-\infty\quad 16)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+4x+3}+x+2\text{ en }+\infty$

$17)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{2x^{2}-3x+1}-\sqrt{x^{2}+x-1}\text{ en }-\infty\;,\ +\infty$

$18)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x^{2}+x+1}\text{ en }-\infty\;,\ +\infty$

$19)\ f\ :\ x\mapsto x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\text{ en }-\infty\;,\ +\infty\quad 20)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{3\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+4}}{\sqrt{x^{2}-9}-2\sqrt{x-1}}\text{ en }+\infty$

Limite d'une fonction trigonométrique en 0

Exercice 5

Utiliser le résultat

$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ pour étudier la limite éventuelle en 0 des fonctions suivantes :

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin5x}{2x}\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\sin3x}\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin5x}{\sin4x}\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan x}{x}\quad 5)\ f\ :\ \dfrac{\tan2x}{\sin x}$

$6)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x}{\sqrt{x}}\quad 7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x-x}{\cos x-1}$

$9)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x-x}{\cos x-1}\quad 10)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x-\tan x}{3x^{3}}$

$11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan2x}{\sqrt{1-\cos x}}\quad 12)\ f\ : x\mapsto\dfrac{1-\cos x}{\sin^{2}\pi x}$

$13)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{1-cos4x}}{\sin5x}\quad 14)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos^{2}x-\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}-1}\quad 15)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin(2x^{2}+x)}{x(x+1)}$

$16)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}\quad 17)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\cos x}{\tan^{2}x}$

$18)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x(1-\cos x)}{\sin3x-3\sin x}\quad 19)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x-\sin x}{1-\cos x}\quad 20)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x+\sin x+\sin2x}{x(x^{2}-1)}$

Limite d'une fonction trigonométrique en $x_{0}$

Exercice 6

Déterminer les limites éventuelles en

$x_{0}$ des fonctions suivantes :

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin(2x-\pi)}{\tan(2x-\pi)}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{2}\qquad 2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin 6x}{2\cos x-\sqrt{3}}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{6}$

$3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan x}{\sin 2x-1}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{4}\qquad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)-\tan x}{1-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{4}$

$5)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x}{5\cos^{2}x+\sin^{2}x-4\cos x}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{3}\qquad 6)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)}{1-2\sin x}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{6}$

$7)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}{\sin2x-2+2\sin x-2\cos x}\;,\ x_{0}=-\dfrac{\pi}{3}\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x-\cos x}{x-\dfrac{\pi}{4}}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{6}$

$9)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x+\sqrt{3\cos x}}{-\sin2x+\sqrt{3\cos2x}}\;,\ x_{0}=-\dfrac{\pi}{3}\quad 10)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos x-\sqrt{3\sin x}}{x-\dfrac{\pi}{6}}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{6}$

$11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\sin x-\cos x}{1-\sin x+\cos x}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{2}\qquad 12)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos3x}{1-2\sin x}\;,\ x_{0}\dfrac{\pi}{3}$

$13)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x\sin x-\dfrac{\pi}{2}}{\cos x}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{2}\qquad 14)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x(1-\sin x)}{\cos x}\;,\ x_{0}=\dfrac{\pi}{2}$

Déterminer une limite par lecture graphique

Exercice 7

La courbe

$\mathcal{C}_{f}$ ci-dessous représente une fonction

$f$ dans un repère orthonormé.

Déterminer graphiquement :

1) Le domaine de définition et de continuité de

$f$

2) Les limites suivantes :

$\lim_{\,x\rightarrow 0^{-}}f(x)$ ;

$\lim_{\,x\rightarrow 0^{+}}f(x)$ ;

$\lim_{\,x\rightarrow +\infty}f(x)$ ;

$\lim_{\,x\rightarrow -\infty}f(x).$

Exercice 8

Sur la figure ci-dessous, est tracée la courbe

$\mathcal{C}_{f}$ représentative dans un repère orthonormé

$(0\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ d'une fonction

$f$ continue sur

$\mathbb{R}\setminus{0}.$

On sait de plus que :

$\ast$ La droite

$\Delta$ est une asymptote à la courbe

$\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de

$+\infty.$

$\ast$ La droite d'équation

$y=0$ est une asymptote à la courbe

$\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de

$-\infty.$

A partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer les limites suivantes :

$\lim_{\,x\rightarrow +\infty}f(x)$ ;

$\lim_{\,x\rightarrow -\infty}f(x)$ ;

$\lim_{\,x\rightarrow 0^{-}}f(x)$ ;

$\lim_{\,x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

Exercice 9

La courbe ci-dessous est celle d'une fonction

$f$ définie sur

$\mathbb{R}^{\ast}$ , la droite d'équation

$y=x$ est une asymptote à la courbe au voisinage de

$+\infty$ , la droite d'équation :

$y=1$ est une asymptote à la courbe au voisinage de

$-\infty$ et l'axe des ordonnées est une asymptote verticale.

La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points ,l'un d'eux est d'abscisse

$-1$ et l'autre d'abscisse

$\alpha.$

Déterminer les limites suivantes en utilisant le graphique :

$\lim_{\,x\rightarrow -\infty}f(x)\;;\quad\lim_{\,x\rightarrow +\infty}f(x)$ ;

$\lim_{\,x\rightarrow 0^{-}}f(x)\;;\quad\lim_{\,x\rightarrow 0^{+}}f(x)$

$\lim_{\,x\rightarrow +\infty}[f(x)-x]$

$\lim_{\,x\rightarrow\alpha^{-}}\dfrac{1}{f(x)}\;;\quad\lim_{\,x\rightarrow\alpha^{+}}\dfrac{1}{f(x)}$

Utilisation de la limite d'une fonction composée

Exercice 10

Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes au point considéré :

$1)\ f\ :\ x\mapsto\cos\dfrac{\pi(x+1)}{x}\text{ en }+\infty\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{2x^{2}-1}{x}}\text{ en }+\infty\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\sin\dfrac{1}{\sqrt{x}}\text{ en }+\infty$

$4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\sqrt{|x|}}{2+\sqrt{|x|}}\text{ en }-\infty\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto \sqrt{\dfrac{2x+1}{x-3}}\text{ en }+\infty$

$6)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-3}}\text{ en }-\dfrac{1}{2}\;,\text{ puis en }3\quad 7)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{1}{x^{2}-1}}\text{ en }+\infty\;,\ -\infty\;,\ -1\;,\ 1$

$8)\ f\ :\ x\mapsto\sin\left(\dfrac{\pi x-1}{2x+1}\right)\text{ en }-\infty\;,\ +\infty\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2\cos^{3}x+3\cos x-5}{\sin^{2x}}\text{ en }0$

Utilisation des théorèmes de comparaison

Exercice 11

Déterminer la limite des fonctions suivantes :

$1)\ f\ :\ x\mapsto 1+x^{2}+\sin\dfrac{1}{x}\text{ en }x_{0}=0\qquad 2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x}{x}\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty$

$3)\ f\ :\ x\mapsto\sin\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\text{ en }x_{0}=0\qquad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x+2}{x}\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty$

$5)\ f\ :\ x\mapsto\cos x-x\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty\qquad 6)\ f\ :\ x\mapsto1+x^{2}\sin\dfrac{1}{x}\text{ en }0$

$7)\ f\ :\ x\mapsto x\sin\dfrac{1}{x}-2\dfrac{\sin x}{x}\text{ en }+\infty\qquad 8)\ f\ :\ x\mapsto x\sin\dfrac{1}{x}\text{ en }0$

$9)\ f\ :\ x\mapsto x^{2}\cos\dfrac{1}{x}\text{ en }0\qquad 10)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\sin\dfrac{1}{x}\text{ en }0$

$11)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x-E(x)}{x}\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty\quad 12)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{3}-5}{x^{4}+1}\sin2x^{2}\text{ en }+\infty\text{ et en }-\infty$

Étude des branches infinies

Exercice 12

Dans chacun des cas suivants, vérifier que les droites fixées sont asymptotes à la courbe

$\mathcal{C}.$

$\mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{x+2}{2x-3}\quad\mathcal{D}_{1}\ :\ x=\dfrac{3}{2}\quad\mathcal{D}_{2}\ :\ y=\dfrac{1}{2}$

$\mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{2x-3}{3x-|x+1|}\quad\mathcal{D}_{1}\ :\ x=\dfrac{1}{2}\quad\mathcal{D}_{2}\ :\ y=\dfrac{1}{2}\quad\mathcal{D}_{3}\ :\ y=1$

$\mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{x^{2}+1}{x-3}\quad\mathcal{D}_{1}\ :\ x=3\quad\mathcal{D}_{2}\ :\ y=x+3$

$\mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{x^{3}+4x^{2}+3}{x^{2}+2x-1}\quad\mathcal{D}_{1}\ :\ x=-1-\sqrt{2}\quad\mathcal{D}_{2}\ :\ x=-1+\sqrt{2}\quad\mathcal{D}_{3}\ :\ y=x+2$

$\mathcal{C}\ :\ y=\sqrt{4x^{2}-3x+1}+x+\dfrac{1}{4}\quad\mathcal{D}_{1}\ :\ y=-x+1\quad\mathcal{D}_{2}\ :\ y=3x-\dfrac{1}{2}$

$\mathcal{C}\ :\ y=\sqrt{4x^{2}-3x+}-\sqrt{x^{2}+x}\quad\mathcal{D}_{1}\ :\ y=x-\dfrac{5}{4}\quad\mathcal{D}_{2}\ :\ x=-x+\dfrac{5}{4}$

Exercice 13

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llll} \sqrt{x+2}&\text{si }x&\geq&-2\\ \\ \dfrac{2x^{2}-|x^{3}|}{x+2}&\text{si }x&<&-2 \end{array}\right.$

1) Étudier la continuité de

$f$ en

$2.$

2) Étudier la continuité de

$f$ sur

$]-\infty\;;\ -2[$ et sur

$[-2\;;\ +\infty[.$

3) La fonction

$f$ est-elle continue sur

$\mathbb{R}$ ?

Continuité et prolongement par continuité

Exercice 14

Déterminer l'ensemble de définition et étudier la continuité de la fonction

$f$ dans chacun des cas suivants :

$1)\ f\ :\ x\mapsto3x^{2}+x-1\qquad 2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{2x+1}{2x-1}\qquad 3)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+5x-5}$

$4)\ f\ :\ x\mapsto|2x+1|+|x-3|\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto2x+1+\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{x}\quad 6)\ f\ :\ x\mapsto 1+\dfrac{|x|}{x}$

$7)\ f\ :\ x\mapsto E(x)\quad 8)\ f\ :\ x\mapsto x-E(x)\quad 9)\ f\ :\ x\mapsto\left(x-E(x)\right)^{2}+E(x)$

$10)\ f\ :\ x\mapsto\sqrt{2x^{2}-|x+1|}\qquad 11)\ f\ :\ x\sqrt{x+\sqrt{1-x}}$

$12)\ f\ :\ x\mapsto\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} -x&\text{ si }&x<0\\ x&\text{ si }&0\leq x\leq 1 \\ x^{2}&\text{ si }&x>1 \end{array}\right.$

Exercice 15

Limite à gauche, limite à droite

1) Montrer que, sur

$\mathbb{R}^{\ast}$ , on a

$3\leq 4-\sin\dfrac{1}{x}\leq 5.$

2) Montrer que, sur

$]0\;;\ 1[$ , on a:

$\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{4-\sin\dfrac{1}{x}}{x}.$

3) Étudier la limite, à droite et à gauche, en 0, de la fonction

$\text{f: }x\mapsto\dfrac{4-\sin\dfrac{1}{x}}{x}$

Limite à gauche, limite à droite

Exercice 16

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite à droite et à gauche en $x_{0}$ de la fonction $f.$

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\cos x}{x^{2}-2x|x|}\ x_{0}=0\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x^{2}-1\;,\ x &\leq & 0 \\ x^{2}+1\;,\ x &>& 0\ x_{0}=0\end{array}\right.$

$3)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+x}{\sqrt{x}^{2}}\ x_{0}=0\quad 4)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{|2x+1|}{2x+1}\ x_{0}=-\dfrac{1}{2}\quad 5)\ f\ :\ x\mapsto x\sqrt{(x-1)^{2}}\ x_{0}=1$

Exercice 17

On considère la fonction f définie par :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+1&\text{pour }&x\leq 1\\ 3-ax^{2}&\text{pour }&x>1 \end{array}\right.$

Pour quelles valeurs de

$a$ réel la fonction

$f$ est-elle continue en

$x_{0}=1$ ?

Exercice 18

Déterminer les réels

$A\text{ et }B$ pour que la fonction

$f$ soit continue en

$\dfrac{\pi}{2}\text{ et }-\dfrac{\pi}{2}:$

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} -2\sin x&\text{pour }&x \leq -\dfrac{\pi}{2} \\ \\ \text{A}\sin x+\text{B}&\text{pour }&-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2} \\ \\ \cos x&\text{pour }&x \geq\dfrac{\pi}{2} \end{array}\right.$

Exercice 19

Montrer que la fonction

$f$ définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lllllll} f(x) &=& \dfrac{x^{3}-2x^{2}+x-2}{x-2}&\text{ pour }&x&<& 2 \\ \\ f(x) &=& 5\sin\dfrac{\pi x}{4} &\text{ pour }&x &\geq& 2 \end{array}\right.$

est continue sur

$\mathbb{R}$

Exercice 20

Montrer que les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité en

$x_{0}$ :

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{3}-x^{2}-2x+2}{x-1}\text{ en }x_{0}=1\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{5x-1}-3}{x-2}\text{ en }x_{0}=2$

Exercice 21

1) Soit la fonction

$f$ définie sur

$[0\;;\ 1]$ par :

$\left\lbrace\begin{array}{lllllll} f(x) &=& 6x^{2}+x+1 &\text{ pour }&x &\in &\left[0\;;\ \dfrac{1}{6}\right[ \\ \\ f(x) &=& \dfrac{6x+3}{2x+5} &\text{ pour }&x &\in&\left[\dfrac{1}{6}\;;\ 1\right[ \end{array}\right.$

$f$ admet-elle une limite en

$\dfrac{1}{6}$ ?

$f$ est-elle continue sur

$[0\;;\ 1]$ ?

2) Soit

$g\text{ et }h$ les fonctions numériques définies sur

$[0\;;\ 1]$ par :

$g(x)=\cos(3\pi x)\text{ et }h(x)=\cos(4\pi x).$

Montrer que la fonction

$f\,g$ est continue sur

$[0\;;\ 1]$ , mais qu'il n'en est pas de même pour la fonction

$f\,h.$

3) Si on sait que le produit de deux fonctions est une fonction continue sur

$[a\;;\ b]$ , peut-on en déduire une conclusion quant à la continuité de chacune de ces fonctions ?

Exercice 22

Soit la fonction

$f$ définie sur

$\mathcal{R}$ par :

$\left\lbrace\begin{array}{llllll} f(x) &=& 3x^{2}+ax+1\quad\text{pour }&x &<& 1\quad(a\in\mathcal{R}) \\ \\ f(x) &=& \dfrac{3x-1}{x+2}\quad\text{pour }&x &\geq & 1 \end{array}\right.$

Déterminer

$a$ pour que

$f$ soit continue au point 1.

Exercice 23

Soit la fonction

$f$ définie sur

$\mathcal{R}\setminus \{1\}$ par :

$f(x)=\dfrac{3x^{2}+ax+1}{x-1}\quad(a\in\mathcal{R}).$

Déterminer

$a$ pour que

$f$ soit prolongeable par continuité au point 1. Définir alors la fonction

$g$ , prolongement par continuité de

$f$ au point 1.

Exercice 24

Soit la fonction

$f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x-a}-1}{x+1}$

Déterminer

$a$ pour que

$f$ soit prolongeable par continuité au point -1.

Définir alors la fonction

$g$ , prolongement par continuité de f au point -1.

Exercice 25

Soit

$a$ un réel.

Déterminer, suivant les valeurs de

$a$ , les limites éventuelles respectives en

$-\infty\;,\ +\infty\;,\text{ en }5$ de la fonction

$f_{a}\ :\ x\mapsto\dfrac{a x^{2}+(a^{2}+1)x+a}{x-5}.$

Cette fonction admet-elle un prolongement par continuité au point 5 ?

Exercice 26

Soit

$a$ un réel et

$f_{a}$ la fonction :

$x\mapsto\dfrac{2x+x-3}{x^{2}+(1-a)x-a}$

1) Déterminer l'ensemble de définition de

$f_{a}.$

2) Déterminer l'ensemble

$E$ des réels

$a$ , pour chacun des quels

$f_{a}$ admet un prolongement par continuité en

$a.$

Pour chaque réel

$a\text{ de }E$ , déterminer le prolongement par continuité de

$f_{a}\text{ en }a.$

Exercice 27

Soit la fonction

$g$ définie par

$g(x)=\dfrac{|x||x+1|}{(x+1)(x^{2}+x+1)}$

Peut-on définir un prolongement par continuité de

$g$ au point -1 ?

Image d'un intervalle.Recherche de solutions d'équations

Exercice 28

Déterminer l'image de l'intervalle

$I$ pour chacune des fonctions suivantes :

$1)\ f\ :\ x\mapsto\sin x\;,\text{ avec }I=\left[-\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto\cos x\;,\text{ avec }I=\left[-\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$

$3)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}-3x^{2}+1\;,\text{ avec }I=]-\infty\;;\ -1]$

$4)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}-3x^{2}+1\;,\text{ avec }I=\left[\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right]$

Exercice 29

Montrer que les fonctions suivantes sont bornées sur

$I$ :

$1)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x^{2}+1}\text{ avec }I=\mathbb{R}\qquad 2)\ f\ :\ x\mapsto\dfrac{x-1}{x+1}\text{ avec }I=[2\;;\ +\infty[$

Exercice 30

Soit

$f\ :\ [0\;;\ 6]\mapsto\mathbb{R}\quad x\mapsto|x^{2}-4x|$

1) Montrer que

$f$ est continue sur

$I=[0\;;\ 6].$

2) Étudier les variations de

$f.$

Déterminer l'image de

$I$ par

$f.$

3) Soit

$m$ un réel appartenant à l'intervalle

$[f(0)\;;\ f(6)].$

Déterminer, suivant les valeurs de

$m$ , le nombre de solutions de l'équation

$f(x)=m.$

Exercice 31

Soit

$f\ :\ x\mapsto x^{2}-5x+10$

1) Montrer que

$f$ est continue et strictement monotone sur

$[-2\;;\ 2].$

$f$ est-elle strictement monotone sur

$[0\;;\ 4]$ ?

3) Déterminer l'intervalle image par

$f$ de

$[0\;;\ 2 ].$

Exercice 32

Soit

$f\ :\ \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}\quad x\mapsto\dfrac{2x+3}{x-2}$

1) Déterminer l'ensemble

$D_{f}$ de définition de la fonction f puis l'ensemble image par f de

$D_{f}$ (c'est-à dire

$f(D_{f}).$

2) Montrer que

$f$ est strictement monotone sur

$]2\;;\ +\infty[.$

Quel est l'ensemble image par

$f$ de

$]2\;;\ +\infty[$ ?

3) Montrer que restriction

$g$ de

$f$ à

$]2\;;\ +\infty[$ est une bijection de

$]2\;;\ +\infty[$ sur lui-même.

Calculer alors

$g^{-1}(x).$

Exercice 33

Soit f la fonction définie par :

$f(x)=x^{3}+5-100.$

1) Montrer que f est continue et strictement monotone sur

$\mathbb{R}.$

2) Quel est image par f de l'intervalle

$[0\;;\ 6]$ ?

3) Montrer que l'équation

$f(x)=0$ admet une solution et une seule

$\alpha$ comprise entre 0 et 6.

4) De plus, encadrer

$\alpha$ entre deux entiers consécutifs.

Exercice 34

Soit f la fonction définie sur

$[0\;;\ \pi[$ par :

$f(x)=\cos x-x.$

1) Montrer que f est une bijection de

$[0\;;\ \pi[$ sur un ensemble

$J$ que l'on précisera.

2) Montrer que l'équation

$f(x)=0$ admet une solution et une seule

$\gamma$ comprise entre 6 et 4.

Exercice 35

Dans chacun des cas suivants, justifier l'existence d'une unique solution

$\alpha$ à l'équation

$f(x)=0$ ; puis déterminer un encadrement à

$10^{-2}$ près de

$\alpha$

$f$ est définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f\ :\ x\mapsto x^{3}+3x^{2}+1.x$

$f$ est définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f\ :\ x\mapsto -x^{3}+3x^{2}+1.$

$f$ est définie sur

$]-\pi\;;\ 0]$ par :

$f\ :\ x\mapsto x\sin x+\cos x.$

Exercice 36

Montrer que l'équation

$x^{4}+4a x+b=0$ (

$a\text{ et }b$ réels) ne peut avoir plus de deux solutions distinctes dans

$\mathbb{R}.$

Exercice 37

Dans chacun des cas suivants, déterminer suivant les valeurs du paramètre réel

$a$ , le nombre de solutions de l'équation

$f(x)=0$ :

$1)\ f\ :\ x\mapsto x^{2}+a x+1\quad 2)\ f\ :\ x\mapsto x^{3}+3a x+1\quad 3)\ f\ :\ x\mapsto\cos x+a$

Exercice 38

Soit f la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1.$

Déterminer suivant les valeurs de

$\lambda$ , le nombre de solutions de l'équation

$f(x)=\lambda.$

Propriétés des fonctions continues

Exercice 39

Soient

$f\text{ et }g$ deux fonctions continues sur un intervalle

$[a\;;\ b].$ On suppose que

$f(a)=g(b)\text{ et }f(b)=g(a).$

Démontrer qu'il existe un réel

$c$ de

$[a\;;\ b]$ tel que

$f(c)=g(c).$

Exercice 40

Soit f une fonction continue sur un intervalle

$[a\;;\ b].$

Soient

$p\text{ et }q$ des nombres réels strictement positifs.

Démontrer qu'il existe un réel

$c$ de

$[a\;;\ b]$ tel que :

$f(c)=\dfrac{pf(a)+qf(b)}{p+q}.$

Fonctions réciproques

Exercice 41

Dans chacun des cas suivants, établir que f est une bijection et déterminer la bijection réciproque

$f^{-1}.$

$1)\ f\ :\ \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\qquad 2)\ f\ :\ [0\;;\ 1]\rightarrow[-1\;;\ 0]\qquad 3)\ f\ :\ \mathbb{R}\setminus{1}\rightarrow\mathbb{R}^{\ast}$

$x\mapsto\dfrac{x}{1+|x|}\qquad x\mapsto x^{4}-2x^{2}\qquad x\mapsto\dfrac{x-1}{x}$

Exercice 42

1) La fonction

$f\ :\ x\mapsto\sin x$ est continue sur

$\mathbb{R}.$

Montrer que sa restriction à

$[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}]$ , considérée comme application de

$[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}]\text{ vers }[-1\;;\ 1]$ admet une fonction réciproque.

Cette fonction réciproque sera notée

$\arcsin.$

La fonction

$f\ :\ x\mapsto\cos x$ est continue sur

$\mathbb{R}.$

Montrer que sa restriction à

$[0\;;\ \pi]$ , considérée comme application de

$[0\;;\ \pi]\text{ vers }[-1\;;\ 1]$ admet une fonction réciproque.

Cette fonction réciproque sera notée

$\arccos.$

La fonction

$f\ :\ x\mapsto\tan x$ est continue sur

$]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}[.$

Montrer qu'elle admet sur cet intervalle une fonction réciproque. Cette fonction réciproque sera notée

$\arctan.$

2) Préciser l'ensemble de définition et de continuité de chacune des fonctions

$\arcsin\;,\ arccos\text{ et }arctan.$

Construire la courbe représentative de chacune d'elles.

Étudier la parité de ces fonctions.

3) Donner une expression simple de

$\arcsin(\sin x)$ ,

$\arccos(\cos x)$ ,

$\arctan(\tan x).$

4) Donner une expression simple de

$\sin(\arcsin x)\;,\ \cos(\arccos x)\;,\ \tan(\arctan x)\;,\ \sin(\arccos x)\;,\ \cos(\arcsin x)$

5) Montrer que, pour tout réel

$x$ de l'intervalle

$[-1\;;\ 1]$ :

$\arcsin x+\arccos x=2.$

Exercice 43

Calculer les limites suivantes des fonctions en

$-\infty\text{ et }+\infty$

$f(x)=\dfrac{E(x)}{x-1} \;;\quad g(x)= xE(x)$ ;

$h(x) = \dfrac{xsin(x)}{x^2 -x+1}$

$f(x) =\sqrt{2x+1}-\sqrt{x}$ ;

$g(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ ;

$h(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-1}+x}{x}$

Exercice 44

A) On définit la fonction

$f_{m}$ par

$f_{m}(x)=\sqrt{x^2+x+1}-mx$

1) Discuter suivant les valeurs du paramètre

$m$ la limite en

$+\infty$ et de

$- \infty$ de

$f_{m}.$

2) Montre que

$f_{0}$ admet des asymptotes dont on déterminera les équations et la position relative par rapport a la courbe de

$f_{m}.$

B) On définit la fonction

$g_{m}$ par :

$g_{m}(x)=\dfrac{(m^2-m)x^2+2mx+1}{(m-1)x^2+x-2}$

3) Discuter suivant les valeurs du paramètre

$m$ la limite

$g_{m}$ en

$+\infty\text{ et }-\infty$

4) Montre que

$g_{O}$ admet une asymptote dont on déterminera une équation

Exercice 45

1) Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction définie :

$f(x)=\dfrac{\sqrt{|x|}+\cos x}{x-\sin x}$ ;

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2 +4x+3}}{2x}$ ;

$h(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x+1}}{x-1}$

Exercice 46

Soit une fonction vérifiant :

$\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty$ .

Étudier lorsque

$x$ tend vers

$+\infty$ la limite des fonctions suivantes :

$f(x)=\dfrac{3f(x)}{3+f(x)}$ ;

$h(x)= \dfrac{3f(x)}{3+(f(x))^2}$ ;

$i(x)=\dfrac{x+f(x)}{x}$

$j(x)=\dfrac{xf(x)}{x+f(x)}$ ;

$k(x)=\dfrac{x+f(x)}{x^2+f(x)}$ ;

$w(x)=\dfrac{3x-f(x)}{xf(x)}$

Exercice 47

Calculer les limites suivantes en utilisant la composition des fonctions

$\lim_{x\to +\infty}\cos\left[\left(\dfrac{x+1}{6x-\pi}\right)\pi\right]$ ;

$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{2x^2}{x-1}}$

$\lim_{x \to 1}\tan \left[\left(\dfrac{x+1}{6x}\right)\dfrac{\pi}{2}\right]$

Exercice 48

Soit

$g$ une fonction continue sur

$\mathbb{R}$

1) Montrer que

$|g|$ est continue sur

$\mathbb{R}$

2) La réciproque est elle vraie ?

3) Donner un contre-exemple.

Exercice 49

1) Montrer que si une fonction continue sur un intervalle

$I$ ne s'annule pas sur

$I$ , alors elle garde un signe constant sur cet intervalle.

2) Montrer que tous polynôme de degré impaire admet au moins une racine sur

$\mathbb{R}$

3) Donner un exemple de polynômes de degré

$2n(n\in\mathbb{N})$ qui ne s'annulent jamais sur

$\mathbb{R}$

Exercice 50

1) Étudier les variations de la fonction définie

$f\text{ sur }\mathbb{R}\text{ par : }f(x)=x^{3}-3ax+1$

En déduire suivant les valeurs de

$a$ le nombre de solution de l'équation

$f(x)=0$

2) Soit une fonction

$f$ continue sur l'intervalle

$[0\;;\ 1]$ à valeur dans

$[0\;;\ 1]$ ; montrer que

$f$ possède un point fixe c'est à dire qu'il existe un réel

$\alpha$ tel que :

$f(\alpha)=\alpha$ .

Exercice 51

Calculer les limites suivantes en identifiant la limite demandée à un taux de variation

$\lim_{x\to +\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{12\sin x-6}{6x-\pi}$ ;

$\lim_{x \to \dfrac{1}{3}}\dfrac{\sin 3\pi x}{1-2\cos \pi x}$ ;

$\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$

$\lim_{x \to +\dfrac{\pi}{4}} \dfrac{\tan x -1}{4x-\pi}$ ;

$\lim_{x \to 0} \dfrac{12\sin x}{\pi x}$ ;

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sin \pi x}$

Exercice 52

1) soit la fonction

$g: \to \begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{x} & si \ x \neq 0 \\ 0 & si \ x = 0 \\ \end{cases}$

a) justifier la continuité de

$f$ et montrer que

$f$ est dérivable en

$0$

b) calculer

$f'(0).$

2) Donner pour chaque fonction la dérivée sur un ensemble que l'on précisera

$h(x)=x^2(2x-4)^2\;;\quad f(x)=x^3\sqrt{3x-1}$ ;

$g(x)=\dfrac{\sin x}{2x^2+1} \;;\quad q(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2x+1}}$

$v(x)=\sqrt{\dfrac{x+2}{2x^2+4}}\;;\quad w(x)=\cos (x^2+1)$

$\sin^2 (3x+4\pi)$

Exercice 53

Soit

$f$ la fonction définie par

$f(x)=\dfrac{5+4x^2}{1+x^2}$ sur l'intervalle

$]-1;+\infty[$

1) Montrer que

$f$ est dérivable sur

$]-1;+\infty[$

et calculer

$f^\prime (x)$

2) soit

$\phi$ la fonction définie par

$\phi (x) =\dfrac{5+4\cos ^2x}{1+\cos ^2 x}$ sur l'intervalle

$]-\pi;\pi[$

a) Écris

$\phi$ comme la composée de deux fonctions dérivable et calculer

$\phi ^\prime (x)$

b) Déduisez en le sens de variation de

$\phi$ sur

$]-\pi\;;\ \pi[$

Exercice 54

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ .

1) Montrer que

$f$ est dérivable ; calculer

$f^\prime$ et majorer

$|f^\prime (x)|$ sur

$\left[-\dfrac{\pi}{12}\;\ \dfrac{\pi}{12}\right]$

2) Montrer que quelque soit

$f$ appartenant à

$I$ ;

$|\cos^2 x- \cos^2 y|\leq \dfrac{1}{2}|x-y|$

Exercice 55

Soit la fonction définie par

$g(x)=\sqrt{x+1}$ sur l'intervalle

$]-1;+\infty[$

1) Montrer que

$g$ est dérivable sur

$]-1;+\infty[$ et calculer

$g^\prime (x)$ puis encadrer

$g^\prime (x)\text{ sur }\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$

2) Déduisez en que pour tout

$x$ appartenant à

$\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on a :

$1+\dfrac{x}{6}\leq g(x) \leq 1+\dfrac{x}{2}$ .

Exercice 56

On admet qu'il existe une fonction

$f$ dérivable qui vérifie sur

$\mathbb{R}$ :

$f^\prime (x)=\dfrac{1}{1+[ f(x) ]}$ dont la courbe représentative

$(\mathcal{C})$ passe par l'origine

$3$ du repère.

1) Déterminer une équation de la tangente

$(T)$ à

$(\mathcal{C})$ en

$0.$

2) Montrer que

$(\mathcal{C})$ n'admet pas une tangente parallèle à la droite

$(\Delta)$ :

$y=2x$

Justifier l'existence de la dérivée seconde

$f''$ et montrer que

$f''(x)=-2(f(x))^{3}f(x).$

Exercice 57

Soit une fonction définie et dérivable sur l'intervalle

$[1;+\infty[$ vérifiant la relation :

$w(1)=0\text{ et }w^\prime (x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^4}}$

1) Étudier les variations de

$f$ sur l'intervalle

$[1;+\infty[$

2) On définie la fonction sur l'intervalle par

$g(x)=1-\dfrac{1}{x}$

Comparer

$w^\prime\text{ et }g^\prime\text{ puis }g\text{ et }w$ sur

$[1;\;\ +\infty[$

3) Montrer alors que

$w$ est majorée sur

$[1;+\infty[$ et admet une limite

$l$ en

$+\infty$ ; vérifiant :

$0\leq l \leq 1$

Exercice 58

Déterminer une primitive

$F$ de la fonction sur intervalle I à préciser dans les cas suivants :

$f(x)=9x^4-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ;

$f(x)=9x^2(4-x^3)^8$ ;

$f(x)=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^3+2}}$ ;

$f(x)=\dfrac{1}{(2x+1)\sqrt{2x+1}}$ ;

$f(x)=\dfrac{x^4-x^3+3x^2+1}{x^2(x^2+1)^2}$

$\left(\text{trouver }a\text{ et }b f(x)=\dfrac{a}{x^2}+\dfrac{b}{(x^2+1)^2}\right)$

$f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$ ;

$f(x)=\cos^3 x-\cos 2x$ ;

$f(x)=9\cos^4 x +\sin x\cos x$

Exercice 59

1) Trouver les primitives sur l'intervalle

$]0\;;\ +\infty[$ de la fonction définie par :

$f(x)=5x^2+\dfrac{2}{x^2}$

2) Déduisez en les primitives sur l'intervalle

$]0\;;\ \pi[$ de la fonction définie par :

$g(x)=5\sin^2 x \cos x+\dfrac{2\cos x}{\cos^3 x}$

3) Trouver la primitive vérifiant

$g(0)=0$ .

Exercice 60

Soit

$f(x)\text{ et }w(x)$ deux fonctions définies sur l'intervalle

$I=\left[\pi\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right[$ par :

$f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^3 x}\text{ et }w(x)=\dfrac{1}{\cos^4 x}$

1) vérifier que

$f^\prime (x)=\dfrac{3}{\cos^4 x}-\dfrac{2}{\cos^2 x}$

2) En déduire sur

$I$ une primitive de la fonction

$w.$

Exercice 61

Soit

$f$ une fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x^2+x+1)^2}$

1) Montre que

$f$ admet une primitive

$F$ sur

$\mathbb{R}$ de la forme

$F(x)=\dfrac{ax+b}{x^2+x+1}$

2) Trouver toutes les primitives de

$f$ sur

$\mathbb{R}.$

Exercice 62

Soit

$f$ une fonction définie dans

$\mathbb{R}$ par

$f(x)=\cos x-\dfrac{4}{3}\cos ^3 x$

1) Déterminer

$f^\prime\text{ et }f''.$

Vérifier que pour tout

$x$ de

$\mathbb{R}$ ;

$f''(x)=-9f(x)$

2) En déduire toutes les primitives de

$f\text{ sur }\mathbb{R}$

3) Trouver les primitives sur

$\mathbb{R}$ qui s'annule en

$\dfrac{\pi}{6}.$

$\begin{array}{c}►\ \boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Auteur:

Mouhamadou ka & Moussa Fall

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

ven, 10/23/2020 - 17:47

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merci pour votre effort;

répondre

لطفي معلاوي (non vérifié)

jeu, 09/15/2022 - 18:53

Permalien

Format

il sera bien si vous publiez une format pdf. Merci

répondre

Pascal (non vérifié)

mar, 06/27/2023 - 11:54

Permalien

Sujets

Comment pourrais je avoir ces sujets plus leurs corrections en pdf

répondre

Anonyme (non vérifié)

ven, 07/19/2024 - 02:49

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Très cool

répondre

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Série d'exercices : Limites et continuité - Ts

Formulaire de recherche

Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

Exercice 1

Calculs de limites

Exercice 2

Extension de la notion de limite

Exercice 3

Exercice 4

Levée d'indétermination

Limite d'une fonction trigonométrique en 0

Exercice 5

Limite d'une fonction trigonométrique en x0x_{0}

Exercice 6

Déterminer une limite par lecture graphique

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Utilisation de la limite d'une fonction composée

Exercice 10

Utilisation des théorèmes de comparaison

Exercice 11

Étude des branches infinies

Exercice 12

Exercice 13

Continuité et prolongement par continuité

Exercice 14

Exercice 15

Limite à gauche, limite à droite

Exercice 16

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21

Exercice 22

Exercice 23

Exercice 24

Exercice 25

Exercice 26

Exercice 27

Exercice 28

Exercice 29

Exercice 30

Exercice 31

Exercice 32

Exercice 33

Exercice 34

Exercice 35

Exercice 36

Exercice 37

Exercice 38

Propriétés des fonctions continues

Exercice 39

Exercice 40

Fonctions réciproques

Exercice 41

Exercice 42

Exercice 43

Exercice 44

Exercice 45

Exercice 46

Exercice 47

Exercice 48

Exercice 49

Exercice 50

Exercice 51

Exercice 52

Exercice 53

Exercice 54

Exercice 55

Exercice 56

Exercice 57

Exercice 58

Exercice 59

Exercice 60

Exercice 61

Exercice 62

\begin{array}{c}►\ \boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}\begin{array}{c}►\ \boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}

Limite d'une fonction trigonométrique en $x_{0}$

$\begin{array}{c}►\ \boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$