Série d'exercices : Statistiques -Ts
Classe:
Terminale
Exercice 1
Déterminer la droite de régression de $y\text{ en }x$ avec les données suivantes :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0.7&1.3&1.8&2.4&2.9&3.5\\ \hline y&4&5.1&6.3&8.6&9.4&11.6\\ \hline \end{array}$$
On donne :
$\sum\,x=12.6\;;\ \sum\,y=45\;;\ \sum\,x^{2}=31.84\&;;\ \sum\,xy=109.27.$
Exercice 2
Déterminer la droite de régression de $y\text{ en }x$ avec les données suivantes :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&39&60&30&19&0&29&31&27&44&51&21&25&34\\ \hline y&28&31&34&2&-14&35&-6&7&80&74&2&4&17\\ \hline \end{array}$$
Réponse : $y=1.383x-19.843.$
Exercice 3
Le tableau suivant donne le poids $y\text{ en }kg$ d'un nourrisson, $x$ jours après sa naissance.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&5&7&10&14&18&22&26\\ \hline y_{i}&3.61&3.70&3.85&3.90&4.05&4.12\\ \hline \end{array}$$
1) Représenter le nuage de points associé à cette série.
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire des caractères $x\text{ et }y.$
3) Déterminer une équation de la droite de régression de $y\text{ en }x$ et représenter cette droite sur le graphique.
4) Donner une estimation du poids du nourrisson 30 jours après sa naissance.
Exercice 4
On considère la série statistique double ci-après :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&35&40&35&65&&65&85&90&k\\ \hline y&3&4&5&10&8&13&14&15\\ \hline \end{array}$$
1) Déterminer l'entier naturel $k$ sachant que la droite de régression de $y$ par rapport à $x$ passe par le point moyen $G$ d'abscisse 65.
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire des caractères $x\text{ et }y.$
3) Déterminer une équation de la droite de régression de $x$ par rapport à $y.$
Exercice 5
Le tableau suivant donne la tension artérielle $T$ en fonction de l'âge $A$ d'une population.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&36&42&48&54&60&66\\ \hline T&11.8&14&12.6&15&15.5&15.1\\ \hline \end{array}$$
1) Représenter le nuage de points associé à cette série.
2) Déterminer une équation de la droite de régression de $T\text{ en }A$ et une équation de la droite de régression de $A\text{ en }T.$
Tracer ces deux droites.
3) Calculer le coefficient de corrélation linéaire.
La corrélation est-elle forte ?
4) Estimer la tension artérielle d'un individu âgé de 70 ans.
Exercice 6
Une société investit de manière continue en publicité.
Le budget publicitaire (BP) et le chiffre d'affaires (CA) sont connus pour quatre mois consécutifs.
Ils figurent dans le tableau suivant où l'unité est le millier de francs CFA.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Mois : }i&1&2&3&4\\ \hline \text{BP : }x_{i}&10&12&15&13\\ \hline \text{CA : }y_{i}&45&79&99&115\\ \hline \end{array}$$
1) Calculer la covariance de la série double $(x_{i}\;,\ y_{i}).$
2) Calculer les variances de $x\text{ et }y.$ En déduire le coefficient de corrélation linéaire et apprécier-le.
Exercice 7
On considère le tableau suivant représentant le coût (en millier de francs CFA) de la fabrication d'un produit en fonction du tonnage :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tonnage}\,x_{i}&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline \text{Coût de fabrication}\,y_{i}&400&575&715&848&996&1150&1290&1450\\ \hline\end{array}$$
1) Construire le nuage de points de cette série.
Placer le point moyen du nuage.
2) Utiliser la méthode de MAYER pour trouver la droite d'ajustement linéaire de cette série.
3) Donner une estimation du coût si le tonnage atteignait la valeur 10.
Exercice 8
Les droites de régression d'une série double $(x_{i}\;,\ y_{i})$ sont :
Droite de régression de $x\text{ en }y\ :\ (D_{1})\ :\ x=1.25y-7.8$
Droite de régression de $y\text{ en }x\ :\ (D_{2})\ :\ y=0.75x+1.3$
Calculer les coordonnées du point moyen du nuage de points ainsi que le coefficient de corrélation linéaire.
Exercice 9
$1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\text{ et }5$ représentent les cinq caractères d'une variable $x$ d'une série double $(x_{i}\;,\ y_{i}).$
Sachant que le le coefficient de corrélation linéaire est $r=0.8$ et que la droite de régression de $y\text{ en }x$ par la méthode des moindres carrés $a$ pour coefficient directeur $a=0.425$, Calculer la covariance $cov(x\;,\ y)$ et la variance de $y.$
Exercice 10
On considère le tableau statistique suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&x_{1}&60&70&x_{4}&90&100\\ \hline y_{i}&9&8&8&6&5&4\\ \hline \end{array}$$
Sachant que $\overline{x}=75\text{ et }quecov(x\;,\ y)=20$,
1) Trouver $x_{1}\text{ et }x_{4}.$
2) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire et apprécier-le.
3) Établir une équation de la droite de régression de $x\text{ en }y.$
4) Quelle serait la valeur de $y\text{ pour }x=50$ ?
Exercice 11
Le classement d'un certain nombre d'individus selon leur âge $A$ et leur taille $T$ a donné le tableau à double entrée suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline T\backslash A&40\leq A<45&45\leq A<50&50\leq A<55&55\leq A<60\\ \hline 150\leq T<155&20&9&1&0\\ \hline 155\leq T<160&2&18&4&1\\ \hline 160\leq T<165&0&5&12&6\\ \hline 165\leq T<170&0&1&7&14\\ \hline \end{array}$$
On demande :
1) de représenter graphiquement cette série par un nuage de points.
2) de calculer le coefficient de corrélation.
3) de calculer par la méthode des moindres carrés l'équation de chacune des deux droites de régression.
4) de construire les droites de régression sur le graphique précédent.
Exercice 12
Le tableau suivant donne la répartition d'un échantillon de 100 candidats bacheliers suivant leurs notes d'histoire (H) et de sciences économiques et sociales (S.E.S)
On ne dispose pas d'observation individuelle.
Les notes ont été regroupées par classe.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline S(y)\backslash H(x)&[0\;;\ 4[&[4\;;\ 8[&[8\;;\ 12[&[12\;;\ 14[&[14\;;\ 18[\\ \hline [0\;;\ 4[&2&1&0&0&0\\ \hline [4\;;\ 8[&2&15&5&0&0\\ \hline [8\;;\ 12[&0&4&40&10&0\\ \hline [12\;;\ 14[&0&0&5&6&5\\ \hline [14\;;\ 18[&0&0&0&4&1\\ \hline \end{array}$$
On note $x_{i}$ les centres de classe des notes d'histoire et $y_{i}$ les centres de classe des notes de S.E.S.
1) Calculer la moyenne $\overline{x}$ des notes d'histoire et la moyenne $\overline{y}$ des notes de S.E.S.
2) Pour chaque classe de centre $x_{i}$ , calculer la moyenne $\overline{y}_{i}$ des notes de S.E.S.
Dans un repère bien choisi, représenter la série $(x_{i}\;,\ \overline{y}_{i}).$
Donne une équation de la droite de régression de $\overline{y}\text{ en }x$, par la méthode des moindres carrés, sous la forme $\overline{y}=ax+b.$ La tracer.
3) Pour chaque classe de centre $y_{i}$ , calculer la moyenne $\overline{x}_{i}$ des notes d'histoire.
Avec le même repère que ci-dessus, représenter la série $(\overline{x}_{i}\;,\ y_{i}).$
Donner une équation de la droite de régression de $x\text{ en }y$, par la méthode des moindres carrés, sous la forme $\overline{x}=a'y+b'.$ La tracer.
4) Pour mesurer l'intensité de la corrélation linéaire entre les variables $x\text{ et }y$, on calcule le coefficient de corrélation linéaire $r\text{ tel que }r^{2}=a\,a'\;,\ r$ étant positif si $a\text{ et }a'$ sont positifs.
Calculer $r.$ La corrélation linéaire semble-t-elle bonne ?
Exercice 13
Le tableau suivant donne l'âge $X$ et la moyenne $Y$ des maxima de tension artérielle d'un groupe de femmes.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X&36&42&48&54&60&69\\ \hline Y&11.8&14&12.6&15&15.5&15.1\\ \hline \end{array}$$
1) Représenter graphiquement le nuage de points dans un plan muni du repère orthogonal $(O\;,\ I\;,\ J)$ ($0.5\;cm$ pour 1 an et $3\;cm$ pour l'unité de tension artérielle).
2) Calculer la moyenne et la variance des séries statistiques associées aux variables $X\text{ et }Y.$
3) a) Trouver une équation de la droite de régression de $Y$ en fonction de $X.$
b) Trouver une équation de la droite de régression de $X$ en fonction de $Y.$
c) Représenter ces deux droites sur le même graphique que celui utilisé pour le nuage de points.
4) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre les variables $X\text{ et }Y.$
5) Une personne de 70 ans a une tension maximale de 16.2.
Cela vous paraît-il normal ?
Exercice 14 (1998 Remplacement)
Dans un pays A, on a évalué le nombre de personnes travaillant dans l'agriculture en fonction de l'année.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X\text{ année}&1954&1962&1968&1975&1982&1990\\ \hline Y\text{ nombre d’actifs agricoles en milliers}&3984&3011&2460&1652&1448&982\\ \hline \end{array}$$
On note $Z$ le rang de l'année
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 1954\text{ a pour rang }Z&=&0\\ 1990\text{ a pour rang }Z&=&36 \end{array}\right.$$
1) Construire le nuage de points associé à cette série statistique $(Z\;,\ Y).$
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de cette série.
Peut-on envisager une forte corrélation linéaire entre $Z\text{ et }Y$ ?
3) Déterminer l'équation de la droite de régression de $y\text{ en }z.$
Exercice 15 (1999 $1^{er}$ groupe)
L'étude du poids P de la larve d'un insecte mesuré en fonction de l'âge $x$ a conduit au tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X\text{ (mois)}&1&2&3&4&5\\ \hline P(mg)&7&13&25&47&88\\ \hline \end{array}$$
1) On pose $y=\ln\,P\text{ ou }\ln$ désigne le logarithme népérien.
a) Calculer les différentes valeurs prises par $y\text{ à }10^{-5}$ près.
b) Tracer le nuage de points représentant les couples $(X\;,\ Y)$ dans un système d'axes orthonormés (unité $2\;cm)\ :\ y$ placer le barycentre $G$ du nuage.
2) Déterminer une équation de la droite de régression de $Y\text{ en }X.$
3) Si l'évolution se poursuit dans les mêmes conditions, quel sera le poids de la larve au bout de six mois ?
Exercice 16 (1999 Remplacement)
Afin de mieux gérer ses stocks, une entreprise décide d'estimer son besoin en matières premières par l'intermédiaire d'une grandeur dont la valeur peut être connue rapidement (chiffre d'affaires ou total des salaires).
On note $X$ la quantité, en tonnes de matières premières ; $Y$ le chiffre d'affaires en milliers de francs. Dans tout l'exercice on pourra donner directement les résultats fournis par la calculatrice. Le relevé des mopis précédents est le suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Numéro du mois}&1&2&3&4&5&6\\ \hline X&0.9&1.2&0.6&0.5&1.4&1\\ \hline Y&37&40&33&33&41&35\\ \hline Z&3.9&3.7&3.2&3.3&3.6&3.7\\ \hline \end{array}$$
1) a) Calculer les coefficients de corrélation linéaire $r_{1}$ entre $X\text{ et }Y$ et $r_{2}\text{ entre }X\text{ et }Z.$
b) Est-ce un ajustement entre $Y\text{ et }X\text{ ou entre }Z\text{ et }X$ qui permettra la meilleure estimation de $X$ ?
2) Déterminer une équation de la droite de régression de $Y\text{ en }X$ et en déduire une estimation du besoin en matières premières pour $Y=39.$
Exercice 17 (2001 $2^{ième}$ groupe)
Les relevés de l'intensité $(x_{i})$ du travail fourni exprimée en kilojoules par minute et la fréquence cardiaque $(y_{i})$ (nombre de battements par minute) de 8 personnes sont consignés dans le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&9.6&12.8&18.4&31.2&36.8&47.2&49.6&56.8\\ \hline y_{i}&70&86&90&104&120&128&144&154\\ \hline \end{array}$$
1) Représentez le nuage de points $M_{i}(x_{i}\;;\ y_{i}).$
2) Déterminez les moyennes $x\text{ et }y$ , les variances $V(x)\text{ et }V(y)\text{ de }x\text{ et }y.$
On précisera les formules utilisées.
3) Déterminez la droite de régression de $y\text{ en }x$ ;la tracer.
Exercice 18 (2002 $1^{er}$ groupe)
63 candidats se sont présentés au baccalauréat comportant une épreuve de Maths et une épreuve de Sciences Physiques : SP.
Le tableau statistique suivant donne le nombre de candidats ayant obtenu un couple de notes donné.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Note de}&2&6&10&14&18&\text{Totaux}\\ \text{Math}& & & & & &\\ \text{Note de SP}& & & & & &\\ \hline 6&4&2&1&0&0&7\\ \hline 8&2&5&2&0&0&9\\ \hline 10&1&6&16&5&1&29\\ \hline 12&0&2&3&6&2&13\\ \hline 14&0&1&0&1&3&5\\ \hline \text{Totaux}&7&16&22&12&6&63\\ \hline \end{array}$$
On appelle $X=(x_{i})$ la série statistique des notes de Sciences Physiques et $Y=(y_{i})$ la série statistique des notes de Mathématiques.
1) Déterminer pour chaque $x_{i}$ la moyenne $z_{i}$ de la série conditionnelle $y/z_{i}.$
2) On considère la série double $(x_{i}\;,\ z_{i}).$
a) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé construire le nuage de points $M(x_{i}\;,\ z_{i}).$
b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre la série $X=(x_{i})\text{ et }Z=(Z_{i}).$
c) Déterminer une équation de la droite d'ajustement linéaire de $Z\text{ et }X$ par la méthode des moindres carrés.
d) Tracer cette droite.
Exercice 19 (2004 Remplacement)
Une étude faite sur l'effectif $X$ des familles d'une cité et la quantité $Y$ de sucre en Kilogrammes consommée par mois dans chaque famille, a donné les résultats ci-dessous :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline Y\backslash X&[5\;;\ 7]&[8\;;\ 10]&[11\;;\ 13]&[14\;;\ 18]\\ \hline [10\;;\ 15]&1&3&0&0\\ \hline [5\;;\ 25]&5&9&8&3\\ \hline [25\;;\ 35]&0&7&5&9\\ \hline \end{array}$$
1) Calculer la moyenne et l'écart-type des séries marginales $X\text{ et }Y.$
2) A chaque centre $x_{i}$ de classe de la série de $X$ on associe la moyenne $z_{i}\text{ de }Y$ sachant que $X=x_{i}.$
3) Dans la suite on considère la série $(x\;,\ z)$ définie par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&6&9&12&16\\ \hline z_{i}&18.75&22.5&23.85&27.5\\ \hline \end{array}$$
a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x\text{ et }z.$
Un ajustement affine est-il justifié ? (justifier la réponse).
b) Déterminer une équation de la droite de régression de $z\text{ en }x.$
c) Estimer la quantité moyenne de sucre consommée par mois pour une famille d'effectif égal à 20.
Exercice 20 (2005 $1^{er}$ groupe)
Une entreprise a mis au point un nouveau produit et cherche à en fixer le prix de vente.
Une enquête est réalisée auprès des clients potentiels ; les résultats sont donnés dans le tableau suivant où $y_{i}$ représente le nombre d'exemplaires du produit que les clients sont disposés à acheter si le prix de vente, exprimé en milliers de francs, est $x_{i}.$
On appelle $x$ la variable statistique dont les valeurs sont $x_{i}\text{ et }y$ celle dont les valeurs sont les $y_{i}.$
1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de $y\text{ et }x.$
La valeur trouvée justifie-t-elle la recherche d'un ajustement linéaire ?
2) Déterminer l'équation de la droite de régression de $y\text{ en }x.$
3) Les frais de conception du produit se sont élevés à 28 millions de francs.
Le prix de fabrication de chaque produit est de 25 000 francs.
a) Déduire de la question précédente que le bénéfice $z$ en fonction du prix de vente $x$ est donné par l'égalité :
$z=-5.95x^{2}+1426.25x-59937.5\;,\text{ où }x\text{ et }z$ sont exprimés en milliers de francs.
b) Déterminer le prix de vente $x$ permettant de réaliser un bénéfice maximum et calculer ce bénéfice.
N.B
Prendre 2 chiffres après la virgule sans arrondir.
Rappel :
Bénéfice=Prix de vente-Prix de revient.
Exercice 21 (2006 $1^{er}$ groupe)
Les parties A et B sont indépendantes.
A- Une étude du service des transports donne la distance de freinage d'une voiture sur une route en bon état en fonction de sa vitesse.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Vitesse en }km/h\ :\ X&40&50&60&70&80&90&100&110&120\\ \hline \text{Distance en }m\ :\ Y&8&12&18&24&32&40&48&58&72\\ \hline \end{array}$$
On désigne par $X$ la vitesse et par $Y$ la distance de freinage.
1) Représenter le nuage de points.
On prendra en abscisse $1\;cm$ pour 10 km/h et en ordonnée $1\;cm$ pour $5\;m.$
N.B :
On commencera en abscisse les graduations à partir de 40 km/h et en ordonnée les les graduations à partir de $8\;m.$
2) Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y\text{ en }X.$
3) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r.$
Avons-nous une bonne corrélation ?
4) a) On suppose que cette évolution se poursuit.
Un automobiliste roulant à 150 km/h entame un freinage à $85\;m$ d'un obstacle immobile. Percutera-t-il l'obstacle ?
b) Quelle devrait être sa vitesse maximale au moment du freinage pour ne pas heurter l'obstacle ?
B- Une autre étude sur les causes des accidents donne les résultats ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Cause des accidents }:\ X\backslash \text{Type de transport }:\ Y&\text{Particuliers }y_{1}&\text{Transporteurs en commun }y_{2}\\ \hline\text{Accidents liés à l’excès de vitesse : }x_{1}&440&360\\ \hline\text{Accidents à cause mécanique : }x_{2}&110&90\\ \hline \end{array}$$
1) Déterminer l'effectif total des accidents enregistrés lors de cette étude.
2) Déterminer les fréquences conditionnelles $f_{y^{2}/x^{1}}\text{ et }f_{x^{2}/y^{2}}.$
3) Déterminer les fréquences marginales $f\cdot_{1}\text{ et }f_{2}\cdot\cdot$
Exercice 22 (2008 $1^{er}$ groupe $1^{er}$ sujet)
Dans une maternité, on a relevé pour chacune des 20 naissances d'une journée, l'âge $x$ de la mère (en années) et le poids $y$ du nouveau-né (en kilogrammes).
Les résultats sont regroupés dans le tableau à double entrée ci-dessous :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline y\backslash x&16&18&20&22&26&\text{Totaux}\\ \hline 2.6&0&0&0&0&1&1\\ \hline 2.8&1&1&0&3&0&5\\ \hline 3&0&2&0&2&2&6\\ \hline 3.2&0&0&3&1&0&4\\ \hline 3.4&0&2&0&0&0&2\\ \hline 3.6&0&0&1&0&1&2\\ \hline\text{Totaux}&1&5&4&6&4&20\\ \hline \end{array}$$
Donner les formules avant d'effectuer les calculs puis les réponses à $10^{-2}$ près par défaut.
1) a) Déterminer les séries marginales associées aux caractères $x\text{ et }y.$
b) Déterminer les moyennes respectives de ces séries marginales.
c) Déterminer le coefficient de corrélation de $x\text{ et }y.$
La corrélation est-elle bonne ?
2) A la fin de la journée, une équipe de journalistes de passage pour les besoins d'un reportage désire prendre en photo un bébé.
On suppose que les bébés ont tous les mêmes chances d'être choisis pour la photo. Soient les événements :
A « Le bébé choisi pèse 3.2 kilogrammes »
B « Le bébé choisi a une maman de 22 ans »
A « Le bébé choisi pèse 2.8 kilogrammes »
a) Déterminer les probabilités des événements $\text{A}\;;\ \text{B et A}\cap\text{B}.$
En déduire la probabilité $p(\text{A}\cup\text{B}).$
Justifier les résultats.
b) Déterminer la probabilité $p\left(\text{C}|\overline{\text{B}}\right).$ Justifier.
Commentaires
Baye mor (non vérifié)
jeu, 06/22/2023 - 22:49
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