Série N°5 : dérivabilité - 1er L
Rappel du cours portant sur le nombre de dérivé
Soit $f$ une fonction définie continue dans un voisinage de $x_{0}$ contenant $x_{0}$ , $f$ est dérivable en$x_{0}$
ssi : $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\ldots\text{ est }\ldots\text{ finie }$
Cette limite, notée $f'\left(x_{0}\right)$, est appelée nombre dérivé de $f$ en $x_{0}$
Exercice 1
Nombre dérivé
Calculer le nombre de dérivé de $f$ en $x_{0}$ :
1. $f(x)=3x-2\quad x_{0}=0$ ;
2. $f(x)=3x^{2}+2x-1\quad x_{0}=2$
3. $f(x)=\dfrac{x-2}{x-3}\quad x_{0}=2$
4. $f(x)=\sqrt{5-x}\quad x_{0}=4$
Exercice 2
Dérivé d'une fonction en un point
Étudie la dérivée de $f$ en $x_{0}$ :
1. $f(x)=2x^{2}-x+1\quad x_{0}=2$ ;
2. $f(x)=\dfrac{4x-5}{x+1}\quad x_{0}=1$ ;
3. $f(x)=\sqrt{x^{2}-3x+2}\quad x_{0}=2$ ;
4. $f(x)=|x-3|\quad x_{0}=3$ ;
5. $f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}}\quad x_{0}=4$ ;
6. $f(x)=\sqrt{2x+5}\quad x_{0}=-\dfrac{1}{2}$
Rappel du cours portant sur la dérivée d'une fonction : constante ; linéaire et affine
$\surd$ La fonction $f(x)=k$ $(k\text{ est un nombre réel})$ a pour dérivé $f'(x)=0$
$\surd$ La fonction $f(x)=ax$ (a est un nombre réel) a pour dérivé $f'(x)=a$
$\surd$ La fonction $f(x)=ax+b$ $(a\text{ et }b\text{ sont des nombres réels})$ a pour dérivé $f'(x)=a$
Exercice 3
Calcule de dérivé d'une fonction constante ; linéaire et affine.
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$
1. $f(x)=4$ ;
2. $(x)=12x$ ;
3. $f(x)=4x+2$ ;
4. $f(x)=4-3x$ ;
5. $f(x)=\dfrac{2}{5}4$ ;
6. $f(x)=\dfrac{3}{2}x$ ;
7. $f(x)=-4x+8$ ;
8. $f(x)=1-\dfrac{5}{7}x$ ;
$\surd$ La fonction $f(x)=x^{n}$ $(n\text{ est un nombre entier})$ a pour dérivé $f'(x)=n x^{n-1}$
Exercice 4
Calcule de la dérivée d'une fonction polynôme
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$
1. $f(x)=x^{2}+x-1$ ;
2. $f(x)=-2x^{3}-x+6$ ;
3. $f(x)=x^{7}$ ;
4. $f(x)=3x^{4}-5x^{3}+x^{2}+3x-1$ ;
5. $f(x)=5x^{2}+3x-5$ ;
6. $f(x)=-\dfrac{3}{2}x^{4}-\dfrac{4}{3}x^{2}+7x-13x^{3}-6$ ;
7. $f(x)=x^{7}$
$\surd$ La fonction $f(x)=u\times v$ a pour dérivé $f'(x)=u'v+v'u$
Exercice 5
Calcule de la dérivée d'un produit
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$
1. $f(x)=(x+1)(3x+1)$
2. $f(x)=(3x-5)(2x^{2}-1)$
3. $f(x)=\left(-2x^{2}-4x+6\right)(3x-5)$
4. $f(x)=(2x+3)(-x+5)$
5. $f(x)=\left(\dfrac{2}{3}x-5\right)\left(2x^{2}-2x\right)$
6. $f(x)=\left(-2x^{2}4x+6\right)(3x-5)$
$\surd$ La fonction $f(x)=\dfrac{u}{v}$ a pour dérivé $f'(x)=\dfrac{u'v-v'u}{v^{2}}$
Exercice 6
Calcule de la dérivée d'une fonction rationnelle
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$
1. $f(x)=\dfrac{1}{x}$
2. $f(x)=\dfrac{5}{x+2}$
3. $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$
4. $f(x)=\dfrac{5x-1}{x+4}$
5. $f(x)=\dfrac{2x^{2}+1}{x^{3}-2}$
$\surd$ La fonction $f(x)=u^{n}$ a pour dérivé $f'(x)=nu'\cdot u^{n-1}$
Exercice 7
Calcule de dérivé d'une fonction puissance
1. $f(x)=(x+3)^{2}$
2. $f(x)=(5x-2)^{3}$
3. $f(x)=\left(2x^{2}+5x-2)^{4}$
4. $f(x)=(2-7x)^{3}$
5. $f(x)=\left(\dfrac{2x-1}{-x+1}\right)^{2}$
6. $f(x)=\left(\dfrac{2-5x}{x-1}\right)^{4}$
7. $f(x)=\left(\dfrac{1}{2x-3}\right)^{3}$
8. $f(x)=\left(\dfrac{4x+3}{5}\right)^{4}$
$surd$ La fonction $f(x)=\sqrt{u}$ a pour dérivé $f'(x)=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
Exercice 8
Calcule de dérivé d'une fonction irrationnelle
Exercice 9
« Dérivé d'une fonction irrationnelle »
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$
1. $f(x)=\sqrt{x}$
2. $f(x)=\sqrt{5x-4}$
3. $f(x)=\sqrt{x^{2}+3x-4}$
4. $f(x)=\sqrt{\dfrac{3x-1}{-2x+3}}$
5. $f(x)=\sqrt{\dfrac{2}{x}}$
6. $f(x)=\sqrt{\dfrac{3}{4}x^{2}-5}$
7. $f(x)=\sqrt{5x^{2}-4x+2}$
8. $f(x)=\sqrt{\dfrac{3x}{4x+3}}$
L'équation de la tangente au point d'abscisse $x_{0}$ est de :
$y=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$
Exercice 10
Déterminez l'équation de la tangente à la courbe $(C)$ représentant la fonction $f$ au point A d'abscisse $x_{A}$ dans les cas suivants :
a. $f(x)=x^{2}+3x-12\quad x_{A}=5$
b. $f(x)=x^{3}-3x+6\quad x_{A}=1$
c. $f(x)=x^{2}+2x+3\quad x_{0}=-1$
d. $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}\quad x_{0}=3$
e. $f(x)=\sqrt{3x-1}\quad x_{0}=1$
Exercice 11
Approfondissement
Déterminer la fonction dérivée de chacune des expressions suivantes
1. $f(x)=\dfrac{1}{5}\left(3x^{3}-2x+7\right)$
2. $f(x)=\dfrac{3x^{2}-2x+7}{5}$
3. $f(x)=\left(ax^{2}+bx+c\right)(2x+5)$
4. $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+x+1}$
5. $f(x)=\dfrac{(x+1)(3-2x)}{4x+2}$
6. $f(x)=\left(\dfrac{2x+3}{3x-5}\right)^{3}$
7. $f(x)=x+3+\dfrac{4}{x-2}$
8. $f(x)=\dfrac{\sqrt{5x+4}-2}{x}$
9 $f(x)=\sqrt{5x^{2}-4}-5x^{2}+3x$
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