Similitudes planes directes - T S

Classe: 
Terminale

I Définitions

On appelle similitude plane directe toute transformation du plan qui multiplie les distances par un réel k>0 et qui conserve la mesure des angles orientés. k est appelé le rapport de la similitude.
 
   les translations et les rotations sont des similitudes de rapport 1.
 
   l'homothétie de rapport k est une similitude de rapport |k|.
 
   les composées d'homothétie et de rotation sont des similitudes.
 
   les rotations, les homothéties, les composées d'homothétie et de rotation sont appelées des similitudes à centre.
 
   la réciproque d'une similitude de rapport k est une similitude de rapport 1k.
 
   la composée de deux similitudes s et s de rapport respectifs k et k est une similitude de rapport kk.
 
   si la similitude est la composée d'une rotation r(Ω, θ) et d'une homothétie de centre Ω et de rapport k>0, on dira que S=hr est une similitude de rapport k, d'angle θ et de centre Ω notée s(Ω, k, θ).

II Expression complexe

Soit s une similitude définie par z=az+b, alors 
 
   si a=1 alors s est une translation de vecteur u(b)
 
   si aR+{1}, s est une homothétie de rapport a et de centre Ω tels que zΩ=azΩ+b
   si aC{R} et |a|=1, alors s est une rotation d'angle θ tels que θ=arga et de centre Ω tels que zΩ=b1a
   si aC{R} et |a|1, alors z=keiθz+bk=|a| et θ=arga. On dira que s est une similitude de rapport k et d'angle θ=arga et de centre Ω tels que zΩ=b1a,s=h(Ω, |a|)r(Ω, θ)
   Soit s=s(Ω, k, θ) définie par zzΩ=keiθ(zzΩ) ou z=keiθz+α
Sa réciproque s1 est donnée par s1=s(Ω, 1k, θ)
   considérons deux similitudes s1 et s2 définies par :
 
s1=s(Ω, k1, θ1); z=k1eiθ1z+α1 et s2=s(Ω, k2, θ2); z=k2eiθ2z+α2.
 
Leur composée notée s1s2 sera définie par : 
 
z=k1eiθ1(k2eiθ2z+α2)+α1=k1k2ei(θ1+θ2)z+α
 
  si θ1+θ2=0(2π) et k1k2=1 alors, s1s2=t
 
  si θ1+θ2=0(2π) et k1k21 alors, s1s2=h de rapport k1k2
 
  si θ1+θ20[2π] et k1k2=1 alors, s1s2=r d'angle θ1+θ2
 
  si θ1+θ20[2π] et k1k21 alors, s1s2 est une similitude de rapport k1k2, d'angle θ1+θ2 et de centre Ω

III Propriétés

Soient s=s(Ω, k, θ) une similitude, M et N deux point du plan d'images respectives, par s, M et N, alors on a :
 
  s(M)=M{ΩM=kΩM(ΩM, ΩM)=θ[2π]
 
  {s(M)=Ms(N)=N{MN=kMN(MN, MN)=θ[2π] 
 
   Toute similitude de rapport k peut être décomposée en la composée d'une homothéties de rapport k et d'un déplacement.
 
   Les similitudes conservent les barycentres, les angles orientés, le parallélisme et la perpendicularité.
 
   L'image d'une figure quelconque est une figure de même nature.

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

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