Similitudes planes directes - T S
Classe:
Terminale
I Définitions
On appelle similitude plane directe toute transformation du plan qui multiplie les distances par un réel k>0 et qui conserve la mesure des angles orientés. k est appelé le rapport de la similitude.
⋅ les translations et les rotations sont des similitudes de rapport 1.
⋅ l'homothétie de rapport k est une similitude de rapport |k|.
⋅ les composées d'homothétie et de rotation sont des similitudes.
⋅ les rotations, les homothéties, les composées d'homothétie et de rotation sont appelées des similitudes à centre.
⋅ la réciproque d'une similitude de rapport k est une similitude de rapport 1k.
⋅ la composée de deux similitudes s et s′ de rapport respectifs k et k′ est une similitude de rapport kk′.
⋅ si la similitude est la composée d'une rotation r(Ω, θ) et d'une homothétie de centre Ω et de rapport k>0, on dira que S=h∘r est une similitude de rapport k, d'angle θ et de centre Ω notée s(Ω, k, θ).
II Expression complexe
Soit s une similitude définie par z′=az+b, alors
⋅ si a=1 alors s est une translation de vecteur →u(b)
⋅ si a∈R∗+∖{1}, s est une homothétie de rapport a et de centre Ω tels que zΩ=azΩ+b
⋅ si a∈C∖{R} et |a|=1, alors s est une rotation d'angle θ tels que θ=arga et de centre Ω tels que zΩ=b1−a
⋅ si a∈C∖{R} et |a|≠1, alors z′=keiθz+b où k=|a| et θ=arga. On dira que s est une similitude de rapport k et d'angle θ=arga et de centre Ω tels que zΩ=b1−a,s=h(Ω, |a|)∘r(Ω, θ)
⋅ Soit s=s(Ω, k, θ) définie par z′−zΩ=keiθ(z−zΩ) ou z′=keiθz+α
Sa réciproque s−1 est donnée par s−1=s(Ω, 1k, −θ)
⋅ considérons deux similitudes s1 et s2 définies par :
s1=s(Ω, k1, θ1); z′=k1eiθ1z+α1 et s2=s(Ω, k2, θ2); z′=k2eiθ2z+α2.
Leur composée notée s1∘s2 sera définie par :
z′=k1eiθ1(k2eiθ2z+α2)+α1=k1k2ei(θ1+θ2)z+α
− si θ1+θ2=0(2π) et k1k2=1 alors, s1∘s2=t
− si θ1+θ2=0(2π) et k1k2≠1 alors, s1∘s2=h de rapport k1k2
− si θ1+θ2≠0[2π] et k1k2=1 alors, s1∘s2=r d'angle θ1+θ2
− si θ1+θ2≠0[2π] et k1k2≠1 alors, s1∘s2 est une similitude de rapport k1k2, d'angle θ1+θ2 et de centre Ω
III Propriétés
Soient s=s(Ω, k, θ) une similitude, M et N deux point du plan d'images respectives, par s, M′ et N′, alors on a :
⋅ s(M)=M′⇔{ΩM′=kΩM(→ΩM, →ΩM′)=θ[2π]
⋅ {s(M)=M′s(N)=N′⇔{M′N′=kMN(→MN, →M′N′)=θ[2π]
⋅ Toute similitude de rapport k peut être décomposée en la composée d'une homothéties de rapport k et d'un déplacement.
⋅ Les similitudes conservent les barycentres, les angles orientés, le parallélisme et la perpendicularité.
⋅ L'image d'une figure quelconque est une figure de même nature.
Auteur:
Diny Faye & Seyni Ndiaye
Commentaires
Diongue (non vérifié)
lun, 06/03/2019 - 08:01
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Cours
Assane Ndiaye (non vérifié)
mar, 04/25/2023 - 20:37
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Assane Ndiaye (non vérifié)
mar, 04/25/2023 - 20:38
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