Solution des exercices : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1
Nous allons résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :
a) $7x-1=5x-5$ si, et seulement si, $7x-5x=1-5$
Donc, $2x=-4$
Ce qui donne alors, $x=\dfrac{-4}{2}=-2$
D'où,
$$S=\{-2\}$$
b) $2x-3=\dfrac{3}{2}x+3$ alors, $2x-\dfrac{3}{2}x=3+3=6$
Or,
$\begin{array}{rcl} 2x-\dfrac{3}{2}x&=&\dfrac{4x}{2}-\dfrac{3x}{2}\\ \\&=&\dfrac{4x-3x}{2}\\ \\&=&\dfrac{x}{2}\end{array}$
Donc, $\dfrac{x}{2}=6$
Ce qui entraine : $x=2\times 6=12$
D'où, $$S=\{12\}$$
c) $x\sqrt{2}-1=\sqrt{2}+x$ si, et seulement si, $x\sqrt{2}-x=\sqrt{2}+1$
Donc, $x(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}+1$
Ce qui donne : $x=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$
En rendant rationnel le dénominateur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\\ \\&=&\dfrac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\ \\&=&\dfrac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{(\sqrt{2})^{2}-(1)^{2}}\\ \\&=&\dfrac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}\\ \\&=&3+2\sqrt{2}\end{array}$
Ainsi, $$S=\{3+2\sqrt{2}\}$$
Exercice 2
Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :
a) $|3x-4|=2$ si, et seulement si, $3x-4=2\ $ ou $\ 3x-4=-2$
On aura alors, $3x=2+4=6\ $ ou $\ 3x=-2+4=2$ ;
Soit encore $x=\dfrac{6}{3}=2\ $ ou $\ x=\dfrac{2}{3}$
D'où, $$S=\left\{2\;;\ \dfrac{2}{3}\right\}$$
b) $|3x+7|=-3$
La valeur absolue n'est jamais négative donc, cette équation n'admet pas de solution.
$$S=\emptyset$$
c) $|15x-3\sqrt{2}|=2\sqrt{2}$ si, et seulement si, $15x-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ $ ou $\ 15x-3\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$
On aura alors, $15x=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\ $ ou $\ 15x=-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=\sqrt{2}$ ;
Ainsi, $x=\dfrac{5\sqrt{2}}{15}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\ $ ou $\ x=\dfrac{\sqrt{2}}{15}$
D'où, $$S=\left\{\dfrac{\sqrt{2}}{3}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{15}\right\}$$
d) $|3x-4|=\left|x-\dfrac{2}{3}\right|$ si, et seulement si,
$3x-4=x-\dfrac{2}{3}\ $ ou $\ 3x-4=-\left(x-\dfrac{2}{3}\right)=-x+\dfrac{2}{3}$
Cela donne alors, $3x-x=-\dfrac{2}{3}+4=\dfrac{12-2}{3}\ $ ou $\ 3x+x=\dfrac{2}{3}+4=\dfrac{12+2}{3}$ ;
Donc, $2x=\dfrac{10}{3}\ $ ou $\ 4x=\dfrac{14}{3}$
Soit encore $x=\dfrac{\dfrac{10}{3}}{2}=\dfrac{10}{3\times 2}=\dfrac{5}{3}\ $ ou $\ x=\dfrac{\dfrac{14}{3}}{4}=\dfrac{14}{3\times 4}=\dfrac{7}{6}$
D'où, $$S=\left\{\dfrac{5}{3}\;;\ \dfrac{7}{6}\right\}$$
e) $\sqrt{(\sqrt{2}x-3)^{2}}=\sqrt{(-3x+5)^{2}}$
On sait que $\sqrt{(\sqrt{2}x-3)^{2}}=|\sqrt{2}x-3|\ $ et $\ \sqrt{(-3x+5)^{2}}=|-3x+5|$
Donc, résoudre l'équation $\sqrt{(\sqrt{2}x-3)^{2}}=\sqrt{(-3x+5)^{2}}$ revient tout simplement à résoudre l'équation suivante : $$|\sqrt{2}x-3|=|-3x+5|$$
On a : $|\sqrt{2}x-3|=|-3x+5|$ si, et seulement si, $\sqrt{2}x-3=-3x+5\ $ ou $\ \sqrt{2}x-3=3x-5$
Alors, $\sqrt{2}x+3x=5+3=8\ $ ou $\ \sqrt{2}x-3x=-5+3=-2$
On aura donc, $x(\sqrt{2}+3)=8\ $ ou $\ x(\sqrt{2}-3)=-2$
Soit encore $x=\dfrac{8}{\sqrt{2}+3}\ $ ou $\ x=\dfrac{-2}{\sqrt{2}-3}$
En rendant rationnel les dénominateurs, on obtient :
$x=\dfrac{8(\sqrt{2}-3)}{(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-3)}\ $ ou $\ x=\dfrac{-2(\sqrt{2}+3)}{(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3)}$
Soit $x=\dfrac{8(\sqrt{2}-3)}{2-9}=-\dfrac{8(\sqrt{2}-3)}{7}\ $ ou $\ x=\dfrac{-2(\sqrt{2}+3)}{2-9}=\dfrac{2(\sqrt{2}+3)}{7}$
D'où, $$S=\left\{-\dfrac{8(\sqrt{2}-3)}{7}\;;\ \dfrac{2(\sqrt{2}+3)}{7}\right\}$$
Exercice 3
Résolvons dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
a) $x^{2}-9(x-1)^{2}=0$
On remarque que $x^{2}-9(x-1)^{2}=x^{2}-[3(x-1)]^{2}$
Donc, en utilisant les propriétés des identités remarquables, on obtient :
$\begin{array}{rcl} x^{2}-9(x-1)^{2}&=&x^{2}-[3(x-1)]^{2}\\\\&=&(x-3(x-1))(x+3(x-1))\\\\&=&(x-3x+3)(x+3x-3)\\\\&=&(-2x+3)(4x-3)\end{array}$
Ainsi, $x^{2}-9(x-1)^{2}=0$ si, et seulement si, $$(-2x+3)(4x-3)=0$$
Or, un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
Donc, $(-2x+3)(4x-3)=0$ si, et seulement si,
$(-2x+3)=0\quad$ ou $\quad(4x-3)=0$
Par suite, $-2x=-3\quad$ ou $\quad 4x=3$
Par conséquent, $x=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{3}{4}$
D'où, $$S=\left\{\dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{3}{4}\right\}$$
b) $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+x^{2}+x+\dfrac{1}{4}=0$
Nous constatons que $x^{2}+x+\dfrac{1}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}$
Alors, $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+x^{2}+x+\dfrac{1}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}$
Donc, en prenant $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ comme facteur commun puis en factorisant on obtient :
$\begin{array}{rcl}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+x^{2}+x+\dfrac{1}{4}&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left[(3-2x)+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right]\\\\&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(3-2x+x+\dfrac{1}{2}\right)\\\\&=&\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(-x+\dfrac{7}{2}\right)\end{array}$
Ainsi, $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(3-2x)+x^{2}+x+\dfrac{1}{4}=0$ si, et seulement si, $$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(-x+\dfrac{7}{2}\right)=0$$
On aura alors, $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\quad$ ou $\quad\left(-x+\dfrac{7}{2}\right)=0$
Ce qui donne, $x=-\dfrac{1}{2}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{7}{2}$
D'où, $$S=\left\{-\dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{7}{2}\right\}$$
c) $(3x-1)^{2}+9=0$
On a : $(3x-1)^{2}+9=0$ si, et seulement si, $(3x-1)^{2}=-9$
Or, un carré n'est jamais négatif. Donc, il n'existe pas de réels vérifiant $$(3x-1)^{2}+9=0$$
D'où, $$S=\emptyset$$
d) $(x-5)^{2}=3$
On a : $(x-5)^{2}=3$ si, et seulement si, $\sqrt{(x-5)^{2}}=\sqrt{3}$
Or, $\sqrt{(x-5)^{2}}=|(x-5)|$
On aura alors, $|(x-5)|=\sqrt{3}$
Donc, $x-5=\sqrt{3}\quad$ ou $\quad x-5=-\sqrt{3}$
C'est-à-dire ; $x=5+\sqrt{3}\quad$ ou $\quad x=5-\sqrt{3}$
Ainsi, $$S=\{5-\sqrt{3}\;;\ 5+\sqrt{3}\}$$
e) $3x^{2}-14=2$
On a : $3x^{2}-14=2$ si, et seulement si, $3x^{2}=2+14=16$
Ou encore, $x^{2}=\dfrac{16}{3}$
Or, on sait que $x^{2}=\dfrac{16}{3}$ si, et seulement si, $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{\dfrac{16}{3}}$
et comme $\sqrt{x^{2}}=|x|$ alors, on a : $$|x|=\sqrt{\dfrac{16}{3}}$$
Cette équation a pour solution :
$x=\sqrt{\dfrac{16}{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\quad$ ou $\quad x=-\sqrt{\dfrac{16}{3}}=-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
D'où, $$S=\left\{-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\;;\ \dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right\}$$
f) $|-2x+5|=\dfrac{1}{2}$
On a : $|-2x+5|=\dfrac{1}{2}$ si, et seulement si,
$-2x+5=\dfrac{1}{2}\quad$ ou $\quad-2x+5=-\dfrac{1}{2}$
Alors, $-2x=-5+\dfrac{1}{2}\quad$ ou $\quad-2x=-5-\dfrac{1}{2}$
Donc, $x=\dfrac{-5+\dfrac{1}{2}}{-2}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{-5-\dfrac{1}{2}}{-2}$
C'est-à-dire ; $x=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{11}{4}$
Ainsi, $$S=\left\{\dfrac{9}{4}\;;\ \dfrac{11}{4}\right\}$$
g) $|4x+\sqrt{3}|=\dfrac{2}{3}$
En appliquant la même démarche que dans la question f), on aura :
$4x+\sqrt{3}=\dfrac{2}{3}\quad$ ou $\quad 4x+\sqrt{3}=-\dfrac{2}{3}$
Alors, $4x=\dfrac{2}{3}-\sqrt{3}\quad$ ou $\quad 4x=-\dfrac{2}{3}-\sqrt{3}$
Donc, $x=\dfrac{\dfrac{2}{3}-\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2}{3\times 4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
ou $\ x=\dfrac{-\dfrac{2}{3}-\sqrt{3}}{4}=-\dfrac{2}{3\times 4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
Soit ; $x=\dfrac{1}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2-3\sqrt{3}}{12}\quad$ ou $\quad x=-\dfrac{1}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{-2-3\sqrt{3}}{12}$
Ainsi, $$S=\left\{\dfrac{-2-3\sqrt{3}}{12}\;;\ \dfrac{2-3\sqrt{3}}{12}\right\}$$
h) $\sqrt{(x-2)^{2}}=4$
$\sqrt{(x-2)^{2}}=4$ si, et seulement si, $|(x-2)|=4$
On aura alors, $x-2=4\quad$ ou $\quad x-2=-4$
Par suite, $x=4+2=6\quad$ ou $\quad x=-4+2=-2$
D'où, $$S=\{-2\;;\ 6\}$$
i) $2|3-4x|-4|2x-1|=0$
$2|3-4x|-4|2x-1|=0$ si, et seulement si, $2|3-4x|=4|2x-1|$
Ce qui donne, en simplifiant par $2\;,\ |3-4x|=2|2x-1|=|2(2x-1)|$
Alors, $|3-4x|=|2(2x-1)|$ si, et seulement si,
$3-4x=2(2x-1)=4x-2\quad$ ou $\quad 3-4x=-2(2x-1)=-4x+2$
Donc, $-4x-4x=-2-3\quad$ ou $\quad 4x-4x=2-3$
Ce qui donne, $-8x=-5\quad$ ou $\quad 0x=-1$
Or, $0x=-1$ est impossible
Par conséquent, on trouve $x=\dfrac{5}{8}$
Ainsi, $$S=\left\{\dfrac{5}{8}\right\}$$
j) $|5x-2|+3=0$
$|5x-2|+3=0$ si, et seulement si, $|5x-2|=-3$
Mais comme une valeur absolue n'est jamais négative alors, $$S=\emptyset$$
k) $x^{2}+4=(x^{2}-2)^{2}$
On a : $x^{2}+4=(x^{2}-2)^{2}$ si, et seulement si, $x^{2}=(x^{2}-2)^{2}-4$
Or, $(x^{2}-2)^{2}-4=((x^{2}-2)-2)((x^{2}-2)+2)=(x^{2}-4)(x^{2})$
On aura alors, $x^{2}=x^{2}(x^{2}-4)$
Ce qui donne, $x^{2}-x^{2}(x^{2}-4)=0$
Soit ; $x^{2}(1-(x^{2}-4))=0$
Donc, $x^{2}=0\quad$ ou $\quad 5-x^{2}=0$
Par suite, $x=0\quad$ ou $\quad \sqrt{x^{2}}=\sqrt{5}$
Or, $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{5}$ est équivalente à $|x|=\sqrt{5}$
et $|x|=\sqrt{5}$ si, et seulement si, $\quad x=\sqrt{5}\quad$ ou $x=-\sqrt{5}$
Par conséquent, l'équation $x^{2}+4=(x^{2}-2)^{2}$ aura pour solutions :
$x=0\quad$ ou $\quad x=\sqrt{5}\quad$ ou $\quad x=-\sqrt{5}$
Ainsi, $$S=\{-\sqrt{5}\;;\ 0\;;\ \sqrt{5}\}$$
l) $\dfrac{2x-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=0$
$\dfrac{2x-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=0$ si, et seulement si, le numérateur est nul.
C'est-à-dire ; $2x-\sqrt{3}=0$
Soit ; $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Donc, $$S=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$$
Exercice 4
Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des équations :
a) $5x(x-1)(x-\sqrt{3})=0$
Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
Donc, $5x(x-1)(x-\sqrt{3})=0$ si, et seulement si,
$5x=0\quad$ ou $\quad(x-1)=0\quad$ ou $\quad(x-\sqrt{3})=0$
Alors on aura : $x=0\quad$ ou $\quad x=1\quad$ ou $\quad x=\sqrt{3}$
Ainsi, $$S=\{0\;;\ 1\;;\ \sqrt{3}\}$$
b) $25x^{2}-9=0$
On est en présence d'une identité remarquable de la forme $a^{2}-b^{2}$
Alors, $25x^{2}-9=(5x)^{2}-3^{2}=(5x-3)(5x+3)$
Donc, $25x^{2}-9=0$ si, et seulement si, $$(5x-3)(5x+3)=0$$
Comme c'est un produit de facteurs alors, on aura :
$5x-3=0\quad$ ou $\quad 5x+3=0$
Ce qui entraine : $x=\dfrac{3}{5}\quad$ ou $\quad x=-\dfrac{3}{5}$
Ainsi, $$S=\left\{-\dfrac{3}{5}\;;\ \dfrac{3}{5}\right\}$$
c) $4x^{2}+1=0$
L'équation est équivalente à $(2x)^{2}=-1$ or, un carré n'est jamais négatif.
Donc, il n'existe pas de réels vérifiant $4x^{2}+1=0$
D'où, $$S=\emptyset$$
d) $(x+3)^{2}-7=0$
On a : $(x+3)^{2}-7=0$ si, et seulement si, $(x+3)^{2}=7$
Ce qui entraine alors, $\sqrt{(x+3)^{2}}=\sqrt{7}$ or, $\sqrt{(x+3)^{2}}=|x+3|$
Donc, $(x+3)^{2}-7=0$ si, et seulement si, $$|x+3|=\sqrt{7}$$
Ainsi on aura : $x+3=\sqrt{7}\quad$ ou $\quad x+3=-\sqrt{7}$
Par suite : $x=-3+\sqrt{7}\quad$ ou $\quad x=-3-\sqrt{7}$
D'où, $$S=\{-3-\sqrt{7}\;;\ -3+\sqrt{7}\}$$
e) $x^{2}-5+(x+\sqrt{5})(-3x+5\sqrt{5})=0$
On remarque que $x^{2}-5=x^{2}-(\sqrt{5})^{2}=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})$
Ainsi, l'équation $x^{2}-5+(x+\sqrt{5})(-3x+5\sqrt{5})=0$ devient $$(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})+(x+\sqrt{5})(-3x+5\sqrt{5})=0$$
En prenant $(x+\sqrt{5})$ comme facteur commun, on aura : $$(x+\sqrt{5})[(x-\sqrt{5})+(-3x+5\sqrt{5})]=0$$
Ce qui est équivalent à : $(x+\sqrt{5})(-2x+4\sqrt{5})=0$
Donc, $(x+\sqrt{5})=0\quad$ ou $\quad(-2x+4\sqrt{5})=0$
Par suite, $x=-\sqrt{5}\quad$ ou $\quad -2x=-4\sqrt{5}$
Ainsi, $x=-\sqrt{5}\quad$ ou $\quad x=2\sqrt{5}$
D'où, $$S=\{-\sqrt{5}\;;\ 2\sqrt{5}\}$$
Exercice 5
Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes :
a) $\dfrac{6x-1}{x}=\dfrac{1}{3}$
Appliquant la propriété suivante : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ avec $(b\;,\ d\neq 0)$ si, et seulement si, $a.d=b.c$
Donc on aura : $\dfrac{6x-1}{x}=\dfrac{1}{3}$ avec $(x\neq 0)$ si, et seulement si, $$(6x-1)\times 3=x\times 1$$
Ainsi, $18x-3=x$ ; c'est-à-dire $17x=3$
entrainant alors, $x=\dfrac{3}{17}$
D'où, $$S=\left\{\dfrac{3}{17}\right\}$$
b) $\dfrac{2x-5}{3x-2}=-\dfrac{3}{7}$
Pour la résolution de cette équation, nous allons utiliser une autre méthode.
On a : $\dfrac{2x-5}{3x-2}=-\dfrac{3}{7}$ si, et seulement si, $$\dfrac{2x-5}{3x-2}+\dfrac{3}{7}=0$$
En réduisant au même dénominateur, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{2x-5}{3x-2}+\dfrac{3}{7}&=&\dfrac{(2x-5)\times 7}{(3x-2)\times 7}+\dfrac{3\times(3x-2)}{7\times(3x-2)}\\ \\ &=&\dfrac{(2x-5)\times 7+3\times(3x-2)}{(3x-2)\times 7}\\ \\&=&\dfrac{14x-35+9x-6}{7(3x-2)}\\ \\&=&\dfrac{23x-41}{7(3x-2)}\end{array}$
Ainsi, l'équation $\dfrac{2x-5}{3x-2}+\dfrac{3}{7}=0$ est équivalente à : $$\dfrac{23x-41}{7(3x-2)}=0$$
Or, on sait que $\dfrac{N}{D}=0$ si, et seulement si, $N=0$
Donc, $\dfrac{23x-41}{7(3x-2)}=0$ si, et seulement si, $23x-41=0$
C'est-à-dire ; $23x=41$
D'où, $x=\dfrac{41}{23}$
Ainsi, $$S=\left\{\dfrac{41}{23}\right\}$$
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &-4& &6/7& &+\infty \\ \hline x+4& &-&0&+&|&+&\\ \hline 7x-6& &-&|&-&0&+&\\ \hline (x +4)(7x-6)& &+&0&\boxed{-}&0&+&\\ \hline\end{array}$$
Exercice 6
Résolvons dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
a) $(x +4)^{2}-(2x+8)(5-3x)<0$
On a : $(x +4)^{2}-(2x+8)(5-3x)=(x +4)^{2}-2(x+4)(5-3x)$ donc, en factorisant par $(x+4)$ on obtient :
$\begin{array}{rcl} (x +4)^{2}-(2x+8)(5-3x)&=&(x +4)[(x+4)-2(5-3x)]\\\\&=&(x +4)(x+4-10+6x)\\\\&=&(x +4)(7x-6)\end{array}$
Ainsi, résoudre $(x +4)^{2}-(2x+8)(5-3x)<0$ revient à résoudre l'inéquation $$(x +4)(7x-6)<0$$
On a : $(x +4)(7x-6)=0$ si, et seulement si, $x+4=0\quad$ ou $\quad 7x-6=0$
Ce qui donne : $x=-4\quad$ ou $\quad x=\dfrac{6}{7}$
Par conséquent :
$(x +4)$ est positif pour tout $x>-4$ et négatif pour $x<-4.$
$(7x-6)$ est positif pour tout $x>\dfrac{6}{7}$ et négatif pour $x<\dfrac{6}{7}.$
Considérons le tableau de signes suivant :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &-4& &6/7& &+\infty \\ \hline x+4& &-&0&+&|&+&\\ \hline 7x-6& &-&|&-&0&+&\\ \hline (x +4)(7x-6)& &+&0&\boxed{-}&0&+&\\ \hline\end{array}$$
Nous constatons que $(x +4)(7x-6)$ est de signe négatif pour les $x$ appartenant à l'intervalle $\left[-4\;;\ \dfrac{6}{7}\right].$
D'où, l'inéquation $(x +4)(7x-6)<0$ a pour solution :$$S=\left]-4\;;\ \dfrac{6}{7}\right[$$
Commentaire sur le tableau :
$-\ $ Pour $x\in\;]-\infty\;;\ -4[$, on a $(x +4)$ et $(7x-6)$ de signe négatif. Donc, leur produit sera de signe $\boxed{+}=(-)\times(-)$
$-\ $ Pour $x\in\left[-4\;;\ \dfrac{6}{7}\right]$, on a $(x +4)$ de signe positif et $(7x-6)$ de signe négatif. D'où, leur produit aura pour signe $\boxed{-}=(+)\times(-)$
$-\ $ Pour $x\in\left]\dfrac{6}{7}\;;\ +\infty\right[$, on a $(x +4)$ et $(7x-6)$ de signe positif. Ainsi, leur produit sera de signe $\boxed{+}=(+)\times(+)$
b) $(1-2x)(x-2)-4x^{2}+4x-1>0$
On sait que : $(1-2x)(x-2)-4x^{2}+4x-1=(1-2x)(x-2)-(4x^{2}-4x+1)$
or, $4x^{2}-4x+1=(2x-1)^{2}$ donc,
$\begin{array}{rcl} (x-2)-4x^{2}+4x-1&=&(1-2x)(x-2)-(4x^{2}-4x+1)\\\\&=&-(2x-1)(x-2)-(2x-1)^{2}\\\\&=&(2x-1)[-(x-2)-(2x-1)]\\\\&=&(2x-1)(-3x+3)\end{array}$
Ainsi, $(1-2x)(x-2)-4x^{2}+4x-1>0$ est équivalente à l'inéquation $$(2x-1)(-3x+3)>0$$
Résolvons alors cette dernière inéquation.
On a : $(2x-1)(-3x+3)=0$ si, et seulement si, $2x-1=0\quad$ ou $\quad -3x+3=0$
Ce qui entraine : $x=\dfrac{1}{2}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{-3}{-3}=1$
Par conséquent :
$(2x-1)$ est positif pour tout $x>\dfrac{1}{2}$ et négatif pour $x<\dfrac{1}{2}.$
Et pour $(-3x+3)$, on voit bien que le coefficient affectant $x$ est négatif. Cela entraine donc un changement de sens des inégalité.
Ainsi, $(-3x+3)$ est positif pour tout $x<1$ et négatif pour $x>1.$
Soit le tableau de signes suivant :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &1/2& &1& &+\infty \\ \hline 2x-1& &-&0&+&|&+&\\ \hline -3x+3& &+&|&+&0&-&\\ \hline (2x-1)(-3x+3)& &-&0&\boxed{+}&0&-&\\ \hline\end{array}$$
Ainsi, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right[\;,\ (2x-1)(-3x+3)$ est de signe positif.
D'où, l'inéquation $(2x-1)(-3x+3)>0$ a pour solution :$$S=\left]\dfrac{1}{2}\;;\ 1\right[$$
c) $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}\leq 0$
L'inéquation $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}\leq 0$ existe si, et seulement si, $x^{2}+9\neq 0.$
C'est-à-dire ; $x^{2}\neq -9.$ Ce qui est toujours vrai car, un carré n'est jamais négatif.
Ce qui veut dire encore que l'inéquation $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}\leq 0$ existe pour tout $x\in\mathbb{R}.$
On a : $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}=0$ si, et seulement si, $(2-x)(x+1)=0.$
Donc, on aura : $2-x=0\quad$ ou $\quad x+1=0$
Ce qui donne : $x=2\quad$ ou $\quad x=-1$
Par suite :
$(2-x)$ est positif pour tout $x<2$ et négatif pour $x>2.$
$(x+1)$ est positif pour tout $x>-1$ et négatif pour $x<-1.$
$x^{2}+9$ est positif pour tout $x\in\mathbb{R}$
Considérons le tableau de signes suivant :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &-1& &2& &+\infty \\ \hline 2-x& &+&|&+&0&-&\\ \hline x+1& &-&0&+&|&+&\\ \hline x^{2}+9& &+&|&+&|&+&\\ \hline \dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}& &\boxed{-}&0&+&0&\boxed{-}&\\ \hline\end{array}$$
Ainsi, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-\infty\;;\ -1]\cup[2\;;\ +\infty[$, l'expression $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}$ est inférieure ou égale à zéro.
D'où, l'inéquation $\dfrac{(2-x)(x+1)}{x^{2}+9}\leq 0$ a pour solution :$$S=]-\infty\;;\ -1]\cup[2\;;\ +\infty[$$
d) $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}<0$
d) $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}<0$
L'inéquation $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}<0$ existe si, et seulement si, $x^{2}-4\neq 0.$
C'est-à-dire ; $x^{2}\neq 4.$
Or,
$\begin{array}{rcl} x^{2}\neq 4&\Leftrightarrow&\sqrt{x^{2}}\neq\sqrt{4}\\\\&\Leftrightarrow&|x|\neq 2\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 2\ \text{ et }\ x\neq -2\end{array}$
Donc, l'inéquation $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}<0$ existe pour tout $x$ différent de $2\ $ et $\ -2.$
Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}.$
On a :
$1-3x=0$ si, et seulement si, $-3x=-1.$
Ce qui donne : $x=\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}$
Dans l'expression $(1-3x)$ on remarque que le coefficient associé à $x$ est négatif.
Donc, $(1-3x)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{3}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{3}.$
Pour le dénominateur, on a :
$x^{2}-4=0$ si, et seulement si, $(x-2)(x+2)=0.$
Donc, on aura : $x-2=0\quad$ ou $\quad x+2=0$
C'est-à-dire : $x=2\quad$ ou $\quad x=-2$
Ainsi :
$(x-2)$ est positif pour tout $x>2$ et négatif pour $x<2.$
$(x+2)$ est positif pour tout $x>-2$ et négatif pour $x<-2.$
En regroupant le tout dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclclcr|}\hline x&-\infty&&-2&&1/3&&2&&+\infty\\\hline 1-3x&&+&|&+&0&-&|&-&\\\hline x-2& &-&|&-&|&-&0&+&\\\hline x+2& &-&0&+&|&+&|&+&\\\hline\dfrac{(1-3x)}{(x-2)(x+2)}&&+&||&\boxed{-}&0&+&||&\boxed{-}&\\ \hline\end{array}$$
En observant le tableau, on peut alors dire que : pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-2\;;\ \dfrac{1}{3}\right[\cup\left]2\;;\ +\infty\right[$, l'expression $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}$ est strictement inférieure à zéro.
D'où, l'inéquation $\dfrac{(1-3x)}{(x^{2}-4)}<0$ a pour solution :$$S=\left]-2\;;\ \dfrac{1}{3}\right[\cup\left]2\;;\ +\infty\right[$$
e) $2x^{2}-3\geq 0$
En effet, on a :
$\begin{array}{rcl} 2x^{2}-3\geq 0&\Leftrightarrow&2x^{2}\geq 3\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}\geq\dfrac{3}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\sqrt{x^{2}}\geq\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&|x|\geq\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&|x|\geq\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\\&\Leftrightarrow&|x|\geq\dfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{2}}\\\\&\Leftrightarrow&|x|\geq\dfrac{\sqrt{6}}{2}\end{array}$
Donc, $2x^{2}-3\geq 0$ si, et seulement si, $|x|\geq\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
Or, on sait que si, $k$ est nombre positif alors,
$$|x|\geq k\text{ si, et seulement si, }x\geq k\text{ ou }x\leq -k$$
En appliquant cette propriété, on a :
$|x|\geq\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ si, et seulement si, $x\geq\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ou $x\leq-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
Ainsi, $|x|\geq\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ si, et seulement si, $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ -\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{6}}{2}\;;\ +\infty\right[.$
Par conséquent, l'inéquation $2x^{2}-3\geq 0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ -\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{6}}{2}\;;\ +\infty\right[$$
f) $\dfrac{(x^{2}-1)}{(x+3)}\geq 0$
En effet, l'inéquation $\dfrac{(x^{2}-1)}{(x+3)}\geq 0$ existe si, et seulement si, $x+3\neq 0.$
C'est-à-dire ; $x\neq -3.$
Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de $\dfrac{(x^{2}-1)}{(x+3)}.$
On a :
$\begin{array}{rcl}(x^{2}-1)=0&\Leftrightarrow&(x-1)(x+1)=0\\\\&\Leftrightarrow&x-1=0\ \text{ ou }\ x+1=0\\\\&\Leftrightarrow&x=1\ \text{ ou }\ x=-1\end{array}$
Donc,
$(x+3)$ est positif pour tout $x>-3$ et négatif pour $x<-3.$
$(x-1)$ est positif pour tout $x>1$ et négatif pour $x<1.$
$(x+1)$ est positif pour tout $x>-1$ et négatif pour $x<-1.$
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclclcr|}\hline x&-\infty&&-3&&-1&&1&&+\infty\\\hline x-1&&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline x+1& &-&|&-&0&+&+&+&\\\hline x+3& &-&0&+&|&+&|&+&\\\hline\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+3)}&&-&||&\boxed{+}&0&-&0&\boxed{+}&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, on constate que : pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-3\;;\ -1\right]\cup\left[1\;;\ +\infty\right[$ l'expression $\dfrac{(x^{2}-1)}{(x+3)}$ est supérieure ou égale à zéro.
D'où, l'inéquation $\dfrac{(x^{2}-1)}{(x+3)}\geq 0$ a pour solution :$$S=\left]-3\;;\ -1\right]\cup\left[1\;;\ +\infty\right[$$
g) $4x^{2}+25>0$
En effet, on remarque que l'expression $4x^{2}+25$ est formée de deux termes positifs $4x^{2}\ $ et $\ 25.$
Or, la somme de deux termes positifs est toujours positive.
Donc, pour tout $x$ appartenant à l'ensemble $\mathbb{R}$, l'expression $4x^{2}+25$ est toujours positive.
Par conséquent, l'inéquation $4x^{2}+25>0$ a pour solution :$$S=\mathbb{R}=\left]-\infty\;;\ +\infty\right[$$
h) $x^{2}+5<0$
En observant l'expression $x^{2}+5$, on constate qu'elle est formée de deux termes positifs $x^{2}\ $ et $\ 5.$
Or, la somme de deux termes positifs n'est jamais négative.
Ce qui signifie qu'il n'existe pas de nombre $x$ vérifiant l'inéquation $x^{2}+5<0.$
D'où, $$S=\emptyset$$
Exercice 7
1) Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations :
a) $(3x+1)(1-4x)\geq 0$
On a : $(3x+1)(1-4x)=0$ si, et seulement si, $3x+1=0\ $ ou $\ 1-4x=0$
C'est-à-dire : $x=-\dfrac{1}{3}\ $ ou $\ x=\dfrac{1}{4}$
Par suite :
$(3x+1)$ est positif pour tout $x>-\dfrac{1}{3}$ et négatif pour $x<-\dfrac{1}{3}.$
Dans l'expression $(1-4x)$, on remarque que le coefficient associé à $x$ est négatif.
Donc, $(1-4x)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{4}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{4}.$
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &-1/3& &1/4& &+\infty \\ \hline 3x+1& &-&0&+&|&+&\\ \hline 1-4x& &+&|&+&0&-&\\ \hline (3x+1)(1-4x)& &-&0&\boxed{+}&0&-&\\ \hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(3x+1)(1-4x)$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{3}\;;\ \dfrac{1}{4}\right].$
D'où, l'inéquation $(3x+1)(1-4x)\geq 0$ a pour solution :$$S=\left[-\dfrac{1}{3}\;;\ \dfrac{1}{4}\right]$$
b) $(-5x+3)(2x+3)<0$
On a : $(-5x+3)(2x+3)=0$ si, et seulement si, $-5x+3=0\ $ ou $\ 2x+3=0$
Ce qui donne : $x=\dfrac{3}{5}\ $ ou $\ x=-\dfrac{3}{2}$
Ainsi, on a :
$(2x+3)$ est positif pour tout $x>-\dfrac{3}{2}$ et négatif pour $x<-\dfrac{3}{2}.$
Comme dans l'expression $(-5x+3)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-5x+3)$ est positif pour tout $x<\dfrac{3}{5}$ et négatif pour $x>\dfrac{3}{5}.$
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &-3/2& &3/5& &+\infty \\ \hline -5x+3& &+&|&+&0&-&\\ \hline 2x+3& &-&0&+&|&+&\\ \hline (-5x+3)(2x+3)& &\boxed{-}&0&+&0&\boxed{-}&\\ \hline\end{array}$$
En observant le tableau, nous constatons que l'expression $(-5x+3)(2x+3)$ est strictement inférieure à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ -\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]\dfrac{3}{5}\;;\ +\infty\right[.$
Par conséquent, l'inéquation $(-5x+3)(2x+3)<0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ -\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]\dfrac{3}{5}\;;\ +\infty\right[$$
2) On donne $f(x)=5x^{2}-20+(-3x+6)(4x+3)$
a) Factorisons l'expression $f(x)$
On remarque d'abord que :
$\begin{array}{rcl} 5x^{2}-20&=&5x^{2}-5\times 4\\\\&=&5(x^{2}-4)\\\\&=&5(x-2)(x+2)\end{array}$
Donc, $5x^{2}-20=5(x-2)(x+2)$
Puis, $(-3x+6)=-3(x-2)$
Alors, en remplaçant $5x^{2}-20\ $ et $\ (-3x+6)$ respectivement par $5(x-2)(x+2)\ $ et $\ -3(x-2)$, dans l'expression de $f(x)$, on obtient :
$$f(x)=5(x-2)(x+2)-3(x-2)(4x+3)$$
Ensuite, en prenant $(x-2)$ comme facteur commun, on trouve :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&5(x-2)(x+2)-3(x-2)(4x+3)\\\\&=&[(x-2)][5(x+2)-3(4x+3)]\\\\&=&(x-2)(5x+10-12x-9)\\\\&=&(x-2)(-7x+1)\end{array}$
D'où, $\boxed{f(x)=(x-2)(-7x+1)}$
b) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x)\leq 0$
Pour cela, nous utilisons la forme factorisée de $f(x).$
D'après le résultat de la question $2)a)$, on a : $f(x)=(x-2)(-7x+1)$
Donc, $f(x)\leq 0$ si, et seulement si, $(x-2)(-7x+1)\leq 0.$
Alors, on a : $(x-2)(-7x+1)=0$ si, et seulement si, $x-2=0\ $ ou $\ -7x+1=0$
Ce qui donne : $x=2\ $ ou $\ x=\dfrac{1}{7}$
Par suite :
$(x-2)$ est positif pour tout $x>2$ et négatif pour $x<2.$
Dans l'expression $(-7x+1)$, on constate que le coefficient associé à $x$ est négatif.
Donc, $(-7x+1)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{7}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{7}.$
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &1/7& &2& &+\infty \\ \hline x-2& &-&|&-&0&+&\\ \hline -7x+1& &+&0&-&|&-&\\ \hline (x-2)(-7x+1)& &\boxed{-}&0&+&0&\boxed{-}&\\ \hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(x-2)(-7x+1)$ est inférieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{7}\right]\cup\left[2\;;\ +\infty\right[.$
D'où, l'inéquation $f(x)\leq 0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{7}\right]\cup\left[2\;;\ +\infty\right[$$
3) Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations :
a) $\dfrac{6x-1}{-x+4}\geq 0$
l'inéquation $\dfrac{6x-1}{-x+4}\geq 0$ existe si, et seulement si, $-x+4\neq 0.$
C'est-à-dire ; $x\neq 4.$
Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de $\dfrac{6x-1}{-x+4}.$
On a :
$\begin{array}{rcl}6x-1=0&\Leftrightarrow&6x=1\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{6}\end{array}$
Donc,
$(6x-1)$ est positif pour tout $x>\dfrac{1}{6}$ et négatif pour $x<\dfrac{1}{6}.$
Comme dans l'expression $(-x+4)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-x+4)$ est positif pour tout $x<4$ et négatif pour $x>4.$
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&1/6&&4&&+\infty\\\hline 6x-1&&-&0&+&|&+&\\\hline -x+4& &+&|&+&0&-&\\\hline\dfrac{6x-1}{-x+4}&&-&0&\boxed{+}&||&-&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous remarquons que : pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{6}\;;\ 4\right[$ l'expression $\dfrac{6x-1}{-x+4}$ est supérieure ou égale à zéro.
Par conséquent, l'inéquation $\dfrac{6x-1}{-x+4}\geq 0$ a pour solution :$$S=\left[\dfrac{1}{6}\;;\ 4\right[$$
b) $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$
L'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$ existe si, et seulement si, $3x-2\neq 0.$
C'est-à-dire ; $3x\neq 2$
Ce qui donne : $x\neq\dfrac{2}{3}$
On a :
$\begin{array}{rcl} \dfrac{x-5}{3x-2}<3&\Leftrightarrow&\dfrac{x-5}{3x-2}-3<0\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{x-5}{3x-2}-\dfrac{3(3x-2)}{3x-2}<0\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{x-5}{3x-2}-\dfrac{9x-6}{3x-2}<0\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{x-5-9x+6}{3x-2}<0\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{-8x+1}{3x-2}<0\end{array}$
Donc, l'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$ est équivalente à l'inéquation $\dfrac{-8x+1}{3x-2}<0$
Ainsi, résoudre l'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$, revient à résoudre l'inéquation $\dfrac{-8x+1}{3x-2}<0.$
Alors, on a :
$\begin{array}{rcl}-8x+1=0&\Leftrightarrow&-8x=-1\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-1}{-8}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{8}\end{array}$
Comme dans l'expression $(-8x+1)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-8x+1)$ est positif pour tout $x<\dfrac{1}{8}$ et négatif pour $x>\dfrac{1}{8}.$
$(3x-2)$ est positif pour tout $x>\dfrac{2}{3}$ et négatif pour $x<\dfrac{2}{3}.$
En regroupant toutes ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&1/8&&2/3&&+\infty\\\hline -8x+1&&+&0&-&|&-&\\\hline 3x-2& &-&|&-&0&+&\\\hline\dfrac{-8x+1}{3x-2}&&\boxed{-}&0&+&||&\boxed{-}&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $\dfrac{-8x+1}{3x-2}$ est strictement inférieure à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{8}\right[\cup\left]\dfrac{2}{3}\;;\ +\infty\right[.$
Par conséquent, l'inéquation $\dfrac{x-5}{3x-2}<3$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ \dfrac{1}{8}\right[\cup\left]\dfrac{2}{3}\;;\ +\infty\right[$$
c) $\dfrac{3x-2}{x}\geq 0$
L'inéquation $\dfrac{3x-2}{x}\geq 0$ existe si, et seulement si, $x\neq 0.$
On a :
$\begin{array}{rcl}\dfrac{3x-2}{x}=0&\Leftrightarrow&3x-2=0\\\\&\Leftrightarrow&3x=2\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{2}{3}\end{array}$
Donc, $(3x-2)$ est positif pour tout $x>\dfrac{2}{3}$ et négatif pour $x<\dfrac{2}{3}.$
Considérons alors le tableau de signes suivant :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&0&&2/3&&+\infty\\\hline 3x-2&&-&|&-&0&+&\\\hline x& &-&0&+&|&+&\\\hline\dfrac{3x-2}{x}&&-&||&\boxed{+}&0&-&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $\dfrac{3x-2}{x}$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]0\;;\ \dfrac{2}{3}\right].$
D'où, l'inéquation $\dfrac{3x-2}{x}\geq 0$ a pour solution :$$S=\left]0\;;\ \dfrac{2}{3}\right]$$
Exercice 8
Répondons par vrai ou faux en justifiant la réponse
1) L'équation $x^{2}-7=0$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}.\quad(\text{Vrai})$
En effet, l'équation $x^{2}-7=0$ peut encore s'écrire : $x^{2}=7.$
Or, $x^{2}=7$ si, et seulement si, $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{7}$
C'est-à-dire ; $|x|=\sqrt{7}$
Ce qui donne alors : $x=\sqrt{7}\ $ ou $\ x=-\sqrt{7}$
Ainsi, $x^{2}-7=0$ si, et seulement si, $x=\sqrt{7}\ $ ou $\ x=-\sqrt{7}.$
Par conséquent, l'équation $x^{2}-7=0$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}$
$$\left\lbrace-\sqrt{7}\;;\ \sqrt{7}\right\rbrace$$
2) L'inéquation $(x-1)(3-x)\leq 0$ a pour solution $S=[1\;;\ 3]\quad(\text{Faux})$
En effet, soit : $2\in[1\;;\ 3].$
Alors, dans l'expression $(x-1)(3-x)$, en remplaçant $x$ par $2$, on obtient :
$$(2-1)(3-2)=1\times 1=1$$
Or, $1>0$
Donc, $(2-1)(3-2)>0$ ; ce qui signifie que $2$ ne vérifie pas l'inéquation $(x-1)(3-x)\leq 0.$
Par conséquent, l'intervalle $[1\;;\ 3]$ n'est pas solution de l'inéquation $(x-1)(3-x)\leq 0.$
3) L'équation $x^{2}=9$ a pour solution $S=\{3\}\quad(\text{Faux})$
En effet, l'équation $x^{2}=9$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}\ :\ -3\ $ et $\ 3$
Par conséquent,
$$S=\left\lbrace -3\;;\ 3\right\rbrace$$
4) L'équation $x^{2}+7=0$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}.\quad(\text{Faux})$
En effet, on a : $x^{2}+7=0$ si, et seulement si, $x^{2}=-7.$
Or, un carré n'est jamais négatif.
Par conséquent, il n'existe pas de nombre réel $x$ vérifiant $x^{2}=-7.$
D'où, l'équation $x^{2}+7=0$ n'admet pas de solutions dans $\mathbb{R}$
Exercice 9
On pose $A=2x-3.$
1) Calculons $A^{2}.$
En appliquant la forme développée des identités remarquables, on obtient :
$\begin{array}{rcl} A^{2}&=&(2x-3)^{2}\\\\&=&(2x)^{2}-2\times 3\times(2x)+3^{2}\\\\&=&4x^{2}-12x+9\end{array}$
Ainsi, $\boxed{A^{2}=4x^{2}-12x+9}$
2) En déduisons une factorisation de $B=4x^{2}-12x+8.$
En observant le résultat de la question $1)$, on peut écrire :
$\begin{array}{rcl} A^{2}&=&4x^{2}-12x+9\\\\&=&(4x^{2}-12x+8)+1\\\\&=&B+1\end{array}$
Donc, $A^{2}=B+1$
Par suite, $B=A^{2}-1$
Ainsi, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables puis, en remplaçant $A$ par son expression, on trouve :
$\begin{array}{rcl} B&=&A^{2}-1\\\\&=&(A-1)(A+1)\\\\&=&[(2x-3)-1][(2x-3)+1]\\\\&=&(2x-3-1)(2x-3+1)\\\\&=&(2x-4)(2x-2)\end{array}$
D'où, $\boxed{B=(2x-4)(2x-2)}$
3) Résolvons dans $\mathbb{R}\ :\ B=0\ $ et $\ B\leq 0.$
D'après le résultat de la question $2)$, on a : $B=(2x-4)(2x-2)$
Donc, $B=0$ si, et seulement si, $(2x-4)(2x-2)=0$
Alors, en résolvant cette équation, on trouve :
$\begin{array}{rcl} (2x-4)(2x-2)=0&\Leftrightarrow&2x-4=0\ \text{ ou }\ 2x-2=0\\\\&\Leftrightarrow&2x=4\ \text{ ou }\ 2x=2\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{4}{2}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{2}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=2\ \text{ ou }\ x=1\end{array}$
Ainsi, $B=0$ si, et seulement si, $x=2\ $ ou $\ x=1$
D'où, l'équation $B=0$ a pour solution :
$$S=\left\lbrace 1\;;\ 3\right\rbrace$$
Par ailleurs : $B\leq 0$ si, et seulement si, $(2x-4)(2x-2)\leq 0.$
Alors, on a :
$(2x-4)$ est positif pour tout $x>2$ et négatif pour $x<2.$
$(2x-2)$ est positif pour tout $x>1$ et négatif pour $x<1.$
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&1&&2&&+\infty\\\hline 2x-4&&-&|&-&0&+&\\\hline 2x-2& &-&0&+&|&+&\\\hline (2x-4)(2x-2)&&+&0&\boxed{-}&0&+&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(2x-4)(2x-2)$ est inférieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[1\;;\ 2\right]$
Par conséquent, l'inéquation $B\leq 0$ a pour solution :$$S=\left[1\;;\ 2\right]$$
Exercice 10
On considère l'expression suivante :
$$f(x)=x^{2}-25+(-2x+10)(x+3)$$
1) Développons, réduisons et ordonnons $f(x).$
On a :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&x^{2}-25+(-2x+10)(x+3)\\\\&=&x^{2}-25-2x^{2}-6x+10x+30\\\\&=&x^{2}-2x^{2}-6x+10x-25+30\\\\&=&-x^{2}+4x+5\end{array}$
Donc, $\boxed{f(x)=-x^{2}+4x+5}$
2) Factorisons $f(x)$ puis résolvons dans $\mathbb{R}\;,\ f(x)<0.$
$-\ $ Factorisation de $f(x)$
Soit : $f(x)=x^{2}-25+(-2x+10)(x+3)$
Alors, en utilisant la forme factorisée des identités remarquable, on peut écrire :
$x^{2}-25=x^{2}-(5)^{2}=(x-5)(x+5)$
De plus, $(-2x+10)=-2(x-5)$
Ainsi, dans l'expression de $f(x)$, en remplaçant $x^{2}-25\ $ et $\ (-2x+10)$ respectivement par $(x-5)(x+5)\ $ et $\ -2(x-5)$, on obtient :
$$f(x)=(x-5)(x+5)-2(x-5)(x+3)$$
On reconnait alors un facteur commun ; $(x-5).$
Donc, en prenant $(x-5)$ en facteur, on trouve :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(x-5)(x+5)-2(x-5)(x+3)\\\\&=&[(x-5)][(x+5)-2(x+3)]\\\\&=&(x-5)(x+5-2x-6)\\\\&=&(x-5)(-x-1)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{f(x)=(x-5)(-x-1)}$
$-\ $ Résolution dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $f(x)<0.$
Utilisons la forme factorisée de $f(x).$
Alors, résoudre l'inéquation $f(x)<0$ revient à résoudre l'inéquation $(x-5)(-x-1)<0$
On a : $(x-5)(-x-1)=0$ si, et seulement si, $x-5=0\ $ ou $\ -x-1=0$
C'est-à-dire ; $x=5\ $ ou $\ x=-1$
Donc,
$(x-5)$ est positif pour tout $x>5$ et négatif pour $x<5.$
Dons l'expression $(-x-1)$, comme le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-x-1)$ est positif pour tout $x<-1$ et négatif pour $x>-1.$
Par suite, en regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&-1&&5&&+\infty\\\hline x-5&&-&|&-&0&+&\\\hline -x-1& &+&0&-&|&-&\\\hline (x-5)(-x-1)&&\boxed{-}&0&+&0&\boxed{-}&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(2x-4)(2x-2)$ est strictement inférieure à zéro pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ -1\right[\cup\left]5\;;\ +\infty\right[$
D'où, l'inéquation $f(x)<0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ -1\right[\cup\left]5\;;\ +\infty\right[$$
3) Soit $h(x)=\dfrac{f(x)}{(x-5)(x+2)}$
a) Donnons la condition d'existence de $h(x)$ puis simplifions $h(x).$
$-\ $ Condition d'existence de $h(x)$
On a : $h(x)$ existe si, et seulement si, $(x-5)(x+2)\neq 0.$
Ce qui signifie que chaque facteur est différent de zéro.
Donc, $x-5\neq 0\ $ et $\ x+2\neq 0$
Ce qui donne : $x\neq 5\ $ et $\ x\neq -2$
Ainsi, $h(x)$ existe si, et seulement si, $x\neq 5\ $ et $\ x\neq -2$
$-\ $ Simplification de $h(x)$
Dans l'expression de $h(x)$, en remplaçant $f(x)$ par sa forme factorisée, on obtient :
$\begin{array}{rcl} h(x)&=&\dfrac{f(x)}{(x-5)(x+2)}\\\\&=&\dfrac{(x-5)(-x-1)}{(x-5)(x+2)}\\\\&=&\dfrac{(-x-1)}{(x+2)}\end{array}$
D'où, $\boxed{h(x)=\dfrac{-x-1}{x+2}}$
b) Calculons la valeur numérique de $h(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.
Pour cela, on remplace $x$ par $\sqrt{3}$, dans l'expression simplifiée de $h(x)$ puis, on calcule.
On obtient alors,
$\begin{array}{rcl} h(\sqrt{3})&=&\dfrac{-\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+2}\\\\&=&\dfrac{(-\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}\\\\&=&\dfrac{-3+2\sqrt{3}-\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3})^{2}-(2)^{2}}\\\\&=&\dfrac{-1+\sqrt{3}}{3-4}\\\\&=&\dfrac{-1+\sqrt{3}}{-1}\\\\&=&1-\sqrt{3}\end{array}$
D'où, $\boxed{h(\sqrt{3})=1-\sqrt{3}}$
c) Donnons un encadrement de $h(\sqrt{3})$ à $10^{-1}$ sachant que : $1.71<\sqrt{3}<1.72$
Soit : $1.71<\sqrt{3}<1.72$
Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par $-1$ en changeant le sens des inégalités.
On obtient : $$-1.72<-\sqrt{3}<-1.71$$
En ajoutant $1$ à chaque membre de cette inégalité, on trouve : $1-1.72<1-\sqrt{3}<1-1.71$
Ce qui donne alors, $$-0.72<1-\sqrt{3}<-0.71$$
D'où, un encadrement de $h(\sqrt{3})$ à $10^{-1}$ est donné par :
$$\boxed{-0.8<h(\sqrt{3})<-0.7}$$
4) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $|h(x)|=2$
D'après le résultat de la question $3)a)$, on a : $h(x)=\dfrac{-x-1}{x+2}.$
Donc, $|h(x)|=2$ si, et seulement si, $\left|\dfrac{-x-1}{x+2}\right|=2$
Alors,
$\begin{array}{rcl} \left|\dfrac{-x-1}{x+2}\right|=2&\Leftrightarrow&\dfrac{-x-1}{x+2}=2\ \text{ ou }\ \dfrac{-x-1}{x+2}=-2\\\\&\Leftrightarrow&-x-1=2\times(x+2)\ \text{ ou }\ -x-1=-2\times(x+2)\\\\&\Leftrightarrow&-x-1=2x+4\ \text{ ou }\ -x-1=-2x-4\\\\&\Leftrightarrow&-x-2x=4-1\ \text{ ou }\ -x+2x=-4+1\\\\&\Leftrightarrow&-3x=3\ \text{ ou }\ x=-3\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{3}{-3}\ \text{ ou }\ x=-3\\\\&\Leftrightarrow&x=-1\ \text{ ou }\ x=-3\end{array}$
Donc, $\left|\dfrac{-x-1}{x+2}\right|=2$ si, et seulement si, $x=-1\ $ ou $\ x=-3.$
D'où, l'équation $|h(x)|=2$ a pour solution : $$S=\left\lbrace -1\;;\ -3\right\rbrace$$
5) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $h(x)\geq 0$
Soit : $h(x)=\dfrac{-x-1}{x+2}.$
$h(x)\geq 0$ si, et seulement si, $\dfrac{-x-1}{x+2}\geq 0.$
Déterminons alors le signe du numérateur et du dénominateur de $\dfrac{-x-1}{x+2}.$
On a : $-x-1=0$ si, et seulement si, $x=-1$
Comme le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-x-1)$ est positif pour tout $x<-1$ et négatif pour $x>-1.$
Aussi, $x+2=0$ si, et seulement si, $x=-2$
Donc, $(x+2)$ est positif pour tout $x>-2$ et négatif pour $x<-2$
Par suite, en regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&-2&&-1&&+\infty\\\hline -x-1&&+&|&+&0&-&\\\hline x+2& &-&0&+&|&+&\\\hline \dfrac{-x-1}{x+2}&&-&||&\boxed{+}&0&-&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $\dfrac{-x-1}{x+2}$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-2\;;\ -1\right].$
Par conséquent, l'inéquation $h(x)\geq 0$ a pour solution :$$S=\left]-2\;;\ -1\right]$$
Exercice 11
On donne les expressions suivantes :
$$f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\ \text{ et }\ g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$$
1) Développons, réduisons et ordonnons $f(x)\ $ et $\ g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x.$
Soit : $f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$
Alors, en développant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\\\\&=&(3x)^{2}-2\times 5\times 3x+(5)^{2}-[(2x)^{2}-2\times 1\times 2x+(1)^{2}]\\\\&=&9x^{2}-30x+25-(4x^{2}-4x+1)\\\\&=&9x^{2}-30x+25-4x^{2}+4x-1\\\\&=&9x^{2}-4x^{2}+4x-30x+25-1\\\\&=&5x^{2}-26x+24\end{array}$
D'où, $\boxed{f(x)=5x^{2}-26x+24}$
Soit : $g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$
Alors, en développant, on obtient :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&x^{2}+(2x+1)(5-x)-25\\\\&=&x^{2}+10x-2x^{2}+5-x-25\\\\&=&x^{2}-2x^{2}+10x-x+5-25\\\\&=&-x^{2}+9x-20\end{array}$
D'où, $\boxed{g(x)=-x^{2}+9x-20}$
2) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x).$
Soit : $f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$
Alors, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on obtient :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\\\\&=&[(3x-5)-(2x-1)][(3x-5)+(2x-1)]\\\\&=&(3x-5-2x+1)(3x-5+2x-1)\\\\&=&(x-4)(5x-6)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{f(x)=(x-4)(5x-6)}$
Soit : $g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$
Alors, $g(x)$ peut encore s'écrire : $g(x)=x^{2}-25+(2x+1)(5-x)$
Or, $x^{2}-25=x^{2}-5^{2}=(x-5)(x+5)$
Donc, dans l'expression de $g(x)$, en remplaçant $x^{2}-25$ par $(x-5)(x+5)$, on obtient :
$$g(x)=(x-5)(x+5)+(2x+1)(5-x)=-(5-x)(x+5)+(2x+1)(5-x)$$
En prenant $(5-x)$ comme facteur commun, on trouve :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&-(5-x)(x+5)+(2x+1)(5-x)\\\\&=&[5-x][-(x+5)+(2x+1)]\\\\&=&(5-x)(-x-5+2x+1)\\\\&=&(5-x)(x-4)\end{array}$
D'où, $\boxed{g(x)=(5-x)(x-4)}$
3) Résolvons dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
a) $f(x)=g(x)$
On a : $f(x)=g(x)$ si, et seulement si, $f(x)-g(x)=0$
Donc, en considérant les formes factorisées de $f(x)\ $ et $\ g(x)$, nous allons résoudre l'équation $f(x)-g(x)=0.$
On a :
$\begin{array}{rcl} f(x)-g(x)=0&\Leftrightarrow&(x-4)(5x-6)-(5-x)(x-4)=0\\\\&\Leftrightarrow&[x-4][(5x-6)-(5-x)]=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-4)(5x-6-5+x)=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-4)(6x-11)=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-4)=0\ \text{ ou }\ (6x-11)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=4\ \text{ ou }\ 6x=11\\\\&\Leftrightarrow&x=4\ \text{ ou }\ x=\dfrac{11}{6}\end{array}$
Donc, $f(x)-g(x)=0$ si, et seulement si, $x=4\ $ ou $\ x=\dfrac{11}{6}.$
D'où, l'équation $f(x)=g(x)$ a pour solution :
$$S=\left\lbrace\dfrac{11}{6}\;;\ 4\right\rbrace$$
b) $f(x)=24$
On a : $f(x)=24$ si, et seulement si, $f(x)-24=0$
Considérons alors la forme développée de $f(x)$ et résolvons l'équation $f(x)-24=0.$
On a :
$\begin{array}{rcl} f(x)-24=0&\Leftrightarrow&5x^{2}-25x+24-24=0\\\\&\Leftrightarrow&5x^{2}-25x=0\\\\&\Leftrightarrow&x(5x-25)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ (5x-25)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ 5x=25\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ x=\dfrac{25}{5}\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ x=5\end{array}$
Alors, $f(x)-24=0$ si, et seulement si, $x=0\ $ ou $\ x=5.$
Donc, l'équation $f(x)=24$ a pour solution :
$$S=\left\lbrace 0\;;\ 5\right\rbrace$$
4) On pose : $q(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$
a) Déterminons les valeurs de $x$ pour lesquelles le quotient est défini
En effet, le quotient est défini si, et seulement si, son dénominateur $g(x)$ est différent de zéro.
Alors, en considérant la forme factorisée de $g(x)$, on obtient :
$g(x)\neq 0$ si, et seulement si, $(5-x)(x-4)\neq 0.$
Or, $(5-x)(x-4)$ est un produit de facteurs.
Donc, $(5-x)(x-4)\neq 0$ si, et seulement si, chaque facteur est différent de zéro.
C'est-à-dire ; $5-x\neq 0\ $ et $\ x-4\neq 0$
Ce qui donne : $x\neq 5\ $ et $\ x\neq 4$
Ainsi, le quotient est défini pour tout $x$ différent de $4\ $ et $\ 5.$
b) Simplifions $q(x)$ quand ce quotient existe.
En utilisant les formes factorisées de $f(x)\ $ et $\ g(x)$, on a :
$$q(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(x-4)(5x-6)}{(5-x)(x-4)}$$
En simplifiant par $(x-4)$, on obtient : $q(x)=\dfrac{(5x-6)}{(5-x)}$
D'où, $\boxed{q(x)=\dfrac{5x-6}{5-x}}$
c) Calculons $q(\sqrt{3}).$ On mettra ce nombre sous la forme $a+b\sqrt{3}.$
Dans l'expression simplifiée de $q(x)$, remplaçons $x$ par $\sqrt{3}$ puis, calculons.
On a :
$\begin{array}{rcl} q(\sqrt{3})&=&\dfrac{5\sqrt{3}-6}{5-\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(5\sqrt{3}-6)(5+\sqrt{3})}{(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{25\sqrt{3}+15-30-6\sqrt{3}}{(5)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{19\sqrt{3}-15}{25-3}\\\\&=&\dfrac{19\sqrt{3}-15}{22}\\\\&=&\dfrac{19}{22}\sqrt{3}-\dfrac{15}{22}\end{array}$
D'où, $\boxed{q(\sqrt{3})=-\dfrac{15}{22}+\dfrac{19}{22}\sqrt{3}}$
d) Résolvons dans $\mathbb{R}\;,\ |q(x)|=2$
En utilisant l'expression simplifiée de $q(x)$, on a : $|q(x)|=2$ si, et seulement si, $\left|\dfrac{5x-6}{5-x}\right|=2$
Alors, en résolvant cette équation, on trouve :
$\begin{array}{rcl} \left|\dfrac{5x-6}{5-x}\right|=2&\Leftrightarrow&\dfrac{5x-6}{5-x}=2\ \text{ ou }\ \dfrac{5x-6}{5-x}=-2\\\\&\Leftrightarrow&5x-6=2\times(5-x)\ \text{ ou }\ 5x-6=-2\times(5-x)\\\\&\Leftrightarrow&5x-6=10-2x\ \text{ ou }\ 5x-6=-10+2x\\\\&\Leftrightarrow&5x+2x=10+6\ \text{ ou }\ 5x-2x=-10+6\\\\&\Leftrightarrow&7x=16\ \text{ ou }\ 3x=-4\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{16}{7}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-4}{3}\end{array}$
Donc, $\left|\dfrac{5x-6}{5-x}\right|=2$ si, et seulement si, $x=-\dfrac{4}{3}\ $ ou $\ x=\dfrac{16}{7}.$
D'où, l'équation $|q(x)|=2$ a pour solution : $$S=\left\lbrace -\dfrac{4}{3}\;;\ \dfrac{16}{7}\right\rbrace$$
Exercice 12
On donne : $A(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{1}{2}\ $ et $\ B(x)=4(x-1)^{2}-2A(x)$
1) Calculons $2A(x)$ puis, en déduisons une factorisation de $A(x)$
$-\ $ Calcul de $2A(x)$
En multipliant $A(x)$ par le nombre $2$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} 2\times A(x)&=&2\times\left(\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{1}{2}\right)\\\\&=&2\times\dfrac{1}{2}x^{2}+2\times x+2\times\dfrac{1}{2}\\\\&=&x^{2}+2x+1\end{array}$
Ainsi, $\boxed{2A(x)=x^{2}+2x+1}$
$-\ $ Factorisation de $A(x)$
En observant l'expression de $2A(x)$, on reconnait une forme développée d'une identité remarquable.
Alors, en utilisant la forme factorisée, on obtient :
$2A(x)=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$
Par suite, $A(x)=\dfrac{(x+1)^{2}}{2}$
D'où, $\boxed{A(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^{2}}$
2) Développons réduisons et ordonnons $B(x)$
Soit : $B(x)=4(x-1)^{2}-2A(x)$
Alors, en remplaçant $2A(x)$ par son expression, on trouve :
$B(x)=4(x-1)^{2}-(x^{2}+2x+1)$
En développant cette expression de $B(x)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} B(x)&=&4(x-1)^{2}-(x^{2}+2x+1)\\\\&=&4(x^{2}-2x+1)-x^{2}-2x-1\\\\&=&4x^{2}-8x+4-x^{2}-2x-1\\\\&=&4x^{2}-x^{2}-8x-2x+4-1\\\\&=&3x^{2}-10x+3\end{array}$
Ainsi, $\boxed{B(x)=3x^{2}-10x+3}$
3) On considère la fraction rationnelle $Q(x)=\dfrac{(3x-1)(x-3)}{(x+1)(2x-6)}$
a) Déterminons la condition d'existence de $Q(x)$
$Q(x)$ existe si, et seulement si, $(x+1)(2x-6)\neq 0$
Or, $(x+1)(2x-6)$ est un produit de facteurs.
Donc, $(x+1)(2x-6)\neq 0$ si, et seulement si, chaque facteur est différent de zéro.
C'est-à-dire ; $x+1\neq 0\ $ et $\ 2x-6\neq 0$
Ce qui donne : $x\neq -1\ $ et $\ x\neq\dfrac{6}{2}=3$
Par conséquent, $Q(x)$ existe lorsque $x$ est différent de $-1\ $ et $\ 3.$
b) Simplifions $Q(x)$
On a : $Q(x)=\dfrac{(3x-1)(x-3)}{(x+1)(2x-6)}=\dfrac{(3x-1)(x-3)}{2(x+1)(x-3)}$
Donc, en simplifiant par $(x-3)$, on obtient : $Q(x)=\dfrac{(3x-1)}{2(x+1)}$
D'où, $\boxed{Q(x)=\dfrac{3x-1}{2x+2}}$
4) Résolvons dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
a) $A(x)=\dfrac{1}{2}$
Soit : $A(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{1}{2}.$
Alors, on a :
$\begin{array}{rcl} A(x)=\dfrac{1}{2}&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}x^{2}+x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}x^{2}+x=0\\\\&\Leftrightarrow&x\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ \dfrac{1}{2}x+1=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ \dfrac{1}{2}x=-1\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ x=-2\end{array}$
D'où, l'équation $A(x)=\dfrac{1}{2}$ a pour solution : $$S=\left\lbrace -2\;;\ 0\right\rbrace$$
b) $Q(x)=1$
Soit : $Q(x)=\dfrac{3x-1}{2x+2}.$
Alors, en résolvant l'équation $Q(x)=1$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} Q(x)=1&\Leftrightarrow&\dfrac{3x-1}{2x+2}=1\\\\&\Leftrightarrow&3x-1=2x+2\\\\&\Leftrightarrow&3x-2x=2+1\\\\&\Leftrightarrow&x=3\end{array}$
Donc, $Q(x)=1$ si, et seulement si, $x=3.$
Mais, on sait que si, $x=3$ alors, $Q(x)$ n'existe pas.
Par conséquent, l'équation $Q(x)=1$ n'admet pas de solutions.
D'où,
$$S=\emptyset$$
c) $\dfrac{3x-1}{2x+2}=0$
On sait qu'une fraction rationnelle est nulle si, et seulement si, son numérateur est nul.
Donc,
$\begin{array}{rcl} \dfrac{3x-1}{2x+2}=0&\Leftrightarrow&3x-1=0\\\\&\Leftrightarrow&3x=1\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{1}{3}\end{array}$
Ainsi, l'équation $\dfrac{3x-1}{2x+2}=0$ a pour solution : $$S=\left\lbrace \dfrac{1}{3}\right\rbrace$$
Exercice 13
On considère les expressions suivantes : $A(x)=(2x-1)^{2}-2x+1\ $ et $\ B(x)=4x^{2}-1-(2x-1)(-x+5)$
1) Développons, réduisons et ordonnons $A(x)\ $ et $\ B(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$
On a :
$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(2x-1)^{2}-2x+1\\\\&=&(2x)^{2}-2\times 1\times(2x)+1^{2}-2x+1\\\\&=&4x^{2}-4x+1-2x+1\\\\&=&4x^{2}-6x+2\end{array}$
Donc, $\boxed{A(x)=4x^{2}-6x+2}$
Soit :
$\begin{array}{rcl} B(x)&=&4x^{2}-1-(2x-1)(-x+5)\\\\&=&4x^{2}-1-(-2x^{2}+10x+x-5)\\\\&=&4x^{2}-1+2x^{2}-10x-x+5\\\\&=&6x^{2}-11x+4\end{array}$
Alors, $\boxed{B(x)=6x^{2}-11x+4}$
2) Factoriser $A(x)\ $ et $\ B(x)$
Soit : $A(x)=(2x-1)^{2}-2x+1=(2x-1)^{2}-(2x-1)$
Donc, en prenant $(2x-1)$ comme facteur commun, on obtient :
$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(2x-1)^{2}-(2x-1)\\\\&=&[2x-1][(2x-1)-1]\\\\&=&(2x-1)(2x-1-1)\\\\&=&(2x-1)(2x-2)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{A(x)=(2x-1)(2x-2)}$
Soit :
$\begin{array}{rcl} B(x)&=&4x^{2}-1-(2x-1)(-x+5)\\\\&=&(2x)^{2}-1^{2}-(2x-1)(-x+5)\\\\&=&(2x-1)(2x+1)-(2x-1)(-x+5)\end{array}$
Donc, $B(x)=(2x-1)(2x+1)-(2x-1)(-x+5)$
Alors, en prenant $(2x-1)$ comme facteur commun, on obtient :
$\begin{array}{rcl} B(x)&=&(2x-1)(2x+1)-(2x-1)(-x+5)\\\\&=&[2x-1][(2x+1)-(-x+5)]\\\\&=&(2x-1)(2x+1+x-5)\\\\&=&(2x-1)(3x-4)\end{array}$
D'où, $\boxed{B(x)=(2x-1)(3x-4)}$
3) On pose : $E(x)=\dfrac{(4x-2)(x-1)}{(2x-1)(3x-4)}$
a) Déterminons les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x)$ existe.
$E(x)$ existe si, et seulement si, $(2x-1)(3x-4)\neq 0.$
Donc, $(2x-1)\neq 0\ $ et $\ (3x-4)\neq 0.$
C'est-à-dire ; $2x\neq 1\ $ et $\ 3x\neq 4.$
Ce qui donne alors : $x\neq\dfrac{1}{2}\ $ et $\ x\neq\dfrac{4}{3}.$
Ainsi, les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x)$ existe sont : $\dfrac{1}{2}\ $ et $\ \dfrac{4}{3}.$
b) Simplifions $E(x)$
On a : $E(x)=\dfrac{(4x-2)(x-1)}{(2x-1)(3x-4)}=\dfrac{2(2x-1)(x-1)}{(2x-1)(3x-4)}$
Alors, en simplifiant par $(2x-1)$, on obtient : $E(x)=\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}.$
D'où, $\boxed{E(x)=\dfrac{2x-2}{3x-4}}$
4) Soit : $H(x)=\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}$
a) Calculons $H(1-\sqrt{2})$ (On rendra rationnel le dénominateur).
Pour cela, on remplace $x$ par $(1-\sqrt{2})$, dans l'expression de $H(x)$ puis, on calcule.
On a :
$\begin{array}{rcl} H(1-\sqrt{2})&=&\dfrac{2(1-\sqrt{2}-1)}{3(1-\sqrt{2})-4}\\\\&=&\dfrac{-2\sqrt{2}}{3-3\sqrt{2}-4}\\\\&=&\dfrac{-2\sqrt{2}}{-3\sqrt{2}-1}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+1}\end{array}$
Donc, $H(1-\sqrt{2})=\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+1}$
Alors, en rendant rationnel le dénominateur, on trouve :
$\begin{array}{rcl} H(1-\sqrt{2})&=&\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+1}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{2}\times(3\sqrt{2}-1)}{(3\sqrt{2}+1)(3\sqrt{2}-1)}\\\\&=&\dfrac{12-2\sqrt{2}}{(3\sqrt{2})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&\dfrac{12-2\sqrt{2}}{18-1}\\\\&=&\dfrac{12-2\sqrt{2}}{17}\end{array}$
D'où, $\boxed{H(1-\sqrt{2})=\dfrac{12-2\sqrt{2}}{17}}$
b) Donnons un encadrement de $H(1-\sqrt{2})$ à $10^{-2}$ près sachant que $1.414<\sqrt{2}<1.415.$
Soit : $H(1-\sqrt{2})=\dfrac{12-2\sqrt{2}}{17}.$
Multiplions chaque membre de l'encadrement de $\sqrt{2}$ par le même nombre $-2$ en changeant le sens des inégalités.
On trouve alors : $-2\times 1.415<-2\sqrt{2}<-2\times 1.414$
Ce qui donne :
$$-2.830<-2\sqrt{2}<-2.828$$
Ajoutons ensuite $12$ à chaque membre de cette inégalité.
On obtient : $12-2.830<12-2\sqrt{2}<12-2.828$
C'est-à-dire ;
$$9.17<12-2\sqrt{2}<9.172$$
Divisons enfin chaque membre de cette inégalité par le même nombre $17.$
On trouve : $\dfrac{9.17}{17}<\dfrac{12-2\sqrt{2}}{17}<\dfrac{9.172}{17}$
Ce qui donne :
$$0.5394<\dfrac{12-2\sqrt{2}}{17}<0.5395$$
D'où, un encadrement de $H(1-\sqrt{2})$ à $10^{-2}$ près est donné par :
$$\boxed{0.53<H(1-\sqrt{2})<0.54}$$
5) Résolvons dans $\mathbb{R}\ :\ |H(x)|=\dfrac{2}{3}\;;\ H(x)\geq 0$
On a : $H(x)=\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}$
$\begin{array}{rcl} |H(x)|=\dfrac{2}{3}&\Leftrightarrow&\left|\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}\right|=\dfrac{2}{3}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}=\dfrac{2}{3}\ \text{ ou }\ \dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}=-\dfrac{2}{3}\\\\&\Leftrightarrow&3\times 2(x-1)=2(3x-4)\ \text{ ou }\ 3\times 2(x-1)=-2(3x-4)\\\\&\Leftrightarrow&6x-6=6x-8\ \text{ ou }\ 6x-6=-6x+8\\\\&\Leftrightarrow&6x-6x=-8+6\ \text{ ou }\ 6x+6x=8+6\\\\&\Leftrightarrow&\underbrace{0x=-2}_{\text{impossible}}\ \text{ ou }\ 12x=14\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{14}{12}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{7}{6}\end{array}$
D'où, l'équation $|H(x)|=\dfrac{2}{3}$ a pour solution : $$S=\left\lbrace\dfrac{7}{6}\right\rbrace$$
Soit à résoudre l'inéquation $H(x)\geq 0.$
On a : $H(x)=0$ si, et seulement si, $\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}=0$
Ce qui signifie : $2(x-1)=0$
Or, $2\neq 0$ donc, $2(x-1)=0$ si, et seulement si, $x-1=0$
C'est-à-dire ; $x=1$
De plus, $(3x-4)\neq 0$ si, et seulement si, $x\neq\dfrac{4}{3}$
Alors,
$2(x-1)$ est positif pour tout $x>1$ et négatif pour $x<1$
$(3x-4)$ est positif pour tout $x>\dfrac{4}{3}$ et négatif pour $x<\dfrac{4}{3}$
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&1&&4/3&&+\infty\\\hline 2(x-1)&&-&0&+&|&+&\\\hline 3x-4& &-&|&-&0&+&\\\hline \dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}&&\boxed{+}&0&-&||&\boxed{+}&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ 1\right]\cup\left]\dfrac{4}{3}\;;\ +\infty\right[.$
Par conséquent, l'inéquation $H(x)\geq 0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ 1\right]\cup\left]\dfrac{4}{3}\;;\ +\infty\right[$$
Exercice 14
On donne les expressions suivantes :
$$f(x)=(2x-7)(3-4x)+(4x-14)(3x-2)\ \text{ et }\ g(x)=9(-x+1)^{2}-(x+4)^{2}$$
1) Développons, réduisons et ordonnons $g(x)$
En utilisant la forme développée des identités remarquables, on a :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&9(-x+1)^{2}-(x+4)^{2}\\\\&=&9((-x)^{2}+2\times 1\times(-x)+1^{2})-(x^{2}+2\times 4\times x+4^{2})\\\\&=&9(x^{2}-2x+1)-(x^{2}+8x+16)\\\\&=&9x^{2}-18x+9-x^{2}-8x-16\\\\&=&9x^{2}-x^{2}-18x-8x+9-16\\\\&=&8x^{2}-26x-7\end{array}$
D'où, $\boxed{f(x)=8x^{2}-26x-7}$
2) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x)$
Soit : $f(x)=(2x-7)(3-4x)+(4x-14)(3x-2)=(2x-7)(3-4x)+2(2x-7)(3x-2)$
On reconnait alors un facteur commun ; $(2x-7).$
Donc, en factorisant par $(2x-7)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x-7)(3-4x)+2(2x-7)(3x-2)\\\\&=&[2x-7][(3-4x)+2(3x-2)]\\\\&=&(2x-7)(3-4x+6x-4)\\\\&=&(2x-7)(2x-1)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{f(x)=(2x-7)(2x-1)}$
Soit : $g(x)=9(-x+1)^{2}-(x+4)^{2}=(3(-x+1))^{2}-(x+4)^{2}.$
Alors, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on obtient :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(3(-x+1))^{2}-(x+4)^{2}\\\\&=&[3(-x+1)-(x+4)][(3(-x+1)+(x+4)]\\\\&=&(-3x+3-x-4)(-3x+3+x+4)\\\\&=&(-4x-1)(-2x+7)\end{array}$
D'où, $\boxed{g(x)=(-4x-1)(-2x+7)}$
3) On pose : $H(x)=\dfrac{(2x-7)(2x-1)}{(-4x-1)(-2x+7)}$
a) Donnons la condition d'existence de $H(x)$
$H(x)$ existe si, et seulement si, $(-4x-1)(-2x+7)\neq 0.$
On a : $(-4x-1)(-2x+7)\neq 0$ si, et seulement si, $(-4x-1)\neq 0\ $ et $\ (-2x+7)\neq 0.$
C'est-à-dire ; $-4x\neq 1\ $ et $\ -2x\neq -7.$
Ce qui donne : $x\neq -\dfrac{1}{4}\ $ et $\ x\neq\dfrac{7}{2}.$
Ainsi, $H(x)$ existe pour tout $x$ différent de $-\dfrac{1}{4}\ $ et $\ \dfrac{7}{2}.$
b) Simplifions $H(x)$
On a : $H(x)=\dfrac{(2x-7)(2x-1)}{(-4x-1)(-2x+7)}=\dfrac{(2x-7)(2x-1)}{-(-4x-1)(2x-7)}$
Alors, en simplifiant par $(2x-7)$, on trouve : $H(x)=\dfrac{(2x-1)}{-(-4x-1)}$
D'où, $\boxed{H(x)=\dfrac{2x-1}{4x+1}}$
4) Résolvons dans $\mathbb{R}$ : $-9x^{2}+25=0\;;\ |H(x)|=\dfrac{13}{6}\ $ et $\ (-4x-1)(-2x+7)<0$
On a :
$\begin{array}{rcl} -9x^{2}+25=0&\Leftrightarrow&25-9x^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&5^{2}-(3x)^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&(5-3x)(5+3x)=0\\\\&\Leftrightarrow&(5-3x)=0\ \text{ ou }\ (5+3x)=0\\\\&\Leftrightarrow&-3x=-5\ \text{ ou }\ 3x=-5\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-5}{-3}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-5}{3}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{5}{3}\ \text{ ou }\ x=-\dfrac{5}{3}\end{array}$
Donc, l'équation $-9x^{2}+25=0$ a pour solution :
$$S=\left\lbrace -\dfrac{5}{3}\;;\ \dfrac{5}{3}\right\rbrace$$
En considérant la forme simplifiée de $H(x)$, on a : $|H(x)|=\dfrac{13}{6}$ si, et seulement si, $\left|\dfrac{2x-1}{4x+1}\right|=\dfrac{13}{6}.$
Alors, en utilisant les propriétés de la valeur absolue, on obtient :
$\begin{array}{rcl} \left|\dfrac{2x-1}{4x+1}\right|=\dfrac{13}{6}&\Leftrightarrow&\dfrac{2x-1}{4x+1}=\dfrac{13}{6}\ \text{ ou }\ \dfrac{2x-1}{4x+1}=-\dfrac{13}{6}\\\\&\Leftrightarrow&6(2x-1)=13(4x+1)\ \text{ ou }\ 6(2x-1)=-13(4x+1)\\\\&\Leftrightarrow&12x-6=52x+13\ \text{ ou }\ 12x-6=-52x-13\\\\&\Leftrightarrow&12x-52x=13+6\ \text{ ou }\ 12x+52x=-13+6\\\\&\Leftrightarrow&-40x=19\ \text{ ou }\ 64x=-7\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{19}{-40}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-7}{64}\end{array}$
D'où, l'équation $|H(x)|=\dfrac{13}{6}$ a pour solution : $$S=\left\lbrace -\dfrac{19}{40}\;;\ -\dfrac{7}{64}\right\rbrace$$
Soit à résoudre l'inéquation $(-4x-1)(-2x+7)<0.$
On a : $(-4x-1)(-2x+7)=0$ si, et seulement si, $(-4x-1)=0\ $ ou $\ (-2x+7)=0.$
Ce qui donne : $x=-\dfrac{1}{4}\ $ ou $\ x=\dfrac{7}{2}.$
On constate, dans les expressions $(-4x-1)\ $ et $\ (-2x+7)$, que les coefficients associé à $x$ sont négatifs.
Donc,
$(-4x-1)$ est positif pour tout $x<-\dfrac{1}{4}$ et négatif pour $x>-\dfrac{1}{4}$
$(-2x+7)$ est positif pour tout $x<\dfrac{7}{2}$ et négatif pour $x>\dfrac{7}{2}$
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&-1/4&&7/2&&+\infty\\\hline -4x-1&&+&0&-&|&-&\\\hline -2x+7& &+&|&+&0&-&\\\hline (-4x-1)(-2x+7)&&+&0&\boxed{-}&0&+&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(-4x-1)(-2x+7)$ est strictement inférieure à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{4}\;;\ \dfrac{7}{2}\right[.$
D'où, l'inéquation $(-4x-1)(-2x+7)<0$ a pour solution :$$S=\left]-\dfrac{1}{4}\;;\ \dfrac{7}{2}\right[$$
Exercice 15
1) Factorisons $A(x)=9x^{2}-(x-1)^{2}\ $ et $\ B(x)=x^{2}-3+5x-5\sqrt{3}$
On a :
$\begin{array}{rcl} A(x)&=&9x^{2}-(x-1)^{2}\\\\&=&(3x)^{2}-(x-1)^{2}\\\\&=&[3x-(x-1)][3x+(x-1)]\\\\&=&(3x-x+1)(3x+x-1)\\\\&=&(2x+1)(4x-1)\end{array}$
Ainsi, $\boxed{A(x)=(2x+1)(4x-1)}$
$B(x)$ peut encore s'écrire :
$$B(x)=x^{2}-(\sqrt{3})^{2}+5x-5\sqrt{3}$$
Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on obtient :
$$B(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+5(x-\sqrt{3})$$
En prenant $(x-\sqrt{3})$ comme facteur commun, on trouve :
$\begin{array}{rcl} B(x)&=&(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+5(x-\sqrt{3})\\\\&=&(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)\end{array}$
D'où, $\boxed{B(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)}$
2) Résolvons dans $\mathbb{R}$ puis, dans $\mathbb{D}\ :$
$9x^{2}-(x-1)^{2}=(x-7)(2x+1)\;;\ \dfrac{x-1}{3x+7}=1\ $ et $\ B(x)=0$
En effet, on remarque que $9x^{2}-(x-1)^{2}=A(x).$
Donc, en utilisant la forme factorisée de $A(x)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} 9x^{2}-(x-1)^{2}=(x-7)(2x+1)&\Leftrightarrow&(2x+1)(4x-1)=(x-7)(2x+1)\\\\&\Leftrightarrow&(2x+1)(4x-1)-(x-7)(2x+1)=0\\\\&\Leftrightarrow&[2x+1][(4x-1)-(x-7)]=0\\\\&\Leftrightarrow&(2x+1)(4x-1-x+7)=0\\\\&\Leftrightarrow&(2x+1)(3x+6)=0\\\\&\Leftrightarrow&(2x+1)=0\ \text{ ou }\ (3x+6)=0\\\\&\Leftrightarrow&2x=-1\ \text{ ou }\ 3x=-6\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-1}{2}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-6}{3}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-1}{2}\ \text{ ou }\ x=-2\end{array}$
Donc, $9x^{2}-(x-1)^{2}=(x-7)(2x+1)$ si, et seulement si, $x=\dfrac{-1}{2}$ ou $x=-2.$
Comme $\dfrac{-1}{2}\ $ et $\ -2$ appartiennent à $\mathbb{R}$ alors, l'équation $9x^{2}-(x-1)^{2}=(x-7)(2x+1)$ a pour solution dans $\mathbb{R}\ :$
$$S=\left\lbrace \dfrac{-1}{2}\;;\ -2\right\rbrace$$
De même, on sait que $\dfrac{-1}{2}=-0.5\ $ et $\ -2$ sont des éléments de $\mathbb{D}.$
Par conséquent, l'équation $9x^{2}-(x-1)^{2}=(x-7)(2x+1)$ a pour solution dans $\mathbb{D}\ :$
$$S=\left\lbrace \dfrac{-1}{2}\;;\ -2\right\rbrace$$
Soit à résoudre l'équation $\dfrac{x-1}{3x+7}=1.$
En effet, une fraction rationnelle est égale à $1$ si, et seulement si, son numérateur est égal à son dénominateur.
Donc, $\dfrac{x-1}{3x+7}=1$ si, et seulement si, $x-1=3x+7.$
Résolvons alors, l'équation $x-1=3x+7.$
On a :
$\begin{array}{rcl} x-1=3x+7&\Leftrightarrow&x-3x=7-1\\\\&\Leftrightarrow&-2x=6\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{6}{-2}\\\\&\Leftrightarrow&x=-3\end{array}$
Donc, $\dfrac{x-1}{3x+7}=1$ si, et seulement si, $x=-3.$
Or, $-3$ appartient à $\mathbb{R}$ et à $\mathbb{D}.$
Par conséquent, l'équation $\dfrac{x-1}{3x+7}=1$ a pour solution dans $\mathbb{R}$ et dans $\mathbb{D}\ :$
$$S=\left\lbrace -3\right\rbrace$$
Soit à résoudre $B(x)=0.$
Considérons la forme factorisée de $B(x).$
Alors, on a : $B(x)=0$ si, et seulement si, $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)=0.$
C'est-à-dire ; $(x-\sqrt{3})=0\ $ ou $\ (x+\sqrt{3}+5)=0$
Ce qui donne : $x=\sqrt{3}\ $ ou $\ x=-\sqrt{3}-5$
Comme $\sqrt{3}\ $ et $\ -\sqrt{3}-5$ appartiennent à $\mathbb{R}$ alors, l'équation $B(x)=0$ a pour solution dans $\mathbb{R}\ :$
$$S=\left\lbrace -\sqrt{3}-5\;;\ \sqrt{3}\right\rbrace$$
Par ailleurs, on sait que $\sqrt{3}\ $ et $\ -\sqrt{3}-5$ ne sont pas des éléments de $\mathbb{D}.$
Par conséquent, l'équation $B(x)=0$ n'admet pas de solutions dans $\mathbb{D}.$
D'où,
$$S=\emptyset$$
3) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(2x+1)(x-2)\geq 0.$
On a : $(2x+1)(x-2)=0$ si, et seulement si, $(2x+1)=0\ $ ou $\ (x-2)=0$
Ce qui signifie que : $x=\dfrac{-1}{2}\ $ ou $\ x=2$
Donc,
$(2x+1)$ est positif pour tout $x>\dfrac{-1}{2}$ et négatif pour $x<\dfrac{-1}{2}$
$(x-2)$ est positif pour tout $x>2$ et négatif pour $x<2$
Alors, en regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&-1/2&&2&&+\infty\\\hline 2x+1&&-&0&+&|&+&\\\hline x-2& &-&|&-&0&+&\\\hline (2x+1)(x-2)&&\boxed{+}&0&-&0&\boxed{+}&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(2x+1)(x-2)$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{-1}{2}\right]\cup\left[-2\;;\ +\infty\right[.$
D'où, l'inéquation $(2x+1)(x-2)\geq 0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ \dfrac{-1}{2}\right]\cup\left[-2\;;\ +\infty\right[$$
En déduire la condition d'existence de $f(x)=\sqrt{(2x+1)(x-2)}$
En effet, on sait que $\sqrt{a}$ existe si, et seulement si, $a\geq 0.$
Donc, en appliquant cette propriété, on a : $\sqrt{(2x+1)(x-2)}$ existe si, et seulement si, $(2x+1)(x-2)\geq 0.$
Or, $(2x+1)(x-2)\geq 0$ si, et seulement si, $x\in\left]-\infty\;;\ \dfrac{-1}{2}\right]\cup\left[-2\;;\ +\infty\right[.$
Par conséquent, $f(x)=\sqrt{(2x+1)(x-2)}$ existe pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{-1}{2}\right]\cup\left[-2\;;\ +\infty\right[.$
4) Résolvons dans $\mathbb{R}\;,\ B(x)\leq 0$
En considérant la forme factorisée de $B(x)$, on a :
$B(x)\leq 0$ si, et seulement si, $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)\geq 0.$
D'après le résultat de la question $2)$, on a : $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)=0$ si, et seulement si, $x=\sqrt{3}\ $ ou $\ x=-\sqrt{3}-5$
Donc,
$(x-\sqrt{3})$ est positif pour tout $x>\sqrt{3}$ et négatif pour $x<\sqrt{3}$
$(x+\sqrt{3}+5)$ est positif pour tout $x>-\sqrt{3}-5$ et négatif pour $x<-\sqrt{3}-5$
Alors, en regroupant ces informations dans un tableau de signe, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&-\sqrt{3}-5&&\sqrt{3}&&+\infty\\\hline x-\sqrt{3}&&-&|&-&0&+&\\\hline x+\sqrt{3}+5& &-&0&+&|&+&\\\hline (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)&&+&0&\boxed{-}&0&+&\\\hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)$ est inférieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[-\sqrt{3}-5\;;\ \sqrt{3}\right].$
Par conséquent, l'inéquation $B(x)\leq 0$ a pour solution :$$S=\left[-\sqrt{3}-5\;;\ \sqrt{3}\right]$$
Exercice 16
On considère les expressions :
$$f(x)=(2x+1)^{2}\ \text{ et }\ g(x)=16x^{2}+16x-5$$
1) Développons, réduisons et ordonnons $4f(x).$
Pour cela, on développe d'abord $f(x)$ puis, on multiplie la forme développée par le nombre $4.$
Soit : $f(x)=(2x+1)^{2}$
Alors, en utilisant la forme développée des identités remarquables, on obtient :
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x+1)^{2}\\\\&=&(2x)^{2}+2\times 1\times 2x+1^{2}\\\\&=&4x^{2}+4x+1\end{array}$
Ainsi, $\boxed{f(x)=4x^{2}+4x+1}$
Par suite, en multipliant cette forme développée de $f(x)$ par le nombre $4$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} 4\times f(x)&=&4\times\left(4x^{2}+4x+1\right)\\\\&=&16x^{2}+16x+4\end{array}$
D'où, $\boxed{4f(x)=16x^{2}+16x+4}$
2) a) Déterminons le réel $c$ tel que $g(x)=4f(x)-c$
On sait que :
$\begin{array}{rcl} g(x)=4f(x)-c&\Leftrightarrow&g(x)-4f(x)=-c\\\\&\Leftrightarrow&-g(x)+4f(x)=c\end{array}$
Donc, $g(x)=4f(x)-c$ si, et seulement si, $c=4f(x)-g(x).$
Calculons alors $4f(x)-g(x).$
On a :
$\begin{array}{rcl} c&=&4f(x)-g(x)\\\\&=&16x^{2}+16x+4-(16x^{2}+16x-5)\\\\&=&16x^{2}+16x+4-16x^{2}-16x+5\\\\&=&16x^{2}-16x^{2}+16x-16x+4+5\\\\&=&9\end{array}$
Ainsi, $\boxed{c=9}$
b) En déduisons une factorisation de $g(x).$
Soit : $g(x)=4f(x)-c.$
Alors, en multipliant par $4$ la forme factorisée de $f(x)$ et remplaçant $c$ par sa valeur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} g(x)&=&4f(x)-c\\\\&=&4(2x+1)^{2}-9\\\\&=&[2(2x+1)]^{2}-3^{2}\\\\&=&[2(2x+1)-3][2(2x+1)+3]\\\\&=&(4x+2-3)(4x+2+3)\\\\&=&(4x-1)(4x+5)\end{array}$
D'où, $\boxed{g(x)=(4x-1)(4x+5)}$
3) On pose : $k(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{(1-x)(3x-4)}$
a) Déterminons la condition d'existence de $k(x).$
$k(x)$ existe si, et seulement si, $(1-x)(3x-4)\neq 0.$
Or, un produit de facteurs est différent de zéro si, et seulement si, chaque facteur est non nul.
Donc, $(1-x)(3x-4)\neq 0$ si, et seulement si, $(1-x)\neq 0\ $ et $\ (3x-4)\neq 0.$
C'est-à-dire ; $x\neq 1\ $ et $\ x\neq\dfrac{4}{3}.$
Ainsi, $k(x)$ existe pour tout $x$ différent de $1\ $ et $\ \dfrac{4}{3}.$
b) Simplifions $k(x).$
Soit : $k(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{(1-x)(3x-4)}=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{-(x-1)(3x-4)}$
Alors, en simplifiant par $(x-1)$, on obtient : $k(x)=\dfrac{(2x-1)}{-(3x-4)}$
D'où, $\boxed{k(x)=\dfrac{2x-1}{4-3x}}$
c) Résolvons dans $\mathbb{N}\;,\ -4x^{2}+36=0$
On a :
$\begin{array}{rcl} -4x^{2}+36=0&\Leftrightarrow&36-4x^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&6^{2}-(2x)^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&(6-2x)(6+2x)=0\\\\&=&6-2x=0\ \text{ ou }\ 6+2x=0\\\\&\Leftrightarrow&-2x=-6\ \text{ ou }\ 2x=-6\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-6}{-2}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-6}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=3\ \text{ ou }\ x=-3\end{array}$
Donc, $-4x^{2}+36=0$ si, et seulement si, $x=3\ $ ou $\ x=-3.$
Or, $3$ appartient à $\mathbb{N}$ mais $-3$ n'appartient pas à $\mathbb{N}.$
Par conséquent, l'équation $-4x^{2}+36=0$ a pour solution, dans $\mathbb{N}\ :$
$$S=\left\lbrace 3\right\rbrace$$
d) Résolvons dans $\mathbb{R}\ :\ |k(x)|=1\;,\ (3x-4)(1-x)(-x)<0$
En utilisant l'expression simplifiée de $k(x)$, on a : $|k(x)|=1$ si, et seulement si, $\left|\dfrac{2x-1}{4-3x}\right|=1$
Alors, en résolvant cette équation, on trouve :
$\begin{array}{rcl} \left|\dfrac{2x-1}{4-3x}\right|=1&\Leftrightarrow&\dfrac{2x-1}{4-3x}=1\ \text{ ou }\ \dfrac{2x-1}{4-3x}=-1\\\\&\Leftrightarrow&2x-1=4-3x\ \text{ ou }\ 2x-1=-(4-3x)\\\\&\Leftrightarrow&2x-1=4-3x\ \text{ ou }\ 2x-1=3x-4\\\\&\Leftrightarrow&2x+3x=4+1\ \text{ ou }\ 2x-3x=-4+1\\\\&\Leftrightarrow&5x=5\ \text{ ou }\ -x=-3\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{5}{5}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-3}{-1}\\\\&\Leftrightarrow&x=1\ \text{ ou }\ x=3\end{array}$
Donc, $\left|\dfrac{2x-1}{4-3x}\right|=1$ si, et seulement si, $x=1\ $ ou $\ x=3.$
Mais, on sait que si, $x=1$ alors, $k(x)$ n'existe pas.
Par conséquent, l'équation $|k(x)|=1$ a pour solution : $$S=\left\lbrace 3\right\rbrace$$
Soit à résoudre l'inéquation : $(3x-4)(1-x)(-x)<0$
On a : $(3x-4)(1-x)(-x)=0$ si, et seulement si, $(3x-4)=0\ $ ou $\ (1-x)=0\ $ ou $\ -x=0$
c'est-à-dire ; $x=\dfrac{4}{3}\ $ ou $\ x=1\ $ ou $\ x=0$
Alors,
$(3x-4)$ est positif pour tout $x>\dfrac{4}{3}$ et négatif pour $x<\dfrac{4}{3}$
$(1-x)$ est positif pour tout $x<1$ et négatif pour $x>1$
$(-x)$ est positif pour tout $x<0$ et négatif pour $x>0$
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclclcr|}\hline x&-\infty&&0&&1&&4/3&&+\infty\\\hline 3x-4&&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline 1-x& &+&|&+&0&-&|&-&\\\hline -x& &+&0&-&|&-&|&-&\\\hline(3x-4)(1-x)(-x)&&\boxed{-}&0&+&0&\boxed{-}&0&+&\\ \hline\end{array}$$
En observant le tableau, nous constatons que l'expression $(3x-4)(1-x)(-x)$ est strictement inférieure à zéro pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ 0\right[\cup\left]1\;;\ \dfrac{4}{3}\right[.$
Par conséquent, l'inéquation $(3x-4)(1-x)(-x)<0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ 0\right[\cup\left]1\;;\ \dfrac{4}{3}\right[$$
Exercice 17
On donne : $f(x)=ax^{2}-10x+1\ $ et $\ g(x)=(10x-2)(x+3).$
1) Déterminons le réel $a$ tel que $f(1)=16.$
Remplaçons d'abord $x$ par $1$ pour calculer $f(1).$
On a :
$\begin{array}{rcl} f(1)&=&a\times 1^{2}-10\times 1+1\\\\&=&a-10+1\\\\&=&a-9\end{array}$
Donc, $\boxed{f(1)=a-9}$
Puis, en résolvant l'équation $f(1)=16$, on trouve la valeur de $a.$
Soit :
$\begin{array}{rcl} f(1)=16&\Leftrightarrow&a-9=16\\\\&\Leftrightarrow&a=16+9\\\\&\Leftrightarrow&a=25\end{array}$
D'où, $\boxed{a=25}$
En déduisons une factorisation de $f(x).$
En effet, dans l'expression de $f(x)$, en remplaçant $a$ par sa valeur ; $25$, on obtient :
$$f(x)=25x^{2}-10x+1$$
Alors, factorisons en utilisant une forme factorisée des identités remarquables.
$\begin{array}{rcl} f(x)&=&25x^{2}-10x+1\\\\&=&(5x)^{2}-10x+1\\\\&=&(5x-1)^{2}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{(5x-1)^{2}}$
2) On pose : $P(x)=g(x)-f(x)$
a) Factorisons $P(x)$
En remplaçant $f(x)\ $ et $\ g(x)$ par leur forme factorisée, on a :
$$P(x)=(10x-2)(x+3)-(5x-1)^{2}=2(5x-1)(x+3)-(5x-1)^{2}$$
En prenant $(5x-1)$ comme facteur commun, on trouve :
$\begin{array}{rcl} P(x)&=&2(5x-1)(x+3)-(5x-1)^{2}\\\\&=&[5x-1][2(x+3)-(5x-1)]\\\\&=&(5x-1)(2x+6-5x+1)\\\\&=&(5x-1)(-3x+7)\end{array}$
D'où, $\boxed{P(x)=(5x-1)(-3x+7)}$
b) Déterminons les valeurs de $x$ pour lesquelles on a $P(x)=0.$
En utilisant la forme factorisée de $P(x)$, on a :
$P(x)=0$ si, et seulement si, $(5x-1)(-3x+7)=0$
Or, un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
Donc, $(5x-1)(-3x+7)=0$ si, et seulement si, $(5x-1)=0\ $ ou $\ (-3x+7)=0.$
C'est-à-dire ; $5x=1\ $ ou $\ -3x=-7.$
Ce qui donne : $x=\dfrac{1}{5}\ $ ou $\ x=\dfrac{-7}{-3}=\dfrac{7}{3}.$
Donc, les valeurs de $x$ pour lesquelles $P(x)=0$ sont :
$$\left\lbrace\dfrac{1}{5}\;;\ \dfrac{7}{3}\right\rbrace$$
c) Résolvons l'inéquation $(5x-1)(-3x+7)\geq 0$
En effet :
$(5x-1)$ est positif pour tout $x>\dfrac{1}{5}$ et négatif pour $x<\dfrac{1}{5}$
Comme dans l'expression $(-3x+7)$, le coefficient associé à $x$ est négatif alors, $(-3x+7)$ est positif pour tout $x<\dfrac{7}{3}$ et négatif pour $x>\dfrac{7}{3}$
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &1/5& &7/3& &+\infty \\ \hline 5x-1& &-&0&+&|&+&\\ \hline -3x+7& &+&|&+&0&-&\\ \hline (5x-1)(-3x+7)& &-&0&\boxed{+}&0&-&\\ \hline\end{array}$$
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(5x-1)(-3x+7)$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{5}\;;\ \dfrac{7}{3}\right].$
D'où, l'inéquation $(5x-1)(-3x+7)\geq 0$ a pour solution :$$S=\left[\dfrac{1}{5}\;;\ \dfrac{7}{3}\right]$$
3) Soit : $q(x)=\dfrac{(5x-1)^{2}}{(-1+5x)(-3x+7)}$
a) Déterminons les réels pour lesquels $q(x)$ existe puis, simplifions $q(x).$
$q(x)$ existe si, et seulement si, son dénominateur est différent de zéro.
Ce qui signifie : $(-1+5x)(-3x+7)\neq 0$
Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, chaque facteur est non nul.
Donc, $(-1+5x)(-3x+7)\neq 0$ si, et seulement si, $(-1+5x)\neq 0\ $ et $\ (-3x+7)\neq 0$
Ce qui donne alors : $x\neq\dfrac{1}{5}\ $ et $\ x\neq\dfrac{7}{3}.$
Donc, $q(x)$ existe pour tout $x$ différent de $\dfrac{1}{5}\ $ et $\ \dfrac{7}{3}.$
On a :
$q(x)=\dfrac{(5x-1)^{2}}{(-1+5x)(-3x+7)}=\dfrac{(5x-1)(5x-1)}{(5x-1)(-3x+7)}$
Donc, en simplifiant par $(5x-1)$, on trouve : $q(x)=\dfrac{(5x-1)}{(-3x+7)}$
D'où, $\boxed{q(x)=\dfrac{5x-1}{-3x+7}}$
b) Résolvons $q(x)=0$ puis, $|q(x)|=1.$
Considérons la forme simplifiée de $q(x)$
En effet, une fraction rationnelle est nulle si, et seulement si, son numérateur est nul.
Donc, $q(x)=0$ si, et seulement si, $5x-1=0$
C'est-à-dire ; $x=\dfrac{1}{5}$
Or, on sait que si, $x=\dfrac{1}{5}$ alors, $q(x)$ n'existe pas.
Par conséquent, l'équation $q(x)=0$ n'admet pas de solutions.
D'où,
$$S=\emptyset$$
Soit : $q(x)=\dfrac{5x-1}{-3x+7}$
Alors, $|q(x)|=\left|\dfrac{5x-1}{-3x+7}\right|$
Or, on sait que $\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$ avec $b\neq 0$
Donc, $\left|\dfrac{5x-1}{-3x+7}\right|=\dfrac{|5x-1|}{|-3x+7|}$
Ainsi, on a :
$\begin{array}{rcl} |q(x)|=1&\Leftrightarrow&\left|\dfrac{5x-1}{-3x+7}\right|=1\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{|5x-1|}{|-3x+7|}=1\\\\&\Leftrightarrow&|5x-1|=|-3x+7|\\\\&\Leftrightarrow&5x-1=-3x+7\ \text{ ou }\ 5x-1=-(-3x+7)\\\\&\Leftrightarrow&5x-1=-3x+7\ \text{ ou }\ 5x-1=3x-7\\\\&\Leftrightarrow&5x+3x=7+1\ \text{ ou }\ 5x-3x=-7+1\\\\&\Leftrightarrow&8x=8\ \text{ ou }\ 2x=-6\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{8}{8}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-6}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=1\ \text{ ou }\ x=-3\end{array}$
D'où, l'équation $|q(x)|=1$ a pour solution : $$S=\left\lbrace 1\;;\ -3\right\rbrace$$
Exercice 18
Un cadet de Gascogne dit à ses amis : "J'ai dépensé $5$ écus de plus que les deux neuvièmes du contenu de ma bourse et il me reste $2$ écus de moins que les deux tiers de ce que j'avais en rentrant dans cette taverne".
Déterminons le nombre d'écus qu'il avait dans sa bourse en rentrant dans cette taverne.
Nous appelons $x$ le nombre total d'écus contenus dans sa bourse en rentrant dans cette taverne
Alors, les deux neuvièmes du contenu de sa bourse sont donnés par :
$$\dfrac{2}{9}x$$
Comme il a dépensé $5$ écus de plus que les deux neuvièmes du contenu de sa bourse alors, cela se traduit mathématiquement par :
$$\dfrac{2}{9}x+5$$
Par ailleurs, les deux tiers de ce qu'il avait en rentrant dans cette taverne sont donnés par :
$$\dfrac{2}{3}x$$
Comme il lui reste $2$ écus de moins que les deux tiers du contenu de sa bourse alors, cela se traduit mathématiquement par :
$$\dfrac{2}{3}x-2$$
On peut ainsi dire que : ce cadet de Gascogne a dépensé $\left(\dfrac{2}{9}x+5\right)$ écus et il lui reste $\left(\dfrac{2}{3}x-2\right)$ écus.
Or, le nombre total d'écus est égal à $x.$
Donc, on a :
$$\left(\dfrac{2}{9}x+5\right)+\left(\dfrac{2}{3}x-2\right)=x$$
En résolvant cette équation, on obtient :
$\begin{array}{rcl} \left(\dfrac{2}{9}x+5\right)+\left(\dfrac{2}{3}x-2\right)=x&\Leftrightarrow&\dfrac{2}{9}x+5+\dfrac{2}{3}x-2=x\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{2}{9}x+\dfrac{2}{3}x-x=-5+2\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{2x}{9}+\dfrac{6x}{9}-\dfrac{9x}{9}=-3\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{2x+6x-9x}{9}=-3\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{-x}{9}=-3\\\\&\Leftrightarrow&-x=-3\times 9\\\\&\Leftrightarrow&-x=-27\\\\&\Leftrightarrow&x=27\end{array}$
Donc, $\boxed{x=27}$
D'où, ce cadet de Gascogne avait $27$ écus dans sa bourse en rentrant dans cette taverne.
Exercice 19
Un cycliste effectue un parcours en $9$ heures. Sa vitesse est de $30\;km/h$ sur le premier tiers de la distance totale, $20\;km/h$ sur le second tiers et $15\;km/h$ sur le troisième tiers.
Trouvons la distance parcourue.
Appelons $x$ la distance totale parcourue par le cycliste.
Alors, le tiers de la distance totale est : $\dfrac{x}{3}$
Donc, sur chaque tiers, la distance parcourue par le cycliste est égale à :
$$\dfrac{x}{3}$$
Ainsi :
$-\ $ sur le premier tiers, comme sa vitesse est de $30\;km/h$ alors, le temps mis sur premier tiers est égal à :
$$\dfrac{\dfrac{x}{3}}{30}=\dfrac{x}{3\times 30}=\dfrac{x}{90}$$
$-\ $ sur le second tiers, comme sa vitesse est de $20\;km/h$ alors, le temps mis sur le second tiers est égal à :
$$\dfrac{\dfrac{x}{3}}{20}=\dfrac{x}{3\times 20}=\dfrac{x}{60}$$
$-\ $ sur le troisième tiers, comme sa vitesse est de $15\;km/h$ alors, le temps mis sur le troisième tiers est égal à :
$$\dfrac{\dfrac{x}{3}}{15}=\dfrac{x}{3\times 15}=\dfrac{x}{45}$$
Par ailleurs, on sait que le cycliste a mis $9$ heures pour parcourir toute la distance $x.$
Cela signifie que la somme des temps mis sur le premier, le second et le troisième tiers est égale à $9$ heures.
Ce qui se traduit mathématiquement par :
$$\dfrac{x}{90}+\dfrac{x}{60}+\dfrac{x}{45}=9$$
En résolvant cette équation, on trouve la valeur de $x.$
On a :
$\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{90}+\dfrac{x}{60}+\dfrac{x}{45}=9&\Leftrightarrow&\dfrac{2x}{180}+\dfrac{3x}{180}+\dfrac{4x}{180}=9\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{2x+3x+4x}{180}=9\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{9x}{180}=9\\\\&\Leftrightarrow&9x=9\times 180\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{9\times 180}{9}\\\\&\Leftrightarrow&x=180\end{array}$
Donc, $\boxed{x=180}$
D'où, la distance parcourue par le cycliste est de $180\;km.$
Exercice 20
Trouvons trois nombres entiers consécutifs tels que la différence entre le carré du plus grand et le produit des deux autres soit égale à $715.$ (on pourra noter ces nombres $x\;,\ x+1\ $ et $\ x+2)$
Considérons trois nombres entiers consécutifs :
$$x\;;\ x+1\;;\ x+2$$
Le plus grand de ces trois nombres étant $x+2$ alors, son carré est donné par :
$$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$$
Le produit des deux autres est donc égal à :
$$x\times(x+1)=x^{2}+x$$
On sait que : la différence entre le carré du plus grand et le produit des deux autres est égale à $715.$
Cela se traduit mathématiquement par :
$$(x+1)^{2}-x\times(x+1)=715$$
En résolvant cette équation, on trouve la valeur de $x.$
On a :
$\begin{array}{rcl} (x+2)^{2}-x\times(x+1)=715&\Leftrightarrow&x^{2}+4x+4-(x^{2}+x)=715\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}+4x-x^{2}-x=715-4\\\\&\Leftrightarrow&3x=711\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{711}{3}\\\\&\Leftrightarrow&x=237\end{array}$
Donc, $\boxed{x=237}$
Par conséquent, les trois nombres entiers consécutifs tels que la différence entre le carré du plus grand et le produit des deux autres soit égale à $715$ sont :
$$237\quad;\quad 238\quad;\quad 239$$
Déterminons le nombre de fruits qu'il avait cueilli.
Exercice 21
"Un homme est entré dans un verger et a cueilli des fruits. Mais le verger avait trois portes et chacune était gardé par un gardien. Cet homme donc partagea en deux ses fruits avec le premier et lui en donne deux de plus ; puis il partagea le reste avec le second et lui en donne deux de plus, enfin il fit de même avec le troisième. Il sortit du jardin avec un seul fruit.
Déterminons le nombre de fruits qu'il avait cueilli.
Nous appelons $x$ le nombre total de fruits cueillis par cet homme.
$-\ $ à la première porte, il partage ses $x$ fruits avec le premier gardien.
Donc, il dispose de $\dfrac{x}{2}$ fruits.
Mais comme il donne $2$ fruits de plus au gardien alors, le nombre de fruits qui lui reste est égal à :
$$\dfrac{x}{2}-2$$
$-\ $ à la deuxième porte, il partage ses $\left(\dfrac{x}{2}-2\right)$ fruits avec le second gardien.
Donc, il dispose de $\dfrac{\left(\dfrac{x}{2}-2\right)}{2}$ fruits. C'est-à-dire ; $\left(\dfrac{x}{4}-1\right)$ fruits.
Mais comme il donne $2$ fruits de plus au gardien alors, le nombre de fruits qui lui reste est donné par :
$$\left(\dfrac{x}{4}-1\right)-2=\dfrac{x}{4}-3$$
$-\ $ à la troisième porte, il partage ses $\left(\dfrac{x}{4}-3\right)$ fruits avec le troisième gardien.
Ce qui donne : $\dfrac{\left(\dfrac{x}{4}-3\right)}{2}$ fruits. C'est-à-dire ; $\left(\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{2}\right)$ fruits.
Mais comme il donne $2$ fruits de plus au gardien alors, le nombre de fruits qui lui reste, à sa sortie du verger, est de :
$$\left(\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{2}\right)-2=\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{2}-2$$
On sait par ailleurs, qu'il est sorti du jardin avec un seul fruit.
Ce qui signifie que le nombre de fruits qui lui reste, à sa sortie du verger, est égal à : $1$
Ce qui se traduit par :
$$\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{2}-2=1$$
En résolvant cette équation, on trouve la valeur de $x.$
On a :
$\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{2}-2=1&\Leftrightarrow&\dfrac{x}{8}=1+\dfrac{3}{2}+2\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{x}{8}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{x}{8}=\dfrac{9}{2}\\\\&\Leftrightarrow&2\times x=9\times 8\\\\&\Leftrightarrow&2x=72\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{72}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=36\end{array}$
Donc, $\boxed{x=36}$
Ce qui veut dire que cet homme avait cueilli $36$ fruits dans ce verger.
Exercice 22
On veut disposer un certain nombre de jetons en carré $($par exemple avec $9$ jetons on fait un carré de $3$ sur $3).$ En essayant de constituer un premier carré, on s'aperçoit qu'il reste $14$ jetons. On essaie alors de faire un deuxième carré en mettant un jeton de plus par côté. Il manque alors $11$ jetons.
Déterminons le nombre de jetons qu'il y avait au départ.
Soit $x$ le nombre avec lequel on fait le carré pour obtenir le nombre de jetons.
Alors,
$-\ $ en essayant de constituer un premier carré, on s'aperçoit qu'il reste $14$ jetons.
Cela se traduit par :
$$x^{2}+14=\text{Nombre de jetons}$$
$-\ $ on essaie de faire un deuxième carré en mettant un jeton de plus par côté. Il manque alors $11$ jetons.
Ce qui peut encore s'écrire :
$$(x+1)^{2}-11=\text{Nombre de jetons}$$
En comparant les deux égalités, on obtient :
$$(x+1)^{2}-11=x^{2}+14$$
En résolvant cette équation, on trouve :
$\begin{array}{rcl} (x+1)^{2}-11=x^{2}+14&\Leftrightarrow&x^{2}+2x+1-11=x^{2}+14\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}+2x-x^{2}=14+11-1\\\\&\Leftrightarrow&2x=24\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{24}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=12\end{array}$
Donc, $\boxed{x=12}$
Par suite, dans la première égalité, en remplaçant $x$ par $12$, on obtient le nombre de jetons.
On a :
$\begin{array}{rcl} \text{Nombre de jetons}&=&x^{2}+14\\\\&=&12^{2}+14\\\\&=&144+14\\\\&=&158\end{array}$
Ainsi, il y avait au départ $158$ jetons.
Exercice 23
Une somme de $3\,795\;F$ est partagée en trois parts proportionnelles aux nombres $3\;,\ 5\ $ et $\ 7.$
Déterminons ces trois parts.
Comme ces trois parts sont tous proportionnelles aux nombres $3\;,\ 5\ $ et $\ 7$ alors, nous appelons $x$ le coefficient de proportionnalité.
On a :
$$\text{Part }1=3\times x$$
$$\text{Part }2=5\times x$$
$$\text{Part }3=7\times x$$
Or, la somme des parts est égale à $3\,795\;F.$
Ce qui se traduit par :
$$3x+5x+7x=3\,795$$
En résolvant cette équation, on trouve $x.$
On a :
$\begin{array}{rcl} 3x+5x+7x=3795&\Leftrightarrow&15x=3\,795\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{3\,795}{15}\\\\&\Leftrightarrow&x=253\end{array}$
Donc, $\boxed{x=253}$
Par conséquent, en remplaçant $x$ par sa valeur, on trouve :
$\text{Part }1=3\times 253=759\;F$
$\text{Part }2=5\times 253=1\,265\;F$
$\text{Part }3=7\times 253=1\,771\;F$
Exercice 24
Un magicien demande à un spectateur de :
penser à un nombre ; de le multiplier par deux ; de retrancher $3$ à ce produit ; de multiplier le tout par $6.$
Le spectateur annonce comme résultat $294.$
Déterminons le nombre du départ.
Choisissons $x$ le nombre de départ.
En le multipliant par $2$, on obtient : $2x$
En retranchant $3$ de ce produit, on trouve : $2x-3$
En multipliant le tout par $6$, on trouve :
$$6\times(2x-3)$$
Alors, le spectateur annonce comme résultat $294.$
Ce qui signifie :
$$6\times(2x-3)=294$$
En résolvant cette équation, on trouve la valeur de $x.$
On a :
$\begin{array}{rcl} 6\times(2x-3)=294&\Leftrightarrow&12x-18=294\\\\&\Leftrightarrow&12x=294+18\\\\&\Leftrightarrow&12x=12x=312\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{312}{12}\\\\&\Leftrightarrow&x=26\end{array}$
Donc, $\boxed{x=26}$
Par conséquent, le nombre de départ était $26.$
Exercice 25
1) Rappelons la définition de la valeur absolue d'un réel $a.$
On appelle valeur absolue d'un nombre réel $a$, notée $|a|$, le réel positif défini de la manière suivante :
$$\begin{array}{rcrcl} |a|&=&a&\text{si, et seulement si, }&a\geq 0\\\\|a|&=&-a&\text{si, et seulement si, }&a<0\end{array}$$
2) Recopions chacun des énoncés ci-dessous et répondons par Vrai ou faux.
a) Si $|a|=|b|$ alors $a=b.\quad(\text{Faux]}$
b) La valeur absolue d'un nombre réel est toujours positive.$\quad(\text{Vrai})$
c) Si $b\neq 0$ alors, $\dfrac{|a|}{|b|}=\left|\dfrac{a}{b}\right|.\quad(\text{Vrai})$
Exercice 26
On donne les expressions ci-dessous :
$$f(x)=|3x-5|\ \text{ et }\ g(x)=|-5x+2|$$
1) Calculons $f(0)\ $ et $\ g(-3)$
En remplaçant $x$ par $0$, dans l'expression de $f(x)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} f(0)&=&|3\times 0-5|\\\\&=&|0-5|\\\\&=&|-5|\\\\&=&5\end{array}$
Donc, $\boxed{f(0)=5}$
En remplaçant $x$ par $-3$, dans l'expression de $g(x)$, on obtient :
$\begin{array}{rcl} g(-3)&=&|-5\times(-3)+2|\\\\&=&|15+2|\\\\&=&|17|\\\\&=&17\end{array}$
Donc, $\boxed{g(-3)=17}$
2) Écrivons chacune des expressions $f(x)\ $ et $\ g(x)$ sans le symbole de la valeur absolue.
En effet, on sait que : pour tout nombre réel $a\;,\ |a|$ est égale à $a$ si $a$ est positif et est égale à $-a$ si $a$ est négatif.
Donc, en appliquant cette définition de la valeur absolue, on obtient :
$|3x-5|=3x-5$ si, et seulement si, $3x-5>0$
$|3x-5|=-(3x-5)$ si, et seulement si, $3x-5<0$
Ce qui peut encore s'écrire :
$|3x-5|=3x-5$ si, et seulement si, $x>\dfrac{5}{3}$
$|3x-5|=-3x+5$ si, et seulement si, $x<\dfrac{5}{3}$
Ainsi,
$f(x)=3x-5$ si, et seulement si, $x>\dfrac{5}{3}$
$f(x)=-3x+5$ si, et seulement si, $x<\dfrac{5}{3}$
De la même manière, on a :
$|-5x+2|=-5x+2$ si, et seulement si, $-5x+2>0$
$|-5x+2|=-(-5x+2)$ si, et seulement si, $-5x+2<0$
Ce qui peut encore s'écrire :
$|-5x+2|=-5x+2$ si, et seulement si, $-5x>-2$
$|-5x+2|=5x-2$ si, et seulement si, $-5x<-2$
Ce qui donne :
$|-5x+2|=-5x+2$ si, et seulement si, $x<\dfrac{2}{5}$
$|-5x+2|=5x-2$ si, et seulement si, $x>\dfrac{2}{5}$
D'où,
$g(x)=-5x+2$ si, et seulement si, $x<\dfrac{2}{5}$
$g(x)=5x-2$ si, et seulement si, $x>\dfrac{2}{5}$
3) Résolvons l'équation $f(x)=g(x)$
Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$ revient à résoudre l'équation $|3x-5|=|-5x+2|.$
En effet, on sait que : si $a\ $ et $\ b$ sont deux nombres réels alors,
$$|a|=|b|\ \text{ si, et seulement si, }\ a=b\ \text{ ou }\ a=-b$$
En appliquant cette propriété de la valeur absolue, on obtient :
$\begin{array}{rcl} |3x-5|=|-5x+2|&\Leftrightarrow&3x-5=-5x+2\ \text{ ou }\ 3x-5=-(-5x+2)\\\\&\Leftrightarrow&3x-5=-5x+2\ \text{ ou }\ 3x-5=5x-2\\\\&\Leftrightarrow&3x+5x=2+5\ \text{ ou }\ 3x-5x=-2+5\\\\&\Leftrightarrow&8x=7\ \text{ ou }\ -2x=3\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{7}{8}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{3}{-2}\end{array}$
Donc, $|3x-5|=|-5x+2|$ si, et seulement si, $x=\dfrac{7}{8}\ $ ou $\ x=-\dfrac{3}{2}$
Par conséquent, l'équation $f(x)=g(x)$ a pour solution :
$$S=\left\lbrace -\dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{7}{8}\right\rbrace$$
Exercice 27
Recopions chacun des énoncés ci-dessous et répondons par Vrai ou faux.
1) L'inéquation $(x-1)(3-x)\leq 0$ a pour solution : $S=\{1\;;\ 3\}\quad(\text{Faux})$
2) L'inéquation $(x-5)(2-x)>0$ a pour solution : $S=]2\;;\ 5[\quad(\text{Vrai})$
3) L'inéquation $(5x-4)(5x+4)<0$ admet deux solutions dans $\mathbb{R}.\quad(\text{Faux})$
Exercice 28
Recopions puis entourons la bonne réponse.
L'inéquation $(3-x)(3+x)<0$ a pour ensemble de solutions
1) $S=[-3\;;\ 3]$
$\boxed{\text{2) }S=]-\infty\;;\ -3[\cup\;]3\;;\ +\infty[}$
3) $S=]-\infty\;;\ -3]\cup\;[3\;;\ +\infty[$
Exercice de Synthèse
I. Cochons la ou les bonne(S) réponses
1) Pour tout réel $x\;,\ \sqrt{x^{2}}$ est égal à :
$\boxed{\text{c) }|x|}$
2) Pour tous réels $x\ $ et $\ y$ si $|x|=|y|$ alors :
$\boxed{\text{a) }x=y\ \text{ ou }\ x=-y}$
3) Si $m=4-3\sqrt{2}$ alors
$\boxed{\text{b) }m^{2}=34-24\sqrt{2}}$
II. Soit $(-2x+\sqrt{3})(\sqrt{2}x-1)\geq 0$ une inéquation, la solution de cette inéquation est :
$\boxed{\text{a) }S=\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]}$
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Abdou mbodj (non vérifié)
jeu, 12/19/2019 - 08:22
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Maths 3e
mame diarra seye (non vérifié)
dim, 02/07/2021 - 19:25
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svp on veut tout les
Omar Hajri (non vérifié)
sam, 03/12/2022 - 12:15
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intéressé
Pape abibou yade (non vérifié)
sam, 05/28/2022 - 18:39
Permalien
Vous faites un excellent
Abdou mbodj (non vérifié)
jeu, 12/19/2019 - 08:27
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Maths 3e
Anonyme (non vérifié)
dim, 01/12/2020 - 10:23
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Nice
Anonyme (non vérifié)
lun, 03/15/2021 - 00:25
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maths equation
omar diakhate (non vérifié)
sam, 04/24/2021 - 12:40
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le reste
Fatou gueye (non vérifié)
mer, 04/28/2021 - 00:51
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je veux le reste de la
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