Solution des exercices : Addition des nombres décimaux arithmétiques - 6e
Classe:
Sixième
Exercice 1 : Opération
Posons puis effectuons les additions suivantes :
a) Soit $355.15+244.85$ alors :
$\begin{array}{rl}&355.15\\+&244.85\\ \hline =&600.00\end{array}$
b) Soit $4703.05+295.9501$ alors :
$\begin{array}{rl}&4703.05\\+&\;\;295.9501\\ \hline =&4999.0001\end{array}$
c) Soit $28+288+2888$ alors, on obtient :
$\begin{array}{rr}&28\\+&288\\+&2888\\\hline =&3204\end{array}$
d) soit $0.111+11+88.779$ alors, on a :
$\begin{array}{rl}&\;\;0.111\\+&11\\+&88.779\\\hline =&99.890\end{array}$
Exercice 2 : Question de cours
1) Soient $x\;,\ y\ $ et $\ z$ trois nombres décimaux arithmétiques tels que :
$$x+y=z$$
a) Les nombres $x\ $ et $\ y$ sont appelés les termes de l'addition.
b) Le nombre $z$ est appelé la somme des termes.
2) Soient $x\;,\ y\ $ et $\ z$ trois nombres décimaux arithmétiques :
a) On peut écrire $x+y=y+x$ car dans une addition dans $\mathfrak{D}$, lorsqu'on change l'ordre des termes ; le résultat de la somme reste inchangé : C'est la commutativité
b) On peut écrire $(x+y)+z=x+(y+z)$ car dans une addition dans $\mathfrak{D}$ avec trois termes, le résultat reste inchangé si on commence le calcul par la droite ou par la gauche : C'est l'associativité
Exercice 3 : Calcul de façon performante (les entiers)
Calculons en ligne chacune des expressions suivantes de façon performante en précisant les propriétés de l'addition ainsi utilisées.
Soit $A=35+40+65+60$
Comme l'ordre des termes ne change pas le résultat alors, on a :
$A=35+65+40+60$
Pour faciliter le calcul, on regroupe certains termes, d'où :
$\begin{array}{rcl} A&=&(35+65)+(40+60)\\ \\&=&100+100\\ \\&=&200\end{array}$
Ainsi, $\boxed{A=200}$
Soit $B=135+177+100+165+300+23+0$
Comme $0$ est l'élément neutre de l'addition alors, $B$ s'écrit :
$B=135+177+100+165+300+23$
En utilisant le fait que l'ordre des termes ne modifie pas le résultat, on obtient :
$B=135+165+177+23+100+300$
En regroupant certains termes pour faciliter le calcul, on trouve :
$\begin{array}{rcl} B&=&(135+165)+(177+23)+(100+300)\\ \\&=&300+200+400\\ \\&=&900+0\end{array}$
Donc, $B=300+200+400$
En utilisant la propriété de l'associativité, on obtient :
$\begin{array}{rcl} B&=&300+200+400\\ \\&=&(300+200)+400\\ \\&=&500+400\\\\&=&900\end{array}$
D'où, $\boxed{B=900}$
Soit $C=13+39+27+10+11+0$
$0$ étant l'élément neutre de l'addition alors, $C$ s'écrit :
$C=13+39+27+10+11$
Comme l'ordre des termes ne modifie pas le résultat alors, $C$ peut encore s'écrire :
$C=13+27+39+11+10$
On regroupe ensuite certains termes pour faciliter le calcul. Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} C&=&(13+27)+(39+11)+10\\ \\&=&50+50+10\\ \\&=&110\end{array}$
Ainsi, $C=50+50+10$
En utilisant la propriété de l'associativité, on obtient :
$\begin{array}{rcl} C&=&50+50+10\\ \\&=&(50+50)+10\\ \\&=&100+10\\\\&=&110\end{array}$
D'où, $\boxed{C=110}$
Soit $D=30+80+70+20+50+50$
On sait que en changeant l'ordre des termes on ne modifie pas le résultat.
Donc, $D$ peut encore s'écrire :
$D=30+70+80+20+50+50$
En regroupant certains termes pour faciliter le calcul, on trouve :
$\begin{array}{rcl} D&=&(30+70)+(80+20)+(50+50)\\ \\&=&100+100+100\\ \\&=&300\end{array}$
Ainsi, $\boxed{D=300}$
Exercice 4 : Calcul de façon performante (décimaux)
Calculons en ligne chacune des expressions suivantes de façon performante en précisant les propriétés de l'addition ainsi utilisées.
Soit $A=4.5+7+5.5+3$
Alors, en utilisant le fait que l'ordre des termes ne modifie pas le résultat, on obtient :
$A=4.5+5.5+7+3$
On regroupe ensuite certains termes pour faciliter le calcul. Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} A&=&(4.5+5.5)+(7+3)\\ \\&=&10+10\\ \\&=&20\end{array}$
D'où, $\boxed{A=20}$
Soit $B=83.5+16.5+3.5+6.5+100+0$
Comme $0$ est l'élément neutre de l'addition alors, $B$ s'écrit :
$B=83.5+16.5+3.5+6.5+100$
En regroupant certains termes pour faciliter le calcul, on obtient :
$\begin{array}{rcl} B&=&(83.5+16.5)+(3.5+6.5)+100\\ \\&=&100+10+100\end{array}$
Donc, $B=100+10+100$
On utilise le fait que l'ordre des termes ne modifie pas le résultat. Ce qui donne :
$B=100+100+10$
Comme l'addition est associative alors, on a :
$\begin{array}{rcl} B&=&100+100+10\\ \\&=&(100+100)+10\\\\&=&200+10\\\\&=&210\end{array}$
D'où, $\boxed{B=210}$
Soit $C=88.7+66.4+1.3+0.61+3.6+9.39$
Alors, en utilisant le fait que l'ordre des termes ne modifie pas le résultat, on obtient :
$C=88.7+1.3+66.4+3.6+0.61+9.39$
On regroupe ensuite certains termes pour faciliter le calcul. Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} C&=&(88.7+1.3)+(66.4+3.6)+(0.61+9.39)\\ \\&=&90+70+10\end{array}$
Donc, $C=90+70+10$
En changeant à nouveau l'ordre des termes, on obtient :
$C=90+10+70$
En utilisant la propriété de l'associativité, on a :
$\begin{array}{rcl} C&=&90+10+70\\\\&=&(90+10)+70\\ \\&=&100+70\\\\&=&170\end{array}$
D'où, $\boxed{C=170}$
Soit $D=0.25+0.8+19.75+0.2+91.4+8.6$
Alors, on utilise le fait que l'ordre des termes ne modifie pas le résultat.
$D$ peut donc s'écrire :
$D=0.25+19.75+0.8+0.2+91.4+8.6$
On regroupe ensuite certains termes pour faciliter le calcul. Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} D&=&(0.25+19.75)+(0.8+0.2)+(91.4+8.6)\\\\&=&20+1+100\end{array}$
Donc, $D=20+1+100$
Comme l'addition est associative alors, on a :
$\begin{array}{rcl} D&=&20+1+100\\\\&=&(20+1)+100\\\\&=&21+100\\\\&=&121\end{array}$
D'où, $\boxed{D=121}$
Soit $E=38.7+31.8+12.2+51.3+66$
Comme en changeant l'ordre des termes on ne modifie pas le résultat alors, on peut écrire :
$E=38.7+51.3+31.8+12.2+66$
En regroupant ensuite certains termes pour faciliter le calcul, on obtient :
$\begin{array}{rcl} E&=&(38.7+51.3)+(31.8+12.2)+66\\\\&=&90+44+66\end{array}$
Donc, $E=90+44+66$
En utilisant la propriété de l'associativité, on a :
$\begin{array}{rcl} E&=&90+44+66\\\\&=&90+(44+66)\\\\&=&90+110\\\\&=&200\end{array}$
Ainsi, $\boxed{E=200}$
Exercice 5 : Ordre de grandeur
Calculons en ligne chacune des expressions suivantes après avoir arrondi l'ordre de grandeur de chaque terme à la dizaine la plus proche.
Soit $A=432+70.84+13.66+174.82$
En arrondissant l'ordre de grandeur de chaque terme à la dizaine la plus proche, on obtient :
$432$ est plus proche de $430$
$70.84$ est plus proche de $70$
$13.66$ est plus proche de $10$
$174.82$ est plus proche de $170$
On remplace alors les termes de $A$ par leur ordre de grandeur. Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} A&=&430+70+10+170\\\\&=&(430+70)+(10+170)\\\\&=&500+180\\\\&=&680\end{array}$
D'où, $A$ est de l'ordre de $680$
Soit $B=265+15.5+110+28.5+30$
On va arrondir l'ordre de grandeur de chaque terme à la dizaine la plus proche. On a alors :
$265$ est plus proche de $260$
$15.5$ est plus proche de $20$
$110$ est plus proche de $110$
$28.5$ est plus proche de $30$
$30$ est plus proche de $30$
En remplaçant alors les termes de $B$ par leur ordre de grandeur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} B&=&260+20+110+30+30\\\\&=&260+110+30+20+30\\\\&=&260+(110+30)+(20+30)\\\\&=&260+140+50\\\\&=&(260+140)+50\\\\&=&400+50\\\\&=&450\end{array}$
D'où, $B$ est de l'ordre de $450$
Soit $C=140.85+13.25+70.92+19.25$
En arrondissant l'ordre de grandeur de chaque terme à la dizaine la plus proche, on a :
$140.85$ est plus proche de $140$
$13.25$ est plus proche de $10$
$70.92$ est plus proche de $70$
$19.25$ est plus proche de $20$
On remplace alors les termes de $C$ par leur ordre de grandeur. Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} C&=&140+10+70+20\\\\&=&140+(10+70+20)\\\\&=&140+100\\\\&=&240\end{array}$
Ainsi, $C$ est de l'ordre de $240$
Soit $D=9+99+999+9\,999$
On va arrondir l'ordre de grandeur de chaque terme à la dizaine la plus proche.
On a alors :
$9$ est plus proche de $10$
$99$ est plus proche de $100$
$999$ est plus proche de $1\,000$
$9\,999$ est plus proche de $10\,000$
Donc, en remplaçant alors les termes de $C$ par leur ordre de grandeur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} D&=&10+100+1\,000+10\,000\\\\&=&(10+100)+(1\,000+10\,000)\\\\&=&110+11\,000\\\\&=&11\,110\end{array}$
D'où, $D$ est de l'ordre de $11\,110$
Exercice 6 : ordre de grandeur
Donnons une estimation du montant qu'il faut payer lorsqu'on achète un pagne à $2\,650\;F$, une chemise à $4\,175\;F$ et un pantalon à $6\,200\;F.$
On a :
$$\text{Montant à payer}=2\,650\;F+4\,175\;F+6\,200\;F$$
Pour estime ce montant, on va d'abord arrondir l'ordre de grandeur de chaque terme au millier le plus proche.
On a alors :
$2\,650$ est plus proche de $3\,000$
$4\,175$ est plus proche de $4\,000$
$6\,200$ est plus proche de $6\,000$
Ainsi, en remplaçant les termes du montant à payer par leur ordre de grandeur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} \text{Montant à payer}&=&3\,000+4\,000+6\,000\\\\&=&3\,000+(4\,000+6\,000)\\\\&=&3\,000+10\,000\\\\&=&13\,000\end{array}$
D'où, on peut estimer à $13\,000\;F$ le montant total qu'il faut payer pour faire ces achats.
Exercice 7
Calculons en ligne chacune des expressions suivantes après avoir arrondi l'ordre de grandeur de chaque terme à la centaine la plus proche.
Soit $A=430+70+30.5+175.5$
En arrondissant l'ordre de grandeur de chaque terme à la centaine la plus proche, on a :
$430$ est plus proche de $400$
$70$ est plus proche de $100$
$30.5$ est plus proche de $0$ que de $100$
$175.5$ est plus proche de $200$
On remplace alors les termes de $A$ par leur ordre de grandeur. Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} A&=&400+100+0+200\\\\&=&(400+100)+(0+200)\\\\&=&500+200\\\\&=&700\end{array}$
Ainsi, $A$ est de l'ordre de $700$
Soit $B=96+110+71.3+84.10$
Alors, on va arrondir l'ordre de grandeur de chaque terme à la centaine la plus proche.
On a :
$96$ est plus proche de $100$
$110$ est plus proche de $100$
$71.3$ est plus proche de $100$
$84.10$ est plus proche de $100$
En remplaçant les termes de $B$ par leur ordre de grandeur, on trouve :
$\begin{array}{rcl} B&=&100+100+100+100\\\\&=&(100+100)+(100+100)\\\\&=&200+200\\\\&=&400\end{array}$
Donc, $B$ est de l'ordre de $400$
Soit $C=9+99+999+9\,999$
En arrondissant l'ordre de grandeur de chaque terme à la centaine la plus proche, on a :
$9$ est plus proche de $0$ que de $100$
$99$ est plus proche de $100$
$999$ est plus proche de $1\,000$
$9\,999$ est plus proche de $10\,000$
On remplace alors les termes de $C$ par leur ordre de grandeur. Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} C&=&0+100+1\,000+10\,000\\\\&=&(0+100)+(1\,000+10\,000)\\\\&=&100+11\,000\\\\&=&11\,100\end{array}$
D'où, $C$ est de l'ordre de $11\,100$
Soit $D=122+395+59+200+200.45$
En arrondissant l'ordre de grandeur de chaque terme à la centaine la plus proche, on a :
$122$ est plus proche de $100$
$395$ est plus proche de $400$
$200$ est plus proche de $200$
$200.45$ est plus proche de $200$
En remplaçant les termes de $D$ par leur ordre de grandeur, on obtient :
$\begin{array}{rcl} D&=&100+400+200+200\\\\&=&(100+400)+(200+200)\\\\&=&500+400\\\\&=&900\end{array}$
Ainsi, $D$ est de l'ordre de $900$
Exercice 8
1) Complétons les pointillés par les décimaux qui conviennent :
$(13.5+6.5)+10=20+10=30$
$13.5+(6.5+10)=13.5+16.5=30$
2) La propriété de l'addition que l'on retrouve est : l'associativité
Exercice 9
1) Calculons l'expression $A$ de façon performante.
Soit $A=100+124+25+6+300+75$
Alors, en utilisant le fait que l'ordre des termes ne modifie pas le résultat, on obtient :
$A=100+300+124+6+25+75$
On regroupe ensuite certains termes pour faciliter le calcul. Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} A&=&(100+300)+(124+6)+(25+75)\\ \\&=&400+130+100\end{array}$
Donc, $A=400+130+100$
En changeant à nouveau l'ordre des termes, on obtient :
$A=400+100+130$
En utilisant la propriété de l'associativité, on a :
$\begin{array}{rcl} A&=&400+100+130\\ \\&=&(400+100)+130\\\\&=&500+130\\\\&=&630\end{array}$
D'où, $\boxed{A=630}$
2) Après avoir arrondi chaque terme à la centaine la plus proche, calculons l'expression $B$ sachant que : $B=265+114+100.85+327$
En arrondissant l'ordre de grandeur de chaque terme à la centaine la plus proche, on a :
$265$ est plus proche de $300$
$114$ est plus proche de $100$
$100.85$ est plus proche de $100$
$327$ est plus proche de $300$
On remplace alors les termes de $B$ par leur ordre de grandeur. Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl} B&=&300+100+100+300\\\\&=&(300+100)+(300+100)\\\\&=&400+400\\\\&=&800\end{array}$
D'où, $B$ est de l'ordre de $800$
Exercice 10
Anta achète à la librairie un livre de grammaire française et un livre de mathématiques.
Le livre de grammaire coûte $1\,500\;F.$
Le livre de mathématiques coûte $830\;F$ de plus que le livre de grammaire.
Calculons la somme dépensée par Anta.
Pour cela, on détermine d'abord le prix du livre de mathématiques.
On sait que le livre de mathématiques coûte $830\;F$ de plus que le livre de grammaire.
Cela signifie que le prix du livre de mathématiques est égal à $830\;F$ ajouté au prix du livre de grammaire.
Ainsi,
$\begin{array}{rcl}\text{prix du livre de mathématiques}&=&830+\text{prix du livre de grammaire}\\\\&=&830+1\,500\end{array}$
Alors, le prix du livre de mathématiques est égal à $2\,330\;F+1\,500\;F$
La somme dépensée par Anta est donc égale à la somme du prix du livre de mathématiques et du prix du livre de grammaire.
Ce qui donne :
$\begin{array}{rcl}\text{somme dépensée par Anta}&=&830+1\,500+1\,500\\\\&=&830+(1\,500+1\,500)\\\\&=&830+3\,000\\\\&=&3\,830\end{array}$
D'où, la somme dépensée par Anta est égale à $3\,830\;F$
Exercice 11
Madame DIOUF commande au magasin « SUPER » , $45.5\;m$ de bazin, $7.75\;m$ de lagos et $32\;m$ de voile.
1) Donnons un ordre de grandeur de la longueur de tissus commandés.
On a :
$\text{longueur de tissus commandés}=45.5\;m+7.75\;m+32\;m$
Alors en arrondissant chaque terme de cette somme à l'unité la plus proche, on a :
$45.5$ est plus proche de $46$
$7.75$ est plus proche de $8$
$32$ est plus proche de $32$
En remplaçant les termes par leur ordre de grandeur, on trouve :
$\begin{array}{rcl} \text{longueur de tissus commandés}&=&46+8+32\\\\&=&46+(8+32)\\\\&=&46+40\\\\&=&86\end{array}$
D'où, la longueur de tissus commandés est de l'ordre de $86\;m$
2) Calculons la longueur totale de tissus commandés.
On a :
$\begin{array}{rcl} \text{longueur totale de tissus commandés}&=&45.5+7.75+32\\\\&=&(45.5+7.75)+32\\\\&=&53.25+32\\\\&=&85.25\end{array}$
Ainsi, la longueur totale de tissus commandés est égale à $85.25\;m$
Exercice 12
Deux nombres sont associés si leur somme est égale à $10.$ Dans ce tableau un seul est solitaire.
D'après le tableau, $3.5$ est donc le solitaire.
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline 8.2&3.7&3.5\\\hline 7.5&9.1&1.8\\\hline 6.3&2.5&0.9\\\hline\end{array}$$
On peut remarquer que :
$8.2+1.8=10$
$3.7+6.3=10$
$7.5+2.5=10$
$9.1+0.9=10$
Donc, $3.5$est le seul nombre qui n'est associé à aucun autre nombre.
Par conséquent, c'est le solitaire.
Exercice 13
Dans la boutique de Mody, un tonneau d'huile contient $0.23\;m^{3}$, il en vend $143$ litres dans la matinée et $45.75$ litres l'après midi.
Calculons le volume d'huile qui reste dans le tonneau.
On convertit d'abord $0.23\;m^{3}$ en litres.
Alors on a : $0.23\;m^{3}=230\;L$
Ensuite, on calcule le volume total d'huile vendue.
Ce qui est égal à la somme du volume d'huile vendue dans la matinée et du volume d'huile vendue dans l'après midi.
Ainsi,
$\begin{array}{rcl} \text{volume total d'huile vendue}&=&143+45.75\\\\&=&188.75\end{array}$
Donc, Mody a vendu en tout $188.75$ litres d'huile.
Alors, le volume d'huile qui reste est obtenu en soustrayant le volume vendu du volume total contenu dans le tonneau.
Ce qui s'écrit :
$\begin{array}{rcl} \text{volume d'huile qui reste dans le tonneau}&=&230-188.75\\\\&=&41.25\end{array}$
D'où, le volume d'huile qui reste dans le tonneau est égal à $41.25$ litres.
Exercice 14
Pour chaque suite, trouvons la règle et complétons :
a) $5\;;\ 14\;;\ 23\;;\ 32\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;$
On a :
$14=9+5$
$23=9+14$
$32=9+23$
On remarque alors que pour trouver un nombre, on ajoute $9$ au nombre qui précède.
On applique cette règle pour trouver les autres valeurs.
Ce qui donne :
$9+32=41$
$9+41=50$
$9+50=59$
$9+59=68$
D'où, la suite suivante :
$$5\;;\ 14\;;\ 23\;;\ 32\;;\ 41\;;\ 50\;;\ 59\;;\ 68$$
b) $3\;;\ 14\;;\ 25\;;\ 36\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;$
On a :
$14=11+3$
$25=11+14$
$36=11+25$
On constate alors que pour trouver un nombre, on ajoute $11$ au nombre précédent.
En appliquant cette règle, on obtient :
$11+36=47$
$11+47=58$
$11+58=69$
$11+69=80$
Ce qui donne la suite suivante :
$$3\;;\ 14\;;\ 25\;;\ 36\;;\ 47\;;\ 58\;;\ 69\;;\ 80$$
c) $1\;;\ 3\;;\ 7\;;\ 15\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;$
On a :
$2\times 1+1=2+1=3$
$2\times 3+1=6+1=7$
$2\times 7+1=14+1=15$
Donc, on constate que pour trouver un nombre, on ajoute $1$ au double du nombre précèdent.
On applique alors cette règle pour trouver les autres valeurs de la suite.
Ce qui donne :
$2\times 15+1=30+1=31$
$2\times 31+1=62+1=63$
$2\times 63+1=126+1=127$
$2\times 127+1=254+1=255$
On obtient ainsi la suite suivante :
$$1\;;\ 3\;;\ 7\;;\ 15\;;\ 31\;;\ 63\;;\ 127\;;\ 255$$
d) $1\;;\ 1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 8\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;\ \ldots\;;$
On a :
$1=0+1$
$2=1+1$
$3=1+2$
$5=2+3$
$8=3+5$
On remarque alors que pour trouver un nombre, on fait la somme des deux nombres qui précèdent immédiatement.
On applique cette règle pour trouver les autres valeurs de la suite.
Ce qui donne :
$5+8=13$
$8+13=21$
$13+21=34$
$21+34=55$
D'où, la suite suivante :
$$1\;;\ 1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 8\;;\ 13\;;\ 21\;;\ 34\;;\ 55$$
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mar, 02/09/2021 - 22:56
Permalien
Donner une estimation du
Ndèye Diarra Gn... (non vérifié)
lun, 03/15/2021 - 21:18
Permalien
On donne d abord la valeur
Anonyme (non vérifié)
mer, 02/17/2021 - 21:40
Permalien
Exercice 8
Anonyme (non vérifié)
mer, 02/17/2021 - 21:40
Permalien
Exercice 8
Anonyme (non vérifié)
mer, 02/17/2021 - 21:41
Permalien
Exercice 8
Dieneba Sidibe (non vérifié)
mar, 06/15/2021 - 18:26
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Merci Mr Faye
Bamba keita (non vérifié)
dim, 12/05/2021 - 18:47
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Excellent
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