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Solution des exercices : Applications linéaires - 4e

Classe:

Quatrième

Exercice 1

Complétons le tableau suivant pour que les suites de nombres

$S_{1}\$ et

$\ S_{2}$ soient proportionnelles.

On utilisera le coefficient de proportionnalité permettant de passer de

$S_{1}\$ à

$\ S_{2}.$

Ainsi, pour le passage des valeurs de la ligne

$S_{1}$ à celles de la ligne

$S_{2}$ , on multipliera par ce même coefficient de proportionnalité.

On constate alors, pour passer de

$4.8\$ à

$\ 14.4$ , on multiplie

$4.8$ par

$3.$

C'est-à-dire,

$14.4=3\times 4.8$

Par suite, le coefficient de proportionnalité permettant de passer de

$S_{1}\$ à

$\ S_{2}$ est

$3.$

Réciproquement, pour passer de

$S_{2}\$ à

$\ S_{1}$ , on multiplie par

$\dfrac{1}{3}$ , c'est-à-dire ; diviser par

$3.$

On obtient alors, le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline S_{1}&2.4&3&3.6&4.8&6.2&11.3\\\hline S_{2}&7.2&9&10.8&14.4&18.6&33.9\\\hline\end{array}$

Exercice 2

Un gèrent de télé centre propose à ses clients le tarif suivant : "Chaque minute de communication

$60\;F$ ".

1) Exprimons la somme

$y$ à payer en fonction du nombre

$x$ de minutes de communication.

Soient

$x$ le nombre de minutes de communication et

$y$ la somme totale à payer.

On sait que pour chaque minute de communication, on paye

$60\;F.$

Donc, pour

$x$ minutes de communication, on payera

$x\times 60\;F.$

Ainsi, la somme totale à payer, pour

$x$ minutes de communication est donnée par :

$y=x\times 60$

Par suite,

$\boxed{y=60x}$

2) a) Calculons la somme à payer pour un client qui a fait

$7$ minutes de communication.

Comme le client a fait

$7$ minutes de communication, alors pour calculer somme à payer on remplace

$x$ par

$7$ dans l'équation précédente.

Ainsi, pour

$x=7$ , on a :

$y=60\times 7=420$

D'où,

$\boxed{y=420}$

Donc, pour un client qui a fait

$7$ minutes de communication, la somme à payer est de

$420\;F.$

b) Un client dispose

$4\,800\;F.$ Calculons le nombre de minutes qu'il peut faire.

Dans l'équation précédente,

$y$ représente la somme à payer. Donc, pour trouver le nombre de minutes à faire lorsqu'un client dispose d'une somme de

$4\,800\;F$ , on remplace

$y$ par

$4\,800\;F$ et essaie de trouver

$x.$

Ainsi, pour

$y=4\,800$ , on a :

$4\,800=60x$

Par suite, le nombre de minutes que ce client peut faire sera donné par :

$x=\dfrac{4\,800}{60}=80$

D'où,

$\boxed{x=80}$

Donc, un client qui dispose

$4\,800\;F$ peut faire

$80$ minutes de communication.

Exercice 3

Une bibliothèque de prêt demande à ses clients

$300\;F$ par livre emprunté. On note

$x$ le nombre de livres empruntés par un client en une année et

$S(x)$ la somme à payer.

1) a) Exprimons

$S(x)$ en fonction de

$x.$

Soit

$x$ le nombre de livres emprunté par un client en une année et soit

$S(x)$ la somme totale payée pour ces

$x$ livres empruntés.

On sait que pour chaque livre emprunté, on paye

$300\;F.$

Donc, pour

$x$ livres empruntés le client doit payer une somme égale à

$300\times x\;F.$

Ainsi, si

$S(x)$ est la somme totale payée pour ces

$x$ livres empruntés alors, on aura :

$S(x)=300\times x\;F$

Par suite,

$\boxed{S(x)=300x}$

b) Donnons la nature de cette application.

On constate que

$S(x)=300x$ est de la forme

$S(x)=ax$ avec

$a=300.$

Ce qui est caractéristique d'une application linéaire.

Donc,

$S(x)$ est une application linéaire.

c) Déterminons son sens de variation.

Soit

$S(x)=300x$ , le coefficient de l'application linéaire

$S$ est donc

$300.$

Or,

$300>0$ donc,

$S$ est croissante

2) Représentons graphiquement

$S$ avec comme échelle :

$-\$ en abscisse :

$1\;cm\ \longrightarrow\ 1\text{ livre}$

$-\$ en ordonnée :

$1\;cm\ \longrightarrow\ 300\;F$

Comme

$S$ est une application linéaire alors, sa représentation graphique est une droite qui passe par

$O$ origine du repère et par le point

$A\begin{pmatrix} 1\\a\end{pmatrix}$ avec

$a$ le coefficient de l'application linéaire.

Donc, cette droite passe par

$O$ et par le point

$A\begin{pmatrix} 1\\300\end{pmatrix}$

Par ailleurs, en tenant compte de l'échelle, on obtiendra une droite qui passe par

$O$ et par le point

$A\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$

Ainsi, on place donc le point

$A$ dans le repère et ensuite, on trace la droite passant par

$O$ et par

$A.$

3) Déterminons graphiquement le nombre de livre emprunté par un client qui paie

$2\,400\;F.$

D'après l'échelle, on a :

$300\;F\ \longrightarrow\ 1\;cm$

Donc,

$2\,400\;F\ \longrightarrow\ \dfrac{2\,400}{300}\times 1\;cm=8\;cm$

Ainsi, à partir de la valeur

$8$ en ordonnée, on trace une droite horizontale. Soit

$B$ le point de contact de cette droite avec la droite représentative de

$S.$ A partir du point

$B$ , on trace une autre droite verticale qui coupe l'axe des abscisses en un point.

L'abscisse de ce point correspond au nombre de livres emprunté par un client qui paie

$2\,400\;F$ , en tenant compte de l'échelle.

On obtient alors la valeur

$8\;cm.$ Or, d'après l'échelle,

$1\;cm\ \longrightarrow\ 1\text{ livre}$

Donc,

$8\;cm\ \longrightarrow\ 8\text{ livres}$

Par conséquent, un client qui paie

$2\,400\;F$ peut emprunter

$8$ livres.

Exercice 4

On considère les trois tableaux ci-dessous.

$1\;.\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&7&14&35 \\ \hline y&1&2&4 \\ \hline\end{array}\quad 2\;.\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&1.5&2&2.5 \\ \hline y&4.5&6&7.5 \\ \hline\end{array}\quad 3\;.\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&30&36&39 \\ \hline y&10&12&13 \\ \hline\end{array}$

1) Véfifions si ces tableaux sont des tableaux de proportionnalité.

$-\$ Pour le tableau

$1$ , on a :

$\dfrac{1}{7}=0.142$

$\dfrac{2}{14}=0.142$

$\dfrac{4}{35}=0.114$

Comme,

$0.114$ est différent de

$0.142$ alors, cette situation n'est pas proportionnelle à

$x.$

Par conséquent, le tableau

$1$ n'est pas un tableau proportionnalité.

$-\$ Pour le tableau

$2$ , on a :

$\dfrac{4.5}{1.5}=3$ donc,

$4.5=3\times 1.5$

$\dfrac{6}{2}=3$ donc,

$6=3\times 2$

$\dfrac{7.5}{2.5}=3$ donc,

$7.5=3\times 2.5$

Ainsi, pour le passage des valeurs de la première ligne à celles de la deuxième ligne, on multiplie par le même nombre

$3.$

Par suite, le tableau

$2$ représente une situation de proportionnalité.

$-\$ Pour le tableau

$3$ , on a :

$\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}$ donc,

$10=\dfrac{1}{3}\times 30$

$\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$ donc,

$12=\dfrac{1}{3}\times 36$

$\dfrac{13}{39}=\dfrac{1}{3}$ donc,

$13=\dfrac{1}{3}\times 39$

Ainsi, pour le passage des valeurs de la première ligne à celles de la deuxième ligne, on multiplie par le même nombre

$\dfrac{1}{3}.$

Ce qui signifie que le tableau

$3$ représente un tableau de proportionnalité.

2) Déterminons l'application linéaire qui correspond aux tableaux

$2\$ et

$\ 3$ sous la forme

$y=ax$

Pour le tableau

$2$ , on sait que pour obtenir les valeurs de la ligne

$y$ , on multiplie celles de la ligne

$x$ par un même coefficient

$3.$

Donc, pour chaque valeur de

$x$ donnée, la valeur de

$y$ correspondante est obtenue en multipliant par

$3$ la valeur de

$x.$

Ce qui se traduit par :

$y=3\times x$

Ainsi, l'application linéaire qui correspond au tableaux

$2$ est :

$y=3x$

De la même manière, dans le tableau

$3$ , pour obtenir les valeurs de la ligne

$y$ , on multiplie celles de la ligne

$x$ par un même coefficient

$\dfrac{1}{3}.$

Donc, en multipliant chaque valeur de

$x$ par le même coefficient

$\dfrac{1}{3}$ , on obtient la valeur de

$y$ correspondante.

Ce qui signifie alors :

$y=\dfrac{1}{3}\times x$

D'où, l'application linéaire qui correspond au tableaux

$3$ est :

$y=\dfrac{1}{3}x$

Exercice 5

Parmi ces relations, identifions celles qui traduisent une application linéaire puis déterminons le coefficient de linéarité et le sens de variation.

En effet, toute relation entre

$x\$ et

$\ y$ de la forme

$y=ax$ avec

$a$ un nombre rationnel, traduit une application linéaire.

Donc, pour les relations suivantes, il suffit de vérifier si elles peuvent se mettre sous cette forme.

1) a) Soit :

$y=3x$ alors, on a une application linéaire, de coefficient de linéarité

$3.$

Comme

$3>0$ alors, cette application linéaire est croissante.

b) Soit :

$y=3x-1$

On constate que cette relation ne peut pas se mettre sous la forme

$y=ax$ donc, elle ne traduit pas une application linéaire.

c) Soit :

$y=3$

On remarque que cette relation n'est pas de la forme

$y=ax$ donc, elle n'est pas une application linéaire.

d) Soit

$y =-3x$ alors, on a une application linéaire, de coefficient de linéarité

$-3.$

$-3$ étant négatif alors, l'application linéaire est décroissante.

e) Soit

$y=5x^{2}$

Comme la relation n'est pas de la forme

$y=ax$ alors, elle ne traduit pas une application linéaire.

f) Soit

$y=-x=(-1)\times x$ , alors on a une application linéaire, de coefficient de linéarité

$-1.$

Comme

$-1$ est négatif alors, l'application linéaire est décroissante.

g) Soit

$y=x=1\times x.$

Donc, cette relation traduit une application linéaire, de coefficient de linéarité

$1.$

Or,

$1$ est positif donc, l'application linéaire est croissante.

h) Soit

$y=5x$ alors, on a une application linéaire, de coefficient de linéarité

$5.$

$5$ étant positif donc, l'application linéaire est croissante.

2) a) Soit

$y=-\dfrac{4}{3}x$

Cette relation traduit une application linéaire, de coefficient de linéarité

$-\dfrac{4}{3}.$

Comme

$-\dfrac{4}{3}<0$ alors, l'application linéaire est décroissante.

b) Soit :

$y=3+\dfrac{5}{4}x$

On constate que cette relation ne peut pas se mettre sous la forme

$y=ax.$

Par conséquent, elle ne traduit pas une application linéaire.

c) Soit :

$y=\dfrac{3x+1}{2}-\dfrac{1}{2}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} y&=&\dfrac{3x+1}{2}-\dfrac{1}{2}\\\\&=&\dfrac{3x+1-1}{2}\\\\&=&\dfrac{3x+0}{2}\\\\&=&\dfrac{3}{2}x\end{array}$

Donc, on obtient finalement :

$y=\dfrac{3}{2}x$ qui traduit bien une application linéaire, de coefficient de linéarité

$\dfrac{3}{2}$

Comme

$\dfrac{3}{2}>0$ alors, l'application linéaire est croissante.

Exercice 6 "Image et antécédent"

On considère l'application :

$y=-2x.$

1) a) Cette application est linéaire.

Justifions.

On a : la relation

$y=-2x$ signifie que pour tout nombre rationnel

$x$ , on associe le nombre rationnel

$y$ égal à

$-2\times x.$

Donc, l'application

$y=-2x$ est une application linéaire.

b) Le nombre

$-2$ s'appelle le coefficient de linéarité de l'application.

$y$ représente l'image de

$x$ par cette application linéaire

$x$ représente l'antécédent de

$y$ par cette même application linéaire.

2) Calculons les images de :

$2\;;\ -3\;;\ 0\$ et

$\ 3\pi.$

$-\$ image de

$2$

Dans la relation

$y=-2x$ , on remplace

$x$ par

$2$ et on trouve la valeur de

$y.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} y&=&-2x\\\\&=&-2\times 2\\\\&=&-4\end{array}$

Donc, l'image de

$2$ par cette application linéaire est égale à

$-4.$

$-\$ image de

$-3$

Dans la relation

$y=-2x$ , en remplaçant

$x$ par

$-3$ et on obtient la valeur de

$y.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} y&=&-2x\\\\&=&-2\times (-3)\\\\&=&6\end{array}$

Donc, l'image de

$-3$ par cette application linéaire est égale à

$6.$

$-\$ image de

$0$

Dans la relation

$y=-2x$ , en remplaçant

$x$ par

$0$ et on trouve

$y=0.$

Ce qui signifie que

$0$ est l'image de

$0$ par cette application linéaire.

$-\$ image de

$3\pi$

Dans la relation

$y=-2x$ , en remplaçant

$x$ par

$3\pi$ on obtient la valeur de

$y.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} y&=&-2x\\\\&=&-2\times 3\pi\\\\&=&-6\pi\end{array}$

Donc, l'image de

$3\pi$ par cette application linéaire est égale à

$-6\pi.$

3) Calculons les antécédents des nombres :

$-4\;;\ \dfrac{4}{3}\$ et

$\ 2\pi.$

$-\$ antécédent de

$-4$

D'après le résultat de la question

$2)$ , on a :

$-4$ est l'image de

$2$ par cette application linéaire.

Ce qui signifie que

$2$ est l'antécédent de

$-4$ par cette même application linéaire.

$-\$ antécédent de

$\dfrac{4}{3}$

Dans la relation

$y=-2x$ , en remplaçant

$y$ par

$\dfrac{4}{3}$ on obtient :

$\dfrac{4}{3}=-2x$

On résout alors l'équation

$-2x=\dfrac{4}{3}$ pour trouver la valeur de

$x.$

On a :

$\begin{array}{rcl} -2x=\dfrac{4}{3}&\Leftrightarrow&x=\dfrac{\dfrac{4}{3}}{-2}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{4\times 1}{3\times(-2)}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{4}{-6}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{2}{-3}\end{array}$

Donc,

$\dfrac{2}{-3}$ est l'antécédent de

$\dfrac{4}{3}$ par cette application linéaire.

$-\$ antécédent de

$2\pi$

Dans la relation

$y=-2x$ , on remplace

$y$ par

$2\pi.$ Ce qui donne :

$2\pi=-2x$

On résout alors l'équation

$-2x=2\pi$ pour trouver la valeur de

$x.$

On a :

$\begin{array}{rcl} -2x=2\pi&\Leftrightarrow&x=\dfrac{2\pi}{-2}\\\\&\Leftrightarrow&x=-\pi\end{array}$

Donc,

$-\pi$ est l'antécédent de

$2\pi$ par cette application linéaire.

4) a) Traçons

$(d)$ la représentation graphique de cette application dans un repère orthonormé.

On sait que : la représentation graphique d'une application linéaire est une droite qui passe par

$O$ ; origine du repère et par le point

$A\begin{pmatrix} 1\\a\end{pmatrix}$ avec

$a$ le coefficient de l'application linéaire.

on a : le coefficient de linéarité

$a$ de cette application est égal à

$-2.$

Donc,

$(d)$ est la droite qui passe par

$O$ et par

$A\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}.$

On place alors le point

$A$ dans dans un repère orthonormé puis, on trace la droite

$(d)$ passant par

$O$ et par le point

$A.$

b) Déterminons graphiquement l'image de

$-1.$

Pour cela, on se place sur l'axe des abscisses à la valeur

$-1$ puis, on trace une droite verticale.

Cette droite coupe la droite

$(d)$ au point

$B.$

Alors, à partir de ce point

$B$ , on trace une droite horizontale.

On constate que cette droite coupe l'axe des ordonnées à la valeur

$2.$

Par conséquent,

$2$ est l'image de

$-1$ par cette application linéaire.

Exercice 7 "Détermination d'une application linéaire"

$f$ est une application linéaire, on sait que :

$f(2)=-4.$

1) Trouvons le coefficient

$a$ de cette application linéaire.

Comme

$f$ est une application linéaire alors, pour tout nombre rationnel

$x$ , on a :

$f(x)=ax$

avec

$a$ le coefficient de linéarité.

On sait que

$f(2)=-4$

Donc, dans l'expression

$f(x)=ax$ , en remplaçant

$x$ par

$2$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} f(2)=-4&\Leftrightarrow&a\times 2=-4\\\\&\Leftrightarrow&a=\dfrac{-4}{2}\\\\&\Leftrightarrow&a=-2\end{array}$

Donc,

$\boxed{a=-2}$

2) Donnons l'expression de

$x$ par

$f$ puis la représentation graphique de cette application dans un repère orthonormé.

Dans l'expression

$f(x)=ax$ , on remplace

$a$ par

$-2.$

On obtient alors :

$f(x)=-2x$

Comme

$f(x)$ est une application linéaire alors, sa représentation graphique est une droite qui passe par

$O$ ; origine du repère et par le point

$A\begin{pmatrix} 1\\a\end{pmatrix}$ avec

$a$ le coefficient de l'application linéaire.

on a :

$a=-2.$

Donc, on trace la droite qui passe par

$O$ et par

$A\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}.$

3) Calculons de deux façons l'image de

$2\,008.$

$1e\;$ façon : on utilise le calcul direct

On calcule

$f(2\,008).$ Pour cela, on remplace

$x$ par

$2\,008$ , dans l'expression de

$f(x)=-2x.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} f(2\,008)&=&-2\times 2\,008\\\\&=&-4\,016\end{array}$

Donc, l'image de

$2\,008$ par l'application linéaire

$f$ est égale à

$-4\,016.$

$2e\;$ façon : on utilise la propriété de la linéarité

On peut écrire :

$2\,008=2\,000+8$

Donc, on a :

$f(2\,008)=f(2\,000+8)$

D'après une propriété de la linéarité, on a :

$f(2\,000+8)=f(2\,000)+f(8)$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} f(2\,008)&=&f(2\,000+8)\\\\&=&f(2\,000)+f(8)\\\\&=&-2\times 2\,000+(-2)\times 8\\\\&=&-4\,000-16\\\\&=&-4\,016\end{array}$

Donc,

$-4\,016$ est l'image de

$2\,008$ par l'application linéaire

$f.$

Exercice 8 "Propriété de la linéarité"

Calculons le coefficient des applications linéaires

$f\;,\ g\$ et

$\ h.$

$f$ est telle que :

$f(2)+f(-3)=6$

Soit

$f(x)=ax.$

Comme

$f$ est une application linéaire alors, d'après une propriété de la linéarité, on a :

$f(2)+f(-3)=f(2-3)=f(-1)$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} f(2)+f(-3)=6&\Leftrightarrow&f(2-3)=6\\\\&\Leftrightarrow&f(-1)=6\\\\&\Leftrightarrow&a\times(-1)=6\\\\&\Leftrightarrow&a=\dfrac{6}{-1}\\\\&\Leftrightarrow&a=-6\end{array}$

Donc,

$\boxed{a=-6}$

$g$ est telle que :

$3g(2)=1.5$

Soit

$g(x)=ax$

Comme

$g$ est une application linéaire alors, d'après une propriété de la linéarité, on a :

$3g(2)=g(3\times 2)=g(6)$

Donc,

$\begin{array}{rcl} 3g(2)=1.5&\Leftrightarrow&g(3\times 2)=1.5\\\\&\Leftrightarrow&g(6)=1.5\\\\&\Leftrightarrow&a\times 6=1.5\\\\&\Leftrightarrow&a=\dfrac{1.5}{6}\\\\&\Leftrightarrow&a=0.25\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{a=0.25}$

$h$ est telle que :

$h(-2)-\dfrac{1}{2}h(3)=2$

Soit

$h(x)=ax$

Comme

$h$ est une application linéaire alors, d'après une propriété de la linéarité, on a :

$\dfrac{1}{2}h(3)=h\left(\dfrac{1}{2}\times 3\right)=h\left(\dfrac{3}{2}\right)$

Donc, en remplaçant

$\dfrac{1}{2}h(3)$ par

$h\left(\dfrac{3}{2}\right)$ , on obtient :

$h(-2)-\dfrac{1}{2}h(3)=h(-2)-h\left(\dfrac{3}{2}\right)$

En appliquant encore une propriété de la linéarité, on trouve :

$h(-2)-h\left(\dfrac{3}{2}\right)=h\left(-2-\dfrac{3}{2}\right)=h\left(-\dfrac{4}{2}-\dfrac{3}{2}\right)=h\left(-\dfrac{7}{2}\right)$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} h(-2)-\dfrac{1}{2}h(3)=2&\Leftrightarrow&h(-2)-h\left(\dfrac{3}{2}\right)=2\\\\&\Leftrightarrow&h\left(-\dfrac{7}{2}\right)=2\\\\&\Leftrightarrow&a\times\left(-\dfrac{7}{2}\right)=2\\\\&\Leftrightarrow&a=\dfrac{2}{-\dfrac{7}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{2\times 2}{7}\\\\&\Leftrightarrow&a=-\dfrac{4}{7}\end{array}$

D'où,

$\boxed{a=-\dfrac{4}{7}}$

Exercice 9 "Détermination d'une application linéaire"

1) Déterminons l'application linéaire

$g$ définie par :

$3g(2)+g(1)=-14$

Comme

$g$ est une application linéaire alors, pour tout nombre rationnel

$x$ , on a :

$g(x)=ax$

Déterminons alors son coefficient de linéarité

$a.$

On sait que :

$3g(2)+g(1)=-14$

Or, d'après une propriété de la linéarité, on a :

$3g(2)=h(3\times 2)=g(6)$

Donc :

$3g(2)+g(1)=g(6)+g(1)$

En appliquant encore une propriété de la linéarité, on obtient :

$g(6)+g(1)=g(6+1)=g(7)$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} 3g(2)+g(1)=-14&\Leftrightarrow&g(6)+g(1)=-14\\\\&\Leftrightarrow&g(7)=-14\\\\&\Leftrightarrow&a\times 7=-14\\\\&\Leftrightarrow&a=\dfrac{-14}{7}\\\\&\Leftrightarrow&a=-2\end{array}$

D'où,

$\boxed{a=-2}$

Par conséquent, l'application linéaire

$g$ est définie par :

$g(x)=-2x$

2) Déterminons le sens de variation de

$g$ puis calculons

$g\left(-\dfrac{1}{3}\right)$

Comme le coefficient de linéarité

$-2$ est inférieur à

$0$ alors, l'application linéaire

$g$ est décroissante.

$-\$ Calcul de

$g\left(-\dfrac{1}{3}\right)$

On a :

$\begin{array}{rcl} g\left(-\dfrac{1}{3}\right)&=&-2\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)\\\\&=&\dfrac{2}{3}\end{array}$

Donc,

$\boxed{g\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}}$

3) Représentons

$g$ dans un repère orthonormé.

Comme

$g$ est une application linéaire alors, sa représentation graphique est une droite qui passe par

$O$ ; origine du repère et par le point

$A\begin{pmatrix} 1\\a\end{pmatrix}$ avec

$a$ le coefficient de l'application linéaire.

on a :

$a=-2.$

Donc, on trace la droite passant par

$O$ et par

$A\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}.$

Exercice 10 "Triangle équilatéral et application linéaire"

On désigne

$x$ le côté d'un triangle équilatéral et

$p(x)$ le périmètre du triangle.

1) Exprimons

$p(x)$ en fonction de

$x$ puis donnons la nature de cette application.

On sait que : dans un triangle équilatéral, les côtés ont même longueur.

Alors, on a :

$\text{Périmètre du triangle équilatéral}=3\times\text{Longueur d'un côté}$

Donc, si

$x$ est la longueur d'un côté alors, le périmètre

$p(x)$ de ce triangle équilatéral est donné par :

$\begin{array}{rcl} p(x)&=&3\times\text{Longueur d'un côté}\\\\&=&3\times x\\\\&=&3x\end{array}$

D'où,

$\boxed{p(x)=3x}$

L'application

$p(x)=3x$ est donc une application linéaire de coefficient de linéarité

$3.$

2) Calculons

$x$ si le périmètre est de

$27\;m.$

Le périmètre est égal à

$27\,m$ signifie que

$p(x)=27\,m.$

Comme

$p(x)=3x$ alors, pour trouver la valeur de

$x$ , on va résoudre l'équation :

$3x=27$

On a :

$\begin{array}{rcl} 3x=27&\Leftrightarrow&x=\dfrac{27}{3}\\\\&\Leftrightarrow&x=9\end{array}$

D'où,

$\boxed{x=9\,m}$

Exercice 11 "Le rectangle et application linéaire"

Soit

$x$ la longueur d'un rectangle de largeur

$6\;m.$

1) Exprimons le périmètre

$p(x)$ en fonction de

$x.$

On sait que le périmètre d'un rectangle de longueur

$L$ et de largeur

$\ell$ est donné par :

$\text{Périmètre du rectangle}=2\times(L+\ell)$

Donc, si la longueur

$L$ est égale à

$x$ et la largeur

$\ell$ égale à

$6\;m$ alors, le périmètre

$p(x)$ de ce rectangle est donné par :

$\begin{array}{rcl} p(x)&=&2\times(L+\ell)\\\\&=&2\times(x+6)\\\\&=&2\times x+2\times 6\\\\&=&2x+12\end{array}$

D'où,

$\boxed{p(x)=2x+12}$

2) Exprimons l'aire

$\mathcal{A}(x)$ en fonction de

$x.$

On sait que l'aire

$\mathcal{A}(x)$ de ce rectangle est donnée par :

$\mathcal{A}(x)=\ell\times L$

On remplace

$L$ par sa valeur

$x$ et

$\ell$ par sa valeur

$6.$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}(x)&=&\ell\times L\\\\&=&6\times x\\\\&=&6x\end{array}$

D'où,

$\boxed{\mathcal{A}(x)=6x}$

3) Calculons

$x$ si le périmètre est de

$38\;m.$

D'après le résultat de la question

$1)$ , on a :

$p(x)=2x+12.$

Comme le périmètre est égal à

$38\,m$ alors, cela signifie que

$p(x)=38\,m.$

Donc, pour trouver la valeur de

$x$ , on va résoudre l'équation :

$2x+12=38$

On a :

$\begin{array}{rcl} 2x+12=38&\Leftrightarrow&2x=38-12\\\\&\Leftrightarrow&2x=26\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{26}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=13\end{array}$

D'où,

$\boxed{x=13\,m}$

4) Calculons l'aire

$\mathcal{A}$ si la longueur est égale à

$6.5\;m$

D'après le résultat de la question

$2)$ , on a l'aire

$\mathcal{A}(x)=6x$ avec

$x$ la longueur de ce rectangle.

Donc, si cette longueur

$x$ est égale à

$6.5\;m$ alors, pour trouver l'aire

$\mathcal{A}$ , on remplace

$x$ par

$6.5$ dans l'expression de

$\mathcal{A}(x).$

C'est-à-dire, on calcule

$\mathcal{A}(6.5).$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}(6.5)&=&6\times 6.5\\\\&=&39\end{array}$

D'où,

$\boxed{\mathcal{A}=39\;m^{2}}$

Exercice 12 "Représentation graphique d'une application linéaire"

On considère les applications linéaires

$f$ et

$g$ telles que :

$f(x)=-\dfrac{1}{2}x\quad\text{et}\quad g(x)=2x$

1) Calculons les images par

$f$ des nombres :

$0\;;\ -3\$ et

$\ -\pi.$

$-\$ image de

$0$

On calcule

$f(0)$ en remplaçant

$x$ par

$0$ dans la relation

$f(x)=-\dfrac{1}{2}x.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} f(0)&=&-\dfrac{1}{2}\times 0\\\\&=&0\end{array}$

Donc, l'image de

$0$ par

$f$ est égale à

$0.$

$-\$ image de

$-3$

On calcule

$f(-3).$ Pour cela, on remplace

$x$ par

$-3$ dans la relation

$f(x)=-\dfrac{1}{2}x.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} f(-3)&=&-\dfrac{1}{2}\times(-3)\\\\&=&\dfrac{3}{2}\end{array}$

Donc,

$\dfrac{3}{2}$ est l'image de

$-3$ par l'application linéaire

$f.$

$-\$ image de

$-\pi$

On calcule

$f(-\pi)$ en remplaçant

$x$ par

$-\pi$ dans la relation

$f(x)=-\dfrac{1}{2}x.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} f(-\pi)&=&-\dfrac{1}{2}\times(-\pi)\\\\&=&\dfrac{\pi}{2}\end{array}$

D'où, l'image de

$-\pi$ par

$f$ est égale à

$\dfrac{\pi}{2}.$

2) Calculons les images par

$g$ des nombres :

$2\;;\ 3\$ et

$\ -5\pi.$

$-\$ image de

$2$

On calcule alors

$g(2)$ en remplaçant

$x$ par

$2$ dans la relation

$g(x)=2x.$

Ce qui donne :

$\begin{array}{rcl} g(2)&=&2\times 2\\\\&=&4\end{array}$

Donc, l'image de

$2$ par l'application linéaire

$g$ est égale à

$4.$

$-\$ image de

$3$

On calcule

$g(3).$ Pour cela, on remplace

$x$ par

$3$ dans la relation

$g(x)=2x.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} g(3)&=&2\times 3\\\\&=&6\end{array}$

D'où,

$6$ est l'image de

$3$ par l'application

$g.$

$-\$ image de

$-5\pi$

On calcule

$g(-5\pi)$ en remplaçant

$x$ par

$-5\pi$ dans la relation

$g(x)=2x.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} g(-5\pi)&=&2\times(-5\pi)\\\\&=&-10\pi\end{array}$

Donc, l'image de

$-5\pi$ par

$g$ est égale à

$-10\pi.$

3) Calculons les antécédents par

$f$ des nombres

$4\$ et

$\ -6.$

$-\$ antécédent de

$4$

Dans la relation

$f(x)=-\dfrac{1}{2}x$ , en remplaçant

$f(x)$ par

$4$ on obtient :

$4=-\dfrac{1}{2}x$

On résout alors l'équation

$-\dfrac{1}{2}x=4$ pour trouver la valeur de

$x.$

On a :

$\begin{array}{rcl} -\dfrac{1}{2}x=4&\Leftrightarrow&-x=4\times 2\\\\&\Leftrightarrow&-x=8\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{8}{-1}\\\\&\Leftrightarrow&x=-8\end{array}$

Donc,

$-8$ est l'antécédent de

$4$ par l'application linéaire

$f.$

$-\$ antécédent de

$-6$

Dans la relation

$f(x)=-\dfrac{1}{2}x$ , on remplace

$f(x)$ par

$-6.$

Ce qui donne :

$-6=-\dfrac{1}{2}x$

On résout alors l'équation

$-\dfrac{1}{2}x=-6$ pour trouver la valeur de

$x.$

On a :

$\begin{array}{rcl} -\dfrac{1}{2}x=-6&\Leftrightarrow&-x=-6\times 2\\\\&\Leftrightarrow&-x=-12\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-12}{-1}\\\\&\Leftrightarrow&x=12\end{array}$

Ainsi, l'antécédent de

$-6$ par

$f$ est égal à

$12.$

4) Calculons les antécédents par

$g$ des nombres

$4\$ et

$\ -6.$

$-\$ antécédent de

$4$

Dans la relation

$g(x)=2x$ , en remplaçant

$g(x)$ par

$4$ on obtient :

$4=2x$

On résout alors l'équation

$2x=4$ pour trouver la valeur de

$x.$

On a :

$\begin{array}{rcl} 2x=4&\Leftrightarrow&x=\dfrac{4}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=2\end{array}$

Donc,

$2$ est l'antécédent de

$4$ par l'application linéaire

$g.$

$-\$ antécédent de

$-6$

Dans la relation

$g(x)=2x$ , on remplace

$g(x)$ par

$-6.$

On obtient alors :

$-6=2x$

Donc, en résolvant l'équation

$2x=-6$ , on trouve la valeur de

$x.$

On a :

$\begin{array}{rcl} 2x=-6&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-6}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=-3\end{array}$

D'où, l'antécédent de

$-6$ par

$g$ est égal à

$-3.$

5) Traçons la droite

$(d)$ représentation graphique de

$f.$

On a :

$f(x)=-\dfrac{1}{2}x$

Comme

$f$ est une application linéaire de coefficient

$-\dfrac{1}{2}$ alors, sa représentation graphique est une droite qui passe par

$O$ ; origine du repère et par le point

$A\begin{pmatrix} 1\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}.$

Donc, on place le point

$A\begin{pmatrix} 1\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ et on trace la droite

$(d)$ passant par

$O\$ et

$\ A.$

6) Traçons la droite

$(d')$ représentation graphique de

$g.$

On a :

$g(x)=2x$

Comme

$g$ est une application linéaire de coefficient

$2$ alors, sa représentation graphique est une droite qui passe par

$O$ ; origine du repère et par le point

$B\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}.$

On place alors le point

$B\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}$ puis, on trace la droite

$(d')$ passant par

$O\$ et

$\ B.$

7) Vérifions que

$(d)\$ et

$\ (d')$ sont perpendiculaires.

On remarque que les deux droites

$(d)\$ et

$\ (d')$ sont sécantes en

$O.$

En mesurant l'angle

$\widehat{AOB}$ formé par ces deux droites, on trouve

$90^{\circ}.$

Ce qui signifie que les droites

$(d)\$ et

$\ (d')$ sont perpendiculaires.

Exercice 13

On donne les applications linéaires suivantes

$m\;,\ k\$ et

$\ l$ telles que :

$m(x)=\dfrac{x}{3}\;,\ k(x)=-\dfrac{1}{2}x\;,\ l(x)=7x$

1) Indiquons le coefficient de linéarité de chaque application linéaire.

On a :

$m(x)=\dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{3}x$ donc, le coefficient de linéarité de

$m$ est égal à

$\dfrac{1}{3}.$

$k(x)=-\dfrac{1}{2}x$ , ce qui signifie que

$\dfrac{1}{2}$ est le coefficient de linéarité de

$k.$

$l(x)=7x=7$ donc, l'application

$l$ a pour coefficient de linéarité

$7.$

2) Calculons l'image de chacun des rationnels suivants :

$-2\;;\ \dfrac{1}{3}\;;\ -\dfrac{3}{2}$ par les applications linéaires

$m\;,\ k\$ et

$\ l.$

$-\$ image de

$-2$ par

$m$

On calcule

$m(-2)$ en remplaçant

$x$ par

$-2$ dans la relation

$m(x)=\dfrac{x}{3}.$

Alors, on a :

$m(-2)=\dfrac{-2}{3}$

Donc, l'image de

$-2$ par

$m$ est égale à

$\dfrac{-2}{3}.$

$-\$ image de

$-2$ par

$k$

On calcule

$k(-2)$ en remplaçant

$x$ par

$-2$ dans la relation

$k(x)=-\dfrac{1}{2}x.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} k(-2)&=&-\dfrac{1}{2}\times(-2)\\\\&=&\dfrac{2}{2}\\\\&=&1\end{array}$

D'où, l'image de

$-2$ par

$k$ est égale à

$1.$

$-\$ image de

$-2$ par

$l$

On calcule

$l(-2)$ en remplaçant

$x$ par

$-2$ dans la relation

$l(x)=7x.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} l(-2)&=&7\times(-2)\\\\&=&-14\end{array}$

Ainsi,

$-14$ est l'image de

$-2$ par

$l.$

$-\$ image de

$\dfrac{1}{3}$ par

$m$

On calcule

$m\left(\dfrac{1}{3}\right)$ en remplaçant

$x$ par

$\dfrac{1}{3}$ dans la relation

$m(x)=\dfrac{1}{3}x.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} m\left(\dfrac{1}{3}\right)&=&\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\\\\&=&\dfrac{1}{3\times 3}\\\\&=&\dfrac{1}{9}\end{array}$

D'où, l'image de

$\dfrac{1}{3}$ par

$m$ est égale à

$\dfrac{1}{9}.$

$-\$ image de

$\dfrac{1}{3}$ par

$k$

On calcule

$k\left(\dfrac{1}{3}\right)$ en remplaçant

$x$ par

$\dfrac{1}{3}$ dans la relation

$k(x)=-\dfrac{1}{2}x.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} k\left(\dfrac{1}{3}\right)&=&-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}\\\\&=&-\dfrac{1}{2\times 3}\\\\&=&-\dfrac{1}{6}\end{array}$

Donc, l'image de

$\dfrac{1}{3}$ par

$k$ est égale à

$-\dfrac{1}{6}.$

$-\$ image de

$\dfrac{1}{3}$ par

$l$

On calcule

$l\left(\dfrac{1}{3}\right)$ en remplaçant

$x$ par

$\dfrac{1}{3}$ dans la relation

$l(x)=7x.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} l\left(\dfrac{1}{3}\right)&=&7\times\dfrac{1}{3}\\\\&=&\dfrac{7}{3}\end{array}$

Ainsi,

$\dfrac{7}{3}$ est l'image de

$\dfrac{1}{3}$ par

$l.$

$-\$ image de

$-\dfrac{3}{2}$ par

$m$

On calcule

$m\left(-\dfrac{3}{2}\right)$ en remplaçant

$x$ par

$-\dfrac{3}{2}$ dans la relation

$m(x)=\dfrac{1}{3}x.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} m\left(-\dfrac{3}{2}\right)&=&\dfrac{1}{3}\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)\\\\&=&-\dfrac{3}{3\times 2}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}$

D'où, l'image de

$-\dfrac{3}{2}$ par

$m$ est égale à

$-\dfrac{1}{2}.$

$-\$ image de

$-\dfrac{3}{2}$ par

$k$

On calcule

$k\left(-\dfrac{3}{2}\right)$ en remplaçant

$x$ par

$-\dfrac{3}{2}$ dans la relation

$k(x)=-\dfrac{1}{2}x.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} k\left(-\dfrac{3}{2}\right)&=&-\dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)\\\\&=&\dfrac{1\times 3}{2\times 2}\\\\&=&\dfrac{3}{4}\end{array}$

Ainsi,

$\dfrac{3}{4}$ est l'image de

$-\dfrac{3}{2}$ par

$k.$

$-\$ image de

$-\dfrac{3}{2}$ par

$l$

On calcule

$l\left(-\dfrac{3}{2}\right)$ en remplaçant

$x$ par

$-\dfrac{3}{2}$ dans la relation

$l(x)=7x.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} l\left(-\dfrac{3}{2}\right)&=&7\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)\\\\&=&-\dfrac{21}{2}\end{array}$

D'où,

$-\dfrac{21}{2}$ est l'image de

$-\dfrac{3}{2}$ par

$l.$

Exercice 14

Soit l'application linéaire

$g$ telle que

$g(6)=18.$

$18$ est l'image de

$6$ par

$g$ et

$6$ représente l'antécédent

$18$ par

$g.$

Exercice 15

Soit l'application

$k$ définie par

$k(x)=\dfrac{1}{2}x.$

Calculons l'antécédent de

$\dfrac{3}{4}$ par

$k.$

Dans la relation

$k(x)=\dfrac{1}{2}x$ , on remplace

$k(x)$ par

$\dfrac{3}{4}.$

On obtient alors :

$\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}x.$

Donc, en résolvant l'équation

$\dfrac{1}{2}x=\dfrac{3}{4}$ , on trouve la valeur de

$x.$

On a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{2}x=\dfrac{3}{4}&\Leftrightarrow&x=\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{1}{2}}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{1}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{3\times 2}{4}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{3}{2}\end{array}$

Ainsi, l'antécédent de

$\dfrac{3}{4}$ par l'application linéaire

$k$ est égal à

$\dfrac{3}{2}.$

Exercice 16

Déterminons l'application linéaire

$g$ pour laquelle

$-18$ est l'image de

$3.$

Comme

$g$ est une application linéaire alors, pour tout nombre rationnel

$x$ , on a :

$g(x)=a\times x$

avec

$a$ coefficient de linéarité.

Trouvons alors la valeur de

$a.$

On sait que

$-18$ est l'image de

$3$ par

$g.$

Ce qui peut encore s'écrire :

$g(3)=-18.$

Alors, en remplaçant

$x$ par

$3$ dans la relation

$g(x)=ax$ , on obtient :

$g(3)=a\times 3$

Donc,

$a\times 3=-18$

Ce qui donne :

$a=\dfrac{-18}{3}=-6$

D'où,

$g(x)=-6x$

Exercice 17

Soit

$g(x)=\dfrac{1}{2}x.$

1) Déterminons l'image par

$g$ de chacun des nombres suivants :

$-4\;;\ 2\;;\ \dfrac{2}{5}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} g(-4)&=&\dfrac{1}{2}\times(-4)\\\\&=&\dfrac{-4}{2}\\\\&=&-2\end{array}$

Donc,

$-2$ est l'image de

$-4$ par

$g.$

On a :

$\begin{array}{rcl} g(2)&=&\dfrac{1}{2}\times 2\\\\&=&\dfrac{2}{2}\\\\&=&1\end{array}$

Donc, l'image de

$2$ par

$g$ est égale à

$1.$

On a :

$\begin{array}{rcl} g\left(\dfrac{2}{5}\right)&=&\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5}\\\\&=&\dfrac{2}{2\times 5}\\\\&=&\dfrac{1}{5}\end{array}$

Donc,

$\dfrac{1}{5}$ est l'image de

$\dfrac{2}{5}$ par

$g.$

2) Notons les résultats dans un tableau de correspondance.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&-4&2&\dfrac{2}{5} \\ \hline g(x)&-2&1&\dfrac{1}{5} \\ \hline\end{array}$

3) Justifions que c'est un tableau de proportionnalité.

D'après les résultats de la question

$1)$ , on constate que les valeurs de la deuxième ligne du tableau sont obtenues en multipliant celles de la première ligne par le même nombre

$\dfrac{1}{2}.$

Par conséquent, ce tableau représente une situation de proportionnalité.

Exercice 18

Soit l'application linéaire

$h$ telle que

$h(-4)=8\;;\ h(7)=-14.$

Sans déterminer le coefficient de linéarité, calculons

$h(3)\;;\ h(21)\;;\ h(-28)\$ et

$\ h(11).$

$-\$ calcul de

$h(3)$

On sait que :

$-4+7=3$

Donc, on a :

$h(3)=h(-4+7)$

Or, d'après une propriété de la linéarité, on a :

$h(-4+7)=h(-4)+h(7)$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} h(3)&=&h(-4+7)\\\\&=&h(-4)+h(7)\\\\&=&8-14\\\\&=&-6\end{array}$

D'où,

$\boxed{h(3)=-6}$

$-\$ calcul de

$h(21)$

On sait que :

$21=3\times 7$

Donc, on peut écrire :

$h(21)=h(3\times 7)$

En appliquant une propriété de la linéarité, on obtient :

$h(3\times 7)=3\times h(7)$

Ainsi :

$\begin{array}{rcl} h(21)&=&h(3\times 7)\\\\&=&3\times h(7)\\\\&=&3\times(-14)\\\\&=&-42\end{array}$

Donc,

$\boxed{h(21)=-42}$

$-\$ calcul de

$h(-28)$

On sait que :

$-28=-4\times 7$

Alors, on a :

$h(-28)=h(-4\times 7)$

D'après une propriété de la linéarité, on a :

$h(-4\times 7)=-4\times h(7)$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} h(-28)&=&h(-4\times 7)\\\\&=&-4\times h(7)\\\\&=&-4\times(-14)\\\\&=&56\end{array}$

Donc,

$\boxed{h(-28)=56}$

$-\$ calcul de

$h(11)$

On remarque que :

$11=7-(-4)$

Ce qui donne alors :

$h(11)=h(7-(-4))$

Or, d'après une propriété de la linéarité, on a :

$h(7-(-4))=h(7)-h(-4)$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} h(11)&=&h(7-(-4))\\\\&=&h(7)-h(-4)\\\\&=&-14-8\\\\&=&-22\end{array}$

D'où,

$\boxed{h(11)=-22}$

Exercice 19

Représentons graphiquement l'application linéaire

$m$ définie par

$m(x)=x.$

On a :

$m(x)=x=1\times x.$

Donc, le coefficient de linéarité de

$m$ est égal à

$1.$

Ainsi, sa représentation graphique est une droite qui passe par

$O$ ; origine du repère et par le point

$A\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}.$

On place alors le point

$A\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$ puis, on trace la droite passant par

$O\$ et

$\ A.$

Exercice 20

On considère l'application linéaire

$g$ telle que

$g(11)=66\;;\ g(5)=30.$

1) Sans calculer le coefficient, calculons

$g(16)\;;\ g(22)\;;\ g(15).$

$-\$ calcul de

$g(16)$

On sait que :

$16=11+5$

Alors, on peut écrire :

$g(16)=g(11+5)$

Or, d'après une propriété de la linéarité, on a :

$g(11+5)=g(11)+g(5)$

On obtient :

$\begin{array}{rcl} g(16)&=&g(11+5)\\\\&=&g(11)+g(5)\\\\&=&66+30\\\\&=&96\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{g(16)=96}$

$-\$ calcul de

$g(22)$

On a :

$22=2\times 11$

Donc, on peut écrire :

$g(22)=g(2\times 11)$

En appliquant une propriété de la linéarité, on obtient :

$g(2\times 11)=2\times g(11)$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} g(22)&=&g(2\times 11)\\\\&=&2\times g(11)\\\\&=&2\times 66\\\\&=&132\end{array}$

D'où,

$\boxed{g(22)=132}$

$-\$ calcul de

$g(15)$

On sait que :

$15=3\times 5$

Alors, on peut écrire :

$g(15)=g(3\times 5)$

Or, en appliquant une propriété de la linéarité, on obtient :

$g(3\times 5)=3\times g(5)$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} g(15)&=&g(3\times 5)\\\\&=&3\times g(5)\\\\&=&3\times 30\\\\&=&90\end{array}$

Donc,

$\boxed{g(15)=90}$

2) Représentons graphiquement l'application

$g.$

Comme

$g$ est une application linéaire alors, sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine

$O$ du repère.

Par ailleurs, on sait que :

$g(5)=30$

Cela signifie que l'image de

$5$ par

$g$ est égale à

$30.$

D'où, le point

$A\begin{pmatrix} 5\\30\end{pmatrix}$ appartient à cette droite.

Donc, on place le point

$A$ puis, on trace la droite passant par

$O\$ et

$\ A.$

3) Déterminons graphiquement l'ordonnée du point

$M$ d'abscisse

$2.$

Pour cela, on se place sur l'axe des abscisses à la valeur

$2$ puis, on trace une droite verticale.

Cette droite coupe la droite qui représente l'application

$g$ au point

$M.$

Ensuite, à partir de

$M$ , on trace une autre droite horizontale.

On constate que cette droite horizontale coupe l'axe des ordonnées à la valeur

$12.$

Par conséquent,

$12$ l'ordonnée du point

$M$ d'abscisse

$2.$

4) Déterminons graphiquement l'abscisse du point

$N$ d'ordonnée

$-6.$

On se place sur l'axe des ordonnées à la valeur

$-6$ puis, on trace une droite horizontale.

Cette droite coupe la droite qui représente l'application

$g$ au point

$N.$

Ensuite, à partir de ce point

$N$ , on trace une autre droite verticale.

On constate que cette droite verticale coupe l'axe des abscisses à la valeur

$-1.$

Par conséquent,

$-1$ l'abscisse du point

$N$ d'ordonnée

$-6.$

Auteur:

Diny Faye

Commentaires

hannieltougma@g... (non vérifié)

dim, 07/04/2021 - 18:00

Permalien

les exercices sont très

les exercices sont très intéressant merci

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Solution des exercices : Applications linéaires - 4e

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Exercice 5

Exercice 6 "Image et antécédent"

Exercice 7 "Détermination d'une application linéaire"

Exercice 8 "Propriété de la linéarité"

Exercice 9 "Détermination d'une application linéaire"

Exercice 10 "Triangle équilatéral et application linéaire"

Exercice 11 "Le rectangle et application linéaire"

Exercice 12 "Représentation graphique d'une application linéaire"

Exercice 13

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