Solution des exercices : Fonctions - 2nd
Classe:
Seconde
Exercice 1
Déterminons les taux de variation des fonctions suivantes et dressons leur tableau de variation
Soit : f(x)=x2 et x1; x2∈Df alors, le taux de variation de f entre x1 et x2 est donné par :
Tx2x1=f(x2)−f(x1)x2−x1=x22−x21x2−x1=(x2−x1)(x2+x1)x2−x1=x2+x1
Donc, Tx2x1=x2+x1
x1 et x2 étant très proches alors, pour x1=x2=x on a :
Tx=Tx2x1=x2+x1=x+x=2x
D'où, Tx=2x
On a :
Tx≥0⇔2x≥0⇔x≥0
Donc, si x∈[0; +∞[, f est croissante
Tx≤0⇔2x≤0⇔x≤0
Donc, si x∈]−∞; 0], f est décroissante
D'où, le tableau de variation de f
x−∞0+∞+∞|+∞variations de f↘|↗f(0)
Soit : g(x)=x2−3x+1 et x1; x2∈Dg alors, le taux de variation de g entre x1 et x2 est donné par :
Tx2x1=g(x2)−g(x1)x2−x1=x22−3x2+1−x21+3x1−1x2−x1=x22−x21−3x2+3x1x2−x1=(x2−x1)(x2+x1)−3(x2−x1)x2−x1=(x2−x1)[(x2+x1)−3]x2−x1=x2+x1−3
Ainsi, Tx2x1=x2+x1−3
Comme x1 et x2 sont très proches alors, en posant x1=x2=x on obtient :
Tx=Tx2x1=x2+x1−3=x+x−3=2x−3
D'où, Tx=2x−3
On a :
Tx≥0⇔2x−3≥0⇔2x≥3⇔x≥32
Donc, g est croissante si, x∈[32; +∞[
Tx≤0⇔2x−3≤0⇔2x≤3⇔x≤32
Par suite, g est décroissante si, x∈]−∞; 32]
D'où, le tableau de variation de g
x−∞3/2+∞+∞|+∞variations de g↘|↗f(32)
Soit : h(x)=1x et x1; x2∈Dh alors, le taux de variation de h entre x1 et x2 est donné par :
Tx2x1=h(x2)−h(x1)x2−x1=1x2−1x1x2−x1=x1−x2x2×x1x2−x1=−(x2−x1)(x2×x1)(x2−x1)=−1x2×x1
D'où, Tx2x1=−1x2×x1
Comme x1 et x2 sont très proches alors, en posant x1=x2=x on obtient :
Tx=Tx2x1=−1x2×x1=−1x×x=−1x2
Donc, Tx=−1x2
On a :
∀x≠0; x2>0⇒1x2>0⇒−1x2<0
Donc, Tx<0 pour tout x≠0
D'où, h est décroissante sur Dh=R∖{0}
Le tableau de variation de h est donné par :
x−∞0+∞0||+∞variations de h↘||↘−∞||0
Soit : k(x)=x+2x−3 et x1; x2∈Dk alors, le taux de variation de k entre x1 et x2 est donné par :
Tx2x1=k(x2)−k(x1)x2−x1=x2+2x2−3−x1+2x1−3x2−x1=(x2+2)(x1−3)−(x1+2)(x2−3)(x2−3)(x1−3)x2−x1=x1.x2+2x1−3x2−6−x1.x2−2x2+3x1+6(x2−3)(x1−3)(x2−x1)=2x1−3x2−2x2+3x1(x2−3)(x1−3)(x2−x1)=5x1−5x2(x2−3)(x1−3)(x2−x1)=−5(x2−x1)(x2−3)(x1−3)(x2−x1)=−5(x2−3)(x1−3)
D'où, Tx2x1=−5(x2−3)(x1−3)
x1 et x2 étant très proches donc, pour x1=x2=x on a :
Tx=Tx2x1=−5(x2−3)(x1−3)=−5(x−3)(x−3)=−5(x−3)2
Ainsi, Tx=−5(x−3)2
On sait que : ∀x≠3; 5(x−3)2 est positive.
Par suite, −5(x−3)2<0; ∀x≠3
Ainsi, Tx<0 pour tout x≠3
D'où, k est décroissante sur Dk=R∖{3}
Le tableau de variation de k est donné par :
x−∞3+∞1||+∞variations de k↘||↘−∞||1
Soit : m(x)=x2+5x+7x+3 et x1; x2∈Dm=R∖{−3} alors, le taux de variation de m entre x1 et x2 est donné par :
Tx2x1=m(x2)−m(x1)x2−x1=x22+5x2+7x2+3−x21+5x1+7x1+3x2−x1=(x22+5x2+7)(x1+3)−(x21+5x1+7)(x2+3)(x2+3)(x1+3)x2−x1=x22.x1+5x1.x2+7x1+3x22+15x2+21−x21.x2−5x1.x2−7x2−3x21−15x1−21(x2+3)(x1+3)(x2−x1)=x22.x1−x21.x2+8x2−8x1+3x22−3x21(x2+3)(x1+3)(x2−x1)=x2.x1(x2−x1)+8(x2−x1)+3(x2−x1)(x2+x1)(x2+3)(x1+3)(x2−x1)=(x2−x1)(x2.x1+8+3(x2+x1))(x2+3)(x1+3)(x2−x1)=x2.x1+3x2+3x1+8(x2+3)(x1+3)
D'où, Tx2x1=x2.x1+3x2+3x1+8(x2+3)(x1+3)
Comme x1 et x2 sont très proches alors, en posant x1=x2=x, on obtient :
Tm=Tx2x1=x2.x1+3x2+3x1+8(x2+3)(x1+3)=x×x+3x+3x+8(x+3)(x+3)=x2+6x+8(x+3)2
D'où, Tm=x2+6x+8(x+3)2
Cherchons le signe de Tm
Pour cela, cherchons les signes de x2+6x+8 et de (x+3)2
Soit : x2+6x+8, on a : Δ=36−32=4
Δ>0 alors, le trinôme admet deux racines distinctes :
x1=−6−22=−82=−4etx2=−6+22=−42=−2
Ainsi, x2+6x+8 est positif sur ]−∞; −4]∪[−2; +∞[ et est négatif sur [−4; −3[∪]−3; −2]
Par ailleurs, ∀x∈Dm; (x+3)2>0
Regroupons ces résultats dans le tableau de signe suivant :
x−∞−4−3−2+∞x2+6x+8+|−−|+(x+3)2++|++x2+6x+8(x+3)2+|−||−|+
D'après le tableau, on a :
⋅ Tm≥0 lorsque x∈]−∞; −4]∪[−2; +∞[ donc, Tm est croissante sur ]−∞; −4]∪[−2; +∞[
⋅ Tm≤0 pour tout x∈[−4; −3[∪]−3; −2] d'où, Tm décroissante sur [−4; −3[∪]−3; −2]
On obtient alors, le tableau de variation suivant :
x−∞−4−3−2+∞m(−4)||+∞+∞variations de m↗↘||↘↗−∞−∞||m(−2)
Soit : f1(x)=x3−3x et x1; x2∈Df1=R alors, le taux de variation de f1 entre x1 et x2 est donné par :
Tx2x1=f1(x2)−f1(x1)x2−x1=x32−3x2−x31+3x1x2−x1=x32−x31−3x2+3x1x2−x1=(x2−x1)(x22+x1.x2+x21)−3(x2−x1)x2−x1=(x2−x1)[(x22+x1.x2+x21)−3]x2−x1=x22+x21+x1.x2−3
D'où, Tx2x1=x22+x21+x1.x2−3
x1 et x2 étant très proches alors, en posant x1=x2=x, on obtient :
Tf1=Tx2x1=x2+x2+x×x−3=3x2−3=3(x2−1)
Ainsi, Tf1=3(x−1)(x+1)
Cherchons le signe de Tf1
Comme 3>0 alors le signe de Tf1 dépend du signe de (x−1)(x+1)
Or, (x−1)(x+1) est positif sur ]−∞; −1]∪[1; +∞[ et est négatif sur [−1; 1]
Par suite,
⋅ Tf1≥0 lorsque x∈]−∞; −1]∪[1; +∞[ donc, Tf1 est croissante sur ]−∞; −1]∪[1; +∞[
⋅ Tf1≤0 pour tout x∈[−1;; 1] d'où, Tf1 décroissante sur [−1; 1]
On obtient alors, le tableau de variation suivant :
x−∞−11+∞f1(−1)+∞variations de f1↗↘↗−∞f1(1)
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
jeu, 07/01/2021 - 20:48
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bonne proute
Anonyme (non vérifié)
lun, 06/03/2024 - 22:51
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Correction de l'exercice 2
Fatoumata Binta... (non vérifié)
lun, 06/24/2024 - 12:27
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Réussir
Fatoumata Binta... (non vérifié)
lun, 06/24/2024 - 12:27
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Réussir
Fatoumata Binta... (non vérifié)
lun, 06/24/2024 - 12:28
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Réussir
Fatoumata Binta... (non vérifié)
lun, 06/24/2024 - 12:51
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Réussir
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