Solution des exercices : Fonctions - 2nd

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1

Déterminons les taux de variation des fonctions suivantes et dressons leur tableau de variation
 
Soit : f(x)=x2  et  x1; x2Df alors, le taux de variation de f entre x1  et  x2 est donné par :
 
Tx2x1=f(x2)f(x1)x2x1=x22x21x2x1=(x2x1)(x2+x1)x2x1=x2+x1
 
Donc, Tx2x1=x2+x1
 
x1  et  x2 étant très proches alors, pour x1=x2=x on a :
 
Tx=Tx2x1=x2+x1=x+x=2x
 
D'où, Tx=2x
 
On a :
 
Tx02x0x0
 
Donc, si x[0; +[, f est croissante 
 
Tx02x0x0
 
Donc, si x]; 0], f est décroissante 
 
D'où, le tableau de variation de f
x0++|+variations de f|f(0)
Soit : g(x)=x23x+1  et  x1; x2Dg alors, le taux de variation de g entre x1  et  x2 est donné par :
 
Tx2x1=g(x2)g(x1)x2x1=x223x2+1x21+3x11x2x1=x22x213x2+3x1x2x1=(x2x1)(x2+x1)3(x2x1)x2x1=(x2x1)[(x2+x1)3]x2x1=x2+x13
 
Ainsi, Tx2x1=x2+x13
 
Comme x1  et  x2 sont très proches alors, en posant x1=x2=x on obtient :
 
Tx=Tx2x1=x2+x13=x+x3=2x3
 
D'où, Tx=2x3
 
On a :
 
Tx02x302x3x32
 
Donc, g est croissante si, x[32; +[
 
Tx02x302x3x32
 
Par suite, g est décroissante si, x]; 32] 
 
D'où, le tableau de variation de g
x3/2++|+variations de g|f(32)
Soit : h(x)=1x  et  x1; x2Dh alors, le taux de variation de h entre x1  et  x2 est donné par :
 
Tx2x1=h(x2)h(x1)x2x1=1x21x1x2x1=x1x2x2×x1x2x1=(x2x1)(x2×x1)(x2x1)=1x2×x1
 
D'où, Tx2x1=1x2×x1
 
Comme x1  et  x2 sont très proches alors, en posant x1=x2=x on obtient :
 
Tx=Tx2x1=1x2×x1=1x×x=1x2
 
Donc, Tx=1x2
 
On a :
 
x0; x2>01x2>01x2<0
 
Donc, Tx<0 pour tout x0
 
D'où, h est décroissante sur Dh=R{0}
 
Le tableau de variation de h est donné par :
x0+0||+variations de h||||0
Soit : k(x)=x+2x3  et  x1; x2Dk alors, le taux de variation de k entre x1  et  x2 est donné par :
 
Tx2x1=k(x2)k(x1)x2x1=x2+2x23x1+2x13x2x1=(x2+2)(x13)(x1+2)(x23)(x23)(x13)x2x1=x1.x2+2x13x26x1.x22x2+3x1+6(x23)(x13)(x2x1)=2x13x22x2+3x1(x23)(x13)(x2x1)=5x15x2(x23)(x13)(x2x1)=5(x2x1)(x23)(x13)(x2x1)=5(x23)(x13)
 
D'où, Tx2x1=5(x23)(x13)
 
x1  et  x2 étant très proches donc, pour x1=x2=x on a :
 
Tx=Tx2x1=5(x23)(x13)=5(x3)(x3)=5(x3)2
 
Ainsi, Tx=5(x3)2
 
On sait que : x3; 5(x3)2 est positive.
 
Par suite, 5(x3)2<0; x3
 
Ainsi, Tx<0 pour tout x3
 
D'où, k est décroissante sur Dk=R{3}
 
Le tableau de variation de k est donné par :
x3+1||+variations de k||||1
Soit : m(x)=x2+5x+7x+3  et  x1; x2Dm=R{3} alors, le taux de variation de m entre x1  et  x2 est donné par :
 
Tx2x1=m(x2)m(x1)x2x1=x22+5x2+7x2+3x21+5x1+7x1+3x2x1=(x22+5x2+7)(x1+3)(x21+5x1+7)(x2+3)(x2+3)(x1+3)x2x1=x22.x1+5x1.x2+7x1+3x22+15x2+21x21.x25x1.x27x23x2115x121(x2+3)(x1+3)(x2x1)=x22.x1x21.x2+8x28x1+3x223x21(x2+3)(x1+3)(x2x1)=x2.x1(x2x1)+8(x2x1)+3(x2x1)(x2+x1)(x2+3)(x1+3)(x2x1)=(x2x1)(x2.x1+8+3(x2+x1))(x2+3)(x1+3)(x2x1)=x2.x1+3x2+3x1+8(x2+3)(x1+3)
 
D'où, Tx2x1=x2.x1+3x2+3x1+8(x2+3)(x1+3)
 
Comme x1  et  x2 sont très proches alors, en posant x1=x2=x, on obtient :
 
Tm=Tx2x1=x2.x1+3x2+3x1+8(x2+3)(x1+3)=x×x+3x+3x+8(x+3)(x+3)=x2+6x+8(x+3)2
 
D'où, Tm=x2+6x+8(x+3)2
 
Cherchons le signe de Tm
 
Pour cela, cherchons les signes de x2+6x+8  et de (x+3)2
 
Soit : x2+6x+8, on a : Δ=3632=4
 
Δ>0 alors, le trinôme admet deux racines distinctes :
x1=622=82=4etx2=6+22=42=2
Ainsi, x2+6x+8 est positif sur ]; 4][2; +[ et est négatif sur [4; 3[]3; 2]
 
Par ailleurs, xDm; (x+3)2>0
 
Regroupons ces résultats dans le tableau de signe suivant :
x432+x2+6x+8+||+(x+3)2++|++x2+6x+8(x+3)2+||||+
D'après le tableau, on a :
 
  Tm0 lorsque x]; 4][2; +[ donc, Tm est croissante sur ]; 4][2; +[
 
  Tm0 pour tout x[4; 3[]3; 2] d'où, Tm décroissante sur [4; 3[]3; 2]
 
On obtient alors, le tableau de variation suivant :
x432+m(4)||++variations de m||||m(2)
Soit : f1(x)=x33x  et  x1; x2Df1=R alors, le taux de variation de f1 entre x1  et  x2 est donné par :
 
Tx2x1=f1(x2)f1(x1)x2x1=x323x2x31+3x1x2x1=x32x313x2+3x1x2x1=(x2x1)(x22+x1.x2+x21)3(x2x1)x2x1=(x2x1)[(x22+x1.x2+x21)3]x2x1=x22+x21+x1.x23
 
D'où, Tx2x1=x22+x21+x1.x23
 
x1  et  x2 étant très proches alors, en posant x1=x2=x, on obtient :
 
Tf1=Tx2x1=x2+x2+x×x3=3x23=3(x21)
 
Ainsi, Tf1=3(x1)(x+1)
 
Cherchons le signe de Tf1
 
Comme 3>0 alors le signe de Tf1 dépend du signe de (x1)(x+1)
 
Or, (x1)(x+1) est positif sur ]; 1][1; +[ et est négatif sur [1; 1]
 
Par suite,
 
  Tf10 lorsque x]; 1][1; +[ donc, Tf1 est croissante sur ]; 1][1; +[
 
  Tf10 pour tout x[1;; 1] d'où, Tf1 décroissante sur [1; 1]
 
On obtient alors, le tableau de variation suivant :
x11+f1(1)+variations de f1f1(1)
 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

bonne proute

Correction de l'exercice 2

Il faut réussir en travaillant

Il faut réussir en travaillant

Il faut réussir en travaillant

Il faut réussir en travaillant

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