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Solution des exercices : Fonctions - 2nd

Classe:

Seconde

Exercice 1

Déterminons les taux de variation des fonctions suivantes et dressons leur tableau de variation

Soit : $f(x)=x^{2}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{f}$ alors, le taux de variation de $f$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=&x_{2}+x_{1}\end{array}$

Donc, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}+x_{1}}$

$x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ étant très proches alors, pour $x_{1}=x_{2}=x$ on a :

$\begin{array}{rcl} T_{x}=T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&x_{2}+x_{1}\\\\&=&x+x\\\\&=&2x\end{array}$

D'où, $\boxed{T_{x}=2x}$

On a :

$\begin{array}{rcl} T_{x}\geq 0&\Leftrightarrow&2x\geq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\geq 0\end{array}$

Donc, si $x\in[0\;;\ +\infty[\;,\ f$ est croissante

$\begin{array}{rcl} T_{x}\leq 0&\Leftrightarrow&2x\leq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\leq 0\end{array}$

Donc, si $x\in\,]-\infty\;;\ 0]\;,\ f$ est décroissante

D'où, le tableau de variation de $f$

$$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&-\infty&&0&&+\infty\\\hline&+\infty&&|&&+\infty\\\mathrm{variations\ de\ }f&&\searrow&|&\nearrow&\\&&&f(0)&&\\\hline\end{array}$$

Soit : $g(x)=x^{2}-3x+1\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{g}$ alors, le taux de variation de $g$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&\dfrac{g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{x_{2}^{2}-3x_{2}+1-x_{1}^{2}+3x_{1}-1}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}-3x_{2}+3x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=&\dfrac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})-3(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=&\dfrac{(x_{2}-x_{1})[(x_{2}+x_{1})-3]}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=&x_{2}+x_{1}-3\end{array}$

Ainsi, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}+x_{1}-3}$

Comme $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ sont très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$ on obtient :

$\begin{array}{rcl} T_{x}=T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&x_{2}+x_{1}-3\\\\&=&x+x-3\\\\&=&2x-3\end{array}$

D'où, $\boxed{T_{x}=2x-3}$

On a :

$\begin{array}{rcl} T_{x}\geq 0&\Leftrightarrow&2x-3\geq 0\\\\&\Leftrightarrow&2x\geq 3\\\\&\Leftrightarrow&x\geq\dfrac{3}{2}\end{array}$

Donc, $g$ est croissante si, $x\in\left[\dfrac{3}{2}\;;\ +\infty\right[$

$\begin{array}{rcl} T_{x}\leq 0&\Leftrightarrow&2x-3\leq 0\\\\&\Leftrightarrow&2x\leq 3\\\\&\Leftrightarrow&x\leq\dfrac{3}{2}\end{array}$

Par suite, $g$ est décroissante si, $x\in\left]-\infty\;;\ \dfrac{3}{2}\right]$

D'où, le tableau de variation de $g$

$$\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x&-\infty&&3/2&&+\infty\\\hline&+\infty&&|&&+\infty\\\mathrm{variations\ de\ }g&&\searrow&|&\nearrow&\\&&&f\left(\dfrac{3}{2}\right)&&\\\hline\end{array}$$

Soit : $h(x)=\dfrac{1}{x}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{h}$ alors, le taux de variation de $h$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&\dfrac{h(x_{2})-h(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{\dfrac{1}{x_{2}}-\dfrac{1}{x_{1}}}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{\dfrac{x_{1}-x_{2}}{x_{2}\times x_{1}}}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=&\dfrac{-(x_{2}-x_{1})}{(x_{2}\times x_{1})(x_{2}-x_{1})}\\\\&=&-\dfrac{1}{x_{2}\times x_{1}}\end{array}$

D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=-\dfrac{1}{x_{2}\times x_{1}}}$

Comme $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ sont très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$ on obtient :

$\begin{array}{rcl} T_{x}=T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&-\dfrac{1}{x_{2}\times x_{1}}\\\\&=&-\dfrac{1}{x\times x}\\\\&=&-\dfrac{1}{x^{2}}\end{array}$

Donc, $\boxed{T_{x}=-\dfrac{1}{x^{2}}}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\forall\;x\neq 0\;;\ x^{2}>0&\Rightarrow&\dfrac{1}{x^{2}}>0\\\\&\Rightarrow&-\dfrac{1}{x^{2}}<0\end{array}$

Donc, $T_{x}<0$ pour tout $x\neq 0$

D'où, $h$ est décroissante sur $D_{h}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Le tableau de variation de $h$ est donné par :

$$\begin{array}{|c|lcrclcr|}\hline x&-\infty&&&0&&&+\infty\\\hline&0&&&||&+\infty&&\\\mathrm{variations\ de\ }h&&\searrow&&||&&\searrow&\\&&&-\infty&||&&&0\\\hline\end{array}$$

Soit : $k(x)=\dfrac{x+2}{x-3}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{k}$ alors, le taux de variation de $k$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&\dfrac{k(x_{2})-k(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{\dfrac{x_{2}+2}{x_{2}-3}-\dfrac{x_{1}+2}{x_{1}-3}}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{\dfrac{(x_{2}+2)(x_{1}-3)-(x_{1}+2)(x_{2}-3)}{(x_{2}-3)(x_{1}-3)}}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=&\dfrac{x_{1}.x_{2}+2x_{1}-3x_{2}-6-x_{1}.x_{2}-2x_{2}+3x_{1}+6}{(x_{2}-3)(x_{1}-3)(x_{2}-x_{1})}\\\\&=&\dfrac{2x_{1}-3x_{2}-2x_{2}+3x_{1}}{(x_{2}-3)(x_{1}-3)(x_{2}-x_{1})}\\\\&=&\dfrac{5x_{1}-5x_{2}}{(x_{2}-3)(x_{1}-3)(x_{2}-x_{1})}\\\\&=&\dfrac{-5(x_{2}-x_{1})}{(x_{2}-3)(x_{1}-3)(x_{2}-x_{1})}\\\\&=&-\dfrac{5}{(x_{2}-3)(x_{1}-3)}\end{array}$

D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=-\dfrac{5}{(x_{2}-3)(x_{1}-3)}}$

$x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ étant très proches donc, pour $x_{1}=x_{2}=x$ on a :

$\begin{array}{rcl} T_{x}=T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&-\dfrac{5}{(x_{2}-3)(x_{1}-3)}\\\\&=&-\dfrac{5}{(x-3)(x-3)}\\\\&=&-\dfrac{5}{(x-3)^{2}}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{T_{x}=-\dfrac{5}{(x-3)^{2}}}$

On sait que : $\forall\;x\neq 3\;;\ \dfrac{5}{(x-3)^{2}}$ est positive.

Par suite, $-\dfrac{5}{(x-3)^{2}}<0\;;\ \forall\;x\neq 3$

Ainsi, $T_{x}<0$ pour tout $x\neq 3$

D'où, $k$ est décroissante sur $D_{k}=\mathbb{R}\setminus\{3\}$

Le tableau de variation de $k$ est donné par :

$$\begin{array}{|c|lcrclcr|}\hline x&-\infty&&&3&&&+\infty\\\hline&1&&&||&+\infty&&\\\mathrm{variations\ de\ }k&&\searrow&&||&&\searrow&\\&&&-\infty&||&&&1\\\hline\end{array}$$

Soit : $m(x)=\dfrac{x^{2}+5x+7}{x+3}\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{m}=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ alors, le taux de variation de $m$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&\dfrac{m(x_{2})-m(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{\dfrac{x_{2}^{2}+5x_{2}+7}{x_{2}+3}-\dfrac{x_{1}^{2}+5x_{1}+7}{x_{1}+3}}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{\dfrac{(x_{2}^{2}+5x_{2}+7)(x_{1}+3)-(x_{1}^{2}+5x_{1}+7)(x_{2}+3)}{(x_{2}+3)(x_{1}+3)}}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=&\dfrac{x_{2}^{2}.x_{1}+5x_{1}.x_{2}+7x_{1}+3x_{2}^{2}+15x_{2}+21-x_{1}^{2}.x_{2}-5x_{1}.x_{2}-7x_{2}-3x_{1}^{2}-15x_{1}-21}{(x_{2}+3)(x_{1}+3)(x_{2}-x_{1})}\\\\&=&\dfrac{x_{2}^{2}.x_{1}-x_{1}^{2}.x_{2}+8x_{2}-8x_{1}+3x_{2}^{2}-3x_{1}^{2}}{(x_{2}+3)(x_{1}+3)(x_{2}-x_{1})}\\\\&=&\dfrac{x_{2}.x_{1}(x_{2}-x_{1})+8(x_{2}-x_{1})+3(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{(x_{2}+3)(x_{1}+3)(x_{2}-x_{1})}\\\\&=&\dfrac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}.x_{1}+8+3(x_{2}+x_{1}))}{(x_{2}+3)(x_{1}+3)(x_{2}-x_{1})}\\\\&=&\dfrac{x_{2}.x_{1}+3x_{2}+3x_{1}+8}{(x_{2}+3)(x_{1}+3)}\end{array}$

D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=\dfrac{x_{2}.x_{1}+3x_{2}+3x_{1}+8}{(x_{2}+3)(x_{1}+3)}}$

Comme $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ sont très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} T_{m}=T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&\dfrac{x_{2}.x_{1}+3x_{2}+3x_{1}+8}{(x_{2}+3)(x_{1}+3)}\\\\&=&\dfrac{x\times x+3x+3x+8}{(x+3)(x+3)}\\\\&=&\dfrac{x^{2}+6x+8}{(x+3)^{2}}\end{array}$

D'où, $\boxed{T_{m}=\dfrac{x^{2}+6x+8}{(x+3)^{2}}}$

Cherchons le signe de $T_{m}$

Pour cela, cherchons les signes de $x^{2}+6x+8\ $ et de $(x+3)^{2}$

Soit : $x^{2}+6x+8$, on a : $\Delta=36-32=4$

$\Delta>0$ alors, le trinôme admet deux racines distinctes :

$$x_{1}=\dfrac{-6-2}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4\quad\text{et}\quad x_{2}=\dfrac{-6+2}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$$

Ainsi, $x^{2}+6x+8$ est positif sur $]-\infty\;;\ -4]\cup[-2\;;\ +\infty[$ et est négatif sur $[-4\;;\ -3[\cup]-3\;;\ -2]$

Par ailleurs, $\forall\;x\in D_{m}\;;\ (x+3)^{2}>0$

Regroupons ces résultats dans le tableau de signe suivant :

$$\begin{array}{|c|lcccccccr|}\hline x&-\infty&&-4&&-3&&-2&&+\infty\\\hline x^{2}+6x+8&&+&|&-&&-&|&+&\\\hline (x+3)^{2}&&+&&+&|&+&&+&\\\hline\dfrac{x^{2}+6x+8}{(x+3)^{2}}&&+&|&-&||&-&|&+&\\\hline\end{array}$$

D'après le tableau, on a :

$\centerdot\ \ T_{m}\geq 0$ lorsque $x\in\;]-\infty\;;\ -4]\cup[-2\;;\ +\infty[$ donc, $T_{m}$ est croissante sur $]-\infty\;;\ -4]\cup[-2\;;\ +\infty[$

$\centerdot\ \ T_{m}\leq 0$ pour tout $x\in [-4\;;\ -3[\cup]-3\;;\ -2]$ d'où, $T_{m}$ décroissante sur $[-4\;;\ -3[\cup]-3\;;\ -2]$

On obtient alors, le tableau de variation suivant :

$$\begin{array}{|c|lcccrclcccr|}\hline x&-\infty&&-4&&&-3&&&-2&&+\infty\\\hline &&&m(-4)&&&||&+\infty&&&&+\infty\\\mathrm{variations\ de\ }m&&\nearrow&&\searrow&&||&&\searrow&&\nearrow&\\&-\infty&&&&-\infty&||&&&m(-2)&&\\\hline\end{array}$$

Soit : $f_{1}(x)=x^{3}-3x\ $ et $\ x_{1}\;;\ x_{2}\in D_{f_{1}}=\mathbb{R}$ alors, le taux de variation de $f_{1}$ entre $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&\dfrac{f_{1}(x_{2})-f_{1}(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{x_{2}^{3}-3x_{2}-x_{1}^{3}+3x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\\ \\&=&\dfrac{x_{2}^{3}-x_{1}^{3}-3x_{2}+3x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=&\dfrac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}^{2}+x_{1}.x_{2}+x_{1}^{2})-3(x_{2}-x_{1})}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=&\dfrac{(x_{2}-x_{1})[(x_{2}^{2}+x_{1}.x_{2}+x_{1}^{2})-3]}{x_{2}-x_{1}}\\\\&=&x_{2}^{2}+x_{1}^{2}+x_{1}.x_{2}-3\end{array}$

D'où, $\boxed{T^{x_{2}}_{x_{1}}=x_{2}^{2}+x_{1}^{2}+x_{1}.x_{2}-3}$

$x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ étant très proches alors, en posant $x_{1}=x_{2}=x$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} T_{f_{1}}=T^{x_{2}}_{x_{1}}&=&x^{2}+x^{2}+x\times x-3\\\\&=&3x^{2}-3\\\\&=&3(x^{2}-1)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{T_{f_{1}}=3(x-1)(x+1)}$

Cherchons le signe de $T_{f_{1}}$

Comme $3>0$ alors le signe de $T_{f_{1}}$ dépend du signe de $(x-1)(x+1)$

Or, $(x-1)(x+1)$ est positif sur $]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$ et est négatif sur $[-1\;;\ 1]$

Par suite,

$\centerdot\ \ T_{f_{1}}\geq 0$ lorsque $x\in\;]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$ donc, $T_{f_{1}}$ est croissante sur $]-\infty\;;\ -1]\cup[1\;;\ +\infty[$

$\centerdot\ \ T_{f_{1}}\leq 0$ pour tout $x\in [-1;;\ 1]$ d'où, $T_{f_{1}}$ décroissante sur $[-1\;;\ 1]$

On obtient alors, le tableau de variation suivant :

$$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\\hline &&&f_{1}(-1)&&&&+\infty\\\mathrm{variations\ de\ }f_{1}&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&-\infty&&&&f_{1}(1)&&\\\hline\end{array}$$

Auteur:

Diny Faye