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Solution des exercices : Inéquations et Systèmes d'inéquations à deux inconnues 3e

Classe:

Troisième

Exercice 1

1) Parmi les couples $(2\;;\ 1)\;;\ (-2\;;\ 0)\ $ et $\ (-4\;;\ 1)$ déterminons ceux qui sont solution de l'inéquation :

$$2x-y+2\leq 0$$

En effet,

$(2\;;\ 1)$ est solution de $2x-y+2\leq 0\ $ si, et seulement si, le couple $(2\;;\ 1)$ vérifie l'inéquation.

Ainsi, en remplaçant $x$ par $2\ $ et $\ y$ par $1$ dans l'inéquation, on obtient :

$2\times 2-1+2\leq 0$ si, et seulement si, $5\leq 0.$ Ce qui est impossible.

Donc, le couple $(2\;;\ 1)$ n'est pas solution de l'inéquation $2x-y+2\leq 0$

$(-2\;;\ 0)$ est solution de $2x-y+2\leq 0\ $ si, et seulement si, le couple $(-2\;;\ 0)$ vérifie l'inéquation.

Remplaçons alors $x$ par $-2\ $ et $\ y$ par $0$ dans l'inéquation.

On a :

$2\times(-2)-0+2\leq 0$ si, et seulement si, $-2\leq 0.$ Ce qui est toujours vrai.

Par conséquent, le couple $(-2\;;\ 0)$ est solution de l'inéquation $2x-y+2\leq 0$

$(-4\;;\ 1)$ est solution de $2x-y+2\leq 0\ $ si, et seulement si, le couple $(-4\;;\ 1)$ vérifie l'inéquation.

Ainsi, en remplaçant $x$ par $-4\ $ et $\ y$ par $1$ dans l'inéquation, on obtient :

$2\times(-4)-1+2\leq 0$ si, et seulement si, $-7\leq 0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, le couple $(-4\;;\ 1)$ est solution de l'inéquation $2x-y+2\leq 0$

2) Parmi les couples $(2\;;\ 4)\;;\ (-3\;;\ 2)\ $ et $\ (-4\;;\ 1)$ déterminons ceux qui sont solution du système : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-2&>&0\\\\2x-y&\leq&1\end{array}\right.$$

En effet,

$(2\;;\ 4)$ est solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-2&>&0\\\\2x-y&\leq&1\end{array}\right.$ si, et seulement si, le couple $(2\;;\ 4)$ vérifie chacune des inéquations du système.

Remplaçons alors $x$ par $2\ $ et $\ y$ par $4$ dans la première inéquation.

On a : $2+4-2>0$ si, et seulement si, $4>0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, le couple $(2\;;\ 4)$ vérifie la première inéquation du système.

De la même manière, en remplaçant $x$ par $2\ $ et $\ y$ par $4$ dans la deuxième inéquation, on obtient :

$2\times 2-4\leq 1$ si, et seulement si $0\leq 1.$ Ce qui est toujours vrai.

Ce qui signifie donc que le couple $(2\;;\ 4)$ vérifie la deuxième inéquation du système.

Ainsi, le couple $(2\;;\ 4)$ vérifie chacune des inéquations du système.

Par conséquent, $(2\;;\ 4)$ est solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-2&>&0\\\\2x-y&\leq&1\end{array}\right.$

$(-3\;;\ 2)$ est solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-2&>&0\\\\2x-y&\leq&1\end{array}\right.$ si, et seulement si, le couple $(-3\;;\ 2)$ vérifie chacune des inéquations du système.

En remplaçant $x$ par $-3\ $ et $\ y$ par $2$, dans la première inéquation, on obtient :

$-3+2-2>0$ si, et seulement si, $-3>0.$ Ce qui est impossible.

Ce qui signifie donc que le couple $(-3\;;\ 2)$ ne vérifie pas la première inéquation du système.

Par conséquent, $(-3\;;\ 2)$ n'est pas solution du système.

$(-4\;;\ 1)$ est solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-2&>&0\\\\2x-y&\leq&1\end{array}\right.$ si, et seulement si, le couple $(-4\;;\ 1)$ vérifie chacune des inéquations du système.

Remplaçons alors $x$ par $-4\ $ et $\ y$ par $1$, dans la première inéquation.

On a : $-4+1-2>0$ si, et seulement si, $-5>0.$ Ce qui est impossible.

Donc, le couple $(-4\;;\ 1)$ ne vérifie pas la première inéquation du système.

Par conséquent, $(-4\;;\ 1)$ n'est pas solution du système.

Exercice 2

Représentons graphiquement l'ensemble des solutions des inéquations suivantes :

a) $x+y-1\leq 0$

Représentons d'abord la droite $(D)$ d'équation $x+y-1=0.$

Pour cela, choisissons deux points $A\ $ et $\ B$ dont les coordonnées vérifient l'équation de la droite $(D).$

Soit :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B\\\hline x&0&1\\\hline y&1&0\\\hline\end{array}$$

$(D)$ est donc la droite passant par les points $A(0\;;\ 1)\ $ et $\ B(1\;;\ 0).$

Choisissons ensuite un point $M$ n'appartenant pas à $(D)$ comme point de vérification.

C'est-à-dire ; un point $M$ dont les coordonnées ne vérifient pas l'équation de $(D).$

Soit alors : $M(1\;;\ 1)$

Cherchons enfin le demi-plan dans lequel appartient ce point $M.$

En remplaçant les coordonnées du point $M$ dans l'inéquation, on obtient :

$1+1-1\leq 0$ si, et seulement si, $1\leq 0.$ Ce qui est impossible.

Ce qui signifie donc que les coordonnées de $M$ ne vérifient pas l'inéquation $x+y-1\leq 0.$

Ainsi, $M$ n'appartient pas au demi-plan solution.

D'où, l'ensemble des solutions de l'inéquation $x+y-1\leq 0$ constitue la partie du graphique ci-dessous coloriée en orange.

b) $3x+2y>0$

Représentons d'abord la droite $(D')$ d'équation $3x+2y=0.$

Pour cela, choisissons deux points $O\ $ et $\ C$ dont les coordonnées vérifient l'équation de la droite $(D').$

Soit :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&O&C\\\hline x&0&2\\\hline y&0&-3\\\hline\end{array}$$

$(D')$ est donc la droite passant par l'origine $O$ du repère et par le point $C(2\;;\ -3).$

Choisissons ensuite un point $M$ n'appartenant pas à $(D')$ comme point de vérification.

Soit : $M(1\;;\ 1)$

Cherchons enfin le demi-plan dans lequel appartient ce point $M.$

En remplaçant les coordonnées du point $M$ dans l'inéquation, on obtient :

$3\times 1+2\times 1>0$ si, et seulement si, $5>0.$ Ce qui est toujours vrai.

Ce qui veut dire que les coordonnées de $M$ vérifient l'inéquation $3x+2y>0.$

Donc, $M$ appartient au demi-plan solution.

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation $3x+2y>0$ est la partie du graphique ci-dessous coloriée en bleu et privée de la droite $(D').$

Exercice 3

Résolvons graphiquement les systèmes d'inéquations suivants :

1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-2&<&0\\\\x+y+4&>&0\end{array}\right.$

On cherchera d'abord, pour chacune des inéquations du système, le demi-plan solution.

Soit les droites $(\Delta_{1})\ $ et $\ (\Delta_{2})$ d'équations respectives :

$(\Delta_{1})\ :\ x+y-2=0$

$(\Delta_{2})\ :\ x+y+4=0$

Représentons alors ces deux droites.

Soit deux points $A\ $ et $\ B$ appartenant à la droite $(\Delta_{1}).$

On a :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B\\\hline x&0&2\\\hline y&2&0\\\hline\end{array}$$

$(\Delta_{1})$ est donc la droite passant par les points $A(0\;;\ 2)\ $ et $\ B(2\;;\ 0).$

Soit $C\ $ et $\ D$ deux points appartenant à la droite $(\Delta_{2}).$

On a :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&C&D\\\hline x&-2&0\\\hline y&-2&-4\\\hline\end{array}$$

$(\Delta_{2})$ est donc la droite passant par les points $C(-2\;;\ -2)\ $ et $\ D(0\;;\ -4).$

On remarque que le point $O\begin{pmatrix} 0\\\\0\end{pmatrix}$ n'appartient ni à $(\Delta_{1})$ ni à $(\Delta_{2}).$

Donc, on peut choisir l'origine $O$ du repère comme point de vérification.

Alors, remplaçons les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $x+y-2<0.$

On a :

$0+0-2<0$ si, et seulement si, $-2<0.$ Ce qui est toujours vrai.

Ce qui signifie donc que les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation $x+y-2<0.$

Ainsi, $O$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation.

C'est la partie du graphique non hachurée en rouge et privée de la droite $(\Delta_{1}).$

De la même manière, en remplaçant les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $x+y+4>0$, on obtient :

$0+0+4>0$ si, et seulement si, $4>0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation $x+y+4>0.$

Par suite, $O$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation.

C'est la partie du graphique non hachurée en bleu et privée de la droite $(\Delta_{2}).$

Par conséquent, l'ensemble des solutions du système d'inéquations $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-2&<&0\\\\x+y+4&>&0\end{array}\right.$ est la partie non hachurée du graphique ci-dessous privée des droites $(\Delta_{1})\ $ et $\ (\Delta_{2}).$

2) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y&<&1\\\\x-2y&>&-4\end{array}\right.$

Ce système peut encore s'écrire :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y-1&<&0\\\\x-2y+4&>&0\end{array}\right.$$

Cherchera d'abord, pour chacune des inéquations du système, le demi-plan solution.

Soit les droites $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$ d'équations respectives :

$(D_{1})\ :\ 2x-y-1=0$

$(D_{2})\ :\ x-2y+4=0$

Représentons alors ces deux droites.

Soit $A\ $ et $\ B$ deux points appartenant à la droite $(D_{1}).$

On a :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B\\\hline x&0&1\\\hline y&-1&1\\\hline\end{array}$$

$(D_{1})$ est donc la droite passant par les points $A(0\;;\ -1)\ $ et $\ B(1\;;\ 1).$

Soit $C\ $ et $\ D$ deux points appartenant à la droite $(D_{2}).$

On a :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&C&D\\\hline x&0&-4\\\hline y&2&0\\\hline\end{array}$$

$(D_{2})$ est donc la droite passant par les points $C(0\;;\ 2)\ $ et $\ D(-4\;;\ 0).$

Nous constatons que le point $O(0\;;\ 0)$ n'appartient ni à $(D_{1})$ ni à $(D_{2}).$

Donc, choisissons le point $O$ origine du repère comme point de vérification.

Alors, remplaçons les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $2x-y-1<0.$

On a :

$2\times 0-0-1<0$ si, et seulement si, $-1<0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation $2x-y-1<0.$

Ainsi, $O$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation.

Cette solution est alors représentée par la partie du graphique non hachurée en vert et privée de la droite $(D_{1}).$

Ensuite, en remplaçant les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $x-2y+4>0$, on obtient :

$0-2\times 0+4>0$ si, et seulement si, $4>0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation $x-2y+4>0.$

Ce qui signifie que le point $O$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation.

C'est la partie du graphique non hachurée en jaune et privée de la droite $(D_{2}).$

Ainsi, l'ensemble des solutions du système d'inéquations $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y&<&1\\\\x-2y&>&-4\end{array}\right.$ est la partie non hachurée du graphique ci-dessous privée des droites $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2}).$

3) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+1&\geq&0\\\\x+2y-3&\geq&0\end{array}\right.$

On cherchera d'abord, pour chacune des inéquations du système, le demi-plan solution.

Considérons les droites $(D)\ $ et $\ (D')$ d'équations respectives :

$(D)\ :\ x-y+1=0$

$(D')\ :\ x+2y-3=0$

Représentons alors ces deux droites.

Soit $A\ $ et $\ B$ deux points de $(D).$

On a :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B\\\hline x&0&-1\\\hline y&1&0\\\hline\end{array}$$

$(D)$ est donc la droite passant par les points $A(0\;;\ 1)\ $ et $\ B(-1\;;\ 0).$

Soit $E\ $ et $\ F$ deux points appartenant à $(D').$

On a :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&E&F\\\hline x&1&3\\\hline y&1&0\\\hline\end{array}$$

$(D')$ est donc la droite passant par les points $E(1\;;\ 1)\ $ et $\ F(3\;;\ 0).$

Nous remarquons que les coordonnées du point $O$ origine du repère ne vérifient pas les équations de $(D)$ et de $(D').$

Donc, on peut choisir le point $O$ comme point de vérification.

Alors, en remplaçant les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $x-y+1\geq 0$, on obtient :

$0-0+1\geq 0$ si, et seulement si, $1\geq 0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation $x-y+1\geq 0.$

Ce qui veut dire que $O$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation.

Cette solution est alors représentée par la partie du graphique non hachurée en orange.

Ensuite, en remplaçant les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $x+2y-3\geq 0$, on obtient :

$0+2\times 0-3\geq 0$ si, et seulement si, $-3\geq 0.$ Ce qui est impossible.

Donc, les coordonnées de $O$ ne vérifient pas l'inéquation $x+2y-3\geq 0.$

Ce qui signifie que le point $O$ n'appartient pas au demi-plan solution de cette inéquation.

Alors, le demi-plan solution est cette partie du graphique non hachurée en bleu.

Par conséquent, l'ensemble des solutions du système d'inéquations $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+1&\geq&0\\\\x+2y-3&\geq&0\end{array}\right.$ est la partie non hachurée du graphique ci-dessous.

4) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq&0\\\\y+1&<&0\\\\x-2y+3&\geq&0\end{array}\right.$

Cherchons d'abord, pour chacune des inéquations du système, le demi-plan solution.

Soit : $(D)\;,\ (D')\ $ et $\ (D'')$ les droites d'équations respectives :

$(D)\ :\ x=0$

$(D')\ :\ y+1=0$

$(D'')\ :\ x-2y+3=0$

Représentons alors ces trois droites.

En effet, $(D)$ représente l'axe des ordonnées.

Soit $A\ $ et $\ B$ deux points de $(D').$

On a :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B\\\hline x&0&1\\\hline y&-1&-1\\\hline\end{array}$$

$(D')$ est donc la droite passant par les points $A(0\;;\ -1)\ $ et $\ B(1\;;\ -1).$

Soit $C\ $ et $\ E$ deux points appartenant à $(D'').$

On a :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&C&E\\\hline x&1&-3\\\hline y&2&0\\\hline\end{array}$$

$(D'')$ est donc la droite passant par les points $C(1\;;\ 2)\ $ et $\ E(-3\;;\ 0).$

Choisissons ensuite un point $M$ n'appartenant pas à ces trois droites comme point de vérification.

Soit : $M(1\;;\ 1)$

Alors, en remplaçant les coordonnées du point $M$ dans l'inéquation $x\geq 0$, on obtient : $1\geq 0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées de $M$ vérifient l'inéquation $x\geq 0.$

Ce qui signifie que $M$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation et cette solution est représentée par la partie du graphique non hachurée en bleu.

Remplaçons encore les coordonnées du point $M$ dans l'inéquation $y+1<0.$

On a :

$1+1<0$ si, et seulement si, $2<0.$ Ce qui est impossible.

Donc, les coordonnées de $M$ ne vérifient pas l'inéquation $y+1<0.$

Ce qui veut dire que $M$ n'appartient pas au demi-plan solution de cette inéquation.

Cette solution est représentée par la partie du graphique non hachurée en vert privée de la droite $(D').$

En remplaçant les coordonnées du point $M$ dans l'inéquation $x-2y+3\geq 0$, on obtient :

$1-2\times 1+3\geq 0$ si, et seulement si, $2\geq 0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées de $M$ vérifient l'inéquation $x-2y+3\geq 0.$

Ainsi, $M$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation et cette solution est représentée par la partie du graphique non hachurée en orange.

Par conséquent, l'ensemble des solutions du système d'inéquations $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq&0\\\\y+1&<&0\\\\x-2y+3&\geq&0\end{array}\right.$ est la partie non hachurée du graphique ci-dessous privée de la droite $(D').$

5) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 5x+y-1&<&0\\\\x+y+3&\geq&0\end{array}\right.$

Cherchons d'abord, pour chacune des inéquations du système, le demi-plan solution.

Considérons les droites $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$ d'équations respectives :

$(D_{1})\ :\ 5x+y-1=0$

$(D_{2})\ :\ x+y+3=0$

Représentons alors ces deux droites dans un repère.

Choisissons ensuite un point de vérification.

En effet, nous remarquons que les coordonnées du point $O$ origine du repère ne vérifient pas les équations de $(D_{1})$ et de $(D_{2}).$

Donc, on peut choisir le point $O$ comme point de vérification.

Alors, en remplaçant les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $5x+y-1<0$, on obtient :

$5\times 0+0-1<0$ si, et seulement si, $-1<0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation $5x+y-1<0.$

Ce qui veut dire que $O$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation et cette solution est alors représentée par la partie du graphique non hachurée en rouge privée de la droite $(D_{1}).$

Remplaçons encore les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $x+y+3\geq 0.$

On a :

$0+0+3\geq 0$ si, et seulement si, $3\geq 0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation $x+y+3\geq 0.$

Ce qui signifie que le point $O$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation.

Alors, le demi-plan solution est cette partie du graphique non hachurée en bleu.

Par conséquent, l'ensemble des solutions du système d'inéquations $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 5x+y-1&<&0\\\\x+y+3&\geq&0\end{array}\right.$ est la partie non hachurée du graphique ci-dessous privée de la droite $(D_{1}).$

6) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x+y+2&\geq&0\\\\-2x+y&<&-3\end{array}\right.$

Ce système peut encore s'écrire :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x+y+2&\geq&0\\\\-2x+y+3&<&0\end{array}\right.$$

Cherchons d'abord, pour chacune des inéquations du système, le demi-plan solution.

Pour cela, représentons dans un même repère les droites $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$ d'équations respectives :

$(D_{1})\ :\ 4x+y+2=0$

$(D_{2})\ :\ -2x+y+3=0$

Choisissons ensuite un point de vérification.

En effet, nous remarquons que les coordonnées du point $O$ origine du repère ne vérifient pas les équations de $(D_{1})$ et de $(D_{2}).$

Donc, on peut choisir le point $O$ comme point de vérification.

Ainsi, en remplaçant les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $4x+y+2\geq 0$, on obtient :

$4\times 0+0+2\geq 0$ si, et seulement si, $2\geq 0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation $4x+y+2\geq 0.$

Ce qui veut dire que $O$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation et cette solution est alors représentée par la partie du graphique non hachurée en jaune.

De la même manière, en remplaçant les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $-2x+y+3<0$, on obtient :

$-2\times 0+0+3<0$ si, et seulement si, $3<0.$ Ce qui est impossible.

Donc, les coordonnées de $O$ ne vérifient pas l'inéquation $-2x+y+3<0.$

Cela signifie que $O$ n'appartient pas au demi-plan solution de cette inéquation.

Cette solution est alors représentée par la partie du graphique non hachurée en violet privée de la droite $(D_{2}).$

Ainsi, l'ensemble des solutions du système d'inéquations $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x+y+2&\geq&0\\\\-2x+y&<&-3\end{array}\right.$ est la partie non hachurée du graphique ci-dessous privée de la droite $(D_{2}).$

Exercice 4

Le plan est muni d'un R.O.N $(D)\ :\ y=-2x+1\ $ et $\ (D')\ :\ y+x=0.$

1) Montrons que $(D)\ $ et $\ (D')$ sont sécantes.

En effet, l'équation de droite $(D')$ peut encore s'écrire : $y=-x.$

Ainsi :

$(D)$ a pour coefficient directeur $-2$

$(D')$ a pour coefficient directeur $-1$

On remarque alors que les droites $(D)\ $ et $\ (D')$ n'ont pas le même coefficient directeur.

Ce qui signifie qu'elles ne sont pas parallèles.

Par conséquent, $(D)\ $ et $\ (D')$ sont sécantes.

Par ailleurs, ces deux droites ne sont pas perpendiculaires car, le produit de leur coefficient directeur n'est pas égal à $-1.$

2) Traçons les droites $(D)\ $ et $\ (D')$

On remarque d'abord que $(D')$ est une représentation d'une application linéaire donc, elle passe par l'origine du repère.

Choisissons alors deux points $A\;,\ B$ appartenant à $(D)$ et un point $C$ appartenant à $(D').$

Soit :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B \\ \hline x&2&0 \\ \hline y&-3&1 \\ \hline \end{array}\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|}\hline&C \\ \hline x&2 \\ \hline y&-2 \\ \hline\end{array}$$

Traçons ensuite la droite $(D)$ passant par $A\;,\ B\ $ et la droite $(D')$ passant par $C$ et par $O$ ; origine du repère.

3) Déterminons le point d'intersection de $(D)\ $ et $\ (D').$

En observant le graphique, nous constatons que les $(D)\ $ et $\ (D')$ se coupent au point $E.$

Alors, en projetant orthogonalement ce point sur les axes du repère, on trouve les coordonnées de $E$ données par :

$$E(1\;;\ -1)$$

Autre méthode :

On peut aussi trouver les coordonnées du point d'intersection de $(D)\ $ et $\ (D')$ en résolvant le système d'équations formé des équations de $(D)\ $ et $\ (D').$

Soit : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} y+2x-1&=&0\\\\y+x&=&0\end{array}\right.$

Ce qui est équivalent à : $\left\lbrace\begin{array}{rclr} y+2x-1&=&0&\qquad(1)\\\\y&=&-x&\qquad(2)\end{array}\right.$

Alors, dans l'équation $(1)$, en remplaçant $y$ par $-x$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} y+2x-1=0&\Rightarrow&-x+2x-1=0\\\\&\Rightarrow&x-1=0\\\\&\Rightarrow&x=1\end{array}$

Dans l'équation $(2)$, en remplaçant cette valeur de $x$, on trouve : $y=-1$

Ainsi, $\boxed{E(1\;;\ -1)}$

4) Résolvons graphiquement le système :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} y+2x-1&>&0\\\\y+x&<&0\end{array}\right.$$

Sur le graphique, on constate que le point $C(2\;;\ -2)$ n'est pas sur la droite $(D)$ d'équation $y+2x-1=0.$

Donc, nous choisissons $C$ comme point de vérification de l'inéquation $y+2x-1>0.$

Alors, en remplaçant les coordonnées de $C$ dans l'inéquation $y+2x-1>0$, obtient :

$-2+2\times 2-1>0$ si, et seulement si, $1>0.$ Ce qui est toujours vrai.

Ainsi, les coordonnées du point $C$ vérifient l'inéquation : $y+2x-1>0$

Ce qui signifie que le point $C$ appartient à la solution de cette inéquation représentée par la partie coloriée en rouge privée de la droite $(D).$

En observant encore le graphique, nous remarquons que le point $B(0\;;\ 1)$ n'est pas sur la droite $(D')$ d'équation $y+x=0.$

Donc, nous choisissons $B$ comme point de vérification de l'inéquation $y+x<0.$

En remplaçant alors ses coordonnées dans l'inéquation $y+x<0$, on a :

$1+0<0$ si, et seulement si, $1<0.$ Ce qui est impossible.

Alors, les coordonnées du point $B$ ne vérifient pas l'inéquation : $y+x<0$

Ce qui signifie que le point $B$ n'appartient pas à la solution de cette inéquation représentée par la partie coloriée en bleu privée de la droite $(D').$

Par conséquent, la solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} y+2x-1&>&0\\\\y+x&<&0\end{array}\right.$ est la partie coloriée à la fois en bleu et en rouge.

Elle est donc représentée par le secteur angulaire colorié en violet privé des droites $(D)\ $ et $\ (D').$

Exercice 5

Soit l'inéquation : $-2x+5y\leq 3$

1) Parmi les couples de nombres réels suivants donnons ceux qui sont solutions de l'inéquation en justifiants notre réponse :

$$(2\;;\ 1)\;,\ \left(-\dfrac{1}{2}\;;\ 2\right)\;,\ (1\;;\ 1)$$

$(2\;;\ 1)$ est solution de $-2x+5y\leq 3$ si, et seulement si, le couple $(2\;;\ 1)$ vérifie l'inéquation.

Alors, en remplaçant $x$ par $2\ $ et $\ y$ par $1$ dans l'inéquation, on obtient :

$-2\times 2+5\times 1\leq 3$ si, et seulement si, $1\leq 3.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, le couple $(2\;;\ 1)$ est solution de l'inéquation $-2x+5y\leq 3.$

$\left(-\dfrac{1}{2}\;;\ 2\right)$ est solution de $-2x+5y\leq 3$ si, et seulement si, le couple $(2\;;\ 1)$ vérifie l'inéquation.

Remplaçons alors $x$ par $-\dfrac{1}{2}\ $ et $\ y$ par $2$ dans l'inéquation $-2x+5y\leq 3.$

On a :

$-2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right) +5\times 2\leq 3$ si, et seulement si, $11\leq 3.$ Ce qui est impossible.

Par conséquent, le couple $\left(-\dfrac{1}{2}\;;\ 2\right)$ n'est pas solution de l'inéquation $-2x+5y\leq 3.$

$(1\;;\ 1)$ est solution de $-2x+5y\leq 3$ si, et seulement si, le couple $(2\;;\ 1)$ vérifie l'inéquation.

Alors, en remplaçant $x$ par $1\ $ et $\ y$ par $1$ dans l'inéquation, on obtient :

$-2\times 1+5\times 1\leq 3$ si, et seulement si, $3\leq 3.$ Ce qui est toujours vrai.

D'où, le couple $(1\;;\ 1)$ est solution de l'inéquation $-2x+5y\leq 3.$

2) Déterminons les valeurs de $a$ pour lesquelles le couple $\left(\dfrac{a}{2}\;;\ -a\right)$ est solution de cette inéquation.

En effet, $\left(\dfrac{a}{2}\;;\ -a\right)$ est solution de l'inéquation $-2x+5y\leq 3$ si, et seulement si, le couple $\left(\dfrac{a}{2}\;;\ -a\right)$ vérifie cette inéquation.

Alors, en remplaçant $x$ par $\left(\dfrac{a}{2}\right)\ $ et $\ y$ par $-a$ dans l'inéquation, on obtient :

$\begin{array}{rcl} -2\times\left(\dfrac{a}{2}\right)+5\times(-a)\leq 3&\Leftrightarrow&-\dfrac{2a}{2}-5a\leq 3\\\\&\Leftrightarrow&-a-5a\leq 3\\\\&\Leftrightarrow&-6a\leq 3\\\\&\Leftrightarrow&a\geq\dfrac{3}{-6}\\\\&\Leftrightarrow&a\geq -\dfrac{1}{2}\end{array}$

Donc, le couple $\left(\dfrac{a}{2}\;;\ -a\right)$ est solution de l'inéquation $-2x+5y\leq 3$ si, et seulement si, $a\geq -\dfrac{1}{2}.$

Ainsi, pour tout $a\in\left[-\dfrac{1}{2}\;;\ +\infty\right[$ le couple $\left(\dfrac{a}{2}\;;\ -a\right)$ est solution de l'inéquation $-2x+5y\leq 3.$

3) Résolvons graphiquement cette inéquation.

Représentons d'abord la droite $(D)$ d'équation $-2x+5y=3.$

Cette équation peut encore s'écrire : $(D)\ :\ -2x+5y-3=0$

Choisissons deux points $A\ $ et $\ B$ dont les coordonnées vérifient l'équation de la droite $(D).$

Soit :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B\\\hline x&1&6\\\hline y&1&3\\\hline\end{array}$$

$(D)$ est donc la droite passant par les points $A(1\;;\ 1)\ $ et $\ B(6\;;\ 3).$

Choisissons ensuite un point de vérification.

Comme les coordonnées du point $O$ ne vérifient pas l'équation de $(D)$ alors, nous choisissons $O$ comme point de vérification.

Cherchons alors le demi-plan dans lequel appartient ce point $M.$

En remplaçant les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation, on obtient :

$-2\times 0+5\times 0\leq 3$ si, et seulement si, $0\leq 3.$ Ce qui est toujours vrai.

Cela signifie que les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation $-2x+5y\leq 3.$

D'où, $O$ appartient au demi-plan solution.

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation $-2x+5y\leq 3$ est représenté par la partie du graphique ci-dessous coloriée en vert.

Exercice 6

Soit l'inéquation : $3y<6-2x$

Vérifions si les couples de nombres réels suivants sont solutions de l'inéquation :

$$(0\;;\ -2)\;;\ (0\;;\ 0)\;;\ (1\;;\ 3)\;;\ (4\;;\ 2)$$

$(0\;;\ -2)$ est solution de $3y<6-2x$ si, et seulement si, le couple $(0\;;\ -2)$ vérifie l'inéquation.

Alors, en remplaçant $x$ par $0\ $ et $\ y$ par $-2$ dans l'inéquation, on obtient :

$3\times(-2)<6-2\times 0$ si, et seulement si, $-6<6.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, le couple $(0\;;\ -2)$ est solution de l'inéquation $3y<6-2x.$

$(0\;;\ 0)$ est solution de $3y<6-2x$ si, et seulement si, le couple $(0\;;\ 0)$ vérifie l'inéquation.

Remplaçons alors $x$ par $0\ $ et $\ y$ par $0$ dans l'inéquation $3y<6-2x.$

On a :

$3\times 0<6-2\times 0$ si, et seulement si, $3<6.$ Ce qui est toujours vrai.

Par conséquent, le couple $(0\;;\ 0)$ est solution de l'inéquation $3y<6-2x.$

$(1\;;\ 3)$ est solution de $3y<6-2x$ si, et seulement si, le couple $(1\;;\ 3)$ vérifie l'inéquation.

Alors, en remplaçant $x$ par $1\ $ et $\ y$ par $3$ dans l'inéquation, on obtient :

$3\times 3<6-2\times 1$ si, et seulement si, $9<4.$ Ce qui est impossible.

D'où, le couple $(1\;;\ 3)$ n'est pas solution de l'inéquation $3y<6-2x.$

$(4\;;\ 2)$ est solution de $3y<6-2x$ si, et seulement si, le couple $(4\;;\ 2)$ vérifie l'inéquation.

Remplaçons alors $x$ par $4\ $ et $\ y$ par $2$ dans l'inéquation $3y<6-2x.$

On a :

$3\times 2<6-2\times 4$ si, et seulement si, $6<-2.$ Ce qui est impossible.

Par conséquent, le couple $(4\;;\ 2)$ n'est pas solution de l'inéquation $3y<6-2x.$

Exercice 7

Soit le système d'inéquations suivant :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x-2y-9&<&0\\\\-4x&>&-27+3x \end{array}\right.$$

Vérifions si les points suivants appartiennent à l'ensemble de solution du système :

$$A(3\;;\ 2)\;,\ B(0\;;\ 11)\;,\ C(-4\;;\ 3)\ \text{ et }\ D(-5\;;\ 20)$$

En effet, en réécrivant la deuxième inéquation du système, on obtient :

$-4x>-27+3x$ si, et seulement si, $-4x+27-3x>0$

Ce qui donne : $-7x+27>0$

Donc, en remplaçant la deuxième inéquation du système par l'inéquation $-7x+27>0$, le système devient :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x-2y-9&<&0\\\\-7x+27&>&0 \end{array}\right.$$

$A$ est solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x-2y-9&<&0\\\\-7x+27&>&0 \end{array}\right.$ si, et seulement si, ses coordonnées vérifient chacune des inéquations du système.

Donc, dans la première inéquation, remplaçons $x$ par $3\ $ et $\ y$ par $2.$

On a : $3\times 3-2\times 2-9<0$ si, et seulement si, $-4<0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées $(3\;;\ 2)$ du point $A$ vérifient la première inéquation du système.

Dans la deuxième inéquation, en remplaçant $x$ par $3$, on obtient :

$-7\times 3+27>0$ si, et seulement si, $6>0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées $(3\;;\ 2)$ du point $A$ vérifient la deuxième inéquation du système.

Ainsi, les coordonnées de $A$ vérifient chacune des inéquations du système.

Par conséquent, le point $A$ appartient à l'ensemble de solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x-2y-9&<&0\\\\-7x+27&>&0 \end{array}\right.$

$B$ est solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x-2y-9&<&0\\\\-7x+27&>&0 \end{array}\right.$ si, et seulement si, ses coordonnées vérifient chacune des inéquations du système.

Alors, dans la première inéquation, remplaçons $x$ par $0\ $ et $\ y$ par $11.$

On a : $3\times 0-2\times 11-9<0$ si, et seulement si, $-31<0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées $(0\;;\ 11)$ du point $B$ vérifient la première inéquation du système.

Dans la deuxième inéquation, en remplaçant $x$ par $0$, on obtient :

$-7\times 0+27>0$ si, et seulement si, $27>0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées $(0\;;\ 11)$ du point $B$ vérifient la deuxième inéquation du système.

Ainsi, les coordonnées de $B$ vérifient chacune des inéquations du système.

D'où, le point $B$ appartient à l'ensemble de solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x-2y-9&<&0\\\\-7x+27&>&0 \end{array}\right.$

$C$ est solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x-2y-9&<&0\\\\-7x+27&>&0 \end{array}\right.$ si, et seulement si, ses coordonnées vérifient chacune des inéquations du système.

Donc, dans la première inéquation, remplaçons $x$ par $-4\ $ et $\ y$ par $3.$

On a : $3\times(-4)-2\times 3-9<0$ si, et seulement si, $-27<0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées $(-4\;;\ 3)$ du point $C$ vérifient la première inéquation du système.

Dans la deuxième inéquation, en remplaçant $x$ par $-4$, on obtient :

$-7\times(-4)+27>0$ si, et seulement si, $55>0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées $(-4\;;\ 3)$ du point $C$ vérifient la deuxième inéquation du système.

Ainsi, les coordonnées de $C$ vérifient chacune des inéquations du système.

Par conséquent, le point $C$ appartient à l'ensemble de solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x-2y-9&<&0\\\\-7x+27&>&0 \end{array}\right.$

$D$ est solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x-2y-9&<&0\\\\-7x+27&>&0 \end{array}\right.$ si, et seulement si, ses coordonnées vérifient chacune des inéquations du système.

Donc, dans la première inéquation, remplaçons $x$ par $-5\ $ et $\ y$ par $20.$

On a : $3\times(-5)-2\times 20-9<0$ si, et seulement si, $-64<0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées $(-5\;;\ 20)$ du point $D$ vérifient la première inéquation du système.

Dans la deuxième inéquation, en remplaçant $x$ par $-5$, on obtient :

$-7\times(-5)+27>0$ si, et seulement si, $62>0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées $(-5\;;\ 20)$ du point $D$ vérifient la deuxième inéquation du système.

Ainsi, les coordonnées de $D$ vérifient chacune des inéquations du système.

D'où, le point $D$ appartient à l'ensemble de solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}3x-2y-9&<&0\\\\-7x+27&>&0 \end{array}\right.$

Exercice 8

Déterminons une inéquation dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non hachuré.

Pour cela, nous allons d'abord déterminer l'équation de la droite $(D)$ qui partage le plan en deux demi-plans.

En effet, cette droite $(D)$ est une représentation graphique d'une application affine.

Donc, l'équation de la droite $(D)$ est de la forme :

$$y=ax+b$$

avec $a$ coefficient directeur de la droite $(D)\ $ et $\ b$ son ordonnée à l'origine.

En observant le graphique, nous remarquons que $(D)$ passe par les points $A\left(0\;;\ \dfrac{1}{2}\right)\ $ et $\ B(1\;;\ 0).$

Ainsi, le coefficient directeur $a$ de $(D)$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{2}-0}{0-1}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{2}}{-1}\\\\&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}$

Donc, $a=-\dfrac{1}{2}$

Alors, on a : $y=-\dfrac{1}{2}x+b$

Comme $B$ appartient à $(D)$ alors, en remplaçant les coordonnées de $B$ dans l'équation de $(D)$, on trouve $b.$

Soit : $0=-\dfrac{1}{2}\times 1+b$

Ce qui donne : $b=\dfrac{1}{2}$

Ainsi, l'équation de $(D)$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$

Ce qui peut encore s'écrire : $\boxed{(D)\ :\ 2y+x-1=0}$

Utilisons ensuite un point de vérification appartenant au demi-plan solution pour déterminer l'inéquation.

En observant le graphique, nous remarquons que le point $O$ appartient à la partie solution mais n'appartient pas à la droite $(D).$

Donc, remplaçons les coordonnées de $O$ dans l'équation de $(D).$

On a :

$$2\times 0+0-1=-1<0$$

On trouve alors un nombre négatif.

Ce qui signifie que les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation : $2y+x-1<0$

Par ailleurs, sur le graphique ci-dessus, on constate que la droite $(D)$ d'équation $2y+x-1=0$ n'appartient pas à la solution.

Par conséquent, l'inéquation dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non hachuré est donnée par :

$$2y+x-1<0$$

Exercice 9

Déterminons un système d'inéquations dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non hachuré.

Déterminons d'abord les équations des droites $(D)\ $ et $\ (D').$

En effet, $(D)$ est une représentation graphique d'une application affine.

Donc, l'équation de la droite $(D)$ est de la forme :

$$y=ax+b$$

avec $a$ coefficient directeur de la droite $(D)\ $ et $\ b$ son ordonnée à l'origine.

En observant le graphique, nous constatons que $(D)$ passe par les points $A(0\;;\ 4)\ $ et $\ B\left(-\dfrac{3}{2}\;;\ 3\right).$

Donc, le coefficient directeur $a$ de $(D)$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}\\\\&=&\dfrac{4-3}{0-\left(-\dfrac{3}{2}\right)}\\\\&=&\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}\\\\&=&\dfrac{2}{3}\end{array}$

Ainsi, $a=\dfrac{2}{3}$

Alors, on a : $y=\dfrac{2}{3}x+b$

Comme le point $A$ est sur la droite $(D)$ alors, en remplaçant ses coordonnées dans l'équation de $(D)$, on trouve $b.$

Soit : $4=\dfrac{2}{3}\times 0+b$

Donc, $b=4$

Ainsi, l'équation de $(D)$ est : $y=\dfrac{2}{3}x+4$

Ce qui peut encore s'écrire : $\boxed{(D)\ :\ 3y-2x-12=0}$

De la même manière, la droite $(D)$ est de la forme :

$$y=ax+b$$

Comme $(D')$ passe par les points $C(0\;;\ 1)\ $ et $\ D\left(\dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{1}{2}\right)$ alors, le coefficient directeur $a$ de $(D)$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{y_{C}-y_{D}}{x_{C}-x_{D}}\\\\&=&\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{0-\dfrac{1}{2}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{2}}\\\\&=&-\dfrac{2}{2}\\\\&=&-1\end{array}$

Donc, $a=-1$

Comme $C$ appartient à $(D)$ alors, en remplaçant les coordonnées du point $C$ dans l'équation de $(D')$, on trouve $b.$

Soit : $1=-1\times 0+b$

Donc, $b=1$

Ainsi, l'équation de $(D')$ est : $y=-x+1$

Ce qui peut encore s'écrire : $\boxed{(D')\ :\ y+x-1=0}$

Utilisons ensuite un point de vérification appartenant au demi-plan solution pour déterminer le système d'inéquations.

Considérons alors le point $M(1\;;\ 1)$ appartient à la partie solution mais n'appartient pas aux droites $(D)\ $ et $\ (D').$

Remplaçons les coordonnées de $M$ dans l'équation de $(D).$

On a :

$$3\times 1-2\times 1-12=-11<0$$

On trouve alors un nombre négatif.

Ce qui signifie que les coordonnées de $M$ vérifient l'inéquation : $3y-2x-12<0$

Par ailleurs, sur le graphique ci-dessus, on constate que la droite $(D)$ d'équation $3y-2x-12=0$ appartient à la solution de cette inéquation.

Par conséquent, l'inéquation dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non hachuré en bleu est donnée par :

$$3y-2x-12\leq 0$$

De la même manière, en remplaçant les coordonnées de $M$ dans l'équation de $(D')$, on obtient :

$$1+1-1=1>0$$

On trouve alors un nombre positif.

Ce qui veut dire que les coordonnées de $M$ vérifient l'inéquation : $y+x-1>0$

Comme la droite $(D')$ d'équation $y+x-1=0$ n'appartient pas à la solution alors, l'inéquation dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non hachuré en rouge est donnée par :

$$y+x-1>0$$

Par conséquent, le système d'inéquations dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non hachuré est donné par :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}3y-2x-12&\leq&0\\\\y+x-1&>&0 \end{array}\right.$$

Exercice 10

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ I\;,\ J)$, on donne les points :

$$A(1\;;\ 1)\;,\ B(-1\;;\ 1)\;,\ C(-1\;;\ -1)\ \text{ et }\ D(1\;;\ -1)$$

Trouvons un système d'inéquations dont la solution est formée de l'ensemble des points $M(x\;;\ y)$ intérieur au carré $ABCD$

Déterminons d'abord les équations des droites $(AB)\;,\ (BC)\;,\ (AD)\ $ et $\ (CD).$

En effet, on a :

$(AB)\ :\ y=1$

$(BC)\ :\ x=-1$

$(AD)\ :\ x=1$

$(CD)\ :\ y=-1$

Ce qui peut encore s'écrire :

$(AB)\ :\ y-1=0$

$(BC)\ :\ x+1=0$

$(AD)\ :\ x-1=0$

$(CD)\ :\ y+1=0$

Utilisons ensuite un point de vérification appartenant au demi-plan solution pour déterminer le système d'inéquations.

En observant le graphique, nous remarquons que le point $O$ appartient à la partie solution mais n'appartient pas aux droites $(AB)\;,\ (BC)\;,\ (AD)\ $ et $\ (CD).$

Donc, nous choisissons le point $O$ comme point de vérification.

Remplaçons alors les coordonnées de $O$ dans l'équation de $(AB).$

On a :

$$0-1=-1<0$$

On trouve alors un nombre négatif.

Ce qui signifie que les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation : $y-1<0$

Donc, l'inéquation dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non colorié en bleu est donnée par :

$$y-1<0\qquad(1)$$

En remplaçant les coordonnées de $O$ dans l'équation de $(BC)$, on trouve :

$$0+1=1>0$$

On trouve alors un nombre positif.

Ce qui signifie que les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation : $x+1>0$

Donc, l'inéquation dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non colorié en rouge est donnée par :

$$x+1>0\qquad(2)$$

En remplaçant les coordonnées de $O$ dans l'équation de $(AD)$, on trouve :

$$0-1=-1<0$$

Ce qui signifie que les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation : $x-1<0$

Donc, l'inéquation dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non colorié en vert est donnée par :

$$x-1<0\qquad(3)$$

En remplaçant les coordonnées de $O$ dans l'équation de $(AD)$, on trouve :

$$0+1=1>0$$

Ce qui signifie que les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation : $y+1>0$

Donc, l'inéquation dont l'ensemble de solutions correspond au demi-plan non colorié en orange est donnée par :

$$y+1>0\qquad(4)$$

Par conséquent, le système d'inéquations dont la solution est formée de l'ensemble des points $M(x\;;\ y)$ intérieur au carré $ABCD$ est le système formé des inéquations $(1)\;;\ (2)\;;\ (3)\ $ et $\ (4).$

Ce système est donc donné par :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} y-1&<&0\\\\x+1&>&0\\\\x-1&<&0\\\\y+1&>&0 \end{array}\right.$$