Solution des exercices : Les triangles - 6e

Classe: 
Sixième
 

Exercice 1

Soit $MNP$ un triangle quelconque.
 
 
1) Nommons les angles, les côtés et les sommets de ce triangle.
 
$-\ $ Les $3$ angles de ce triangle sont : $\widehat{M}\;,\ \widehat{N}\ $ et $\ \widehat{P}$
 
$-\ $ Les $3$ côtés de ce triangle sont : $[MN]\;,\ [MP]\ $ et $\ [NP]$
 
$-\ $ Les $3$ sommets de ce triangle sont : $M\;,\ N\ $ et $\ P$
 
2) a) $[MN]$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{P}.$
 
b) $[MP]\ $ et $\ [NP]$ sont les côtés adjacents à l'angle $\widehat{P}.$

Exercice 2

1) Construisons un triangle $ABC$ tel que :
$$AB=6\;cm\;;\ AC=5\;cm\ \text{ et }\ BC=4\;cm$$
Pour construire le triangle $ABC$, on utilise une règle graduée et un compas.
 
$-\ $ D'abord, on trace un segment $[AB]$ de longueur $6\;cm.$
 
$-\ $ Ensuite, on pointe le compas sur le point $A$ et on fait un écartement de $5\;cm$ puis, on trace un arc de cercle.
 
$-\ $ De la même manière, on pointe le compas sur le point $B$ et on fait un écartement de $4\;cm$ puis, on trace un autre arc de cercle du même côté que le premier arc.
 
$-\ $ Enfin, les deux arcs de cercle se coupent au point $C.$ On marque alors le point $C$ et on complète la figure en traçant les segments $[AC]\ $ et $\ [BC].$
 
 
2) Construisons un triangle $IJK$ tel que :
$$IJ=3\;cm\;;\ IK=6\;cm\ \text{ et }\ JK=4\;cm$$
On utilise la même démarche que la question 1).
 
$-\ $ On trace un segment $[IJ]$ de longueur $3\;cm.$
 
$-\ $ On pointe le compas sur le point $I$ et on fait un écartement de $6\;cm$ puis, on trace un arc de cercle.
 
$-\ $ On pointe le compas sur le point $J$ et on fait un écartement de $4\;cm$ puis, on trace un autre arc de cercle du même côté que le premier arc.
 
$-\ $ Les deux arcs de cercle se coupent au point $K.$ On marque alors le point $K$ et on complète la figure en traçant les segments $[IK]\ $ et $\ [JK].$
 

Exercice 3

1) a) Construisons un triangle $ABC$ tel que :
$$AB=5\;cm\;;\ mes\;\widehat{A}=50^{\circ}\ \text{ et }\ mes\;\widehat{B}=60^{\circ}$$
Pour construire le triangle $ABC$, on utilise une règle graduée et un rapporteur.
 
$-\ $ On trace le segment $[AB]$ de longueur $5\;cm.$
 
$-\ $ Puis, on place l'origine du rapporteur au point $A$ et on mesure un angle de $50^{\circ}$ à partir de l'axe $[AB).$ On marque alors un point $M$ et on trace la demi-droite $[AM).$
 
$-\ $ De la même manière, on place l'origine du rapporteur sur le point $B$ et on mesure un angle de $60^{\circ}$ à partir de l'axe $[BA).$ On marque alors un point $N$ et on trace la demi-droite $[BN).$
 
$-\ $ Les deux demi-droites se coupent au point $C.$ On marque alors le point $C.$
 
 
b) En utilisant le rapporteur, donnons la mesure de $\widehat{C}.$
 
On trouve : $\widehat{C}=60^{\circ}$
 
2) a) Construisons un triangle $RAT$ tel que :
$$AR=4\;cm\;;\ mes\;\widehat{A}=40^{\circ}\ \text{ et }\ mes\;\widehat{R}=60^{\circ}$$
On utilise la même démarche que dans la question 1).
 
On obtient alors la figure suivante :
 
 
b) Donnons la mesure de $\widehat{T}$
 
En utilisant le rapporteur on trouve : $\widehat{T}=80^{\circ}$

Exercice 4

1) Construisons un triangle $AIJ$ tel que :
$$mes\;\widehat{AIJ}=60^{\circ}\;;\ AI=5\;cm\ \text{ et }\ IJ=3\;cm$$
Pour construire le triangle $AIJ$, on utilise une règle graduée, un compas et un rapporteur.
 
$-\ $ On trace le segment $[AI]$ de longueur $5\;cm.$
 
$-\ $ Puis, on place l'origine du rapporteur au point $I$ et mesure un angle de $60^{\circ}$ à partir de l'axe $[IA).$ On marque alors un point $M$ et on trace la demi-droite $[IM).$
 
$-\ $ Ensuite, on pointe le compas sur le point $I$ et on fait un écartement de $3\;cm$ puis, on trace un arc de cercle.
 
$-\ $ L'arc de cercle et la demi-droites se coupent au point $J.$ On marque enfin le point $J$ et on complète la figure en traçant les segments $[IJ]\ $ et $\ [AJ]$
 
 
2) Construisons un triangle $IBM$ tel que :
$$mes\;\widehat{M}=57^{\circ}\;;\ IM=4\;cm\ \text{ et }\ MB=6\;cm$$
On procède de la même manière que dans la question 1).
 
On obtient alors la figure suivante :
 

Exercice 5

1) Construisons un triangle $ABC$ tel que :
$$AB=5\;cm\;;\ AC=4\;cm\ \text{ et }\ BC=6\;cm$$
2) Traçons les droites $(d_{1})\;;\ (d_{2})$ et $(d_{3})$ médiatrices respectifs des segments $[AB]\;;\ [BC]\ $ et $\ [AC].$
 
Rappelons que la médiatrice d'un côté d'un triangle est la droite passant par le milieu de ce côté et qui lui est perpendiculaire.
 
 
3) On remarque que les droites $(d_{1})\;;\ (d_{2})\ $ et $\ (d_{3})$ sont concourantes en un même point, le point $O.$

Exercice 6

1) Construisons un triangle $MNP$ tel que : 
$$MN=6\;cm\;;\ mes\;\widehat{M}=50^{\circ}\ \text{ et }\ mes\;\widehat{N}=70^{\circ}$$
2) Calculons la mesure de l'angle $\widehat{P}.$
 
On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à $180^{\circ}.$
 
Ce qui se traduit par :
$$mes\;\widehat{M}+mes\;\widehat{N}+mes\;\widehat{P}=180^{\circ}$$
Donc, en remplaçant les mesures des angles $\widehat{M}\ $ et $\ \widehat{N}$ on obtient :
$$50^{\circ}+70^{\circ}+mes\;\widehat{P}=180^{\circ}$$
Ainsi, $120^{\circ}+mes\;\widehat{P}=180^{\circ}$
 
Par suite, $mes\;\widehat{P}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$
 
D'où, $\boxed{mes\;\widehat{P}=60^{\circ}}$
 
3) Construisons les droites $(b_{1})\;;\ (b_{2})\ $ et $\ (b_{3})$ bissectrices  respectifs des angles $\widehat{M}\;;\ \widehat{P}\ $ et $\ \widehat{N}.$
 
On rappelle que la bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet de cet angle et qui le partage en deux angles de même mesure.
 
 
4) On peut dire que les droites $(b_{1})\;;\ (b_{2})\ $ et $\ (b_{3})$ se coupent en un même point, le point $I.$
 

Auteur: 
Diny Faye

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