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Solution des exercices : Racine carrée 3e

Classe:

Troisième

Exercice 1

Donnons une écriture simple des nombres réels

$A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\$ et

$\ E$ suivants :

Soit

$A=\sqrt{200}-3\sqrt{18}+6\sqrt{2}+50$

Alors, dans l'écriture de

$A$ , nous allons remplacer

$\sqrt{200}\$ et

$\ \sqrt{18}$ par une écriture plus simple.

On a :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{200}&=&\sqrt{100\times 2}\\\\&=&\sqrt{100}\times\sqrt{2}\\\\&=&10\sqrt{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{18}&=&\sqrt{9\times 2}\\\\&=&\sqrt{9}\times\sqrt{2}\\\\&=&3\sqrt{2}\end{array}$

Donc, en remplaçant

$\sqrt{200}$ par

$10\sqrt{2}\$ et

$\ \sqrt{18}$ par

$3\sqrt{2}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{200}-3\sqrt{18}+6\sqrt{2}+50\\\\&=&10\sqrt{2}-3\times 3\sqrt{2}+6\sqrt{2}+50\\\\&=&10\sqrt{2}-9\sqrt{2}+6\sqrt{2}+50 \\ \\&=&7\sqrt{2}+50\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=7\sqrt{2}+50}$

Soit

$B=(\sqrt{2}+2)^{2}$

En appliquant la règle des identités remarquables

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ avec

$a=\sqrt{2}\$ et

$\ b=2$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} B&=&(\sqrt{2}+2)^{2}\\\\&=&(\sqrt{2})^{2}+2\times 2\times\sqrt{2}+2^{2}\\ \\&=&2+4\sqrt{2}+4\\\\ &=&6+4\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=6+4\sqrt{2}}$

Soit

$C=(3\sqrt{2}-5)^{2}$

On applique la règle

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec

$a=3\sqrt{2}\$ et

$\ b=5$

Donc, on a :

$\begin{array}{rcl} C&=&(3\sqrt{2}-5)^{2}\\\\&=&(3\sqrt{2})^{2}-2\times 5\times 3\sqrt{2}+(-5)^{2}\\\\&=&(3)^{2}\times(\sqrt{2})^{2}-30\sqrt{2}+25\\\\&=&9\times 2-30\sqrt{2}+25\\\\ &=&18-30\sqrt{2}+25\\ \\&=&43-30\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=43-30\sqrt{2}}$

On donne

$D=(3\sqrt{2}+5)(3\sqrt{2}-5)$

On applique la règle

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ avec

$a=3\sqrt{2}\$ et

$\ b=5$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} D&=&(3\sqrt{2}+5)(3\sqrt{2}-5)\\\\&=&(3\sqrt{2})^{2}-(5)^{2}\\\\&=&(3)^{2}\times(\sqrt{2})^{2}-25\\\\&=&9\times 2-25\\\\&=&18-25\\\\ &=&-7\end{array}$

D'où,

$\boxed{D=-7}$

Soit,

$E=\sqrt{19-\sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}}$

On calcule :

$-\$ d'abord,

$\sqrt{8^{2}}$

On a :

$\sqrt{8^{2}}=|8|=8$

$-\$ ensuite,

$\sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}$

Comme

$\sqrt{8^{2}}=8$ alors,

$\begin{array}{rcl} \sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}&=&\sqrt{1+8}\\\\&=&\sqrt{9}\\\\&=&3\end{array}$

$-\$ enfin,

$\sqrt{19-\sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}}$

On sait que

$\sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}=3$ donc,

$\begin{array}{rcl} \sqrt{19-\sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}}&=&\sqrt{19-3}\\\\&=&\sqrt{16}\\\\&=&4\end{array}$

D'où,

$\boxed{E=4}$

Exercice 2

$\sqrt{40}=20\;,\quad (Faux)$

En effet,

$(\sqrt{40})^{2}=40$ et

$20^{2}=400$

Or,

$400\neq 40$ donc

$\sqrt{40}\neq 20$

$7\sqrt{2}=\sqrt{98}\;,\quad (Vrai)$

On a :

$\sqrt{98}=\sqrt{49\times 2}=\sqrt{49}\times\sqrt{2}=7\sqrt{2}$

$\sqrt{64+25}=8+5=13\quad (Faux)$

On sait que

$64+25=89$ et que

$13^{2}=169$

$169\neq 89$ donc,

$\sqrt{64+25}\neq 13$

Aussi,

$\sqrt{64+25}$ n'est pas égale à

$\sqrt{64}+\sqrt{25}$

Exercice 3

On considère les nombres réels définis par :

$X=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\quad\text{et}\quad Y=(3\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+6\sqrt{6}$

Montrons que

$X\$ et

$\ Y$ sont des nombres entiers naturels.

On a :

$X=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

En réduisant au même dénominateur on obtient :

$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\ \\&=&\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})-\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} \\ \\&=&\dfrac{\sqrt{5}\times\sqrt{5}+\sqrt{5}\times\sqrt{3}-\sqrt{3}\times\sqrt{5}-\sqrt{3}\times(-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}} \\ \\&=&\dfrac{5+\sqrt{15}-\sqrt{15}+3}{5-3} \\ \\&=&\dfrac{5+3}{2}\\\\&=&\dfrac{8}{2} \\ \\&=&4 \end{array}$

Donc,

$\boxed{X=4\quad\text{qui est bien un entier naturel}}$

Soit :

$Y=(3\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+6\sqrt{6}$

On a :

$\begin{array}{rcl} Y&=&(3\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+6\sqrt{6}\\ \\&=&(3\sqrt{2})^{2}-2\times 3\sqrt{2}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}+6\sqrt{6}\\ \\&=&18-6\sqrt{2\times 3}+3+6\sqrt{6}\\ \\&=&21-6\sqrt{6}+6\sqrt{6}\\ \\&=&21\end{array}$

Donc,

$\boxed{Y=21\quad\text{qui est bien un entier naturel}}$

Exercice 4

On donne les nombres réels suivants tels que :

$X=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\quad\text{et}\quad Y=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}$

1) Déterminons les signes respectifs de

$X\$ et

$\ Y.$

Pour déterminer le signe de

$X$ on compare les nombres

$\sqrt{4+\sqrt{7}}\$ et

$\ \sqrt{4-\sqrt{7}}.$

On a :

$\sqrt{4+\sqrt{7}}>0\$ et

$\ \sqrt{4-\sqrt{7}}>0$

Soit alors :

$(\sqrt{4+\sqrt{7}})^{2}=4+\sqrt{7}\$ et

$\ (\sqrt{4-\sqrt{7}})^{2}=4-\sqrt{7}$

Or,

$4+\sqrt{7}>4-\sqrt{7}$

Donc, le nombre

$\sqrt{4+\sqrt{7}}$ est supérieur au nombre

$\sqrt{4-\sqrt{7}}.$

D'où,

$X$ est positif

De même, pour déterminer le signe de

$Y$ on compare les nombres

$\sqrt{3-2\sqrt{2}}\$ et

$\ \sqrt{3+2\sqrt{2}}.$

On a :

$\sqrt{3-2\sqrt{2}}>0\$ et

$\ \sqrt{3+2\sqrt{2}}>0$

Alors :

$(\sqrt{3-2\sqrt{2}})^{2}=3-2\sqrt{2}\$ et

$\ (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{2}=3+2\sqrt{2}$

Or,

$3-2\sqrt{2}<3+2\sqrt{2}$

Donc, le nombre

$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$ est inférieur au nombre

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}.$

D'où,

$Y$ est négatif

2) Calculons

$X^{2}\$ et

$\ Y^{2}.$

On a :

$X=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$

Donc,

$\begin{array}{rcl} X^{2}&=&\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}\right)^{2}-2\times\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}\right)\times\left(\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)+\left(\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)^{2}\\ \\&=&(4+\sqrt{7})-2\times\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}+(4-\sqrt{7})\\ \\&=&(4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})-2\times\sqrt{(4)^{2}-(\sqrt{7})^{2}} \\ \\&=&8-2\times\sqrt{16-7} \\ \\&=&8-2\times\sqrt{9} \\ \\&=&8-2\times 3\\\\&=&8-6\\ \\&=&2\end{array}$

D'où,

$\boxed{X^{2}=2}$

De même, on a :

$Y=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}$

Donc,

$\begin{array}{rcl} Y^{2}&=&\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^{2}-2\times\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)\times\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)+\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}\\ \\&=&(3-2\sqrt{2})-2\times\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}+(3+2\sqrt{2})\\ \\&=&(3-2\sqrt{2})+(3+2\sqrt{2})-2\times\sqrt{(3)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}} \\ \\&=&6-2\times\sqrt{9-8} \\ \\&=&6-2\times\sqrt{1} \\ \\&=&6-2\\ \\&=&4\end{array}$

D'où,

$\boxed{Y^{2}=4}$

3) En déduisons

$X\$ et

$\ Y.$

On a :

$X^{2}=2$

Alors,

$\sqrt{X^{2}}=\sqrt{2}\$ or, on sait que

$\sqrt{X^{2}}=|X|$

Donc,

$|X|=\sqrt{2}$

Mais comme

$X$ est positif alors,

$|X|=X$

D'où,

$\boxed{X=\sqrt{2}}$

De même, on a :

$Y^{2}=4$

Alors,

$\sqrt{Y^{2}}=\sqrt{4}=2\$ or, on sait que

$\sqrt{Y^{2}}=|Y|$

Donc,

$|Y|=2$

$Y$ étant négatif alors,

$|Y|=-Y$

Donc,

$-Y=2$

D'où,

$\boxed{Y=-2}$

Exercice 5

L'unité de longueur est le

$hm.$ Les dimensions d'un champ rectangulaire sont :

$2\sqrt{3}+2\$ et

$\ 2\sqrt{3}-2.$

Calculons : Le périmètre, l'aire ensuite, le diamètre du cercle circonscrit de ce champ rectangulaire.

Soit

$L$ la longueur du champ et

$\ell$ sa largeur.

Alors, on a :

$L=2\sqrt{3}+2\$ et

$\ \ell=2\sqrt{3}-2$

Ainsi,

$-\$ le périmètre

$p$ du champ est donné par :

$\begin{array}{rcl} p&=&2\times(L+\ell)\\\\&=&2\times((2\sqrt{3}+2)+(2\sqrt{3}-2))\\\\&=&2\times(2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2-2)\\\\&=&2\times(4\sqrt{3})\\\\&=&8\sqrt{3} \end{array}$

D'où,

$\boxed{p=8\sqrt{3}\;hm}$

$-\$ l'aire

$\mathcal{A}$ du champ est donnée par :

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}&=&L\times\ell\\\\&=&(2\sqrt{3}+2)\times(2\sqrt{3}-2)\\\\&=&(2\sqrt{3})^{2}-(2)^{2}\\\\&=&(4\times 3)-4\\\\&=&12-4\\\\&=&8\end{array}$

Donc,

$\boxed{\mathcal{A}=8\;hm^{2}}$

$-\$ le cercle circonscrit a pour diamètre l'une des diagonales du rectangle.

D'après le théorème de Pythagore, on a :

$d^{2}=L^{2}+\ell^{2}$

Ce qui entraine :

$\begin{array}{rcl} d&=&\sqrt{L^{2}+\ell^{2}}\\\\&=&\sqrt{(2\sqrt{3}+2)^{2}+(2\sqrt{3}-2)^{2}}\\\\&=&\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2\times 2\times 2\sqrt{3}+2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}-2\times 2\times 2\sqrt{3}+2^{2}}\\\\&=&\sqrt{12+8\sqrt{3}+4+12-8\sqrt{3}+4}\\\\&=&\sqrt{32}\\\\&=&\sqrt{16\times 2}\\\\&=&4\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{d=4\sqrt{2}\;hm}$

Exercice 6 "BFEM 2009"

On donne les réels :

$a=2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\$ et

$\ b=\dfrac{1}{3\sqrt{2}+4}$

1) Rendons rationnel le dénominateur de

$b.$

Soit

$3\sqrt{2}-4$ l'expression conjuguée de

$3\sqrt{2}+4$

Rendre rationnel le dénominateur de

$b$ revient tout simplement à multiplier le numérateur et le dénominateur de

$b$ par le même nombre

$3\sqrt{2}-4.$

On a :

$\begin{array}{rcl} b&=&\dfrac{1}{3\sqrt{2}+4}\\ \\&=&\dfrac{1\times(3\sqrt{2}-4)}{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)} \\ \\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{(3\sqrt{2})^{2}-(4)^{2}} \\ \\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{18-16} \\ \\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{2}\\ \\&=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2 \end{array}$

D'où,

$\boxed{b=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2}$

Montrons que les nombres

$a\$ et

$\ b$ sont des opposés.

$a\$ et

$\ b$ non nuls sont opposés si, et seulement si,

$a=-b$

Ou tout simplement

$a\$ et

$\ b$ sont opposés s'ils vérifient

$a+b=0$

Donc, si on a

$a+b=0$ alors, on conclut que

$a\$ et

$\ b$ sont opposés.

On a :

$\begin{array}{rcl} a+b&=&\left(2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{3\sqrt{2}+4}\right)\\ \\&=&\left(2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)+\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2\right)\\ \\&=&2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2\\ \\&=&2-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\ \\&=&0\end{array}$

Ce qui montre que

$a\$ et

$\ b$ sont opposés.

2) Soit

$A=\sqrt{(1-2\sqrt{2})^{2}}+(\sqrt{2}-2)^{2}-\sqrt{18}.$

Montrons que

$A=5-5\sqrt{2}$

On a :

$A=\sqrt{(1-2\sqrt{2})^{2}}+(\sqrt{2}-2)^{2}-\sqrt{18}=|1-2\sqrt{2}|+(\sqrt{2}-2)^{2}-\sqrt{2\times 9}$

Cherchons le signe de

$1-2\sqrt{2}$

On a :

$1^{2}=1\$ et

$\ (2\sqrt{2})^{2}=4\times 2=8$

On remarque que

$8>1$ donc,

$1<2\sqrt{2}$

D'où,

$1-2\sqrt{2}<0$

Ainsi,

$|1-2\sqrt{2}|=-(1-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1$

Donc,

$\begin{array}{rcl} A&=&|1-2\sqrt{2}|+(\sqrt{2}-2)^{2}-\sqrt{2\times 9}\\ \\&=&2\sqrt{2}-1+(\sqrt{2})^{2}-2\times\sqrt{2}\times 2+(2)^{2}-3\sqrt{2}\\ \\&=&2\sqrt{2}-1+2-4\sqrt{2}+4-3\sqrt{2}\\ \\&=&5-5\sqrt{2}\end{array}$

D'où

$\boxed{A=5-5\sqrt{2}}$

Encadrons

$A\$ à

$10^{-2}$ prés sachant que :

$1.414<\sqrt{2}<1.415.$

On a :

$1.414<\sqrt{2}<1.415$ alors, multiplions chaque membre par

$-5$ tout en sachant que les inégalités changent de sens ;

$-5\times 1.414>-5\sqrt{2}>-5\times 1.415$

Ce qui donne :

$-7.07>-5\sqrt{2}>-7.075$

En ajoutant

$5$ à chaque membre on obtient :

$5-7.07>5-5\sqrt{2}>5-7.075$

Donc,

$-2.07>5-5\sqrt{2}>-2.075$

D'où,

$-2.075<5-5\sqrt{2}<-2.07$
Par suite,

$-2.08<5-5\sqrt{2}<-2.07\ \text{ à }\ 10^{-2}\ \text{ prés}$

Ainsi, un encadrement de

$A\$ à

$10^{-2}$ prés est donné par :

$\boxed{-2.08<A<-2.07}$

Exercice 7

1) Calculons la valeur numérique de l'expression suivante :

$C=\dfrac{2x}{2-x}-\dfrac{2-x}{x}\quad\text{ pour }x=2-\sqrt{3}$

Cela revient donc à remplacer

$x$ par

$2-\sqrt{3}$ dans l'expression de

$C.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{2\times(2-\sqrt{3})}{2-(2-\sqrt{3})}-\dfrac{2-(2-\sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2\times(2-\sqrt{3})}{2-2+\sqrt{3}}-\dfrac{2-2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2\times(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2\times(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})-(\sqrt{3})\times(\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2\times(2-\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{2\sqrt{3}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{2\times(4-4\sqrt{3}+3)-3}{2\sqrt{3}-3}\\\\&=&\dfrac{14-8\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}-3}\\\\&=&\dfrac{11-8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-3}\end{array}$

Donc, pour

$x=2-\sqrt{3}$ , on trouve :

$\boxed{C=\dfrac{11-8\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-3}}$

2) Écrivons les expressions suivantes sous la forme

$a\sqrt{b}$ avec

$a\in\mathbb{Q}\$ et

$\ b\in\mathbb{N}$

Soit

$A=\sqrt{363}+5\sqrt{3}+\sqrt{2}\times\sqrt{54}-3\sqrt{12}$

Alors, il suffit de mettre certains termes sous une forme plus simple puis, de calculer.

On a :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{363}&=&\sqrt{121\times 3}\\\\&=&\sqrt{121}\times\sqrt{3}\\\\&=&11\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{54}&=&\sqrt{9\times 6}\\\\&=&\sqrt{9}\times\sqrt{2\times 3}\\\\&=&3\sqrt{2}\times\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{12}&=&\sqrt{4\times 3}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\sqrt{3}\end{array}$

Donc, en remplaçant dans l'expression de

$A\;,\ \sqrt{363}\;,\ \sqrt{54}\$ et

$\ \sqrt{12}$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{363}+5\sqrt{3}+\sqrt{2}\times\sqrt{54}-3\sqrt{12}\\\\&=&11\sqrt{3}+5\sqrt{3}+\sqrt{2}\times 3\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}-3\times 2\sqrt{3}\\\\&=&11\sqrt{3}+5\sqrt{3}+3\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}-6\sqrt{3}\\\\&=&11\sqrt{3}+5\sqrt{3}+3\times 2\times\sqrt{3}-6\sqrt{3}\\\\&=&11\sqrt{3}+5\sqrt{3}+6\sqrt{3}-6\sqrt{3}\\\\&=&16\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=16\sqrt{3}}$

Soit

$B=\sqrt{20}-\dfrac{2}{3}\sqrt{80}+7\sqrt{2.45}$

On sait que :

$20=4\times 5$

$80=16\times 5$

$2.45=\dfrac{245}{100}=\dfrac{49\times 5}{100}$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} B&=&\sqrt{20}-\dfrac{2}{3}\sqrt{80}+7\sqrt{2.45}\\\\&=&\sqrt{4\times 5}-\dfrac{2}{3}\sqrt{16\times 5}+7\sqrt{\dfrac{49\times 5}{100}}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{5}-\dfrac{2}{3}\sqrt{16}\times\sqrt{5}+7\dfrac{\sqrt{49\times 5}}{\sqrt{100}}\\\\&=&2\times\sqrt{5}-\dfrac{2}{3}\times 4\times\sqrt{5}+7\dfrac{\sqrt{49}\times\sqrt{5}}{10}\\\\&=&2\sqrt{5}-\dfrac{8}{3}\sqrt{5}+\dfrac{7\times 7\times\sqrt{5}}{10}\\\\&=&2\sqrt{5}-\dfrac{8}{3}\sqrt{5}+\dfrac{49}{10}\sqrt{5}\\\\&=&\dfrac{60}{30}\sqrt{5}-\dfrac{80}{30}\sqrt{5}+\dfrac{147}{30}\sqrt{5}\\\\&=&\dfrac{(60-80+147)}{30}\sqrt{5}\\\\&=&\dfrac{127}{30}\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{B=\dfrac{127}{30}\sqrt{5}}$

Soit

$C=2\sqrt{75}-4\sqrt{48}+7\sqrt{192}$

On sait que :

$75=25\times 3$

$48=16\times 3$

$192=64\times 3$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&2\sqrt{75}-4\sqrt{48}+7\sqrt{192}\\\\&=&2\sqrt{25\times 3}-4\sqrt{16\times 3}+7\sqrt{64\times 3}\\\\&=&2\sqrt{25}\times\sqrt{3}-4\sqrt{16}\times\sqrt{3}+7\sqrt{64}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\times 5\times\sqrt{3}-4\times 4\times\sqrt{3}+7\times 8\times\sqrt{3}\\\\&=&10\sqrt{3}-16\sqrt{3}+56\sqrt{3}\\\\&=&50\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=50\sqrt{3}}$

Soit

$D=-15\sqrt{96}+18\sqrt{54}+3\sqrt{486}-21\sqrt{24}$

Alors, on sait que :

$96=16\times 6$

$54=9\times 6$

$486=81\times 6$

$24=4\times 6$

Donc, en remplaçant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} D&=&-15\sqrt{96}+18\sqrt{54}+3\sqrt{486}-21\sqrt{24}\\\\&=&-15\sqrt{16\times 6}+18\sqrt{9\times 6}+3\sqrt{81\times 6}-21\sqrt{4\times 6}\\\\&=&-15\sqrt{16}\times\sqrt{6}+18\sqrt{9}\times\sqrt{6}+3\sqrt{81}\times\sqrt{6}-21\sqrt{4}\times\sqrt{6}\\\\&=&-15\times 4\times\sqrt{6}+18\times 3\times\sqrt{6}+3\times 9\times\sqrt{6}-21\times 2\times\sqrt{6}\\\\&=&-60\sqrt{6}+54\sqrt{6}+27\sqrt{6}-42\sqrt{6}\\\\&=&-21\sqrt{6}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{D=-21\sqrt{6}}$

Soit

$E=\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{54}+\sqrt{\dfrac{24}{49}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} E&=&\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{54}+\sqrt{\dfrac{24}{49}}\\\\&=&\sqrt{2\times 3}-\sqrt{9\times 6}+\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{49}}\\\\&=&\sqrt{6}-\sqrt{9}\times\sqrt{6}+\dfrac{\sqrt{4\times 6}}{7}\\\\&=&\sqrt{6}-3\times\sqrt{6}+\dfrac{\sqrt{4}\times\sqrt{6}}{7}\\\\&=&\sqrt{6}-3\sqrt{6}+\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\\\\&=&\dfrac{7\sqrt{6}}{7}-\dfrac{21\sqrt{6}}{7}+\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\\\\&=&\dfrac{7\sqrt{6}-21\sqrt{6}+2\sqrt{6}}{7}\\\\&=&-\dfrac{12}{7}\sqrt{6}\end{array}$

D'où,

$\boxed{E=-\dfrac{12}{7}\sqrt{6}}$

Soit

$F=\dfrac{7}{3}\sqrt{\dfrac{54}{16}}-\dfrac{6}{5}\sqrt{\dfrac{30}{20}}-\dfrac{9}{2}\sqrt{\dfrac{24}{81}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{7}{3}\sqrt{\dfrac{54}{16}}-\dfrac{6}{5}\sqrt{\dfrac{30}{20}}-\dfrac{9}{2}\sqrt{\dfrac{24}{81}}\\\\&=&\dfrac{7}{3}\dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{16}}-\dfrac{6}{5}\dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{20}}-\dfrac{9}{2}\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{81}}\\\\&=&\dfrac{7}{3}\dfrac{\sqrt{9\times 6}}{4}-\dfrac{6}{5}\dfrac{\sqrt{5\times 6}}{\sqrt{4\times 5}}-\dfrac{9}{2}\dfrac{\sqrt{4\times 6}}{9}\\\\&=&\dfrac{7}{3}\times\dfrac{\sqrt{9}\times\sqrt{6}}{4}-\dfrac{6}{5}\times\dfrac{\sqrt{5}\times\sqrt{6}}{\sqrt{4}\times\sqrt{5}}-\dfrac{9}{2}\times\dfrac{\sqrt{4}\times\sqrt{6}}{9}\\\\&=&\dfrac{7\times 3\times\sqrt{6}}{3\times 4}-\dfrac{6\times\sqrt{6}}{5\times 2}-\dfrac{9\times 2\times\sqrt{6}}{2\times 9}\\\\&=&\dfrac{7}{4}\sqrt{6}-\dfrac{3}{5}\sqrt{6}-\sqrt{6}\\\\&=&\dfrac{35}{20}\sqrt{6}-\dfrac{12}{20}\sqrt{6}-\dfrac{20}{20}\sqrt{6}\\\\&=&\dfrac{(35-12-20)}{20}\sqrt{6}\\\\&=&\dfrac{3}{20}\sqrt{6}\end{array}$

Donc,

$\boxed{F=\dfrac{3}{20}\sqrt{6}}$

Exercice 8

1) Rendons rationnel le dénominateur des nombres suivants :

$\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}\;,\quad\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}\;,\quad\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$

Soit le nombre

$\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}$

Alors, l'expression conjuguée du dénominateur est égale à

$3\sqrt{3}+5.$

Donc, pour rendre rationnel le nombre

$\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}$ , on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre

$3\sqrt{3}+5.$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}&=&\dfrac{(5-2\sqrt{3})(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5)}\\\\&=&\dfrac{15\sqrt{3}+25-(2\sqrt{3})\times(3\sqrt{3})-10\sqrt{3}}{(3\sqrt{3})^{2}-(5)^{2}}\\\\&=&\dfrac{15\sqrt{3}+25-18-10\sqrt{3}}{27-25}\\\\&=&\dfrac{5\sqrt{3}+7}{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{5-2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-5}=\dfrac{5\sqrt{3}+7}{2}}$

Soit le nombre

$\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}$

Alors, pour rendre rationnel ce nombre, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre

$\sqrt{3}.$

Donc, on a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}&=&\dfrac{(3\sqrt{5}-3)\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{5}\times\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2\times 3}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{5\times 3}-3\sqrt{3}}{6}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{15}-3\sqrt{3}}{6}\\\\&=&\dfrac{3(\sqrt{15}-\sqrt{3})}{6}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\dfrac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}}$

Soit le nombre

$\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$

Alors, l'expression conjuguée du dénominateur est égale à

$3\sqrt{2}+2\sqrt{3}.$

Donc, pour rendre rationnel le nombre

$\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$ , on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre

$3\sqrt{2}+2\sqrt{3}.$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}&=&\dfrac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{18-12}\\\\&=&\dfrac{2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{6}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{2}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}}$

2) Mettons les expressions suivantes sous la forme :

$a+b\sqrt{c}\quad\text{ avec }a\in\mathbb{Q}\;,\ b\in\mathbb{Q}\text{ et }c\in\mathbb{N}$

Soit

$A=\dfrac{2}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}$

Alors, en réduisant au même dénominateur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{2}{1-\sqrt{3}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2(1+\sqrt{3})+1(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2+2\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}{(1)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{3}}{1-3}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{3}}{-2}\\\\&=&-\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=-\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}}$

Soit

$B=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

Alors, en réduisant au même dénominateur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})+\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{3}+\sqrt{3}\times\sqrt{2}+\sqrt{2}\times\sqrt{3}-\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{3\times 2}+\sqrt{2\times 3}-2}{3-2}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{6}+\sqrt{6}-2}{1}\\\\&=&1+2\sqrt{6}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{B=1+2\sqrt{6}}$

3) Donnons une écriture simplifiée de :

$\begin{array}{rcl} C&=&3\sqrt{\dfrac{1}{75}}\times 2\sqrt{\dfrac{3}{4}}\\\\&=&3\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{75}} \times 2\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\\\\&=&3\dfrac{1}{\sqrt{25\times 3}}\times 2\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\dfrac{3}{\sqrt{25}\times\sqrt{3}}\times\sqrt{3}\\\\&=&\dfrac{3}{5}\end{array}$

Donc,

$\boxed{C=\dfrac{3}{5}}$

$\begin{array}{rcl} D&=&\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}}+4\\\\&=&\left|\dfrac{3}{2}\right|+4\\\\&=&\dfrac{3}{2}+4\\\\&=&\dfrac{3+8}{2}\\\\&=&\dfrac{11}{2}\end{array}$

Alors,

$\boxed{D=\dfrac{11}{2}}$

$\begin{array}{rcl} E&=&(1-\sqrt{2})(5\sqrt{2}+3)+(1-\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(1-\sqrt{2})[(5\sqrt{2}+3)+(1-\sqrt{2})]\\\\&=&(1-\sqrt{2})(5\sqrt{2}+3+1-\sqrt{2})\\\\&=&(1-\sqrt{2})(4+4\sqrt{2})\\\\&=&(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})\times 4\\\\&=&((1)^{2}-(\sqrt{2})^{2})\times 4\\\\&=&(1-2)\times 4\\\\&=&(-1)\times 4\\\\&=&-4\end{array}$

Donc,

$\boxed{E=-4}$

$\begin{array}{rcl} F&=&\sqrt{\dfrac{1.6\times 2.5}{0.36}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{\dfrac{16}{10}\times\dfrac{25}{10}}{\dfrac{36}{100}}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{\dfrac{16\times 25}{100}}{\dfrac{36}{100}}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{16\times 25}{100}\times\dfrac{100}{36}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{16\times 25}{36}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{16\times 25}}{\sqrt{36}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{16}\times\sqrt{25}}{6}\\\\&=&\dfrac{4\times 5}{6}\\\\&=&\dfrac{20}{6}\\\\&=&\dfrac{10}{3}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{F=\dfrac{10}{3}}$

4) Écrivons sans le grand radical.

Soit

$F=\sqrt{(1-\sqrt{5})^{2}}=\left|1-\sqrt{5}\right|$

Alors, cherchons le signe de

$(1-\sqrt{5}).$

Pour cela, comparons

$1\$ et

$\ \sqrt{5}.$

On a :

$1>0\$ et

$\ \sqrt{5}>0$

Alors,

$1^{2}=1\$ et

$\ (\sqrt{5})^{2}=5$

Or,

$5>1$ donc,

$\sqrt{5}>1$

D'où,

$(1-\sqrt{5})<0$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl} \left|1-\sqrt{5}\right|&=&-(1-\sqrt{5})\\\\&=&-1+\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{F=\sqrt{5}-1}$

Soit

$G=\sqrt{(-5-\sqrt{3})^{2}}=|-5-\sqrt{3}|$

Or, on sait que

$(-5-\sqrt{3})$ est négatif.

Donc,

$\begin{array}{rcl}\left|(-5-\sqrt{3})\right|&=&-(-5-\sqrt{3})\\\\&=&(5+\sqrt{3})\end{array}$

D'où,

$\boxed{G=5+\sqrt{3}}$

Soit

$H=\sqrt{(5-2\sqrt{3})^{2}}=\left|5-2\sqrt{3}\right|$

Cherchons alors le signe de

$(5-2\sqrt{3})$

Pour cela, comparons

$5\$ et

$\ 2\sqrt{3}.$

On a :

$5>0\$ et

$\ 2\sqrt{3}>0$

Alors,

$5^{2}=25\$ et

$\ (2\sqrt{3})^{2}=12$

Comme,

$25$ est plus grand que

$12$ alors,

$5>2\sqrt{3}$

D'où,

$(5-2\sqrt{3})>0$

Par conséquent,

$\left|5-2\sqrt{3}\right|=5-2\sqrt{3}$

Ainsi,

$\boxed{H=5-2\sqrt{3}}$

Soit :

$I=\sqrt{(-2\sqrt{3}+4)^{2}}=\left|-2\sqrt{3}+4\right|$

Alors, cherchons le signe de

$(4-2\sqrt{3})$

Pour cela, comparons

$4\$ et

$\ 2\sqrt{3}.$

On a :

$4>0\$ et

$\ 2\sqrt{3}>0$

Alors,

$4^{2}=16\$ et

$\ (2\sqrt{3})^{2}=12$

Or,

$16$ est plus grand que

$12$ donc,

$4>2\sqrt{3}$

D'où,

$(4-2\sqrt{3})>0$

Par conséquent,

$\left|-2\sqrt{3}+4\right|=-2\sqrt{3}+4$

Ainsi,

$\boxed{I=4-2\sqrt{3}}$

Soit

$J=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}}=\left|\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right|$

Cherchons alors le signe de

$\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)$

Pour cela, comparons

$\dfrac{3}{2}\$ et

$\ 2\sqrt{2}.$

On a :

$\dfrac{3}{2}>0\$ et

$\ 2\sqrt{2}>0$

Alors,

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}\$ et

$\ (2\sqrt{2})^{2}=8$

Or, on sait que

$\dfrac{9}{4}$ est plus petit que

$8$ donc,

$\dfrac{3}{2}<2\sqrt{2}$

D'où,

$\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)<0$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl}\left|\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right|&=&-\left(\dfrac{3}{2}-2\sqrt{2}\right)\\\\&=&\left(-\dfrac{3}{2}+2\sqrt{2}\right)\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{J=2\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}}$

Exercice 9

1) Écrivons

$A=\sqrt{121}-2\sqrt{112}+\sqrt{63}-\sqrt{81}$ sous la forme

$p+q\sqrt{c}\quad(p\in\mathbb{Z}\;,\ q\in\mathbb{Z}\;,\ c\in\mathbb{N})$

On sait que :

$121=11^{2}$

$81=9^{2}$

$112=16\times 7$

$63=9\times 7$

Donc, en remplaçant dans l'expression de

$A$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{121}-2\sqrt{112}+\sqrt{63}-\sqrt{81}\\\\&=&\sqrt{11^{2}}-2\sqrt{16\times 7}+\sqrt{9\times 7}-\sqrt{9^{2}}\\\\&=&11-2\sqrt{16}\times\sqrt{7}+\sqrt{9}\times\sqrt{7}-9\\\\&=&11-2\times 4\times\sqrt{7}+3\times\sqrt{7}-9\\\\&=&11-9-8\sqrt{7}+3\sqrt{7}\\\\&=&2-5\sqrt{7}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=2-5\sqrt{7}}$

2) Soit l'expression

$B(x)=x^{2}-1+(x+7)(2-2x).$

a) Développons, réduisons puis ordonnons

$B(x).$

On a :

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&x^{2}-1+(x+7)(2-2x)\\\\&=&x^{2}-1+x(2-2x)+7(2-2x)\\\\&=&x^{2}-1+2x-2x^{2}+14-14x\\\\&=&x^{2}-2x^{2}+2x-14x-1+14\\\\&=&-x^{2}-12x+13\end{array}$

Alors,

$\boxed{B=-x^{2}-12x+13}$

b) Factorisons

$B(x).$

En effet, la propriété des identités remarquables, on a :

$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$

De plus, on peut écrire :

$(2-2x)=2(1-x)$

Alors, en remplaçant ces égalités dans l'expression de

$B$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&x^{2}-1+(x-7)(2-2x)\\\\&=&(x-1)(x+1)+2(x-7)(1-x)\\\\&=&(1-x)[(x+1)+2(x-7)]\\\\&=&(1-x)(x+1+2x-14)\\\\&=&(1-x)(3x-13)\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=(1-x)(3x-13)}$

3) Soit l'expression

$q(x)=\dfrac{B(x)}{(x-1)(x+7)}$

a) Établissons la condition d'existence de

$q(x)$ et la Simplifions.

On sait que le dénominateur d'un quotient doit être toujours différent de zéro

$(0).$

Donc,

$q(x)$ existe si, et seulement si, son dénominateur est différent de

$0.$

Ce qui signifie que :

$(x-1)(x+7)\neq 0$

Or, on a :

$\begin{array}{rcl} (x-1)(x+7)=0&\Leftrightarrow&x-1=0\ \text{ ou }\ x+7=0\\\\&\Leftrightarrow&x=1\ \text{ ou }\ x=-7\end{array}$

Ainsi, pour que le dénominateur soit non nul, il faut que

$x\neq 1\$ et

$\ x\neq -7$

Par conséquent,

$x$ différent de

$1$ et de

$-7$ est la condition d'existence de

$q(x)$

$-\$ Simplifions

$q(x)$

On a :

$q(x)=\dfrac{B(x)}{(x-1)(x+7)}$

Donc, remplaçons

$B(x)$ par sa forme factorisée.

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} q(x)&=&\dfrac{B(x)}{(x-1)(x+7)}\\\\&=&\dfrac{(1-x)(3x-13)}{(x-1)(x+7)}\\\\&=&\dfrac{-(x-1)(3x-13)}{(x-1)(x+7)}\\\\&=&\dfrac{-(3x-13)}{x+7}\\\\&=&-\dfrac{3x-13}{x+7}\end{array}$

D'où,

$\boxed{q(x)=-\dfrac{3x-13}{x+7}}$

b) Calculons

$q(\sqrt{2})$ (sans radicale au dénominateur).

Pour cela, on utilise l'expression simplifiée de

$q(x)$ pour calculer

$q(\sqrt{2})$ puis de rendre rationnel le dénominateur.

On a :

$\begin{array}{rcl} q(\sqrt{2})&=&-\dfrac{3\sqrt{2}-13}{\sqrt{2}+7}\\\\&=&-\dfrac{(3\sqrt{2}-13)(\sqrt{2}-7)}{(\sqrt{2}+7)(\sqrt{2}-7)}\\\\&=&-\dfrac{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}-7\times 3\sqrt{2}-13\sqrt{2}+7\times 13}{(\sqrt{2})^{2}-(7)^{2}}\\\\&=&-\dfrac{3\times 2-21\sqrt{2}-13\sqrt{2}+91}{2-49}\\\\&=&-\dfrac{6-34\sqrt{2}+91}{-47}\\\\&=&\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{q(\sqrt{2})=\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}}$

c) Donnons un encadrement de

$q(\sqrt{2})$ d'amplitude

$0.1$ prés sachant que

$1.41<\sqrt{2}<1.42$

On a :

$1.41<\sqrt{2}<1.42$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par

$-34$ tout en sachant que les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie par un même nombre négatif.

On obtient :

$-34\times 1.41>-34\sqrt{2}>-34\times 1.42$

Ce qui donne :

$-47.94>-34\sqrt{2}>-48.28$

En ajoutant

$97$ à chaque membre, on obtient :

$97-47.94>97-34\sqrt{2}>97-48.28$

C'est-à-dire ;

$49.06>97-34\sqrt{2}>48.72$

On divise chaque membre de l'inégalité par le même nombre

$47.$

On trouve alors :

$\dfrac{49.06}{47}>\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}>\dfrac{48.72}{47}$

Ce qui donne :

$1.04>\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}>1.03$

Ou encore :

$1.03<\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}<1.04$

D'où, un encadrement de

$q(\sqrt{2})$ d'amplitude

$0.1$ prés est donné par :

$\boxed{1.0<\dfrac{97-34\sqrt{2}}{47}<1.1}$

Exercice 10

On donne

$A=\dfrac{\dfrac{4}{-\sqrt{5}-2}}{\dfrac{1}{2-\sqrt{5}}}\$ et

$\ B=4-2\sqrt{5}$

1) Écrivons

$A\$ et

$\ B^{2}$ sous la forme

$x+y\sqrt{5}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{\dfrac{4}{-\sqrt{5}-2}}{\dfrac{1}{2-\sqrt{5}}}\\\\&=&\dfrac{4}{-\sqrt{5}-2}\times\dfrac{2-\sqrt{5}}{1}\\\\&=&\dfrac{4(2-\sqrt{5})}{-\sqrt{5}-2}\\\\&=&\dfrac{4(2-\sqrt{5})(-\sqrt{5}+2)}{(-\sqrt{5}-2)(-\sqrt{5}+2)}\\\\&=&\dfrac{4(-2\sqrt{5}+4-\sqrt{5}\times(-\sqrt{5})-2\sqrt{5})}{(-\sqrt{5})^{2}-(2)^{2}}\\\\&=&\dfrac{4(-4\sqrt{5}+4+5)}{5-4}\\\\&=&\dfrac{4(-4\sqrt{5}+9)}{1}\\\\&=&36-16\sqrt{5}\end{array}$

Donc,

$\boxed{A=36-16\sqrt{5}}$

Soit

$B=4-2\sqrt{5}$

Alors,

$B^{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} B^{2}&=&(4-2\sqrt{5})^{2}\\\\&=&4^{2}-2\times 4\times 2\sqrt{5}+(2\sqrt{5})^{2}\\\\&=&16-16\sqrt{5}+4\times 5\\\\&=&16-16\sqrt{5}+20\\\\&=&36-16\sqrt{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B^{2}=36-16\sqrt{5}}$

En déduisons une écriture simplifiée de

$C=\sqrt{A}.$

Soit

$C=\sqrt{A}=\sqrt{36-16\sqrt{5}}$

Or, on sait que

$36-16\sqrt{5}=B^{2}$

Donc, en remplaçant

$36-16\sqrt{5}$ par

$B^{2}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\sqrt{36-16\sqrt{5}}\\\\&=&\sqrt{B^{2}}\\\\&=&|B|\end{array}$

Donc,

$C=|B|$

Cherchons alors le signe de

$B$

Pour cela, comparons

$4\$ et

$\ 2\sqrt{5}$

On a :

$4>0\$ et

$\ 2\sqrt{5}>0$

Alors,

$4^{2}=16\$ et

$\ (2\sqrt{5})^{2}=20$

Comme

$20$ est plus grand que

$16$ alors,

$4<2\sqrt{5}$

D'où,

$4-2\sqrt{5}<0$

Ce qui signifie que

$B$ est négatif.

Par suite,

$|B|=-B$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} C&=&|B|\\\\&=&-B\\\\&=&-(4-2\sqrt{5})\\\\&=&-4+2\sqrt{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=-4+2\sqrt{5}}$

2) Sachant que

$2.23<\sqrt{5}<2.24$ ; donnons un encadrement de

$B\$ et

$\ C$ à

$10^{-1}$ près.

$-\$ Encadrement de

$B$

On a :

$2.23<\sqrt{5}<2.24$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par

$-2$ tout en sachant que les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie par un même nombre négatif.

On obtient :

$-2\times 2.23>-2\sqrt{5}>-2\times 2.24$

Ce qui donne :

$-4.46>-2\sqrt{5}>-4.48$

En ajoutant

$4$ à chaque membre, on obtient :

$4-4.46>4-2\sqrt{5}>4-4.48$

Ce qui donne :

$-0.46>4-2\sqrt{5}>-0.48$

D'où, un encadrement de

$B$ à

$10^{-1}$ prés est donné par :

$\boxed{-0.5<4-2\sqrt{5}<-0.4}$

$-\$ Encadrement de

$C$

Comme

$C=-B$ alors, pour obtenir un encadrement de

$C$ , il suffit de multiplier chaque membre de l'encadrement de

$B$ par

$-1$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient alors :

$-1\times(-0.5)>-(4-2\sqrt{5})>-1\times(-0.4)$

Ce qui donne :

$0.5>-4+2\sqrt{5}>0.4$

D'où, un encadrement de

$C$ à

$10^{-1}$ prés est donné par :

$\boxed{0.4<-4+2\sqrt{5}<0.5}$

Exercice 11

On donne

$a=\dfrac{-6}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}\$ et

$\ b=4-2\sqrt{3}$

1) Écrivons

$a$ sous la forme

$x\sqrt{3}+y\sqrt{2}$ puis, calculons

$a^{2}.$

En rendant rationnel le dénominateur de

$a$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{-6}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{-6(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{-6(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{(2\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\dfrac{-6(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{(4\times 3)-(9\times 2)}\\\\&=&\dfrac{-6(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{12-18}\\\\&=&\dfrac{-6(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{-6}\\\\&=&2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{a=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$

$\$ Calcul de

$a^{2}$

Comme

$a$ peut encore s'écrire

$a=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}$ alors, utilisons cette nouvelle écriture de

$a$ pour calculer

$a^{2}.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(2\sqrt{3})^{2}+2\times(2\sqrt{3})\times(3\sqrt{2})+(3\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(4\times 3)+2\times 2\times 3\times\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(9\times 2)\\\\&=&12+12\sqrt{3\times 2}+18\\\\&=&30+12\sqrt{6}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{a^{2}=30+12\sqrt{6}}$

En déduisons une écriture simplifiée de

$C=\dfrac{30+12\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}.$

On sait que

$30+12\sqrt{6}=a^{2}$

De plus, on a :

$a=\dfrac{-6}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}$

Donc,

$a\times(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})=-6$

Ce qui donne :

$2\sqrt{3}-3\sqrt{2}=\dfrac{-6}{a}$

Ainsi, dans l'expression de

$C$ , en remplaçant

$30+12\sqrt{6}$ par

$a^{2}\$ et

$2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$ par

$\dfrac{-6}{a}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{30+12\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{a^{2}}{\dfrac{-6}{a}}\\\\&=&\dfrac{a^{2}}{1}\times\dfrac{a}{-6}\\\\&=&\dfrac{a^{2}\times a}{-6}\\\\&=&-\dfrac{a^{3}}{6}\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=-\dfrac{a^{3}}{6}}$

2) Calculons

$b^{2}$ puis, montrons que

$d=\dfrac{12-3\sqrt{12}}{\sqrt{28-16\sqrt{3}}}\in\mathbb{N}$

Soit

$b=4-2\sqrt{3}$

Alors,

$b^{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&(4-2\sqrt{3})^{2}\\\\&=&4^{2}-2\times 4\times 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^{2}\\\\&=&16-16\sqrt{3}+4\times 3\\\\&=&16-16\sqrt{3}+12\\\\&=&28-16\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{b^{2}=28-16\sqrt{3}}$

Montrons que

$d=\dfrac{12-3\sqrt{12}}{\sqrt{28-16\sqrt{3}}}\in\mathbb{N}$

Pour cela, on montre que

$d$ est un entier naturel.

En effet, le numérateur de

$d$ , peut encore s'écrire :

$\begin{array}{rcl} 12-3\sqrt{12}&=&12-3\sqrt{4\times 3}\\\\&=&12-3\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&12-3\times 2\times\sqrt{3}\\\\&=&12-6\sqrt{3}\end{array}$

Donc,

$12-3\sqrt{12}=12-6\sqrt{3}$

Aussi, comme

$b^{2}=28-16\sqrt{3}$ alors, le dénominateur de

$d$ s'écrit :

$\sqrt{28-16\sqrt{3}}=\sqrt{b^{2}}=|b|$

Cherchons alors le signe de

$b$

Pour cela, comparons

$4\$ et

$\ 2\sqrt{3}$

On a :

$4>0\$ et

$\ 2\sqrt{3}>0$

Alors,

$4^{2}=16\$ et

$\ (2\sqrt{3})^{2}=12$

Comme

$16$ est plus grand que

$12$ alors,

$4>2\sqrt{3}$

D'où,

$4-2\sqrt{3}>0$

Ce qui signifie que

$b$ est positif.

Par suite,

$|b|=b=4-2\sqrt{3}$

Ainsi,

$\sqrt{28-16\sqrt{3}}=4-2\sqrt{3}$

Donc, dans l'écriture de

$d$ , en remplaçant le numérateur par

$12-6\sqrt{3}$ et le dénominateur par

$4-2\sqrt{3}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} d&=&\dfrac{12-3\sqrt{12}}{\sqrt{28-16\sqrt{3}}}\\\\&=&\dfrac{12-6\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{3(4-2\sqrt{3})}{4-2\sqrt{3}}\\\\&=&3\end{array}$

D'où,

$\boxed{d=3\quad\text{qui est bien un entier naturel}}$

Exercice 12

1) Écrivons sous la forme

$a\sqrt{b}$ où

$a\$ et

$\ b$ sont des entiers :

$\sqrt{45}\;;\ \sqrt{12}\;;\ \sqrt{20}.$

On sait que :

$45=9\times 5$

Donc, en remplaçant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{45}&=&\sqrt{9\times 5}\\\\&=&\sqrt{9}\times\sqrt{5}\\\\&=&3\times\sqrt{5}\\\\&=&3\sqrt{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\sqrt{45}=3\sqrt{5}}$

On a :

$12=4\times 3$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{12}&=&\sqrt{4\times 3}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\times\sqrt{3}\\\\&=&2\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\sqrt{12}=2\sqrt{3}}$

On sait que :

$20=4\times 5$

Donc, en remplaçant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{20}&=&\sqrt{4\times 5}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{5}\\\\&=&2\times\sqrt{5}\\\\&=&2\sqrt{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\sqrt{20}=2\sqrt{5}}$

2) Écrivons

$C=\sqrt{45}+\sqrt{12}+\sqrt{20}-2\sqrt{3}$ sous la forme

$d\sqrt{5}$ où

$d$ est un entier.

En remplaçant

$\sqrt{45}\;;\ \sqrt{12}\;;\ \sqrt{20}$ par leur écriture plus simplifiée, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\sqrt{45}+\sqrt{12}+\sqrt{20}-2\sqrt{3}\\\\&=&3\sqrt{5}+2\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}\\\\&=&5\sqrt{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=5\sqrt{5}}$

3) Montrons que

$E=(1+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{8}-1)$ est un entier.

En calculant directement, on obtient :

$\begin{array}{rcl} E&=&(1+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{8}-1)\\\\&=&1^{2}+2\times 1\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}-\sqrt{8}+1\\\\&=&1+2\sqrt{2}+2-\sqrt{4\times 2}+1\\\\&=&4+2\sqrt{2}-\sqrt{4}\times\sqrt{2}\\\\&=&4+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\\\&=&4\end{array}$

D'où,

$\boxed{E=4\quad\text{qui est un entier naturel}}$

Exercice 13

On donne :

$a=\sqrt{10}-3\$ et

$\ b=\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}}$

1) Calculons

$a^{2}$ puis rendons rationnel le dénominateur de

$\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}$

On a :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(\sqrt{10}-3)^{2}\\\\&=&(\sqrt{10})^{2}-2\times 3\times\sqrt{10}+(3)^{2}\\\\&=&10-6\sqrt{10}+9\\\\&=&19-6\sqrt{10}\end{array}$

Donc,

$\boxed{a^{2}=19-6\sqrt{10}}$

Rendons rationnel le dénominateur de

$\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}$

On a :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}&=&\dfrac{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}-3)}{(\sqrt{10}+3)(\sqrt{10}-3)}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{10}-3)^{2}}{(\sqrt{10})^{2}-(3)^{2}}\\\\&=&\dfrac{19-6\sqrt{10}}{10-9}\\\\&=&\dfrac{19-6\sqrt{10}}{1}\\\\&=&19-6\sqrt{10}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}=19-6\sqrt{10}}$

On peut remarquer que

$\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}=a^{2}$

2) Simplifions l'écriture de

$b$ .

Soit

$b=\sqrt{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}}$

Comme

$\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}=a^{2}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{\dfrac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{10}+3}}&=&\sqrt{a^{2}}\\\\&=&|a|\end{array}$

Donc,

$\boxed{b=|a|}$

Déterminons alors le signe de

$a=\sqrt{10}-3$

Pour cela, comparons

$\sqrt{10}\$ et

$\ 3$

On a :

$\sqrt{10}>0\$ et

$\ 3>0$

Alors,

$(\sqrt{10})^{2}=10\$ et

$\ (3)^{2}=9$

Comme

$10$ est plus grand que

$9$ alors,

$\sqrt{10}>3$

D'où,

$\sqrt{10}-3>0$

Ce qui signifie que

$a$ est positif.

Par suite,

$|a|=a=\sqrt{10}-3$

Or,

$b=|a|$

Par conséquent,

$\boxed{b=\sqrt{10}-3}$

3) Sachant que

$3.162<\sqrt{10}<3.163$ ; donnons un encadrement de

$3-\sqrt{10}$ au dixième près.

On a :

$3.162<\sqrt{10}<3.163$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par

$-1$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :

$-3.162>-\sqrt{10}>-3.163$

Ensuite, en ajoutant

$3$ à chaque membre, on trouve :

$3-3.162>3-\sqrt{10}>3-3.163$

Ce qui donne :

$-0.162>3-\sqrt{10}>-0.163$

Ce qui s'écrit encore :

$-0.163<3-\sqrt{10}<-0.162$

D'où, un encadrement de

$3-\sqrt{10}$ au dixième prés est donné par :

$\boxed{-0.2<3-\sqrt{10}<-0.1}$

Exercice 14

Soient les réels

$x\$ et

$\ y$ tels que :

$x=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\;;\quad y=\sqrt{50}-\sqrt{32}-\sqrt{18}$

1) Montrons que

$x$ est un entier que l'on précisera.

Pour cela, on commence par réduire au même dénominateur puis, on calcule

$x.$

On a :

$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}+\dfrac{(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{(2+\sqrt{3})^{2}+(2-\sqrt{3})^{2}}{(2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{(2)^{2}+2\times 2\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}+(2)^{2}-2\times 2\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}{4-3}\\\\&=&\dfrac{4+4\sqrt{3}+3+4-4\sqrt{3}+3}{1}\\\\&=&14\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{x=14}$

Par conséquent

$x$ est un entier.

2) Écrivons

$y$ sous la forme

$a\sqrt{b}$ avec

$b$ un entier naturel.

Soit

$y=\sqrt{50}-\sqrt{32}-\sqrt{18}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} y&=&\sqrt{50}-\sqrt{32}-\sqrt{18}\\\\&=&\sqrt{25\times 2}-\sqrt{16\times 2}-\sqrt{9\times 2}\\\\&=&\sqrt{25}\times\sqrt{2}-\sqrt{16}\times\sqrt{2}-\sqrt{9}\times\sqrt{2}\\\\&=&5\times\sqrt{2}-4\times\sqrt{2}-3\times\sqrt{2}\\\\&=&-2\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{y=-2\sqrt{2}}$

3) Donnons un encadrement de

$x-y$ à

$10^{-2}$ près.

On a :

$\begin{array}{rcl} x-y&=&14-(-2\sqrt{2})\\\\&=&14+2\sqrt{2}\end{array}$

On va alors donner un encadrement de

$14+2\sqrt{2}$ à

$10^{-2}$ près.

On sait que :

$1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par

$2.$

On obtient :

$2\times 1.414<2\sqrt{2}<2\times 1.415$

Ce qui donne :

$2.828<2\sqrt{2}<2.830$

En ajoutant

$14$ à chaque membre, on trouve :

$14+2.828<14+2\sqrt{2}<14+2.830$

C'est-à-dire ;

$16.828<14+2\sqrt{2}<16.830$

D'où, un encadrement de

$x-y$ à

$10^{-2}$ près est donné par :

$\boxed{16.82<x-y<16.83}$

Exercice 15

1) Simplifions les réels suivants :

Soit

$A=-\sqrt{49}3+\sqrt{12}-\sqrt{(-5)^{2}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} A&=&-\sqrt{49}3+\sqrt{12}-\sqrt{(-5)^{2}}\\\\&=&-\sqrt{49}\times 3+\sqrt{4\times 3}-|-5|\\\\&=&-7\times 3+\sqrt{4}\times\sqrt{3}-5\\\\&=&-21+2\sqrt{3}-5\\\\&=&-26+2\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=-26+2\sqrt{2}}$

Soit

$B=\sqrt{12}+\sqrt{32}-\sqrt{144}-\sqrt{2}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} B&=&\sqrt{12}+\sqrt{32}-\sqrt{144}-\sqrt{2}\\\\&=&\sqrt{4\times 3}+\sqrt{16\times 2}-12-\sqrt{2}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{3}+\sqrt{16}\times\sqrt{2}-12-\sqrt{2}\\\\&=&2\sqrt{3}+4\sqrt{2}-12-\sqrt{2}\\\\&=&-12+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{B=-12+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$

Soit

$C=3\sqrt{a^{4}}+a\sqrt{a^{2}}-5a^{2}$ avec

$a\in\mathbb{R}^{-}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} C&=&3\sqrt{a^{4}}+a\sqrt{a^{2}}-5a^{2}\\\\&=&3\sqrt{a^{2}\times a^{2}}+a\times|a|-5a^{2}\\\\&=&3\sqrt{a^{2}}\times\sqrt{a^{2}}+a\times|a|-5a^{2}\\\\&=&3\times|a|\times|a|+a\times|a|-5a^{2}\end{array}$

Comme

$a$ est un nombre négatif alors,

$|a|=-a$

Donc, en remplaçant

$|a|$ par

$-a$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl} C&=&3\times|a|\times|a|+a\times|a|-5a^{2}\\\\&=&3\times(-a)\times(-a)+a\times(-a)-5a^{2}\\\\&=&3a^{2}-a^{2}-5a^{2}\\\\&=&-3a^{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{C=-3a^{2}}$

2) Comparons les réels

$-2\sqrt{5}\ \text{ et }\ -3\sqrt{5}$

On remarque les nombres réels

$-2\sqrt{5}\$ et

$\ -3\sqrt{5}$ sont tous les deux négatifs.

Donc, le plus grand est celui avec le plus petit carré.

On a :

$(-2\sqrt{5})^{2}=20\$ et

$\ (-3\sqrt{5})^{2}=45$

Comme

$20$ est plus petit que

$45$ alors,

$-2\sqrt{5}>-3\sqrt{5}$

$3-2\sqrt{2}\ \text{ et }\ -1+\sqrt{2}$

En faisant la différence entre ces deux nombres, on trouve :

$\begin{array}{rcl} (3-2\sqrt{2})-(-1+\sqrt{2})&=&3-2\sqrt{2}+1-\sqrt{2}\\\\&=&4-3\sqrt{2}\end{array}$

Donc, cette différence est égale à

$4-3\sqrt{2}.$

Cherchons alors le signe de

$4-3\sqrt{2}.$

On a :

$4>0\$ et

$\ 3\sqrt{2}>0$

Alors,

$(4)^{2}=16\$ et

$\ (3\sqrt{2})^{2}=18$

Comme

$16$ est plus petit que

$18$ alors,

$4<3\sqrt{2}.$

D'où,

$4-3\sqrt{2}<0$

Ce qui signifie que la différence

$(3-2\sqrt{2})-(-1+\sqrt{2})$ est négative.

Par conséquent,

$(3-2\sqrt{2})$ est inférieur à

$(-1+\sqrt{2})$

$\sqrt{5-2\sqrt{3}}\ \text{ et }\ \sqrt{3-\sqrt{3}}$

Ces deux nombres sont positifs donc, comparons leur carré.

On a :

$\left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)^{2}=5-2\sqrt{3}\$ et

$\ \left(\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)^{2}=3-\sqrt{3}$

Alors, en faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)^{2}-\left(\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)^{2}&=&(5-2\sqrt{3})-(3-\sqrt{3})\\\\&=&5-2\sqrt{3}-3+\sqrt{3}\\\\&=&2-\sqrt{3}\end{array}$

Donc, cette différence est égale à

$2-\sqrt{3}.$

Cherchons alors le signe de

$2-\sqrt{3}.$

On a :

$2>0\$ et

$\ \sqrt{3}>0$

Alors,

$(2)^{2}=4\$ et

$\ (\sqrt{3})^{2}=3$

Comme

$4$ est plus grand que

$3$ alors,

$2>\sqrt{3}.$

D'où,

$2-\sqrt{3}>0$

Ce qui signifie que la différence

$\left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)^{2}-\left(\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)^{2}$ est positive.

Ainsi,

$\left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)^{2}$ est plus grand que

$\left(\sqrt{3-\sqrt{3}}\right)^{2}$

Par conséquent,

$\sqrt{5-2\sqrt{3}}>\sqrt{3-\sqrt{3}}$

Exercice 16

1) On donne

$a=2+\sqrt{5}\$ et

$\ b=2-\sqrt{5}.$ Calculons

$a^{2}\$ et

$\ b^{2}$ puis en déduisons une écriture simplifiée de

$A=\sqrt{9+4\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(2+\sqrt{5})^{2}\\\\&=&(2)^{2}+2\times 2\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}\\\\&=&4+4\sqrt{5}+5\\\\&=&9+4\sqrt{5}\end{array}$

Donc,

$\boxed{a^{2}=9+4\sqrt{5}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&(2-\sqrt{5})^{2}\\\\&=&(2)^{2}-2\times 2\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}\\\\&=&4-4\sqrt{5}+5\\\\&=&9-4\sqrt{5}\end{array}$

Donc,

$\boxed{b^{2}=9-4\sqrt{5}}$

Simplifions l'écriture de

$A=\sqrt{9+4\sqrt{5}}+\sqrt{9-4\sqrt{5}}.$

Comme

$9+4\sqrt{5}=a^{2}\$ et

$9-4\sqrt{5}=b^{2}$ alors,

$A$ peut encore s'écrire :

$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}\\\\&=&|a|+|b|\end{array}$

Cherchons alors le signe de

$a\$ et

$\ b$

Soit

$a=2+\sqrt{5}>0$ donc,

$|a|=a$

Soit

$b=2-\sqrt{5}$

On a :

$2>0\$ et

$\ \sqrt{5}>0$

Alors,

$(2)^{2}=4\$ et

$\ (\sqrt{5})^{2}=5$

Comme

$4$ est plus petit que

$5$ alors,

$2<\sqrt{5}.$

D'où,

$2-\sqrt{5}<0$

C'est-à-dire ;

$b$ est négatif.

Par conséquent,

$|b|=-b$

Donc,

$\begin{array}{rcl} A&=&|a|+|b|\\\\&=&a-b\\\\&=&(2+\sqrt{5})-(2-\sqrt{5})\\\\&=&2+\sqrt{5}-2+\sqrt{5}\\\\&=&2\sqrt{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=2\sqrt{5}}$

2) On donne :

$X=\sqrt{3+2\sqrt{2}}\$ et

$\ Y=\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

a) Calculons

$X.Y$

On a :

$\begin{array}{rcl} X\times Y&=&\sqrt{3+2\sqrt{2}}\times \sqrt{3-2\sqrt{2}}\\\\&=&\sqrt{(3+2\sqrt{2})\times(3-2\sqrt{2})}\\\\&=&\sqrt{(3)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\sqrt{9-8}\\\\&=&\sqrt{1}\\\\&=&1\end{array}$

Donc,

$\boxed{X\times Y=1}$

On peut alors dire que

$X\$ et

$\ Y$ sont des inverses.

b) On pose

$M=X-Y$ ; calculons

$M^{2}$ puis en déduisons que

$M=2.$

On a :

$\begin{array}{rcl} M^{2}&=&(X-Y)^{2}\\\\&=&X^{2}-2\times X\times Y+Y^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}-2\times 1+\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^{2}\\\\&=&3+2\sqrt{2}-2+3-2\sqrt{2}\\\\&=&3+2\sqrt{2}-2+3-2\sqrt{2}\\\\&=&4\end{array}$

Donc,

$\boxed{M^{2}=4}$

En déduisons que

$M=2.$

On a :

$M^{2}=4$

Alors,

$\sqrt{M^{2}}=\sqrt{4}=2$

Or,

$\sqrt{M^{2}}=|M|$ donc,

$|M|=2$

Cherchons alors le signe de

$M.$

On a :

$M=X-Y=\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

Donc, comparons

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}\$ et

$\ \sqrt{3-2\sqrt{2}}$

Ces deux nombres étant positifs alors, on a :

$\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}=3+2\sqrt{2}$

$\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^{2}=3-2\sqrt{2}$

En faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}-\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^{2}&=&3+2\sqrt{2}-(3-2\sqrt{2})\\\\&=&3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2}\\\\&=&4\sqrt{2}\end{array}$

Donc, la différence

$4\sqrt{2}$ est positive.

Ce qui signifie que

$\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}\right)^{2}$ est supérieur à

$\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}\right)^{2}$

Ainsi,

$X$ est plus grand que

$Y.$

Par suite,

$M>0$

D'où,

$|M|=M$

Or, on a

$|M|=2$

Par conséquent,

$\boxed{M=2}$

Exercice 17

1) On donne :

$C=\sqrt{5\sqrt{2}-7}\$ et

$\ D=\sqrt{5\sqrt{2}+7}.$

Montrons que

$C\$ et

$\ D$ sont inverses.

Pour cela, on va vérifier que

$C\times D=1$

On a :

$\begin{array}{rcl} C\times D&=&\sqrt{5\sqrt{2}-7}\times\sqrt{5\sqrt{2}+7}\\\\&=&\sqrt{(5\sqrt{2}-7)\times(5\sqrt{2}+7)}\\\\&=&\sqrt{(5\sqrt{2})^{2}-(7)^{2}}\\\\&=&\sqrt{50-49}\\\\&=&\sqrt{1}\\\\&=&1\end{array}$

Donc,

$\boxed{C\times D=1}$

Ce qui montre que

$C\$ et

$\ D$ sont inverses.

2) Soit

$E=\dfrac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}.$

Rendons rationnel le dénominateur de

$E.$

On a :

$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{(3\sqrt{2}-1)\times\sqrt{2}}{(\sqrt{2})\times(\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{3\times 2-\sqrt{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Donc,

$\boxed{E=\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}}$

Encadrons

$E$ à

$10^{-2}$ près sachant que

$1.414<\sqrt{2}<1.415.$

On a :

$1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par

$-1$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :

$-1.414>-\sqrt{2}>-1.415$

En ajoutant

$6$ à chaque membre, on obtient :

$6-1.414>6-\sqrt{2}>6-1.415$

C'est-à-dire ;

$4.586>6-\sqrt{2}>4.585$

On divise chaque membre de l'inégalité par le même nombre

$2.$

On trouve alors :

$\dfrac{4.586}{2}>\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}>\dfrac{4.585}{2}$

Ce qui donne :

$2.293>\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}>2.292$

Ce qui s'écrit encore :

$2.292<\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}<2.293$

D'où, un encadrement de

$E$ à

$10^{-2}$ prés est donné par :

$\boxed{2.29<\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}<2.30}$

3) Soit

$F=\sqrt{2}\sqrt{48}-3\sqrt{54}+5\sqrt{6}.$

Montrons que

$F=0$

$\begin{array}{rcl} F&=&\sqrt{2}\sqrt{48}-3\sqrt{54}+5\sqrt{6}\\\\&=&\sqrt{2}\times\sqrt{16\times 3}-3\sqrt{9\times 6}+5\sqrt{6}\\\\&=&\sqrt{2}\times\sqrt{16}\times\sqrt{3}-3\sqrt{9}\times\sqrt{6}+5\sqrt{6}\\\\&=&\sqrt{2}\times 4\times\sqrt{3}-3\times 3\times\sqrt{6}+5\sqrt{6}\\\\&=&4\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}-9\sqrt{6}+5\sqrt{6}\\\\&=&4\sqrt{2\times 3}-9\sqrt{6}+5\sqrt{6}\\\\&=&4\sqrt{6}-9\sqrt{6}+5\sqrt{6}\\\\&=&9\sqrt{6}-9\sqrt{6}\\\\&=&0\end{array}$

D'où,

$\boxed{F=0}$

Exercice 18

1) On pose

$a=1+\sqrt{5}\$ et

$\ b=1-\sqrt{3}$ ; calculons

$a^{2}\$ et

$\ b^{2}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(1+\sqrt{5})^{2}\\\\&=&(1)^{2}+2\times 1\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}\\\\&=&1+2\sqrt{5}+5\\\\&=&6+2\sqrt{5}\end{array}$

Donc,

$\boxed{a^{2}=6+2\sqrt{5}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&(1-\sqrt{3})^{2}\\\\&=&(1)^{2}-2\times 1\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\\\\&=&1-2\sqrt{3}+3\\\\&=&4-2\sqrt{3}\end{array}$

Alors,

$\boxed{b^{2}=4-2\sqrt{3}}$

2) Simplifions

$c=\dfrac{1+\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}$ puis rendons rationnel son dénominateur.

On remarque que le numérateur de

$c$ est égal à

$a$ et son dénominateur est égal à

$a^{2}.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} c&=&\dfrac{1+\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}\\\\&=&\dfrac{a}{a^{2}}\\\\&=&\dfrac{1}{a}\\\\&=&\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}\end{array}$

D'où,

$\boxed{c=\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}}$

Rendons rationnel le dénominateur.

On a :

$\begin{array}{rcl} c&=&\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}\\\\&=&\dfrac{1\times(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}\\\\&=&\dfrac{1-\sqrt{5}}{(1)^{2}-(\sqrt{5})^{2}}\\\\&=&\dfrac{1-\sqrt{5}}{1-5}\\\\&=&\dfrac{1-\sqrt{5}}{-4}\\\\&=&-\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\end{array}$

3) Calculons

$a\times c.$

En multipliant

$a$ par

$c$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} a\times c&=&(1+\sqrt{5})\times\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}\\\\&=&\dfrac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\\\\&=&1\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{a\times c=1}$

Comme

$a\times c=1$ alors,

$a$ est l'inverse de

$c.$

4) On donne :

$A=\sqrt{(6-2\sqrt{5})^{2}-2(6-2\sqrt{5})(3+3\sqrt{5})+(3+3\sqrt{5})^{2}}$

a) Simplifions

$A.$

On constate que

$(6-2\sqrt{5})^{2}-2(6-2\sqrt{5})(3+3\sqrt{5})+(3+3\sqrt{5})^{2}$ est de la forme

$a^{2}-2a.b+b^{2}$ avec

$a=(6-2\sqrt{5})\$ et

$\ b=(3+3\sqrt{5}).$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$a^{2}-2a.b+b^{2}=(a-b)^{2}$

Donc,

$\begin{array}{rcl} (6-2\sqrt{5})^{2}-2(6-2\sqrt{5})(3+3\sqrt{5})+(3+3\sqrt{5})^{2}&=&((6-2\sqrt{5})-(3+3\sqrt{5}))^{2}\\\\&=&(6-2\sqrt{5}-3-3\sqrt{5})^{2}\\\\&=&(3-5\sqrt{5})^{2}\end{array}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{(6-2\sqrt{5})^{2}-2(6-2\sqrt{5})(3+3\sqrt{5})+(3+3\sqrt{5})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(3-5\sqrt{5})^{2}}\\\\&=&\left|3-5\sqrt{5}\right|\end{array}$

Cherchons alors le signe de

$(3-5\sqrt{5})$

Pour cela, comparons

$3\$ et

$\ 5\sqrt{5}$

On a :

$3>0\$ et

$\ 5\sqrt{5}>0$

Alors,

$3^{2}=9\$ et

$\ (5\sqrt{5})^{2}=125$

Comme

$125$ est plus grand que

$9$ alors,

$3<5\sqrt{5}$

D'où,

$3-5\sqrt{5}<0$

Ce qui entraine :

$\left|3-5\sqrt{5}\right|=-(3-5\sqrt{5})=-3+5\sqrt{5}$

Par conséquent,

$\boxed{A=-3+5\sqrt{5}}$

b) Donnons la valeur approchée de

$A$ à

$10^{-2}$ près par défaut sachant que

$2.236<\sqrt{5}< 2.237.$

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par

$5.$

On obtient alors :

$5\times 2.236<5\sqrt{5}<5\times 2.237$

Ce qui donne :

$11.180<5\sqrt{5}<11.185$

Ajoutons

$-3$ à chaque membre.

On trouve alors :

$-3+11.180<-3+5\sqrt{5}<-3+11.185$

Ainsi, on obtient :

$8.180<-3+5\sqrt{5}<8.185$

D'où, une valeur approchée de

$A$ à

$10^{-2}$ près par défaut est :

$8.18$

Exercice 19

On donne :

$a=1-\sqrt{3}\$ et

$\ b=6\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}.$

1) Calculons

$a^{2}\$ et

$\ b^{2}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(1-\sqrt{3})^{2}\\\\&=&(1)^{2}-2\times 1\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\\\\&=&1-2\sqrt{3}+3\\\\&=&4-2\sqrt{3}\end{array}$

Donc,

$\boxed{a^{2}=4-2\sqrt{3}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&\left(6\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2}\\\\&=&(6)^{2}\times\left(\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2}\\\\&=&36\times\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\\&=&36\times 1-\dfrac{36\times\sqrt{3}}{2}\\\\&=&36-18\sqrt{3}\end{array}$

Alors,

$\boxed{b^{2}=36-18\sqrt{3}}$

Montrons que

$b=-3a.$

En observant l'expression de

$b^{2}$ , on peut encore écrire :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&36-18\sqrt{3}\\\\&=&9(4-2\sqrt{3})\\\\&=&9a^{2}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{b^{2}=9a^{2}}$

Par suite,

$\sqrt{b^{2}}=\sqrt{9\times a^{2}}=\sqrt{9}\times\sqrt{a^{2}}$

Ce qui donne :

$|b|=3\times |a|$

On sait que

$b$ est positif donc,

$|b|=b$

On obtient alors :

$\boxed{b=3\times |a|}$

Cherchons le signe de

$a.$

Pour cela, comparons

$1\$ et

$\ \sqrt{3}$

On a :

$1>0\$ et

$\ \sqrt{3}>0$

Alors,

$1^{2}=1\$ et

$\ (\sqrt{3})^{2}=3$

Comme

$1$ est plus petit que

$3$ alors,

$1<\sqrt{3}$

Donc,

$1-\sqrt{3}<0$

Ce qui signifie que

$a$ est négatif.

D'où,

$|a|=-a.$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl} b&=&3\times|a|\\\\&=&3\times(-a)\\\\&=&-3a\end{array}$

Ce montre que

$\boxed{b=-3a}$

2) On donne :

$E=\dfrac{2-\sqrt{12}}{6\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$ ; montrons que

$E$ est un rationnel.

Pour cela, on va montrer que

$E$ peut encore s'écrire sans le signe radical.

En observant l'expression de

$E$ , on constate que son dénominateur est égal à

$b.$

Or, on vient de montrer que

$b=-3a$ donc, en remplaçant successivement le dénominateur par

$b$ et par

$-3a$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{2-\sqrt{12}}{6\sqrt{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}\\\\&=&\dfrac{2-\sqrt{4\times 3}}{b}\\\\&=&\dfrac{2-\sqrt{4}\times\sqrt{3}}{-3a}\\\\&=&\dfrac{2-2\sqrt{3}}{-3(1-\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2(1-\sqrt{3})}{-3(1-\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2}{-3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{E=\dfrac{2}{-3}\quad\text{qui est bien un nombre rationnel}}$

Exercice 20 "BFEM 2008"

On donne :

$a=\sqrt{7+4\sqrt{3}}\$ et

$\ b=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$

1) Calculons

$a^{2}\;;\ b^{2}\;;\ a\times b\;;\ (a+b)^{2}\$ et

$\ (a-b)^{2}$

On a :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&7+4\sqrt{3}\end{array}$

Donc,

$\boxed{a^{2}=7+4\sqrt{3}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&\left(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&7-4\sqrt{3}\end{array}$

Alors,

$\boxed{b^{2}=7-4\sqrt{3}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} a\times b&=&\sqrt{7+4\sqrt{3}}\times\sqrt{7-4\sqrt{3}}\\\\&=&\sqrt{(7+4\sqrt{3})\times(7-4\sqrt{3})}\\\\&=&\sqrt{(7)^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\sqrt{49-16\times 3}\\\\&=&\sqrt{49-48}\\\\&=&\sqrt{1}\\\\&=&1\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{a\times b=1}$

On a :

$\begin{array}{rcl} (a+b)^{2}&=&a^{2}+2\times a\times b+b^{2}\\\\&=&7+4\sqrt{3}+2\times 1+7-4\sqrt{3}\\\\&=&7+2+7\\\\&=&16\end{array}$

Donc,

$\boxed{(a+b)^{2}=16}$

On a :

$\begin{array}{rcl} (a-b)^{2}&=&a^{2}-2\times a\times b+b^{2}\\\\&=&7+4\sqrt{3}-2\times 1+7-4\sqrt{3}\\\\&=&7-2+7\\\\&=&12\end{array}$

D'où,

$\boxed{(a-b)^{2}=12}$

2) En déduisons

$a+b\$ et

$\ a-b$

D'après le résultat de la question

$1)$ , on a :

$(a+b)^{2}=16.$

Ce qui entraine :

$\sqrt{(a+b)^{2}}=\sqrt{16}=4$

Or, on sait que :

$\sqrt{(a+b)^{2}}=|a+b|$

Donc, on a :

$|a+b|=4$

Ce qui signifie que :

$a+b=4$ ou bien

$a+b=-4$

Mais comme

$a\$ et

$\ b$ sont tous les deux positifs alors, leur somme

$a+b$ est aussi positif.

Donc,

$a+b$ prend la valeur

$4$ qui est positive.

D'où,

$\boxed{a+b=4}$

Aussi, d'après le résultat de la question

$1)$ , on a :

$(a-b)^{2}=12.$

Ce qui entraine :

$\sqrt{(a-b)^{2}}=\sqrt{12}$

Comme

$\sqrt{(a-b)^{2}}=|a-b|$ alors, on a :

$|a-b|=\sqrt{12}$

Ce qui signifie que :

$a-b=\sqrt{12}$ ou bien

$a-b=-\sqrt{12}$

Cherchons alors le signe de

$a-b$ en comparant

$a\$ et

$\ b.$

On a :

$a>0\$ et

$\ b>0$

Alors,

$a^{2}=7+4\sqrt{3}\$ et

$\ b^{2}=7-4\sqrt{3}$

On remarque que

$a^{2}$ est plus grand que

$b^{2}.$

Donc,

$a$ est supérieur à

$b.$

Ce qui signifie que :

$a-b$ est positif.

Par conséquent,

$a-b$ prend la valeur

$\sqrt{12}$ qui est positive.

D'où,

$\boxed{a-b=\sqrt{12}=2\sqrt{3}}$

Exercice 21

Soit

$A=\sqrt{2}-3\$ et

$\ B=\dfrac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$

1) Calculons

$A^{2}$ puis rendons rationnel le dénominateur de

$B.$

On a :

$\begin{array}{rcl} A^{2}&=&(\sqrt{2}-3)^{2}\\\\&=&(\sqrt{2})^{2}-2\times 3\times\sqrt{2}+(3)^{2}\\\\&=&2-6\sqrt{2}+9\\\\&=&11-6\sqrt{2}\end{array}$

Donc,

$\boxed{A^{2}=11-6\sqrt{2}}$

Pour rendre rationnel le dénominateur de

$B$ , on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre

$\sqrt{2}-1.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\\\\&=&\dfrac{(5\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\\\&=&\dfrac{5\sqrt{2}\times\sqrt{2}-5\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&\dfrac{5\times 2-6\sqrt{2}+1}{2-1}\\\\&=&\dfrac{10-6\sqrt{2}+1}{1}\\\\&=&11-6\sqrt{2}+1\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{B=11-6\sqrt{2}}$

2) En déduisons une écriture simplifiée de

$\sqrt{B}.$

D'après le résultat de la question

$1)$ , on constate

$B$ est égal à

$A^{2}.$

Donc,

$\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}}=|A|$

Cherchons le signe de

$A$ en comparant

$\sqrt{2}\$ et

$\ 3.$

Comme

$\sqrt{2}\$ et

$\ 3$ sont tous les deux positifs alors, comparons leur carré.

On a :

$(\sqrt{2})^{2}=2\$ et

$\ 3^{2}=9$

Or,

$2$ est plus petit que

$9$ donc,

$\sqrt{2}<3$

Ce qui entraine :

$\sqrt{2}-6<0.$

Ce qui signifie que :

$A$ est négatif.

Ainsi,

$|A|=-A$

Donc,

$\begin{array}{rcl}\sqrt{B}&=&|A|\\\\&=&-A\\\\&=&-(\sqrt{2}-3)\\\\&=&-\sqrt{2}+3\end{array}$

D'où,

$\boxed{\sqrt{B}=3-\sqrt{2}}$

Résolvons dans

$\mathbb{R}$ , l'équation :

$(\sqrt{2}+1)x^{2}-5\sqrt{2}+1=0$

On a :

$\begin{array}{rcl}(\sqrt{2}+1)x^{2}-5\sqrt{2}+1=0&\Leftrightarrow&(\sqrt{2}+1)x^{2}=-(-5\sqrt{2}+1)\\\\&\Leftrightarrow&(\sqrt{2}+1)x^{2}=5\sqrt{2}-1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=\dfrac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=B\\\\&\Leftrightarrow&\sqrt{x^{2}}=\sqrt{B}\\\\&\Leftrightarrow&|x|=\sqrt{B}\\\\&\Leftrightarrow&x=\sqrt{B}\ \text{ ou bien }\ x=-\sqrt{B}\\\\&\Leftrightarrow&x=3-\sqrt{2}\ \text{ ou bien }\ x=-(3-\sqrt{2})\\\\&\Leftrightarrow&x=3-\sqrt{2}\ \text{ ou bien }\ x=-3+\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{S=\left\lbrace 3-\sqrt{2}\;;\ -3+\sqrt{2}\right\rbrace}$

Exercice 22

1) Comparons en justifiant :

$\dfrac{-2\sqrt{3}}{3}\ \text{ et }\ \dfrac{\sqrt{2}}{7}$

On remarque que

$\dfrac{-2\sqrt{3}}{3}<0\$ et

$\ \dfrac{\sqrt{2}}{7}>0.$

Or, on sait que tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.

Donc,

$\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{7}>\dfrac{-2\sqrt{3}}{3}}$

$\sqrt{7}+4\ \text{ et }\ \sqrt{7}-1$

En faisant la différence entre ces deux nombres, on trouve :

$\begin{array}{rcl} (\sqrt{7}+4)-(\sqrt{7}-1)&=&\sqrt{7}+4-\sqrt{7}+1\\\\&=&5\end{array}$

On constate que cette différence est un nombre positif.

Ce qui signifie que :

$\boxed{\sqrt{7}+4>\sqrt{7}-1}$

$2\sqrt{2}-1\ \text{ et }\ 3-\sqrt{2}$

En faisant la différence entre ces deux nombres, on obtient :

$\begin{array}{rcl} (2\sqrt{2}-1)-(3-\sqrt{2})&=&2\sqrt{2}-1-3+\sqrt{2}\\\\&=&3\sqrt{2}-4\end{array}$

Donc, cette différence est égale à

$3\sqrt{2}-4.$

Cherchons alors le signe de

$3\sqrt{2}-4.$

On a :

$4>0\$ et

$\ 3\sqrt{2}>0$

Alors,

$(4)^{2}=16\$ et

$\ (3\sqrt{2})^{2}=18$

Comme

$18$ est plus grand que

$16$ alors,

$3\sqrt{2}>4.$

D'où,

$3\sqrt{2}-4>0$

Ce qui signifie que la différence

$(2\sqrt{2}-1)-(3-\sqrt{2})$ est positive.

Par conséquent,

$\boxed{2\sqrt{2}-1>3-\sqrt{2}}$

$\sqrt{9+4\sqrt{5}}\ \text{ et }\ \sqrt{9-4\sqrt{5}}$

Comme ces deux nombres sont positifs alors, comparons leur carré.

On a :

$\left((\sqrt{9+4\sqrt{5}}\right)^{2}=9+4\sqrt{5}\$ et

$\ \left(\sqrt{9-4\sqrt{5}}\right)^{2}=9-4\sqrt{5}$

Alors, en faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \left((\sqrt{9+4\sqrt{5}}\right)^{2}-\left(\sqrt{9-4\sqrt{5}}\right)^{2}&=&(9+4\sqrt{5})-(9-4\sqrt{5})\\\\&=&9+4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}\\\\&=&8\sqrt{5}\end{array}$

Donc, cette différence est égale à

$8\sqrt{5}$ qui est un nombre positif.

Ce qui signifie que :

$\left((\sqrt{9+4\sqrt{5}}\right)^{2}$ est plus grand que

$\left(\sqrt{9-4\sqrt{5}}\right)^{2}$

D'où,

$\boxed{\sqrt{9+4\sqrt{5}}>\sqrt{9-4\sqrt{5}}}$

2) Écrivons plus simplement :

Soit le nombre

$\sqrt{2^{2}\times 4^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl}\sqrt{2^{2}\times 4^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}}&=&\sqrt{(2\times 4\times 3\times 5)^{2}}\\\\&=&2\times 4\times 3\times 5\\\\&=&120\end{array}$

D'où,

$\boxed{\sqrt{2^{2}\times 4^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}}=120}$

Soit le nombre

$\sqrt{7^{2}\times 2^{2}\times 5^{3}\times 3^{8}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl}\sqrt{7^{2}\times 2^{2}\times 5^{3}\times 3^{8}}&=&\sqrt{7^{2}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5\times(3^{4})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(7\times 2\times 5\times 3^{4})^{2}\times 5}\\\\&=&\sqrt{(7\times 2\times 5\times 3^{4})^{2}}\times\sqrt{5}\\\\&=&7\times 2\times 5\times 3^{4}\sqrt{5}\\\\&=&5\,670\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\sqrt{7^{2}\times 2^{2}\times 5^{3}\times 3^{8}}=5\,670\sqrt{5}}$

Soit le nombre

$\sqrt{36^{2}\times b^{5}\times c^{4}\times a^{-2}}$ avec

$a>0\$ et

$\ b\geq 0$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl}\sqrt{36^{2}\times b^{5}\times c^{4}\times a^{-2}}&=&\sqrt{36^{2}\times b^{4}\times b\times(c^{2})^{2}\times\dfrac{1}{ a^{2}}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{36^{2}\times(b^{2})^{2}\times b\times(c^{2})^{2}}{a^{2}}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{(36\times b^{2}\times c^{2})^{2}\times b}}{\sqrt{a^{2}}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{(36\times b^{2}\times c^{2})^{2}}\times\sqrt{b}}{|a|}\quad\text{or, }|a|=a\ \text{car }a>0\\\\&=&\dfrac{36\times b^{2}\times c^{2}\times\sqrt{b}}{a}\\\\&=&\dfrac{(6bc)^{2}\sqrt{b}}{a}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\sqrt{36^{2}\times b^{5}\times c^{4}\times a^{-2}}=\dfrac{(6bc)^{2}\sqrt{b}}{a}}$

Soit le nombre

$\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}$

Alors, en calculant de la droite vers la gauche, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}&=&\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+1}}}}\\\\&=&\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{4}}}}\\\\&=&\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+2}}}\\\\&=&\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{16}}}\\\\&=&\sqrt{4+\sqrt{29-4}}\\\\&=&\sqrt{4+\sqrt{25}}\\\\&=&\sqrt{4+5}\\\\&=&\sqrt{9}\\\\&=&3\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}=3}$

Soit le nombre

$\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\sqrt{\dfrac{1}{4}}}}$

En calculant de la droite vers la gauche, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\sqrt{\dfrac{1}{4}}}}&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\times\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\times\dfrac{1}{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+\dfrac{3}{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{18}{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{9}}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+3}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{16}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\times 4\\\\&=&\dfrac{4}{4}\\\\&=&1\end{array}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\sqrt{\dfrac{1}{4}}}}=1}$

Exercice 23

On donne :

$P=2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\$ et

$\ Q=\dfrac{1}{3\sqrt{2}+4}$

1) Montrons que

$P\$ et

$\ Q$ sont des opposés.

Pour cela, on vérifie que la somme

$P+Q$ est égale à zéro

$(0).$ Ce qui signifie que

$P=-Q.$

D'abord, rendons rationnel le dénominateur de

$Q.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} Q&=&\dfrac{1}{3\sqrt{2}+4}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{(3\sqrt{2})^{2}-(4)^{2}}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{(9\times 2)-(16)}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{18-16}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{2}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{4}{2}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2\end{array}$

Donc,

$\boxed{Q=-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}$

Ensuite, calculons la somme

$P+Q.$

On obtient :

$\begin{array}{rcl} P+Q&=&2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\\\&=&2-2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\\\&=&0\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{P+Q=0}$

On constate alors que la somme

$P+Q$ est égale à

$0.$ Ce qui montre que

$P\$ et

$\ Q$ sont des opposés.

2) Sachant que

$1.414<\sqrt{2}<1.415$ . Encadrons à

$10^{-2}$ près

$P\$ et

$\ Q$

$-\$ Encadrement de

$Q$

On sait que :

$1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par

$3.$

On obtient :

$3\times 1.414<3\sqrt{2}<3\times 1.415$

Ce qui donne :

$4.242<3\sqrt{2}<4.245$

On divise ensuite chaque membre de l'inégalité par le même nombre

$2.$

On trouve alors :

$\dfrac{4.242}{2}<\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<\dfrac{4.245}{2}$

Ce qui est égal à :

$2.121<\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<2.122$

En ajoutant le nombre

$-2$ à chaque membre de cette dernière inégalité, on obtient :

$-2+2.121<-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<-2+2.122$

C'est-à-dire ;

$0.121<-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<0.122$

D'où, un encadrement de

$Q$ à

$10^{-2}$ prés est donné par :

$\boxed{0.12<Q<0.13}$

$-\$ Encadrement de

$P$

Comme

$P\$ et

$\ Q$ sont des opposés alors, on a :

$P=-Q.$

Donc, pour obtenir un encadrement de

$P$ , il suffit de multiplier chaque membre de l'encadrement de

$Q$ par

$-1$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient alors :

$-1\times 0.12>-1\times\left(-2+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)>-1\times 0.13$

Ce qui donne :

$-0.12>2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}>-0.13$

Ce qui peut encore s'écrire :

$-0.13<2-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}<-0.12$

D'où, un encadrement de

$P$ à

$10^{-2}$ prés est donné par :

$\boxed{-0.13<P<-0.12}$

3) On donne :

$3.316<\sqrt{11}<3.317$ encadrons à

$10^{-1}$ près

$\dfrac{a}{b}$ sachant que

$a=2\sqrt{11}-6\$ et

$\ b=2\sqrt{11}+6$

Déterminons d'abord l'expression de

$\dfrac{a}{b}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{a}{b}&=&\dfrac{2\sqrt{11}-6}{2\sqrt{11}+6}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{11}-3)}{2(\sqrt{11}+3)}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{11}-3}{\sqrt{11}+3}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}-3)}{(\sqrt{11}+3)(\sqrt{11}-3)}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{11}-3)^{2}}{(\sqrt{11})^{2}-(3)^{2}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{11})^{2}-2\times 3\times\sqrt{11}+(3)^{2}}{11-9}\\\\&=&\dfrac{11-6\sqrt{11}+9}{2}\\\\&=&\dfrac{20-6\sqrt{11}}{2}\\\\&=&\dfrac{2(10-3\sqrt{11})}{2}\\\\&=&10-3\sqrt{11}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\dfrac{a}{b}=10-3\sqrt{11}}$

Donnons ensuite un encadrement de

$(10-3\sqrt{11})$ à

$10^{-1}$ près

On sait que :

$3.316<\sqrt{11}<3.317$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par

$-3$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :

$-3\times 3.316>-3\sqrt{11}>-3\times 3.317$

Ce qui donne :

$-9.948>-3\sqrt{11}>-9.951$

On divise ensuite chaque membre de l'inégalité par le même nombre

$2.$

En ajoutant le nombre

$10$ à chaque membre de cette dernière inégalité, on obtient :

$10-9.948>10-3\sqrt{11}>10-9.951$

C'est-à-dire ;

$0.052>10-3\sqrt{11}>0.049$

Ce qui peut encore s'écrire :

$0.049<10-3\sqrt{11}<0.052$

D'où, un encadrement de

$\dfrac{a}{b}$ à

$10^{-1}$ prés est donné par :

$\boxed{0<\dfrac{a}{b}<0.1}$

Exercice 24

On donne :

$a=\sqrt{28+16\sqrt{3}}\$ et

$\ b=\sqrt{28-16\sqrt{3}}$

1) Montrons que

$a\times b=4$

Pour cela, calculons le produit

$a\times b.$

On a :

$\begin{array}{rcl} a\times b&=&\sqrt{28+16\sqrt{3}}\times\sqrt{28-16\sqrt{3}}\\\\&=&\sqrt{(28+16\sqrt{3})\times(28-16\sqrt{3})}\\\\&=&\sqrt{(28)^{2}-(16\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(784)-(16^{2}\times\sqrt{3}^{2})}\\\\&=&\sqrt{(784)-(256\times 3)}\\\\&=&\sqrt{784-768}\\\\&=&\sqrt{16}\\\\&=&4\end{array}$

D'où,

$\boxed{a\times b=4}$

2) On pose

$u= a+b\$ et

$\ v=a-b$ . Calculons

$u^{2}\$ et

$\ v^{2}$ puis en déduisons

$u\$ et

$\ v.$

Soit

$u=a+b$ alors,

$u^{2}=(a+b)^{2}.$

Donc, d'après la propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} u^{2}&=&(a+b)^{2}\\\\&=&a^{2}+2\times a\times b+b^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}+2\times 4+\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&28+16\sqrt{3}+8+28-16\sqrt{3}\\\\&=&64\end{array}$

D'où,

$\boxed{u^{2}=64}$

Soit

$v=a-b$ alors,

$v^{2}=(a-b)^{2}.$

Donc, d'après la propriété des identités remarquables, on obtient :

$\begin{array}{rcl} v^{2}&=&(a-b)^{2}\\\\&=&a^{2}-2\times a\times b+b^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}-2\times 4+\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&28+16\sqrt{3}-8+28-16\sqrt{3}\\\\&=&48\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{v^{2}=48}$

En déduisons

$u\$ et

$\ v.$

On sait que :

$u^{2}=64$

Alors,

$\sqrt{u^{2}}=\sqrt{64}=8$

Or,

$\sqrt{u^{2}}=|u|$ donc,

$|u|=8$

Cherchons alors le signe de

$u.$

On a :

$u=a+b$ , ce qui signifie que

$u$ est la somme de deux nombres positifs.

Donc,

$u$ est positif.

D'où,

$|u|=u$

Par conséquent,

$\boxed{u=8}$

Aussi, on sait que :

$v^{2}=48$

Donc,

$\sqrt{v^{2}}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

Comme,

$\sqrt{v^{2}}=|v|$ alors, on a :

$|v|=4\sqrt{3}$

Cherchons le signe de

$v.$

On a :

$v=a-b$

Donc, comparons

$a\$ et

$\ b$

Ces deux nombres étant positifs alors, comparons leur carré.

On a :

$a^{2}=\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}=28+16\sqrt{3}$

$b^{2}=\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}=28-16\sqrt{3}$

En faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :

$\begin{array}{rcl} a^{2}-b^{2}&=&\left(\sqrt{28+16\sqrt{3}}\right)^{2}-\left(\sqrt{28-16\sqrt{3}}\right)^{2}\\\\&=&28+16\sqrt{3}-(28-16\sqrt{3})\\\\&=&28+16\sqrt{3}-28+16\sqrt{3}\\\\&=&32\sqrt{3}\end{array}$

On remarque alors que cette différence

$32\sqrt{3}$ est positive.

Ce qui signifie que

$a$ est supérieur à

$b$

Ainsi,

$v$ est positif

D'où,

$|v|=v$

Or,

$|v|=4\sqrt{3}$

Par conséquent,

$\boxed{v=4\sqrt{3}}$

3) On donne

$X=\dfrac{u+v}{2}\$ et

$\ Y=\dfrac{u-v}{2}.$ Trouvons

$X\$ et

$\ Y$ puis montrons que

$a=X\$ et

$\ b=Y.$

Soit

$X=\dfrac{u+v}{2}$ alors, en remplaçant

$u\$ et

$\ v$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{u+v}{2}\\\\&=&\dfrac{8+4\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\dfrac{2(4+2\sqrt{3})}{2}\\\\&=&4+2\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{X=4+2\sqrt{3}}$

On a :

$Y=\dfrac{u-v}{2}$ alors, en remplaçant

$u\$ et

$\ v$ par leur valeur, on trouve :

$\begin{array}{rcl} Y&=&\dfrac{u-v}{2}\\\\&=&\dfrac{8-4\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\dfrac{2(4-2\sqrt{3})}{2}\\\\&=&4-2\sqrt{3}\end{array}$

Donc,

$\boxed{Y=4-2\sqrt{3}}$

Montrons que

$a=X\$ et

$\ b=Y.$

Dans l'expression de

$X$ , on remplace

$u$ par

$a+b\$ et

$\ v$ par

$a-b.$

On obtient :

$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{u+v}{2}\\\\&=&\dfrac{(a+b)+(a-b)}{2}\\\\&=&\dfrac{a+b+a-b}{2}\\\\&=&\dfrac{2a}{2}\\\\&=&a\end{array}$

Donc,

$\boxed{X=a}$

Dans l'expression de

$Y$ , remplaçons

$u$ par

$a+b\$ et

$\ v$ par

$a-b.$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} Y&=&\dfrac{u-v}{2}\\\\&=&\dfrac{(a+b)-(a-b)}{2}\\\\&=&\dfrac{a+b-a+b}{2}\\\\&=&\dfrac{2b}{2}\\\\&=&a\end{array}$

D'où,

$\boxed{Y=b}$

4) Donnons la valeur approchée par défaut de

$b$ à

$10^{-2}$ près sachant que

$1.732<\sqrt{3}<1.733$

D'après le résultat de la question

$3)$ , on sait que :

$b=Y$

Donc,

$b=4-2\sqrt{3}$

Soit :

$1.732<\sqrt{3}<1.733$

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par

$-2$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient alors :

$-2\times 1.732>-2\sqrt{3}>-2\times 1.733$

Ce qui donne :

$-3.464>-2\sqrt{3}>-3.466$

Ajoutons

$4$ à chaque membre.

On trouve alors :

$4-3.464>4-2\sqrt{3}>4-3.466$

C'est-à-dire ;

$0.536>4-2\sqrt{3}>0.534$

Ce qui peut encore s'écrire :

$0.534<4-2\sqrt{3}<0.536$

Ainsi, on obtient :

$0.53<b<0.54$

D'où, une valeur approchée de

$b$ à

$10^{-2}$ près par défaut est :

$0.53$

Exercice 25

Soient

$a\;,\ b\;,\ c$ trois réels tels que :

$a(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}-1\;,\quad b=\sqrt{2-\sqrt{3}}\quad\text{et}\quad c=\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$

1) Calculons

$a$ et rendons rationnel son dénominateur.

On sait que :

$a(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}-1$

Ce qui entraine alors :

$\boxed{a=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}$

Soit alors,

$(\sqrt{3}-1)$ l'expression conjuguée du dénominateur.

Donc, pour rendre rationnel le dénominateur de

$a$ , on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre

$(\sqrt{3}-1).$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{3-1}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{a=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{2}}$

2) Écrivons

$c$ sous la forme

$x+y\sqrt{3}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} c&=&\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}}{(2)^{2}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{6})^{2}-2\times\sqrt{2}\times\sqrt{6}+(\sqrt{2})^{2}}{4}\\\\&=&\dfrac{6-2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2\times 3}+2}{4}\\\\&=&\dfrac{8-2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}}{4}\\\\&=&\dfrac{8-2\times 2\times\sqrt{3}}{4}\\\\&=&\dfrac{8-4\sqrt{3}}{4}\\\\&=&\dfrac{4(2-\sqrt{3})}{4}\\\\&=&2-\sqrt{3}\end{array}$

Alors,

$\boxed{c=2-\sqrt{3}}$

3) a) Montrons que

$a=c$ puis en déduisons une écriture simplifiée de

$b.$

Soit

$a=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{2}.$

Alors, en développant cette expression de

$a$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3})^{2}-2\times 1\times\sqrt{3}+(1)^{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{3-2\sqrt{3}+1}{2}\\\\&=&\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}\\\\&=&\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{2}\\\\&=&2-\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{a=2-\sqrt{3}}$

Ce qui montre que

$a=c.$

Ainsi, en observant l'expression de

$b$ , on remarque que :

$b=\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{c}.$

Ce qui donne alors :

$\begin{array}{rcl} b&=&\sqrt{c}\\\\&=&\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}\\\\&=&\left|\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right|\end{array}$

Cherchons alors le signe de

$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$

Pour cela, comparons

$\sqrt{6}\$ et

$\ \sqrt{2}.$

Ces deux nombres étant positifs alors, comparons leur carré.

On a :

$(\sqrt{6})^{2}=6\$ et

$\ (\sqrt{2})^{2}=2$

Comme

$6$ est plus grand que

$2$ alors,

$\sqrt{6}>\sqrt{2}.$

D'où,

$\sqrt{6}-\sqrt{2}>0$

Ce qui entraine alors :

$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}>0.$

D'où,

$\left|\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right|=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

Par conséquent,

$\boxed{b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$

b) Encadrons

$b$ à

$10^{-1}$ près sachant que

$1.414<\sqrt{2}<1.415\$ et

$\ 2.449<\sqrt{6}<2.450$

On a :

$1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par

$-1$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :

$-1.414>-\sqrt{2}>-1.415$

Ce qui peut encore s'écrire :

$-1.415<-\sqrt{2}<-1.414$

Aussi, on a :

$2.449<\sqrt{6}<2.450$

En additionnant ces deux inégalités ; membre à membre, on obtient :

$2.449-1.415<\sqrt{6}-\sqrt{2}<2.450-1.414$

Ce qui donne :

$1.034<\sqrt{6}-\sqrt{2}<1.036$

En divisant chaque membre de cette dernière inégalité par

$2$ , on trouve :

$\dfrac{1.034}{2}<\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}<\dfrac{1.036}{2}$

Ce qui est équivalent à :

$0.517<\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}<0.518$

D'où, un encadrement de

$b$ à

$10^{-1}$ près est donné par :

$\boxed{0.5<b<0.6}$

Exercice 26

1) Déterminons le réel

$a$ tel que

$36a=1\,296$ puis en déduisons

$\sqrt{1\,296}.$

Pour cela, résolvons l'équation

$36a=1\,296.$

On a :

$\begin{array}{rcl} 36a=1\,296&\Leftrightarrow&a=\dfrac{1\,296}{36}\\\\&\Leftrightarrow&a=36\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{a=36}$

Par suite,

$1\,296=36\times 36=36^{2}$

D'où,

$\boxed{\sqrt{1\,296}=\sqrt{36^{2}}=36}$

2) On donne :

$x=3+2\sqrt{2}\;;\ y=3-2\sqrt{2}\$ et

$\ z=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

a) Calculons

$x^{2}\;,\ y^{2}\;,\ xy\$ et

$\ \dfrac{x}{y}$

$-\$ calcul de

$x^{2}$

D'après la propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} x^{2}&=&(3+2\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(3)^{2}+2\times 3\times 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^{2}\\\\&=&9+12\sqrt{2}+(4\times 2)\\\\&=&9+12\sqrt{2}+8\\\\&=&17+12\sqrt{2}\end{array}$

Donc,

$\boxed{x^{2}=17+12\sqrt{2}}$

$-\$ calcul de

$y^{2}$

D'après la propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} y^{2}&=&(3-2\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(3)^{2}-2\times 3\times 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^{2}\\\\&=&9-12\sqrt{2}+(4\times 2)\\\\&=&9-12\sqrt{2}+8\\\\&=&17-12\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{y^{2}=17-12\sqrt{2}}$

$-\$ calcul de

$xy$

D'après la propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} xy&=&(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})\\\\&=&(3)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}\\\\&=&9-(4\times 2)\\\\&=&9-8\\\\&=&1\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{xy=1}$

$-\$ calcul de

$\dfrac{x}{y}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{x}{y}&=&\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{(3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{(3+2\sqrt{2})^{2}}{(3)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\dfrac{(3)^{2}+2\times 3\times 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^{2}}{9-(4\times 2)}\\\\&=&\dfrac{9+12\sqrt{2}+8}{9-8}\\\\&=&\dfrac{17+12\sqrt{2}}{1}\\\\&=&17+12\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{x}{y}=17+12\sqrt{2}}$

b) Montrons que

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ est un entier relatif.

En réduisant au même dénominateur, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}&=&\dfrac{x\times x}{x\times y}+\dfrac{y\times y}{x\times y}\\\\&=&\dfrac{x^{2}}{xy}+\dfrac{y^{2}}{xy}\\\\&=&\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}\end{array}$

Donc,

$\boxed{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}}$

Puis, en remplaçant

$x^{2}\;;\ y^{2}\$ et

$\ xy$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}&=&\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}\\\\&=&\dfrac{17+12\sqrt{2}+17-12\sqrt{2}}{1}\\\\&=&34\end{array}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=34\quad\text{qui est un entier relatif}}$

Par conséquent,

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ est un entier relatif.

c) Montrons que

$\dfrac{1}{z}=z-1$

Soit

$z=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

Alors,

$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$

Donc, en rendant rationnel le dénominateur, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{z}&=&\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{5}-1)}{(5-1}\\\\&=&\dfrac{2(\sqrt{5}-1)}{4}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{1}{z}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}$

Par ailleurs, en calculant

$(z-1)$ on trouve :

$\begin{array}{rcl} z-1&=&\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}-1\\\\&=&\dfrac{\sqrt{5}+1-2}{2}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{z-1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}$

Ce qui montre que

$\dfrac{1}{z}=z-1$

Exercice 27

1) On donne :

$P=\left(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}:\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)\times \dfrac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}.$

Montrons que

$P=\dfrac{\sqrt{3}}{12}.$

En calculant l'expression de

$P$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} P&=&\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1}\times\dfrac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{4\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{4\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{2-3}{4\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{-1}{4\sqrt{3}}\end{array}$

Donc,

$P=-\dfrac{1}{4\sqrt{3}}$

En rendant rationnel le dénominateur, on trouve :

$\begin{array}{rcl} P&=&-\dfrac{1}{4\sqrt{3}}\\\\&=&-\dfrac{1\times\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\\\\&=&-\dfrac{\sqrt{3}}{4\times 3}\\\\&=&-\dfrac{\sqrt{3}}{12}\end{array}$

D'où,

$\boxed{P=-\dfrac{\sqrt{3}}{12}}$

2) On donne :

$Q=-2\sqrt{48}+3\sqrt{192}-4\sqrt{75}$

a) Écrivons

$Q$ sous la forme

$a\sqrt{b}\$ (

$a\in\mathbb{Z}\;;\ b\in\mathbb{N}$ )

On a :

$\begin{array}{rcl} Q&=&-2\sqrt{48}+3\sqrt{192}-4\sqrt{75}\\\\&=&-2\sqrt{16\times 3}+3\sqrt{64\times 3}-4\sqrt{25\times 3}\\\\&=&-2\sqrt{16}\times\sqrt{3}+3\sqrt{64}\times\sqrt{3}-4\sqrt{25}\times\sqrt{3}\\\\&=&-2\times 4\times\sqrt{3}+3\times 8\times\sqrt{3}-4\times 5\times\sqrt{3}\\\\&=&-8\sqrt{3}+24\sqrt{3}-20\sqrt{3}\\\\&=&-4\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{Q=-4\sqrt{3}}$

b) Encadrons

$Q$ par deux entiers consécutifs.

On sait que :

$1.732<\sqrt{3}<1.733$

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par

$-4$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :

$-4\times 1.732>-4\times\sqrt{3}>-4\times 1.733$

Ce qui donne :

$-6.928>-4\sqrt{3}>-6.932$

Ce qui peut encore s'écrire :

$-6.932<-4\sqrt{3}<-6.928$

D'où, un encadrement de

$Q$ par deux entiers consécutifs est donné par :

$\boxed{-7<Q<-6}$

3) Montrons que

$P\$ et

$\ Q$ sont des inverses.

Pour cela, il suffit de vérifier que

$P\times Q=1.$

En calculant le produit

$P\times Q=1$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl} P\times Q&=&\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{12}\right)\times(-4\sqrt{3})\\\\&=&\dfrac{4\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{12}\\\\&=&\dfrac{4\times 3}{12}\\\\&=&\dfrac{12}{12}\\\\&=&1\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{P\times Q=1}$

Ce qui montre que

$P\$ et

$\ Q$ sont des inverses.

4) En déduisons que

$P(P-1)=\dfrac{P-1}{Q}.$

Comme

$P\$ et

$\ Q$ sont des inverses alors, on a :

$P\times Q=1$

Ainsi,

$Q=\dfrac{1}{P}$

Donc, dans l'expression

$\dfrac{P-1}{Q}$ , en remplaçant

$Q$ par

$\dfrac{1}{P}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{P-1}{Q}&=&\dfrac{P-1}{\dfrac{1}{P}}\\\\&=&(P-1)\times\dfrac{P}{1}\\\\&=&(P-1)\times P\end{array}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{P-1}{Q}=P(P-1)}$

Exercice 28

1) On considère l'expression

$X=\sqrt{300}+2\sqrt{3}-4\sqrt{75}.$

Écrivons

$X$ sous la forme

$a\sqrt{b}$ ; où

$a\$ et

$\ b$ sont des entiers relatifs.

On a :

$\begin{array}{rcl} X&=&\sqrt{300}+2\sqrt{3}-4\sqrt{75}\\\\&=&\sqrt{100\times 3}+2\sqrt{3}-4\sqrt{25\times 3}\\\\&=&\sqrt{100}\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\sqrt{25}\times\sqrt{3}\\\\&=&10\times\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\times 5\times\sqrt{3}\\\\&=&10\sqrt{3}+2\sqrt{3}-20\sqrt{3}\\\\&=&-8\sqrt{3}\end{array}$

Alors,

$\boxed{X=-8\sqrt{3}}$

2) Calculons

$\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$ puis déduisons-en l'écriture de

$Y=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ avec un seul radical.

On a :

$\begin{array}{rcl} \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}&=&(2)^{2}-2\times 2\times \sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\\\\&=&4-4\sqrt{3}+3\\\\&=&7-4\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}=7-4\sqrt{3}}$

Par suite, dans l'expression de

$Y$ , en remplaçant

$7-4\sqrt{3}$ par

$\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} Y&=&\sqrt{7-4\sqrt{3}}\\\\&=&\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}}\\\\&=&\left|2-\sqrt{3}\right|\end{array}$

Cherchons alors le signe de

$(2-\sqrt{3}).$

Pour cela, comparons

$2\$ et

$\ \sqrt{3}.$

Ces deux nombres étant positifs alors, comparons leur carré.

On a :

$(2)^{2}=4\$ et

$\ (\sqrt{3})^{2}=3$

Comme

$4$ est plus grand que

$3$ alors,

$2>\sqrt{3}.$

D'où,

$2-\sqrt{3}>0$

Ainsi,

$\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}.$

Par conséquent,

$\boxed{Y=2-\sqrt{3}}$

Exercice 29

Écrivons le plus simplement possible les expressions suivantes :

$A=5\sqrt{300}+\sqrt{27}-3\sqrt{147}\$ et

$\ B=\dfrac{\sqrt{6-\sqrt{11}}\times\sqrt{6+\sqrt{11}}}{5}.$

On sait que :

$300=100\times 3$

$27=9\times 3$

$147=49\times 3$

Donc, en remplaçant dans l'expression de

$A$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&5\sqrt{300}+\sqrt{27}-3\sqrt{147}\\\\&=&5\sqrt{100\times 3}+\sqrt{9\times 3}-3\sqrt{49\times 3}\\\\&=&5\sqrt{100}\times\sqrt{3}+\sqrt{9}\times\sqrt{3}-3\sqrt{49}\times\sqrt{3}\\\\&=&5\times 10\times\sqrt{3}+3\times\sqrt{3}-3\times 7\times\sqrt{3}\\\\&=&50\sqrt{3}+3\sqrt{3}-21\sqrt{3}\\\\&=&32\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{A=32\sqrt{3}}$

En utilisant les propriétés de la racine carrée et des identités remarquables, on obtient :

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{\sqrt{6-\sqrt{11}}\times\sqrt{6+\sqrt{11}}}{5}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{(6-\sqrt{11})\times(6+\sqrt{11})}}{5}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{(6)^{2}-(\sqrt{11})^{2}}}{5}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{36-11}}{5}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{25}}{5}\\\\&=&\dfrac{5}{5}\\\\&=&1\end{array}$

D'où,

$\boxed{B=1}$

Exercice 30

1) Calculons

$\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}\$ et

$\ \left(1-\sqrt{5}\right)^{2}$

En utilisant une propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} \left(1+\sqrt{5}\right)^{2}&=&(1)^{2}+2\times 1\times \sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}\\\\&=&1+2\sqrt{5}+5\\\\&=&6+2\sqrt{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}=6+2\sqrt{5}}$

En utilisant une propriété des identités remarquables, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \left(1-\sqrt{5}\right)^{2}&=&(1)^{2}-2\times 1\times \sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}\\\\&=&1-2\sqrt{5}+5\\\\&=&6-2\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}=6-2\sqrt{5}}$

2) On donne :

$X=\sqrt{6-2\sqrt{5}}\$ et

$\ Y=\sqrt{6+2\sqrt{5}}$

a) Écrivons

$X\$ et

$\ Y$ avec un seul radical.

Dans l'expression de

$X$ , en remplaçant

$6-2\sqrt{5}$ par

$\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl} X&=&\sqrt{6-2\sqrt{5}}\\\\&=&\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}}\\\\&=&\left|1-\sqrt{5}\right|\end{array}$

Cherchons alors le signe de

$(1-\sqrt{5}).$

Pour cela, comparons

$1\$ et

$\ \sqrt{5}.$

Comme ces deux nombres sont positifs alors, comparons leur carré.

On a :

$(1)^{2}=1\$ et

$\ (\sqrt{5})^{2}=5$

Comme

$1$ est plus petit que

$5$ alors,

$1<\sqrt{5}.$

D'où,

$1-\sqrt{5}<0$

Ainsi,

$\left|1-\sqrt{5}\right|=-(1-\sqrt{5})=-1+\sqrt{5}.$

Par conséquent,

$\boxed{X=-1+\sqrt{5}}$

Dans l'expression de

$Y$ , on remplace

$6+2\sqrt{5}$ par

$\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}.$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} Y&=&\sqrt{6+2\sqrt{5}}\\\\&=&\sqrt{\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}}\\\\&=&\left|1+\sqrt{5}\right|\\\\&=&1+\sqrt{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{Y=1+\sqrt{5}}$

b) Calculons

$X+Y\$ et

$\ X-Y.$

En remplaçant

$X\$ et

$\ Y$ par leur expression du résultat de

$2)\,a)$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} X+Y&=&(-1+\sqrt{5})+(1+\sqrt{5})\\\\&=&-1+\sqrt{5}+1+\sqrt{5}\\\\&=&2\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{X+Y=2\sqrt{5}}$

$\begin{array}{rcl} X-Y&=&(-1+\sqrt{5})-(1+\sqrt{5})\\\\&=&-1+\sqrt{5}-1-\sqrt{5}\\\\&=&-2\end{array}$

Donc,

$\boxed{X-Y=-2}$

Exercice 31

On donne :

$a=5-2\sqrt{6}\$ et

$\ b=5+2\sqrt{6}.$

1) Calculons

$a\times b.$

En utilisant une propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} a\times b&=&(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})\\\\&=&(5)^{2}-(2\sqrt{6})^{2}25-(4\times 6)\\\\&=&25-24\\\\&=&1\end{array}$

Alors,

$\boxed{a\times b=1}$

Comme le produit de

$a\$ et

$\ b$ est égal à

$1$ alors, on peut en déduire que

$a\$ et

$\ b$ sont des inverses.

2) Calculons

$a^{2}\;;\ b^{2}\$ et

$\ \dfrac{a}{b}.$

En utilisant une propriété des identités remarquables, on trouve :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&\left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}\\\\&=&(5)^{2}-2\times 5\times 2\sqrt{6}+(2\sqrt{6})^{2}\\\\&=&25-20\sqrt{6}+(4\times 6)\\\\&=&25-20\sqrt{6}+24\\\\&=&49-20\sqrt{6}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{a^{2}=49-20\sqrt{6}}$

En utilisant une propriété des identités remarquables, on a :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&\left(5+2\sqrt{6}\right)^{2}\\\\&=&(5)^{2}+2\times 5\times 2\sqrt{6}+(2\sqrt{6})^{2}\\\\&=&25+20\sqrt{6}+(4\times 6)\\\\&=&25+20\sqrt{6}+24\\\\&=&49+20\sqrt{6}\end{array}$

D'où,

$\boxed{b^{2}=49+20\sqrt{6}}$

Soit :

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{5-2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}}$

Alors, en rendant rationnel le dénominateur puis en calculant, on trouve :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{a}{b}&=&\dfrac{5-2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}}\\\\&=&\dfrac{(5-2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}\\\\&=&\dfrac{(5-2\sqrt{6})^{2}}{(5)^{2}-(2\sqrt{6})^{2}}\\\\&=&\dfrac{49-20\sqrt{6}}{25-(4\times 6)}\\\\&=&\dfrac{49-20\sqrt{6}}{25-24}\\\\&=&\dfrac{49-20\sqrt{6}}{1}\\\\&=&49-20\sqrt{6}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{a}{b}=49-20\sqrt{6}}$

3) Vérifions que

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ est un entier naturel.

En réduisant au même dénominateur, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}&=&\dfrac{a\times a}{a\times b}+\dfrac{b\times b}{a\times b}\\\\&=&\dfrac{a^{2}}{a\times b}+\dfrac{b^{2}}{a\times b}\\\\&=&\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a\times b}\end{array}$

Donc,

$\boxed{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}}$

En remplaçant ensuite

$a^{2}\;;\ a^{2}\$ et

$\ a\times b$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}&=&\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a\times b}\\\\&=&\dfrac{49-20\sqrt{6}+49+20\sqrt{6}}{1}\\\\&=&98\end{array}$

D'où,

$\boxed{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=98\quad\text{qui est un entier naturel}}$

Par conséquent,

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ est un entier naturel.

4) Soit

$X=\sqrt{49-20\sqrt{6}}\$ et

$\ Y=\sqrt{49+20\sqrt{6}}$

Écrivons

$X\$ et

$\ Y$ avec un seul radical.

D'après le résultat de la question

$2)$ , on a :

$\left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}=49-20\sqrt{6}$

Donc, dans l'expression de

$X$ , en remplaçant

$49-20\sqrt{6}$ par

$\left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} X&=&\sqrt{49-20\sqrt{6}}\\\\&=&\sqrt{\left(5-2\sqrt{6}\right)^{2}}\\\\&=&\left|5-2\sqrt{6}\right|\end{array}$

Cherchons alors le signe de

$(5-2\sqrt{6}).$

Pour cela, comparons

$5\$ et

$\ 2\sqrt{6}.$

Comme ces deux nombres sont positifs alors, comparons leur carré.

On a :

$(5)^{2}=25\$ et

$\ (2\sqrt{6})^{2}=24$

Comme

$25$ est plus grand que

$24$ alors,

$5>2\sqrt{6}.$

D'où,

$5-2\sqrt{6}>0$

Ainsi,

$\left|5-2\sqrt{6}\right|=5-2\sqrt{6}.$

Par conséquent,

$\boxed{X=5-2\sqrt{6}}$

De la même manière, on a :

$\left(5+2\sqrt{6}\right)^{2}=49+20\sqrt{6}$

Donc, dans l'expression de

$Y$ , en remplace

$49+20\sqrt{6}$ par

$\left(5+2\sqrt{6}\right)^{2}.$

Ce qui donne alors :

$\begin{array}{rcl} Y&=&\sqrt{49+20\sqrt{6}}\\\\&=&\sqrt{\left(5+2\sqrt{6}\right)^{2}}\\\\&=&\left|5+2\sqrt{6}\right|\\\\&=&5+2\sqrt{6}\end{array}$

D'où,

$\boxed{Y=5+2\sqrt{6}}$

Exercice 32

On considère l'expression ci-dessous :

$H(x)=4\left(x+\sqrt{3}\right)^{2}-4\sqrt{3}\left(x+\sqrt{3}\right)+3$

1) Développons, réduisons et ordonnons

$H(x).$

Soit alors :

$\begin{array}{rcl} H(x)&=&4\left(x+\sqrt{3}\right)^{2}-4\sqrt{3}\left(x+\sqrt{3}\right)+3\\\\&=&4\left(x^{2}+2\times\sqrt{3}\times x+(\sqrt{3})^{2}\right)-4\sqrt{3}\times x-4\sqrt{3}\times\sqrt{3}+3\\\\&=&4\left(x^{2}+2\sqrt{3}x+3\right)-4\sqrt{3}x-4\times 3+3\\\\&=&4x^{2}+8\sqrt{3}x+12-4\sqrt{3}x-12+3\\\\&=&4x^{2}+4\sqrt{3}x+3\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{H(x)=4x^{2}+4\sqrt{3}x+3}$

2) Déduisons-en une factorisation de

$H(x).$

D'après le résultat de la question

$1)\;,\ H(x)$ est de la forme :

$a^{2}+2ab+b^{2}$ avec ;

$a=2x\$ et

$\ b=\sqrt{3}.$

Or, on sait que :

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

Donc, en utilisant cette propriété des identités remarquables, on a :

$4x^{2}+4\sqrt{3}x+3=(2x+\sqrt{3})^{2}$

D'où,

$\boxed{H(x)=(2x+\sqrt{3})^{2}}$

Exercice 33

On donne :

$a=\dfrac{2-\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}}$

$b=3\sqrt{18}+\sqrt{128}-\sqrt{338}$

$c=\sqrt{2}-3.$

1) Rendons rationnel le dénominateur de

$a.$

Soit

$5-\sqrt{3}$ l'expression conjuguée du dénominateur de

$a.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{2-\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(2-\sqrt{3})(5-\sqrt{3})}{(5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{2\times 5-2\sqrt{3}-5\sqrt{3}-\sqrt{3}\times(-\sqrt{3})}{(5)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{10-7\sqrt{3}+3}{25-3}\\\\&=&\dfrac{13-7\sqrt{3}}{22}\end{array}$

D'où,

$\boxed{a=\dfrac{13-7\sqrt{3}}{22}}$

2) Simplifions

$b.$

On a :

$18=9\times 2$

$128=64\times 2$

$338=13^{2}\times 2$

Donc, en remplaçant dans l'expression de

$b$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} b&=&3\sqrt{18}+\sqrt{128}-\sqrt{338}\\\\&=&3\sqrt{9\times 2}+\sqrt{64\times 2}-\sqrt{13^{2}\times 2}\\\\&=&3\sqrt{9}\times\sqrt{2}+\sqrt{64}\times\sqrt{2}-\sqrt{13^{2}}\times\sqrt{2}\\\\&=&3\times 3\times\sqrt{2}+8\times\sqrt{2}-13\times\sqrt{2}\\\\&=&9\sqrt{2}+8\sqrt{2}-13\sqrt{2}\\\\&=&4\sqrt{2}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{b=4\sqrt{2}}$

3) Calculons

$c^{2}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} c^{2}&=&\left(\sqrt{2}-3\right)^{2}\\\\&=&(\sqrt{2})^{2}-2\times 3\times \sqrt{2}+(3)^{2}\\\\&=&2-6\sqrt{2}+9\\\\&=&11-6\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{c^{2}=11-6\sqrt{2}}$

Déduisons-en que

$p=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{8}}{3\sqrt{5}-6\sqrt{2}}$ est un rationnel que l'on déterminera.

On a :

$\begin{array}{rcl} p&=&\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{8}}{3\sqrt{5}-6\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{4\times 2}}{3\sqrt{5}-6\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{4}\times\sqrt{2}}{3(\sqrt{5}-2\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{5}-2\sqrt{2})}{3(\sqrt{5}-2\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{1}{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{p=\dfrac{1}{3}\quad\text{qui est un nombre rationnel}}$

Exercice 34

Écrivons le plus simplement possible les expressions ci-dessous :

$G=\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{1}{25}\times\sqrt{6+\sqrt{103-2\sqrt{\dfrac{9}{4}}}}}}}$

En calculant de la droite vers la gauche, on obtient :

$\begin{array}{rcl} G&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{1}{25}\times\sqrt{6+\sqrt{103-2\sqrt{\dfrac{9}{4}}}}}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{1}{25}\times\sqrt{6+\sqrt{103-2\times\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}}}}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{1}{25}\times\sqrt{6+\sqrt{103-2\times\dfrac{3}{2}}}}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{1}{25}\times\sqrt{6+\sqrt{103-3}}}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{1}{25}\times\sqrt{6+\sqrt{100}}}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{1}{25}\times\sqrt{6+10}}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{1}{25}\times\sqrt{16}}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{1}{25}\times 4}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{4}{25}}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{25}{25}}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{1}}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{37-1}}\\\\&=&\sqrt{76-2\sqrt{36}}\\\\&=&\sqrt{76-2\times 6}\\\\&=&\sqrt{76-12}\\\\&=&\sqrt{64}\\\\&=&8\end{array}$

D'où,

$\boxed{G=8}$

On donne un triangle

$ABC$ rectangle en

$A$ tel que

$AC=\sqrt{3}-1\$ et

$\ BC=2\sqrt{2}.$

1) Calculons

$AB^{2}$ , déduisons-en que

$AB=\sqrt{3}+1$ puis l'aire du triangle

$ABC.$

Comme le triangle

$ABC$ est rectangle en

$A$ alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :

$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

Ce qui entraine :

$AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}$

En remplaçant

$AC^{2}\$ et

$\ BC^{2}$ par leur valeur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} AB^{2}&=&BC^{2}-AC^{2}\\\\&=&(2\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3}-1)^{2}\\\\&=&(4\times 2)-\left((\sqrt{3})^{2}-2\times 1\times\sqrt{3}+(1)^{2}\right)\\\\&=&8-(3-2\sqrt{3}+1)\\\\&=&8-(4-2\sqrt{3})\\\\&=&8-4+2\sqrt{3}\\\\&=&4+2\sqrt{3}\end{array}$

Donc,

$\boxed{AB^{2}=4+2\sqrt{3}}$

Déduisons-en que

$AB=\sqrt{3}+1$

Comme

$AB^{2}=4+2\sqrt{3}$ alors, on a :

$\sqrt{AB^{2}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

Or, on sait que :

$4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^{2}$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\sqrt{AB^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}$

Ce qui donne :

$|AB|=\left|\sqrt{3}+1\right|$

Par ailleurs, on sait que

$AB$ est la longueur d'un côté du triangle donc,

$AB$ est positive.

D'où,

$|AB|=AB$

De plus, la somme de deux nombres positifs est un nombre positif donc,

$\sqrt{3}+1>0$

Ainsi,

$\left|\sqrt{3}+1\right|=\sqrt{3}+1$

Par conséquent,

$\boxed{AB=\sqrt{3}+1}$

Calculons l'aire

$\mathcal{A}$ de ce triangle.

On a :

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}&=&\dfrac{AB\times AC}{2}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3}+1)\times(\sqrt{3}-1)}{2}\\\\&=&\dfrac{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{3-1}{2}\\\\&=&\dfrac{2}{2}\\\\&=&1\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\mathcal{A}=1}$

2) Calculons

$\dfrac{1}{AC}$ sans radical au dénominateur.

Soit :

$\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$

Donc, rendons rationnel le dénominateur de

$\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$

Comme

$\sqrt{3}+1$ est l'expression conjuguée de

$\sqrt{3}-1$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{AC}&=&\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}\\\\&=&\dfrac{1\times(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{3}+1}{3-1}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\dfrac{1}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}}$

Déduisons-en un encadrement de

$\dfrac{1}{AC}$ d'amplitude

$0.01$

On sait que :

$1.73<\sqrt{3}<1.74$

Alors, ajoutons

$1$ à chaque membre de l'inégalité.

On obtient :

$1.73+1<\sqrt{3}+1<1.74+1$

Ce qui donne :

$2.73<\sqrt{3}+1<2.74$

Divisons ensuite chaque membre de cette dernière inégalité par le même nombre

$2.$

On trouve alors :

$\dfrac{2.73}{2}<\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}<\dfrac{2.74}{2}$

Ce qui est équivalent à :

$1.36<\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}<1.37$

D'où, un encadrement de

$\dfrac{1}{AC}$ d'amplitude

$0.01$ est donné par :

$\boxed{1.36<\dfrac{1}{AC}<1.37}$

Exercice 35

$ABCD\$ et

$\ CHIJ$ sont des carrés de côtés respectifs :

$5\sqrt{3}-1\$ et

$\ \sqrt{27}.$ (Voir figure ci-dessous)

1) Calculons l'aire du carré

$ABCD.$

L'aire

$\mathcal{A}_{_{(ABCD)}}$ est donnée par :

$\mathcal{A}_{_{(ABCD)}}=(\text{côté})^{2}$

Comme son côté est de longueur

$5\sqrt{3}-1$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{(ABCD)}}&=&(\text{côté})^{2}\\\\&=&(5\sqrt{3}-1)^{2}\\\\&=&(5\sqrt{3})^{2}-2\times 1\times 5\sqrt{3}+(1)^{2}\\\\&=&(25\times 3)-10\sqrt{3}+1\\\\&=&75-10\sqrt{3}+1\\\\&=&76-10\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\mathcal{A}_{_{(ABCD)}}=76-10\sqrt{3}}$

2) Calculons l'aire du carré

$CHIJ.$

L'aire

$\mathcal{A}_{_{(CHIJ)}}$ est donnée par :

$\mathcal{A}_{_{(ABCD)}}=(\text{côté})^{2}$

Or, le côté de ce carré a pour longueur

$\sqrt{27}$ donc, on a :

$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{(CHIJ)}}&=&(\text{côté})^{2}\\\\&=&(\sqrt{27})^{2}\\\\&=&27\end{array}$

D'où,

$\boxed{\mathcal{A}_{_{(CHIJ)}}=27}$

3) Calculons la longueur

$AE.$

On a :

$AE=AB-EB$

En observant la figure, on remarque que

$EB=IJ=\sqrt{27}$

De plus, on sait que

$AB=5\sqrt{3}-1$

Donc, en remplaçant

$AB$ par

$5\sqrt{3}-1\$ et

$\ EB$ par

$\sqrt{27}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} AE&=&AB-EB\\\\&=&5\sqrt{3}-1-\sqrt{27}\\\\&=&5\sqrt{3}-1-\sqrt{9\times 3}\\\\&=&5\sqrt{3}-1-\sqrt{9}\times\sqrt{3}\\\\&=&5\sqrt{3}-1-3\sqrt{3}\\\\&=&2\sqrt{3}-1\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{AE=2\sqrt{3}-1}$

4) Calculons le périmètre du rectangle

$CDFJ.$

Le périmètre

$\mathcal{P}_{_{(CDFJ)}}$ du rectangle

$CDFJ$ est donné par :

$\mathcal{P}_{_{(CDFJ)}}=2\times(CD+CJ)$

Comme

$CD=5\sqrt{3}-1\$ et

$\ CJ=\sqrt{27}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} \mathcal{P}_{_{(CDFJ)}}&=&2\times(CD+CJ)\\\\&=&2\times(5\sqrt{3}-1+\sqrt{27})\\\\&=&2\times(5\sqrt{3}-1+\sqrt{9\times 3})\\\\&=&2\times(5\sqrt{3}-1+\sqrt{9}\times\sqrt{3})\\\\&=&2\times(5\sqrt{3}-1+3\sqrt{3})\\\\&=&2\times(8\sqrt{3}-1)\\\\&=&16\sqrt{3}-2\end{array}$

D'où,

$\boxed{\mathcal{P}_{_{(CDFJ)}}=16\sqrt{3}-2}$

5) Calculons l'aire de la surface coloriée.

En observant la figure, on remarque l'aire de la surface coloriée est égale à la différence entre l'aire du carré

$ABCD$ et celle du carré

$CHIJ.$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{(\text{partie coloriée})}}&=&\mathcal{A}_{_{(ABCD)}}-\mathcal{A}_{_{(CHIJ)}}\\\\&=&76-10\sqrt{3}-27\\\\&=&49-10\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\mathcal{A}_{_{(\text{partie coloriée})}}=49-10\sqrt{3}}$

Exercice 36

1) Écrivons les expressions

$x\$ et

$\ y$ ci-dessous sous la forme

$a\sqrt{b}$ où

$a\$ et

$\ b$ sont des entiers positifs.

a) Soit :

$x=2\sqrt{50}-3\sqrt{18}+\sqrt{200}-\sqrt{2}.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} x&=&2\sqrt{50}-3\sqrt{18}+\sqrt{200}-\sqrt{2}\\\\&=&2\sqrt{25\times 2}-3\sqrt{9\times 2}+\sqrt{100\times 2}-\sqrt{2}\\\\&=&2\sqrt{25}\times\sqrt{2}-3\sqrt{9}\times\sqrt{2}+\sqrt{100}\times\sqrt{2}-\sqrt{2}\\\\&=&2\times 5\times\sqrt{2}-3\times 3\times\sqrt{2}+10\times\sqrt{2}-\sqrt{2}\\\\&=&10\sqrt{2}-9\sqrt{2}+10\sqrt{2}-\sqrt{2}\\\\&=&10\sqrt{2}\end{array}$

Donc,

$\boxed{x=10\sqrt{2}}$

b) Soit :

$y=\sqrt{20}+\sqrt{80}-\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{12}}\times\sqrt{48}.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} y&=&\sqrt{20}+\sqrt{80}-\dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{12}}\times\sqrt{48}\\\\&=&\sqrt{4\times 5}+\sqrt{16\times 5}-\dfrac{\sqrt{16\times 2}}{\sqrt{4\times 3}}\times\sqrt{16\times 3}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{5}+\sqrt{16}\times\sqrt{5}-\dfrac{\sqrt{16}\times\sqrt{2}}{\sqrt{4}\times\sqrt{3}}\times\sqrt{16}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\times\sqrt{5}+4\times\sqrt{5}-\dfrac{4\times\sqrt{2}}{2\times\sqrt{3}}\times 4\times\sqrt{3}\\\\&=&2\sqrt{5}+4\sqrt{5}-\dfrac{16\sqrt{2}}{2}\\\\&=&6\sqrt{5}-8\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{y=6\sqrt{5}-8\sqrt{2}}$

2) On donne les réels

$m=1-2\sqrt{3}\$ et

$\ n=1+\sqrt{12}$

a) Sans calculer

$m^{2}\$ et

$\ n^{2}$ montrons que

$m+n\;,\ m\times n$ sont des entiers relatifs.

On a :

$\begin{array}{rcl} m+n&=&1-2\sqrt{3}+1+\sqrt{12}\\\\&=&2-2\sqrt{3}+\sqrt{4\times 3}\\\\&=&2-2\sqrt{3}+\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&2-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\\\\&=&2\end{array}$

Donc,

$\boxed{m+n=2\quad\text{qui est un entier relatif}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} m\times n&=&(1-2\sqrt{3})(1+\sqrt{12})\\\\&=&(1-2\sqrt{3})(1+\sqrt{4}\times\sqrt{3})\\\\&=&(1-2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})\\\\&=&(1)^{2}-(2\sqrt{3})^{2}\\\\&=&1-(4\times 3)\\\\&=&1-12\\\\&=&-11\end{array}$

D'où,

$\boxed{m\times n=-11\quad\text{qui est un entier relatif}}$

b) Déduisons-en que

$m^{2}+n^{2}$ est un entier relatif.

En effet, d'après la propriété des identités remarquables, on a :

$(m+n)^{2}=m^{2}+2\times(m\times n)+n^{2}$

Ce qui entraine :

$m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2\times m\times n$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} m^{2}+n^{2}&=&(m+n)^{2}-2\times(m\times n)\\\\&=&(2)^{2}-2\times(-11)\\\\&=&4+22\\\\&=&26\end{array}$

D'où,

$\boxed{m^{2}+n^{2}=26\quad\text{qui est un entier relatif}}$

3) On pose

$p=\dfrac{m}{n}.$

Rendons rationnel le dénominateur de

$p.$

Soit :

$p=\dfrac{1-2\sqrt{3}}{1+\sqrt{12}}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} p&=&\dfrac{1-2\sqrt{3}}{1+\sqrt{12}}\\\\&=&\dfrac{(1-2\sqrt{3})(1-\sqrt{12})}{(1+\sqrt{12})(1-\sqrt{12})}\\\\&=&\dfrac{(1-2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})}{(1)^{2}-(\sqrt{12})^{2}}\\\\&=&\dfrac{(1-2\sqrt{3})^{2}}{1-12}\\\\&=&\dfrac{(1-2\sqrt{3})^{2}}{-11}\\\\&=&-\dfrac{(1-2\sqrt{3})^{2}}{11}\end{array}$

D'où,

$\boxed{p=-\dfrac{(1-2\sqrt{3})^{2}}{11}}$

Exercice 37

On donne :

$A=\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}\$ et

$\ B=x^{2}-7x+10.$

1) Calculons

$A$ puis, déduisons-en l'expression simplifiée du nombre :

$C=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right).$

$-\$ calcul de

$A$

En développant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}\\\\&=&(\sqrt{5})^{2}-2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\\\\&=&5-2\times\sqrt{5\times 3}+3\\\\&=&8-2\sqrt{15}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=8-2\sqrt{15}}$

$-\$ simplification de

$C$

Dans l'expression de

$C$ , en remplaçant

$8-2\sqrt{15}$ par

$\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}$ , on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{8-2\sqrt{15}}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|\right)\end{array}$

Cherchons alors le signe de

$(\sqrt{5}-\sqrt{3}$

Pour cela, comparons

$\sqrt{5}\$ et

$\ \sqrt{3}.$

Comme ces deux nombres sont positifs alors, comparons leur carré.

On a :

$(\sqrt{5})^{2}=5\$ et

$\ (\sqrt{3})^{2}=3$

Comme

$5$ est plus grand que

$3$ alors,

$\sqrt{5}>\sqrt{3}.$

Donc,

$\sqrt{5}-\sqrt{3}>0$

D'où,

$\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|=\sqrt{5}-\sqrt{3}.$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-(\sqrt{5}-\sqrt{3})\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2}\times\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

2) Calculons

$B$ pour

$x=\sqrt{2}.$

Pour cela, on remplace

$x$ par

$\sqrt{2}$ , dans l'expression de

$B(x).$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} B(\sqrt{2})&=&(\sqrt{2})^{2}-7\times\sqrt{2}+10\\\\&=&2-7\sqrt{2}+10\\\\&=&12-7\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{B(\sqrt{2})=12-7\sqrt{2}}$

3) Donnons un encadrement du nombre

$D=12-7\sqrt{2}$ sachant que

$1.414<\sqrt{2}<1.415$ puis, déduisons-en la valeur approchée de

$D$ à

$10^{-2}$ près par défaut.

On sait que :

$1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par le même nombre

$-7$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :

$-7\times 1.414>-7\sqrt{2}>-7\times 1.415$

Ce qui donne :

$-9.898>-7\sqrt{2}>-9.905$

En ajoutant

$12$ à chaque membre de cette dernière l'inégalité, on obtient :

$12-9.898>12-7\sqrt{2}>12-9.905$

Donc, on a :

$2.102>12-7\sqrt{2}>2.095$

Ce qui est équivalent à :

$2.095<12-7\sqrt{2}<2.102$

D'où, un encadrement de

$D$ à

$10^{-2}$ près est donné par :

$\boxed{2.09<D<2.10}$

Par conséquent, la valeur approchée de

$D$ à

$10^{-2}$ près par défaut est égale à

$2.09$

Auteur:

Diny Faye

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

jeu, 04/11/2019 - 01:07

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Où sont les autres solutions

Où sont les autres solutions pour les exercices de 4 jusqu'au 27?

répondre

Dame gaye (non vérifié)

lun, 11/11/2019 - 19:05

Permalien

C´est formidable pour les

C´est formidable pour les élèves

répondre

Diack (non vérifié)

jeu, 02/20/2020 - 20:36

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Je veux les autres solutions

répondre

Karamokho Danfakha (non vérifié)

ven, 06/12/2020 - 11:00

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Racine carré

j'ai besoin

répondre

Karamokho Danfakha (non vérifié)

ven, 06/12/2020 - 11:04

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Racine carré

Je veux tous solutions de racine carré

répondre

Traoré (non vérifié)

mar, 08/18/2020 - 23:56

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J'aime beaucoup ce site les

J'aime beaucoup ce site les exercices sont très pratique mais on a besoin de tout la corrigé

répondre

Anonyme (non vérifié)

lun, 09/07/2020 - 17:03

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Formidable

répondre

Gisèle (non vérifié)

dim, 12/27/2020 - 22:22

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Être dans le groupe

Bien

répondre

Gisèle (non vérifié)

dim, 12/27/2020 - 22:22

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Être dans le groupe

Bien

répondre

Anonyme (non vérifié)

mer, 01/06/2021 - 19:23

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La correction des autres

La correction des autres exo sur les racines carrées svp

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Anonyme (non vérifié)

sam, 01/23/2021 - 18:55

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Nous aimons beaucoup ce site

Nous aimons beaucoup ce site mais correction des racines est trop petit

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Aissatou diop (non vérifié)

dim, 05/16/2021 - 22:50

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C formidable

répondre

Aissatou diop (non vérifié)

dim, 05/16/2021 - 22:50

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C formidable

répondre

Anonyme (non vérifié)

jeu, 11/04/2021 - 07:39

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Intéressant

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Anonyme (non vérifié)

lun, 03/14/2022 - 15:35

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Où sont les autres

Où sont les autres corrections

répondre

Anonyme (non vérifié)

lun, 03/14/2022 - 15:35

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Où sont les autres

Où sont les autres corrections

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Philippe TCHAM (non vérifié)

mar, 06/28/2022 - 23:58

Permalien

Appreciation

Bonjour. Juste pour vous faire savoir que ce document que vous avez bien voulu mettre à la disposition du grand publique a ouvert les yeux et l'esprit à des milliers de gens. Infini gratitude.