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Solution des exercices : repérage - 2nd

Classe:

Seconde

Mesures algébriques

Exercice 1

Les points $A\;,\ B\;,\ C\ $ et $\ D$ sont situés sur un axe de telle sorte que : $$\overline{AB}=-8\;;\quad \overline{BC}=12\ \text{ et }\ \overline{CD}=-6$$

Calculons $\overline{AC}\;,\ \overline{AD}\;,\ \overline{BA}\;,\ \overline{BD}\;,\ \overline{DA}\ $ et $\ \overline{DB}.$

$-\ $ Calcul de $\overline{AC}$

D'après la relation de Chasles, on a : $\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}$

Or, $\overline{AB}=-8\ $ et $\ \overline{BC}=12$

Donc, $\overline{AC}=-8+12=4$

D'où, $\boxed{\overline{AC}=4}$

$-\ $ Calcul de $\overline{AD}$

De la même manière, en utilisant la relation de Chasles, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\overline{AD}&=&\overline{AC}+\overline{CD}\\ \\&=&4-6\\ \\&=&-2\end{array}$

Ainsi, $\boxed{\overline{AD}=-2}$

$-\ $ Calcul de $\overline{BA}$

On a : $\overline{BA}=-\overline{AB}$

Or, $\overline{AB}=-8$ donc, $\overline{BA}=-(-8)=8$

D'où, $\boxed{\overline{BA}=8}$

$-\ $ Calcul de $\overline{BD}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\overline{BD}&=&\overline{BA}+\overline{AD}\\ \\&=&8-2\\ \\&=&6\end{array}$

Par suite, $\boxed{\overline{BD}=6}$

$-\ $ Calcul de $\overline{DA}$

On a : $\overline{DA}+\overline{AD}=0$

Donc, $\overline{DA}=-\overline{AD}=-(-2)=2$

Ainsi, $\boxed{\overline{DA}=2}$

$-\ $ Calcul de $\overline{DB}$

On a : $\overline{DB}=-\overline{BD}=-6$

Donc, $\boxed{\overline{DB}=-6}$

Exercice 2

Sur un axe $(D)$, on donne trois points $A\;,\ B\ $ et $\ C$ tels que $\overline{AB}=-9\ $ et $\ \overline{BC}=16.$

Déterminons la position de l'origine $O$ pour que $$\overline{OA}+3\overline{OB}+5\overline{OC}=0$$

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

$$\overline{OB}=\overline{OA}+\overline{AB}$$

Donc, $3\overline{OB}=3\overline{OA}+3\overline{OB}$

De la même manière, on obtient :

$$\overline{OC}=\overline{OA}+\overline{AC}$$

Donc, $5\overline{OC}=5\overline{OA}+5\overline{AC}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl}\overline{OA}+3\overline{OB}+5\overline{OC}=0&\Leftrightarrow&\overline{OA}+3\overline{OA}+3\overline{AB}+5\overline{OA}+5\overline{AC}=0\\\\&\Leftrightarrow&9\overline{OA}+3\overline{AB}+5\overline{AC}=0\\\\&\Leftrightarrow&9\overline{OA}=-3\overline{AB}-5\overline{AC}\\\\&\Leftrightarrow&\overline{OA}=-\dfrac{3\overline{AB}}{9}-\dfrac{5\overline{AC}}{9}\end{array}$

Donc, le point $O$ est tel que :

$$\overline{OA}=-\dfrac{3\overline{AB}}{9}-\dfrac{5\overline{AC}}{9}$$

Or, D'après la relation de Chasles, on a :

$\begin{array}{rcl}\overline{AC}&=&\overline{AB}+\overline{BC}\\ \\&=&-9+16\\ \\&=&7\end{array}$

Par suite, en remplaçant $\overline{AB}\ $ et $\ \overline{AC}$ dans l'expression de $\overline{OA}$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\overline{OA}&=&-\dfrac{3\times(-9)}{9}-\dfrac{5\times 7}{9}\\ \\&=&\dfrac{27}{9}-\dfrac{35}{9}\\ \\&=&-\dfrac{8}{9}\end{array}$

Ainsi, la position de l'origine $O$ du repère est tel que :

$$\boxed{\overline{OA}=-\dfrac{8}{9}}$$

Exercice 5

Sur un axe $(D)$, on considère deux points $A\ $ et $\ B$ d'abscisses respectives $-1\ $ et $\ 2.$

1) Plaçons le point $C$ tel que $\overline{CA}=2\overline{CB}.$

Considérons un repère $(O\;,\ \vec{i})$ associé à l'axe $(D)$ avec $\vec{i}$ vecteur unitaire.

En effet, on a :

$\begin{array}{rcl}\overline{CA}=2\overline{CB}&\Leftrightarrow&\overline{CA}-2\overline{CB}=0\\\\&\Leftrightarrow&\overline{CO}+\overline{OA}-2\overline{CO}-2\overline{OB}=0\\\\&\Leftrightarrow&-\overline{CO}+\overline{OA}-2\overline{OB}=0\\\\&\Leftrightarrow&-\overline{CO}=-\overline{OA}+2\overline{OB}\\\\&\Leftrightarrow&\overline{OC}=-\overline{OA}+2\overline{OB}\\\\&\Leftrightarrow&\overline{OC}=1+4\\\\&\Leftrightarrow&\overline{OC}=5\end{array}$

Donc, $C$ est tel que : $\boxed{\overline{OC}=5}$

D'où, $C$ est d'abscisse $5$

2) Montrons qu'il existe un point $M$ tel que : $\overline{MA}+2\overline{MB}=0.$

Soit le système de points pondérés : $\{(A\;;\ 1)\;,\ (B\;;\ 2)\}$

On a : $1+2=3\neq 0$ donc, ce système admet un barycentre $G$ vérifiant :

$$\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec{0}$$

Cette relation peut encore s'écrire, en tenant compte des mesures algébriques :

$$\overline{GA}\cdot\vec{i}+2\overline{GB}\cdot\vec{i}=\vec{0}\ \Leftrightarrow\ (\overline{GA}+2\overline{GB})\cdot\vec{i}=\vec{0}$$

Or, $\vec{i}$ étant un vecteur non nul donc,

$$(\overline{GA}+2\overline{GB})\cdot\vec{i}=\vec{0}\ \Leftrightarrow\ \overline{GA}+2\overline{GB}=0$$

Donc, il existe bien un point $M=G$ vérifiant : $\overline{MA}+2\overline{MB}=0.$

Soit :

$\begin{array}{rcl}\overline{OG}&=&\dfrac{\overline{OA}}{3}+2\dfrac{\overline{OB}}{3}\\\\&=&-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}\\\\&=&\dfrac{3}{3}\\\\&=&1\end{array}$

Donc, $G$ est tel que : $\boxed{\overline{OG}=1}$ c'est-à-dire ; $G$ est d'abscisse $1$

3) Déterminons les points $M$ de $(D)$ tels que $MA^{2}-4MB^{2}=0$

On a :

$\begin{array}{rcl}MA^{2}-4MB^{2}=0&\Leftrightarrow&(\overline{MA}-2\overline{MB})\cdot(\overline{MA}+2\overline{MB})=0\\\\&\Leftrightarrow&\overline{MA}-2\overline{MB}=0\quad\text{ou}\quad\overline{MA}+2\overline{MB}=0 \end{array}$

Or, d'après les questions précédentes, les points $M$ de $(D)$ vérifiant respectivement : $\overline{MA}-2\overline{MB}=0\ $ et $\ \overline{MA}+2\overline{MB}=0$ sont respectivement les point $C\ $ et $\ G.$

D'où, l'ensemble $\mathbf{E}$ des points $M$ de $(D)$ tels que $MA^{2}-4MB^{2}=0$ est donné par :

$$\mathbf{E}=\{C\;,\ G\}$$

Auteur:

Diny Faye

Commentaires

Lidy (non vérifié)

lun, 03/22/2021 - 09:00