Solution des exercices : Symétrie centrale 5e
Classe:
Cinquième
Exercice 1
1) Traçons un segment $[AB]$ tel que $AB=5\;cm$ puis, construisons son milieu $I.$
On peut alors dire que les points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $I$
Justifions la réponse.
Comme $I$ est le milieu du segment $[AB]$ alors les points $A - I - B$ sont alignés et les distances $AI\ $ et $\ IB$ ont la même longueur égale à $2.5\,cm.$
D'où, $A$ et $B$ symétriques par rapport à $I.$
2) Traçons un segment $[EF]$ dont $I$ est le milieu.
$F$ est le symétrique de $E$ par rapport à $I$
Justification
$I$ étant milieu de $[EF]$ alors les points $E\;,\ I\ $ et $\ F$ sont alignés et les distances $EI\ $ et $\ IF$ sont égales.
Par conséquent, le point $F$ est le symétrique du point $E$ par rapport à $I.$
3) Marquons un point $M$, et construisons son symétrique $N$ par rapport à $I.$
Exercice 2
1) Traçons un triangle équilatéral $ABC$ tel que $AB=5\;cm.$
2) Construisons un point $O$ extérieur du triangle de $ABC.$
3) Construisons les points $A'\;,\ B'\ $ et $\ C'$ symétriques de $ABC$ par rapport à $O.$
4) $A'B'C'$ un triangle équilatéral tel que $A'B'=5\;cm.$
Justifions la réponse par une propriété du cours.
On a : $S_{O}[A]=A'\;,\ S_{O}[B]=B'\ $ et $\ S_{O}[C]=C'$
Donc, $S_{O}(ABC)=A'B'C'$
Par suite, $A'B'C'$ est le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à $O.$
Or, d'après une propriété du cours, le symétrique d'un triangle est un triangle de même nature.
Par conséquent, $A'B'C'$ est un triangle équilatéral tel que $A'B'=5\;cm.$
Exercice 3
Soit $ABCD$ un carré de côté $4\;cm.$
1) Construisons le point $O$ centre de symétrique de $ABCD.$
C'est le point de rencontre des deux diagonales.
2) Construisons les points $E\;;\ F$ et $G$ symétriques respectifs des points $B\;;\ C\ $ et $\ D$ par rapport à $A.$
3) a) On a : $S_{A}[A]=A\;,\ S_{A}[B]=E\;,\ S_{A}[C]=F\ $ et $\ S_{A}[D]=G$
Donc, $S_{A}(ABCD)=AEFG$
Par suite, $AEFG$ est le symétrique du carré $ABCD$ par rapport à $A.$
b) En utilisant la figure complétons :
$S_{A}(A)=A\;;\ S_{A}(CD)=(FG)\;;\ S_{A}([AD))=([AG))$
4) Le symétrique d'un carré est un carré de même dimension.
Donc, $AEFG$ est un carré de côté $4\;cm.$
Son aire $\mathcal{A}$ est donnée par :
$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}&=&\text{côté}\times\text{côté}\\ \\&=&4\,cm\times 4\,cm\\ \\&=&16\,cm^{2}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}=16\,cm^{2}}$
Exercice 4
On considère le parallélogramme $ABPQ$ de centre $O.$
Complétons les pointillés par le point, le segment, la droite ou la demi-droite qui convient.
$S_{O}(A)=P\;;\quad S_{O}(B)=Q$
$S_{O}([AQ])=[PB]\;;\quad S_{O}([PQ])=[AB]$
$S_{O}(AQP)=PBA\;;\quad S_{O}[(QA)]=(BP)$
$S_{O}([AQ))=[PB)\;;\quad S_{O}([AQ))=[PB)$
Exercice 5
1) Construisons un triangle $ABC$ tel que :
$$AB=4\;cm\;;\ BC=3\;cm\ \text{ et }\ AC=2\;cm$$
2) Construisons le triangle $AEF$ symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $A.$
Pour cela, on construit les images respectives des sommets $A\;;\ B\ $ et $\ C$ du triangle $ABC.$
On obtient alors, les points $A\;;\ E\ $ et $\ F$ qui représentent les sommets du triangle $AEF$ symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $A.$
3) a) Le segment $[BC]$ a la même longueur que $[EF]$
En effet, on constate que le segment $[EF]$ est le symétrique du segment $[BC]$ par rapport au point $A.$
Or, on sait que le symétrique d'un segment est segment de même longueur.
Par conséquent, $[BC]$ a la même longueur que $[EF].$
b) Les antres segments superposables sont :
$[AC]\ $ et $\ [AF]$
$[AB]\ $ et $\ [AE]$
En effet, $[AF]$ est le symétrique de $[AC]$ par rapport au point $A.$
Par conséquent, $[AC]\ $ et $\ [AF]$ sont superposables.
De la même manière, comme $[AE]$ est le symétrique de $[AB]$ par rapport au point $A$ alors, les segments $[AC]\ $ et $\ [AF]$ sont superposables.
4) a) L'angle $\widehat{ABC}$ de la figure a la même mesure que l'angle $\widehat{E}$
En effet, l'angle $\widehat{AEF}$ est le symétrique de l'angle $\widehat{ABC}$ par rapport au point $A.$
Or, on sait que le symétrique d'un angle est angle de même mesure.
Donc, $\widehat{ABC}$ a la même mesure que l'angle $\widehat{E}.$
b) Les antres angles superposables sont :
$\widehat{ACB}\ $ et $\ \widehat{AFE}$
$\widehat{BAC}\ $ et $\ \widehat{EAF}$
En effet, $\widehat{AFE}$ est le symétrique de l'angle $\widehat{ACB}$ par rapport au point $A.$
Donc, $\widehat{ACB}\ $ et $\ \widehat{AFE}$ sont superposables.
De la même manière, comme $\widehat{EAF}$ est le symétrique de $\widehat{BAC}$ par rapport au point $A$ alors, les angles $\widehat{BAC}\ $ et $\ \widehat{EAF}$ sont superposables.
Exercice 6
1) Citons cinq lettres alphabet français admettant un centre de symétrique.
$$\mathbf{H}\;;\ \mathbf{O}\;;\ \mathbf{N}\;;\ \mathbf{X}\;;\ \mathbf{Z}$$
2) Citons trois figures géométriques admettant un centre de symétrique.
Le losange, le carré et le rectangle sont trois figures géométriques admettant un centre de symétrie.
Leur centre de symétrie est le point de rencontre de leurs diagonales.
Exemples :
$I$ est le centre de symétrie du losange $ABCD.$
$J$ est le centre de symétrie du carré $EFGH.$
$K$ est le centre de symétrie du rectangle $MNPQ.$
3) Citons deux figures géométriques qui sont globalement invariant par la symétrie centrale.
Le cercle et le carré sont globalement invariant par la symétrie centrale de centre ; leur centre de symétrie.
Exemples :
En effet, l'image du cercle $(\mathcal{C})$ par la symétrie centrale de centre $O$ est le même cercle $(\mathcal{C}).$
Donc, le cercle $(\mathcal{C})$ est globalement invariant par la symétrie centrale de centre $O.$
De la même manière, l'image du carré $ABCD$ par la symétrie centrale de centre $J$ est encore le même carré $ABCD.$
Ce qui signifie que le carré $ABCD$ est globalement invariant par la symétrie centrale de centre $I.$
Exercice 7
On donne trois points non alignés $M\;;\ O\ $ et $\ D.$
$-\ \ M$ est le milieu d'un segment $[AB].$
$-\ $ Le point $D$ est une extrémité d'un segment $[CD].$
$-\ $ Les segments $[AB]\ $ et $\ [CD]$ sont symétriques par rapport à $O.$
Construisons les points $A\;,\ B\ $ et $\ C$ en donnant un programme de construction.
On sait que les segments $[AB]\ $ et $\ [CD]$ sont symétriques par rapport à $O$ et que $M$ est milieu de $[AB].$
Donc, le symétrique de $M$ par rapport à $O$ sera le milieu du segment $[CD].$
On place alors $M'$ symétrique de $M$ par rapport à $O.$
Puis, on construit le point $C$ tel que $M'$ soit le milieu de $[CD].$
C'est-à-dire ; on construit $C$ symétrique de $D$ par rapport à $M'.$
Ensuite, on construit les points $A\ $ et $\ B$ symétriques respectifs de $C\ $ et $\ D$ par rapport au point $O.$
Exercice 8
Recopions et complétons convenablement les phrases suivantes :
1) Si $A\ $ et $\ B$ sont deux points symétriques par rapport à un point $O$ alors, $O$ est le milieu de $[AB].$
2) Si $K$ est le milieu de $[RS]$ alors les points $R\ $ et $\ S$ sont symétriques par rapport à $K.$
3) Si $E$ est symétrique de $F$ par rapport à $M$ alors, $M$ est le milieu de $[EF].$
4) Le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
5) La symétrie centrale conserve l'alignement
Exercice 9
Recopions les affirmations qui sont vraies.
2) La symétrie centrale conserve le parallélisme.
3) La symétrie centrale conserve les aires.
5) La symétrie centrale conserve la mesure des angles.
6) Le symétrique d'un angle par rapport à un point est un angle de même mesure.
7) Deux angles opposés par le sommet sont symétriques par rapport à ce sommet.
Exercice 10
On considère la droite graduée ci-dessous (unité $1$ centimètre) :
1) Reproduisons la droite puis plaçons les points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F\;,\ G\ $ et $\ O$ d'abscisses respectives
$$\dfrac{-5}{2}\;;\ -3.5\;;\ -0.5\;;\ \dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{7}{2}\;;\ 2.5\ \text{ et }\ 0$$
2) Les points deux à deux symétriques par rapport au point $O$ sont :
$A\ $ et $\ G$
$B\ $ et $\ F$
$C\ $ et $\ D$
3) Complétons la phrase suivante : $[AC]$ est le symétrique de $[GD]$ par rapport au point $O.$
Exercice 11
1) Traçons un triangle $ABC.$ Marquons un point $I$ à l'extérieur du triangle.
2) Plaçons :
$-\ $ le point $E$ symétrique de $A$ par rapport à $I$,
$-\ $ le point $F$ symétrique de $B$ par rapport à $I$,
$-\ $ le point $G$ symétrique de $C$ par rapport à $I.$
Exercice 12
1) Traçons un rectangle $EFGH$, puis plaçons un point $O$ à l'intérieur du rectangle.
2) Plaçons :
$-\ $ le symétrique $R$ de $E$ par rapport à $O$,
$-\ $ le symétrique $S$ de $F$ par rapport à $O$,
$-\ $ le symétrique $T$ de $G$ par rapport à $O$,
$- $ le symétrique $U$ de $H$ par rapport à $O.$
3) Le quadrilatère $RSTU$ est un rectangle.
En effet, le quadrilatère $RSTU$ est l'image du rectangle $EFGH$ par la symétrie centrale de centre $O.$
Or, le symétrique d'un rectangle par rapport à un point est un rectangle semblable.
Par conséquent, le quadrilatère $RSTU$ est un rectangle.
Exercice 13
Recopions puis complétons les phrases ci-dessous :
1) Le symétrique d'un point $M$ par rapport à un point $O$ est le point $M'$ tel que $O$ milieu du segment $[MM']$
2) Le symétrique d'une droite par rapport à un point $O$ est une droite qui lui est parallèle.
3) Le symétrique d'un segment par rapport à un point $O$ est un segment de même longueur et qui lui est parallèle.
4) Le symétrique d'un angle par rapport à un point $O$ est un angle de même mesure.
5) Le symétrique d'un cercle par rapport à un point $O$ est un cercle de même rayon et dont le centre est le symétrique du centre du cercle considéré par rapport au point $O.$
Exercice 14
1) Traçons un triangle $ABC.$
2) a) Construisons le segment $[A'B']$ symétrique du segment $[AB]$ par rapport au point $C.$
Pour cela, on construit les symétriques respectifs $A'\ $ et $\ B'$ des points $A\ $ et $\ B$ par rapport au point $C.$
Puis, on trace le segment $[A'B'].$
b) Justifions que les segments $[AB]\ $ et $\ [A'B']$ ont même longueur.
D'après le résultat du $2)\,a)$, on a : le segment $[A'B']$ est le symétrique du segment $[AB]$ par rapport au point $C.$
Or, on sait que : le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
Par conséquent, les segments $[AB]\ $ et $\ [A'B']$ ont même longueur.
3) a) Le triangle $A'B'C$ est le symétrique du triangle $ABC$ par la symétrie centrale de centre $C.$
On a : $S_{C}(A)=A'\;;\ S_{C}(B)=B'\;;\ S_{C}(C)=C$
Alors, $S_{C}(ABC)=A'B'C$
Ce qui signifie que le triangle $A'B'C$ est le symétrique du triangle $ABC$ par la symétrie centrale de centre $C.$
b) Comparons les aires des triangles $ABC\ $ et $\ A'B'C$
Soit $\mathcal{A}_{_{ABC}}$ l'aire du triangle $ABC\ $ et $\ \mathcal{A}_{_{A'B'C}}$ celle du triangle $A'B'C.$
Alors, on a : $\mathcal{A}_{_{ABC}}=\mathcal{A}_{_{A'B'C}}$
Ce qui signifie que les triangles $ABC\ $ et $\ A'B'C$ ont même aire.
Justifions notre réponse.
On a : $A'B'C$ est le symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $C.$
Or, on sait que la symétrie centrale conserve les aires.
Donc, le symétrique d'un triangle par rapport à un point est un triangle de même aire.
D'où, les triangles $ABC\ $ et $\ A'B'C$ ont même aire.
Exercice 15
1) Construisons le triangle $EFG$ tel que
$$EF=4\;cm\;;\ FG=6\;cm\ \text{ et }\ EG=5\;cm$$
2) a) Plaçons le point $F'$ symétrique du point $F$ par rapport à $E.$
b) Plaçons le point $G'$ symétrique du point $G$ par rapport à $E.$
3) Les droites $(FG)\ $ et $\ (F'G')$ sont parallèles.
Justifions notre réponse.
On a : $S_{E}(F)=F'\;;\ S_{E}(G)=G'\;;\ S_{C}(C)=C$
Alors, $S_{E}((FG))=(F'G')$
Ce qui signifie que la droite $(F'G')$ est le symétrique de la droite $(FG)$ par rapport au point $E.$
Or, on sait que : le symétrique d'une droite est droite qui lui est parallèle.
Par conséquent, les droites $(FG)\ $ et $\ (F'G')$ sont parallèles.
4) Donnons, sans les mesurer, les longueurs $EF'\;,\ EG'\ $ et $\ F'G'.$
On a :
$$EF'=4\;cm\;;\ EG'=5\;cm\ \text{ et }\ F'G'=6\;cm$$
Justifions notre réponse.
Comme $F'$ symétrique de $F$ par rapport à $E$ alors, $E$ est milieu du segment $[FF']$ et on a : $EF'=EF$
D'où, $\boxed{EF'=4\;cm}$
Comme $G'$ symétrique de $G$ par rapport à $E$ alors, $E$ est milieu du segment $[GG']$ et on a : $EG'=EG$
D'où, $\boxed{EG'=5\;cm}$
On a : $[F'G']$ est le symétrique de $[FG]$ par rapport à $E.$
Or, on sait que : le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
Ce qui signifie que $F'G'=FG$
Par conséquent, $\boxed{F'G'=6\;cm}$
5) Prouvons que les droites $(F'G)\ $ et $\ (FG')$ sont parallèles.
On a : $F\ $ et $\ F'$ sont symétriques par rapport à $E.$
Donc, $S_{E}(F')=F$
Aussi, on a : $G\ $ et $\ G'$ sont symétriques par rapport à $E.$
Alors, $S_{E}(G)=G'$
Ce qui donne alors, $S_{E}((F'G))=(FG')$
Ce qui signifie que la droite $(F'G)$ est le symétrique de la droite $(FG')$ par rapport au point $E.$
Or, on sait que : le symétrique d'une droite est droite qui lui est parallèle.
Par conséquent, les droites $(F'G)\ $ et $\ (FG')$ sont parallèles.
Exercice 16
On considère le triangle $ABC$ tel que
$$AB=3\;cm\;;\ AC=5\;cm\ \text{ et }\ BC=5\;cm$$
Soit $O$ le milieu du segment $[AB].$
1) Construisons le triangle $ABC$ en mettant le codage sur les longueurs.
2) a) Le point $B$ est le symétrique du point $A$ par rapport au point $O$
b) Le point $A$ est le symétrique du point $B$ par rapport au point $O$
En effet, on a : $O$ milieu du segment $[AB].$
Ce qui signifie que les points $A\ $ et $\ B$ sont symétriques par rapport à $O.$
3) Traçons le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à $O.$ Complétons le codage des longueurs.
On sait que $A\ $ et $\ B$ sont symétriques par rapport à $O.$
Construisons alors le point $D$ symétrique du point $C$ par rapport à $E.$
Le triangle $ABD$ est donc le symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $O.$
Exercice 17
Dans la figure ci-dessous, $A'$ est le symétrique de $A$ par la symétrie de centre $O.$
Le point $O$ n'a pas été placé.
1) Reproduisons la figure ci-dessous en nous aidant du quadrillage du cahier.
2) Sans utiliser les instruments :
a) Retrouvons le point $O,$
b) Plaçons $B'\ $ et $\ C'$ symétriques respectifs de $B\ $ et $\ C$ par rapport à $O.$
3) A l'aide de la règle, traçons le triangle $A'B'C'.$
Exercice 18
1) Reproduisons la figure puis, plaçons les points $T\;,\ B\ $ et $\ N$ symétriques respectifs des points $S\;,\ A\ $ et $\ M$ par rapport à $O.$
2) Construisons le symétrique $(\mathcal{C}')$ du cercle $(\mathcal{C})$ par rapport à $O.$
On a : $B$ est le symétrique du centre $A$ du cercle $(\mathcal{C})$ par rapport à $O$ donc, $B$ est le centre du cercle $(\mathcal{C}').$
On a aussi : $S\ $ et $\ M$ deux points de $(\mathcal{C})$ et $T\ $ et $\ N$ leurs symétriques respectifs par rapport à $O.$
Alors, le symétrique $(\mathcal{C}')$ du cercle $(\mathcal{C})$ par rapport à $O$ est le cercle de centre $B$ et passant par les points $T\ $ et $\ N.$
3) Construisons le symétrique $(d')$ de la droite $(d)$ par rapport à $O.$
Pour cela, on choisit deux points $E\ $ et $\ F$ appartenant à la droite $(d)$ puis, on construit leurs symétriques respectifs $E'\ $ et $\ F'$ par rapport à $O.$
Ensuite, on trace la droite passant par les points $E'\ $ et $\ F'$ ; c'est la droite $(d').$
a) Justifions que $AM=BN.$
On a : $B$ symétrique de $A$ par rapport à $O\ $ et $\ N$ symétrique de $M$ par rapport à $O$ donc, $[BN]$ est le symétrique du segment $[AM]$ par rapport à $O.$
Or, on sait que : le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
Ce qui justifie que : $AM=BN.$
b) On a aussi : $SA=BN$
Justifions.
On a : $SA$ un rayon du cercle $(\mathcal{C})\ $ et $\ BN$ un rayon du cercle $(\mathcal{C}').$
Or, on sait que : le symétrique d'un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon.
Comme $(\mathcal{C}')$ est le symétrique de $(\mathcal{C})$ par rapport à $O$ alors, ces deux cercles ont même rayon.
D'où, $SA=BN$
c) Les droites $(SM)\ $ et $\ (TN)$ sont parallèles. Les droites $(d)\ $ et $\ (d')$ sont parallèles.
Justifions nos réponses.
On a : $T$ symétrique de $S$ par rapport à $O\ $ et $\ N$ symétrique de $M$ par rapport à $O$ donc, $(TN)$ est le symétrique de la droite $(SM)$ par rapport à $O.$
Or, on sait que : le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.
Par conséquent, les droites $(SM)\ $ et $\ (TN)$ sont parallèles.
Aussi, comme $(d')$ est le symétrique $(d)$ par rapport à $O$ alors, les droites $(d)\ $ et $\ (d')$ sont parallèles.
Exercice 19
1) Construisons le triangle $ABC$ tel que
$$AB=4.5\;cm\;;\ AC=6\;cm\ \text{et}\ BC=4\;cm$$
2) Plaçons les symétriques $A'\ $ et $\ C'$ respectifs de points $A\ $ et $\ C$ par rapport au point $B.$
3) Construisons le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à $B.$
D'après le résultat de $2)$, on a : $S_{B}(A)=A'\ $ et $\ S_{B}(C)=C'$
Aussi, on sait que : $S_{B}(B)=B$
On trace alors le triangle $A'BC'$ qui est le symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $B.$
4) Justifions que les segments $[AC]\ $ et $\ [A'C']$ ont même longueur.
On a : $A'$ symétrique de $A$ par rapport à $B\ $ et $\ C'$ symétrique de $C$ par rapport à $B$ donc, $[A'C']$ est le symétrique du segment $[AC]$ par rapport à $B.$
Or, on sait que : le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
Par conséquent, les segments $[AC]\ $ et $\ [A'C']$ ont même longueur.
5) L'angle $\widehat{BA'C'}$ a la même mesure que l'angle $\widehat{BAC}$
En effet, $\widehat{BA'C'}$ est le symétrique de l'angle $\widehat{BAC}$ par rapport à $B.$
Or, on sait que la symétrie centrale conserve les angles. ce qui signifie que le symétrique d'un angle par rapport à un point est un angle de même mesure.
Donc, $\widehat{BA'C'}$ a la même mesure que l'angle $\widehat{BAC}.$
Exercice 20
1) Reproduisons la figure ci-dessous où les points des triangles $EAC\ $ et $\ NSK$ sont symétriques par rapport à un point $J$ qui a été effacé.
2) Plaçons le point $J.$
Pour cela, il faut noter que les trois segments $[AS]\;;\ [EN]\ $ et $\ [CK]$ se coupent au point $J.$
3) Les deux triangles ont le même périmètre.
On sait que le symétrique d'un triangle par rapport à un point est un triangle de mêmes dimensions.
Or, les triangles $EAC\ $ et $\ NSK$ sont symétriques par rapport au point $J.$
Donc, ils ont les mêmes dimensions.
Par conséquent, $EAC\ $ et $\ NSK$ ont le même périmètre.
Exercice 21
1) Construisons un carré $ABCD$ de côté $4\;cm$ et à l'extérieur de ce carré, construisons le triangle $BCI$ rectangle en $C$ tel que $BI=7\;cm.$
2) Complétons notre construction de manière à obtenir une figure dont le centre de symétrie est le point $C.$
Pour cela, on construit d'abord les symétriques respectifs des points $A\;;\ B\;;\ D\ $ et $\ I$ par rapport au point $C.$
Puis, on trace le carré $A'B'CD'$ et le triangle $B'CI'$ symétriques respectifs du carré $ABCD$ et du triangle $BCI.$
Le point $C$ est alors le centre de symétrie de la figure obtenue.
Exercice 22
1) Construisons un triangle $LOP$ rectangle en $O\ $ et $\ LP=6\;cm.$
2) Plaçons le point $M$ symétrique du point $O$ par rapport au point $I$ milieu du segment $[LP].$
3) Construisons le point $T$ symétrique du point $M$ par rapport au point $P.$
4) Les quadrilatères $LOPM\ $ et $\ LOTP$ sont des parallélogrammes. De plus $LOPM$ est un rectangle.
Justifions notre réponse.
On a :
$I$ milieu $[LP]\ $ et $\ M$ symétrique de $O$ par rapport à $I$ alors, $I$ est aussi milieu de $[OM].$
Donc, le quadrilatère $LOPM$ a ses diagonales $[LP]\ $ et $\ [OM]$ de même milieu $I.$
Or, on sait que : si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c'est un parallélogramme.
Par conséquent, le quadrilatère $LOPM$ est un parallélogramme.
On remarque par ailleurs, que le $LOPM$ a un angle droit en $O.$
Or, on sait que : si un parallélogramme a un angle droit alors, c'est un rectangle.
D'où, le quadrilatère $LOPM$ est un rectangle.
On a :
$LOPM$ est un parallélogramme.
Or, on sait que : dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.
Donc, $LO=MP$
Comme $T$ est le symétrique du point $M$ par rapport au point $P$ alors, $P$ est milieu de $[MT]$ et on a : $MP=PT$
Ainsi : $LO=MP\ $ et $\ MP=PT$
Ce qui entraine alors : $LO=PT$
Par ailleurs, dans le parallélogramme $LOPM$, on a : $(MP)$ parallèle à $(LO).$
Comme, $M\;;\ P\ $ et $\ T$ sont alignés alors, les droites $(MP)\ $ et $\ (PT)$ sont confondues.
D'où, $(PT)$ parallèle à $(LO).$
Ainsi, dans le quadrilatère $LOTP$, on a : $LO=PT\ $ et $\ (PT)$ parallèle à $(LO).$
Or, on sait que : si un quadrilatère a deux côtés parallèles de même longueur alors, c'est un parallélogramme.
Par conséquent, $LOTP$ est un parallélogramme.
5) Construisons le cercle $(C)$ de centre $I$ et de rayon $IM.$ Calculons le périmètre et l'aire du disque correspondant.
$-\ $ Calcul du périmètre de $(C)$
On a :
$$\text{Périmètre du cercle}=\text{Diamètre}\times\pi$$
Or, le cercle $(C)$ a pour diamètre $LP=6\;cm.$
Donc, en choisissant $\pi=3.14$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\text{Périmètre du cercle}&=&\text{Diamètre}\times\pi\\\\&=&6\times 3.14\\\\&=&18.84\end{array}$
D'où, $\boxed{\text{Périmètre du cercle}=18.84\;cm}$
$-\ $ Calcul de l'aire de $(C)$
On a :
$$\text{Aire du cercle}=\text{Rayon}^{2}\times\pi$$
Comme le cercle $(C)$ a pour diamètre $LP=6\;cm$ alors, son rayon sera donné par :
$\text{Rayon}=\dfrac{6}{2}=3\;cm$
Donc, en choisissant $\pi=3.14$, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\text{Aire du cercle}&=&\text{Rayon}^{2}\times\pi\\\\&=&3^{2}\times 3.14\\\\&=&9\times 3.14\\\\&=&28.26\end{array}$
D'où, $\boxed{\text{Aire du cercle}=28.26\;cm^{2}}$
6) Plaçons un point $E$ extérieur au cercle $(C).$ Construisons le cercle $(C')$ symétrique de $(C)$ par rapport à $E.$
Pour construire $(C')$, on construit d'abord le symétrique $I'$ du centre $I$ de $(C)$ par rapport à $E.$
Puis, on choisit le point $M$ appartenant au cercle $(C)$ et on construit son symétrique $M'$ par rapport à $E.$
Ensuite, on trace le cercle de centre $I'$ et passant par $M'.$ C'est le cercle $(C').$
7) La mesure du périmètre du cercle $(C')$ est égale à $18.84\;cm$
Justifions notre réponse.
En effet, on sait que : Le symétrique d'un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon.
Or, $(C')$ est le symétrique de $(C)$ par rapport à $E.$
Par conséquent, ces deux cercles ont même rayon et donc, le même périmètre.
D'où, $\boxed{\text{Périmètre de }(C')=\text{Périmètre de }(C)=18.84\;cm}$
Exercice 23
1) Construisons le triangle $MNP$ tel que
$$MN=7\;cm\;;\ \widehat{MNP}=64^{\circ}\ \text{ et }\ NP=10\;cm$$
2) Plaçons le point $A$ sur le segment $[NP]$ tel que $NA=3.5\;cm$
3) On appelle $O$ le milieu du segment $[AM].$ Construisons les points $J\ $ et $\ K$ symétriques respectifs des points $N\ $ et $\ P$ par rapport à $O.$
4) Le point $M$ est le symétrique du point $A$ par rapport à $O.$
Justifions notre réponse.
Comme $O$ est le le milieu du segment $[AM]$ alors, les points $A\ $ et $\ M$ sont symétriques par rapport à $O.$
D'où, $M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O.$
5) On veut montrer que les droites $(MN)\ $ et $\ (AJ)$ sont parallèles. Pour cela, recopions et complétons le texte de démonstration suivant :
Dans la symétrie centrale de centre $O$,
$M$ a pour symétrique $A$
$N$ a pour symétrique $J$
Donc, la droite $(MN)$ a pour symétrique la droite $(AJ)$ et on a $(MN)$ parallèle à $(AJ).$
6) En utilisant la même démarche montrons que les longueurs $JK\ $ et $\ NP$ sont égales.
Dans la symétrie centrale de centre $O$,
$N$ a pour symétrique $J$
$P$ a pour symétrique $K$
Donc, le segment $[NP]$ a pour symétrique le segment $[JK]$ et on a $NP=JK.$
7) En utilisant la même démarche montrons que les angles $\widehat{JPM}\ $ et $\ \widehat{NKA}$ ont même mesure.
Dans la symétrie centrale de centre $O$,
$J$ a pour symétrique $N$
$P$ a pour symétrique $K$
$M$ a pour symétrique $A$
Donc, l'angle $\widehat{JPM}$ a pour symétrique l'angle $\widehat{NKA}$ et on a $\widehat{JPM}\ $ et $\ \widehat{NKA}$ de même mesure.
8) Montrons que les points $K\;,\ M\ $ et $\ J$ sont alignés.
Dans la symétrie centrale de centre $O$,
$P$ a pour symétrique $K$
$A$ a pour symétrique $M$
$N$ a pour symétrique $J$
On sait que les points $P\;;\ A\ $ et $\ N$ sont alignés.
Or, les symétriques de trois points alignés par rapport à un point sont aussi trois points alignés.
Par conséquent, les points $K\;,\ M\ $ et $\ J$ sont alignés.
Exercice 24
On donne un segment $[AM].$
1) Construisons le triangle $ABC$ tel que $\widehat{ABC}=74^{\circ}\ $ et $\ \widehat{ACB}=58^{\circ}\;,\ B\ $ et $\ C$ distincts de $M.$
2) Plaçons le point $O$ milieu du segment $[AM].$
3) Construisons les points $N\ $ et $\ P$ symétriques respectifs des points $B\ $ et $\ C$ par rapport au point $O.$
4) Justifions que $M$ est le symétrique du point $A$ par rapport à $O.$
Comme $O$ est le milieu du segment $[AM]$ alors, les points $A\ $ et $\ M$ sont symétriques par rapport à $O.$
D'où, $M$ est le symétrique du point $A$ par rapport à $O.$
5) Les droites $(AB)\ $ et $\ (NM)$ sont parallèles.
Justifions notre réponse.
On a :
$M$ symétrique de $A$ par rapport à $O$
$N$ symétrique de $B$ par rapport à $O$
Donc, $(MN)$ est le symétrique de $(AB)$ par rapport au point $O.$
Or, on sait que : le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.
Par conséquent, les droites $(AB)\ $ et $\ (NM)$ sont parallèles.
6) Les points $A\;,\ P\ $ et $\ N$ ne sont pas alignés.
Justifions notre réponse.
On sait que les symétriques de points non alignés sont des points non alignés.
Or, on remarque que les points $M\;;\ C\ $ et $\ B$ ne sont pas alignés.
Par conséquent, leurs symétriques respectifs $A\;,\ P\ $ et $\ N$ ne sont pas alignés.
7) Construisons le cercle de diamètre $[AB]$ et appelle $S$ son centre puis, construisons le symétrique de ce cercle par rapport à $O.$
Pour construire le symétrique de ce cercle, on construit d'abord le symétrique $T$ du centre $S$ par rapport à $O$ puis, on trace le cercle de centre $T$ et de même rayon.
$[MN]$ est le diamètre du cercle de centre $T.$
On a :
$M$ symétrique de $A$ par rapport à $O$
$N$ symétrique de $B$ par rapport à $O$
Donc, $[MN]$ est le symétrique de $[AB]$ par rapport à $O.$
Comme $[AB]$ est diamètre du cercle de centre $S$ alors, $[MN]$ est diamètre du symétrique de ce cercle par rapport à $O.$
D'où, $[MN]$ est le diamètre du cercle de centre $T.$
Exercice 25
Soit $ABC$ un triangle tel que $\widehat{BCA}=30^{\circ}\ $ et $\ (d)$ la hauteur passant par $A$ ; la droite $(d)$ coupe la droite $(BC)$ en $H.$
1) La mesure de l'angle $\widehat{HAC}$ est égale à $60^{\circ}$
En effet, comme $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ alors, le triangle $AHC$ est rectangle en $H.$
Or, on sait que : dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.
Ce qui signifie que : $\widehat{HAC}+\widehat{BCA}=90^{\circ}$
Ce qui donne : $\widehat{HAC}=90^{\circ}-\widehat{BCA}$
En remplaçant $\widehat{BCA}$ par sa valeur, on obtient :
$\begin{array}{rcl}\widehat{HAC}&=&90^{\circ}-\widehat{BCA}\\\\&=&90^{\circ}-30^{\circ}\\\\&=&60^{\circ}\end{array}$
D'où, $\boxed{\widehat{HAC}=60^{\circ}}$
2) Soit les points $D\;,\ E\ $ et $\ F$ symétriques respectifs des points $B\;,\ H\ $ et $\ C$ par rapport au point $A.$
a) Justifions que les points $D\;,\ E\;,\ F$ sont alignés.
On a : $H\in[BC]$ donc, les points $B\;,\ H\ $ et $\ C$ sont alignés.
On sait que : les symétriques de points alignés par rapport à un point sont des points alignés.
Or, les points $D\;,\ E\ $ et $\ F$ sont symétriques respectifs des points $B\;,\ H\ $ et $\ C$ par rapport au point $A.$
Donc, ils sont alignés.
b) La mesure de l'angle $\widehat{AED}$ est égale à $90^{\circ}$
Justifions notre réponse.
On a :
$E$ est le symétrique de $H$ par rapport à $A$
$D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$
$A$ est le symétrique de $A$ par rapport à $A$
Donc, l'angle $\widehat{AED}$ est le symétrique de l'angle $\widehat{AHB}$ par rapport au point $A.$
Par conséquent, ces deux angles sont de même mesure.
D'où, $\boxed{\widehat{AED}=90^{\circ}}$
c) Construisons le cercle circonscrit au triangle $AFD.$
Pour cela, on trace les trois médiatrices du triangle $AFD$ et leur point de rencontre $I$ représente le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
d) Construisons le plus simplement possible le cercle circonscrit au triangle $ABC.$
On sait que les triangles $ABC\ $ et $\ AFD$ sont symétriques par rapport au point $A.$
Donc, le cercle circonscrit au triangle $ABC$ est symétrique du cercle circonscrit au triangle $AFD$ par rapport à $A.$
Alors, on construit le symétrique $J$ du centre $I$ par rapport à $A$ puis, on trace le cercle de centre $J$ et passant par les sommets $A\;;\ B\ $ et $\ C.$ C'est le cercle circonscrit au triangle $ABC.$
Exercice 26
1) Construisons un triangle isocèle $ISO$ en $I$ et plaçons un point $A.$
2) Construisons le symétrique $I'S'O'$ du triangle $ISO$ par rapport au point $A.$
3) Le triangle $I'S'O'$ est isocèle en $I'.$
Justifions notre réponse.
On sait que le symétrique d'un triangle par rapport à un point est triangle de même nature.
Or, $ISO$ est isocèle en $I.$
Donc, son symétrique $I'S'O'$ par rapport à $A$ est aussi isocèle en $I'.$
4) Construisons la hauteur $[Ix)$ du triangle $ISO$ et son symétrique $[I'x')$ par rapport à $A.$
5) Le symétrique $[I'x')\ $ de $\ [Ix)$ par rapport à $A$ représente la hauteur du triangle $I'S'O'$ issue de $I'.$
Exercice 27
1) Traçons le triangle $ABC$ tel que $AC=8\;cm\;;\ \widehat{ABC}=50^{\circ}\ $ et $\ BC=10\;cm$ et plaçons le point $M$ du segment $[BC]$ tel que $CM=3\;cm.\ O$ est le milieu du segment $[AM].$
2) Construisons les points $G\ $ et $\ H$ symétriques respectifs des points $B\ $ et $\ C$ par rapport à $O.$
3) Démontrons que les longueurs $GH\ $ et $\ BC$ sont égales.
On a :
$G$ symétrique de $B$ par rapport à $O.$
$H$ symétrique de $C$ par rapport à $O.$
Donc, le segment $[GH]$ est le symétrique du segment $[BC]$ par rapport au point $O.$
Or, on sait que : le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
D'où, les longueurs $GH\ $ et $\ BC$ sont égales.
4) Démontrons que les droites $(AB)\ $ et $\ (MG)$ sont parallèles.
Comme $O$ est milieu de $[AM]$ alors, $M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O.$
On a aussi, $G$ symétrique de $B$ par rapport à $O.$
Donc, la droite $(MG)$ est le symétrique de la droite $(AB)$ par rapport à $O.$
Or, le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.
Ainsi, les droites $(AB)\ $ et $\ (MG)$ sont parallèles.
5) Démontrons que les points $A\;,\ G\ $ et $\ H$ sont alignés.
On a : les points $A\;,\ G\ $ et $\ H$ sont les symétriques respectifs des points $M\;;\ B\ $ et $\ C$ par rapport à $O.$
Or, $M\;;\ B\ $ et $\ C$ sont alignés et les symétriques de points alignés sont des points alignés.
Donc, les points $A\;,\ G\ $ et $\ H$ sont alignés.
Exercice 28
On considère un quadrilatère $ABCD$ surmonté d'un demi-cercle de diamètre $[AB].$
1) Faisons une figure puis, construisons son symétrique par rapport à $B.$ On appellera $A'\;,\ C'\ $ et $\ D'$ les symétriques respectifs des points $A\;,\ C\ $ et $\ D$ par rapport à $B.$
2) $[AD]\ $ et $\ [A'D']$ sont deux segments de même longueur.
On a :
$A'$ symétrique de $A$ par rapport à $B.$
$D'$ symétrique de $D$ par rapport à $B.$
Donc, le segment $[A'D']$ est le symétrique du segment $[AD]$ par rapport au point $B.$
Comme le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur alors, $[AD]\ $ et $\ [A'D']$ ont même longueur.
Remarque : on peut encore trouver d'autres segments qui sont de même longueur.
3) Démontrons que les droites $(AD)\ $ et $\ (A'D')$ sont parallèles.
On a :
$A'$ symétrique de $A$ par rapport à $B.$
$D'$ symétrique de $D$ par rapport à $B.$
Donc, la droite $(A'D')$ est le symétrique de la droite $(AD)$ par rapport au point $B.$
Or, le symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.
D'où, les droites $(AD)\ $ et $\ (A'D')$ sont parallèles.
Exercice 29
La figure $\mathcal{A}_{1}$ ci-dessous représente la lettre $A$ schématisée par trois segments $[MN]\;,\ [NQ]\ $ et $\ [RS].$
1) Construisons la figure $\mathcal{A}_{2}$ symétrique de $\mathcal{A}_{1}$ par rapport à $O.$
2) Construisons la figure $\mathcal{A}_{3}$ symétrique de $\mathcal{A}_{1}$ par rapport à l'axe des abscisses.
3) a) Les coordonnées des points $M\ $ et $\ N$ sont :
$$M(11\;;\ 2)\quad N(9\;;\ 8)$$
b) Les coordonnées des points $M'\ $ et $\ N'$ symétriques respectifs de $M\ $ et $\ N$ par rapport à $O$ sont :
$$M'(-11\;;\ -2)\quad N'(-9\;;\ -8)$$
c) Les coordonnées des points $M''\ $ et $\ N''$ symétriques respectifs de $M\ $ et $\ N$ par rapport à l'axe des abscisses sont :
$$M''(11\;;\ -2)\quad N''(9\;;\ -8)$$
Exercice 30
1) Reproduisons la figure $\mathcal{F}$ ci-dessous.
2) Construisons et colorions différemment l'image $\mathcal{F}'$ de la figure $\mathcal{F}$ par la symétrie de centre $O.$
3) Recopions et complétons le tableau ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Points}&A&A'&E&E'&G&G'\\\hline\text{Abscisses}&1&-1&5&-5&5&-5\\\hline\text{Ordonnées}&1&-1&3&-3&5&-5\\\hline\end{array}$$
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Mouhamed (non vérifié)
jeu, 02/25/2021 - 01:11
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Pdf
Anonyme (non vérifié)
dim, 11/21/2021 - 15:13
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Puis je voire la solution de
Khady diedhiou (non vérifié)
ven, 12/17/2021 - 21:39
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Avoir de la connaissance
Khady diedhiou (non vérifié)
ven, 12/17/2021 - 21:39
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J'apprend
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