Solution des exercices : Trigonométrie - 1e S1

 

1) Démontrons que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, on a :

$$\sqrt{1+\sin4x}=|\sin2x+\cos2x|$$

Soit $x\in\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ alors, $1+\sin4x>0.$

 

Donc, l'écriture $\sqrt{1+\sin4x}$ a un sens.

 

Par ailleurs, on a :

 

$\begin{array}{rcl} 1+\sin4x&=&1+2\sin2x\cos2x\\\\&=&\sin^{2}2x+\cos^{2}2x+2\sin2x.\cos2x\\\\&=&(\sin2x+\cos2x)^{2}\end{array}$

 

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{1+\sin4x}&=&\sqrt{(\sin2x+\cos2x)^{2}}\\\\&=&|\sin2x+\cos2x|\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\sqrt{1+\sin4x}=|\sin2x+\cos2x|}$

 

2) Démontrons que

$$16\sin\dfrac{\pi}{24}\sin\dfrac{7\pi}{24}\sin\dfrac{5\pi}{24}\sin\dfrac{11\pi}{24}=1$$

En utilisant la formule de multiplication par $2$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} 2\sin\dfrac{7\pi}{24}\sin\dfrac{\pi}{24}&=&\cos\left(\dfrac{7\pi}{24}-\dfrac{\pi}{24}\right)-\cos\left(\dfrac{7\pi}{24}+\dfrac{\pi}{24}\right)\\\\&=&\cos\dfrac{6\pi}{24}-\cos\dfrac{8\pi}{24}\\\\&=&\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\dfrac{\pi}{3}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{\sin\dfrac{7\pi}{24}\sin\dfrac{\pi}{24}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}}$

 

De même,

 

$\begin{array}{rcl} 2\sin\dfrac{11\pi}{24}\sin\dfrac{5\pi}{24}&=&\cos\left(\dfrac{11\pi}{24}-\dfrac{5\pi}{24}\right)-\cos\left(\dfrac{11\pi}{24}+\dfrac{5\pi}{24}\right)\\\\&=&\cos\dfrac{6\pi}{24}-\cos\dfrac{16\pi}{24}\\\\&=&\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\dfrac{2\pi}{3}\\\\&=&\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\dfrac{\pi}{3}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{\sin\dfrac{11\pi}{24}\sin\dfrac{5\pi}{24}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{4}}$

 

Ainsi, en regroupant ces deux derniers résultats, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} 16\sin\dfrac{\pi}{24}\sin\dfrac{7\pi}{24}\sin\dfrac{5\pi}{24}\sin\dfrac{11\pi}{24}&=&16\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}+1}{4}\right)\\\\&=&16\dfrac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{16}\\\\&=&(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)\\\\&=&(\sqrt{2})^{2}-(1)^{2}\\\\&=&2-1\\\\&=&1\end{array}$

 

Ce qui prouve que : $\boxed{16\sin\dfrac{\pi}{24}\sin\dfrac{7\pi}{24}\sin\dfrac{5\pi}{24}\sin\dfrac{11\pi}{24}=1}$

 

3) L'équation $x^{2}-5x+3=0$ possède deux racines $x_{1}\ $ et $\ x_{2}.$

 

Soient $\alpha\ $ et $\ \beta$ deux réels tels que : $x_{1}=\tan\alpha\ $ et $\ x_{2}=\tan\beta.$

 

Calculons $\tan(\alpha+\beta)$

 

On a : $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

 

Or, $x_{1}=\tan\alpha\ $ et $\ x_{2}=\tan\beta.$

 

Donc, $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{1-x_{1}.x_{2}}$

 

Par ailleurs, on sait que $x_{1}\ $ et $\ x_{2}$ sont les racines de l'équation $x^{2}-5x+3=0.$

 

Par conséquent, $x_{1}+x_{2}=5\ $ et $x_{1}\times x_{2}=3$

 

Ainsi,

 

$\begin{array}{rcl}\tan(\alpha+\beta)&=&\dfrac{x_{1}+x_{2}}{1-x_{1}.x_{2}}\\\\&=&\dfrac{5}{1-3}\\\\&=&-\dfrac{5}{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\tan(\alpha+\beta)=-\dfrac{5}{2}}$