Solution des exercices : Trigonométrie - 1e S1
Classe:
Première
Exercice 1
1) Démontrons que pour tout réel xx de l'intervalle [0; π2][0; π2], on a :
√1+sin4x=|sin2x+cos2x|√1+sin4x=|sin2x+cos2x|
Soit x∈[0; π2]x∈[0; π2] alors, 1+sin4x>0.1+sin4x>0.
Donc, l'écriture √1+sin4x√1+sin4x a un sens.
Par ailleurs, on a :
1+sin4x=1+2sin2xcos2x=sin22x+cos22x+2sin2x.cos2x=(sin2x+cos2x)2
Par suite,
√1+sin4x=√(sin2x+cos2x)2=|sin2x+cos2x|
D'où, √1+sin4x=|sin2x+cos2x|
2) Démontrons que
16sinπ24sin7π24sin5π24sin11π24=1
En utilisant la formule de multiplication par 2, on obtient :
2sin7π24sinπ24=cos(7π24−π24)−cos(7π24+π24)=cos6π24−cos8π24=cosπ4−cosπ3=√22−12
Donc, sin7π24sinπ24=√2−14
De même,
2sin11π24sin5π24=cos(11π24−5π24)−cos(11π24+5π24)=cos6π24−cos16π24=cosπ4−cos2π3=cosπ4+cosπ3=√22+12
Donc, sin11π24sin5π24=√2+14
Ainsi, en regroupant ces deux derniers résultats, on obtient :
16sinπ24sin7π24sin5π24sin11π24=16(√2−14)(√2+14)=16(√2−1)(√2+1)16=(√2−1)(√2+1)=(√2)2−(1)2=2−1=1
Ce qui prouve que : 16sinπ24sin7π24sin5π24sin11π24=1
3) L'équation x2−5x+3=0 possède deux racines x1 et x2.
Soient α et β deux réels tels que : x1=tanα et x2=tanβ.
Calculons tan(α+β)
On a : tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
Or, x1=tanα et x2=tanβ.
Donc, tan(α+β)=x1+x21−x1.x2
Par ailleurs, on sait que x1 et x2 sont les racines de l'équation x2−5x+3=0.
Par conséquent, x1+x2=5 et x1×x2=3
Ainsi,
tan(α+β)=x1+x21−x1.x2=51−3=−52
D'où, tan(α+β)=−52
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Aimé Neradion G... (non vérifié)
mar, 03/01/2022 - 20:29
Permalien
C'est bon généralement les
Aimé Neradion G... (non vérifié)
mar, 03/01/2022 - 20:29
Permalien
C'est bon généralement les
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