Solution des exercices : Trigonométrie - 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1

1) Démontrons que pour tout réel xx de l'intervalle [0; π2][0; π2], on a :
1+sin4x=|sin2x+cos2x|1+sin4x=|sin2x+cos2x|
Soit x[0; π2]x[0; π2] alors, 1+sin4x>0.1+sin4x>0.
 
Donc, l'écriture 1+sin4x1+sin4x a un sens.
 
Par ailleurs, on a :
 
1+sin4x=1+2sin2xcos2x=sin22x+cos22x+2sin2x.cos2x=(sin2x+cos2x)2
 
Par suite,
 
1+sin4x=(sin2x+cos2x)2=|sin2x+cos2x|
 
D'où, 1+sin4x=|sin2x+cos2x|
 
2) Démontrons que
16sinπ24sin7π24sin5π24sin11π24=1
En utilisant la formule de multiplication par 2, on obtient :
 
2sin7π24sinπ24=cos(7π24π24)cos(7π24+π24)=cos6π24cos8π24=cosπ4cosπ3=2212
 
Donc, sin7π24sinπ24=214
 
De même,
 
2sin11π24sin5π24=cos(11π245π24)cos(11π24+5π24)=cos6π24cos16π24=cosπ4cos2π3=cosπ4+cosπ3=22+12
 
Donc, sin11π24sin5π24=2+14
 
Ainsi, en regroupant ces deux derniers résultats, on obtient :
 
16sinπ24sin7π24sin5π24sin11π24=16(214)(2+14)=16(21)(2+1)16=(21)(2+1)=(2)2(1)2=21=1
 
Ce qui prouve que : 16sinπ24sin7π24sin5π24sin11π24=1
 
3) L'équation x25x+3=0 possède deux racines x1  et  x2.
 
Soient α  et  β deux réels tels que : x1=tanα  et  x2=tanβ.
 
Calculons tan(α+β)
 
On a : tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ
 
Or, x1=tanα  et  x2=tanβ.
 
Donc, tan(α+β)=x1+x21x1.x2
 
Par ailleurs, on sait que x1  et  x2 sont les racines de l'équation x25x+3=0.
 
Par conséquent, x1+x2=5  et x1×x2=3
 
Ainsi,
 
tan(α+β)=x1+x21x1.x2=513=52
 
D'où, tan(α+β)=52

 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

C'est bon généralement les démonstrations sauf que c'est peu la série d'exercices.

C'est bon généralement les démonstrations sauf que c'est peu la série d'exercices.

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