Solution des exercices : Trigonométrie 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1
Soit RSU un triangle rectangle en U tel que RS=3 et SU=2

1) Calculons RU
RSU rectangle en U, alors d'après le théorème de Pythagore on a : RS2=RU2+SU2
Donc,
RU2=RS2−SU2=32−22=9−4=5
D'où, RU=√5
2) Calculons cosˆR, sinˆR, cosˆS, sinˆS et tanˆS
On a :
cosˆR=RURS=√53
sinˆR=SURS=23
cosˆS=SURS=23
sinˆS=RURS=√53
Autrement, comme RSU est rectangle en U alors ˆR et ˆS sont complémentaires.
Donc, cosˆS=sinˆR et sinˆS=cosˆR
D'où, cosˆS=23 et sinˆS=√53
On a :
tanˆS=sinˆScosˆS=√5323=√5×33×2=√52
Donc, tanˆS=√52
Exercice 2
1) Soit ABC un triangle rectangle en A tel que ^ABC=56o et BC=4.2cm.

Calculons AB
On a : cos^ABC=ABBC
donc, AB=BC×cos^ABC
comme ^ABC=56o alors, cos^ABC=cos56o=0.56
ainsi, AB=BC×0.56=4.2×0.56=2.35
d'où, AB=2.35cm
Calculons AC
On a : sin^ABC=ACBC
donc, AC=BC×sin^ABC
or, sin^ABC=sin56o=0.83
ainsi, AC=BC×0.83=4.2×0.83=3.49
d'où, AC=3.49cm
2) Construisons un triangle OIE rectangle en O tel que ^OEI=72o et OE=2cm.

Calculons l'arrondi au dixième près de OI.
On a : tan^OEI=OIOE
donc, OI=OE×tan^OEI
or, tan^OEI=tan72o≃3.08
ainsi, OI=OE×3.08=2×3.08=6.1
d'où, OI=6.1cm
En vérifiant sur la figure, on obtient la même mesure pour OI.
Exercice 3
1) ABC est un triangle rectangle en C tel que : CB=4cm et AC=3cm.

Calculons sinˆB
On a : sinˆB=ACAB
comme ABC est rectangle en C alors, d'après le théorème de Pythagore on a : AB2=AC2+CB2
donc,
AB=√AC2+CB2=√9+16=√25=5
ainsi, sinˆB=35=0.6
d'où, sinˆB=0.6
Calculons cosˆB
On a : cosˆB=CBAB
donc, cosˆB=45=0.8
ainsi, cosˆB=0.8
Calculons tanˆB
On sait que tanˆB=sinˆBcosˆB
alors, tanˆB=0.60.8=0.75
On en déduit alors, mesˆB=36.8∘
2) Considérons le triangle HBC rectangle en H tel que mesˆB=60∘ et HB=4cm

Calculons la distance BC
Comme cosˆB=HBBC alors, BC×cosˆB=HB
donc, BC=HBcosˆB
or, cosˆB=cos60∘=0.5
ainsi, BC=40.5=8
d'où, BC=8cm
Calculons la distance HC
On sait que sinˆB=HCBC
ce qui entraine alors, HC=BC×sinˆB
or, sinˆB=√32
donc, HC=8×√32=4√3
Ainsi, HC=4√3cm
3) Considérons un triangle ABC rectangle en B tel que :
mesˆA=30∘ et CB=5cm.

Calculons AC
On a : sinˆA=CBAC
donc, AC×sinˆA=CB
ce qui entraine alors, AC=CBsinˆA avec sinˆA=sin30∘=12
ainsi, AC=2CB=10
d'où, AC=10cm
Calculons AB
Pour cela, on peut soit utiliser le théorème de Pythagore : AC2=AB2+CB2
soit exploiter tout simplement le cosinus de l'angle ˆA
et dans ce cas on aura : cosˆA=ABAC
donc, AB=AC×cosˆA avec cosˆA=cos30∘=√32
par suite, AB=10×√32
ainsi, AB=5√3cm
4) Soit STV un triangle rectangle en T tel que :
tanˆS=43 et TV=√6cm.
Calculons ST
On sait que tanˆS=TVST=43
donc, ST×4=TV×3
par suite, ST=TV×34
ainsi, ST=√6×34=3√64
ce qui donne, ST=3√64cm
Calculons SV
STV étant rectangle en T alors, en utilisant le théorème de Pythagore on aura : SV2=ST2+TV2
et par suite :
SV=√ST2+TV2=√(3√64)2+(√6)2=√5416+6=√54+964=5√64
d'où SV=5√64cm
5) Dans le triangle ABC rectangle en B, on donne : sinˆA=√53.
Calculons cosˆA
ˆA un angle aigu alors on a : cos2ˆA+sin2ˆA=1
ainsi,
cosˆA=√1−sin2ˆA=√1−59=√9−59=√49=23
d'où, cosˆA=23
Calculons tanˆA
On a :
tanˆA=sinˆAcosˆA=√5323=√5×33×2=√52
6) Soit ˆA et ˆB deux angles aigus tels que :
cosˆA=√3−16 et sinˆB=√6−√2√72
Montrons que ˆA et ˆB sont deux angles complémentaires.
On sait que si deux angles aigus ˆA et ˆB sont complémentaires alors, cosˆA=sinˆB
On a :
sinˆB=√6−√2√72=√6−√26√2=(√6−√2)×√212=√12−212=2√3−212=√3−16
On voit bien que sinˆB=cosˆA=√3−16.
Ce qui montre que ˆA et ˆB sont deux angles complémentaires.
Exercice 4
ABC est un triangle rectangle en B tel que AC=10cm et BC=5cm. I est un point de [AB] tel que AI=5cm. La perpendiculaire à (AB) passant par I coupe [AC] en J.

1) En utilisant le sinus de ^BAC, montrons que IJAJ=BCAC puis, calculons IJ.
En effet, comme le triangle ABC est rectangle en B alors, on a :
sin^BAC=BCAC(égalité 1)
Par ailleurs, on sait que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (AB) en I.
Donc, le triangle AIJ est rectangle en I.
Par suite, le sinus de l'angle ^BAC peut encore s'écrire :
sin^BAC=IJAJ(égalité 2)
Ainsi, en comparant les égalités (1) et (2), on obtient :
IJAJ=BCAC
− Calcul de IJ
En effet, les droites (IJ) et (BC) sont perpendiculaires à la même droite (AB).
Donc, (IJ) et (BC) sont parallèles.
Par suite, les triangles ABC et AIJ sont en position de Thalès.
Ainsi, en utilisant le théorème de Thalès, on obtient :
IJBC=AIAB
Ce qui donne : IJ=AI×BCAB
Déterminons alors la longueur AB
Le triangle ABC étant rectangle en B alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AB2+BC2=AC2
Ce qui entraine : AB2=AC2−BC2
Ainsi,
AB=√AC2−BC2=√(10)2−(5)2=√100−25=√75=√25×3=√25×√3=5√3
Donc, AB=5√3cm
Remplaçons alors AB, BC et AI par leur valeur, dans l'expression de IJ.
On trouve :
IJ=AI×BCAB=5×55√3=5√3=5×√3√3×√3=5√33
IJ=5√33cm
2) Calculons sin^BAC et en déduisons sa mesure en degrés.
Le triangle ABC étant rectangle en B alors, on a :
sin^BAC=BCAC
En remplaçant BC et AC par leur valeur, on obtient : sin^BAC=510=12
Ainsi, sin^BAC=12
Comme ^BAC est un angle aigu dont le sinus est égal à 12 alors, sa mesure est de 30∘.
D'où, mes^BAC=30∘
Exercice 5
(C) est un cercle de centre O et de rayon r. [BC] est un diamètre du cercle et A un point de (C) tel que AB=r.
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1) Montrons que le triangle ABC est rectangle en A.
Comme [BC] est un diamètre du cercle alors, les points B et C sont sur le cercle (C).
Aussi, A est un point de (C).
Donc, ABC est un triangle inscrit dans le cercle (C) et dont le côté [BC] est un diamètre de ce cercle.
Par conséquent, c'est un triangle rectangle en A.
2) Calculons AC en fonction de r.
Le triangle ABC étant rectangle en A alors, en utilisant le théorème de Pythagore, on a :
AC2+AB2=BC2
Ce qui entraine : AC2=BC2−AB2
Comme [BC] est un diamètre du cercle (C) de rayon r alors, BC=2r.
Donc, en remplaçant BC et AB par leur valeur, on obtient :
AC=√BC2−AB2=√(2r)2−(r)2=√4r2−r2=√3r2=√r2×3=√r2×√3=|r|√3=r√3
Donc, AC=r√3cm
3) Calculons le sinus de l'angle ^ABC.
Le triangle ABC étant rectangle en A alors, le sinus de l'angle ^ABC est donné par :
sin^ABC=ACBC
En remplaçant, AB et BC par leur valeur, on trouve :
sin^ABC=r√32r=√32
Ainsi, sin^ABC=√32
Exercice 6
Soit un cercle (C) de centre O et de rayon r. [AB] est un diamètre de ce cercle et I milieu de [OA]. La perpendiculaire à la droite (AB) passant par I coupe le cercle en deux points D et E.
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1) Démontrons que ABD est un triangle rectangle puis, montrons que AD=r.
En effet, [AB] est un diamètre du cercle (C) alors, les extrémités A et B sont sur ce cercle.
Aussi, le point D appartient au cercle (C).
Donc, ABD est un triangle inscrit dans le cercle (C) et dont le côté [AB] est un diamètre de ce cercle.
Par conséquent, ABD est un triangle rectangle en D.
Montrons que AD=r.
On a : ABD est un triangle rectangle en D et la droite (ID) est perpendiculaire à la droite (BC) en I.
Donc, (ID) est la hauteur issue de D et le point I est le pied de cette hauteur sur [AB].
Ainsi, en utilisant la deuxième relation métrique, on obtient :
AD2=AI×AB
Or, [AB] est un diamètre du cercle (C) de rayon r donc, AB=2r.
De plus, I est milieu de [OA].
Ce qui signifie que AI=OA2=r2.
En remplaçant AI et AB par leur valeur, on trouve :
AD2=AI×AB=r2×2r=2r22=r2
Ainsi,
AD=√r2=|r|=r
D'où, AD=r
2) Calculons cos^DAB.
Comme le triangle ABD est rectangle en D alors, le cosinus de l'angle ^DAB est donné par :
cos^DAB=ADAB
En remplaçant, AD et AB par leur valeur, on obtient :
cos^DAB=r2r=12
Donc, cos^DAB=12
En déduisons sin^DBO.
En effet, dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.
Donc, les angles ^DAB et ^DBO sont complémentaires.
Or, si deux angles sont complémentaires alors, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre.
Ce qui signifie que : sin^DBO=cos^DAB=12
D'où, sin^DBO=12
3) Démontrons que AI2AD2+DB2AB2=1
On a : AI2AD2+DB2AB2=(AIAD)2+(DBAB)2
Or, on remarque que :
AIAD=cos^DAB
DBAB=sin^DAB
Donc, en remplaçant AIAD et DBAB par leur expression, on obtient :
(AIAD)2+(DBAB)2=(cos^DAB)2+(sin^DAB)2=1
D'où, AI2AD2+DB2AB2=1
Exercice 7
Soit ABC un triangle isocèle de sommet A tel que ˆB=30∘ et BC=6cm. On appelle I milieu de [BC].
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1) Calculons AB et AI
− Calcul de AB
Comme ABC est un triangle isocèle de sommet A et I milieu de [BC] alors, (AI) est la hauteur issue de A.
Donc, (AI) est perpendiculaire à (BC).
Par suite, ABI est un triangle rectangle en I.
Ainsi, en utilisant le cosinus de l'angle ˆB, on obtient :
cosˆB=BIAB
Ce qui donne : AB=BIcosˆB
Or, ˆB=30∘ et BI=BC2
Donc, cosˆB=cos30∘=√32 et BI=62=3
En remplaçant BI et cosˆB par leur valeur, dans l'expression de AB, on trouve :
AB=BIcosˆB=3√32=3×2√3=6√3=6√33=2√3
D'où, AB=2√3cm
− Calcul de AI
Comme ABI est un triangle rectangle en I alors, en utilisant le sinus de l'angle ˆB, on obtient :
sinˆB=AIAB
Ce qui donne : AI=AB×sinˆB
Or, sinˆB=sin30∘=12.
Donc, en remplaçant AB et sinˆB par leur valeur, dans l'expression de AI, on trouve :
AI=AB×sinˆB=2√3×12=2√32=√3
Ainsi, AI=√3cm
2) Calculons l'aire S du triangle ABC puis, donnons son encadrement à 0.1cm2 près sachant que 1.732<√3<1.733
− Calcul de l'aire S du triangle ABC
En effet, on sait que l'aire S d'un triangle est donnée par :
S=Base×Hauteur2
Ainsi, pour le triangle ABC, on a :
S=BC×AI2
En remplaçant BC et AI par leur valeur, on obtient :
S=BC×AI2=6×√32=6√32=3√3
D'où, S=3√3cm2
− Encadrement de S
Soit : S=3√3
On a : 1.732<√3<1.733
Alors, en multipliant chaque membre de cette inégalité par 3, on trouve :
3×1.732<3×√3<3×1.733
Ce qui donne : 5.196<3√3<5.199
D'où, un encadrement à 0.1cm2 près est donné par :
5.1<S<5.2
Exercice 8
KLM est un triangle KL=4cm; LM=4√3; KM=8cm.
1) Montrons que KLM est un triangle rectangle.
Calculons les carrés des longueurs des côtés du triangle KLM.
On a :
KM2=82=64
KL2=42=16
LM2=(4√3)2=16×3=48
Alors, KL2+LM2=16+48=64
Nous remarquons que KL2+LM2=KM2
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLM est rectangle en L.
2) Faisons une figure.
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3) Calculons LH et KH, H étant le projeté orthogonal de L sur (KM).
− Calcul de LH
Comme KLM est un triangle rectangle en L alors, le sinus de l'angle ^MKL est donné par :
sin^MKL=LMKM(égalité 1)
Par ailleurs, H est le projeté orthogonal de L sur (KM) donc, (LH) est la hauteur issue de L.
Ainsi, KLH est aussi un triangle rectangle en H.
Par suite, le sinus de l'angle ^MKL est encore donné par :
sin^MKL=LHKL(égalité 2)
En comparant les égalité (1) et (2), on trouve :
LHKL=LMKM
Ce qui entraine : LH=LM×KLKM
En remplaçant LM, KL et KM par leur valeur, on obtient :
LH=LM×KLKM=4√3×48=16√38=2√3
D'où, LH=2√3cm
− Calcul de KH
Le triangle KLM étant rectangle en L alors, en utilisant la deuxième relation métrique, on trouve :
KL2=KH×KM
Par suite, KH=KL2KM
En remplaçant KL et KM par leur valeur, on obtient :
KH=KL2KM=428=168=2
D'où, KH=2cm
4) Soit I le projeté orthogonal de H sur (ML). Calculons IH.
Comme I le projeté orthogonal de H sur (ML) alors, (IH) est perpendiculaire à (LM).
Ainsi, (KL) et (IH) sont deux droites perpendiculaires à une même droite (LM).
Donc, elles sont parallèles.
Par suite, les triangles KLM et MHI sont en position de Thalès.
Ainsi, en appliquant le théorème de Thalès, on a :
IHKL=MHKM
Ce qui entraine : IH=MH×KLKM
Or, MH=KM−KH=8−2=6cm
Donc, en remplaçant MH, KL et KM par leur valeur, on obtient :
IH=MH×KLKM=6×48=248=3
D'où, IH=3cm
Exercice 9
1) On donne une valeur trigonométrique déduisons-en les autres :
Soit : cosx=14
On sait que : cos2x+sin2x=1
Ce qui entraine : sin2x=1−cos2x
Ainsi, sinx=√1−cos2x
Donc, en remplaçant cosx par sa valeur 14, on obtient :
sinx=√1−cos2x=√1−(14)2=√1−116=√1616−116=√1516=√15√16=√154
D'où, sinx=√154
On a : tanx=sinxcosx
Alors, en remplaçant sinx et cosx par leur valeur, on trouve :
tanx=sinxcosx=√15414=√154×41=√15
Donc, tanx=√15
2) Construisons un triangle COS tel que ^OCS=75∘ et ^CSO=55∘.
Plaçons deux points E et F sur la droite (CO) tels que S soit le projeté orthogonal de F sur (OS) et EF=8cm.
Plaçons le point R projeté orthogonal de E sur (OS). On appelle I et J les projetés orthogonaux respectifs de E et F sur (CS).
Calculons les arrondis au dixième de IJ et RS.
− Calcul de IJ
En effet, comme I et J sont les projetés orthogonaux respectifs de E et F sur (CS) alors, les triangles EIC et FJC sont rectangles respectivement en I et J.
Ainsi, on a :
cos^ECI=ICEC ⇒ IC=EC×cos^ECI
cos^FCJ=JCFC ⇒ JC=FC×cos^FCJ
Or, cos^ECI=cos^FCJ=cos75∘
Par ailleurs, on sait que : IJ=IC+JC.
Alors, en remplaçant IC et JC par leur expression, on trouve :
IJ=IC+JC=EC×cos^ECI+FC×cos^FCJ=EC×cos75∘+FC×cos75∘=cos75∘×(EC+FC)=cos75∘×EF
Donc, IJ=EF×cos75∘
Or, EF=8cm et cos75∘=0.2588
Par suite,
IJ=EF×cos75∘=8×0.2588=2.0704
D'où, en arrondissant au dixième près, on trouve : IJ≃2.1cm
− Calcul de RS
En effet, on sait que dans un triangle la somme des angles est égale à 180∘.
Donc, ^COS+^OCS+^CSO=180∘
Ainsi, ^COS=180∘−75∘−55∘=50∘
S et R étant les projetés orthogonaux respectifs de F et E sur (OS) alors, les triangles FOS et ERO sont rectangles respectivement en S et R.
Ainsi, on a :
cos^EOR=OROE ⇒ OR=OE×cos^EOR
cos^FOS=OSOF ⇒ OS=OF×cos^FOS
Or, cos^EOR=cos^FOS=cos50∘
Par ailleurs, on sait que : RS=OS−OR.
Alors, en remplaçant OS et OR par leur expression, on trouve :
RS=OS−OR=OF×cos^FOS−OE×cos^EOR=OF×cos50∘−OE×cos50∘=cos50∘×(OF−OE)=cos50∘×EF
Donc, RS=EF×cos50∘
Or, EF=8cm et cos50∘=0.6427
Par suite,
RS=EF×cos50∘=8×0.6427=5.1416
D'où, en arrondissant au dixième près, on trouve : RS≃5.1cm
Sur le dessin, en mesurant les longueurs IJ et RS, on trouve :
IJ=2.07cm
RS=5.14cm
Ce qui vérifie bien les résultats trouvés.

Exercice 10
1) OAB est un triangle, OA=√10; OB=3√10 et AB=10cm.
Déterminons la nature de OAB.
Pour cela, calculons les carrés des longueurs des côtés du triangle OAB.
On a :
AB2=102=100
OA2=(√10)2=10
OB2=(3√10)2=9×10=90
Alors, OA2+OB2=10+90=100
Nous constatons que OA2+OB2=AB2
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en O.
2) Calculons le cosinus de l'angle ^OBA.
Le triangle OAB étant rectangle en O alors, le cosinus de l'angle ^OBA est donné par :
cos^OBA=OBAB
En remplaçant OB et AB par leur valeur, on obtient :
cos^OBA=OBAB=3√1010
D'où, cos^OBA=3√1010
En déduisons sin^OBA
On sait que : cos2^OBA+sin2^OBA=1
Ce qui entraine : sin2^OBA=1−cos2^OBA
Ainsi, sin^OBA=√1−cos2^OBA
Donc, en remplaçant cos^OBA par sa valeur, on obtient :
sin^OBA=√1−cos2^OBA=√1−(3√1010)2=√1−90100=√100100−90100=√10100=√10√100=√1010
D'où, sin^OBA=√1010
3) Sachant que 3.162<√10<3.163 donnons la valeur approchée par défaut à l'ordre 4 de cos^OBA.
Pour cela, encadrons d'abord cos^OBA.
On a : 3.162<√10<3.163
Alors, en multipliant chaque membre de cette inégalité par 3, on obtient :
3×3.162<3×√10<3×3.163
Ce qui donne : 9.486<3√10<9.489
En divisant chaque membre de cette inégalité par 10, on trouve :
9.48610<3√1010<9.48910
Ce qui est équivalent à : 0.9486<3√1010<0.9489
Ainsi, un encadrement à l'ordre 4 de cos^OBA est donné par :
0.9486<cos^OBA<0.9489
D'où, une valeur approchée par défaut à l'ordre 4 de cos^OBA est égale à : 0.9486
En déduisons la valeur approchée à 1 degré près de ^OBA.
On donne : cos17∘≈0.9543, cos18∘≈0.9511, cos19∘≈0.9455 et cos20∘≈0.9397
D'après les données, cos19∘ est plus proche de la valeur approchée par défaut à l'ordre 4 de cos^OBA.
Par conséquent, la valeur approchée à 1 degré près de ^OBA est égale à : 19∘.

Exercice 11
Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB=6cm.
Traçons la droite (D) perpendiculaire à (AB) passant par B et marquons un point C sur le demi-cercle tel que l'angle ^CAB=30o.
Par ailleurs, la demi droite [AC) coupe la droite (D) en E.

1) Donnons la nature des triangles ABC et AEB en justifiant.
ABC et AEB sont des triangles rectangles respectivement en C et B
En effet, les points A; B et C appartiennent tous à un même demi-cercle.
Or, [AB] est un diamètre pour ce demi-cercle.
Donc, le triangle ABC est rectangle en C.
Par ailleurs, la droite (D) étant perpendiculaire à la droite (AB) au point B alors, mes^ABE=90∘.
D'où, le triangle AEB est rectangle en B.
2) Calculons AC, BC, AE et EB.
− Calcul de AC
ABC rectangle en C et mes^CAB=30∘ alors :
cos^CAB=ACAB
Or, cos^CAB=cos30∘=√32
Donc, ACAB=√32
Par suite, AC=√3×AB2=6√32
D'où, AC=3√3cm
− Calcul de BC
De la même manière, on peut remarquer que :
sin^CAB=BCAB
Or, sin^CAB=sin30∘=12
Donc, BCAB=12
Par suite, BC=AB2=62
D'où, BC=3cm
− Calcul de AE
Le triangle AEB étant rectangle en B alors :
cos^EAB=ABAE
Or, cos^EAB=cos30∘=√32
Donc, ABAE=√32
Ainsi, 2×AB=AE×√3
Par suite, AE=2×AB√3=12√3
D'où, en rendant rationnel le dénominateur et en simplifiant par 3, on obtient : AE=4√3cm
− Calcul de EB
En considérant le sinus de l'angle ^EAB, on obtient :
sin^EAB=EBAE
Comme sin^EAB=sin30∘=12 alors, EBAE=12
Par suite, EB=AE2=4√32
D'où, EB=2√3cm
3) Sur l'arc ⌢BC , marquons le point M tel que les points O, M et E soient alignés.
a) Calculons le cosinus de l'angle ^MOB
O, M et E étant alignés alors, le cosinus de l'angle ^MOB peut être calculé en considérant le triangle EOB rectangle en B.
On a :
cos^MOB=OBOE
Or, OB=AB2 car O est milieu de [AB] et OE2=OB2+EB2 d'après le théorème de Pythagore.
Donc,
OE=√OB2+EB2=√(32)+(2√3)2=√9+12=√21
Par suite,
cos^MOB=OBOE=3√21=3√2121=√217
D'où, cos^MOB=√217
b) Donnons sa valeur approchée par défaut à 10−3 près sachant que 4.582≤√21≤4.583
On a :
4.582≤√21≤4.583⇒4.5827≤√217≤4.5837⇒0.65457≤√217≤0.654714⇒0.654≤√217≤0.655⇒0.654≤cos^MOB≤0.655
Ainsi, 0.654 est une valeur approchée par défaut de cos^MOB à 10−3 près.
c) Déduisons la mesure de l'angle ^EOB à un degré près par défaut.
On a : 0.654≤cos^MOB≤0.655
Donc, 49∘≤^MOB≤50∘
Par suite, ^EOB=49∘
Exercice 12
1) Traçons un demi-cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] tel que AB=2r. Soit M un point du demi-cercle (C) plus proche de B que de A.

Le triangle AMB est rectangle en M.
Justifions.
En effet, AMB est un triangle inscrit dans le demi-cercle (C) et dont le côté [AB] est le diamètre de ce demi-cercle.
Par conséquent, AMB est rectangle en M.
2) Soit a et b les mesures respectives en degrés des angles ^BAM et ^BOM et C le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M.
a) Donnons deux expressions différentes de cosa.
En considérant le triangle AMB rectangle en M, on a :
cosa=AMAB(égalité 1)
Par ailleurs, comme C le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M alors, le triangle AMC est rectangle en C.
Ainsi, cosa est donné par :
cosa=ACAM(égalité 2)
b) En déduisons que : AC=AMcosa, AM2=AB×AC
D'après l'égalité (2), on a : cosa=ACAM
Ce qui entraine : AC=AM×cosa
D'où, AC=AMcosa
Par ailleurs, en comparant les égalités (1) et (2), on obtient :
AMAB=ACAM
Ce qui entraine : AM×AM=AB×AC
Ainsi, AM2=AB×AC
c) On sait que AC=AO+OC : Exprimons OC en fonction de cosb.
Le triangle MOC étant rectangle en C alors, on a :
cosb=OCOM
Ce qui entraine : OC=OM×cosb
Comme OM=r alors, on trouve : OC=r×cosb
En déduisons que AC=r(1+cosb)
Comme AC=AO+OC alors, remplaçons AO et OC par leur valeur.
On a :
AC=AO+OC=r+rcosb=r(1+cosb)
Donc, AC=r(1+cosb)
d) Déduisons des questions précédentes que :
cos2a=1+cosb2
D'après l'égalité (2), on a : cosa=ACAM
Donc, cos2a=(ACAM)2=AC2AM2
Or, d'après le résultat de la question 2)b), on a : AM2=AB×AC
Alors, en remplaçant AM2 par AB×AC, on obtient :
cos2a=AC2AM2=AC2AB×AC=ACAB
Ainsi, en remplaçant AC et AB par leur expression, on trouve :
cos2a=ACAB=r(1+cosb)2r=1+cosb2
D'où, cos2a=1+cosb2
Exercice 13
x et a sont des angles aigus
1) Sachant que cosx=√53, calculons sinx et tanx.
− Calcul de sinx
On sait que : cos2x+sin2x=1
Ce qui entraine : sin2x=1−cos2x
Ainsi, sinx=√1−cos2x
Donc, en remplaçant cosx par sa valeur √53, on obtient :
sinx=√1−cos2x=√1−(√53)2=√1−59=√99−59=√49=√4√9=23
D'où, sinx=23
− Calcul de tanx
On a : tanx=sinxcosx
Alors, en remplaçant sinx et cosx par leur valeur, on trouve :
tanx=sinxcosx=23√53=23×3√5=2√5=2√55
Donc, tanx=2√55
2) Soit l'expression F(a)=(1−cosa)(1+cosa)(1+tan2a)
a) Démontrons que F(a)=tan2a
Dans l'écriture de F(a), on identifie une identité remarquable :
(1−cosa)(1+cosa)=(1−cos2a)
Or, on sait que : cos2a+sin2a=1
Ce qui entraine : (1−cos2a)=sin2a
Donc, en remplaçant (1−cosa)(1+cosa) par sin2a, on trouve :
F(a)=(1−cosa)(1+cosa)(1+tan2a)=sin2a(1+sin2acos2a)=sin2a(cos2acos2a+sin2acos2a)=sin2a(cos2a+sin2acos2a)=sin2a×1cos2a=sin2acos2a=(sinacosa)2=tan2a
D'où, F(a)=tan2a
b) Calculons F(30∘)
En utilisant le résultat de la question 2)a), on a :
F(30∘)=tan230∘=(sin30∘cos30∘)2
Or, sin30∘=12 et cos30∘=√32
Donc, en remplaçant sin30∘ et cos30∘ par leur valeur, on obtient :
F(30∘)=(sin30∘cos30∘)2=(12√32)2=(12×2√3)2=(1√3)2=13
D'où, F(30∘)=13
3) Soit un triangle quelconque ABC; H le pied de la hauteur issue de A.

Démontrons que : sinˆBAC=sinˆCAB.
On a : sinˆBAC=sinˆCAB si, et seulement si, sinˆB×AB=sinˆC×AB
Donc, démonter que sinˆBAC=sinˆCAB revient à démontrer que :
sinˆB×AB=sinˆC×AB
En effet, comme H est le pied de la hauteur issue de A alors, les triangles ABH et ACH sont rectangles en H.
Donc, on a :
sinˆB=AHAB ⇒ sinˆB×AB=AH
sinˆC=AHAC ⇒ sinˆC×AC=AH
Ainsi, on obtient : sinˆB×AB=sinˆC×AC
Ce qui montre que : sinˆBAC=sinˆCAB
Exercice 14
1) Sachant que sin15∘=√6−√24, vérifions que cos15∘=√6+√24 puis, donnons la valeur exacte de tan15∘.
En effet, on sait que, pour tout angle aigu x, on a :
cos2x+sin2x=1
Ce qui entraine : cos2x=1−sin2x
Par suite, cosx=√1−sin2x
Donc, pour x=15∘, on trouve :
cos15∘=√1−sin215∘=√1−(√6−√24)2=√1−6−2√12+216=√1616−8−2√1216=√16−8+2√1216=√8+2√1216=√(√6+√24)2=|√6+√24|=√6+√24
Ce qui vérifie bien que : cos15∘=√6+√24
On a : tan15∘=sin15∘cos15∘
Donc, en remplaçant sin15∘ et cos15∘ par leur valeur, on obtient :
tan15∘=sin15∘cos15∘=√6−√24√6+√24=√6−√24×4√6+√2=√6−√2√6+√2=(√6−√2)(√6−√2)(√6+√2)(√6−√2)=6−√12−√12+2(√6)2−(√2)2=8−2√126−2=8−2√4×34=8−4√34=2−√3
Ainsi, tan15∘=2−√3
2) x∈]0∘; 90∘[
a) Établissons les égalités suivantes :
Établissons l'égalité : 1+tan2x=1cos2x
Soit : tanx=sinxcosx
Donc, tan2x=sin2xcos2x
Par suite,
1+tan2x=1+sin2xcos2x=cos2xcos2x+sin2xcos2x=cos2x+sin2xcos2x
Ainsi, 1+tan2x=cos2x+sin2xcos2x
Or, cos2x+sin2x=1
Par conséquent, 1+tan2x=1cos2x
Établissons l'égalité : 1−2sin2x=2cos2x−1
On a : sin2x+cos2x=1
Donc, sin2x=1−cos2x
Alors, en remplaçant sin2x par 1−cos2x, on obtient :
1−2sin2x=1−2(1−cos2x)=1−2+2cos2x=−1+2cos2x
D'où, 1−2sin2x=2cos2x−1
Établissons l'égalité : (cosx+sinx)(cosx−sinx)=2cos2x−1
En utilisant la forme développée des identités remarquables, on a :
(cosx+sinx)(cosx−sinx)=2cos2x=cos2x−sin2x
Or, on sait que : sin2x=1−cos2x
Donc, en remplaçant, on trouve :
(cosx+sinx)(cosx−sinx)=cos2x−sin2x=cos2x−(1−cos2x)=cos2x−1+cos2x=2cos2x−1
D'où, (cosx+sinx)(cosx−sinx)=2cos2x−1
Établissons l'égalité : 1+1tan2x=1sin2x
On a : tan2x=sin2xcos2x
Donc, 1tan2x=1sin2xcos2x=cos2xsin2x
Ainsi,
1+1tan2x=1+cos2xsin2x=sin2xsin2x+cos2xsin2x=sin2x+cos2xsin2x=1sin2x
D'où, 1+1tan2x=1sin2x
b) Simplifions √1−cosx×√1+cosx et √1+tan2x
On a :
√1−cosx×√1+cosx=√(1−cosx)(1+cosx)=√12−cos2x=√1−cos2x=√sin2x=|sinx|
Or, x∈]0∘; 90∘[ donc, sinx>0
Par suite, |sinx|=sinx
Ainsi, √1−cosx×√1+cosx=sinx
D'après les résultats de la question a), on a : 1+tan2x=1cos2x
Donc,
√1+tan2x=√1cos2x=√1√cos2x=1|cosx|
Comme x∈]0∘; 90∘[ alors, cosx>0
D'où, |cosx|=cosx
Par conséquent, √1+tan2x=1cosx
Exercice 15
1) a) Construisons un cercle (C) de centre I et de rayon 4cm. Soit A et B deux points diamétralement opposés.
Plaçons un point M sur (C) tel que : AM=4cm.
b) AMI est un triangle équilatérale
En effet, A et M appartiennent au cercle (C) donc,
IA=IM=4cm
Comme AM=4cm alors, AM=IA=IM
Par conséquent, AMI est un triangle équilatérale.
c) En déduisons la mesure de l'angle ^BIM.
On sait que les angles ^BIM et ^BIM sont supplémentaires donc,
mes^BIM+mes^MIA=180∘
Or, AMI est équilatérale donc,
mes^MIA=mes^IAM=mes^AMI=60∘
Par suite,
mes^BIM+mes^MIA=180∘⇒mes^BIM=180∘−mes^MIA⇒mes^BIM=180∘−60∘⇒mes^BIM=120∘
Ainsi, mes^BIM=120∘
2) K est le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par I et la droite (AM).
a) Justifions que AMB est un triangle rectangle.
A, B et M sont trois points du cercle (C).
Or, [AB] est un diamètre donc, AMB est un triangle rectangle en M.
b) En remarquant que cos^BAM=cos^KAI.
Calculons AK et KI.
− Calcul de AK
On a : cos^BAM=AMAB et cos^KAI=AIAK
Comme cos^BAM=cos^KAI alors,
AMAB=AIAK⇒AK×AM=AB×AI⇒AK=AB×AIAM⇒AK=8×44⇒AK=8
Donc, AK=8cm
− Calcul de KI
KAI étant rectangle en I alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
KI2+AI2=AK2⇒KI2=AK2−AI2⇒KI=√AK2−AI2⇒KI=√82−42⇒KI=√64−16⇒KI=√48⇒KI=4√3
Ainsi, KI=4√3cm
3) Le point H est le projeté de M sur (AB).
a) Calculons cosˆB de deux manières différentes.
On a :
{cosˆB=BMABcosˆB=BHBM
b) Exprimons BH en fonction de cosˆB
On a :
cosˆB=BHBM⇒BH=cosˆB×BM
Donc, BH=cosˆB×BM
Démontrons que : BH=BM2AB
On a : BH=cosˆB×BM
Or, cosˆB=BMAB donc, en remplaçant cosˆB par BMAB, on obtient :
BH=cosˆB×BM=BMAB×BM=BM×BMAB=BM2AB
D'où, BH=BM2AB
4) Plaçons le point E sur le segment [AM] tel que : AE=3cm.
La parallèle à (IM) passant par E coupe [AI] en F.
Le triangle AEF est équilatérale.
En effet, les triangles AEF et AMI sont en position de Thalès de sommet commun A.
Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :
AEAM=AFAI=EFIM
Par suite,
AEAM=AFAI⇒AF=AE×AIAM⇒AF=3×44⇒AF=3
Donc, AF=3cm
Aussi, on a :
AEAM=EFIM⇒EF=AE×IMAM⇒EF=3×44⇒EF=3
Donc, EF=3cm
Ainsi, AE=AF=EF
Par conséquent, le triangle AEF est équilatérale.

Exercice 16
On considère un cercle (C) de centre O et de rayon r. Soit [AB] un diamètre de ce cercle ; (Δ) la tangente en B à (C). Une droite (L) passant par A recoupe (C) en C et recoupe (Δ) en E. On désigne par α la mesure de ^BAC.

1) Exprimons en fonction de r et α : CA; CB; EA; EB.
− Expression de CA
On sait que les points A, B et C appartiennent au cercle (C) et que [AB] est un diamètre donc, le triangle ABC est rectangle en C.
Ainsi, cosα=CAAB
Ce qui donne : CA=AB×cosα
Comme, AB=2×r alors CA=2×r×cosα
− Expression de CB
Toujours, en considérant le triangle ABC, on a : CBAB=sinα
Donc, CB=AB×sinα avec AB=2×r
Par suite, CB=2×r×sinα
− Expression de EA
On sait que (Δ) est tangente à (C) au point B. Donc, (Δ) est perpendiculaire à (AB).
Par conséquent, le triangle ABE est rectangle en B.
Ainsi, ABEA=cosα avec AB=2×r
Ce qui donne : 2×r=EA×cosα
D'où, EA=2×rcosα
− Expression de EB
Toujours, dans ce même triangle ABE, on a : EBAB=tanα
Ce qui entraine : EB=AB×tanα
Comme AB=2×r alors, on obtient :
EB=2×r×tanα
2) Calculons : CA; CB; EA; EB pour r=2cm et α=30∘.
− Calcul de CA
On a : CA=2×r×cosα
Donc, pour r=2cm et α=30∘, on obtient :
CA=2×r×cosα=2×2×cos30∘=4×√32=2√3
Ainsi, CA=2√3cm
− Calcul de CB
On a : CB=2×r×sinα
Or, r=2cm et α=30∘, donc :
CB=2×r×sinα=2×2×sin30∘=4×12=2
D'où, CB=2cm
− Calcul de EA
On a : EA=2×rcosα
Donc, pour r=2cm et α=30∘, on obtient :
EA=2×rcosα=2×2cos30∘=4√32=4×2√3=8√3
Par suite, EA=8√3
En rendant rationnel le dénominateur, on obtient :
EA=8√3=8×√3√3×√3=8√33
Ainsi, EA=8√33cm
− Calcul de EB
On a : EB=2×r×tanα
Or, r=2cm et α=30∘, donc :
EB=2×r×tanα=2×2×tan30∘=4×√33=4√33
D'où, EB=4√33cm
Exercice 17
Soit un segment [OA], OA=4cm.
M est un point appartenant au cercle C(O, 3cm) tel que :
^AOM=30∘, R un point du plan tel que OARM est un parallélogramme.
Calculons l'aire de OARM.
Pour cela, projetons orthogonalement M sur [AO].
Alors, [MH] est une hauteur issue de M.
Par suite,
Aire de OARM=MH×OA
Déterminons alors la longueur MH.
En effet, H étant le projeté orthogonal de M sur [OA] alors, le triangle MOH est rectangle en H.
Ainsi, MHOM=sin30∘
Ce qui entraine : MH=OM×sin30∘
Or, OM=3cm et sin30∘=12
Donc, MH=3×12=32
Par conséquent, en remplaçant MH et OA par leur valeur, on trouve :
Aire de OARM=MH×OA=32×4=122=6
D'où, Aire de OARM=6cm2

Exercice 18
(C) est un cercle de diamètre [AB], de rayon r, (BX) est tangente à (C) en B.
Une droite passant par A coupe (C) en M et la tangente (BX) en T, avec ^BAT=a∘.
Exprimons AM, MB, BT, AT à l'aide de a et r.
En effet, AMB est un triangle inscrit dans le cercle (C) dont le côté [AB] est un diamètre de ce cercle.
Par conséquent, le triangle AMB est rectangle en M.
D'où, le cosinus de l'angle ^BAT est donné par :
cos^BAT=AMAB
Ce qui entraine : AM=AB×cos^BAT
Or, [AB] est un diamètre du (C) de rayon r donc, AB=2r
Ainsi, en remplaçant ^BAT par a et AB par 2r, on trouve : AM=2r×cosa
D'où, AM=2rcosa
Pour déterminer MB on utilise le sinus de l'angle ^BAT.
On a :
sin^BAT=MBAB
Ce qui entraine : MB=AB×sin^BAT
En remplaçant AB et ^BAT par leur valeur, on trouve : MB=2r×sina
D'où, MB=2rsina
Comme (BX) est tangente à (C) en B et le point T appartient à (BX) alors, (BT) est perpendiculaire à (AB).
Par conséquent, ABT est un triangle rectangle en B.
Ainsi, pour déterminer BT on utilise la tangente de l'angle ^BAT.
On a : tan^BAT=BTAB
Ce qui donne : BT=AB×tan^BAT
Ainsi, en remplaçant AB par 2r et ^BAT par a, on obtient : BT=2r×tana
D'où, BT=2rtana
Pour déterminer AT on peut utiliser la première relation métrique dans le triangle ABT.
ABT étant rectangle en B alors, on a : AB2=AM×AT
Donc, AT=AB2AM
Ainsi, en remplaçant AB et AM par leur valeur, on trouve : AT=(2r)22rcosa
Ce qui donne : AT=4r22rcosa=2rcosa
D'où, AT=2rcosa

Exercice 19
Construisons le triangle ABC rectangle en A tel que AB=8cm et AC=6cm.
1) Calculons BC, cos^ABC, sin^ABC puis, tan^ABC.
− Calcul de BC
Comme le triangle ABC rectangle en A alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
BC2=AB2+AC2
Ce qui entraine :
BC=√AB2+AC2=√82+62=√64+36=√100=10
Donc, BC=10cm
− Calcul de cos^ABC
Comme le triangle ABC rectangle en A alors, le cosinus de l'angle ^ABC est donné par :
cos^ABC=ABBC
En remplaçant AB et BC par leur valeur, on trouve :
cos^ABC=ABBC=810=45
D'où, cos^ABC=45
− Calcul de cos^ABC
Comme le triangle ABC rectangle en A alors, le sinus de l'angle ^ABC est donné par :
sin^ABC=ACBC
En remplaçant AC et BC par leur valeur, on trouve :
sin^ABC=ACBC=610=35
D'où, sin^ABC=35
− Calcul de tan^ABC
La tangente de l'angle ^ABC est donné par :
tan^ABC=ACAB
En remplaçant AB et AC par leur valeur, on trouve :
tan^ABC=ACAB=68=34
D'où, tan^ABC=34
2) Plaçons le point M sur le segment [AB] tel que : AM=13AB.
3) La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N.
Calculons AN.
En effet, (MN) étant parallèle à (BC) alors, les triangles ABC et AMN sont en position de Thalès.
Donc, les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles.
Or, on a : AM=13AB
Par conséquent, AN=13AC.
En remplaçant AC par sa valeur, on trouve : AN=13×6=63=2
D'où, AN=2cm
4) Soient O et P les symétriques respectifs des points M et N, par rapport à A.
Montrons que (MN) est parallèle à (OP).
En effet, comme O est le symétrique de M par rapport à A alors, A est milieu de [MO].
Donc, AO=AM ce qui entraine :
AOAM=1
Aussi, on a : P symétrique de N par rapport à A donc, A est milieu de [NP].
Ainsi, AP=AN et par suite :
APAN=1
On constate alors que :
AOAM=APAN
Ainsi, M, A, O étant trois points alignés d'une part, et N, A, P trois points alignés d'autre part, dans le même ordre tels que AOAM=APAN alors, en appliquant la réciproque du théorème de Thalès, on a : (MN) parallèle à (OP).

Exercice 20
ABC est un triangle rectangle en B.
H est le pied de la hauteur issue de B.
On note α la mesure de ^BCA.
On donne :
sin(α)=√53; BH=√52 et AC=√5.
1) a) Sachant que cos2(α)+sin2(α)=1, calculons cos(α).
On a :
cos2(α)+sin2(α)=1⇒cos2(α)=1−sin2(α)⇒cos(α)=√1−sin2(α)⇒cos(α)=√1−(√53)2⇒cos(α)=√1−59⇒cos(α)=√99−59⇒cos(α)=√49⇒cos(α)=√4√9⇒cos(α)=23
Ainsi, cos(α)=23
b) Déduisons-en HC et AB.
Comme H est le pied de la hauteur issue de B alors, le triangle BHC est rectangle en H.
Donc, pour déterminer la longueur HC, on utilise la tangente de l'angle α.
On a :
tan(α)=BHHC
tan(α)=sin(α)cos(α)
Donc, BHHC=sin(α)cos(α)
Ce qui entraine : HC×sin(α)=BH×cos(α)
Ce qui donne :
HC=BH×cos(α)sin(α)
Ainsi, en remplaçant BH, cos(α) sin(α) par leur valeur, on trouve :
HC=BH×cos(α)sin(α)=√52×23√53=√53×3√5=3√53√5=1
D'où, HC=1cm
Pour le calcul de AB, on considère le triangle ABC rectangle en B.
Alors, on a :
sin(α)=ABAC
Ce qui entraine : AB=AC×sin(α)
Donc, en remplaçant AC et sin(α) par leur valeur, on obtient :
AB=AC×sin(α)=√5×√53=√5×√53=53
Ainsi, AB=53cm
2) Une droite (Δ) parallèle à (BC) et passant par H coupe [AB] en E.
a) Comparons les mesures des angles ^EHA et ^BCA.
En effet, ^EHA et ^BCA sont deux angles correspondants.
De plus, les droites (Δ) et (BC) sont parallèles.
Or, on sait que deux droites parallèles coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure.
Par conséquent,
mes(^BCA)=mes(^EHA)
b) Déduisons-en que ABBC=EAEH
Comme les angles ^BCA et ^EHA ont la même mesure alors, on a :
tan^BCA=tan^EHA
Or, dans le triangle rectangle ABC on a :
tan^BCA=ABBC
Par ailleurs, on sait que si deux droites sont perpendiculaires alors, toute droite parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Or, (AB) et (BC) sont perpendiculaires et (AE) parallèle à (BC).
Donc, (AE) est perpendiculaire à (AB) en E.
Par conséquent, le triangle AEH est rectangle en E.
Ainsi, on a :
tan^EHA=EAEH
D'où, ABBC=EAEH

Exercice 21
1) Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB=8cm et AC=4cm.
Calculons BC.
Comme le triangle ABC est rectangle en A alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
BC2=AB2+AC2
Ce qui donne :
BC=√AB2+AC2=√82+42=√64+16=√80=√16×5=4√5
D'où, BC=4√5
2) Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].
On donne AB2=BH×BC et AC2=CH×BC
a) Calculons BH, CH puis, AH.
Soit : AB2=BH×BC
Alors, on a : BH=AB2BC
Donc, en remplaçant AB et BC par leur valeur, on trouve :
BH=AB2BC=824√5=644√5=16√5=16√55
Ainsi, BH=16√55
On a : AC2=CH×BC
Ce qui entraine : CH=AC2BC
Donc, en remplaçant AC et BC par leur valeur, on trouve :
CH=AC2BC=424√5=164√5=4√5=4√55
D'où, CH=4√55
En utilisant la troisième relation métrique, on a :
AH2=BH×CH
Ce qui entraine : AH=√BH×CH
Donc, en remplaçant BH et CH par leur valeur, on obtient :
AH=√BH×CH=√16√55×4√55=√16×4×525=4×2×√55=8√55
Ainsi, AH=8√55
b) La parallèle à (AH) passant par C coupe (AB) en E.
Calculons AE puis déduisons-en EC.
En effet, comme les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires et la droite (CE) parallèle à la droite (AH) alors, (CE) est perpendiculaire à (BC).
Par suite, le triangle BEC est rectangle en C.
Par conséquent, [AC] est la hauteur issue de C.
Ainsi, en utilisant la troisième relation métrique dans ce triangle, on obtient :
AC2=AE×AB
Ce qui entraine : AE=AC2AB
Donc, en remplaçant AC et AB par leur valeur, on trouve :
AE=AC2AB=428=168=2
D'où, AE=2cm
En utilisant la deuxième relation métrique dans le triangle BEC, on obtient :
EC2=AE×BE
Ce qui entraine : EC=√AE×BE
Or, BE=AB+AE donc, EC=√AE×(AB+AE)
Ainsi, en remplaçant AE et AB par leur valeur, on trouve :
EC=√AE×(AB+AE)=√2×(8+2)=√2×10=√20=√4×5=2√5
D'où, EC=2√5
c) Calculons sinˆE.
En considérant le triangle BEC rectangle en C, on a :
sinˆE=BCBE
Or, BE=AB+AE=8+2=10cm
Donc, en remplaçant BC et BE par leur valeur, on trouve :
sinˆE=BCBE=4√510=2√55
D'où, sinˆE=2√55

Exercice 22
On donne la figure ci-dessous où HG=6cm, ^EGH=45∘, sin^HFG=35, (GH) est la hauteur du triangle EFG issue de G et (HG) parallèle à (ER).

1) Déterminons cos^HGF.
En effet, comme (GH) est la hauteur du triangle EFG issue de G alors, le triangle FGH est rectangle en H.
Ainsi, les angles aigus ^HFG et ^HGF sont complémentaires.
Par conséquent, le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre.
Donc,
cos^HGF=sin^HFG
D'où, cos^HGF=35
2) En utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, calculons les longueurs FG et FH.
− Calcul FG
Dans le triangle rectangle FGH, on a :
sin^HFG=GHFG
Ce qui entraine : FG×sin^HFG=GH
Ce qui donne : FG=GHsin^HFG
En remplaçant GH et sin^HFG par leur valeur, on trouve :
FG=GHsin^HFG=635=6×53=303=10
D'où, \boxed{FG=10\;cm}
-\ Calcul FH
Le triangle FGH étant rectangle en H alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
FG^{2}=FH^{2}+HG^{2}
Donc, FH^{2}=FG^{2}-HG^{2}
Par suite, FH=\sqrt{FG^{2}-HG^{2}}
En remplaçant FG\ et \ HG par leur valeur, on trouve :
\begin{array}{rcl} FH&=&\sqrt{FG^{2}-HG^{2}}\\\\&=&\sqrt{10^{2}-6^{2}}\\\\&=&\sqrt{100-36}\\\\&=&\sqrt{64}\\\\&=&8\end{array}
D'où, \boxed{FH=8\;cm}
3) Justifions que le triangle EGH est rectangle et isocèle en H puis, déduisons-en EH.
En effet, (GH) étant perpendiculaire à (HE) alors, le triangle EGH est rectangle en H.
Par ailleurs, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180^{\circ}.
Donc,
\widehat{EGH}+\widehat{GEH}+\widehat{GHE}=180^{\circ}
Par suite, \widehat{GEH}=180^{\circ}-\widehat{EGH}-\widehat{GHE}
En remplaçant \widehat{EGH}\ et \ \widehat{GHE} par leur valeur, on trouve :
\begin{array}{rcl} \widehat{GEH}&=&180^{\circ}-\widehat{EGH}-\widehat{GHE}\\\\&=&180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\\\\&=&45^{\circ}\end{array}
Ainsi, \boxed{\widehat{GEH}=45^{\circ}}
On remarque alors que les angles \widehat{GEH}\ et \ \widehat{EGH} ont la même mesure.
Par conséquent, le triangle EGH est rectangle et isocèle en H.
4) Calculons la longueur RE.
(HG) étant parallèle à (ER) alors, les triangles FGH\ et \ FRE sont en position de Thalès.
Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{GH}{RE}=\dfrac{FH}{FE}
Ce qui entraine : RE\times FH=GH\times FE
Ainsi, RE=\dfrac{GH\times FE}{FH}
Or, FE=FH+HE=8+6=14\;cm
Donc, en remplaçant GH\;,\ FH\ et \ FE par leur valeur, on trouve :
\begin{array}{rcl} RE&=&\dfrac{GH\times FE}{FH}\\\\&=&\dfrac{6\times 14}{8}\\\\&=&\dfrac{84}{8}\\\\&=&\dfrac{21}{4}\end{array}
D'où, \boxed{RE=\dfrac{21}{4}}
Exercice de Synthèse
Soit ABC un triangle rectangle en B et AC l'hypoténuse, \sin\widehat{A} est égal : \dfrac{BC}{AC}

Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mar, 05/14/2019 - 03:31
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Je suis fière de vous
Anonyme (non vérifié)
mar, 01/14/2020 - 00:18
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Je veux la correction de l
Anonyme (non vérifié)
dim, 01/19/2020 - 03:08
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Je veux la correction de l
Anonyme (non vérifié)
sam, 02/13/2021 - 22:25
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Je veux la correction de l
Younousstall (non vérifié)
mer, 02/24/2021 - 21:59
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Je veux la correction des
Lika (non vérifié)
mer, 02/05/2020 - 21:56
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Demande
Anonyme (non vérifié)
ven, 03/20/2020 - 14:01
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Je veux la correction de l
Malick lo (non vérifié)
mar, 03/22/2022 - 16:32
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https://t.me/+NoOyIVdXEygyZWVk
Anonyme (non vérifié)
mer, 01/27/2021 - 20:51
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Appris
Anonyme (non vérifié)
mer, 01/27/2021 - 20:51
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Yes
Anonyme (non vérifié)
mer, 01/27/2021 - 20:52
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Yes
Anonyme (non vérifié)
jeu, 02/11/2021 - 23:09
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merci beaucoup
Amy Diouf. (non vérifié)
mar, 02/16/2021 - 15:21
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Je veux la correction de l
Younousstall (non vérifié)
mer, 02/24/2021 - 21:55
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Je veux la correction des
Anonyme (non vérifié)
sam, 02/27/2021 - 11:25
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Correction exercice 23
Anonyme (non vérifié)
sam, 02/27/2021 - 16:03
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Je veux la correction de l
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/28/2021 - 00:02
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Est-ce qu'on peut avoir la
Anonyme (non vérifié)
ven, 03/12/2021 - 10:09
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J veux la correction exo16
Diané (non vérifié)
dim, 03/21/2021 - 17:43
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Je veux la correction de 15
Diané (non vérifié)
dim, 03/21/2021 - 17:43
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Je veux la correction de 15
Amadou faye (non vérifié)
dim, 03/21/2021 - 21:12
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je voudrais avoir la correction de l'exercice 15 svp
Amadou faye (non vérifié)
dim, 03/21/2021 - 21:12
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je voudrais avoir la correction de l'exercice 15 svp
Marame tall (non vérifié)
jeu, 04/08/2021 - 09:05
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Je veux la correction de
Marame tall (non vérifié)
jeu, 04/08/2021 - 09:03
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Je la correction de l
Anonyme (non vérifié)
lun, 07/05/2021 - 16:03
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Intéressant
Anonyme (non vérifié)
lun, 07/05/2021 - 16:03
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Intéressant
Anonyme (non vérifié)
ven, 08/27/2021 - 03:38
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Correction de l'exo 14 svp
Mariama (non vérifié)
jeu, 01/05/2023 - 07:43
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Exercice 14
Moustapha Ndoye (non vérifié)
lun, 07/18/2022 - 14:32
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Je veux la correction d
Moustapha Ndoye (non vérifié)
lun, 07/18/2022 - 14:33
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Je veux la correction d
maman Niang (non vérifié)
mer, 12/14/2022 - 19:27
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la correction 12 et 17
Anonyme (non vérifié)
dim, 01/07/2024 - 18:09
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machallah merci beaucoup
Anonyme (non vérifié)
dim, 01/07/2024 - 18:09
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machallah merci beaucoup
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