Solution des exercices : Trigonométrie 3e

Classe: 
Troisième

Exercice 1 

Soit RSU un triangle rectangle en U tel que RS=3   et  SU=2

 
 
 
 
1) Calculons RU
 
RSU rectangle en U, alors d'après le théorème de Pythagore on a : RS2=RU2+SU2
Donc, 
 
RU2=RS2SU2=3222=94=5 
 
D'où, RU=5
 
2) Calculons  cosˆR, sinˆR, cosˆS, sinˆS  et  tanˆS 
 
On a : 
 
cosˆR=RURS=53
 
sinˆR=SURS=23
 
cosˆS=SURS=23
 
sinˆS=RURS=53
 
Autrement, comme RSU est rectangle en U alors ˆR  et  ˆS sont complémentaires.
 
Donc, cosˆS=sinˆR  et  sinˆS=cosˆR
 
D'où, cosˆS=23  et  sinˆS=53
 
On a : 
 
tanˆS=sinˆScosˆS=5323=5×33×2=52 
 
Donc, tanˆS=52

Exercice 2 

1) Soit ABC un triangle rectangle en A tel que ^ABC=56o  et  BC=4.2cm.

 

 
Calculons AB
 
On a : cos^ABC=ABBC
 
donc, AB=BC×cos^ABC
 
comme ^ABC=56o alors, cos^ABC=cos56o=0.56
 
ainsi, AB=BC×0.56=4.2×0.56=2.35
 
d'où, AB=2.35cm
 
Calculons AC
 
On a : sin^ABC=ACBC
 
donc, AC=BC×sin^ABC
 
or, sin^ABC=sin56o=0.83
 
ainsi, AC=BC×0.83=4.2×0.83=3.49
 
d'où, AC=3.49cm
 
2) Construisons un triangle OIE rectangle en O tel que ^OEI=72o  et  OE=2cm.

 

 
Calculons l'arrondi au dixième près de OI.
 
On a : tan^OEI=OIOE
 
donc, OI=OE×tan^OEI
 
or, tan^OEI=tan72o3.08
 
ainsi, OI=OE×3.08=2×3.08=6.1
 
d'où, OI=6.1cm
 
En vérifiant sur la figure, on obtient la même mesure pour OI.

Exercice 3

1) ABC est un triangle rectangle en C tel que : CB=4cm  et  AC=3cm.

 

 
Calculons sinˆB
 
On a : sinˆB=ACAB
 
comme ABC est rectangle en C alors, d'après le théorème de Pythagore on a : AB2=AC2+CB2
donc,

AB=AC2+CB2=9+16=25=5

 
ainsi, sinˆB=35=0.6
 
d'où, sinˆB=0.6
 
Calculons cosˆB
 
On a : cosˆB=CBAB
 
donc, cosˆB=45=0.8
 
ainsi, cosˆB=0.8
 
Calculons tanˆB
 
On sait que tanˆB=sinˆBcosˆB
 
alors, tanˆB=0.60.8=0.75
 
On en déduit alors,  mesˆB=36.8

2) Considérons le triangle HBC rectangle en H tel que mesˆB=60  et  HB=4cm

 

 
Calculons la distance BC
 
Comme cosˆB=HBBC alors, BC×cosˆB=HB
 
donc, BC=HBcosˆB
 
or, cosˆB=cos60=0.5
 
ainsi, BC=40.5=8
 
d'où, BC=8cm
 
Calculons la distance HC
 
On sait que sinˆB=HCBC
 
ce qui entraine alors, HC=BC×sinˆB
 
or, sinˆB=32
 
donc, HC=8×32=43
 
Ainsi, HC=43cm
3) Considérons un triangle ABC rectangle en B tel que : 
 
mesˆA=30 et CB=5cm.

 

 
Calculons AC
 
On a : sinˆA=CBAC
 
donc, AC×sinˆA=CB
 
ce qui entraine alors, AC=CBsinˆA  avec  sinˆA=sin30=12
 
ainsi, AC=2CB=10
 
d'où, AC=10cm
 
Calculons AB
 
Pour cela, on peut soit utiliser le théorème de Pythagore : AC2=AB2+CB2
 
soit exploiter tout simplement le cosinus de l'angle ˆA
 
et dans ce cas on aura : cosˆA=ABAC
 
donc, AB=AC×cosˆA  avec  cosˆA=cos30=32
 
par suite, AB=10×32 
 
ainsi, AB=53cm
 
4) Soit STV un triangle rectangle en T tel que : 
 
tanˆS=43 et TV=6cm.
 
Calculons ST
 
On sait que tanˆS=TVST=43
 
donc, ST×4=TV×3
 
par suite, ST=TV×34
 
ainsi, ST=6×34=364
 
ce qui donne, ST=364cm
 
Calculons SV
 
STV étant rectangle en T alors, en utilisant le théorème de Pythagore on aura : SV2=ST2+TV2
 
et par suite : 
 
SV=ST2+TV2=(364)2+(6)2=5416+6=54+964=564
 
d'où SV=564cm
 
5) Dans le triangle ABC rectangle en B, on donne : sinˆA=53.
 
Calculons cosˆA
 
ˆA un angle aigu alors on a : cos2ˆA+sin2ˆA=1
ainsi, 
 
cosˆA=1sin2ˆA=159=959=49=23
 
d'où, cosˆA=23
 
Calculons tanˆA
 
On a : 
 
tanˆA=sinˆAcosˆA=5323=5×33×2=52
 
6) Soit ˆA et ˆB deux angles aigus tels que : 
 
cosˆA=316  et  sinˆB=6272 
 
Montrons que ˆA  et  ˆB sont deux angles complémentaires.
 
On sait que si deux angles aigus ˆA  et  ˆB sont complémentaires alors, cosˆA=sinˆB
On a : 
 
sinˆB=6272=6262=(62)×212=12212=23212=316
 
On voit bien que sinˆB=cosˆA=316.
 
Ce qui montre que ˆA  et  ˆB sont deux angles complémentaires.

Exercice 4

ABC est un triangle rectangle en B tel que AC=10cm  et  BC=5cm. I est un point de [AB] tel que AI=5cm. La perpendiculaire à (AB) passant par I coupe [AC] en J.
 
 
1) En utilisant le sinus de ^BAC, montrons que IJAJ=BCAC puis, calculons IJ.
 
En effet, comme le triangle ABC est rectangle en B alors, on a :
sin^BAC=BCAC(égalité  1)
Par ailleurs, on sait que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (AB) en I.
 
Donc, le triangle AIJ est rectangle en I.
 
Par suite, le sinus de l'angle ^BAC peut encore s'écrire :
sin^BAC=IJAJ(égalité  2)
Ainsi, en comparant les égalités (1)  et  (2), on obtient :
IJAJ=BCAC
  Calcul de IJ
 
En effet, les droites (IJ)  et  (BC) sont perpendiculaires à la même droite (AB).
 
Donc, (IJ)  et  (BC) sont parallèles.
 
Par suite, les triangles ABC  et  AIJ sont en position de Thalès.
 
Ainsi, en utilisant le théorème de Thalès, on obtient :
IJBC=AIAB
Ce qui donne : IJ=AI×BCAB
 
Déterminons alors la longueur AB
 
Le triangle ABC étant rectangle en B alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AB2+BC2=AC2
Ce qui entraine : AB2=AC2BC2
 
Ainsi,
 
AB=AC2BC2=(10)2(5)2=10025=75=25×3=25×3=53
 
Donc, AB=53cm
 
Remplaçons alors AB, BC  et  AI par leur valeur, dans l'expression de IJ.
 
On trouve :
 
IJ=AI×BCAB=5×553=53=5×33×3=533
 
IJ=533cm
 
2) Calculons sin^BAC et en déduisons sa mesure en degrés.
 
Le triangle ABC étant rectangle en B alors, on a :
sin^BAC=BCAC
En remplaçant BC  et  AC par leur valeur, on obtient : sin^BAC=510=12
 
Ainsi, sin^BAC=12
 
Comme ^BAC est un angle aigu dont le sinus est égal à 12 alors, sa mesure est de 30.
 
D'où, mes^BAC=30

Exercice 5

(C) est un cercle de centre O et de rayon r. [BC] est un diamètre du cercle et A un point de (C) tel que AB=r.
 
 
1) Montrons que le triangle ABC est rectangle en A.
 
Comme [BC] est un diamètre du cercle alors, les points B  et  C sont sur le cercle (C).
 
Aussi, A est un point de (C).
 
Donc, ABC est un triangle inscrit dans le cercle (C) et dont le côté  [BC] est un diamètre de ce cercle.
 
Par conséquent, c'est un triangle rectangle en A.
 
2) Calculons AC en fonction de r.
 
Le triangle ABC étant rectangle en A alors, en utilisant le théorème de Pythagore, on a :
AC2+AB2=BC2
Ce qui entraine : AC2=BC2AB2
 
Comme [BC] est un diamètre du cercle (C) de rayon r alors, BC=2r.
 
Donc, en remplaçant BC  et  AB par leur valeur, on obtient :
 
AC=BC2AB2=(2r)2(r)2=4r2r2=3r2=r2×3=r2×3=|r|3=r3
 
Donc, AC=r3cm
 
3) Calculons le sinus de l'angle ^ABC.
 
Le triangle ABC étant rectangle en A alors, le sinus de l'angle ^ABC est donné par :
sin^ABC=ACBC
En remplaçant, AB  et  BC par leur valeur, on trouve :
 
sin^ABC=r32r=32
 
Ainsi, sin^ABC=32

Exercice 6

Soit un cercle (C) de centre O et de rayon r.  [AB] est un diamètre de ce cercle et I milieu de [OA]. La perpendiculaire à la droite (AB) passant par I coupe le cercle en deux points D  et  E.
 
 
1) Démontrons que ABD est un triangle rectangle puis, montrons que AD=r.
 
En effet, [AB] est un diamètre du cercle (C) alors, les extrémités A  et  B sont sur ce cercle.
 
Aussi, le point D appartient au cercle (C).
 
Donc, ABD est un triangle inscrit dans le cercle (C) et dont le côté  [AB] est un diamètre de ce cercle.
 
Par conséquent, ABD est un triangle rectangle en D.
 
Montrons que AD=r.
 
On a : ABD est un triangle rectangle en D et la droite (ID) est perpendiculaire à la droite (BC) en I.
 
Donc, (ID) est la hauteur issue de D et le point I est le pied de cette hauteur sur [AB].
 
Ainsi, en utilisant la deuxième relation métrique, on obtient :
AD2=AI×AB
Or, [AB] est un diamètre du cercle (C) de rayon r donc, AB=2r.
 
De plus, I est milieu de [OA].
 
Ce qui signifie que AI=OA2=r2.
 
En remplaçant AI  et  AB par leur valeur, on trouve :
 
AD2=AI×AB=r2×2r=2r22=r2
 
Ainsi,
 
AD=r2=|r|=r
 
D'où, AD=r
 
2) Calculons cos^DAB.
 
Comme le triangle ABD est rectangle en D alors, le cosinus de l'angle ^DAB est donné par :
cos^DAB=ADAB
En remplaçant, AD  et  AB par leur valeur, on obtient :
 
cos^DAB=r2r=12
 
Donc, cos^DAB=12
 
En déduisons sin^DBO.
 
En effet, dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.
 
Donc, les angles ^DAB  et  ^DBO sont complémentaires.
 
Or, si deux angles sont complémentaires alors, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre.
 
Ce qui signifie que : sin^DBO=cos^DAB=12
 
D'où, sin^DBO=12
 
3) Démontrons que AI2AD2+DB2AB2=1
 
On a : AI2AD2+DB2AB2=(AIAD)2+(DBAB)2
 
Or, on remarque que :
 
AIAD=cos^DAB
 
DBAB=sin^DAB
 
Donc, en remplaçant AIAD  et  DBAB par leur expression, on obtient :
 
(AIAD)2+(DBAB)2=(cos^DAB)2+(sin^DAB)2=1
 
D'où, AI2AD2+DB2AB2=1

Exercice 7

Soit ABC un triangle isocèle de sommet A tel que ˆB=30  et  BC=6cm. On appelle I milieu de [BC].
 
 
1) Calculons AB  et  AI
 
  Calcul de AB
 
Comme ABC est un triangle isocèle de sommet A  et  I milieu de [BC] alors, (AI) est la hauteur issue de A.
 
Donc, (AI) est perpendiculaire à (BC).
 
Par suite, ABI est un triangle rectangle en I.
 
Ainsi, en utilisant le cosinus de l'angle ˆB, on obtient :
cosˆB=BIAB
Ce qui donne : AB=BIcosˆB
 
Or, ˆB=30  et  BI=BC2
 
Donc, cosˆB=cos30=32  et  BI=62=3
 
En remplaçant BI  et  cosˆB par leur valeur, dans l'expression de AB, on trouve :
 
AB=BIcosˆB=332=3×23=63=633=23
 
D'où, AB=23cm
 
  Calcul de AI
 
Comme ABI est un triangle rectangle en I alors, en utilisant le sinus de l'angle ˆB, on obtient :
sinˆB=AIAB
Ce qui donne : AI=AB×sinˆB
 
Or, sinˆB=sin30=12.
 
Donc, en remplaçant AB  et  sinˆB par leur valeur, dans l'expression de AI, on trouve :
 
AI=AB×sinˆB=23×12=232=3
 
Ainsi, AI=3cm
 
2) Calculons l'aire S du triangle ABC puis, donnons son encadrement à 0.1cm2 près sachant que 1.732<3<1.733
 
  Calcul de l'aire S du triangle ABC
 
En effet, on sait que l'aire S d'un triangle est donnée par :
 
S=Base×Hauteur2
 
Ainsi, pour le triangle ABC, on a :
S=BC×AI2
En remplaçant BC  et  AI par leur valeur, on obtient :
 
S=BC×AI2=6×32=632=33
 
D'où, S=33cm2
 
  Encadrement de S
 
Soit : S=33
 
On a : 1.732<3<1.733
 
Alors, en multipliant chaque membre de cette inégalité par 3, on trouve :
3×1.732<3×3<3×1.733
Ce qui donne : 5.196<33<5.199
 
D'où, un encadrement à 0.1cm2 près est donné par :
5.1<S<5.2

Exercice 8

KLM est un triangle KL=4cm; LM=43; KM=8cm.
 
1) Montrons que KLM est un triangle rectangle.
 
Calculons les carrés des longueurs des côtés du triangle KLM.
 
On a :
 
KM2=82=64
 
KL2=42=16
 
LM2=(43)2=16×3=48
 
Alors, KL2+LM2=16+48=64
 
Nous remarquons que KL2+LM2=KM2
 
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLM est rectangle en L.
 
2) Faisons une figure.
 
 
3) Calculons LH  et  KH, H étant le projeté orthogonal de L sur (KM).
 
  Calcul de LH
 
Comme KLM est un triangle rectangle en L alors, le sinus de l'angle ^MKL est donné par :
sin^MKL=LMKM(égalité 1)
Par ailleurs, H est le projeté orthogonal de L sur (KM) donc, (LH) est la hauteur issue de L.
 
Ainsi, KLH est aussi un triangle rectangle en H.
 
Par suite, le sinus de l'angle ^MKL est encore donné par :
sin^MKL=LHKL(égalité 2)
En comparant les égalité (1)  et  (2), on trouve :
LHKL=LMKM
Ce qui entraine : LH=LM×KLKM
 
En remplaçant LM, KL  et  KM par leur valeur, on obtient :
 
LH=LM×KLKM=43×48=1638=23
 
D'où, LH=23cm
 
  Calcul de KH
 
Le triangle KLM étant rectangle en L alors, en utilisant la deuxième relation métrique, on trouve :
KL2=KH×KM
Par suite, KH=KL2KM
 
En remplaçant KL  et  KM par leur valeur, on obtient :
 
KH=KL2KM=428=168=2
 
D'où, KH=2cm
 
4) Soit I le projeté orthogonal de H sur (ML). Calculons IH.
 
Comme I le projeté orthogonal de H sur (ML) alors, (IH) est perpendiculaire à (LM).
 
Ainsi, (KL)  et  (IH) sont deux droites perpendiculaires à une même droite (LM).
 
Donc, elles sont parallèles.
 
Par suite, les triangles KLM  et  MHI sont en position de Thalès.
 
Ainsi, en appliquant le théorème de Thalès, on a :
IHKL=MHKM
Ce qui entraine : IH=MH×KLKM
 
Or, MH=KMKH=82=6cm
 
Donc, en remplaçant MH, KL  et  KM par leur valeur, on obtient :
 
IH=MH×KLKM=6×48=248=3
 
D'où, IH=3cm

Exercice 9

1) On donne une valeur trigonométrique déduisons-en les autres :
 
Soit : cosx=14
 
On sait que : cos2x+sin2x=1
 
Ce qui entraine : sin2x=1cos2x
 
Ainsi, sinx=1cos2x
 
Donc, en remplaçant cosx par sa valeur 14, on obtient :
 
sinx=1cos2x=1(14)2=1116=1616116=1516=1516=154
 
D'où, sinx=154
 
On a : tanx=sinxcosx
 
Alors, en remplaçant sinx  et  cosx par leur valeur, on trouve :
 
tanx=sinxcosx=15414=154×41=15
 
Donc, tanx=15
 
2) Construisons un triangle COS tel que ^OCS=75  et  ^CSO=55.
 
Plaçons deux points E  et  F sur la droite (CO) tels que S soit le projeté orthogonal de F sur (OS)  et  EF=8cm.
 
Plaçons le point R projeté orthogonal de E sur (OS). On appelle I  et  J les projetés orthogonaux respectifs de E  et  F sur (CS).
 
Calculons les arrondis au dixième de IJ  et  RS.
 
  Calcul de IJ
 
En effet, comme I  et  J sont les projetés orthogonaux respectifs de E  et  F sur (CS) alors, les triangles EIC  et  FJC sont rectangles respectivement en I  et  J.
 
Ainsi, on a :
 
cos^ECI=ICEC  IC=EC×cos^ECI
 
cos^FCJ=JCFC  JC=FC×cos^FCJ
 
Or, cos^ECI=cos^FCJ=cos75
 
Par ailleurs, on sait que : IJ=IC+JC.
 
Alors, en remplaçant IC  et  JC par leur expression, on trouve :
 
IJ=IC+JC=EC×cos^ECI+FC×cos^FCJ=EC×cos75+FC×cos75=cos75×(EC+FC)=cos75×EF
 
Donc, IJ=EF×cos75
 
Or, EF=8cm  et  cos75=0.2588
 
Par suite,
 
IJ=EF×cos75=8×0.2588=2.0704
 
D'où, en arrondissant au dixième près, on trouve : IJ2.1cm
 
  Calcul de RS
 
En effet, on sait que dans un triangle la somme des angles est égale à 180.
 
Donc, ^COS+^OCS+^CSO=180
 
Ainsi, ^COS=1807555=50
 
S  et  R étant les projetés orthogonaux respectifs de F  et  E sur (OS) alors, les triangles FOS  et  ERO sont rectangles respectivement en S  et  R.
 
Ainsi, on a :
 
cos^EOR=OROE  OR=OE×cos^EOR
 
cos^FOS=OSOF  OS=OF×cos^FOS
 
Or, cos^EOR=cos^FOS=cos50
 
Par ailleurs, on sait que : RS=OSOR.
 
Alors, en remplaçant OS  et  OR par leur expression, on trouve :
 
RS=OSOR=OF×cos^FOSOE×cos^EOR=OF×cos50OE×cos50=cos50×(OFOE)=cos50×EF
 
Donc, RS=EF×cos50
 
Or, EF=8cm  et  cos50=0.6427
 
Par suite,
 
RS=EF×cos50=8×0.6427=5.1416
 
D'où, en arrondissant au dixième près, on trouve : RS5.1cm
 
Sur le dessin, en mesurant les longueurs IJ  et  RS, on trouve :
 
IJ=2.07cm
 
RS=5.14cm
 
Ce qui vérifie bien les résultats trouvés.
 
 

Exercice 10

1) OAB est un triangle, OA=10; OB=310  et  AB=10cm.
 
Déterminons la nature de OAB.
 
Pour cela, calculons les carrés des longueurs des côtés du triangle OAB.
 
On a :
 
AB2=102=100
 
OA2=(10)2=10
 
OB2=(310)2=9×10=90
 
Alors, OA2+OB2=10+90=100
 
Nous constatons que OA2+OB2=AB2
 
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en O.
 
2) Calculons le cosinus de l'angle ^OBA.
 
Le triangle OAB étant rectangle en O alors, le cosinus de l'angle ^OBA est donné par :
cos^OBA=OBAB
En remplaçant OB  et  AB par leur valeur, on obtient :
 
cos^OBA=OBAB=31010
 
D'où, cos^OBA=31010
 
En déduisons sin^OBA
 
On sait que : cos2^OBA+sin2^OBA=1
 
Ce qui entraine : sin2^OBA=1cos2^OBA
 
Ainsi, sin^OBA=1cos2^OBA
 
Donc, en remplaçant cos^OBA par sa valeur, on obtient :
 
sin^OBA=1cos2^OBA=1(31010)2=190100=10010090100=10100=10100=1010
 
D'où, sin^OBA=1010
 
3) Sachant que 3.162<10<3.163 donnons la valeur approchée par défaut à l'ordre 4 de cos^OBA.
 
Pour cela, encadrons d'abord cos^OBA.
 
On a : 3.162<10<3.163
 
Alors, en multipliant chaque membre de cette inégalité par 3, on obtient :
3×3.162<3×10<3×3.163
Ce qui donne : 9.486<310<9.489
 
En divisant chaque membre de cette inégalité par 10, on trouve :
9.48610<31010<9.48910
Ce qui est équivalent à : 0.9486<31010<0.9489
 
Ainsi, un encadrement à l'ordre 4 de cos^OBA est donné par :
0.9486<cos^OBA<0.9489
D'où, une valeur approchée par défaut à l'ordre 4 de cos^OBA est égale à : 0.9486
 
En déduisons la valeur approchée à 1 degré près de ^OBA. 
 
On donne : cos170.9543, cos180.9511, cos190.9455  et  cos200.9397
 
D'après les données, cos19 est plus proche de la valeur approchée par défaut à l'ordre 4 de cos^OBA.
 
Par conséquent, la valeur approchée à 1 degré près de ^OBA est égale à : 19.
 
 

Exercice 11

Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB=6cm.
 
Traçons la droite (D) perpendiculaire à (AB) passant par B et marquons un point C sur le demi-cercle tel que l'angle ^CAB=30o.
 
Par ailleurs, la demi droite [AC) coupe la droite (D) en E.

 

 
1) Donnons la nature des triangles ABC   et  AEB en justifiant.
 
ABC   et  AEB sont des triangles rectangles respectivement en C  et  B
 
En effet, les points A; B  et  C appartiennent tous à un même demi-cercle.
 
Or, [AB] est un diamètre pour ce demi-cercle.
 
Donc, le triangle ABC est rectangle en C.
 
Par ailleurs, la droite (D) étant perpendiculaire à la droite (AB) au point B alors, mes^ABE=90.
 
D'où, le triangle AEB est rectangle en B.
 
2) Calculons AC, BC, AE et EB.
 
   Calcul de AC
 
ABC rectangle en C et mes^CAB=30 alors :
cos^CAB=ACAB
Or, cos^CAB=cos30=32
 
Donc, ACAB=32
 
Par suite, AC=3×AB2=632
 
D'où, AC=33cm
 
   Calcul de BC
 
De la même manière, on peut remarquer que :
sin^CAB=BCAB
Or, sin^CAB=sin30=12
 
Donc, BCAB=12
 
Par suite, BC=AB2=62
 
D'où, BC=3cm
 
   Calcul de AE
 
Le triangle AEB étant rectangle en B alors :
cos^EAB=ABAE
Or, cos^EAB=cos30=32
 
Donc, ABAE=32
 
Ainsi, 2×AB=AE×3
 
Par suite, AE=2×AB3=123
 
D'où, en rendant rationnel le dénominateur et en simplifiant par 3, on obtient : AE=43cm
 
   Calcul de EB
 
En considérant le sinus de l'angle ^EAB, on obtient :
sin^EAB=EBAE
Comme sin^EAB=sin30=12 alors, EBAE=12
 
Par suite, EB=AE2=432
 
D'où, EB=23cm
3) Sur l'arc BC , marquons le point M tel que les points O, M  et  E soient alignés.
 
a) Calculons le cosinus de l'angle ^MOB
 
O, M  et  E étant alignés alors, le cosinus de l'angle ^MOB peut être calculé en considérant le triangle EOB rectangle en B.
 
On a : 
cos^MOB=OBOE
Or, OB=AB2  car O est milieu de [AB] et OE2=OB2+EB2 d'après le théorème de Pythagore.
 
Donc,
 
OE=OB2+EB2=(32)+(23)2=9+12=21
 
Par suite, 
 
cos^MOB=OBOE=321=32121=217
 
D'où, cos^MOB=217
 
b) Donnons sa valeur approchée par défaut à 103 près sachant que 4.582214.583
 
On a :
 
4.582214.5834.58272174.58370.654572170.6547140.6542170.6550.654cos^MOB0.655
 
Ainsi, 0.654 est une valeur approchée par défaut de cos^MOB à 103 près.
 
c) Déduisons la mesure de l'angle ^EOB à un degré près par défaut.
 
On a : 0.654cos^MOB0.655
 
Donc, 49^MOB50
 
Par suite, ^EOB=49

Exercice 12

1) Traçons un demi-cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] tel que AB=2r. Soit M un point du demi-cercle (C) plus proche de B que de A.
 
 
Le triangle AMB est rectangle en M.
 
Justifions.
 
En effet, AMB est un triangle inscrit dans le demi-cercle (C) et dont le côté [AB] est le diamètre de ce demi-cercle.
 
Par conséquent, AMB est rectangle en M.
 
2) Soit a  et  b les mesures respectives en degrés des angles ^BAM  et  ^BOM  et  C le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M.
 
a) Donnons deux expressions différentes de cosa.
 
En considérant le triangle AMB rectangle en M, on a :
cosa=AMAB(égalité 1)
Par ailleurs, comme C le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M alors, le triangle AMC est rectangle en C.
 
Ainsi, cosa est donné par :
cosa=ACAM(égalité 2)
b) En déduisons que : AC=AMcosa, AM2=AB×AC
 
D'après l'égalité (2), on a : cosa=ACAM
 
Ce qui entraine : AC=AM×cosa
 
D'où, AC=AMcosa
 
Par ailleurs, en comparant les égalités (1)  et  (2), on obtient :
AMAB=ACAM
Ce qui entraine : AM×AM=AB×AC
 
Ainsi, AM2=AB×AC
 
c) On sait que AC=AO+OC : Exprimons OC en fonction de cosb.
 
Le triangle MOC étant rectangle en C alors, on a :
cosb=OCOM
Ce qui entraine : OC=OM×cosb
 
Comme OM=r alors, on trouve : OC=r×cosb
 
En déduisons que AC=r(1+cosb)
 
Comme AC=AO+OC alors, remplaçons AO  et  OC par leur valeur.
 
On a :
 
AC=AO+OC=r+rcosb=r(1+cosb)
 
Donc, AC=r(1+cosb)
 
d) Déduisons des questions précédentes que :
cos2a=1+cosb2
D'après l'égalité (2), on a : cosa=ACAM
 
Donc, cos2a=(ACAM)2=AC2AM2
 
Or, d'après le résultat de la question 2)b), on a : AM2=AB×AC
 
Alors, en remplaçant AM2 par AB×AC, on obtient :
 
cos2a=AC2AM2=AC2AB×AC=ACAB
 
Ainsi, en remplaçant AC  et  AB par leur expression, on trouve :
 
cos2a=ACAB=r(1+cosb)2r=1+cosb2
 
D'où, cos2a=1+cosb2

Exercice 13

x  et  a sont des angles aigus
 
1) Sachant que cosx=53, calculons sinx  et  tanx.
 
  Calcul de sinx
 
On sait que : cos2x+sin2x=1
 
Ce qui entraine : sin2x=1cos2x
 
Ainsi, sinx=1cos2x
 
Donc, en remplaçant cosx par sa valeur 53, on obtient :
 
sinx=1cos2x=1(53)2=159=9959=49=49=23
 
D'où, sinx=23
 
  Calcul de tanx
 
On a : tanx=sinxcosx
 
Alors, en remplaçant sinx  et  cosx par leur valeur, on trouve :
 
tanx=sinxcosx=2353=23×35=25=255
 
Donc, tanx=255
 
2) Soit l'expression F(a)=(1cosa)(1+cosa)(1+tan2a)
 
a) Démontrons que F(a)=tan2a
 
Dans l'écriture de F(a), on identifie une identité remarquable :
(1cosa)(1+cosa)=(1cos2a)
Or, on sait que : cos2a+sin2a=1
 
Ce qui entraine : (1cos2a)=sin2a
 
Donc, en remplaçant (1cosa)(1+cosa) par sin2a, on trouve :
 
F(a)=(1cosa)(1+cosa)(1+tan2a)=sin2a(1+sin2acos2a)=sin2a(cos2acos2a+sin2acos2a)=sin2a(cos2a+sin2acos2a)=sin2a×1cos2a=sin2acos2a=(sinacosa)2=tan2a
 
D'où, F(a)=tan2a
 
b) Calculons F(30)
 
En utilisant le résultat de la question 2)a), on a :
F(30)=tan230=(sin30cos30)2
Or, sin30=12  et  cos30=32
 
Donc, en remplaçant sin30  et  cos30 par leur valeur, on obtient :
 
F(30)=(sin30cos30)2=(1232)2=(12×23)2=(13)2=13
 
D'où, F(30)=13
 
3) Soit un triangle quelconque ABC; H le pied de la hauteur issue de A.
 
 
Démontrons que : sinˆBAC=sinˆCAB.
 
On a : sinˆBAC=sinˆCAB si, et seulement si, sinˆB×AB=sinˆC×AB
 
Donc, démonter que sinˆBAC=sinˆCAB revient à démontrer que :
sinˆB×AB=sinˆC×AB
En effet, comme H est le pied de la hauteur issue de A alors, les triangles ABH  et  ACH sont rectangles en H.
 
Donc, on a :
 
sinˆB=AHAB  sinˆB×AB=AH
 
sinˆC=AHAC  sinˆC×AC=AH
 
Ainsi, on obtient : sinˆB×AB=sinˆC×AC
 
Ce qui montre que : sinˆBAC=sinˆCAB

Exercice 14

1) Sachant que sin15=624, vérifions que cos15=6+24 puis, donnons la valeur exacte de tan15.
 
En effet, on sait que, pour tout angle aigu x, on a :
cos2x+sin2x=1
Ce qui entraine : cos2x=1sin2x
 
Par suite, cosx=1sin2x
 
Donc, pour x=15, on trouve :
 
cos15=1sin215=1(624)2=16212+216=1616821216=168+21216=8+21216=(6+24)2=|6+24|=6+24
 
Ce qui vérifie bien que : cos15=6+24
 
On a : tan15=sin15cos15
 
Donc, en remplaçant sin15  et  cos15 par leur valeur, on obtient :
 
tan15=sin15cos15=6246+24=624×46+2=626+2=(62)(62)(6+2)(62)=61212+2(6)2(2)2=821262=824×34=8434=23
 
Ainsi, tan15=23
 
2) x]0; 90[
 
a) Établissons les égalités suivantes :
 
Établissons l'égalité : 1+tan2x=1cos2x
 
Soit : tanx=sinxcosx
 
Donc, tan2x=sin2xcos2x
 
Par suite,
 
1+tan2x=1+sin2xcos2x=cos2xcos2x+sin2xcos2x=cos2x+sin2xcos2x
 
Ainsi, 1+tan2x=cos2x+sin2xcos2x
 
Or, cos2x+sin2x=1
 
Par conséquent, 1+tan2x=1cos2x
 
Établissons l'égalité : 12sin2x=2cos2x1
 
On a : sin2x+cos2x=1
 
Donc, sin2x=1cos2x
 
Alors, en remplaçant sin2x par 1cos2x, on obtient :
 
12sin2x=12(1cos2x)=12+2cos2x=1+2cos2x
 
D'où, 12sin2x=2cos2x1
 
Établissons l'égalité : (cosx+sinx)(cosxsinx)=2cos2x1
 
En utilisant la forme développée des identités remarquables, on a :
 
(cosx+sinx)(cosxsinx)=2cos2x=cos2xsin2x
 
Or, on sait que : sin2x=1cos2x
 
Donc, en remplaçant, on trouve :
 
(cosx+sinx)(cosxsinx)=cos2xsin2x=cos2x(1cos2x)=cos2x1+cos2x=2cos2x1
 
D'où, (cosx+sinx)(cosxsinx)=2cos2x1
 
Établissons l'égalité : 1+1tan2x=1sin2x
 
On a : tan2x=sin2xcos2x
 
Donc, 1tan2x=1sin2xcos2x=cos2xsin2x
 
Ainsi,
 
1+1tan2x=1+cos2xsin2x=sin2xsin2x+cos2xsin2x=sin2x+cos2xsin2x=1sin2x
 
D'où, 1+1tan2x=1sin2x
 
b) Simplifions 1cosx×1+cosx  et  1+tan2x
 
On a :
 
1cosx×1+cosx=(1cosx)(1+cosx)=12cos2x=1cos2x=sin2x=|sinx|
 
Or, x]0; 90[ donc, sinx>0
 
Par suite, |sinx|=sinx
 
Ainsi, 1cosx×1+cosx=sinx
 
D'après les résultats de la question a), on a : 1+tan2x=1cos2x
 
Donc,
 
1+tan2x=1cos2x=1cos2x=1|cosx|
 
Comme x]0; 90[ alors, cosx>0
 
D'où, |cosx|=cosx
 
Par conséquent, 1+tan2x=1cosx

Exercice 15

1) a) Construisons un cercle (C) de centre I et de rayon 4cm. Soit A  et  B deux points diamétralement opposés.
 
Plaçons un point M sur (C) tel que : AM=4cm.
 
b) AMI est un triangle équilatérale
 
En effet, A  et  M appartiennent au cercle (C) donc,
IA=IM=4cm
Comme AM=4cm alors, AM=IA=IM
 
Par conséquent, AMI est un triangle équilatérale.
 
c) En déduisons la mesure de l'angle ^BIM.
 
On sait que les angles ^BIM  et  ^BIM sont supplémentaires donc,
mes^BIM+mes^MIA=180
Or, AMI est équilatérale donc,
mes^MIA=mes^IAM=mes^AMI=60
Par suite,
 
mes^BIM+mes^MIA=180mes^BIM=180mes^MIAmes^BIM=18060mes^BIM=120
 
Ainsi, mes^BIM=120
 
2) K est le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par I et la droite (AM).
 
a) Justifions que AMB est un triangle rectangle.
 
A, B  et  M sont trois points du cercle (C).
 
Or, [AB] est un diamètre donc, AMB est un triangle rectangle en M.
 
b) En remarquant que cos^BAM=cos^KAI.
 
Calculons AK  et  KI.
 
  Calcul de AK
 
On a : cos^BAM=AMAB  et  cos^KAI=AIAK
 
Comme cos^BAM=cos^KAI alors,
 
AMAB=AIAKAK×AM=AB×AIAK=AB×AIAMAK=8×44AK=8
 
Donc, AK=8cm
 
  Calcul de KI
 
KAI étant rectangle en I alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
 
KI2+AI2=AK2KI2=AK2AI2KI=AK2AI2KI=8242KI=6416KI=48KI=43
 
Ainsi, KI=43cm
 
3) Le point H est le projeté de M sur (AB).
 
a) Calculons cosˆB de deux manières différentes.
 
On a :
{cosˆB=BMABcosˆB=BHBM
b) Exprimons BH en fonction de cosˆB
 
On a :
 
cosˆB=BHBMBH=cosˆB×BM
 
Donc, BH=cosˆB×BM
 
Démontrons que : BH=BM2AB
 
On a : BH=cosˆB×BM
 
Or, cosˆB=BMAB donc, en remplaçant cosˆB par BMAB, on obtient :
 
BH=cosˆB×BM=BMAB×BM=BM×BMAB=BM2AB
 
D'où, BH=BM2AB
 
4) Plaçons le point E sur le segment [AM] tel que : AE=3cm.
 
La parallèle à (IM) passant par E coupe [AI] en F. 
 
Le triangle AEF est équilatérale.
 
En effet, les triangles AEF  et  AMI sont en position de Thalès de sommet commun A.
 
Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :
AEAM=AFAI=EFIM
Par suite,
 
AEAM=AFAIAF=AE×AIAMAF=3×44AF=3
 
Donc, AF=3cm
 
Aussi, on a :
 
AEAM=EFIMEF=AE×IMAMEF=3×44EF=3
 
Donc, EF=3cm
 
Ainsi, AE=AF=EF
 
Par conséquent, le triangle AEF est équilatérale.

 

Exercice 16

On considère un cercle (C) de centre O et de rayon r. Soit [AB] un diamètre de ce cercle ; (Δ) la tangente en B  à  (C). Une droite (L) passant par A recoupe (C)  en  C et recoupe (Δ)  en  E. On désigne par α la mesure de ^BAC.

 

 
1) Exprimons en fonction de r  et  α : CA; CB; EA; EB.
 
  Expression de CA
 
On sait que les points A, B  et  C appartiennent au cercle (C) et que [AB] est un diamètre donc, le triangle ABC est rectangle en C.
 
Ainsi, cosα=CAAB
 
Ce qui donne : CA=AB×cosα
 
Comme, AB=2×r alors CA=2×r×cosα
 
  Expression de CB
 
Toujours, en considérant le triangle ABC, on a : CBAB=sinα
 
Donc, CB=AB×sinα avec AB=2×r
 
Par suite, CB=2×r×sinα
 
  Expression de EA
 
On sait que (Δ) est tangente à (C) au point B. Donc, (Δ) est perpendiculaire à (AB).
 
Par conséquent, le triangle ABE est rectangle en B.
 
Ainsi, ABEA=cosα avec AB=2×r
 
Ce qui donne : 2×r=EA×cosα
 
D'où, EA=2×rcosα
 
  Expression de EB
 
Toujours, dans ce même triangle ABE, on a : EBAB=tanα
 
Ce qui entraine : EB=AB×tanα
 
Comme AB=2×r alors, on obtient :
 
EB=2×r×tanα
 
2) Calculons : CA; CB; EA; EB pour r=2cm  et  α=30.
 
  Calcul de CA
 
On a : CA=2×r×cosα
 
Donc, pour r=2cm  et  α=30, on obtient :
 
CA=2×r×cosα=2×2×cos30=4×32=23
 
Ainsi, CA=23cm
 
  Calcul de CB
 
On a : CB=2×r×sinα
 
Or, r=2cm  et  α=30, donc :
 
CB=2×r×sinα=2×2×sin30=4×12=2
 
D'où, CB=2cm
 
  Calcul de EA
 
On a : EA=2×rcosα
 
Donc, pour r=2cm  et  α=30, on obtient :
 
EA=2×rcosα=2×2cos30=432=4×23=83
 
Par suite, EA=83
 
En rendant rationnel le dénominateur, on obtient :
 
EA=83=8×33×3=833
 
Ainsi, EA=833cm
 
  Calcul de EB
 
On a : EB=2×r×tanα
 
Or, r=2cm  et  α=30, donc :
 
EB=2×r×tanα=2×2×tan30=4×33=433
 
D'où, EB=433cm

Exercice 17

Soit un segment [OA], OA=4cm.
 
M est un point appartenant au cercle C(O, 3cm) tel que :
 
^AOM=30, R un point du plan tel que OARM est un parallélogramme.
 
Calculons l'aire de OARM.
 
Pour cela, projetons orthogonalement M sur [AO].
 
Alors, [MH] est une hauteur issue de M.
 
Par suite,
Aire de OARM=MH×OA
Déterminons alors la longueur MH.
 
En effet, H étant le projeté orthogonal de M sur [OA] alors, le triangle MOH est rectangle en H.
 
Ainsi, MHOM=sin30
 
Ce qui entraine : MH=OM×sin30
 
Or, OM=3cm  et  sin30=12
 
Donc, MH=3×12=32
 
Par conséquent, en remplaçant MH  et  OA par leur valeur, on trouve :
 
Aire de OARM=MH×OA=32×4=122=6
 
D'où, Aire de OARM=6cm2
 
 

Exercice 18

(C) est un cercle de diamètre [AB], de rayon r, (BX) est tangente à (C) en B.
 
Une droite passant par A coupe (C) en M et la tangente (BX) en T, avec ^BAT=a.
 
Exprimons AM, MB, BT, AT à l'aide de a  et  r.
 
En effet, AMB est un triangle inscrit dans le cercle (C) dont le côté [AB] est un diamètre de ce cercle.
 
Par conséquent, le triangle AMB est rectangle en M.
 
D'où, le cosinus de l'angle ^BAT est donné par :
cos^BAT=AMAB
Ce qui entraine : AM=AB×cos^BAT
 
Or, [AB] est un diamètre du (C) de rayon r donc, AB=2r
 
Ainsi, en remplaçant ^BAT par a et AB par 2r, on trouve : AM=2r×cosa
 
D'où, AM=2rcosa
 
Pour déterminer MB on utilise le sinus de l'angle ^BAT.
 
On a :
sin^BAT=MBAB
Ce qui entraine : MB=AB×sin^BAT
 
En remplaçant AB  et  ^BAT par leur valeur, on trouve : MB=2r×sina
 
D'où, MB=2rsina
 
Comme (BX) est tangente à (C) en B et le point T appartient à (BX) alors, (BT) est perpendiculaire à (AB).
 
Par conséquent, ABT est un triangle rectangle en B.
 
Ainsi, pour déterminer BT on utilise la tangente de l'angle ^BAT.
 
On a : tan^BAT=BTAB
 
Ce qui donne : BT=AB×tan^BAT
 
Ainsi, en remplaçant AB par 2r  et  ^BAT par a, on obtient : BT=2r×tana
 
D'où, BT=2rtana
 
Pour déterminer AT on peut utiliser la première relation métrique dans le triangle ABT.
 
ABT étant rectangle en B alors, on a : AB2=AM×AT
 
Donc, AT=AB2AM
 
Ainsi, en remplaçant AB  et  AM par leur valeur, on trouve : AT=(2r)22rcosa
 
Ce qui donne : AT=4r22rcosa=2rcosa
 
D'où, AT=2rcosa
 
 

Exercice 19

Construisons le triangle ABC rectangle en A tel que AB=8cm  et  AC=6cm.
 
1) Calculons BC, cos^ABC, sin^ABC puis, tan^ABC.
 
  Calcul de BC
 
Comme le triangle ABC rectangle en A alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
BC2=AB2+AC2
Ce qui entraine :
 
BC=AB2+AC2=82+62=64+36=100=10
 
Donc, BC=10cm
 
  Calcul de cos^ABC
 
Comme le triangle ABC rectangle en A alors, le cosinus de l'angle ^ABC est donné par :
cos^ABC=ABBC
En remplaçant AB  et  BC par leur valeur, on trouve :
 
cos^ABC=ABBC=810=45
 
D'où, cos^ABC=45
 
  Calcul de cos^ABC
 
Comme le triangle ABC rectangle en A alors, le sinus de l'angle ^ABC est donné par :
sin^ABC=ACBC
En remplaçant AC  et  BC par leur valeur, on trouve :
 
sin^ABC=ACBC=610=35
 
D'où, sin^ABC=35
 
  Calcul de tan^ABC
 
La tangente de l'angle ^ABC est donné par :
tan^ABC=ACAB
En remplaçant AB  et  AC par leur valeur, on trouve :
 
tan^ABC=ACAB=68=34
 
D'où, tan^ABC=34
 
2) Plaçons le point M sur le segment [AB] tel que : AM=13AB.
 
3) La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N.
 
Calculons AN.
 
En effet, (MN) étant parallèle à (BC) alors, les triangles ABC  et  AMN sont en position de Thalès.
 
Donc, les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles.
 
Or, on a : AM=13AB
 
Par conséquent, AN=13AC.
 
En remplaçant AC par sa valeur, on trouve : AN=13×6=63=2
 
D'où, AN=2cm
 
4) Soient O  et  P les symétriques respectifs des points M  et  N, par rapport à A.
 
Montrons que (MN) est parallèle à (OP).
 
En effet, comme O est le symétrique de M par rapport à A alors, A est milieu de [MO].
 
Donc, AO=AM ce qui entraine :
AOAM=1
Aussi, on a : P symétrique de N par rapport à A donc, A est milieu de [NP].
 
Ainsi, AP=AN et par suite :
APAN=1
On constate alors que :
AOAM=APAN
Ainsi, M, A, O étant trois points alignés d'une part, et N, A, P trois points alignés d'autre part, dans le même ordre tels que AOAM=APAN alors, en appliquant la réciproque du théorème de Thalès, on a : (MN) parallèle à (OP).
 
 

Exercice 20

ABC est un triangle rectangle en B.
 
H est le pied de la hauteur issue de B.
 
On note α la mesure de ^BCA.
 
On donne : 
 
sin(α)=53; BH=52  et  AC=5.
 
1) a) Sachant que cos2(α)+sin2(α)=1, calculons cos(α).
 
On a :
 
cos2(α)+sin2(α)=1cos2(α)=1sin2(α)cos(α)=1sin2(α)cos(α)=1(53)2cos(α)=159cos(α)=9959cos(α)=49cos(α)=49cos(α)=23
 
Ainsi, cos(α)=23
 
b) Déduisons-en HC  et  AB.
 
Comme H est le pied de la hauteur issue de B alors, le triangle BHC est rectangle en H.
 
Donc, pour déterminer la longueur HC, on utilise la tangente de l'angle α.
 
On a :
 
tan(α)=BHHC
 
tan(α)=sin(α)cos(α)
 
Donc, BHHC=sin(α)cos(α)
 
Ce qui entraine : HC×sin(α)=BH×cos(α)
 
Ce qui donne :
HC=BH×cos(α)sin(α)
Ainsi, en remplaçant BH, cos(α)   sin(α) par leur valeur, on trouve :
 
HC=BH×cos(α)sin(α)=52×2353=53×35=3535=1
 
D'où, HC=1cm
 
Pour le calcul de AB, on considère le triangle ABC rectangle en B.
 
Alors, on a :
sin(α)=ABAC
Ce qui entraine : AB=AC×sin(α)
 
Donc, en remplaçant AC  et  sin(α) par leur valeur, on obtient :
 
AB=AC×sin(α)=5×53=5×53=53
 
Ainsi, AB=53cm
 
2) Une droite (Δ) parallèle à (BC) et passant par H coupe [AB] en E.
 
a) Comparons les mesures des angles ^EHA  et  ^BCA.
 
En effet, ^EHA  et  ^BCA sont deux angles correspondants.
 
De plus, les droites (Δ)  et  (BC) sont parallèles.
 
Or, on sait que deux droites parallèles coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure.
 
Par conséquent,
mes(^BCA)=mes(^EHA)
b) Déduisons-en que ABBC=EAEH
 
Comme les angles ^BCA  et  ^EHA ont la même mesure alors, on a :
tan^BCA=tan^EHA
Or, dans le triangle rectangle ABC on a :
tan^BCA=ABBC
Par ailleurs, on sait que si deux droites sont perpendiculaires alors, toute droite parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.
 
Or, (AB)  et  (BC) sont perpendiculaires et (AE) parallèle à (BC).
 
Donc, (AE) est perpendiculaire à (AB) en E.
 
Par conséquent, le triangle AEH est rectangle en E.
 
Ainsi, on a :
tan^EHA=EAEH
D'où, ABBC=EAEH
 
 

Exercice 21

1) Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB=8cm  et  AC=4cm.
 
Calculons BC.
 
Comme le triangle ABC est rectangle en A alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :
BC2=AB2+AC2
Ce qui donne :
 
BC=AB2+AC2=82+42=64+16=80=16×5=45
 
D'où, BC=45
 
2) Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].
 
On donne AB2=BH×BC  et  AC2=CH×BC
 
a) Calculons BH, CH puis, AH.
 
Soit : AB2=BH×BC
 
Alors, on a : BH=AB2BC
 
Donc, en remplaçant AB  et  BC par leur valeur, on trouve :
 
BH=AB2BC=8245=6445=165=1655
 
Ainsi, BH=1655
 
On a : AC2=CH×BC
 
Ce qui entraine : CH=AC2BC
 
Donc, en remplaçant AC  et  BC par leur valeur, on trouve :
 
CH=AC2BC=4245=1645=45=455
 
D'où, CH=455
 
En utilisant la troisième relation métrique, on a :
AH2=BH×CH
Ce qui entraine : AH=BH×CH
 
Donc, en remplaçant BH  et  CH par leur valeur, on obtient :
 
AH=BH×CH=1655×455=16×4×525=4×2×55=855
 
Ainsi, AH=855
 
b) La parallèle à (AH) passant par C coupe (AB) en E.
 
Calculons AE puis déduisons-en EC.
 
En effet, comme les droites (AH)  et  (BC) sont perpendiculaires et la droite (CE) parallèle à la droite (AH) alors, (CE) est perpendiculaire à (BC).
 
Par suite, le triangle BEC est rectangle en C.
 
Par conséquent, [AC] est la hauteur issue de C.
 
Ainsi, en utilisant la troisième relation métrique dans ce triangle, on obtient :
AC2=AE×AB
Ce qui entraine : AE=AC2AB
 
Donc, en remplaçant AC  et  AB par leur valeur, on trouve :
 
AE=AC2AB=428=168=2
 
D'où, AE=2cm
 
En utilisant la deuxième relation métrique dans le triangle BEC, on obtient :
EC2=AE×BE
Ce qui entraine : EC=AE×BE
 
Or, BE=AB+AE donc, EC=AE×(AB+AE)
 
Ainsi, en remplaçant AE  et  AB par leur valeur, on trouve :
 
EC=AE×(AB+AE)=2×(8+2)=2×10=20=4×5=25
 
D'où, EC=25
 
c) Calculons sinˆE.
 
En considérant le triangle BEC rectangle en C, on a :
sinˆE=BCBE
Or, BE=AB+AE=8+2=10cm
 
Donc, en remplaçant BC  et  BE par leur valeur, on trouve :
 
sinˆE=BCBE=4510=255
 
D'où, sinˆE=255
 
 

Exercice 22

On donne la figure ci-dessous où HG=6cm, ^EGH=45, sin^HFG=35, (GH) est la hauteur du triangle EFG issue de G  et  (HG) parallèle à (ER).
 
 
1) Déterminons cos^HGF.
 
En effet, comme (GH) est la hauteur du triangle EFG issue de G alors, le triangle FGH est rectangle en H.
 
Ainsi, les angles aigus ^HFG  et  ^HGF sont complémentaires.
 
Par conséquent, le cosinus de l'un est égal au sinus de l'autre.
 
Donc,
cos^HGF=sin^HFG
D'où, cos^HGF=35
 
2) En utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, calculons les longueurs FG  et  FH.
 
  Calcul FG
 
Dans le triangle rectangle FGH, on a :
sin^HFG=GHFG
Ce qui entraine : FG×sin^HFG=GH
 
Ce qui donne : FG=GHsin^HFG
 
En remplaçant GH  et  sin^HFG par leur valeur, on trouve :
 
FG=GHsin^HFG=635=6×53=303=10
 
D'où, \boxed{FG=10\;cm}
 
-\ Calcul FH
 
Le triangle FGH étant rectangle en H alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
FG^{2}=FH^{2}+HG^{2}
Donc, FH^{2}=FG^{2}-HG^{2}
 
Par suite, FH=\sqrt{FG^{2}-HG^{2}}
 
En remplaçant FG\ et \ HG par leur valeur, on trouve :
 
\begin{array}{rcl} FH&=&\sqrt{FG^{2}-HG^{2}}\\\\&=&\sqrt{10^{2}-6^{2}}\\\\&=&\sqrt{100-36}\\\\&=&\sqrt{64}\\\\&=&8\end{array}
 
D'où, \boxed{FH=8\;cm}
 
3) Justifions que le triangle EGH est rectangle et isocèle en H puis, déduisons-en EH.
 
En effet, (GH) étant perpendiculaire à (HE) alors, le triangle EGH est rectangle en H.
 
Par ailleurs, on sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180^{\circ}.
 
Donc,
\widehat{EGH}+\widehat{GEH}+\widehat{GHE}=180^{\circ}
Par suite, \widehat{GEH}=180^{\circ}-\widehat{EGH}-\widehat{GHE}
 
En remplaçant \widehat{EGH}\ et \ \widehat{GHE} par leur valeur, on trouve :
 
\begin{array}{rcl} \widehat{GEH}&=&180^{\circ}-\widehat{EGH}-\widehat{GHE}\\\\&=&180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}\\\\&=&45^{\circ}\end{array}
 
Ainsi, \boxed{\widehat{GEH}=45^{\circ}}
 
On remarque alors que les angles \widehat{GEH}\ et \ \widehat{EGH} ont la même mesure.
 
Par conséquent, le triangle EGH est rectangle et isocèle en H.
 
4) Calculons la longueur RE.
 
(HG) étant parallèle à (ER) alors, les triangles FGH\ et \ FRE sont en position de Thalès.
 
Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{GH}{RE}=\dfrac{FH}{FE}
Ce qui entraine : RE\times FH=GH\times FE 
 
Ainsi, RE=\dfrac{GH\times FE}{FH}
 
Or, FE=FH+HE=8+6=14\;cm
 
Donc, en remplaçant GH\;,\ FH\ et \ FE par leur valeur, on trouve :
 
\begin{array}{rcl} RE&=&\dfrac{GH\times FE}{FH}\\\\&=&\dfrac{6\times 14}{8}\\\\&=&\dfrac{84}{8}\\\\&=&\dfrac{21}{4}\end{array}
 
D'où, \boxed{RE=\dfrac{21}{4}}

Exercice de Synthèse

Soit ABC un triangle rectangle en B et AC l'hypoténuse, \sin\widehat{A} est égal : \dfrac{BC}{AC}
 
 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

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