Vous êtes ici

Solution des exercices : Trigonométrie-Ts

Classe:

Terminale

Équations trigonométriques

Exercice 1

$\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$

L'équation équivaut à

$\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ , soit à

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x+\dfrac{\pi}{6}&=&\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\\ \\ 2x+\dfrac{\pi}{6}&=&-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}). \end{array}\right.$

La première équation s'écrit après transposition et division par

$2$ :

$x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ et la seconde

$x=\dfrac{-5\pi}{12}+k'\pi.$

En donnant à

$k$ et à

$k'$ des valeurs « raisonnables » pour que

$x$ et

$x'$ restent dans

$]-\pi\;,\ \pi]$ , on obtient les solutions :

$\dfrac{\pi}{4}\;,\ -\dfrac{3\pi}{4}$ (pour

$k=0$ et

$k=-1$ ) et

$-\dfrac{5\pi}{12}\;,\ \dfrac{7\pi}{4}$ , (pour

$k'=0$ et

$k'=1$ ).

$\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Démarche analogue au 1).

$S=\left\lbrace-\dfrac{2\pi}{3}\;;\ -\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\;;\ \dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}\right\rbrace$

$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

L'équation équivaut à

$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ , soit à

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+\dfrac{\pi}{3}&=&\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\\ \\ x+\dfrac{\pi}{3}&=&\pi-\dfrac{\pi}{3}+2k'\pi\quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}). \end{array}\right.$

La première équation s'écrit après transposition :

$x=2k\pi$ et la seconde

$x=\dfrac{\pi}{3}+2k'\pi.$

En donnant à

$k$ et à

$k'$ des valeurs « raisonnables » pour que

$x$ et

$x'$ restent dans

$]-\pi\;,\ \pi]$ , on obtient :

$S=\left\lbrace0\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right\rbrace$ (pour

$k=0$ et

$k'=0$ )

$\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Démarche analogue au 2).

$S=\left\lbrace-\dfrac{\pi}{2}\;;\ -\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{4}\right\rbrace$

$\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$

L'équation équivaut à

$\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ , soit à

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x-\dfrac{\pi}{4}&=&-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})\quad(1)\\ \\ 2x-\dfrac{\pi}{4}&\neq &(2h+1)\dfrac{\pi}{2}\;,\quad h\in\mathbb{Z}\quad(2) \end{array}\right.$

ou après résolution à $x=\dfrac{k\pi}{2}\;(k\in\mathbb{Z})$ et $x\neq\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{h\pi}{2}\;,\ h\in\mathbb{Z}.$

Dans

$]-\pi\;,\ \pi]$ , les nombres de la forme

$\dfrac{k\pi}{2}$ sont

$-\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi.$

On vérifie que :

$\ast\ \dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{h\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow h=-\dfrac{7}{4}$ qui n'est pas entier ;

$\ast\ \dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{h\pi}{2}=0\Rightarrow h=-\dfrac{3}{4}$ qui n'est pas entier ;

$\ast\ \dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{h\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow h=\dfrac{1}{4}$ qui n'est pas entier ;

$\ast\ \dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{h\pi}{2}=\pi\Rightarrow h=\dfrac{5}{4}$ qui n'est pas entier.

On obtient donc comme ensemble de solutions

$S=\{-\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\}$

$\tan\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{3}$

L'équation équivaut à

$\tan\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ , soit

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 3x+\dfrac{\pi}{4}&=&\dfrac{\pi}{3}+k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})\quad(1)\\ \\ 3x+\dfrac{\pi}{4}&\neq &(2h+1)\dfrac{\pi}{2}\;,\quad h\in\mathbb{Z}\quad(2) \end{array}\right.$

ou après résolution à $x=\dfrac{\pi}{36}+\dfrac{k\pi}{3}$ et $x\neq\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{h\pi}{2}.$

Dans

$]-\pi\;,\ \pi]$ , on obtient comme solutions possibles les nombres :

$-\dfrac{35\pi}{36}\;;\ -\dfrac{23\pi}{36}\;;\ -\dfrac{11\pi}{36}\;;\ \dfrac{\pi}{36}\;;\ \dfrac{13\pi}{36}\;;\ \dfrac{25\pi}{36}.$

On vérifie que :

$\ast$ si

$x=-\dfrac{35\pi}{36}$ , alors

$3x+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{8\pi}{3}$ qui n'est pas un multiple entier impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ si

$x=-\dfrac{23\pi}{36}$ , alors

$3x+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{3}$ qui n'est pas un multiple entier impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ si

$x=-\dfrac{11\pi}{36}$ , alors

$3x+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{2\pi}{3}$ qui n'est pas un multiple entier impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ si

$x=\dfrac{\pi}{36}$ , alors

$3x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{3}$ qui n'est pas un multiple entier impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ si

$x=\dfrac{13\pi}{36}$ , alors

$3x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{4\pi}{3}$ qui n'est pas un multiple entier impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ si

$x=\dfrac{25\pi}{36}$ , alors

$3x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{3}$ qui n'est pas un multiple entier impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

Finalement, on a bien :

$S=\left\lbrace-\dfrac{35\pi}{36}\;;\ -\dfrac{23\pi}{36}\;;\ -\dfrac{11\pi}{36}\;;\ \dfrac{\pi}{36}\;;\ \dfrac{13\pi}{36}\;;\ \dfrac{25\pi}{36}\right\rbrace$

$\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

L'équation équivaut au système

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 3x-\dfrac{\pi}{4}&=&x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\\ \text{ou}\\ 3x-\dfrac{\pi}{4}&=&-x-\dfrac{\pi}{3}+2k'\pi \end{array}\right.$

$\quad$
soit après résolution à $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{7\pi}{24}+k\pi\\ \text{ou}\\ x&=&\dfrac{\pi}{48}+\dfrac{k'\pi}{4}\end{array}\right.$

Et en choisissant les valeurs de $k$ et $k'$ convenables pour que $x$ appartienne à $]-\pi\;,\ \pi]$ , on obtient :

$S=\left\lbrace\dfrac{7\pi}{24}\;;\ -\dfrac{17\pi}{24}\;;\ -\dfrac{47\pi}{48}\;;\ -\dfrac{35\pi}{48}\;;\ -\dfrac{23\pi}{48}\;;\ -\dfrac{11\pi}{48}\;;\ \dfrac{\pi}{48}\;;\ \dfrac{13\pi}{48}\;;\ \dfrac{25\pi}{48}\;;\ \dfrac{37\pi}{48}\right\rbrace$

$\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

L'équation équivaut à

$\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi+\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=\cos\left(3x+\dfrac{4\pi}{3}\right)$ , soit au système

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x-\dfrac{\pi}{4}&=&3x+\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi\\ 2x-\dfrac{\pi}{4}&=&-3x-\dfrac{4\pi}{3}+2k'\pi \quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z})\end{array}\right.$

ou encore après résolution à

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-\dfrac{19\pi}{12}+2k\pi\\ x&=&-\dfrac{13\pi}{60}+\dfrac{2k'\pi}{5} \qquad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z})\end{array}\right.$

Et en donnant à $k$ et $k'$ les valeurs $1$ (pour $k$ ) et $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ (pour $k'$ ), on obtient :

$S=\left\lbrace\dfrac{5\pi}{12}\;;\ -\dfrac{37\pi}{60}\;;\ -\dfrac{13\pi}{60}\;;\ \dfrac{11\pi}{60}\;;\ \dfrac{35\pi}{60}\;;\ \dfrac{59\pi}{60}\right\rbrace.$

$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)$

L'équation équivaut au système

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+\dfrac{\pi}{3}&=&3x-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ x+\dfrac{\pi}{3}&=&\pi-\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)+2k'\pi \quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z})\end{array}\right.$

$\quad$

Soit après résolution à $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\ x&=&\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{k'\pi}{2} \quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z})\end{array}\right.$

Et en choisissant les valeurs de $k$ et $k'$ convenables pour que $x$ appartienne à $]-\pi\;,\ \pi]$ , on obtient :

$S=\left\lbrace\dfrac{\pi}{4}\;;\ -\dfrac{3\pi}{4}\;;\ \dfrac{5\pi}{24}\;;\ \dfrac{17\pi}{24}\;;\ -\dfrac{7\pi}{24}\;;\ -\dfrac{19\pi}{24}\right\rbrace.$

10)

$\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)$

L'équation équivaut à

$\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left[\dfrac{\pi}{2}-\left(4x-\dfrac{\pi}{3}\right)\right]$ ou encore à :

$\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-4x+\dfrac{5\pi}{6}\right)$ , soit au système

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x+\dfrac{\pi}{4}&=&-4x+\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\ 2x+\dfrac{\pi}{4}&=&\pi-\left(-4x+\dfrac{5\pi}{6}\right)+2k'\pi \quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z})\end{array}\right.$

(

$k$ ,

$k'\in\mathbb{Z}$ ), ou encore après résolution à

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{7\pi}{72}+\dfrac{k\pi}{3}\\ x&=&\dfrac{\pi}{24}+k'\pi \quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z})\end{array}\right.$

Et en donnant à $k$ et $k'$ les valeurs $-3$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ (pour $k$ ) et $-1$ , $0$ (pour $k'$ ), on obtient :

$S=\left\lbrace-\dfrac{65\pi}{72}\;;\ -\dfrac{41\pi}{72}\;;\ -\dfrac{17\pi}{72}\;;\ \dfrac{7\pi}{24}\;;\ \dfrac{31\pi}{72}\;;\ \dfrac{55\pi}{72}\;;\ -\dfrac{23\pi}{24}\;;\ \dfrac{\pi}{24}\right\rbrace$

11)

$\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)$

L'équation équivaut à

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x+\dfrac{\pi}{4}&=&2x-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\;,\ (k\in\mathbb{Z})\quad(1)\\ \\ x+\dfrac{\pi}{4}&\neq&(2h+1)\dfrac{\pi}{2}\;,\ (h\in\mathbb{Z})\quad(2)\\ \\ 2x-\dfrac{\pi}{4}&\neq&(2l+1)\dfrac{\pi}{2}\;,\ (l\in\mathbb{Z})\quad(3)\\ \end{array}\right.$

$\qquad$
ou après résolution à

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;,\ (k\in\mathbb{Z})\quad(1)\\ \\ x&\neq&\dfrac{\pi}{4}+h\pi\;,\ (h\in\mathbb{Z})\quad(2)\\ \\ x&\neq&\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{l\pi}{2}\;,\ (l\in\mathbb{Z})\quad(3)\\ \end{array}\right.$

Dans

$]-\pi\;,\ \pi]$ , on obtient comme solutions possibles de (1) les nombres :

$\dfrac{\pi}{2}$ et

$\dfrac{3\pi}{2}.$

On vérifie que :

$\ast\ \dfrac{\pi}{4}+h\pi=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow h=\dfrac{1}{4}$ qui n'est pas un entier non plus.

$\ast\ \dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{l\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow l=\dfrac{1}{4}$ qui n'est pas un entier et

$\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{l\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}\Rightarrow l=\dfrac{9}{4}$ qui n'est pas un entier non plus.

L'ensemble des solutions de cette équation est donc bel et bien

$S=\left\lbrace\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right\rbrace.$

12)

$\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-co\tan\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)$

L'équation équivaut, d'après les formules, successivement aux équations suivantes :

$\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=co\tan\left(-3x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ ,

$\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan\left[\dfrac{\pi}{2}-\left(-3x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]$ et

$\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ , ce qui entraîne

$2x+\dfrac{\pi}{3}=3x+\dfrac{\pi}{4}+k\pi\;,\ (k\in\mathbb{Z})$ ou après résolution :

$x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi\;,\ (k\in\mathbb{Z}).$

Dans

$]-\pi\;,\ \pi]$ , on obtient comme solutions possibles les nombres

$\dfrac{\pi}{12}$ et

$-\dfrac{11\pi}{12}.$

$\ast$ Si

$x=-\dfrac{11\pi}{12}$ , alors

$2x+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{3\pi}{2}$ qui est un multiple entier impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ Si

$x=\dfrac{\pi}{12}$ , alors

$2x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$ qui est un multiple entier impair de

$\dfrac{\pi}{2}.$

Ces valeurs ne conviennent donc pas comme solutions de l'équation et par conséquent :

$S=\varnothing$

Exercice 2

$4\cos^{2}x-1=0$

L'équation équivaut à la réunion des deux équations :

$\cos x=\dfrac{1}{2}\text{ ou }\cos x=-\dfrac{1}{2}.$

$S=\left\lbrace\dfrac{\pi}{3}\;;\ -\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ -\dfrac{2\pi}{3}\right\rbrace$

$4\cos^{2}\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-3=0$

L'équation équivaut à la réunion des deux équations :

$\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{ ou encore à }\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\text{ ou bien }\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right).$

On obtient les systèmes :

$(I)\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x+\dfrac{\pi}{3}&=&\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ \\ x+\dfrac{\pi}{3}&=&-\dfrac{\pi}{6}+2k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$\quad$

$\text{Et}\quad(II)\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x+\dfrac{\pi}{3}&=&\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\ \\ x+\dfrac{\pi}{3}&=&-\dfrac{5\pi}{6}+2k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$\quad$

$\text{soit, après résolution à :}\quad(I)\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{\pi}{2}+2k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$\quad$

$\text{Et}\quad(II)\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{7\pi}{6}+2k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$S=\left\lbrace-\dfrac{\pi}{12}\;;\ -\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}\right\rbrace$

(

$k=0$ et

$k'=0$ pour le système (I)), (

$k=0$ et

$k'=1$ pour le système (II)).

$2\sin^{2}\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)-1=0$

L'équation équivaut à la réunion des deux équations :

$\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ou

$\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ou encore à

$\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ ou bien

$\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right).$

On obtient les systèmes :

$(I)\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x+\dfrac{\pi}{3}&=&\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\\ \\ 2x+\dfrac{\pi}{3}&=&\dfrac{3\pi}{4}+2k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$\quad$

$\text{Et}\quad(II)\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x+\dfrac{\pi}{3}&=&-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\\ \\ 2x+\dfrac{\pi}{3}&=&\dfrac{5\pi}{4}+2k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$\quad$

$\text{soit, après résolution à :}\quad(I)\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-\dfrac{\pi}{24}+2k\pi\\ \\ x&=&\dfrac{5\pi}{24}+2k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$\quad$

$\text{Et}\quad(II)\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-\dfrac{7\pi}{24}+2k\pi\\ \\ x&=&\dfrac{11\pi}{24}+2k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$S=\left\lbrace-\dfrac{\pi}{24}\;;\ \dfrac{23\pi}{24}\;;\ \dfrac{5\pi}{24}\;;\ -\dfrac{19\pi}{24}\;;\ -\dfrac{7\pi}{24}\;;\ \dfrac{19\pi}{24}\;;\ \dfrac{11\pi}{24}\;;\ -\dfrac{13\pi}{24}\right\rbrace$

(

$k=0$ ,

$k=1$ et

$k'=0$ ,

$k'=-1$ pour le système (I)), (

$k=0$ ,

$k=1$ et

$k'=0$ ,

$k'=-1$ pour le système (II)).

$2\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos 2x=0$

L'équation s'écrit

$\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=0$ en utilisant la formule

$\sin 2x=2\sin x\cos x.$

On reconnait là une équation du type

$a\cos u+b\sin u=c.$

Pour se ramener à une équation trigonométrique usuelle, il faut diviser les deux membres par

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}.$

Ainsi l'équation proposée devient :

$\dfrac{1}{2}\sin 2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=0$ , soit d'après une formule d'addition :

$\sin\dfrac{\pi}{6}\sin 2x+\cos\dfrac{\pi}{6}\cos 2x=0\Leftrightarrow\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-2x\right)=0=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right).$

La résolution de cette dernière équation conduit au système :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \dfrac{\pi}{6}-2x&=&\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\text{ ou}\\ \\ \dfrac{\pi}{6}-2x&=&-\dfrac{\pi}{2}+2k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

soit après résolution à

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\\ \\ x&=&\dfrac{\pi}{3}+k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

Dans

$]-\pi\;,\ \pi]$ , on obtient les solutions

$-\dfrac{\pi}{6}$ ,

$\dfrac{5\pi}{6}$ ,

$\dfrac{\pi}{3}$ et

$-\dfrac{2\pi}{3}.$

$\tan^{2}\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)-1=0$

L'équation équivaut à la réunion des deux équations :

$\tan\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)=1$ ou

$\tan\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right)=-1$ dont la résolution, laissée au lecteur, conduit aux solutions du type :

$x=\dfrac{\pi}{36}+\dfrac{k\pi}{3}$ ou

$x=\dfrac{-5\pi}{36}+\dfrac{k'\pi}{3}$ ,

$(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}).$

Dans

$]-\pi\;,\ \pi]$ , on obtient les six solutions

$\dfrac{\pi}{36}$ ,

$\dfrac{13\pi}{36}$ ,

$\dfrac{25\pi}{36}$ ,

$-\dfrac{11\pi}{36}$ ,

$-\dfrac{23\pi}{36}$ ,

$-\dfrac{35\pi}{36}$ pour le premier type (correspondant aux valeurs respectives

$0$ ,

$1$ ,

$2$ ,

$-1$ ,

$-2$ ,

$-3$ de

$k)$ et les six solutions

$-\dfrac{5\pi}{36}$ ,

$\dfrac{7\pi}{36}$ ,

$\dfrac{19\pi}{36}$ ,

$\dfrac{31\pi}{36}$ ,

$-\dfrac{17\pi}{36}$ ,

$-\dfrac{29\pi}{36}$ pour le deuxième type (correspondant aux valeurs respectives

$0$ ,

$1$ ,

$2$ ,

$3$ ,

$-1$ ,

$-2$ de

$k')$ .

On vérifie que pour chacune de ces solutions

$\alpha$ , on a

$3\alpha+\dfrac{\pi}{6}\neq(2h+1)\dfrac{\pi}{2}\;,\ h\in\mathbb{Z}$ , en d'autres termes que l'équation est bien définie pour chacune d'elles.

Cette équation admet donc en tout

$12$ solutions dans

$]-\pi\;,\ \pi].$

$\tan^{2}\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)-3=0$

Cette équation est tout à fait analogue à la précédente.

Nous nous bornons à en donner l'ensemble des solutions.

$S=\left\lbrace\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}\;;\ -\dfrac{\pi}{6}\;;\ -\dfrac{2\pi}{3}\;;\ 0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\;;\ -\dfrac{\pi}{2}\right\rbrace.$

On vérifie que l'équation

$2x-\dfrac{\pi}{4}=(2h+1)\dfrac{\pi}{2}\;;\ h\in\mathbb{Z}.$ , a pour solutions les nombres de la forme

$\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{h\pi}{2}.$

Ceux que ces derniers qui appartiennent à

$]-\pi\;,\ \pi]$ sont :

$S=\dfrac{3\pi}{8}\;;\ \dfrac{7\pi}{8}\;;\ -\dfrac{\pi}{8}\;;\ -\dfrac{5\pi}{8}.$

Aucun d'eux n'est dans

$S.$

$\tan^{2}\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan^{2}(2x)$

L'équation équivaut à

$\left\lbrace\left(\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan(2x)\right)\text{ ou }\left(\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\tan(2x)\right)\right\rbrace$ , ce qui conduit à l'une des deux équations :

$x+\dfrac{\pi}{4}=2x+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}\quad(1)\text{ ou }x+\dfrac{\pi}{4}=-2x+k'\pi\ (k'\in\mathbb{Z}\quad(2).$

La première d'entre elles a pour solutions les nombres de la forme

$x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ et la seconde les nombres de la forme

$x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k'\pi}{3}.$

On obtient donc a priori comme solutions possibles les nombres :

$-\dfrac{3\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{4}$ obtenus respectivement pour

$k=-1$ ,

$k=0$ , et

$-\dfrac{3\pi}{4}\;;\ -\dfrac{5\pi}{12}\;;\ -\dfrac{\pi}{12}\;;\ \dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{7\pi}{12}\;;\ \dfrac{11\pi}{12}$ obtenus respectivement pour

$k'=-2$ ,

$k'=-1$ ,

$k'=0$ ,

$k'=1$ ,

$k'=2$ et

$k'=3.$

Il faut maintenant vérifier que pour chacune de ces valeurs, les expressions

$x+\dfrac{\pi}{4}$ ne sont pas des multiples impairs de

$\dfrac{\pi}{2}.$

$\ast$ si

$x=-\dfrac{3\pi}{4}$ , alors

$2x=-\dfrac{3\pi}{2}$ qui est un multiple impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ si

$x=\dfrac{\pi}{4}$ , alors

$2x=\dfrac{\pi}{2}$ qui est un multiple impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ si

$x=-\dfrac{5\pi}{12}$ , alors

$2x=-\dfrac{5\pi}{6}$ et

$x+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{7\pi}{12}$ et aucun de ces deux nombres n'est un multiple impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ si

$x=-\dfrac{\pi}{12}$ , alors

$2x=-\dfrac{\pi}{6}$ et

$x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6}$ et aucun de ces deux nombres n'est un multiple impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ si

$x=\dfrac{7\pi}{12}$ , alors

$2x=\dfrac{7\pi}{6}$ et

$x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{6}$ et aucun de ces deux nombres n'est un multiple impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ ;

$\ast$ Enfin si

$x=\dfrac{11\pi}{12}$ , alors

$2x=\dfrac{11\pi}{6}$ et

$x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{6}$ et aucun de ces deux nombres n'est un multiple impair de

$\dfrac{\pi}{2}.$

En conclusion, on peut retenir toutes les valeurs trouvées, sauf

$-\dfrac{3\pi}{4}$ et

$\dfrac{\pi}{4}.$

$S=\left\lbrace-\dfrac{5\pi}{12}\;;\ -\dfrac{\pi}{12}\;;\ \dfrac{7\pi}{12}\;;\ \dfrac{11\pi}{12}\right\rbrace$

$\tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

L'équation est définie si

$x+\dfrac{\pi}{3}$ n'est pas un multiple impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ , en d'autres termes si

$x+\dfrac{\pi}{3}\neq(2h+1)\dfrac{\pi}{2}\;,\ h\in\mathbb{Z}.$

Or l'égalité

$x+\dfrac{\pi}{3}=(2h+1)\dfrac{\pi}{2}$ équivaut à :

$x=\dfrac{\pi}{6}+h\pi.$

Les nombres de cette dernière forme devront donc être exclus de l'ensemble des solutions.

Cela étant, l'équation s'écrit :

$\dfrac{\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)}=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\Leftrightarrow\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\left[\dfrac{1}{\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)}-1\right]=0.$

Cette dernière égalité signifie que l'on a soit

$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\quad(1)$

ou bien $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=1\quad(2)$ avec $x\neq\dfrac{\pi}{6}+h\pi\;,\ h\in\mathbb{Z}.$

L'équation (1) équivaut à

$x+\dfrac{\pi}{3}=k\pi$ et a pour solutions dans

$\mathbb{R}$ les nombres de la forme

$x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi$

L'équation (2) équivaut à

$x+\dfrac{\pi}{3}=2k\pi$ et a pour solutions dans

$\mathbb{R}$ les nombres de la forme

$x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$

On vérifie que les nombres de l'un de ces deux types qui appartiennent à

$]-\pi\;,\ ]$ sont

$-\dfrac{\pi}{3}$ et

$\dfrac{3\pi}{3}.$

Aucun d'eux n'est de la forme

$\dfrac{\pi}{6}+h\pi\;,\ h\in\mathbb{Z}.$

En effet, l'égalité

$-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+h\pi$ entraîne, en simplifiant par

$\pi$ , que

$h=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{2}$ , ce qui est impossible, puisque

$h$ est entier et de même l'égalité

$\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+h\pi$ entraîne

$h=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}.$

Finalement, on conclut que

$S=\left\lbrace-\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\right\rbrace.$

Exercice 3

$2\cos^{2}x+\left(\sqrt{3}+2\right)\cos x+\sqrt{3}=0.$

L'équation devient, après le changement de variable

$X=\cos x$ ,

$2X^{2}+\left(\sqrt{3}+2\right)X+\sqrt{3}=0$ , équation du second degré qui a pour racines

$-\dfrac{1}{2}$ et

$-1.$

L'équation équivaut donc à :

$\cos x=-\dfrac{1}{2}$ ou

$\cos x=-1.$

On obtient, dans

$[0\;;\ 2\pi[$ les solutions :

$\dfrac{2\pi}{3}\;,\ \pi\text{ et }\dfrac{4\pi}{3}.$

$\cos 2x=3\cos x-2.$

On remplace d'abord cos

$2x$ par

$2\cos^{2}x-1.$

L'équation devient alors

$2\cos^{2}x-3\cos x+1=0$

Le changement de variable

$X=\cos x$ ramène l'équation de départ à l'équation du second degré

$2X^{2}-3X+1=0$ , qui a pour racines

$1$ et

$\dfrac{1}{2}.$

L'équation équivaut donc à :

$\cos c=1$ ou

$\cos x=\dfrac{1}{2}.$

On obtient dans

$[0\;;\ 2\pi[$ les solutions :

$0$ ,

$\dfrac{\pi}{3}$ et

$\dfrac{5\pi}{3}.$

$1+\cos 2x+\cos 4x=0$

La formule de l'angle double relative au cosinus entraîne que

$\cos 4x=2\cos^{2} 2x-1$ puis en effectuant le changement de variable

$X=\cos 2x$ , on ramène l'équation de départ à l'équation du second degré

$1+X+2X^{2}-1=0$ , soit après réduction :

$2X^{2}+X=0.$

Cette dernière équation a pour solutions

$X=0$ et

$X=-\dfrac{1}{2}$ , en d'autres termes elle équivaut à

$\cos 2x=0\text{ ou }\cos 2x=-\dfrac{1}{2}.$

$\ast\ \cos 2x=0\Leftrightarrow 2x=2k\pi\Leftrightarrow x=k\pi\ (k\in\mathbb{Z}).$

Dans

$[0\;;\ 2\pi[$ , on obtient les solutions :

$0$ et

$\pi$ pour les valeurs respectives

$0$ et

$1$ de

$k.$

$\ast\ \cos 2x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x&=&\dfrac{2\pi}{3}+2k_{1}\pi\\ \\ 2x&=&-\dfrac{2\pi}{3}+2k'_{1}\pi\text{ ou }(k_{1}\;,\ k'_{1}\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

soit $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{\pi}{3}+k_{1}\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{\pi}{3}+k'_{1}\pi\quad\text{ou }(k_{1}\;,\ k'_{1}\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

Dans

$[0\;;\ 2\pi[$ , on obtient les solutions :

$\dfrac{\pi}{3}$ ,

$\dfrac{4\pi}{3}$ pour les valeurs respectives

$0$ et

$1$ de

$k_{1}$ et

$\dfrac{2\pi}{3}$ ,

$\dfrac{5\pi}{3}$ pour les valeurs respectives

$1$ et

$2$ de

$k'_{1}.$

En résumé,

$S=\left\lbrace 0\;;\ \pi\;;\ \dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{3}\right\rbrace$

$2\cos x+\cos 3x+\cos 5x=0$

D'après la formule de factorisation

$\cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$ , on peut écrire :

$\cos 3x+\cos 5x=2\cos 4x\cos x$

En substituant les deux derniers termes de l'équation par le membre de droite de cette dernière égalité, on obtient

$2\cos x+2\cos 4x\cos x=0$ , soit

$2\cos x(\cos 4x+1)=0.$

L'équation équivaut par conséquent à

$\cos x=0$ ou

$\cos 4x=-1.$

$\ast\ \cos x=0\Leftrightarrow x=2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$

$\ast\ \cos 4x=-1\Leftrightarrow 4x=\pi+2k_{1}\pi\ (k_{1}\in\mathbb{Z})\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k_{1}\pi}{2}.$

En donnant à

$k$ et

$k_{1}$ des valeurs convenables, on trouve comme ensemble de solutions dans

$[0\;;\ 2\pi[$ :

$S=\left\lbrace 0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{3\pi}{4}\;;\ \dfrac{5\pi}{4}\;;\ \dfrac{7\pi}{4}\right\rbrace$

$\cos x-\cos 3x+\cos 5x=0$

La méthode de résolution est analogue à celle du 4).

On a :

$\cos x+\cos 5x=2\cos 3x\cos 2x$

Donc le premier membre se factorise en

$\cos 3x(2\cos 2x-1).$

Cette dernière expression est nulle si et seulement si

$\cos 3x=0$ ou

$\cos 2x=\dfrac{1}{2}$

$\ast\ \cos 3x=0\Leftrightarrow 3x=2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})\Leftrightarrow x=\dfrac{2k\pi}{3}\ (k\in\mathbb{Z}).$

On obtient, dans

$[0\;;\ 2\pi[$ les solutions :

$0$ ,

$\dfrac{2\pi}{3}$ et

$\dfrac{4\pi}{3}$ (correspondant à

$k=0$ ,

$k=1$ et

$k=2$ respectivement).

$\ast\ \cos 2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{\pi}{3}+2k_{1}\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{\pi}{3}+2k'_{1}\pi\quad\text{ou }(k_{1}\;,\ k'_{1}\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{\pi}{6}+2k_{1}\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{\pi}{6}+2k'_{1}\pi\quad\text{ou }(k_{1}\;,\ k'_{1}\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

On obtient, dans

$[0\;;\ 2\pi[$ les solutions :

$\dfrac{\pi}{6}$ ,

$\dfrac{7\pi}{6}$ (correspondant à

$k_{1}=0$ et

$k_{1}=1$ respectivement) et

$\dfrac{5\pi}{6}$ ,

$\dfrac{11\pi}{6}$ (correspondant à

$k'_{1}=1$ et

$k'_{1}=2$ respectivement).

$4\sin^{2}x+2(1+\sqrt{3})\sin x+\sqrt{3}=0$

Le changement de variable

$X=\sin x$ ramène l'équation de départ à l'équation du second degré

$4X^{2}+2(1+\sqrt{3})X+\sqrt{3}=0$ , dont la résolution, laissée au lecteur (penser à écrire le discriminant comme un carré parfait), montre qu'elle a pour solutions :

$X_{1}=-\dfrac{1}{2}$ et

$X_{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\ast\ \sin x=-\dfrac{1}{2}=\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ \\ x&=&\dfrac{7\pi}{6}+2k'\pi\quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$\ast\ \sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-\dfrac{\pi}{3}+2k_{1}\pi\\ \\ x&=&\dfrac{4\pi}{3}+2k'_{1}\pi\quad\text{ou }(k_{1}\;,\ k'_{1}\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

On trouve pour ensemble de solutions dans

$[0\;;\ 2\pi[$ :

$S=\left\lbrace\dfrac{11\pi}{6}\;;\ \dfrac{7\pi}{6}\;;\ \dfrac{5\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\right\rbrace$

$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$

D'après la formule de factorisation

$\sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$ , on peut écrire :

$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$

L'équation devient alors :

$\sin 2x(2\cos x+1)=0\Leftrightarrow\sin 2x=0$ ou

$\cos x=-\dfrac{1}{2}.$

$\ast\ \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}.$

Cette équation a pour ensemble de solutions dans

$[0\;;\ 2\pi[$ :

$S_{1}=\left\lbrace 0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right\rbrace.$

$\ast\ \cos x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z})\end{array}\right..$

Ce système a pour ensemble de solutions dans

$[0\;;\ 2\pi[$ :

$S_{2}=\left\lbrace\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\right\rbrace$

L'ensemble des solutions de l'équation est donc :

$S=S_{1}\cup S_{2}=\left\lbrace 0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\right\rbrace.$

$\sin 2x+\sin 4x=0$

D'après la formule donnant le sinus de l'angle double, on a :

$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x.$

L'équation s'écrit alors :

$\sin 2x+2\sin 2x\cos 2x=0$ , soit en factorisant par

$\sin 2x$ :

$\sin 2x(1+2\cos 2x)=0.$

Elle est donc équivalente à :

$\sin 2x=0$ ou

$\cos 2x=-\dfrac{1}{2}$

$\ast\ \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}.$

Cette équation a pour ensemble de solutions dans

$[0\;;\ 2\pi[$ :

$S=S_{1}=\left\lbrace 0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right\rbrace.$

$\ast\ \cos 2x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2x&=&\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\\ \\ 2x&=&-\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&\dfrac{\pi}{3}+k\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{\pi}{3}+k'\pi\quad\text{ou }(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

Ce dernier système a pour ensemble de solutions dans

$[0\;;\ 2\pi[$ :

$S=S_{2}=\left\lbrace\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{3}\right\rbrace.$

L'ensemble des solutions de l'équation est donc :

$S=S_{1}\cup S_{2}=\left\lbrace 0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{3}\right\rbrace.$

$\cos^{2}x+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin x\cos x-\sin^{2}x=0$

Les formules

$\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$ et

$\sin 2x=2\sin x\cos x$ montrent que l'équation est équivalente à :

$\cos 2x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin 2x=0\quad(\ast)$

Cette dernière équation est de la forme

$a\cos u+b\sin u=0.$

Pour la résoudre, on divise par

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ et on utilise une formule d'addition.

Ici

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.$

On doit donc multiplier les deux membres de l'équation

$(\ast)$ par

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , d'où :

$(\ast)\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2}\sin 2x=0\Leftrightarrow\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-2x\right)=0\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{6}-2x=2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi.$

L'ensemble des solutions dans

$[0\;;\ 2\pi[$ est :

$S=\left\lbrace\dfrac{\pi}{12}\;;\ \dfrac{13\pi}{12}\right\rbrace$

10)

$\sin^{6}x+\cos^{6}x=\dfrac{1}{4}$

En posant

$a=\sin^{2}x$ et

$b=\cos^{2}x$ , l'équation s'écrit :

$a^{3}+b^{3}=\dfrac{1}{4}$ , soit d'après les formules d'identités remarquables étudiées en Seconde :

$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=\dfrac{1}{4}.$

Par ailleurs, on a :

$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$

Tenant compte du fait que

$a+b=1$ , (identité trigonométrique fondamentale), notre équation devient :

$1-3ab=\dfrac{1}{4}$ , soit :

$\sin^{2}x\cos^{2}x=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}\sin 2x\right)^{2}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow(\sin 2x)^{2}=1\Leftrightarrow(\sin 2x=1\text{ ou }\sin 2x=-1).$

Cette dernière condition équivaut au fait que

$2x$ est un multiple impair de

$\dfrac{\pi}{2}$ , en d'autres termes qu'on a :

$2x=(2k+1)\dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow x=(2k+1)\dfrac{\pi}{4}\ (k\in\mathbb{z}).$

Dans

$[0\;;\ 2\pi[$ , on obtient comme ensemble de solutions les nombres :

$\dfrac{\pi}{4}$ ,

$\dfrac{3\pi}{4}$ ,

$\dfrac{5\pi}{4}$ ,

$\dfrac{7\pi}{4}.$

11)

$\sqrt{3}\tan^{2}x+(1+\sqrt{3})\tan x+1=0$

Le changement de variable

$X=\tan x$ ramène cette équation en l'équation du second degré :

$\sqrt{3}X^{2}+(1+\sqrt{3})X+1=0$

On vérifie aisément que cette dernière a pour solutions

$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$-1.$

L'équation est donc équivalente à

$\tan x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ ou

$\tan x=-1=\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ ,

soit

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\\ \\ x&=&-\dfrac{\pi}{4}+k'\pi\quad(k\;,\ k'\in\mathbb{Z}) \end{array}\right.$

On obtient dans

$[0\;;\ 2\pi[$ l'ensemble de solutions suivant :

$S=\left\lbrace\dfrac{5\pi}{6}\;;\ \dfrac{11\pi}{6}\;;\ \dfrac{3\pi}{4}\;;\ \dfrac{7\pi}{4}\right\rbrace$

Exercice 4

1) On a

$\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ , d'où

$\sin^{2}x=1-\cos^{2}x=1-\left(-\dfrac{3}{5}\right)^{2}=\dfrac{16}{25}.$

On en déduit que :

$\sin x=\dfrac{4}{5}$ ou

$\sin x=-\dfrac{4}{5}.$

L'hypothèse

$x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right[$ entraîne que

$\sin x>0.$

Nous rappelons ci-dessous les signes du sinus et du cosinus sur chaque cadran.

Par suite, on a

$\sin x=\dfrac{4}{5}$ et

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{-\dfrac{3}{5}}$ , soit

$\tan x=-\dfrac{4}{3}.$

2) Méthode analogue à celle du 1).

On trouve

$\sin x=-\dfrac{2}{3}$ et

$\tan x=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}.$

3) Méthode analogue à celle du 1).

On trouve

$\sin x=\dfrac{5}{13}$ et

$\tan x=-\dfrac{5}{\sqrt{12}}.$

Exercice 5

1) On a d'après la première hypothèse :

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-2\Rightarrow\sin x=-2\cos x\quad(1)$ et

$\cos^{2}x+\sin^{2}x=1\quad(2)$ (identité trigonométrique fondamentale), d'où en substituant l'expression de

$\sin x$ donnée par (1) dans (2) :

$\cos^{2}x+(-2\cos x)^{2}=1\Rightarrow\cos^{2}x=\dfrac{1}{5}\quad(3)$ et par une nouvelle application de (2), on en tire que :

$\sin^{2}x=\dfrac{4}{5}\quad(4).$

La deuxième hypothèse

$\left(x\in]0\;;\ \pi[\right)$ entraîne que

$\sin x>0$ , ce qui, joint avec (4), fournit

$\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\quad(5).$

Des relations (1) et (5), on tire alors facilement :

$\cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}.$

2) Méthode analogue à celle du 1).

On trouve :

$\sin x=-\dfrac{11}{61}\text{ et }\cos x=-\dfrac{60}{61}.$

3) Méthode analogue à celle du 1).

On trouve :

$\sin x=-\dfrac{8}{17}$ et

$\cos x=\dfrac{15}{17}.$

Exercice 6

1) Le fait que

$x\in\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right[$ assure que

$\cos x<0.$

En appliquant l'identité trigonométrique fondamentale, on a :

$\dfrac{2}{3}+\cos^{2}x=1\Rightarrow\cos^{2}x=\dfrac{1}{3}.$

Il résulte de tout cela qu'on a

$\cos x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Par suite

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{2}{3}}}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$ , soit

$\tan x=-\sqrt{2}.$

2) Méthode analogue à celle du 1).

On trouve :

$\cos x=-\dfrac{3}{5}$ et

$\tan x=\dfrac{4}{3}.$

3) Méthode analogue à celle du 1).

On trouve :

$\cos x=\dfrac{\sqrt{7}}{3}$ et

$\tan x=-\dfrac{\sqrt{14}}{3}.$

Exercice 7

D'après la formule

$\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^{2}a}$ , on a :

$\tan 2x=\dfrac{2\left(\sqrt{3}-2\right)}{1-\left(\sqrt{3}-2\right)^{2}}=\dfrac{-4+2\sqrt{3}}{-6+4\sqrt{3}}=\dfrac{(-4+2\sqrt{3})(-6-4\sqrt{3})}{36-48}=\dfrac{4\sqrt{3}}{-12}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ , d'où :

$2x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}.$

Et puisque

$2x\in]-\pi\;;\ 0[$ , on a nécessairement

$2x=-\dfrac{\pi}{6}$ et par suite

$x=-\dfrac{\pi}{12}.$

Exercice 8

On a

$\cos 2x=1-2\left(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)^{2}=1-\dfrac{8+4\sqrt{3}}{8}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (d'après la formule

$\cos 2x=1-2\sin^{2}x$ ) d'où, puisque

$2x\in]-\pi\;;\ 0[$ , et par suite

$x=\dfrac{5\pi}{12}.$

Inéquations trigonométrique

Exercice 9

Les solutions sont données dans

$]-\pi\;;\ \pi]$ et dans

$[0\;;\ 2\pi[$ , accompagnées chaque fois d'un graphique où l'ensemble des solutions est colorié.

$2\cos x+1>0$

L'inéquation équivaut à

$\cos x>-\dfrac{1}{2}.$

$S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left]-\dfrac{-2\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\right[$ et

$S_{[0\;;\ 2\pi]}=\left[0\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{4\pi}{3}\;;\ 2\pi\right]$

2) L'inéquation équivaut à

$\cos x\leq\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , soit à

$\cos x\leq\cos\dfrac{\pi}{4}.$

$S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[-\pi\;;\ -\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \pi\right]$ et

$S_{[0\;;\ 2\pi[}=\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{7\pi}{4}\right]$

$1-2\sin x\leq 0$

L'inéquation équivaut à

$\sin x\geq\dfrac{1}{2}$ , soit à

$\sin x\geq\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right).$

$S_{[0\;;\ 2\pi[}=S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[\dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}\right]$

$2\sin x-\sqrt{3}<0$

L'inéquation équivaut à

$\sin x<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , soit à

$\sin x<\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right).$

$S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[-\pi\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \pi\right]$ et

$S_{[0\;;\ 2\pi[}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3}\;;\ 2\pi\right].$

$\tan x>1$

L'inéquation équivaut à

$\tan x>\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$

$S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left]-\dfrac{3\pi}{4}\;;\ -\dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ et

$S_{[0\;;\ 2\pi[}=\left]\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{5\pi}{4}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right].$

$\sqrt{3}\tan x-3\leq 0$

L'inéquation équivaut à

$\tan x\leq\sqrt{3}$ , soit à

$\tan x\leq\tan\left(\dfrac{\pi}{3}\right).$

$S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[-\pi\;;\ -\dfrac{2\pi}{3}\right]\cup\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \pi\right]$ et

$S_{[0\;;\ 2\pi[}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left]\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\right]\cup\left]\dfrac{3\pi}{2}\;;\ 2\pi\right[.$

$4\cos^{2}x-2(\sqrt{2}-1)\cos x-\sqrt{2}>0$

Le changement de variable

$X=\cos x$ transforme l'inéquation proposée en l'inéquation du second degré :

$4X^{2}-2(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}>0\quad(\ast).$

Le premier membre de cette dernière est un trinôme qui a pour discriminant réduit

$\Delta'=\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}+4\sqrt{2}=3+2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.$

Par conséquent, il a pour racines

$X_{1}=\dfrac{\sqrt{2}-1-(\sqrt{2}+1)}{4}=-\dfrac{1}{2}$ et

$X_{2}=\dfrac{\sqrt{2}-1+(\sqrt{2}+1)}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

L'ensemble des solutions de

$(\ast)$ est, d'après les règles sur le signe d'un trinôme :

$\left]-\infty\;;\ -\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ +\infty\right[.$

L'inéquation de départ est donc équivalente à

$\cos x-\dfrac{1}{2}$ ou

$\cos x>\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Nous représentons les solutions de ces deux inéquations dans la figure ci-dessous.

$S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[-\pi\;;\ -\dfrac{2\pi}{3}\right[\cup\left]-\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \pi\right]$ et

$S_{[0\;;\ 2\pi[}=\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{4}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{4\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{7\pi}{4}\;;\ 2\pi\right].$

$4\sin^{2}x-2\left(1+\sqrt{3}\right)\sin x+\sqrt{3}\leq 0$

Méthode analogue à celle de l'inéquation précédente.

Le changement de variable

$X=\sin x$ transforme l'inéquation proposée en l'inéquation du second degré :

$4X^{2}-2\left(1+\sqrt{3}\right)X+\sqrt{3}\leq 0\quad(\ast).$

Le premier membre de cette dernière est un trinôme qui a pour discriminant réduit

$\Delta'=\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}-4\sqrt{3}=4-2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.$

Par conséquent, il a pour racines

$X_{1}=\dfrac{1+\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}-1\right)}{4}$ et

$X_{2}=\dfrac{1+\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-1\right)}{4}.$

L'ensemble des solutions de

$(\ast)$ est, d'après les règles sur le signe d'un trinôme :

$\left[\dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right].$

L'inéquation de départ est donc équivalente à

$\dfrac{1}{2}\leq\sin x\leq\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Nous représentons les solutions de cette double inéquation dans la figure ci-dessous.

$S_{[0\;;\ 2\pi[}=S_{]-\pi\;;\ \pi[}=\left[\dfrac{\pi}{6}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{2\pi}{3}\;;\ \dfrac{5\pi}{6}\right].$

$-4\cos^{2}x+2\left(\sqrt{2}+1\right)\sin x+4+\sqrt{2}\leq 0$

On remplace dans l'inéquation

$\cos^{2}x$ par

$1-\sin^{2}x$ pour obtenir :

$4\sin^{2}x+2\left(1+\sqrt{2}\right)\sin x+\sqrt{2}\leq 0.$

Le changement de variable

$X=\sin x$ transforme cette dernière inéquation en l'inéquation du second degré :

$4X^{2}+2\left(1+\sqrt{2}\right)X+\sqrt{2}\leq 0\quad(\ast).$

Le premier membre de cette dernière est un trinôme qui a pour discriminant réduit

$\Delta'=\left(1+\sqrt{2}\right)^{2}-4\sqrt{2}=3-2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}.$

Par conséquent, il a pour racines

$X_{1}=\dfrac{-(1+\sqrt{2})-(\sqrt{2}-1)}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et

$X_{2}=\dfrac{-(1+\sqrt{2})+(\sqrt{2}-1)}{4}=-\dfrac{1}{2}.$

L'ensemble des solutions de

$(\ast)$ est, d'après les règles sur le signe d'un trinôme :

$\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;;\ -\dfrac{1}{2}\right].$

L'inéquation de départ est donc équivalente à

$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq\sin x\leq-\dfrac{1}{2}$

$S_{]-\pi\;;\ \pi]}=\left[-\dfrac{5\pi}{6}\;;\ -\dfrac{3\pi}{4}\right]\cup\left[-\dfrac{\pi}{4}\;;\ -\dfrac{\pi}{6}\right].$

$S_{[0\;;\ \pi]}=\left[\dfrac{7\pi}{6}\;;\ \dfrac{5\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4}\;;\ \dfrac{11\pi}{6}\right].$

10)

$4\sin^{2}x+2\left(1-\sqrt{3}\right)\cos x-4+\sqrt{3}\leq 0$

On remplace dans l'inéquation

$\sin^{2}x$ par

$1-\cos^{2}x$ pour obtenir :

$-4\cos^{2}x+2\left(1-\sqrt{3}\right)\cos x+\sqrt{3}\leq 0.$

Le changement de variable

$X=\cos x$ transforme cette dernière inéquation en l'inéquation du second degré :

$-4X^{2}+2\left(1-\sqrt{3}\right)X+\sqrt{3}\leq 0\quad(\ast).$

Le premier membre de cette dernière est un trinôme qui a pour discriminant réduit

Exercice 10

Nous donnons les résultats sous la forme d'un tableau.

Il suffit d'appliquer les formules des angles associés et « d'éliminer » les multiples de

$2\pi$ dans les cosinus et les sinus ou les multiples de

$\pi$ dans les tangentes et les cotangentes.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\cos&\sin&\tan&co\tan\\ \hline -\alpha-5\pi&-\cos\alpha&-\sin\alpha&\tan\alpha&co\tan\alpha\\ \hline -\alpha-\pi&-\cos\alpha&\sin\alpha&-\tan\alpha&-co\tan\alpha\\ \hline -\alpha-2\pi&-\cos\alpha&-\sin\alpha&-\tan\alpha&-co\tan\alpha\\ \hline -\alpha-\dfrac{\pi}{2}&-\sin\alpha&-\cos\alpha&co\tan\alpha&\tan\alpha\\ \hline \alpha-\dfrac{9\pi}{2}&\sin\alpha&-\cos\alpha&-co\tan\alpha&-\tan\alpha\\ \hline -\alpha+\dfrac{5\pi}{2}&\sin\alpha&\cos\alpha&co\tan\alpha&\tan\alpha\\ \hline \end{array}$

Exercice 11

Nous donnons les résultats sous forme de tableaux.

Appliquer les formules relatives aux valeurs remarquables des lignes trigonométriques, les formules des angles associés et « éliminer » les multiples de

$2\pi$ dans les cosinus et les sinus ou les multiples de

$\pi$ dans les tangentes et les cotangentes.

$a)\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\cos&\sin&\tan&co\tan\\ \hline 3\pi&-1&0&0&\text{Non définie}\\ \hline -5\pi&-1&0&0&\text{Non définie}\\ \hline \dfrac{3\pi}{2}&0&-1&\text{Non définie}&0\\ \hline \end{array}$

$b)\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\cos&\sin&\tan&co\tan\\ \hline \dfrac{3\pi}{4}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-1&-1\\ \hline -\dfrac{7\pi}{4}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ \hline \dfrac{15\pi}{4}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-\dfrac{\sqrt{2}}{2}&-1&-1\\ \hline \end{array}$

$c)\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\cos&\sin&\tan&co\tan\\ \hline -\dfrac{2\pi}{3}&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\sqrt{3}&\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \hline \dfrac{5\pi}{3}&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\sqrt{3}&-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \hline \dfrac{8\pi}{3}&-\dfrac{1}{2}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\sqrt{3}&-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \hline \end{array}$

$d)\qquad\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\cos&\sin&\tan&co\tan\\ \hline \dfrac{7\pi}{6}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{\sqrt{3}}&\sqrt{3}\\ \hline \dfrac{13\pi}{6}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{\sqrt{3}}&\sqrt{3}\\ \hline \dfrac{31\pi}{6}&-\dfrac{\sqrt{3}}{2}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{\sqrt{3}}&\sqrt{3}\\ \hline \end{array}$

Exercice 12

En appliquant les formules des angles associés, on obtient :

$\begin{array}{lcl}A&=&\cos\alpha-\cos\alpha-\cos\alpha+\cos\alpha\\&=&0\end{array}$

$\begin{array}{lcl}B&=&co\tan\alpha-co\tan\alpha+3co\tan\alpha+co\tan\alpha\\&=&2co\tan\alpha\end{array}$

$k$ est pair, on a :

$\begin{array}{lcl}C&=&\dfrac{-\sin 3\alpha+\sin 3\alpha+\sin 3\alpha}{-\cos 3\alpha+\cos 3\alpha-3\cos 3\alpha}\\&=&\dfrac{\sin 3\alpha}{-3\cos 3\alpha}\\&=&-\dfrac{1}{3}\tan 3\alpha\end{array}$

$k$ est impair, on a :

$\begin{array}{lcl}D&=&\dfrac{-\sin 3\alpha+\sin 3\alpha-\sin 3\alpha}{-\cos 3\alpha-\cos 3\alpha-3\cos 3\alpha}\\&=&\dfrac{-\sin 3\alpha}{-5\cos 3\alpha}\\&=&\dfrac{1}{5}\tan 3\alpha.\end{array}$

Exercice 13

$f(x)=\sin 2x+\sin^{2}x-2\sin x\cos x+\cos^{2}x.$

$\sin 2x=2\sin x\cos x$ et

$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ , d'où

$f(x)=1$ pour tout réel

$x.$

2) On a

$\begin{array}{lcl}\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}+x\right)&=&\cos\dfrac{2\pi}{3}\cos x-\sin\dfrac{2\pi}{3}\sin x\\&=&-\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x.\end{array}$

D'où :

$\cos^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}+x\right)=\dfrac{1}{4}\cos^{2}x+\dfrac{3}{4}\sin^{2}x+\dfrac{\sqrt{3}}{4}sin x\cos x.$

De même :

$\begin{array}{lcl}\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)&=&\cos\dfrac{2\pi}{3}\cos x+\sin \dfrac{2\pi}{3}\sin x\\&=&-\dfrac{1}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x.\end{array}$

D'où :

$\cos^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)=\dfrac{1}{4}\cos^{2}x+\dfrac{3}{4}\sin^{2}x-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\sin x\cos x.$

En additionnant, il vient :

$\begin{array}{lcl}\cos^{2}x+\cos^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}+x\right)+\cos^{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)&=&\cos^{2}x+\dfrac{1}{2}\cos^{2}x+\dfrac{3}{2}\sin^{2}x\\&=&\dfrac{3}{2}(\cos^{2}x+\sin^{2}x)\end{array}$

soit $f(x)=\dfrac{3}{2}$ pour tout réel $x$ , d'après l'identité trigonométrique fondamentale.

3) Démarche analogue au 2) ci-dessus.

On développe les carrés en utilisant les formules d'addition relatives au sinus.

On trouve aussi que $f(x)=\dfrac{3}{2}$ pour tout réel $x.$

Exercice 14

1) Développer

$\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)$ par la formule d'addition.

2) Même méthode.

3) On a d'après les formules de factorisation :

$\cos x+\cos 4x=2\cos\dfrac{5x}{2}\cos x$ et

$\cos 2x+\cos 3x=2\cos\dfrac{5x}{2}\cos x.$

D'où le résultat en faisant la somme et en factorisant par

$2\cos\dfrac{5x}{2}.$

4) On a d'après les formules de factorisation :

$\sin x+\sin 4x=2\sin\dfrac{5x}{2}\cos\dfrac{3x}{2}$ et

$\sin 2x+\sin 3x=2\sin\dfrac{5x}{2}\cos\dfrac{x}{2}$

En faisant la somme, on a :

$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=2\sin\dfrac{5x}{2}\left(\cos\dfrac{3x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}\right)$ , puis en appliquant une nouvelle fois une formule de factorisation à la parenthèse, on obtient :

$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=4\sin\dfrac{5x}{2}\cos x\cos\dfrac{x}{2}.$

5) D'après la formule de transformation

$\sin a\sin b=\dfrac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$ , on a :

$\begin{array}{lcl}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)&=&\dfrac{1}{2}\left[\cos(-2x)-\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right]\\&=&\dfrac{1}{2}\left[\cos(-2x)+\dfrac{1}{2}\right].\end{array}$

D'où en multipliant les deux membres par

$4\sin x$ :

$\begin{array}{lcl}4\sin x\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)&=&2\sin x\cos 2x+\sin x\\&=&2\sin x\left(\dfrac{1}{2}+\cos 2x\right)\\&=&\sin x(1+2\cos 2x)\end{array}$

D'autre part, d'après la formule d'addition relative au sinus et les formules de duplication, on a :

$\begin{array}{lcl}\sin 3x&=&\sin(2x+x)\\&=&\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x\\&=&2\sin x\cos^{2}x+\cos 2x\sin x\\&=&\sin x(\cos 2x+2\cos^{2}x)\\&=&\sin x(\cos 2x+1+\cos 2x)\\&=&\sin x(1+2\cos 2x).\end{array}$

L'égalité proposée en résulte.

Auteur:

Mouhamadou ka

Commentaires

Mamadou Malal Balde (non vérifié)

lun, 09/21/2020 - 21:32

Permalien

Trésor bien

répondre

El Hadji ka (non vérifié)

mar, 05/25/2021 - 02:23

Permalien

Salutations

Bonjour Mr ka tous nos remerciements

répondre

Ajouter un commentaire

form.antibot { display: none !important; } You must have JavaScript enabled to use this form.

Vous êtes ici

Solution des exercices : Trigonométrie-Ts

Formulaire de recherche

Équations trigonométriques

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Inéquations trigonométrique

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Commentaires

Trésor bien

Salutations

Ajouter un commentaire

Plain text