Solution série d'exercices : Calcul algébrique - 4e

Nous allons réduire puis ordonner les expressions suivantes.

Pour cela, nous allons regrouper les termes semblables, ensuite faire le calcul et enfin ordonner l'expression obtenue selon l'ordre décroissant des puissances.

$\begin{array}{rcl} A&=&2x^{2}-3x+4x^{2}-8x-4+1\\ &=&2x^{2}+4x^{2}-3x-8x-4+1\\&=&6x^{2}-11x-3\end{array}$

Ainsi, $\boxed{A=6x^{2}-11x-3}$

$\begin{array}{rcl} B&=&5x-4x^{2}-1-6x^{3}+5x-3\\&=&-6x^{3}-4x^{2}+5x+5x-3-1\\&=&-6x^{3}-4x^{2}+10x-4\end{array}$

D'où, $\boxed{B=-6x^{3}-4x^{2}+10x-4}$

$\begin{array}{rcl} C&=&-8x^{2}-6x^{3}+4x^{2}-2x^{3}-5+4x-3\\&=&-6x^{3}-2x^{3}-8x^{2}+4x^{2}+4x-5-3\\&=&-8x^{3}-4x^{2}+4x-8\end{array}$

Donc, $\boxed{C=-8x^{3}-4x^{2}+4x-8}$

$\begin{array}{rcl} D&=&1+4x-4x^{2}+5x-10x^{3}-5x^{2}-6\\&=&-10x^{3}-4x^{2}-5x^{2}+4x+5x+1-6\\&=&-10x^{3}-9x^{2}+9x-5\end{array}$

Ainsi, $\boxed{D=-10x^{3}-9x^{2}+9x-5}$

$\begin{array}{rcl} E&=&2a+4-7a-10b-6+4a^{2}-5b+2ab\\&=&4a^{2}+2a-7a-10b-5b+2ab-6+4\\&=&4a^{2}-5a-15b+2ab-2\end{array}$

D'où, $\boxed{E=4a^{2}-5a-15b+2ab-2}$

$\begin{array}{rcl} F&=&4a^{2}+2ab-10a^{2}-6ab+5ba-8a^{2}\\&=&4a^{2}-10a^{2}-8a^{2}+2ab-6ab+5ba\\&=&-14a^{2}-4ab+5ba\end{array}$

Donc, $F=-14a^{2}-4ab+5ba$

Or, on sait que $ab=ba$ donc, $5ba=5ab$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} F&=&-14a^{2}-4ab+5ba\\&=&-14a^{2}-4ab+5ab\\&=&-14a^{2}+ab\end{array}$

Ainsi, $\boxed{F=-14a^{2}+ab}$

Dans cet exercice, nous allons réduire puis ordonner chacune des expressions suivantes en respectant les règles de suppression des parenthèses :

Nous rappelons que les règles de suppression des parenthèses s'appliquent comme suit :

$\ast\ \ $ Quand un signe moins $(-)$ entre dans une parenthèse, il change les signes qui se trouvent dans la parenthèse.

$\ast\ \ $ Lorsqu'un signe plus $(+)$ entre dans une parenthèse, les signes des nombres qui se trouvent à l'intérieur des parenthèses ne changent pas.

Ainsi, nous allons d'abord utiliser ces règles pour supprimer les parenthèses, ensuite regrouper les termes semblables et faire le calcul et enfin ordonner l'expression obtenue selon l'ordre décroissant des puissances.

On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&(1-4x)-(7x-5)+(2x-5)-(8x+1)\\&=&1-4x-7x+5+2x-5-8x-1\\&=&-4x-7x+2x-8x+1+5-5-1\\&=&-17x+0\\&=&-17x\end{array}$

D'où, $\boxed{A=-17x}$

$\begin{array}{rcl} B&=&(5x^{2}-2x-1)-(4x-5x^{2}-1)+(3x^{2}-5x-1)\\&=&5x^{2}-2x-1-4x+5x^{2}+1+3x^{2}-5x-1\\&=&5x^{2}+5x^{2}+3x^{2}-2x-4x-5x-1+1-1\\&=&13x^{2}-11x-1\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B=13x^{2}-11x-1}$

$\begin{array}{rcl} C&=&(2x-1-5x^{2})+(3x^{2}-4x-1)-7-8x\\&=&2x-1-5x^{2}+3x^{2}-4x-1-7-8x\\&=&-5x^{2}+3x^{2}+2x-4x-8x-1-1-7\\&=&-2x^{2}-10x-9\end{array}$

Donc, $\boxed{C=-2x^{2}-10x-9}$

$\begin{array}{rcl} D&=&(6x-1-4x^{3})-(6x^{2}-1)-(7x^{2}-4x-1)\\&=&6x-1-4x^{3}-6x^{2}+1-7x^{2}+4x+1\\&=&-4x^{3}-6x^{2}-7x^{2}+6x+4x-1+1+1\\&=&-4x^{3}-13x^{2}+10x+1\end{array}$

D'où, $\boxed{D=-4x^{3}-13x^{2}+10x+1}$

$\begin{array}{rcl} E&=&(2a+4)-(7a-1)+(7b-6a^{2})-(a^{2}-b)\\&=&2a+4-7a+1+7b-6a^{2}-a^{2}+b\\&=&-6a^{2}-a^{2}+2a-7a+7b+b+1+4\\&=&-7a^{2}-5a+8b+5\end{array}$

Ainsi, $\boxed{E=-7a^{2}-5a+8b+5}$

$\begin{array}{rcl} F&=&(2b+4)+(4a^{2}-11b)-(6+4a^{2})-2b+2ab\\&=&2b+4+4a^{2}-11b-6-4a^{2}-2b+2ab\\&=&4a^{2}-4a^{2}+2b-2b-11b+2ab+4-6\\&=&0a^{2}-11b+2ab-2\\&=&-11b+2ab-2\end{array}$

Donc, $\boxed{F=-11b+2ab-2}$

Dans cet exercice, nous allons développer, réduire puis ordonner les expressions suivantes.

Pour cela, nous allons utiliser la règle suivante :
$$\boxed{a(b+c)=ab+ac\quad\text{et}\quad a(b-c)=ab-ac}$$
On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&2\times(x-1)-4\times(x+5)\\&=&(2\times x-2\times 1)-(4\times x+4\times 5)\\&=&(2x-2)-(4x+20)\end{array}$

Par suite, en utilisant la règle de suppression des parenthèses, on obtient :

$\begin{array}{rcl}(2x-2)-(4x+20)&=&2x-2-4x-20\\&=&2x-4x-2-20\\&=&-2x-22\end{array}$

D'où, $\boxed{A=-2x-22}$

$\begin{array}{rcl} B&=&5\times(3x^{2}-5)+6\times(x-2)\\&=&(5\times 3x^{2}-5\times 5)+(6\times x-6\times 2)\\&=&(15x^{2}-25)+(6x-12)\end{array}$

En utilisant la règle de suppression des parenthèses, on obtient :

$\begin{array}{rcl}(15x^{2}-25)+(6x-12)&=&15x^{2}-25+6x-12\\&=&15x^{2}+6x-25-12\\&=&15x^{2}+6x-37\end{array}$

Par suite, $\boxed{B=15x^{2}+6x-37}$

$\begin{array}{rcl} C&=&3(-1+x)-5(x-7)\\&=&(3\times(-1)+3\times x)-(5\times x-5\times 7)\\&=&(-3+3x)-(5x-35)\end{array}$

En utilisant la règle de suppression des parenthèses, on obtient :

$\begin{array}{rcl}(-3+3x)-(5x-35)&=&-3+3x-5x+35\\&=&3x-5x+35-3\\&=&-2x+32\end{array}$

Ainsi, $\boxed{C=-2x+32}$

$\begin{array}{rcl} D&=&6(x+7)+4(x-9)\\&=&(6\times x+6\times 7)+(4\times x-4\times 9)\\&=&(6x+42)+(4x-36)\end{array}$

En utilisant la règle de suppression des parenthèses, on obtient :

$\begin{array}{rcl}(6x+42)+(4x-36)&=&6x+42+4x-36\\&=&6x+4x+42-36\\&=&10x+6\end{array}$

D'où, $\boxed{D=10x+6}$

$\begin{array}{rcl} E&=&7x(x^{2}-3)-6x^{2}(x-1)\\&=&\left[(7x\times x^{2})-(7x\times 3)\right]-\left[(6x^{2}\times x)-(6x^{2}\times 1)\right]\\&=&(7x^{3}-21x)-(6x^{3}-6x^{2})\end{array}$

En utilisant la règle de suppression des parenthèses, on obtient :

$\begin{array}{rcl}(7x^{3}-21x)-(6x^{3}-6x^{2})&=&7x^{3}-21x-6x^{3}+6x^{2}\\&=&7x^{3}-6x^{3}+6x^{2}-21x\\&=&x^{3}+6x^{2}-21x\end{array}$

Par suite, $\boxed{E=x^{3}+6x^{2}-21x}$

$\begin{array}{rcl} F&=&\dfrac{2}{3}x(x-1)+\dfrac{2}{3}\left(x-\dfrac{3}{4}\right)\\ \\&=&\left[\left(\dfrac{2}{3}x\times x\right)-\left(\dfrac{2}{3}x\times 1\right)\right]+\left[\left(\dfrac{2}{3}\times x\right)-\left(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}\right)\right]\\ \\&=&\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{2}{3}x\right)+\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{6}{12}\right)\end{array}$

En utilisant la règle de suppression des parenthèses, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{2}{3}x\right)+\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{6}{12}\right)&=&\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{6}{12}\\ \\&=&\dfrac{2}{3}x^{2}-0x-\dfrac{6}{12}\\ \\&=&\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{12}\\ \\&=&\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{1}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{F=\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{1}{2}}$

$\begin{array}{rcl} G&=&\dfrac{1}{2}(x^{2}-1)-\dfrac{2}{3}x(x-3)\\ \\&=&\left[\left(\dfrac{1}{2}\times x^{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\times 1\right)\right]-\left[\left(\dfrac{2}{3}x\times x\right)-\left(\dfrac{2}{3}x\times 3\right)\right]\\ \\&=&\left(\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{3}x\right)\end{array}$

En utilisant la règle de suppression des parenthèses, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\left(\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{3}x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{6}{3}x\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{3}x\\ \\&=&\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{2x^{2}}{3}+\dfrac{6}{3}x-\dfrac{1}{2}\\ \\&=&\dfrac{x^{2}\times 3}{2\times 3}-\dfrac{2x^{2}\times 2}{3\times 2}+\dfrac{6}{3}x-\dfrac{1}{2}\\ \\&=&\dfrac{3x^{2}}{6}-\dfrac{4x^{2}}{6}+\dfrac{6}{3}x-\dfrac{1}{2}\\ \\&=&\dfrac{3x^{2}-4x^{2}}{6}+\dfrac{6}{3}x-\dfrac{1}{2}\\ \\&=&\dfrac{-x^{2}}{6}+\dfrac{6}{3}x-\dfrac{1}{2}\end{array}$

Donc, $\left(\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{3}x\right)=-\dfrac{x^{2}}{6}+\dfrac{6}{3}x-\dfrac{1}{2}$

Comme $\ \dfrac{6}{3}x=2x\ $ après simplification par 2 alors,

$\left(\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{3}x\right)=-\dfrac{x^{2}}{6}+2x-\dfrac{1}{2}$

Par suite, $\boxed{G=-\dfrac{1}{6}x^{2}+2x-\dfrac{1}{2}}$

$\begin{array}{rcl} H&=&\dfrac{1}{2}x(x^{2}-1)-\dfrac{2}{3}x(x-3)\\ \\&=&\left[\left(\dfrac{1}{2}x\times x^{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}x\times 1\right)\right]-\left[\left(\dfrac{2}{3}x\times x\right)-\left(\dfrac{2}{3}x\times 3\right)\right]\\ \\&=&\left(\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{1}{2}x\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{3}x\right)\end{array}$

En utilisant la règle de suppression des parenthèses, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\left(\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{1}{2}x\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{3}x\right)&=&\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{6}{3}x\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{6}{3}x-\dfrac{1}{2}x\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{6x}{3}-\dfrac{x}{2}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{6x\times 2}{3\times 2}-\dfrac{x\times 3}{2\times 3}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{12x}{6}-\dfrac{3x}{6}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{12x-3x}{6}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{9x}{6}\end{array}$

Or, $\dfrac{9x}{6}=\dfrac{3}{2}x$, après simplification par 3.

Donc, $\left(\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{1}{2}x\right)-\left(\dfrac{2}{3}x^{2}-\dfrac{6}{3}x\right)=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{3}{2}x$

D'où, $\boxed{H=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{3}{2}x}$

Cet exercice consiste à développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :

Soit : $A=(2x+1)(x-3)$

En utilisant la règle suivante :
$$\boxed{(a+b)(c-d)=a(c-d)+b(c-d)}$$
on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&(2x+1)(x-3)\\&=&2x\times(x-3)+1\times(x-3)\\&=&(2x\times x)-(2x\times 3)+(1\times x)-(1\times 3)\\&=&2x^{2}-6x+x-3\\&=&2x^{2}-5x-3\end{array}$

Ainsi, $\boxed{A=2x^{2}-5x-3}$

On donne : $B=(7x-2)(x+4)$

On utilise la règle suivante :
$$\boxed{(a-b)(c+d)=a(c+d)-b(c+d)}$$
Ce qui donne :

$\begin{array}{rcl} B&=&(7x-2)(x+4)\\&=&7x\times(x+4)-2\times(x+4)\\&=&(7x\times x)+(7x\times 4)-(2\times x)-(2\times 4)\\&=&7x^{2}+28x-2x-8\\&=&7x^{2}+26x-8\end{array}$

D'où, $\boxed{B=7x^{2}+26x-8}$

Soit : $C=(4x+1)(-x+4)$

En utilisant la règle suivante :
$$\boxed{(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)}$$
on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&(4x+1)(-x+4)\\&=&4x\times(-x+4)+1\times(-x+4)\\&=&(4x\times(-x))+(4x\times 4)+(1\times(-x))+(1\times 4)\\&=&(-4x^{2})+(16x)+(-x)+(4)\\&=&-4x^{2}+16x-x+4\\&=&-4x^{2}+15x+4\end{array}$

Par suite, $\boxed{C=-4x^{2}+15x+4}$

Soit : $D=(7m^{2}-6)(3-m)$

On utilise la règle suivante :
$$\boxed{(a-b)(c-d)=a(c-d)-b(c-d)}$$
Ainsi on a :

$\begin{array}{rcl} D&=&(7m^{2}-6)(3-m)\\&=&7m^{2}\times(3-m)-6\times(3-m)\\&=&(7m^{2}\times 3)-(7m^{2}\times m)-(6\times 3)-(6\times(-m))\\&=&21m^{2}-7m^{3}-18+6m\\&=&-7m^{3}+21m^{2}+6m-18\end{array}$

D'où, $\boxed{D=-7m^{3}+21m^{2}+6m-18}$

On donne : $E=\left(\dfrac{3x}{7}-1\right)(2x^{2}-1)$

En utilisant la même méthode que dans l'expression de $D$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} E&=&\left(\dfrac{3x}{7}-1\right)(2x^{2}-1)\\ \\&=&\dfrac{3x}{7}\times(2x^{2}-1)-1\times(2x^{2}-1)\\ \\&=&\left(\dfrac{3}{7}x\times 2x^{2}\right)-\left(\dfrac{3}{7}x\times 1\right)-(1\times 2x^{2})-(1\times(-1))\\ \\&=&\dfrac{6}{7}x^{3}-\dfrac{3}{7}x-2x^{2}+1\\ \\&=&\dfrac{6}{7}x^{3}-2x^{2}-\dfrac{3}{7}x+1\end{array}$

Ce qui donne, $\boxed{E=\dfrac{6}{7}x^{3}-2x^{2}-\dfrac{3}{7}x+1}$

Soit : $F=\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{4}\right)\left(-\dfrac{2}{3}x-2\right)$ alors,

$\begin{array}{rcl} F&=&\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{4}\right)\left(-\dfrac{2}{3}x-2\right)\\  \\&=&\dfrac{1}{3}x\times\left(-\dfrac{2}{3}x-2\right)-\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{2}{3}x-2\right)\\ \\&=&\left(\dfrac{1}{3}x\times -\dfrac{2}{3}x\right)-\left(\dfrac{1}{3}x\times 2\right)+\left(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}x\right)+\left(\dfrac{3}{4}\times 2\right)\\ \\&=&\dfrac{-2}{9}x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{6}{12}x+\dfrac{6}{4}\\ \\&=&\dfrac{-2}{9}x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{-2}{9}x^{2}+\left(-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\right)x+\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{-2}{9}x^{2}+\left(\dfrac{-4+3}{6}\right)x+\dfrac{3}{2}\\ \\&=&-\dfrac{2}{9}x^{2}+\left(-\dfrac{1}{6}\right)x+\dfrac{3}{2}\\ \\&=&-\dfrac{2}{9}x^{2}-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{3}{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{F=-\dfrac{2}{9}x^{2}-\dfrac{1}{6}x+\dfrac{3}{2}}$

Soit : $G=\left(\dfrac{3}{4}x-3\right)\left(\dfrac{2}{3}x+2\right)$ alors on a :

$\begin{array}{rcl} G&=&\left(\dfrac{3}{4}x-3\right)\left(\dfrac{2}{3}x+2\right)\\ \\&=&\dfrac{3}{4}x\times\left(\dfrac{2}{3}x+2\right)-3\times\left(\dfrac{2}{3}x+2\right)\\ \\&=&\left(\dfrac{3}{4}x\times \dfrac{2}{3}x\right)+\left(\dfrac{3}{4}x\times 2\right)-\left(3\times\dfrac{2}{3}x\right)-(3\times 2)\\ \\&=&\dfrac{6}{12}x^{2}+\dfrac{6}{4}x-\dfrac{6}{3}x-6\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{3}{2}x-2x-6\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{2}+\left(\dfrac{3}{2}-2\right)x-6\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{2}+\left(\dfrac{3-4}{2}\right)x-6\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)x-6\\ \\&=&\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}x-6\end{array}$

Par suite, $\boxed{G=\dfrac{6}{12}x^{2}-\dfrac{1}{2}x-6}$

Soit : $H=(5x-2)\left(\dfrac{3}{4}x-3\right)$ alors

$\begin{array}{rcl} H&=&(5x-2)\left(\dfrac{3}{4}x-3\right)\\ \\&=&5x\times\left(\dfrac{3}{4}x-3\right)-2\times\left(\dfrac{3}{4}x-3\right)\\ \\&=&\left(5x\times\dfrac{3}{4}x\right)-(5x\times 3)-\left(2\times\dfrac{3}{4}x\right)-(2\times(-3))\\ \\&=&\dfrac{15}{4}x^{2}-15x-\dfrac{6}{4}x+6\\ \\&=&\dfrac{15}{4}x^{2}-15x-\dfrac{3}{2}x+6\\ \\&=&\dfrac{15}{4}x^{2}-\left(15+\dfrac{3}{2}\right)x+6\\ \\&=&\dfrac{15}{4}x^{2}-\left(\dfrac{30+3}{2}\right)x+6\\ \\&=&\dfrac{15}{4}x^{2}-\dfrac{33}{2}x+6\end{array}$

Par suite, $\boxed{H=\dfrac{15}{4}x^{2}-\dfrac{33}{2}x+6}$

1) Calculons les carrés des expressions suivantes :
$6\;;\ 9\;;\ 7x\;;\ -2x\;;\ 11x^{2}\;;\ \dfrac{2x}{3}\;;\ -7x^{3}\;;\ \dfrac{1}{2}x$

Pour cela, on utilise les règles suivantes :
$$\boxed{a^{2}=a\times a\quad\text{et}\quad(ab)^{2}=(a^{2})\times(b^{2})}$$
On a :

$\begin{array}{rcl} 6^{2}&=&6\times 6\\&=&36\end{array}$

Donc, $\boxed{(6)^{2}=36}$

$\begin{array}{rcl} 9^{2}&=&9\times 9\\&=&81\end{array}$

Ainsi, $\boxed{(9)^{2}=81}$

$\begin{array}{rcl} (7x)^{2}&=&(7^{2})\times(x^{2})\\&=&7\times 7\times(x^{2})\\&=&49\times x^{2}\\&=&49x^{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{(7x)^{2}=49x^{2}}$

$\begin{array}{rcl} (-2x)^{2}&=&((-2)^{2})\times(x^{2})\\&=&(-2)\times(-2)\times(x^{2})\\&=&4\times x^{2}\\&=&4x^{2}\end{array}$

Par suite, $\boxed{(-2x)^{2}=4x^{2}}$

$\begin{array}{rcl} (11x^{2})^{2}&=&(11^{2})\times((x^{2})^{2})\\&=&11\times 11\times(x^{2})\times(x^{2})\\&=&121\times x^{2+2}\\&=&121\times x^{4}\\&=&121x^{4}\end{array}$

Donc, $\boxed{(11x^{2})^{2}=121x^{4}}$

$\begin{array}{rcl}\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}&=&\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\right)\times(x^{2})\\ \\&=&\left(\dfrac{2}{3}\right)\times \left(\dfrac{2}{3}\right)\times(x^{2})\\ \\&=&\dfrac{2\times 2}{3\times 3}\times x^{2}\\&=&\dfrac{4}{9}\times x^{2}\\ \\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}=\dfrac{4}{9}x^{2}}$

$\begin{array}{rcl} (-7x^{3})^{2}&=&((-7)^{2})\times((x^{3})^{2})\\&=&(-7)\times(-7)\times(x^{3})\times(x^{3})\\&=&49\times x^{3+3}\\&=&49\times x^{6}\\&=&49x^{6}\end{array}$

D'où, $\boxed{(-7x^{3})^{2}=49x^{6}}$

$\begin{array}{rcl}\left(\dfrac{1}{2}x\right)^{2}&=&\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right)\times(x^{2})\\ \\&=&\left(\dfrac{1}{2}\right)\times \left(\dfrac{1}{2}\right)\times(x^{2})\\ \\&=&\dfrac{1\times 1}{2\times 2}\times x^{2}\\&=&\dfrac{1}{4}\times x^{2}\\ \\&=&\dfrac{1}{4}x^{2}\end{array}$

Par suite, $\boxed{\left(\dfrac{1}{2}x\right)^{2}=\dfrac{1}{4}x^{2}}$

2) Calcul du double produit

Le double produit de $a\ $ et $\ b$ est donné par :
$$\boxed{2\times(a\times b)}$$
Donc, pour calculer un double produit, on calcule d'abord le produit et ensuite on multiplie le résultat obtenu par 2.

a) Soit à calculer le double produit de 5 et 3.

On a :

$\begin{array}{rcl}\text{double produit}&=&2\times(5\times 3)\\&=&2\times(15)\\&=&30\end{array}$

Donc, le double produit de 5 et 3 est 30.

b) Calculons le double produit de $2x\ $ et 7.

On a :

$\begin{array}{rcl}\text{double produit}&=&2\times((2x)\times 7)\\&=&2\times(2\times 7\times x)\\&=&2\times(14x)\\&=&28x\end{array}$

Donc, le double produit de $2x\ $ et 7 reste égal à $28x.$

c) Le double produit de $-3x\ $ et $\ -6$ est donné par :

$\begin{array}{rcl}\text{double produit}&=&2\times((-3x)\times(-6))\\&=&2\times((-3)\times(-6)\times x)\\&=&2\times(18x)\\&=&36x\end{array}$

Ainsi, le double produit de $-3x\ $ et $\ -6$ est égal à $36x.$

d) Calculons le double produit de 3 et $\ -\dfrac{2x}{3}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\text{double produit}&=&2\times\left(3\times\left(-\dfrac{2}{3}x\right)\right)\\ \\&=&2\times\left(-\dfrac{6}{3}x\right)\\ \\&=&2\times(-2x)\\ \\&=&-4x\end{array}$

Par suite, le double produit de 3 et $\ -\dfrac{2x}{3}$ est égal à $-4x.$

Dans cet exercice, nous allons développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.

Pour rappel, les propriétés des identités remarquables sont données par :
$$\begin{array}{rcl}(a+b)^{2}&=&a^{2}+2\times a\times b+b^{2}\\ \\(a-b)^{2}&=&a^{2}-2\times a\times b+b^{2}\\ \\(a-b)(a+b)&=&a^{2}-b^{2}\end{array}$$
Exemple
$(2x+1)^{2}=(2x)^{2}+2\times(2x)\times(1)+(1)^{2}$

D'où, $(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1$

Dans cet exemple, on a : $a=2x\ $ et $\ b=1$

1) Soit : $A=(4x+3)^{2}$ alors, $A$ est de la forme $(a+b)^{2}$ où, $a=4x\ $ et $\ b=3$

Donc,

$\begin{array}{rcl} A&=&(4x+3)^{2}\\&=&(4x)^{2}+2\times(4x)\times(3)+(3^{2})\\&=&(4^{2})\times (x^{2})+2\times(12x)+9\\&=&16x^{2}+24x+9\end{array}$

Ainsi, $\boxed{A=16x^{2}+24x+9}$

On donne : $B=(2+3x)^{2}$ alors, $B$ est de la forme $(a+b)^{2}$ où, $a=2\ $ et $\ b=3x$

Donc,

$\begin{array}{rcl} B&=&(2+3x)^{2}\\&=&(2)^{2}+2\times(2)\times(3x)+(3x)^{2}\\&=&4+2\times(6x)+(3^{2})\times(x^{2})\\&=&4+12x+9x^{2}\\&=&9x^{2}+12x+4\end{array}$

D'où, $\boxed{B=9x^{2}+12x+4}$

Soit : $C=(x+1)^{2}$, on remarque que $C$ est de la forme $(a+b)^{2}$ où, $a=x\ $ et $\ b=1$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} C&=&(x+1)^{2}\\&=&(x^{2})+2\times(x)\times(1)+(1^{2})\\&=&x^{2}+2x+1\end{array}$

D'où, $\boxed{C=x^{2}+2x+1}$

On donne : $D=(7x+3)^{2}$

Comme $D$ est de la forme $(a+b)^{2}$ avec, $a=7x\ $ et $\ b=3$ alors,

$\begin{array}{rcl} D&=&(7x+3)^{2}\\&=&(7x)^{2}+2\times(7x)\times(3)+(3)^{2}\\&=&(7^{2})\times(x^{2})+2\times(21x)+9\\&=&49x^{2}+42x+9\end{array}$

Ainsi, $\boxed{D=49x^{2}+42x+9}$

Soit : $E=(5x+1)^{2}$ alors, $E$ est de la forme $(a+b)^{2}$ où, $a=5x\ $ et $\ b=1$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} E&=&(5x+1)^{2}\\&=&(5x)^{2}+2\times(5x)(1)+(1)^{2}\\&=&(5^{2})\times(x^{2})+2\times(5x)\times(1)+(1^{2})\\&=&25x^{2}+10x+1\end{array}$

D'où, $\boxed{E=25x^{2}+10x+1}$

On a : $F=(8x+3)^{2}$ alors, $F$ est de la forme $(a+b)^{2}$ où, $a=8x\ $ et $\ b=3$

Donc,

$\begin{array}{rcl} F&=&(8x+3)^{2}\\&=&(8x)^{2}+2\times(8x)(3)+(3)^{2}\\&=&(8^{2})\times(x^{2})+2\times(8x)\times(3)+(3^{2})\\&=&64x^{2}+2\times(24x)+9\\&=&64x^{2}+48x+9\end{array}$

Ainsi, $\boxed{F=64x^{2}+48x+9}$

2) Soit : $A=(4x-3)^{2}$

On constate que $A$ est de la forme $(a-b)^{2}$ avec, $a=4x\ $ et $\ b=3$

Donc,

$\begin{array}{rcl} A&=&(4x-3)^{2}\\&=&(4x)^{2}-2\times(4x)\times(3)+(3^{2})\\&=&(4^{2})\times(x^{2})-2\times(12x)+9\\&=&16x^{2}-24x+9\end{array}$

D'où, $\boxed{A=16x^{2}-24x+9}$

On donne : $B=(2-3x)^{2}$ alors, $B$ est de la forme $(a-b)^{2}$ où, $a=2\ $ et $\ b=3x$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} B&=&(2-3x)^{2}\\&=&(2^{2})-2\times(2)\times(3x)+(3x)^{2}\\&=&4-2\times(6x)+(3^{2})\times(x^{2})\\&=&4-12x+9x^{2}\\&=&9x^{2}-12x+4\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B=9x^{2}-12x+4}$

Soit : $C=(x-1)^{2}$

Comme $C$ est de la forme $(a-b)^{2}$ avec, $a=x\ $ et $\ b=1$ alors,

$\begin{array}{rcl} C&=&(x-1)^{2}\\&=&(x^{2})-2\times(x)\times(1)+(1^{2})\\&=&x^{2}-2x+1\end{array}$

Donc, $\boxed{C=x^{2}-2x+1}$

On a : $D=(7x-3)^{2}$ alors, $D$ est de la forme $(a-b)^{2}$ avec, $a=7x\ $ et $\ b=3$

Donc,

$\begin{array}{rcl} D&=&(7x-3)^{2}\\&=&(7x)^{2}-2\times(7x)\times(3)+(3^{2})\\&=&(7^{2})\times(x^{2})-2\times(21x)+9\\&=&49x^{2}-42x+9\end{array}$

Par suite, $\boxed{D=49x^{2}-42x+9}$

Soit : $E=(5x-1)^{2}$

Comme $E$ est de la forme $(a-b)^{2}$ avec, $a=5x\ $ et $\ b=1$ alors,

$\begin{array}{rcl} E&=&(5x-1)^{2}\\&=&(5x)^{2}-2\times(5x)\times(1)+(1^{2})\\&=&(5^{2})\times(x^{2})-10x+1\\&=&25x^{2}-10x+1\end{array}$

Donc, $\boxed{E=25x^{2}-10x+1}$

On a : $F=(8x-3)^{2}$

$F$ étant de la forme $(a-b)^{2}$ avec, $a=8x\ $ et $\ b=3$ alors,

$\begin{array}{rcl} F&=&(8x-3)^{2}\\&=&(8x)^{2}-2\times(8x)\times(3)+(3^{2})\\&=&(8^{2})\times(x^{2})-2\times(24x)+9\\&=&64x^{2}-48x+9\end{array}$

D'où, $\boxed{F=64x^{2}-48x+9}$

3) Soit : $A=(4x+3)(4x-3)$

On constate que $A$ est de la forme $(a+b)(a-b)$ avec, $a=4x\ $ et $\ b=3$ donc,

$\begin{array}{rcl} A&=&(4x+3)(4x-3)\\&=&(4x)^{2}-(3^{2})\\&=&(4^{2})\times(x^{2})-9\\&=&16x^{2}-9\end{array}$

D'où, $\boxed{A=16x^{2}-9}$

On a : $B=(2-3x)(2+3x)$

Comme $B$ est de la forme $(a-b)(a+b)$ avec, $a=2\ $ et $\ b=3x$ alors,

$\begin{array}{rcl} B&=&(2-3x)(2+3x)\\&=&(2^{2})-(3x)^{2}\\&=&4-(3^{2})\times(x^{2})\\&=&4-9x^{2}\\&=&-9x^{2}+4\end{array}$

Par suite, $\boxed{B=-9x^{2}+4}$

Soit : $C=(x+1)(x-1)$

$C$ étant de la forme $(a+b)(a-b)$ avec, $a=x\ $ et $\ b=1$ alors,

$\begin{array}{rcl} C&=&(x+1)(x-1)\\&=&(x^{2})-(1^{2})\\&=&x^{2}-1\end{array}$

Donc, $\boxed{x^{2}-1}$

On a : $D=(5x+1)(5x-1)$

Comme $D$ est de la forme $(a+b)(a-b)$ avec, $a=5x\ $ et $\ b=1$ alors,

$\begin{array}{rcl} D&=&(5x+1)(5x-1)\\&=&(5x)^{2}-(1^{2})\\&=&(5^{2})\times(x^{2})-1\\&=&25x^{2}-1\end{array}$

D'où, $\boxed{D=25x^{2}-1}$

4) En procédant de la même manière que dans les questions précédentes, on obtient :

$\begin{array}{rcl} F&=&\left(\dfrac{2x}{3}+7\right)^{2}\\ \\&=&\left(\dfrac{2x}{3}\right)^{2}+2\times\left(\dfrac{2}{3}x\right)\times(7)+(7^{2})\\ \\&=&\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\times(x^{2})+2\times\left(\dfrac{14}{3}x\right)+49\\ \\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}+\dfrac{28}{3}x+49\end{array}$

Ce qui donne : $\boxed{F=\dfrac{4}{9}x^{2}+\dfrac{28}{3}x+49}$

$\begin{array}{rcl} G&=&\left(\dfrac{3x}{7}-\dfrac{1}{7}\right)\left(\dfrac{3x}{7}+\dfrac{1}{7}\right)\\ \\&=&\left(\dfrac{3x}{7}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{7}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\dfrac{3}{7}\right)^{2}\times(x^{2})-\dfrac{1}{49}\\ \\&=&\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{1}{49}\end{array}$

Donc, $\boxed{G=\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{1}{49}}$

$\begin{array}{rcl} H&=&(3x^{2}-1)^{2}\\&=&(3x^{2})^{2}-2\times(3x^{2})\times(1)+(1^{2})\\&=&(3^{2})\times(x^{2})^{2}-6x^{2}+1\\&=&9x^{4}-6x^{2}+1\end{array}$

Ainsi, $\boxed{H=9x^{4}-6x^{2}+1}$

$\begin{array}{rcl} I&=&\left(\dfrac{3x}{7}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\dfrac{3}{7}x\right)^{2}-2\times\left(\dfrac{3}{7}x\right)\times\left(\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\dfrac{3}{7}\right)^{2}\times(x^{2})-2\times\left(\dfrac{3}{14}x\right)+\dfrac{1}{4}\\ \\&=&\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{1}{4}\end{array}$

D'où, $\boxed{I=\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{1}{4}}$

$\begin{array}{rcl} J&=&\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}\right)\\ \\&=&\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}-2\times\left(\dfrac{2}{3}x\right)\times\left(\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}\times(x^{2})-2\times\left(\dfrac{2}{6}x\right)+\dfrac{1}{4}\\ \\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{4}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{J=\dfrac{4}{9}x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{4}}$

Dans cet exercice, nous allons développer, réduire puis ordonner les expressions suivantes.

Soit : $A=7(x+3)+(x+2)(x-4)$

Nous constatons que $A$ est constituée de deux parties :
$$7(x+3)\ \text{ et }\ (x+2)(x-4)$$
En développant la première partie, on obtient :

$\begin{array}{rcl} 7(x+3)&=&(7\times x)+(7\times 3)\\&=&7x+21\end{array}$

En développant la deuxième partie, on obtient :

$\begin{array}{rcl}(x+2)(x-4)&=&x(x-4)+2(x-4)\\&=&(x\times x)-(x\times 4)+(2\times x)-(2\times 4)\\&=&x^{2}-4x+2x-8\\&=&x^{2}-2x-8\end{array}$

Ainsi, en regroupant les deux parties, on trouve :

$\begin{array}{rcl} A&=&7(x+3)+(x+2)(x-4)\\&=&(7x+21)+(x^{2}-2x-8)\\&=&7x+21+x^{2}-2x-8\\&=&x^{2}+7x-2x+21-8\\&=&x^{2}+5x+13\end{array}$

D'où, $\boxed{A=x^{2}+5x+13}$

Soit : $B=(7x^{2}+3)(-x+3)+7x-19$ alors,

$\begin{array}{rcl} B&=&7x^{2}\times(-x+3)+3\times(-x+3)+7x-19\\&=&[(7x^{2}\times(-x))+(7x^{2}\times 3)+(3\times(-x))+(3\times 3)]+7x-19\\&=&(-7x^{3}+21x^{2}-3x+9)+7x-19\\&=&-7x^{3}+21x^{2}-3x+7x+9-19\\&=&-7x^{3}+21x^{2}+4x-10\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B=-7x^{3}+21x^{2}+4x-10}$

Soit : $C=(x+1)(x-2)-(x-3)(x+4)$

On remarque que $C$ est constituée de deux parties :
$$(x+1)(x-2)\ \text{ et }\ (x-3)(x+4)$$
Donc, en développant $(x+1)(x-2)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}(x+1)(x-2)&=&x\times(x-2)+1\times(x-2)\\&=&x^{2}-2x+x-2\\&=&x^{2}-x-2\end{array}$

Aussi, en développant $(x-3)(x+4)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl}(x-3)(x+4)&=&x\times(x+4)-3\times(x+4)\\&=&x^{2}+4x-3x-12\\&=&x^{2}+x-12\end{array}$

Par suite, en faisant la différence, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&(x+1)(x-2)-(x-3)(x+4)\\&=&(x^{2}-x-2)-(x^{2}+x-12)\\&=&x^{2}-x-2-x^{2}-x+12\\&=&x^{2}-x^{2}-x-x-2+12\\&=&-2x+10\end{array}$

Ce qui donne : $\boxed{C=-2x+10}$

Soit : $D=(x-4)^{2}-(x-6)(x+6)+(2x+3)^{2}$

On remarque que $D$ est constituée de trois parties :
$$(x-4)^{2}\;,\ (x-6)(x+6)\ \text{ et }\ (2x+3)^{2}$$
En développant chaque partie, on obtient :

$\begin{array}{rcl}(x-4)^{2}&=&x^{2}-(2)\times(4)\times(x)+(4)^{2}\\&=&x^{2}-8x+16\end{array}$

$\begin{array}{rcl}(x-6)(x+6)&=&x^{2}-(6)^{2}\\&=&x^{2}-36\end{array}$

$\begin{array}{rcl}(2x+3)^{2}&=&(2x)^{2}+(2)\times(3)\times(2x)+(3)^{2}\\&=&4x^{2}+12x+9\end{array}$

En regroupant leur développement, on obtient :

$\begin{array}{rcl} D&=&(x-4)^{2}-(x-6)(x+6)+(2x+3)^{2}\\&=&(x^{2}-8x+16)-(x^{2}-36)+(4x^{2}+12x+9)\\&=&x^{2}-8x+16-x^{2}+36+4x^{2}+12x+9\\&=&4x^{2}+4x+61\end{array}$

Ainsi, $\boxed{D=4x^{2}+4x+61}$

Soit : $E=\left(\dfrac{3x}{7}-\dfrac{1}{7}\right)^{2}-\left(\dfrac{3x}{7}+\dfrac{1}{7}\right)^{2}$

On remarque que l'expression de $E$ est composée de deux parties :
$$\left(\dfrac{3x}{7}-\dfrac{1}{7}\right)^{2}\ \text{ et }\ \left(\dfrac{3x}{7}+\dfrac{1}{7}\right)^{2}$$
En développant puis en regroupant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} E&=&\left(\dfrac{3x}{7}-\dfrac{1}{7}\right)^{2}-\left(\dfrac{3x}{7}+\dfrac{1}{7}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{6}{49}x+\dfrac{1}{49}\right)-\left(\dfrac{9}{49}x^{2}+\dfrac{6}{49}x+\dfrac{1}{49}\right)\\ \\&=&\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{6}{49}x+\dfrac{1}{49}-\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{6}{49}x-\dfrac{1}{49}\\ \\&=&\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{9}{49}x^{2}-\dfrac{6}{49}x-\dfrac{6}{49}x+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{49}\\ \\&=&-\dfrac{12}{49}x\end{array}$

D'où, $\boxed{E=-\dfrac{12}{49}x}$

Soit : $F=(2x-3)^{2}-9\left(\dfrac{3}{2}x+1\right)^{2}$

On a : $(2x-3)^{2}=(4x^{2}-12x+9)\ $ et $\ \left(\dfrac{3}{2}x+1\right)^{2}=\left(\dfrac{9}{4}x^{2}+\dfrac{6}{2}x+1\right)$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} F&=&(4x^{2}-12x+9)-9\left(\dfrac{9}{4}x^{2}+\dfrac{6}{2}x+1\right)\\ \\&=&(4x^{2}-12x+9)-\left(\dfrac{81}{4}x^{2}+27x+9\right)\\ \\&=&4x^{2}-12x+9-\dfrac{81}{4}x^{2}-27x-9\\ \\&=&4x^{2}-\dfrac{81}{4}x^{2}-12x-27x+9-9\\ \\&=&\left(4-\dfrac{81}{4}\right)x^{2}-39x\\ \\&=&-\dfrac{65}{4}x^{2}-39x\end{array}$

D'où, $\boxed{F=-\dfrac{65}{4}x^{2}-39x}$

1) Simplifions les expressions suivantes

Soit $A(x)=\dfrac{4x-9}{3}+\dfrac{5x-2}{4}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&\dfrac{4x-9}{3}+\dfrac{5x-2}{4}\\ \\&=&\dfrac{4(4x-9)+3(5x-2)}{4\times 3}\\ \\&=&\dfrac{(16x-36)+(15x-6)}{12}\\ \\&=&\dfrac{16x-36+15x-6}{12}\\ \\&=&\dfrac{31x-42}{12}\end{array}$

D'où, $\boxed{A(x)=\dfrac{31x-42}{12}}$

Soit $B=\dfrac{5(2x-3)}{7}-\dfrac{2(-4x-5)}{3}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&\dfrac{5(2x-3)}{7}-\dfrac{2(-4x-5)}{3}\\ \\&=&\dfrac{3\times 5(2x-3)-7\times 2(-4x-5}{7\times 3}\\ \\&=&\dfrac{15(2x-3)-14(-4x-5)}{21}\\ \\&=&\dfrac{(30x-45)-(-56x-70)}{21}\\ \\&=&\dfrac{30x-45+56x+70}{21}\\ \\&=&\dfrac{30x+56x+70-45}{21}\\ \\&=&\dfrac{86x+25}{21}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B(x)=\dfrac{86x+25}{21}}$

2) Calculons $A(x)$ pour $x=0$ puis $B(x)$ pour $x=-\dfrac{2}{3}$

$-\ $ Calcul de $A(x)$ pour $x=0$

Pour cela, on remplace $x$ par $0$ dans l'expression simplifiée de $A$ et on calcule.

Soit $A(x)=\dfrac{31x-42}{12}$ alors,

$\begin{array}{rcl} A(0)&=&\dfrac{31(0)-42}{12}\\ \\&=&\dfrac{0-42}{12}\\ \\&=&-\dfrac{42}{12}\end{array}$

Comme $PGCD(42\;;\ 12)=6$ alors, on peut simplifier $A(0)$ en divisant le numérateur et le dénominateur par $6.$

Donc, $A(0)=-\dfrac{42\div 6}{12\div 6}=-\dfrac{7}{2}$

D'où, $\boxed{A(0)=-\dfrac{7}{2}}$

$-\ $ Calcul de $B(x)$ pour $x=-\dfrac{2}{3}$

En remplaçant $x$ par $-\dfrac{2}{3}$ dans l'expression simplifiée de $B(x)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} B\left(-\dfrac{2}{3}\right)&=&\dfrac{86\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)+25}{21}\\ \\&=&\dfrac{-\dfrac{2\times 86}{3}+25}{21}\\ \\&=&\dfrac{-\dfrac{172}{3}+\dfrac{25\times 3}{3}}{21}\\ \\&=&\dfrac{-\dfrac{172}{3}+\dfrac{75}{3}}{21}\\ \\&=& \dfrac{\dfrac{-172+75}{3}}{\dfrac{21}{1}}\\ \\&=&\dfrac{-97}{3}\times\dfrac{1}{21}\\ \\&=&\dfrac{-97}{63}\end{array}$

Par suite, $\boxed{B\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{97}{63}}$

Dans cet exercice on factorise des expressions en cherchant un facteur commun.

Ainsi, lorsqu'on a une expression composée de plusieurs parties, on prend ce qui est commun à ces parties comme premier facteur et ce qui reste à ces parties comme second facteur.

Soit $N=(3x-1)(x-1)+(3x-1)(4-x)$

On voit que $N$ est composée de deux parties : $(3x-1)(x-1)\ $ et $\ (3x-1)(4-x)$

Ces deux parties ont en commun $(3x-1)$

Donc, en choisissant $(3x-1)$ comme facteur commun, il va rester $(x-1)$ à la première partie et $(4-x)$ à la deuxième partie.

Par suite,

$\begin{array}{rcl} N&=&(3x-1)(x-1)+(3x-1)(4-x)\\&=&(3x-1)[(x-1)+(4-x)]\\&=&(3x-1)(x-1+4-x)\\&=&(3x-1)(x-x+4-1)\\&=&(3x-1)(0x+3)\\&=&(3x-1)(3)\end{array}$

D'où, $\boxed{N=3(3x-1)}$

Soit : $D=(5x-1)(2x-1)+(2x-1)(4-x)$

On constate que $D$ est composée de deux parties $(5x-1)(2x-1)\ $ et $\ (2x-1)(4-x)$ et que ces deux parties ont en commun $(2x-1)$

Donc, on choisit $(2x-1)$ comme facteur commun. On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} D&=&(5x-1)(2x-1)+(2x-1)(4-x)\\&=&(2x-1)[(5x-1)+(4-x)]\\&=&(2x-1)(5x-1+4-x)\\&=&(2x-1)(5x-x-1+4)\\&=&(2x-1)(4x+3)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{D=(2x-1)(4x+3)}$

Soit : $E=(9x-1)(2x+1)-(9x-1)^{2}$

$E$ peut encore s'écrire : $E=(9x-1)(2x+1)-(9x-1)(9x-1)$

Dans cette nouvelle expression de $E$ on obtient deux parties qui ont en commun le facteur $(9x-1)$

Donc, on a :

$\begin{array}{rcl} E&=&(9x-1)(2x+1)-(9x-1)(9x-1)\\&=&(9x-1)[(2x+1)-(9x-1)]\\&=&(9x-1)(2x+1-9x+1)\\&=&(9x-1)(2x-9x+1+1)\\&=&(9x-1)(-7x+2)\end{array}$

Par suite, $\boxed{E=(9x-1)(-7x+2)}$

On donne : $U=(4x-1)(9x+7)-(4x-1)$

En considérant $(4x-1)$ comme facteur commun, on obtient :

$\begin{array}{rcl} U&=&(4x-1)(9x+7)-(4x-1)\\&=&(4x-1)[(9x+7)-1]\\&=&(4x-1)(9x+6)\\&=&(4x-1)(3x+2)(3)\end{array}$

D'où, $\boxed{U=3(4x-1)(3x+2)}$

Soit : $S=(2x-3)(7x-3)-6x(7x-3)$

On remarque que $S$ est composée de deux parties $(2x-3)(7x-3)\ $ et $\ 6x(7x-3)$ et que ces deux parties ont en commun $(7x-3)$

Donc, en prenant $(7x-3)$ comme facteur commun, on obtient :

$\begin{array}{rcl} S&=&(2x-3)(7x-3)-6x(7x-3)\\&=&(7x-3)[(2x-3)-6x]\\&=&(7x-3)(2x-3-6x)\\&=&(7x-3)(2x-6x-3)\\&=&(7x-3)(-4x-3)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{S=-(7x-3)(4x+3)}$

On donne : $S'=44x^{4}+33x^{3}-22x^{2}$

Alors, $S'$ peut s'écrire encore : $S'=11x^{2}\times 4x^{2}+11x^{2}\times 3x-11x^{2}\times 2$

Donc, en considérant $11x^{2}$ comme facteur commun, on obtient :

$\boxed{S'=11x^{2}(4x^{2}+3x-2)}$

Dans cet exercice, nous allons factoriser des expressions en essayant de reconnaitre une forme d'identité remarquable.

Pour rappel, on a :
$$\begin{array}{rcl}\text{Forme développée}&&\text{Forme factorisée}\\ \\ a^{2}+2\times a\times b+b^{2}&=&(a+b)^{2}\\ \\ a^{2}-2\times a\times b+b^{2}&=&(a-b)^{2}\\ \\ a^{2}-b^{2}&=&(a-b)(a+b)\end{array}$$

Soit : $A=x^{2}+4x+4$

Alors, on a : $A=(x)^{2}+2\times(2)(x)+(2)^{2}$

En posant $a=x\ $ et $\ b=2$ et en appliquant la propriété
$$a^{2}+2\times a\times b+b^{2}=(a+b)^{2}$$
on obtient : $\boxed{A=(x+2)^{2}}$

Soit : $B=36x^{2}-24x+4$

$B$ peut encore s'écrire : $B=(6x)^{2}-2\times(6x)(2)+2^{2}$

Posons, $a=6x\ $ et $\ b=2$ et appliquons la propriété
$$a^{2}-2\times a\times b+b^{2}=(a-b)^{2}$$ On obtient alors : $\boxed{B=(6x-2)^{2}}$

On donne : $C=x^{2}-81$

$C$ peut se mettre sous la forme : $C=(x)^{2}-(9)^{2}$

Donc, en appliquant la propriété
$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\quad\text{avec }a=x\ \text{ et }\ b=9$$
on obtient : $\boxed{C=(x-9)(x+9)}$

Soit : $D=216x^{2}-6$

$D$ s'écrire : $D=6(36x^{2}-1)$

Or, $(36x^{2}-1)=(6x)^{2}-(1)^{2}.$ Donc, en appliquant la propriété
$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\quad\text{avec }a=6x\  \text{ et }\ b=1$$
on obtient :
$$(36x^{2}-1)=(6x)^{2}-(1)^{2}=(6x-1)(6x+1)$$
Ce qui donne, $\boxed{D=6(6x-1)(6x+1)}$

Soit : $E=81x^{2}+18x+1$

Alors, $E=(9x)^{2}+2\times(9x)(1)+(1)^{2}$

Donc, en appliquant la propriété
$$a^{2}+2\times a\times b+b^{2}=(a+b)^{2}\quad\text{avec }a=9x\ \text{ et }\ b=1$$
on obtient : $\boxed{E=(9x+1)^{2}}$

On donne : $F=x^{2}-6x+9$

$F$ peut encore s'écrire : $F=(x)^{2}-2\times(x)(3)+(3)^{2}$

Ainsi, en appliquant la propriété
$$a^{2}-2\times a\times b+b^{2}=(a-b)^{2}\quad\text{avec }a=x\ \text{ et }\ b=3$$
on obtient : $\boxed{F=(x-3)^{2}}$

Soit : $G=x^{2}-14x+49$

Alors, $G=(x)^{2}-2\times(x)(7)+(7)^{2}$

D'où, $\boxed{G=(x-7)^{2}}$

Soit : $H=36x^{2}+12x+1$

$H$ peut encore s'écrire : $H=(6x)^{2}+2\times(6x)(1)+(1)^{2}$

Donc, en appliquant la propriété
$$a^{2}+2\times a\times b+b^{2}=(a+b)^{2}\quad\text{avec }a=6x\ \text{ et }\ b=1$$
on obtient : $\boxed{H=(6x+1)^{2}}$

Soit à factoriser : $I=\dfrac{49}{16}x^{2}-(1)^{2}$

On sait que : $\dfrac{49}{16}=\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}$

Donc, $I=\left(\dfrac{7}{4}x\right)^{2}-(1)^{2}$

Par suite, en appliquant la propriété
$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\quad\text{avec }a=\dfrac{7}{4}x\ \text{ et }\ b=1$$
on obtient : $\boxed{I=\left(\dfrac{7}{4}x-1\right)\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)}$

Soit à factoriser : $J=x^{2}-3x+\dfrac{9}{4}$

On remarque d'abord que $\dfrac{9}{4}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$

Donc, $J=(x)^{2}-2\times(x)\left(\dfrac{3}{2}\right)+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$

Ainsi, en appliquant la propriété
$$a^{2}-2\times a\times b+b^{2}=(a-b)^{2}\quad\text{avec }a=x\ \text{ et }\ b=\dfrac{3}{2}$$
on obtient : $\boxed{J=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}}$

Soit $A=(3x+5)^{2}-(2x-3)^{2}$

On remarque que $A$ est de la forme
$$a^{2}-b^{2}\quad\text{avec }a=3x+5\ \text{ et }\ b=2x-3$$

Donc, en appliquant la propriété $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$, on aura :

$\begin{array}{rcl} A&=&(3x+5)^{2}-(2x-3)^{2}\\&=&[(3x+5)-(2x-3)][(3x+5)+(2x-3)]\\&=&(3x-2x+5+3)(3x+2x+5-3)\\&=&(x+8)(5x+2)\end{array}$

D'où, $\boxed{A=(x+8)(5x+2)}$

Soit $N=\left(\dfrac{6}{4}x-2\right)^{2}-\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2}$

De la même manière, $N$ s'écrit sous la forme :
$$a^{2}-b^{2}\quad\text{avec }a=\left(\dfrac{6}{4}x-2\right)^{2}\ \text{ et }\ b=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)$$

Or, on sait que : $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ donc, en appliquant cette formule à $N$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} N&=&\left(\dfrac{6}{4}x-2\right)^{2}-\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2}\\ \\&=&\left[\left(\dfrac{6}{4}x-2\right)-\left(x+\dfrac{5}{2}\right)\right]\left[\left(\dfrac{6}{4}x-2\right)+\left(x+\dfrac{5}{2}\right)\right]\\ \\&=&\left(\dfrac{6}{4}x-2-x-\dfrac{5}{2}\right)\left(\dfrac{6}{4}x-2+x+\dfrac{5}{2}\right)\\ \\&=&\left(\dfrac{6}{4}x-\dfrac{4}{4}x-\dfrac{4}{2}-\dfrac{5}{2}\right)\left(\dfrac{6}{4}x+\dfrac{4}{4}x-\dfrac{4}{2}+\dfrac{5}{2}\right)\\ \\&=&\left(\dfrac{2}{4}x-\dfrac{9}{2}\right)\left(\dfrac{10}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\\ \\&=&\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{9}{2}\right)\left(\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{2}\right)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{N=\dfrac{1}{4}(x-9)(5x+1)}$

Soit $S=(5x-1)^{2}-\dfrac{9}{4}$

On remarque que $\dfrac{9}{4}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$

Donc $S$ peut encore s'écrire : $S=(5x-1)^{2}-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$

On reconnait alors une forme d'identité remarquable :
$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$
En posant $a=(5x-1)\ $ et $\ b=\left(\dfrac{3}{2}\right)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} S&=&(5x-1)^{2}-\dfrac{9}{4}\\ \\&=&(5x-1)^{2}-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}\\ \\&=&\left[(5x-1)-\dfrac{3}{2}\right]\left[(5x-1)+\dfrac{3}{2}\right]\\ \\&=&\left(5x-1-\dfrac{3}{2}\right)\left(5x-1+\dfrac{3}{2}\right)\\ \\&=&\left(5x-\dfrac{2}{2}-\dfrac{3}{2}\right)\left(5x-\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{2}\right)\\ \\&=&\left(5x-\dfrac{5}{2}\right)\left(5x+\dfrac{1}{2}\right)\end{array}$

D'où, $\boxed{S=5\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(5x+\dfrac{1}{2}\right)}$

Factorisons chacune des expressions suivantes :

Soit $A=(5x-3)(3-4x)+25x^{2}-9$

Dans l'expression de $A$ on remarque deux parties :
$$(5x-3)(3-4x)\ \text{ et }\ 25x^{2}-9$$
Or, l'une des parties, à savoir $25x^{2}-9$ est de la : $a^{2}-b^{2}$ avec $a=5x\ $ et $\ b=3$

Donc, en utilisant la forme factorisée, on obtient :
$$25x^{2}-9=(5x)^{2}-(3)^{2}=(5x-3)(5x+3)$$
Ainsi, une nouvelle écriture de $A$ sera donnée par :
$$A=(5x-3)(3-4x)+(5x-3)(5x+3)$$
On reconnait alors un facteur commun : $(5x-3)$

En mettant en évidence ce facteur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&(5x-3)(3-4x)+(5x-3)(5x+3)\\&=&(5x-3)[(3-4x)+(5x+3)]\\&=&(5x-3)(3-4x+5x+3)\\&=&(5x-3)(-4x+5x+3+3)\\&=&(5x-3)(x+6)\end{array}$

D'où, $\boxed{A=(5x-3)(x+6)}$

Soit $B=x^{2}-4-(x+6)(x-2)$

On factorise d'abord $x^{2}-4$

Ce qui donne : $x^{2}-4=x^{2}-(2)^{2}=(x-2)(x+2)$

Ainsi, une nouvelle écriture de $B$ sera donnée par :
$$B=(x-2)(x+2)-(x+6)(x-2)$$
On reconnait alors un facteur commun : $(x-2)$

En mettant en évidence ce facteur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} B&=&(x-2)(x+2)-(x+6)(x-2)\\&=&(x-2)[(x+2)-(x+6)]\\&=&(x-2)(x+2-x-6)\\&=&(x-2)(x-x-6+2)\\&=&(x-2)(0x-4)\\&=&-4(x-2)\end{array}$

Par suite, $\boxed{B=-4(x-2)}$

On donne : $C=(x-8)(3x+5)-(x^{2}-16x+64)$

On factorise d'abord l'expression $x^{2}-16x+64$

On a : $x^{2}-16x+64=x^{2}-2\times 8\times x+(8)^{2}$

On reconnait alors une forme développée d'une identité remarquable :
$$a^{2}-2\times a\times b+b^{2}=(a-b)^{2}\quad\text{avec }a=x\ \text{ et }\ b=8$$
Ainsi, $x^{2}-16x+64=(x-8)^{2}=(x-8)(x-8)$

Une nouvelle écriture de $C$ sera alors donnée par :
$$C=(x-8)(3x+5)-(x-8)(x-8)$$
On reconnait ainsi un facteur commun : $(x-8)$

En mettant en évidence ce facteur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&(x-8)(3x+5)-(x-8)(x-8)\\&=&(x-8)[(3x+5)-(x-8)]\\&=&(x-8)(3x+5-x+8)\\&=&(x-8)(3x-x+5+8)\\&=&(x-8)(2x+13)\end{array}$

D'où, $\boxed{C=(x-8)(2x+13)}$

Soit $D=x^{2}-6x+9-(3-x)(2x+1)$

En factorisant $x^{2}-6x+9$, on obtient :
$$x^{2}-6x+9=x^{2}-2\times 3\times x+(3)^{2}=(x-3)^{2}=(x-3)(x-3)$$
Donc, $D$ peut encore s'écrire :
$$D=(x-3)(x-3)-(3-x)(2x+1)=(x-3)(x-3)+(-3+x)(2x+1)$$
On reconnait ainsi un facteur commun : $(x-3)$ qui est encore égal à $(-3+x)$

En mettant en évidence ce facteur, on obtient :

$\begin{array}{rcl} D&=&(x-3)(x-3)-(3-x)(2x+1)\\&=&(x-3)(x-3)+(-3+x)(2x+1)\\&=&(x-3)[(x-3)+(2x+1)]\\&=&(x-3)(x-3+2x+1)\\&=&(x-3)(x+2x-3+1)\\&=&(x-3)(3x-2)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{D=(x-3)(3x-2)}$

Soit $E=49x^{2}-1+(7x+1)(9x-4)$

De la même manière, on commence par factoriser $49x^{2}-1$

On a : $49x^{2}-1=(7x)^{2}-(1)^{2}=(7x-1)(7x+1)$

Ainsi, $E$ peut encore s'écrire :
$$E=(7x-1)(7x+1)+(7x+1)(9x-4)$$
On factorise cette nouvelle expression de $E$ en mettant en évidence le facteur $(7x+1)$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} E&=&(7x-1)(7x+1)+(7x+1)(9x-4)\\&=&(7x+1)[(7x-1)+(9x-4)]\\&=&(7x+1)(7x-1+9x-4)\\&=&(7x+1)(7x+9x-4-1)\\&=&(7x+1)(16x-5)\end{array}$

D'où, $\boxed{E=(7x+1)(16x-5)}$

On donne $F=\dfrac{49}{16}x^{2}-1+\left(1+\dfrac{7}{4}x\right)(6x+13)$

On factorise d'abord $\dfrac{49}{16}x^{2}-1$

Ce qui donne : $\dfrac{49}{16}x^{2}-1=\left(\dfrac{7}{4}x\right)^{2}-(1)^{2}=\left(\dfrac{7}{4}x-1\right)\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)$

Ainsi, $F$ peut encore s'écrire :
$$F=\left(\dfrac{7}{4}x-1\right)\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)+\left(1+\dfrac{7}{4}x\right)(6x+13)$$
On factorise cette nouvelle expression de $F$ en mettant en évidence le facteur $\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)$

On obtient alors :

$\begin{array}{rcl} F&=&\left(\dfrac{7}{4}x-1\right)\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)+\left(1+\dfrac{7}{4}x\right)(6x+13)\\ \\&=&\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)\left[\left(\dfrac{7}{4}x-1\right)+(6x+13)\right]\\ \\&=&\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)\left(\dfrac{7}{4}x+6x+13-1\right)\\ \\&=&\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{24}{4}x+13-1\right)\\ \\&=&\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)\left(\dfrac{31}{4}x+12\right)\end{array}$

D'où, $\boxed{F=\left(\dfrac{7}{4}x+1\right)\left(\dfrac{31}{4}x+12\right)}$

Développons puis factorisons

Soit $A=9x^{2}-6x+1-(3x-1)$

Développement de $A$

On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&9x^{2}-6x+1-(3x-1)\\&=&9x^{2}-6x+1-3x+1\\&=&9x^{2}-6x-3x+1+1\\&=&9x^{2}-9x+2\end{array}$

Donc, $\boxed{A=9x^{2}-9x+2}$

Factorisation de $A$

On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&9x^{2}-6x+1-(3x-1)\\&=&(3x)^{2}-6x+(1)^{2}-(3x-1)\\&=&(3x-1)^{2}-(3x-1)\\&=&(3x-1)(3x-1)-(3x-1)\\&=&(3x-1)[(3x-1)-1]\\&=&(3x-1)(3x-1-1)\\&=&(3x-1)(3x-2)\end{array}$

D'où, $\boxed{A=(3x-1)(3x-2)}$

Soit $B=(x+4)^{2}-(3x-2)^{2}$

Développons $B$

On a :

$\begin{array}{rcl} B&=&(x+4)^{2}-(3x-2)^{2}\\&=&(x^{2}+8x+16)-(9x^{2}-12x+4)\\&=&x^{2}+8x+16-9x^{2}+12x-4\\&=&x^{2}-9x^{2}+8x+12x+16-4\\&=&-8x^{2}+20x+12\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B=-8x^{2}+20x+12}$

Factorisons $B$

On a :

$\begin{array}{rcl} B&=&(x+4)^{2}-(3x-2)^{2}\\&=&[(x+4)-(3x-2)][(x+4)+(3x-2)]\\&=&(x+4-3x+2)(x+3x+4-2)\\&=&(x-3x+4+2)(x+3x+4-2)\\&=&(-2x+6)(4x+2)\end{array}$

Donc, $\boxed{B=4(-x+3)(2x+1)}$

Soit $C=(2x+1)(3x-2)-(2x+1)^{2}-4x-2$

Développons $C$

On a :

$\begin{array}{rcl} C&=&(2x+1)(3x-2)-(2x+1)^{2}-4x-2\\&=&(6x^{2}-4x+3x-2)-(4x^{2}+4x+1)-4x-2\\&=&(6x^{2}-x-2)-(4x^{2}+4x+1)-4x-2\\&=&6x^{2}-x-2-4x^{2}-4x-1-4x-2\\&=&6x^{2}-4x^{2}-x-4x-4x-2-1-2\\&=&2x^{2}-9x-5\end{array}$

D'où, $\boxed{C=2x^{2}-9x-5}$

Factorisons $C$

On a :

$\begin{array}{rcl} C&=&(2x+1)(3x-2)-(2x+1)^{2}-4x-2\\&=&(2x+1)(3x-2)-(2x+1)(2x+1)-2(2x+1)\\&=&(2x+1)[(3x-2)-(2x+1)-2]\\&=&(2x+1)(3x-2x-2-2-1)\\&=&(2x+1)(x-5)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{C=(2x+1)(x-5)}$

On donne $D=4(2x+3)^{2}-9(x-1)^{2}$

Développons $D$

On a :

$\begin{array}{rcl} D&=&4(2x+3)^{2}-9(x-1)^{2}\\&=&4(4x^{2}+12x+9)-9(x^{2}-2x+1)\\&=&(16x^{2}+48x+36)-(9x^{2}-18x+9)\\&=&16x^{2}+48x+36-9x^{2}+18x-9\\&=&16x^{2}-9x^{2}+48x+18x+36-9\\&=&7x^{2}+66x+27\end{array}$

Par suite, $\boxed{D=7x^{2}+66x+27}$

Factorisons $D$

On a :

$\begin{array}{rcl} D&=&4(2x+3)^{2}-9(x-1)^{2}\\&=&(2)^{2}(2x+3)^{2}-(3)^{2}(x-1)^{2}\\&=&(2(2x+3))^{2}-(3(x-1))^{2}\\&=&[2(2x+3)-3(x-1)][2(2x+3)+3(x-1)]\\&=&(4x+6-3x+3)(4x+6+3x-3)\\&=&(x+9)(7x+3)\end{array}$

D'où, $\boxed{D=(x+9)(7x+3)}$

On donne $E=x^{2}+9-6x-(3-x)(2x+1)$

Développons $E$

On a :

$\begin{array}{rcl} E&=&x^{2}+9-6x-(3-x)(2x+1)\\&=&x^{2}+9-6x-(6x+3-2x^{2}-x)\\&=&x^{2}+9-6x-(-2x^{2}+5x+3)\\&=&x^{2}+2x^{2}-6x-5x+9-3\\&=&x^{2}+2x^{2}-6x-5x+9-3\\&=&3x^{2}-11x+6\end{array}$

Donc, $\boxed{E=3x^{2}-11x+6}$

Factorisons $E$

On a :

$\begin{array}{rcl} E&=&x^{2}+9-6x-(3-x)(2x+1)\\&=&(x)^{2}-6x+(3)^{2}-[-(x-3)](2x+1)\\&=&(x-3)^{2}+(x-3)(2x+1)\\&=&(x-3)(x-3)+(x-3)(2x+1)\\&=&(x-3)[(x-3)+(2x+1)]\\&=&(x-3)(x-3+2x+1)\\&=&(x-3)(x+2x-3+1)\\&=&(x-3)(3x-2)\end{array}$

Par suite, $\boxed{(x-3)(3x-2)}$

Soit $F=x^{2}+((2-2x)(x-3)-x)=x^{2}+(2-2x)(x-3)-x$

Développons $F$

On a :

$\begin{array}{rcl} F&=&x^{2}+(2-2x)(x-3)-x\\&=&x^{2}-x+(2-2x)(x-3)\\&=&x^{2}-x+(2x-6-2x^{2}+6x)\\&=&x^{2}-x+(-2x^{2}+8x-6)\\&=&x^{2}-x-2x^{2}+8x-6\\&=&x^{2}-2x^{2}+8x-x-6\\&=&-x^{2}+7x-6\end{array}$

D'où, $\boxed{F=-x^{2}+7x-6}$

Factorisons $F$

On a :

$\begin{array}{rcl} F&=&x^{2}+(2-2x)(x-3)-x\\&=&x^{2}-x+(2-2x)(x-3)\\&=&x(x-1)+2(1-x)(x-3)\\&=&x(x-1)-2(x-1)(x-3)\\&=&(x-1)[(x)-2(x-3)]\\&=&(x-1)(x-2x+6)\\&=&(x-1)(-x+6)\end{array}$

Ainsi, $\boxed{F=(x-1)(-x+6)}$

Soit $G=(x^{2}-0.49)+x(2x+0.3)-0.7(2x+0.3)$

En développant $G$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} G&=&(x^{2}-0.49)+x(2x+0.3)-0.7(2x+0.3)\\&=&(x^{2}-0.49)+(2x^{2}+0.3x)-(1.4x+0.21)\\&=&x^{2}-0.49+2x^{2}+0.3x-1.4x-0.21\\&=&x^{2}+2x^{2}+0.3x-1.4x-0.49-0.21\\&=&3x^{2}-1.1x-0.7\end{array}$

D'où, $\boxed{G=3x^{2}-1.1x-0.7}$

La factorisation de $G$ donne :

$\begin{array}{rcl} G&=&(x^{2}-0.49)+x(2x+0.3)-0.7(2x+0.3)\\&=&(x^{2}-0.49)+(2x+0.3)[(x-0.7)(2x+0.3)]\\&=&(x^{2}-0.49)+(2x+0.3)(x-0.7)\\&=&[x^{2}-(0.7)^{2}]+(2x+0.3)(x-0.7)\\&=&(x-0.7)(x+0.7)+(2x+0.3)(x-0.7)\\&=&(x-0.7)[(x+0.7)+(2x+0.3)]\\&=&(x-0.7)(x+0.7+2x+0.3)\\&=&(x-0.7)(x+2x+0.7+0.3)\\&=&(x-0.7)(3x+1)\end{array}$

Par suite, $\boxed{G=(x-0.7)(3x+1)}$

Soit $H=3(3x-2)+(-3x+2)^{2}-12x^{2}+8x$

Développons $H$

On a :

$\begin{array}{rcl} H&=&3(3x-2)+(-3x+2)^{2}-12x^{2}+8x\\&=&(9x-6)+(9x^{2}-12x+4)-12x^{2}+8x\\&=&9x-6+9x^{2}-12x+4-12x^{2}+8x\\&=&9x^{2}-12x^{2}+9x-12x+8x-6+4\\&=&-3x^{2}+5x-2\end{array}$

Ainsi, $\boxed{H=-3x^{2}+5x-2}$

Factorisons $H$

$\begin{array}{rcl} H&=&3(3x-2)+(-3x+2)^{2}-12x^{2}+8x\\&=&3(3x-2)+(-3x+2)(-3x+2)-4x(3x-2)\\&=&3(3x-2)-(3x-2)(-3x+2)-4x(3x-2)\\&=&(3x-2)[3-(-3x+2)-4x]\\&=&(3x-2)(3+3x-2-4x)\\&=&(3x-2)(-x+1)\end{array}$

D'où, $\boxed{H=(3x-2)(-x+1)}$

On considère les expressions suivantes :
$$f(x)=(4x-1)^{2}-(3x-2)^{2}\ \text{ et }\ g(x)=(x-3)(4x-1)+x^{2}-9$$
1) Nous allons développer, réduire et ordonner $f(x)\ $ et $\ g(x)$

Soit $f(x)=(4x-1)^{2}-(3x-2)^{2}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(4x-1)^{2}-(3x-2)^{2}\\&=&(16x^{2}-8x+1)-(9x^{2}-12x+4)\\&=&16x^{2}-8x+1-9x^{2}+12x-4\\&=&16x^{2}-9x^{2}+12x-8x-4+1\\&=&7x^{2}+4x-3\end{array}$

Ainsi, $\boxed{f(x)=7x^{2}+4x-3}$

Soit $g(x)=(x-3)(4x-1)+x^{2}-9$

On a :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(x-3)(4x-1)+x^{2}-9\\&=&(4x^{2}-x-12x+3)+x^{2}-9\\&=&(4x^{2}-13x+3)+x^{2}-9\\&=&4x^{2}-13x+3+x^{2}-9\\&=&5x^{2}-13x-6\end{array}$

Donc, $\boxed{g(x)=5x^{2}-13x-6}$

2) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x)$

Soit $f(x)=(4x-1)^{2}-(3x-2)^{2}$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(4x-1)^{2}-(3x-2)^{2}\\&=&[(4x-1)-(3x-2)][(4x-1)+(3x-2)]\\&=&(4x-1-3x+2)(4x-1+3x-2)\\&=&(4x-3x+2-1)(4x+3x-1-2)\\&=&(x+1)(7x-3)\end{array}$

Par suite, $\boxed{f(x)=(x+1)(7x-3)}$

Soit $g(x)=(x-3)(4x-1)+x^{2}-9$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(x-3)(4x-1)+(x-3)(x+3)\\&=&(x-3)[(4x-1)+(x+3)]\\&=&(x-3)(4x-1+x+3\\&=&(x-3)(5x+2)\end{array}$

Donc, $\boxed{g(x)=(x-3)(5x+2)}$

On pose $P(x)=x^{2}-25-(2x+10)(3x-4)$

1) Nous allons développer, réduire et ordonner $P(x)$

On obtient :

$\begin{array}{rcl} P(x)&=&x^{2}-25-(2x+10)(3x-4)\\&=&x^{2}-25-(6x^{2}-8x+30x-40)\\&=&x^{2}-25-6x^{2}-22x+40\\&=&x^{2}-6x^{2}-22x-25+40\\&=&-5x^{2}-22x+15\end{array}$

D'où, $\boxed{P(x)=-5x^{2}-22x+15}$

2) Factorisons l'expression : $P(x)$

$P(x)$ peut encore s'écrire : $P(x)=x^{2}-(5)^{2}-2(x+5)(3x-4)$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} P(x)&=&x^{2}-(5)^{2}-2(x+5)(3x-4)\\&=&(x-5)(x+5)-2(x+5)(3x-4)\\&=&(x+5)[(x-5)-2(3x-4)]\\&=&(x+5)(x-5-6x+8)\\&=&(x+5)(-5x+3)\end{array}$

D'où, $\boxed{P(x)=(x+5)(-5x+3)}$

3) Rangeons dans l'ordre croissant :
$$P(0)\;;\quad P(-5)\quad\text{et}\quad P\left(-\dfrac{2}{5}\right)$$
On calcule d'abord : $P(0)\;;\quad P(-5)\quad\text{et}\quad P\left(-\dfrac{2}{5}\right)$

On obtient alors :

$P(0)=-5(0)^{2}-22(0)+15=15$

$\begin{array}{rcl} P(-5)&=&-5(-5)^{2}-22(-5)+15\\&=&-125+110+15\\&=&0\end{array}$

$\begin{array}{rcl} P\left(-\dfrac{2}{5}\right)&=&-5\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{2}-22\left(-\dfrac{2}{5}\right)+15\\ \\&=&\dfrac{-20}{25}+\dfrac{44}{5}+15\\ \\&=&\dfrac{-20}{25}+\dfrac{220}{25}+\dfrac{375}{25}\\ \\&=&\dfrac{220+375-20}{25}\\ \\&=&\dfrac{575}{25}\\ \\&=&23\end{array}$

Donc, $P(0)=15\;;\quad P(-5)=0\quad\text{et}\quad P\left(-\dfrac{2}{5}\right)=23$

Or, $0<15<23$ donc, en remplaçant $0\;; 15\ \text{ et }\ 23$ respectivement par $P(-5)\;;\quad P(0)\quad\text{et}\quad P\left(-\dfrac{2}{5}\right)$, on obtient :
$$\boxed{P(-5)<P(0)<P\left(-\dfrac{2}{5}\right)}$$

Soient $f(x)\ $ et $\ g(x)$ les expressions telles que :
$$f(x)=4-9x^{2}+(6x+4)(x-3)\quad\text{et}\quad g(x)=(3x+2)(2x-7)-(3x+2)$$
1) Nous allons développer, réduire et ordonner $f(x)\ $ et $\ g(x)$

Soit $f(x)=4-9x^{2}+(6x+4)(x-3)$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&4-9x^{2}+(6x+4)(x-3)\\&=&4-9x^{2}+(6x^{2}-18x+4x-12)\\&=&4-9x^{2}+(6x^{2}-14x-12)\\&=&4-9x^{2}+6x^{2}-14x-12\\&=&-9x^{2}+6x^{2}-14x-12+4\\&=&-3x^{2}-14x-8\end{array}$

Donc, $\boxed{f(x)=-3x^{2}-14x-8}$

Soit $g(x)=(3x+2)(2x-7)-(3x+2)$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(3x+2)(2x-7)-(3x+2)\\&=&(6x^{2}-21x+4x-14)-(3x+2)\\&=&(6x^{2}-17x-14)-(3x+2)\\&=&6x^{2}-17x-14-3x-2\\&=&6x^{2}-17x-3x-14-2\\&=&6x^{2}-20x-16\end{array}$

Ainsi, $\boxed{g(x)=6x^{2}-20x-16}$

2) a) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x)$
L'expression de $f(x)$ peut encore s'écrire :
$$f(x)=(2)^{2}-(3x)^{2}+(6x+4)(x-3)$$
Donc,

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2)^{2}-(3x)^{2}+(6x+4)(x-3)\\&=&(2-3x)(2+3x)+(6x+4)(x-3)\\&=&(2-3x)(3x+2)+2(3x+2)(x-3)\\&=&(3x+2)[(2-3x)+2(x-3)]\\&=&(3x+2)(2-3x+2x-6)\\&=&(3x+2)(-3x+2x-6+2)\\&=&(3x+2)(-x-4)\end{array}$

Par suite, $\boxed{f(x)=(3x+2)(-x-4)}$

La factorisation de $g(x)$ donne :

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(3x+2)(2x-7)-(3x+2)\\&=&(3x+2)[(2x-7)-1]\\&=&(3x+2)(2x-7-1)\\&=&(3x+2)(2x-8)\end{array}$

Soit : $\boxed{g(x)=2(3x+2)(x-4)}$

b) Trouvons le facteur commun de $f(x)\ $ et $\ g(x)$

D'après les formes factorisées de $f(x)\ $ et $\ g(x)$ données par :
$$f(x)=(3x+2)(-x-4)\quad\text{et}\quad g(x)=2(3x+2)(x-4)$$
on constate que $f(x)\ $ et $\ g(x)$ ont en commun le facteur $(3x+2)$

Donc, le facteur commun de $f(x)\ $ et $\ g(x)$ est :
$$(3x+2)$$
3) Calculons $f(0)\;;\ f\left(-\dfrac{2}{3}\right)\;;\ g(2)\ $ et $\ g\left(-\dfrac{2}{3}\right)$

$-\ $ Pour calculer $f(0)\ $ et $\ g(2)$, nous utilisons les formes développées de $f(x)\ $ et $\ g(x)$

$-\ $ Pour calculer $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)\ $ et $\ g\left(-\dfrac{2}{3}\right)$, nous utilisons les formes factorisées de $f(x)\ $ et $\ g(x)$

Soit $f(x)=-3x^{2}-14x-8$ alors, en remplaçant $x$ par $0$, on obtient :

$f(0)=-3(0)^{2}-14(0)-8=-8$

Donc, $\boxed{f(0)=-8}$

Pour $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)$, on constate qu'en remplaçant $x$ par $-\dfrac{2}{3}$ dans l'expression du facteur commun de $f(x)\ $ et $\ g(x)$, on obtient :
$$\left(3\left(-\dfrac{2}{3}\right)+2\right)=(-2+2)=0$$
Donc, $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0\times\left(-\left(-\dfrac{2}{3}\right)-4\right)=0$

D'où, $\boxed{f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0}$

Soit $g(x)=6x^{2}-20x-16$ alors, en remplaçant $x$ par $2$, on obtient :

$g(2)=6(2)^{2}-20(2)-16=24-40-16=-32$

D'où, $\boxed{g(2)=-32}$

De la même manière, pour calculer $g\left(-\dfrac{2}{3}\right)$, on constate d'abord qu'en remplaçant $x$ par $-\dfrac{2}{3}$ dans l'expression du facteur commun de $f(x)\ $ et $\ g(x)$, on obtient :
$$\left(3\left(-\dfrac{2}{3}\right)+2\right)=(-2+2)=0$$
Donc, $g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0\times\left(2\left(-\dfrac{2}{3}\right)-8\right)=0$

D'où, $\boxed{g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0}$

4) a) Donnons un encadrement d'ordre 1 de $f\left(-\dfrac{7}{3}\right)$

Calculons d'abord $f\left(-\dfrac{7}{3}\right)\ :$

$\begin{array}{rcl} f\left(-\dfrac{7}{3}\right)&=&-3\left(-\dfrac{7}{3}\right)^{2}-14\left(-\dfrac{7}{3}\right)-8\\ \\&=&-3\left(\dfrac{49}{9}\right)+\dfrac{98}{3}-8\\ \\&=&-\dfrac{49}{3}+\dfrac{98}{3}-8\\ \\&=&\dfrac{49}{3}-8\\ \\&=&\dfrac{49-24}{3}\\ \\&=&\dfrac{25}{3}\end{array}$

Donc, $\boxed{f\left(-\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{25}{3}}$

Or, on sait que $\dfrac{25}{3}\simeq 8.333333$

De plus, un encadrement d'ordre 1 de $8.333333$ est donné par :
$$8.3<8.333333<8.4$$
D'où, l'encadrement d'ordre 1 de $f\left(-\dfrac{7}{3}\right)$ suivant :
$$\boxed{8.3<f\left(-\dfrac{7}{3}\right)<8.4}$$
b) Donner un encadrement d'ordre 0 de $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

En calculant $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} g\left(-\dfrac{1}{2}\right)&=&6\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-20\left(-\dfrac{1}{2}\right)-16\\ \\&=&6\left(\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{20}{2}-16\\ \\&=&\dfrac{6}{4}+10-16\\ \\&=&\dfrac{3}{2}-6\\ \\&=&\dfrac{3-12}{2}\\ \\&=&\dfrac{-9}{2}\end{array}$

Donc, $\boxed{g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{9}{2}}$

Comme $-\dfrac{9}{2}=-4.5$ alors, $-5<-4.5<-4$

Par suite, un encadrement d'ordre 0 de $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ sera donné par :
$$\boxed{-5<g\left(-\dfrac{1}{2}\right)<-4}$$

On considère les expressions suivantes :
$$A(x)=(x+2)(x+3)+5x(x+2)\quad\text{et}\quad B(x)=(x^{2}-4)-(x+2)$$
1) Nous allons développer, réduire et ordonner $A(x)\ $ et $\ B(x)$

Soit $A(x)=(x+2)(x+3)+5x(x+2)$ alors, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(x+2)(x+3)+5x(x+2)\\&=&(x^{2}+3x+2x+6)+(5x^{2}+10x)\\&=&(x^{2}+5x+6)+(5x^{2}+10x)\\&=&x^{2}+5x+6+5x^{2}+10x\\&=&x^{2}+5x^{2}+5x+10x+6\\&=&6x^{2}+15x+6\end{array}$

Donc, $\boxed{A(x)=6x^{2}+15x+6}$

Soit $B(x)=(x^{2}-4)-(x+2)$ alors, on a :

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&(x^{2}-4)-(x+2)\\&=&x^{2}-4-x-2\\&=&x^{2}-x-6\end{array}$

Donc, $\boxed{B(x)=x^{2}-x-6}$

2) Factorisons $A(x)\ $ et $\ B(x)$

Soit $A(x)=(x+2)(x+3)+5x(x+2)$ alors, en mettant en évidence le facteur $(x+2)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(x+2)(x+3)+5x(x+2)\\&=&(x+2)[(x+3)+5x]\\&=&(x+2)(x+3+5x)\\&=&(x+2)(6x+3)\\&=&(x+2)3(2x+1)\\&=&3(x+2)(2x+1)\end{array}$

D'où, $\boxed{A(x)=3(x+2)(2x+1)}$

Soit $B(x)=(x^{2}-4)-(x+2)$ alors, en utilisant l'identité remarquable $(x^{2}-2^{2})=(x-2)(x+2)$ puis en mettant en évidence le facteur $(x+2)$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&(x^{2}-4)-(x+2)\\&=&(x-2)(x+2)-(x+2)\\&=&(x+2)[(x-2)-1]\\&=&(x+2)(x-2-1)\\&=&(x+2)(x-3)\end{array}$

D'où, $\boxed{B(x)=(x+2)(x-3)}$

3) Factorisons $A(x)-B(x)\ $ puis $\ A(x)+3B(x)$

En considérant les formes factorisées de $A(x)\ $ et $\ B(x)$, l'expression de $A(x)-B(x)$ sera alors donnée par :
$$A(x)-B(x)=3(x+2)(2x+1)-(x+2)(x-3)$$
On reconnait ainsi, dans cette expression, un facteur commun ; $(x+2)$

En mettant en évidence ce facteur commun, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A(x)-B(x)&=&3(x+2)(2x+1)-(x+2)(x-3)\\&=&(x+2)[3(2x+1)-(x-3)]\\&=&(x+2)(6x+3-x+3)\\&=&(x+2)(5x+6)\end{array}$

Donc, $\boxed{A(x)-B(x)=(x+2)(5x+6)}$

De la même manière, on considère les formes factorisées de $A(x)\ $ et $\ B(x)$ pour donner l'expression de $A(x)+3B(x).$ On a :

$$A(x)+3B(x)=3(x+2)(2x+1)+3(x+2)(x-3)$$

On reconnait alors, dans cette expression, un facteur commun ; $3(x+2)$

En mettant en évidence ce facteur commun, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A(x)+3B(x)&=&3(x+2)(2x+1)+3(x+2)(x-3)\\&=&3(x+2)[(2x+1)+(x-3)]\\&=&3(x+2)(2x+1+x-3)\\&=&3(x+2)(3x-2)\end{array}$

D'où, $\boxed{A(x)+B(x)=3(x+2)(3x-2)}$

4) Calculons $A(0)\ $ et $\ B(0)\ $ puis $\ A(-2)\ $ et $\ B(-2)$

$-\ $ Pour calculer $A(0)\ $ et $\ B(0)$, on utilise les formes développées de $A(x)\ $ et $\ B(x)$

Soit : $A(x)=6x^{2}+15x+6$ alors,

$A(0)=6(0)^{2}+15(0)+6=6$

$\boxed{A(0)=6}$

Soit : $B(x)=x^{2}-x-6$ alors,

$B(0)=(0)^{2}-(0)-6=-6$

$\boxed{B(0)=-6}$

$-\ $ Pour calculer $A(-2)\ $ et $\ B(-2)$, on utilise les formes factorisées de $A(x)\ $ et $\ B(x)$

En effet, il faut remarquer que $-2$ annule le facteur commun à $A(x)\ $ et $\ B(x)$ qui est :
$$(x+2)$$
En remplaçant $x$ par $-2$ dans $(x+2)$, on trouve alors $0$

Or, le produit de facteurs est nul si au moins l'un des facteurs est nul.

Par suite, $\boxed{A(-2)=0\ \text{et}\ B(-2)=0}$