Solution série d'exercices : Puissances dans D - 5e

Classe: 
Cinquième

 

Exercice 1

1)Écrivons les nombres ci-dessous en lettres
 
$3^{4}$ : trois à la puissance $4$
 
$6^{5}$ : Six à la puissance $5$
 
$15^{4}$ : Quinze à la puissance $4$
 
$7^{15}$ : Sept à la puissance $15$
 
2) Le nombre $3^{5}$ est le produit de cinq facteurs égaux à $3.$ Faisons de même pour chacun des nombres ci-dessous.
 
$3^{4}$ est le produit de quatre facteurs égaux à $3$
 
$6^{5}$ est le produit de cinq facteurs égaux à $6$
 
$15^{4}$ est le produit de quatre facteurs égaux à $15$
 
$7^{15}$ est le produit de quinze facteurs égaux à $7$

Exercice 2

1) Écrivons chacune des expressions suivantes sous forme d'un produit de facteurs
 
a) $M_{1}=7^{3}$ ; $M_{2}=4^{5}$ ; $M_{3}=5^{4}$ ; $M_{4}=2^{1}$
 
$M_{1}=7^{3}=7\times 7\times 7$
 
$M_{2}=4^{5}=4\times 4\times 4\times 4\times 4$
 
$M_{3}=5^{4}=5\times 5\times 5\times 5$
 
$M_{4}=2^{1}=2$
 
b) $M_{1}=(1.5)^{4}$ ; $M_{2}=(3.5)^{3}$ ; $M_{3}=a^{7}$
 
$M_{1}=(1.5)^{4}=1.5\times 1.5\times 1.5\times 1.5$
 
$M_{2}=(3.5)^{3}=3.5\times 3.5\times 3.5$
 
$M_{3}=(a)^{7}=a\times a\times a\times a\times a\times a\times a$
 
2) Écrivons chacune des expressions suivantes sous la forme de puissance simple
 
$A=3\times 3\times 3\times 3=3^{5}$
 
$B=n\times n\times n\times n\times n\times n=n^{6}$
 
$C=2.5\times 2.5\times 2.5\times 2.5=(2.5)^{4}$
 
$D=2\times 7\times 2\times 7\times 2\times 7\times 2=2^{4}\times 7^{3}$

Exercice 3

1) Calculons chacune des puissances ci-dessous
 
$4^{3}=4\times 4\times 4=64$
 
$2^{5}=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$
 
$1.5^{4}=1.5\times 1.5\times 1.5\times 1.5=5.0625$
 
$1.2^{4}=1.2\times 1.2\times 1.2\times 1.2=2.0736$
 
2) Mettons chacun des nombres entiers naturels sous la forme de puissances simples
 
$8=2\times 2\times 2=2^{3}$
 
$18=2\times 3\times 3=2\times 3^{2}$
 
$36=6\times 6=2\times 3 \times 2 \times  3=2^{2}\times 3^{2}$
 
$16=2\times 2\times 2\times 2 = 2^{4}$
 
$32=2\times 16 =  2\times 2^{4}=2^{5}$
 
$125=5\times 5\times 5=5^{3}$

Exercice 4

1) Mettons sous la forme de puissances simples
 
$A=2^{4}\times 2^{5}\times 2^{2}=2^{11}$
 
$B=3^{6}\times 3^{3}\times 3^{4}=3^{13}$
 
$C=2^{5}\times 7^{2}\times 2^{3}\times 7^{4}=2^{5+3}\times7^{2+4}$
 
$C=2^{8}\times 7^{6}$
 
$D=a^{3}\times n^{3}\times a^{5}\times n^{7}\times a\times n=a^{3+5+1}\times n^{3+7+1}$
 
$D=a^{9}\times n^{11}$

N.B :

Soit $a$ un nombre réel, $n$ et $m$ deux puissances
 
$a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}$

Exemple :

$a^{2}\times a^{3}=a^{2+3}=a^{5}$
 
2) Écrivons sous la forme de puissances simples

N.B :

Soit $a$ un nombre réel $n$ et $m$ deux puissances de $a$
 
$(a^{n})^{m}=a^{n\times m}$
 
a) $(2^{3})^{2}=2^{3\times 2}=2^{6}$
 
b) $(7^{4})^{2}=7^{4\times 2}=7^{8}$
 
c) $(11^{11})^{11}=11^{11\times 11}=11^{121}$
 
3) Mettons sous la forme de puissance simple
 
a) $(2\times 3)^{3}=2^{3}\times 3^{3}$
 
b) $(1.7\times 5)^{3}=(1.7)^{3}\times 5^{3}$
 
c) $(3^{3}\times 2^{3})^{5}=(3^{3})^{5}\times (2^{3})^{5}$
 
$=3^{15}\times 2^{15}$

Exercice 5

Écrivons chacune des expressions suivantes sous la forme de puissances simple.
 
$\begin{array}{rcl} A&=&(2\times{3})^{4}\times 2^{4}\times 3^{5}\\ \\&=&2^{4}\times 3^{4}\times 2^{4}\times 3^{5}\\ \\&=&2^{4+4}\times 3^{4+5}\end{array}$
 
Donc, $\boxed{A=2^{8}\times 3^{9}}$
 
$\begin{array}{rcl} B&=&(5\times 2)^{5}\times(2^{3}\times 5^{2})^{4}\\ \\&=&5^ 5\times 2^{5}\times 2^{3\times 4}\times 5^{2\times 4}\\ \\&=&5^{5}\times 2^{5}\times 2^{12}\times 5^{8}\\ \\&=&2^{5+12}\times 5^{5+8}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{B=2^{17}\times 5^{13}}$
 
$\begin{array}{rcl} C&=&3\times 2\times 3^{2}\times 2^{7}\times 3^{2}\\ \\&=&2^{1+7}\times 3^{1+2+2}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{C=2^{8}\times 3^{5}}$
 
$\begin{array}{rcl} D&=&2^{4}\times(3^{2})^{3}\times 2^{6}\times 3^{2}\times 2^{0}\\ \\&=&2^{4}\times 3^{6}\times 2^{6}\times 3^{2}\times 2^{0}\\ \\&=&2^{4+6+0}\times 3^{6+2}\end{array}$
 
D'où, $\boxed{D=2^{10}\times 3^{8}}$

N.B :

$a^{0}=1$ ; $2^{0}=1$
 
Tout nombre à la puissance zéro $(0)$ est égal à $1$

Exercice 6

Trouvons la valeur de l'inconnue $x$ pour que l'égalité soit vraie
 
a) $3^{3}\times 3^{x}=3^{7}$
 
$3^{3+x}=3^{7}$
 
Donc, $3+x=7$
 
C'est à dire ; $x=7-3=4$
 
Vérification : $\boxed{3^{3}\times 3^{4}=3^{7}}$
 
b) $(7^{x})^{2}=7^{10}$
 
$7^{2x}=7^{10}$
 
Alors, $2x=10$
 
D'où, $x=\dfrac{10}{2}=5$
 
Vérification : $\boxed{(7^{5})^{2}=7^{10}}$
 
c) $2^{4}\times (2^{3})^{x}=4^{13}$
 
$2^{4}\times (2^{3})^{x}=(2^{2})^{13}$
 
$2^{4}\times (2^{3})^{x}=2^{26}$
 
$2^{4}\times 2^{3x}=2^{26}$
 
$2^{4+3x}=2^{26}$
 
Donc, $4+3x=26$
 
Par suite, $3x=26-4$
 
Ce qui donne : $3x=22$
 
D'où, $x=\dfrac{22}{3}$
 
Vérification : $\boxed{2^{4}\times(2^{3})^{\tfrac{22}{3}}=2^{4}\times 2^{22}=2^{26}}$
 
d) $4^{2}\times (4^{2})^{x}=4^{10}$
 
$4^{2+2x}=4^{10}$
 
Donc, $2+2x=10$
 
Par suite, $2x=10-2=8$
 
Ainsi, $x=\dfrac{8}{2}=4$
 
Vérification : $\boxed{4^{2}\times(4^{2})^{4}=4^{10}}$

Exercice 7

Calculons en respectant les règles de la priorité
 
$\begin{array}{rcl} A&=&12.5-3\times(4-3)^{3}+3\times(14-5\div 2)\\ \\&=&12.5-3+[3\times(14-2.5)]\\ \\&=&[12.5-3]+[3\times 11.5]\\ \\&=&[9.5]+[34.5]\\ \\&=&9.5+34.5\end{array}$
 
D'où, $\boxed{A=44}$

N.B :

La multiplication et la division sont priorités devant l'addition et la soustraction
 
$\begin{array}{rcl} B&=&11.5+1.5\times[17-3\times(14-3^{2})]\times 2\\ \\&=&11.5+1.5\times[17-3\times 5]\times 2\\ \\&=&11.5+1.5\times[17-15]\times 2\\ \\&=&11.5+(1.5\times 2)\times 2\\ \\&=&11.5+(3\times 2)\\ \\&=&11.5+6\end{array}$
 
Donc, $\boxed{B=17.5}$
 
$\begin{array}{rcl} C&=&5^{3}\div 25+5\times 2+2^{3}\times 5\\ \\&=&(125\div 25)+(5\times 2)+(8\times 5)\\ \\&=&5+10+40\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{C=55}$
 
$\begin{array}{rcl} D&=&2^{6}-2^{2}+(2^{4}\times 5-3\times 4)\times(5^{3}-2^{5})\\ \\&=&(2^{6}-2^{2})+[(2^{4}\times 5)-(3\times 4)]\times(5^{3}-2^{5})\\ \\&=&(2^{6}-2^{2})+(80-12)\times(125-32)\\ \\&=&(2^{6}-2^{2})+(68\times 93)\\ \\&=&(2^{6}-2^{2})+6324\\ \\&=&(64-4)+6324\\ \\&=&60+6324\end{array}$
 
D'où, $\boxed{D=6384}$

Exercice 8 : "Problème de la vie courante"

Dans un jardin de $36$ arbres, il y a $36$ vautours dans chaque arbre, chaque vautour a donné $36$ œufs, chaque œuf $36$ poussins, chaque poussin $36$ plumes et chaque plume a $36$ barbes. 
 
1) Calculons le nombre total de barbes
 
On peut procéder comme suit :
 
$-\ $ Il y a $36$ arbres, et dans chaque arbre il y a $36$ vautours donc,
 
$\text{nombre total de vautours}=36\times 36$
 
$-\ $ Chaque vautour a donné $36$ œufs donc,
 
$\begin{array}{rcl}\text{nombre total d'œufs}&=&(\text{nombre total de vautours})\times 36\\ \\&=&(36\times 36)\times 36\\ \\&=&36\times 36\times 36\end{array}$
 
$-\ $ Chaque œuf a donné $36$ poussins donc,
 
$\begin{array}{rcl}\text{nombre total de poussins}&=&(\text{nombre total d'œufs})\times 36\\ \\&=&(36\times 36\times 36)\times 36\\ \\&=&36\times 36\times 36\times 36\end{array}$
 
$-\ $ Chaque poussin a $36$ plumes donc,
 
$\begin{array}{rcl}\text{nombre total de plumes}&=&(\text{nombre total de poussins})\times 36\\ \\&=&(36\times 36\times 36\times 36)\times 36\\ \\&=&36\times 36\times 36\times 36\times 36\end{array}$
 
$-\ $ Enfin, chaque plume a $36$ barbes. Par suite :
 
$\begin{array}{rcl}\text{nombre total de barbes}&=&(\text{nombre total de plumes})\times 36\\ \\&=&(36\times 36\times 36\times 36\times 36)\times 36\\ \\&=&36\times 36\times 36\times 36\times 36\times 36\\ \\&=&2\,176\,782\,336\end{array}$
 
Donc, il y a au total $2\,176\,782\,336$ barbes.
 
2) Mettons ce résultat sous la forme de puissances simples.
 
On a : $\text{nombre total de barbes}=36\times 36\times 36\times 36\times 36\times 36$
 
On constate qu'on a répété six $(6)$ fois le terme $36.$
 
Ce qui donne alors, $36\times 36\times 36\times 36\times 36\times 36=36^{6}$

Exercice 9

On donne $a=1\;,\ b=2\text{ et }c=3$
 
1) Calculons
 
$\begin{array}{rcl} M&=&a^{2}\times b^{3}\times(a^{2}\times b^{3})^{2}\times a\times b\\ \\&=&(1)^{2}\times(2)^{2}\times ((1)^{2}\times(2)^{3})\times 1\times 2\\ \\&=&1\times 4\times(1\times 8)\times 2\\ \\&=&4\times 8\times 2=64\end{array}$
 
Donc, $\boxed{M=64}$
 
$\begin{array}{rcl} N&=&(a^{2}\times c)^{3}\times(a^{2}\times c^{3})\times a^{8}\times c^{0}\\ \\&=&[(1^{2})\times 3]^{3}\times[(1)^{2}\times (3)^{3}]\times(1)^{2}\times (3)^{0}\\ \\&=&(3)^{3}\times(1\times 27)\times 1\times 3^{0}\end{array}$

N.B :

Tout nombre à la puissance $0$ est égal à $1$
 
$\begin{array}{rcl} N&=&3^{3}\times 27\times 1\times 3^{0}\\ \\&=&3^{3}\times 27\times 1\times 1\\ \\&=&27\times 27\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{N=729}$
 
2) Comparons les résultats de $M$ et $N$
 
$M=64$ et $N=729$
 
$\boxed{M<N}$ car $64<729$
     

 
Auteur: 
Diny Faye & Lassana Diakhaté

Commentaires

7

Très bien détaillé. Merci.

Des exercices avec une comprehension accessible et facile merci pour tout

j'ai tous trouvés

Je ne comprends pas exo 8

on vient de mettre une correction bien détaiilée

Vous avez fait une erreur sur l'exercice 8 12,5-3=9,5

20/ 20

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