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Solutions des exercices : Fonctions polynômes - 1e S

Classe:

Première

Exercice 1

1) a) $deg\;P=3$ si et seulement si $m^{2}-m\neq 0$, ce qui équivaut à : $m=0\quad\text{ou}\quad m=1.$

b) $deg\;P=3$ si et seulement si $\left\lbrace\begin{array}{lcl} m^{2}-m&=&0\\ \text{et}\\ m&\neq&0 \end{array}\right.$

Ces conditions équivalent à $m=1.$

c) $deg\;P=1$ si et seulement si $\left\lbrace\begin{array}{lcl} m^{2}-m&=&0\\ m&=&0\\ m-1&\neq&0 \end{array}\right.$

Ces conditions équivalent à $m=0.$

2) a) $deg\;Q=3$ si et seulement si $m^{3}-m^{2}-6m=0$, ce qui équivaut à :

$m\left(m^{2}-m-6\right)=0\Leftrightarrow\;m=0\quad\text{ou}\quad m=-2\quad\text{ou}\quad m=3.$

b) $deg\;Q=2$ si et seulement si $\left\lbrace\begin{array}{lcl} m^{3}-m^{2}-6m&=&0\\ \text{et}\\ m^{2}+m-2&\neq&0 \end{array}\right.$

Ces conditions équivalent à : $\left\lbrace\begin{array}{lllllll}m&=&0\quad\text{ou}\quad m&=&-2\quad\text{ou}\quad m&=&3\\ \text{et}\\ m&\neq&1&\text{et}&m&\neq&-2\\ \end{array}\right.$

Soit à : $m=0\quad\text{ou}\quad m=3.$

c) $deg\;P=1$ si et seulement si

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} m^{3}-m^{2}-6m&=&0\\ m^{2}+m-2&=&0\\ m&\neq&1 \end{array}\right.\quad\Leftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}{lcl} m=0\quad\text{ou}\quad&m=-2&\quad\text{ou}\quad m=3\\ m=1&\text{ou}&m=2\\ m&\neq&1 \end{array}\right.$

Ces conditions simultanées équivalent à $m=-2.$

Exercice 2

a) Le degré de $f$ est toujours égal à $5$ car le coefficient de $x^{5}$ est constant $($et égal à $2).$

b) Le degré de $f$ est toujours égal à $2$ car le coefficient de $x^{2}$ est $m^{2}+1$ qui ne s s'annule jamais.

c) Le degré de $f$ est égal à $3$ si $m\neq 1$, à $2$ si $m=1.$

Il n'est jamais égal à $1$ car $(m-1)$ et $(m+1)$ ne s'annulent pas simultanément.

d) Le degré de $f$ est égal à $3$ si $m\neq 1$ et $m\neq-1$, à $2$ si $m=1$ car alors le coefficient de $x^{3}$ s'annule, mais pas celui de $x^{2}$ et à $1$ si $m^{2}$ et à $1$ si $m=-1$, car alors les coefficients de $x^{3}$ et de $x^{2}$ s'annulent tandis que celui de $x$ reste non nul $($égal à $3).$

Exercice 3

On fait usage dans chaque cas du tableau de Hörner :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &1&0&-21&36\\\hline 3&\blacksquare&3&9&-36\\\hline&1&3&-12&0\\\hline \end{array}$$

L'équation $x^{2}-3x+12=0$ n'a pas de racines.

$P(x)=(x-3)\left(x^{2}-3x+12\right)$

2) En utilisant la même méthode, on trouve : $P(x=(x+1)^{2}(2x-1)$

3) En utilisant la même méthode, on trouve : $P(x)=(x-3)\left(x^{2}-5x+8\right)$

4) En utilisant la même méthode, on trouve : $P(x)=(x+1)(x-4)(2x-1)$

5) En utilisant la même méthode, on trouve : $P(x)=(x-1)(x+1)\left(3x^{2}-2x+3\right)$

6) En utilisant la même méthode, on trouve : $P(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(-3x+2)$

7) En utilisant la même méthode, on trouve : $P(x)=(x+2)(x-1)^{2}(2x+1)$

8) En utilisant la même méthode, on trouve : $P(x)=(x-2)(x+1)\left(x^{2}+x+1\right)$

Exercice 4

1) On cherche $P(x)$ sous la forme $P(x)=ax^{2}+bx+c.$

$\begin{array}{lcl}\text{Alors}\;,\quad P(x)-P(x-1)&=&ax^{2}+bx+c-\left[a(x-1)^{2}+b(x-1)+c\right]\\&=&2ax-a+b \end{array}$

(après calcul et simplification).

Par identification, on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 2a&=&1\\-a+b&=&0 \end{array}\right.$, soit $a=b=\dfrac{1}{2}$, $c$ étant arbitraire.

$P(x)$ est donc de la forme $\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{2}x+c$

2) L'égalité $P(x)-P(x-1)=x$, appliquée successivement aux entiers $1\;,\ 2\;,\ldots\;,\ n\;,$ donne :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))&=&1\\ \require{cancel}(\cancel{P(2)-P(1)})&=&2\\ \ldots\ldots\\ \require{cancel}(\cancel{P(n-1)-P(n-2)})&=&n-1\\ P(n)-\require{cancel}(\cancel{P(n-1)})&=&n\\ \end{array}\right.$$

D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :

$P(n)-P(0)=1+2+3+\ldots+n\quad (\ast).$

Mais on a aussi :

$P(n)=\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{1}{2}n+c$ et $P(0)=c$, d'où $P(n)-P(0)=\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{1}{2}n\quad(\ast\ast)$

Par comparaison de $(\ast)$ et de $(\ast\ast)$, on en déduit que :

$1+2+3+\ldots+n=\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{1}{2}n=\dfrac{n(n+1)}{2}.$

Exercice 5

1) On cherche $P(x)$ sous la forme $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

$\begin{array}{lcl}\text{Alors}\;,\quad P(x)-P(x-1)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-\left[a(x-1)^{3}+b(x-1)^{2}+c(x-1)+d\right]\\&=&3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c \end{array}$

(après calcul et simplification).

Par identification, on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 3a&=&1\\2b-3a&=&0\\a-b+c&=&0 \end{array}\right.$, soit $a=\dfrac{1}{3}$ ; $b=\dfrac{1}{2}$ ; $c=\dfrac{1}{6}$,

$d$ étant arbitraire.

$P(x)$ est donc de la forme

$\begin{array}{lcl}\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{6}x+d&=&\dfrac{2x^{3}+3x^{2}+x}{6}d\\&=&\dfrac{x(x+1)(2x+1)}{6}d\end{array}$

2) L'égalité $P(x)-P(x-1)=x^{2}$, appliquée successivement aux entiers $1\;,\ 2\;,\ldots\;,\ n\;,$ donne :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))&=&1^{2}\\ \require{cancel}(\cancel{P(2)-P(1)})&=&2^{2}\\ \ldots\ldots\\ \require{cancel}(\cancel{P(n-1)-P(n-2)})&=&(n-1)^{2}\\ P(n)-\require{cancel}(\cancel{P(n-1)})&=&n^{2}\\ \end{array}\right.$$

D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :

$P(n)-P(0)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}\quad (\ast).$

Mais on a aussi :

$P(n)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+d$ et $P(0)=d$,

d'où $P(n)-P(0)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\quad\quad(\ast\ast)$

Par comparaison de $(\ast)$ et de $(\ast\ast)$, on en déduit que :

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

Exercice 6

1) On cherche $P(x)$ sous la forme $P(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e.$

Alors

$\begin{array}{lcl} P(x)-P(x-1)&=&ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e-\left[a(x-1)^{4}+b(x-1)^{3}+c(x-1)^{2}+d(x-1)+e\right]\\\\&=&4ax^{3}+(3b-6a)x^{2}+(4a-3b+2c)x-a+b-c+d \end{array}$

(après calcul et simplification).

Par identification, on obtient : $\left\lbrace\begin{array}{lcl} 4a&=&1\\3b-6a&=&0\\4a-3b+2c&=&0\\-a+b-c+d&=&0 \end{array}\right.$

Soit $a=\dfrac{1}{4}\ ;\ b=\dfrac{1}{2}\ ;\ c=\dfrac{1}{4}\ ;\ d=0$

$e$ étant arbitraire.

$P(x)$ est donc de la forme

$\begin{array}{lcl} \dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{4}x^{2}+e&=&\dfrac{x^{4}+2x^{3}+x^{2}}{4}+e\\\\&=&\dfrac{x^{2}(x+1)^{2}}{4}d \end{array}$

2) L'égalité $P(x)-P(x-1)=x^{3}$, appliquée successivement aux entiers $1\;,\ 2\;,\ldots\;,\ n\;,$ donne :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))&=&1^{3}\\ \require{cancel}(\cancel{P(2)-P(1)})&=&2^{3}\\ &\ldots\ldots&\\ \require{cancel}(\cancel{P(n-1)-P(n-2)})&=&(n-1)^{3}\\ P(n)-\require{cancel}(\cancel{P(n-1)})&=&n^{3}\\ \end{array}\right.$$

D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :

$P(n)-P(0)=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}\quad(\ast).$

Mais on a aussi :

$P(n)=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+e$ et $P(0)=e$, d'où $P(n)-P(0)=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\quad(\ast\ast)$

Par comparaison de $(\ast)$ et de $(\ast\ast)$, on en déduit que :

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

Mais on avait vu à l'exercice 4 que :

$1+2+3+\ldots+n=\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{1}{2}n=\dfrac{n(n+1)}{2}.$

Il en résulte aussitôt que :

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(1+2+3+\ldots+n\right)^{2}.$

Exercice 7

1) On cherche $P(x)$ sous la forme $P(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e.$

Alors, comme ci-dessus,

$\begin{array}{lcl} P(x)-P(x-1)&=&ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e-\left[a(x-1)^{4}+b(x-1)^{3}+c(x-1)^{2}+d(x-1)+e\right]\\\\&=&4ax^{3}+(3b-6a)x^{2}+(4a-3b+2c)x-a+b-c+d \end{array}$

(après calcul et simplification).

D'autre part, $(2x-1)^{3}=8x^{3}-12x^{2}+6x-1$

Par identification, on obtient : $\left\lbrace\begin{array}{lcl} 4a&=&8\\3b-6a&=&-12\\4a-3b+2c&=&6\\-a+b-c+d&=&-1 \end{array}\right.$

$a=2\ ;\ b=0\ ;\ c=-1\ ;\ d=0\;,\ e$ étant arbitraire.

$P(x)$ est donc de la forme $2x^{4}-x^{2}+e$

2) L'égalité $P(x)-P(x-1)=(2x-1)^{3}$, appliquée successivement aux entiers $1\;,\ 2\;,\ldots\;,\ n\;,$ donne :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))&=&1^{3}\\ \require{cancel}(\cancel{P(2)-P(1)})&=&3^{3}\\ &\ldots\ldots&\\ \require{cancel}(\cancel{P(n-1)-P(n-2)})&=&(2n-3)^{3}\\ P(n)-\require{cancel}(\cancel{P(n-1)})&=&(2n-1)^{3}\\ \end{array}\right.$$

D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :

$P(n)-P(0)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots+(2n-1)^{3}\quad(\ast).$

Mais on a aussi :

$P(n)=2n^{4}-n^{2}+e$ et $P(0)=e$, d'où $P(n)-P(0)=2n^{4}-n^{2}\quad(\ast\ast)$

Par comparaison de $(\ast)$ et de $(\ast\ast)$, on en déduit que :

$1^{3}+2^{3}+5^{3}+\ldots+(2n-1)^{3}=2n^{4}-n^{2}$

Exercice 8

Il y a une erreur de frappe dans l'énoncé.

Il fallait lire degré $3.$

1) On cherche $P(x)$ sous la forme $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

$\begin{array}{lcl}\text{Alors}\;,\quad P(x)-P(x-1)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d-\left[a(x-1)^{3}+b(x-1)^{2}+c(x-1)+d\right]\\\\&=&3ax^{2}+(2b-3a)x+a-b+c \end{array}$

(après calcul et simplification).

Par identification, on obtient :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 3a&=&1\\2b-3a&=&1\\a-b+c&=&0 \end{array}\right.$

Soit $a=\dfrac{1}{3}\ ;\ b=1\ ;\ c=\dfrac{2}{3}\;,\ d$ étant arbitraire.

$P(x)$ est donc de la forme

$\begin{array}{lcl} \dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{2}{3}x++d&=&\dfrac{x^{3}+2x^{2}+2x}{3}+d\\\\&=&\dfrac{x(x+1)(x+2)}{3}+d \end{array}$

2) L'égalité $P(x)-P(x-1)=x^{2}$, appliquée successivement aux entiers $1\;,\ 2\;,\ \ldots\;,\ n\;,$ donne :

$$\left\lbrace\begin{array}{lllll} \require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))&=&1^{2}+1&=&1\times 2\\ \require{cancel}(\cancel{P(2)-P(1)})&=&2^{2}+2&=&2\times 3\\ &&\ldots\ldots&&\\ \require{cancel}(\cancel{P(n-1)-P(n-2)})&=&(n-1)^{2}+(n-1)&=&(n-1)\times n\\ P(n)-\require{cancel}(\cancel{P(n-1)})&=&n^{2}+n&=&n(n+1)\\ \end{array}\right.$$

D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :

$P(n)-P(0)=(1\times 2)+(2\times 3)+\ldots+n(n+1)\quad(\ast).$

Mais on a aussi :

$P(n)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}+d$ et $P(0)=d$,

d'où $P(n)-P(0)=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}\quad(\ast\ast)$

Par comparaison de $(\ast)$ et de $(\ast\ast)$, on en déduit que :

$(1\times 2)(2\times 3)+\ldots+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)'n+2)}{2}$

Mais on avait vu à l'exercice 4 que :

$1+2+3+\ldots+n=\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{1}{2}n=\dfrac{n(n+1)}{2}.$

Il en résulte aussitôt que :

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(1+2+3+\ldots+n\right)^{2}.$

Exercice 9

Il y a une erreur de frappe dans l'énoncé.

Il fallait lire degré $4.$

1) On cherche $P(x)$ sous la forme $P(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e.$

Alors, comme ci-dessus

$\begin{array}{lcl} P(x)-P(x-1)&=&ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e-\left[a(x-1)^{4}+b(x-1)^{3}+c(x-1)^{2}+d(x-1)+e\right]\\\\&=&3ax^{3}+(2b-6a)x^{2}+(4a-3b+2c)x-a+b-c+d \end{array}$

(après calcul et simplification).

Par identification, on obtient : $\left\lbrace\begin{array}{lcl} 4a&=&1\\3b-6a&=&3\\4a-3b+2c&=&2\\-a+b-c+d&=&0 \end{array}\right.$

Soit $a=\dfrac{1}{4}\ ;\ b=\dfrac{3}{2}\ ;\ c=\dfrac{11}{4}\ ;\ d=\dfrac{3}{2}\;,\ e$ étant arbitraire.

$P(x)$ est donc de la forme

$\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{3}{2}x^{3}+\dfrac{11}{4}x^{2}+\dfrac{3}{2}x+e=\dfrac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{4}+e$

2) L'égalité $P(x)-P(x-1)=x(x+1)(x+2)$, appliquée successivement aux entiers $1\;,\ 2\;,\ \ldots\;,\ n\;,$ donne :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \require{cancel}(\cancel{P(1)}-P(0))&=&1\times 2\times 3\\ \require{cancel}(\cancel{P(2)-P(1)})&=&2\times 3\times 4\\ &\ldots\ldots&\\ \require{cancel}(\cancel{P(n-1)-P(n-2)})&=&(n-1)\times n\times(n+1)\\ P(n)-\require{cancel}(\cancel{P(n-1)})&=&n(n+1)(n+2)\\ \end{array}\right.$$

D'où, par addition membre à membre, certains termes se « télescopant », on a :

$P(n)-P(0)=(1\times 2\times 3)+(2\times 3\times 4)+(3\times 4\times 5)+\ldots+n(n+1)(n+2)\quad(\ast).$

Mais on a aussi :

$P(n)=\dfrac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{4}+e$ et $P(0)=e$,

d'où $P(n)-P(0)=\dfrac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{4}\quad(\ast\ast)$

Par comparaison de $(\ast)$ et de $(\ast\ast)$, on en déduit que :

$(1\times 2\times 3)+(2\times 3\times 4)+(3\times 4\times 5)\ldots+n(n+1)(n+2)\\\\=\dfrac{x(x+1)(x+2)(x+3)}{4}$

Mais on avait vu à l'exercice 4 que :

$1+2+3+\ldots+n=\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{1}{2}n=\dfrac{n(n+1)}{2}.$

Il en résulte aussitôt que :

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\left(1+2+3+\ldots+n\right)^{2}.$

Exercice 10

On cherche a priori $P$ sous la forme $P(x)=ax^{2}+bx+c.$

Les deux premières hypothèses entraînent que : $P(2)=0$ et $P(-1)=0.$

Donc on a simultanément

$4a+2b+c=0\quad (1)\quad\text{et}\quad a-b+c=0\quad(2).$

La dernière hypothèse se traduit par : $P(x)=(x-1)Q(x)+5$, où $Q$ est un polynôme, d'où $P(1)=5.$

On a donc aussi : $a+b+c=5\quad(3).$

La résolution du système formé par les équations $(1)$, $(2)$ et $(3)$ (par la méthode du pivot, par exemple), donne :

$a=-\dfrac{5}{2}\ ;\ b=\dfrac{5}{2}\ \text{et}\ c=5.$

Le polynôme $P(x)=-\dfrac{5}{2}x^{2}+\dfrac{5}{2}x+5$ répond à la question.

Exercice 11

Soit $P$ ce polynôme.

On peut chercher $P$ sous la forme $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels donnés.

Les hypothèses se traduisent par : $P(1)=0$ ; $P(-2)=0$ ; $P(-1)=10$ et $P(3)=30$

D'où le système $\left\lbrace\begin{array}{lcl} a+b+c+d&=&0\\ -8a+4b-2c+d&=&\\ -a+b-c+d&=&10\\ 27a+9b+3c+d&=&30 \end{array}\right.$

dont la résolution, par la méthode du pivot par exemple, fournit : $a=2$ ; $b=-1$ ; $c=-7$ ; $d=6$

On a $\boxed{P(x)=2x^{3}-x^{2}-7x+6}$

Exercice 12

1. Appliquer l'algorithme de division euclidienne.

On trouve $Q(x)=2x+1$ et $R(x)=-5x$

2. Appliquer l'algorithme de division euclidienne.

On trouve $Q(x)=x^{2}-3x+6$ et $R(x)=5x^{2}+11x-3$

3. Appliquer l'algorithme de division euclidienne.

On trouve $Q=2x^{2}-x+1$ et $R(x)=0$

A chaque fois, il faut vérifier que le degré du reste est strictement inférieur à celui du diviseur, ou alors qu'il est nul, comme dans le $3^{ième}$ cas.

Exercice 13

C'est un exercice de calcul pur.

Il suffit, dans chaque cas, de factoriser le polynôme au numérateur et celui au dénominateur, puis simplifier par un éventuel facteur commun.

$\bullet\ \text{Pour }A(x)$, on a : $x^{3}-10x+3=(x-3)\left(x^{2}+3x-1\right)$

et $x^{2}-5x+6=(x-3)(x-2)$

D'où $\boxed{A(x)=\dfrac{x^{2}+3x-1}{x-2}}$

Simplification valable pour tout réel $x$ tel que $x\neq 3$ et $x\neq 2$

$\bullet\ \text{Pour }B(x)$, on a : $x^{4}+4x^{3}-6x^{2}-7x-10=(x-2)(x+5)\left(x^{2}+x+1\right)$

et $x^{2}+3x-10=(x-2)(x+5)$

D'où $\boxed{B(x)=x^{2}+x+1}$

Simplification valable pour tout réel $x$ tel que $x\neq 2$ et $x\neq -5$

$\bullet\ \text{Pour }C(x)$, on a : $2x^{3}+17x^{2}+20x-75=(x+5)^{2}(2x-3)$

et $x^{3}+9x^{2}+15x-25=(x-1)(x+5)^{2}$

D'où $ \boxed { C(x)=\dfrac {2x-3} {x-1} }$

Simplification valable pour tout réel $x$ tel que $x\neq 1$ et $x\neq -5$

$\bullet\ \text{Enfin}$, pour $D(x)$, on a : $x^{4}+x^{3}-x-1=(x-1)(x+5)^{2}$

et $x^{4}-3x^{4}-3x^{3}+4x^{2}+3x-5=(x+1)(x-1)\left(x^{2}-3x+5\right)$

$\boxed { D(x)=\dfrac {(x+5)^{2} } { (x+1)\left (x^{2}-3x+5\right) }}$

Simplification valable pour tout réel $x$ tel que $x\neq-1$ et $x\neq 1$

Exercice 14

On vérifie aisément que l'on a : $P(a)=P(b)=P(c)=1$

Le polynôme $Q$ définit par : $Q(x)=P(x)-1$ a donc au moins $3$ racines, $a$, $b$ et $c$ comme il est de degré au plus égal à $3$, il s'écrit $Q(x)=\gamma(x-b)(x-b)(x-c)$, où $\gamma$ est une constante.

Par suite, $P(x)=1+\gamma(x-a)(x-b)(x-c).$

Observant ensuite que $P(0)=0$, il vient : $P(0)=1-\gamma abc=0$

D'où $\gamma=\dfrac{1}{abc}$

Par conséquent, $\boxed{P(x)=\dfrac{(x-a)(x-b)(x-c)}{abc}+1}$

Exercice 15

Il y' a une faute de frappe dans l'écriture de $P(x).$

Il fallait lire $P(x)=2x^{4}-x^{3}-10x^{2}+3$

1. On peut chercher $Q(x)$ sous la forme $ax^{2}+bx+c$ et $R(x)$ sous la forme $px+q$, puis procéder par identification ou effectuer une division euclidienne.

En tout état de cause, on trouve :

$Q(x)=2x^{2}+3x-2$ et $R(x)=-x+1$

2. Par une résolution de l'équation $x^{2}-2x-1=0$, on trouve que le trinôme $x^{2}-2x-1$ a pour racines $1-\sqrt{2}$ et $1+\sqrt{2}$

3. On a donc $x^{2}-2x-1=(x-1+\sqrt{2})(x-1-\sqrt{2})$

Tenant compte des résultats précédents, il vient :

4. $P(x)=(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})\left(2x^{2}+3x-2\right)-x+1$

égalité qui peut encore s'écrire : $P(x)=(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})\left(2x^{2}+3x-2\right)-x+1+\sqrt{2}-\sqrt{2}$

ou encore :

$P(x)=(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})\left(2x^{2}+3x-2\right)-(x-1-\sqrt{2}-\sqrt{2}$

On peut alors mettre $(x-1-\sqrt{2})$ en facteur dans les deux premiers termes termes de cette somme, d'où : $P(x)=(x-1-\sqrt{2})\left[(x-1+\sqrt{2})\left(2x^{2}+3x-2\right)\right]-\sqrt{2}$

Le quotient de la division de $P(x)$ par $(x-1-\sqrt{2})$ est donc :

$(x-1+\sqrt{2})\left(2x^{2}+3x-2\right)-1=2x^{3}+(1+2\sqrt{2})x^{2}+(3\sqrt{2}-5)x+1-2\sqrt{2}$ et le reste est $-\sqrt{2}$

Auteur:

Mouhamadou ka