Solutions des exercices : révision - activités numériques collège - 2nd s
Classe:
Seconde
Exercice 1
a) appartient à→NZDQR−18nonouiouiouioui1.25nonnonouiouioui√7nonnonnonnonoui2πnonnonnonnonoui−0.666¯6nonnonnonouioui0ouiouiouiouioui
b) appartient à→NZDQR−28/25nonnonouiouioui3.1416/πnonnonnonnonoui901/53nonnonnonouioui√676/2(=13)ouiouiouiouioui5√3/√27(=5/3)nonnonnonouioui
c) appartient à→NZDQR1.234567891011…nonnonnonnonoui246.81012…nonnonnonnonoui
d) appartient à→NZDQR−4.7103nonouiouiouioui3/√2nonnonnonnonoui1.11111111/9nonnonnonouioui
e) appartient à→NZDQR1357.¯91357…nonnonnonouioui21/560nonnonouiouioui2π/5nonnonnonnonoui(√7+4)(√7−5)/3ouiouiouiouioui(π+3)/(π+1)nonnonnonnonoui
Exercice 2
a et b sont deux entiers naturels. Montrer les propriétés suivantes :
1) Si a et b sont pairs, ils sont par exemple de la forme : a=2p et b=2q, p et q étant des entiers naturels, d'où a+b=2p+2q=2(p+q), donc a+b est bien pair.
2) Si a et b sont impairs, ils sont par exemple de la forme : a=2p+1 et b=2q+1, p et q étant des entiers naturels,
d'où a+b=2p+1+2q+1=2(p+q+1), donc a+b est bien pair.
3) Si a est pair et b impair, on a : a=2p et b=2q+1, p et q étant des entiers naturels, d'où : a+b=2p+2q+1=2(p+q)+1, donc a+b est bien impair.alors a+b est impair.
4) Si a et b sont pairs, on a : a=2p et b=2q, p et q étant des entiers naturels, d'où : ab=2p×2q=4pq=2(2pq), donc ab est bien pair.
5) Si a et b sont impairs, on a : a=2p+1 et b=2q+1, p et q étant des entiers naturels, d'où : ab=(2p+1)×(2q+1)=4pq+2p+2q+1=2(2pq+p+q)+1, donc ab est bien impair.
6) Si a est pair et b impair, on a : a=2p et b=2q+1, p et q étant des entiers naturels, d'où : ab=2p×(2q+1)=2(2pq+p), donc ab est bien pair.
7) Si a et b sont deux nombres consécutifs et si on note le plus petit d'entre eux n, alors l'autre est n+1. Deux cas (et deux seulement) sont possibles :
a) n est pair : alors n est de la forme n=2p, d'où n+1=2p+1, et on conclut que le premier est pair et le second impair ;
b) n est impair : alors n est de la forme n=2p+1,
d'où n+1=2p+2=2(p+1), et on conclut que le premier est impair et le second pair.
Dans tous les cas, l'un de ces nombres est pair et l'autre impair.
Exercice 3(*)
a étant un entier naturel,
1) Si a est pair, a est de la forme 2p, où p est un entier naturel, d'où a2=4p2=2(2p2) est bien un nombre pair car 2p2 est aussi un entier naturel.
2) Si a est impair, a est de la forme 2p+1, où p est un entier naturel, d'où a2=(2p+1)2=4p24p+1=2(2p2+2p)+1 est bien un nombre pair car (2p2+2p) est aussi un entier naturel.
3) Si a2 est pair, alors a ne peut pas être pair, sinon a2 serait pair d'après 1), ce qui constitue une contradiction. De même, si a2 est impair, alors a ne peut pas être impair, sinon a2 serait impair d'après 2), ce qui constitue encore une contradiction..
4) a) L'égalité √2=pq entraîne par élévation au carré que 2=p2q2, soit d'après la règle d'égalité de deux quotients, p2=2q2. On en déduit que p2 est pair, puisqu'il est le double de l'entier naturel q2.
b) D'après 3), puisque p2 est pair, alors nécessairement p est pair.
c) Puisque p est pair, il est évidemment de la forme p=2p′, où p′ est un autre entier naturel. On a alors, d'après 4)a) et b) : p2=(2p′)2=4p′2=2q2, d'où en simplifiant par 2 : q2=2p′2.
d) On en déduit comme précédemment que q2 est pair, donc que q est pair.
e) Puisque la fraction pq est irréductible par hypothèse, les réponses aux questions b) et d) constituent une contradiction, car elles entraînent que p et q sont tous deux pairs, donc que la fraction pq est simplifiable par 2. Il résulte de tout cela que l'hypothèse "√2 est un nombre rationnel" mène à une contradiction et par conséquent on conclut que √2 est un nombre irrationnel.
Exercice 4
On trouve en appliquant les règles de distributivité et en réduisant les termes semblables :
A=5x2+28x−10B=−17x+8
C=−x2−5x+24D=21x−21
E=x3−x2−5x+6F=x3+6x2+11x+6
Pour F, on peut d'abord développer les deux premiers facteurs avant de multiplier par le dernier.
Exercice 5
(1) : bx+by−2ay
(2) : −x2y+xy2+axy−bxy+ax−by
(3) : 30x+21y−21a
(4) : t−z
Exercice 6
a) A=1−(x2−3x+x−3)=1−(x2−2x−3)=−x2+2x+4
B=5−(x2−2x+1)=−x2+2x+4
A et B sont identiques à la même expression. On en déduit que A=B.
b) Formons la différence (x+43−x2)−(1+2−x6). En réduisant au même dénominateur dans chaque parenthèse, on voit qu'elle est égale à :
(2(x+4)−3x6)−(6+2−x6), soit à : 2x−3x+86−8−x6=−x+8−8+x6=0
Cette différence étant nulle, on en conclut que les deux membres sont égaux.
Exercice 7
Un nombre est divisible :
a) par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
b) par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
c) par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
d) par 9 si la somme de ses chiffres est multiple de 9
e) par 10 si son dernier chiffre est 0.
Exercice 8
1) a) Dénominateur commun : 6. On obtient après calcul et simplification : 2.
b) Dénominateur commun : 4. On obtient après calcul et simplification : 74.
c) Dénominateur commun : 4. On obtient après calcul et simplification : 34.
2) a) Dénominateur commun : 15. On obtient après calcul et simplification : 25.
b) Dénominateur commun : 12. On obtient après calcul et simplification : 712.
c) Dénominateur commun : 9. On obtient après calcul et simplification : 209.
Exercice 9
a) 5 b) 73 c) 37 d) 421 e) 16 f) 112 g) 48 h) 1285 i) −292556
Exercice 10
a) 4×(−16)=−13 b) 34×43=1 c) −2×(−14)=12
d) 821×74=23 e) 6×(23)(12)=2
Exercice 11
On obtient en effectuant les calculs dans les parenthèses : −9+(−34)÷116. La division étant une opération prioritaire sur l'addition, on calcule d'abord (−34)÷116=(−34)×16=−12. Puis on effectue −9+(−12) pour trouver finalement −21. Le lecteur pourra vérifier ce calcul à la machine
Exercice 12
p=116;q=−154
r=2598×−2235=5×52×7×7×−2×115×7=−55343
s=−34×8−35=−3×2−5×7=635
t=727×4936=9×87×7×79×4=14
u=32×275×14=8140
v=64847;w=−55126
x=2343=12
y=(5310)(−1710)=−5317
α=3×4×5+4×5+5+12×3×4×5=2×432×3×4×5=4360
β=1+12+1(52)=1+12+25=1+1(125)=1+512=1712
γ=((12)(32)×(56)(−15)×−95)÷(27×(67)(−15))=(13×(−256)×(−95))÷(27×34)=52÷314=52×143=353
δ=(−715)(1715)×(−1112)(2912)×(13)(−15)=−717×(−1129)×(−53)=−3851479
ϵ=23+1(43)43−1(23)=23+3443−32=1712×34−32=1716−2416=−716
Exercice 13
Écrire l'expression algébrique qui correspond à chacune des phrases suivantes :
1) x+xy 2) (x−3)2 3) x23y2 4) (xy)(3+3y)
Exercice 14
On trouve en développant les carrés : A=2(a2+b2)etB=4ab
Exercice 15
On obtient en développant les carrés du membre de gauche :
(ax+by)2+(ay−bx)2=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2−2abxy+b2x2=x2(a2+b2)+y2(a2+b2)=(a2+b2)(x2+y2)
Exercice 16
⋅ (a+1a)2=a2+1a2+2⋅ (a−1a)2=a2+1a2−2
⋅ (ab+ba)2=a2b2+b2a2+2
Exercice 17
⋅ a+1b=ab+1b⋅ a+ca=ab+cb⋅ 1a−1b=b−aab⋅ ab+ba=a2+b2ab
Exercice 18
⋅ 1a+1b−1c=bc+ca−ababc⋅ ab+bc+ca=a2c+ab2+bc2abc
Exercice 19
a) (2x+1)(5x+3)+(2x+1)(x+2)−(2x+1)(2x−1)
Le facteur commun apparent est (2x+1). On a alors :
(2x+1)[(5x+3)+(x+2)−(2x−1)]=(2x+1)(4x+6)=2(2x+1)(2x+3)
b) (3x+2)(x−3)+(x−3)2+x2−9
Le facteur commun apparent est (x−3). On a alors :
(3x+2)(x−3)+(x−3)2+x2−9=(x−3)[(3x+2)+(x−3)+(x+3)]=(x−3)(5x+2)
c) (2x+3)(x+7)−(2x+3)2+6x+9
(2x+3)(x+7)−(2x+3)2+6x+9=(2x+3)(x+7)−(2x+3)2+3(2x+3)
Il apparait alors que (2x+3) est un facteur commun. L'expression s'écrit alors :
(2x+3)[(x+7)−(2x+3)+3=(2x+3)(−x+7)
d) (x−5)2+x2−25−(5−x)(2x+1)
Le facteur commun apparent est (x−5) car l'expression peut s'écrire : (x−5)2+(x−5)(x+5)−(5−x)(2x+1)
On obtient alors en mettant en facteur ce terme :
(x−5)[(x−5)+(x+5)+(2x+1)], soit finalement : (x−5)(4x+1).
e) (2x−3)2+(3−2x)(x−1)−6+4x
L'expression s'écrit : (2x−3)2+(3−2x)(x−1)−2(2x−3)=(2x−3)[(2x−3)−(x−1)−2]=(2x−3)(x−4)
f) x2+y2+2xy−4a2+12ab−9b2
L'expression est en fait une différence de carrés car elle s'écrit, en regroupant les trois premiers termes, puis les trois derniers : (x+y)2−(2a−3b)2.
Elle se factorise donc en (x+y+2a−3b)(x+y−2a+3b).
g) ab(x2+y2)+xy(a2+b2)
Développons d'abord, puis regroupons certains termes : abx2+aby2+xya2+xyb2=abx2+xyb2+xya2+aby2=bx(ax+by)+ay(ax+by)
On obtient finalement : (ax+by)(bx+ay)
h) a2−2by−y2+x2−2ax−b2
On réorganise les termes de façon à faire apparaitre des carrés :
a2−2ax+x2−(b2+2by+y2)=(a−x)2−(b+y)2=(a−x+b+y)(a−x−b−y)
i) 9x2y3−3x4y2−6x3y3+18xy4
A première vue, on peut mettre 3xy2 en facteur dans chaque terme pour obtenir : 3xy2(3xy−x3−2x2y+6y2)
On réorganise ensuite les termes dans la parenthèse : 3xy2(3xy+6y2−2x2y−x3)
Puis on factorise dans la parenthèse : 3xy2[3x(x+2y)−x2(x+2y)]
On factorise alors par x(x+2y) pour obtenir : 3x2y2(x+2y)(3−x)
j) (5x+y−3)2−(2+5x)2
On a une différence de carrés qui se factorise en : (5x+y−3−2−5x)(5x+y−3+2+5x)=(y−5)(10x+y−1)
k) x3+2x2+10+5x
On regroupe les deux premiers termes, puis les deux derniers : x2(x+2)+5(2+x)=(x+2)(x2+5)
l) 16x2+8xy−4xz−2yz
On regroupe les deux premiers termes, puis les deux derniers : 8x(2x+y)−2z(2x+y)=2(2x+y)(4x−z)
m) (xy+1)2−(x+y)2 (On trouvera un produit de 4 facteurs).
On factorise cette différence de carrés en (xy+1−x−y)(xy+1+x+y)
Puis on réorganise les termes dans chaque parenthèse : (xy−x+1−y)(xy+x+1+y)
Et on factorise en groupant les termes deux par deux : [x(y−1)−(y−1)][x(y+1)+y+1]=(y−1)(x−1)(y+1)(x+1) C'est bien un produit de quatre facteurs.
n) ab−a+b−1
Cette expression est égale à : a(b−1)+(b−1)=(b−1)(a+1)
o) a2xy+aby2+b2xy+abx2
Cette expression s'écrit en regroupant le premier et le troisième terme, puis le deuxième et le quatrième terme :
a2xy+abx2+b2xy+aby2=ax(ay+bx)+by(bx+ay)=(bx+ay)(ax+by)
p) x4+x3−4x2−4x
On factorise par x2 les deux premiers termes et par −4x les deux derniers pour obtenir : x4+x3−4x2−4x=x2(x+1)−4x(x+1)
On peut alors factoriser par x(x+1) pour avoir finalement : x4+x3−4x2−4x=x(x+1)(x−4)
q) a2b2−1+a2−b2
On regroupe le premier et le quatrième terme, puis le deuxième et le troisième :
a2b2−1+a2−b2=a2b2−b2+a2−1=b2(a2−1)+a2−1=(a2−1)(b2+1)=(a−1)(a+1)(b2+1)
r) y2−x2+2x−1
On reconnait une identité remarquable dans les trois derniers termes, puis une différence de carrés : y2−x2+2x−1=y2−(x−1)2=(y−x+1)(y+x−1)
s) a(x−y)+x(b+c−y)−y(b+c−x)
On développe puis on simplifie : a(x−y)+x(b+c−y)−y(b+c−x)=ax−ay+bx+cx−xy−by−cy+xy
On simplifie alors le terme xy puis on regroupe les termes "en a", puis les termes "en b", puis les termes "en c" pour obtenir :
a(x−y)+x(b+c−y)−y(b+c−x)=a(x−y)+b(x−y)+c(x−y)=(x−y)(a+b+c)
Exercice 20
F1=a2+2ab+b2−c2a2+2ac+c2−b2=(a+b)2−c2(a+c)2−b2=(a+b−c)(a+b+c)(a+c−b)(a+b+c)=a+b−ca−b+c
valable pour des réels a, b, c tels que a+b≠b et a+b+c≠0
F2=a2−(b−c)2a2−2ab+b2−c2=(a−b+c)(a+b−c)(a−b)2−c2=(a−b+c)(a+b−c)(a−b+c)(a−b−c)=a+b−ca−b−c
valable pour des réels a, b, c tels que a+c≠b et a−b+c≠0 et a−b−c≠0
F3=25x2−20x+425x2−4=(5x−2)2(5x−2)(5x+2)=(5x−2)(5x+2)
valable pour x≠25 et x≠−25
F4=xx−y−yx+yyx−y+xx+y=x2y2(x−y)(x+y)x2+y2(x−y)(x+y)=1
(Calcul valable pour x≠y et x≠−y, x≠0 et y≠0)
F5=2−41+11+11−x2. On a successivement :
1−x2=22−x
1+11−x2=1+22−x=x−4x−2
11+11−x2=x−2x−4
1+11+11−x2=1+x−2x−4=2x−6x−4
42x−6x−4=2(x−4)x−3 et enfin
F5=2−2(x−4)x−3=2x−3
Exercice 21
1) 10x+33−3x−15=x−2
L'équation équivaut, après réduction au même dénominateur, à :
41x+1815=x−2, soit : 41x+18=15(x−2) ⇔ x=−2413 S={−2413}
2) x+x2+x3+x4=0
L'équation équivaut à : x(1+12+13+14)=0.
La parenthèse n'étant visiblement pas nulle, l'unique solution est x=0. S={0}
3) a3−5a−15−a−14=0
L'équation équivaut, après réduction au même dénominateur, à : 27−55a60=0 S={2755}
4) 4(2x−79)−3−5(x−2)33+1327=3x−53−24+217108
La fraction 3−5(x−2)33 se simplifie en 19−5x9 et la fraction 3x−53−24 se simplifie en 3x−1112.
Le dénominateur commun à toutes les fractions de l'équation est alors 108, et elle s'écrit, après réduction au même dénominateur : 4(39x−128)108=27x+118108 S={21043}
5) (3x−4)2=x2+2x+1
L'équation s'écrit, en reconnaissant dans le second membre une identité remarquable : (3x−4)2=(x+1)2
Elle équivaut donc à (factorisation d'une différence de carrés) : (3x−4−x−1)(3x−4+x+1)=0⇔(2x−5)(4x−3)=0⇔x=52oux=34
S={52; 34}
6) (x+1)(x−3)=2x2−18
L'équation équivaut, après factorisation du second membre et factorisation : (x−3)(x+1)−2(x−3)(x+3)=0⇔(x−3)(x+1−2x−6)=0⇔(x−3)(−x−5)=0
C'est une équation-produit qui équivaut à l'annulation de l'un ou l'autre des deux facteurs : x−3=0 ou −x−5=0 ⇔ x=3 ou x=−5 S={3; −5}
7) 2x3+x2−2x−1=0
Cela ressemble à une équation du troisième degré qu'on sait pas résoudre a priori au niveau Seconde, mais on peut chercher à factoriser le premier membre en groupant les termes deux par deux. L'équation s'écrit alors : x2(2x+1)−(2x+1)=0⇔(2x+1)(x2−1)=0⇔(2x+1)(x+1)(x−1)=0
On a à nouveau une équation-produit qui équivaut à : 2x+1=0 ou x+1=0 ou x−1=0 S={−1; 1−12}
8) 9a=8a+1+44a−1
On a affaire à une équation dont l'inconnue a apparait au dénominateur. On commence par pose les conditions de définition de l'équation qui traduisent la non annulation des dénominateurs : a≠0,a≠−1, a≠14
Cela étant, l'équation équivaut, après réduction au même dénominateur des termes du second membre, à : 9a=36a−4(a+1)(4a−1), soit en appliquant la règle d'égalité de deux quotients (produit en croix) : 9(a+1)(4a−1)=a(36a−4) ⇔ 31a−9=0 S={931}
On notera que cette valeur de a est bien différente des "valeurs interdites".
9) 1x−2−1x+2=4x2−4
C'est une équation où l'inconnue intervient au dénominateur. On écrit d'abord les conditions de définition : x≠2, x≠−2 et x2−4≠0, soit (x−2)(x+2)≠0. En résumé, on doit avoir : x≠2,x≠−2 Dans ces conditions, l'équation équivaut, après réduction au même dénominateur du premier membre : 4x2−4=4x2−4. Elle est donc vérifiée pour tout x réel différent de 2 et de -2. S=R∖{2; −2}
10) xx+2−x−1x=−x2−x+6x(x+2)
L'équation est définie si et seulement si x≠−2 et x≠0. Dans ce cas, elle équivaut à : 2−xx(x+2)=−x2−x+6x(x+2)
soit en multipliant les deux membres par x(x+2)≠0, à : 2−x=−x2−x+6⇔x2−4=0⇔(x−2)(x+2)=0⇔x=2oux=−2
Or -2 fait partie des valeurs interdites (conditions de définition de l'équation). Donc seule la solution 2 convient. S={2}
11) 1x+1+1x−1+1x+2+1x−2=0
Comme l'inconnue x figure au dénominateur, on commence par préciser les conditions de définition de l'équation : x≠−1, x≠1, x≠−2 et x≠2. Dans ce cas, en prenant pour dénominateur commun (x+1)(x−1)(x+2)(x−2), elle équivaut à : 2x(2x2−5)(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)=0
Le numérateur s'annule pour x=0, x=√52 et x=−√52 S={0, √52, −√52}
12) x−1x−2−x−2x−3=x−4x−5−x−5x−6
L'équation est définie pour x≠2, x≠3, x≠5 et x≠6. Elle s'écrit alors, après réduction au même dénominateur dans les deux membres : −1(x−2)(x−3)=−1(x−5)(x−6)
soit en appliquant la règle d'égalité de deux fractions de même numérateur, à : (x−2)(x−3)=(x−5)(x−6) ⇔ 6x−24=0
L'unique solution est x=4 (qui ne fait pas partie des valeurs "interdites". S={4}
Exercice 22
1) x2−x−34−6x≤−5x
L'inéquation s'écrit, après réduction au même dénominateur (4) au premier membre : −23x+34≤−5x soit, en multipliant les deux membres par 4 qui est positif et en transposant : −3x+3≤0. S=[1; +∞[
2) 3−x−22+23>3x
L'inéquation s'écrit, après réduction au même dénominateur (6) au premier membre : −3x+286>3x soit, en multipliant les deux membres par 6 qui est positif et en transposant : 7(4−3x)>0 S=]−∞; 43[
3) x−32−x(x+3)≥1−x2
L'inéquation s'écrit, après réduction au même dénominateur (2) au premier membre : −2x2+4x+36≥1−x2 soit, en multipliant les deux membres par 6 qui est positif et en transposant : −(4x+5)≥0 S=]−∞; −54[
4) 4−2xx+3≤0
On fait un tableau de signes du premier membre :
x−∞−32+∞4−2x+|+|−x+3−|+|+Q−|+|−
S=]−∞; −3]∪[2; +∞[
5) 2x−1x−3>3
On transpose, on réduit au même dénominateur, puis on fait un tableau de signes du premier membre : 2x−1x−3>3⇔2x−1x−3−3>0⇔−x+8x−3>0
x−∞38+∞−x+8+|+|−x−3−|+|+Q−||+|−
S=]−∞; 3[∪]8; +∞[
6) 3x+1x+1≥12
Même méthode qu'au 5) : 3x+1x+1≥12⇔3x+1x+1−12≥0⇔5x+12(x+1)≥0
x−∞−1/5−1+∞5x+1−|+|+x+1−|−|+Q+||−|+
S=]−∞; −15[∪]−1; +∞[
7) (x2−1)(x−4)2x−1>0
L'inéquation est définie si et seulement si x≠12.
On fait un tableau de signes de l'expression Q au premier membre en remarquant que : x2−1=(x−1)(x+1) Dans le tableau ci-dessous, N désigne le numérateur de cette expression :
x−∞−11/214+∞x−1−|−|−|+|+x+1−|+|+|+|+x2−1+|−|+|+|+x−4−|−|−|−|+N−|+|−|−|+2x−1−|−|+|+|+Q+|−||−|−|+
S=]−∞; −1[∪]4; +∞[
8) xx−2−2≥−x+3x+1
L'inéquation est définie si et seulement si x≠2 et x≠−1. Elle équivaut, après transposition au second membre et réduction au même dénominateur à : 2(x−5)(x+1)(2−x)≥0
x−∞−125+∞N=2(x−5)−|−|−|+x+1−|+|+|+2−x+|+|−|−D=(x+1)(2−x)−|+|−|−Q=N/D+||−||+|−
S=]−∞; −1[∪]2; 5[
9) 7x−x2(x−1)(x2+4x+4)≤0
On fait un tableau de signes de l'expression au premier membre. Son numérateur se factorise en x(7−x) et son dénominateur en (x−1)(x+2)2.
x−∞−2017+∞x−|−|+|+|+7−x+|+|+|+|−N−|−|+|+|−x−1−|−|−|+|+(x+2)2+|+|+|+|+D−|−|−|+|+Q+||+||−||+|−
S=[0; 1[∪[7; +∞[
Auteur:
Mouhamadou Ka
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
jeu, 07/16/2020 - 16:14
Permalien
J'adore cette site
Khady fall (non vérifié)
jeu, 11/10/2022 - 20:11
Permalien
C très important
Ajouter un commentaire