Solutions des exercices : révision - activités numériques collège - 2nd s

 

a) $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{appartient à}\rightarrow&\mathbb{N}&\mathbb{Z}&\mathbb{D}&\mathbb{Q}&\mathbb{R} \\ \hline -18&\text{non}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline 1.25&\text{non}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline \sqrt{7}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui} \\ \hline 2\pi&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui} \\ \hline -0.666\overline{6}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline 0&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline\end{array}$$

b) $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{appartient à}\rightarrow&\mathbb{N}&\mathbb{Z}&\mathbb{D}&\mathbb{Q}&\mathbb{R} \\ \hline -28/25&\text{non}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline 3.1416/\pi&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui} \\ \hline 901/53&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline\sqrt{676}/2(=13)&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline 5\sqrt{3}/\sqrt{27}(=5/3)&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline\end{array}$$

c) $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{appartient à}\rightarrow&\mathbb{N}&\mathbb{Z}&\mathbb{D}&\mathbb{Q}&\mathbb{R} \\ \hline 1.234567891011\ldots&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui} \\ \hline 246.81012\ldots&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui} \\ \hline\end{array}$$

d) $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{appartient à}\rightarrow&\mathbb{N}&\mathbb{Z}&\mathbb{D}&\mathbb{Q}&\mathbb{R} \\ \hline -4.7\;10^{3}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline 3/\sqrt{2}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui} \\ \hline 1.11111111/9&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline\end{array}$$

e) $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{appartient à}\rightarrow&\mathbb{N}&\mathbb{Z}&\mathbb{D}&\mathbb{Q}&\mathbb{R} \\ \hline 1357.\overline{91357}\ldots&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline 21/560&\text{non}&\text{non}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline 2\pi/5&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui} \\ \hline (\sqrt{7}+4)(\sqrt{7}-5)/3&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui} \\ \hline (\pi+3)/(\pi+1)&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{non}&\text{oui} \\ \hline\end{array}$$

$a$ et $b$ sont deux entiers naturels. Montrer les propriétés suivantes :

 

1) Si $a$ et $b$ sont pairs, ils sont par exemple de la forme : $a=2p$ et $b=2q\;,\ p$ et $q$ étant des entiers naturels, d'où $a+b=2p+2q=2(p+q)$, donc $a+b$ est bien pair.

 

2) Si $a$ et $b$ sont impairs, ils sont par exemple de la forme : $a=2p+1$ et $b=2q+1\;,\ p$ et $q$ étant des entiers naturels,

 

d'où $a+b=2p+1+2q+1=2(p+q+1)$, donc $a+b$ est bien pair.

 

3) Si $a$ est pair et $b$ impair, on a : $a=2p$ et $b=2q+1\;,\ p$ et $q$ étant des entiers naturels, d'où : $a+b=2p+2q+1=2(p+q)+1$, donc $a+b$ est bien impair.alors $a+b$ est impair.

 

4) Si $a$ et $b$ sont pairs, on a : $a=2p$ et $b=2q\;,\ p$ et $q$ étant des entiers naturels, d'où : $ab=2p\times 2q=4pq=2(2pq)$, donc $ab$ est bien pair.

 

5) Si $a$ et $b$ sont impairs, on a : $a=2p+1$ et $b=2q+1\;,\ p$ et $q$ étant des entiers naturels, d'où : $ab=(2p+1)\times(2q+1)=4pq+2p+2q+1=2(2pq+p+q)+1$, donc $ab$ est bien impair.

 

6) Si $a$ est pair et $b$ impair, on a : $a=2p$ et $b=2q+1\;,\ p$ et $q$ étant des entiers naturels, d'où : $ab=2p\times(2q+1)=2(2pq+p)$, donc $ab$ est bien pair.

 

7) Si $a$ et $b$ sont deux nombres consécutifs et si on note le plus petit d'entre eux $n$, alors l'autre est $n+1.$ Deux cas (et deux seulement) sont possibles :

 

a) $n$ est pair : alors $n$ est de la forme $n=2p$, d'où $n+1=2p+1$, et on conclut que le premier est pair et le second impair ;

 

b) $n$ est impair : alors $n$ est de la forme $n=2p+1$, 

 

d'où $n+1=2p+2=2(p+1)$, et on conclut que le premier est impair et le second pair.

 

Dans tous les cas, l'un de ces nombres est pair et l'autre impair.

$a$ étant un entier naturel,

 

1) Si $a$ est pair, $a$ est de la forme $2p$, où $p$ est un entier naturel, d'où $a^{2}=4p^{2}=2(2p^{2})$ est bien un nombre pair car $2p^{2}$ est aussi un entier naturel.

 

2) Si $a$ est impair, $a$ est de la forme $2p+1$, où $p$ est un entier naturel, d'où $a^{2}=(2p+1)^{2}=4p^{2}4p+1=2(2p^{2}+2p)+1$ est bien un nombre pair car $(2p^{2}+2p)$ est aussi un entier naturel.

 

3) Si $a^{2}$ est pair, alors $a$ ne peut pas être pair, sinon $a^{2}$ serait pair d'après 1), ce qui constitue une contradiction. De même, si $a^{2}$ est impair, alors $a$ ne peut pas être impair, sinon $a^{2}$ serait impair d'après 2), ce qui constitue encore une contradiction..

 

4) a) L'égalité $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ entraîne par élévation au carré que $2=\dfrac{p^{2}}{q^{2}}$, soit d'après la règle d'égalité de deux quotients, $p^{2}=2q^{2}.$ On en déduit que $p^{2}$ est pair, puisqu'il est le double de l'entier naturel $q^{2}.$

 

b) D'après 3), puisque $p^{2}$ est pair, alors nécessairement $p$ est pair.

 

c) Puisque $p$ est pair, il est évidemment de la forme $p=2p'$, où $p'$ est un autre entier naturel. On a alors, d'après 4)a) et b) : $p^{2}=(2p')^{2}=4p'^{2}=2q^{2}$, d'où en simplifiant par 2 : $q^{2}=2p'^{2}.$

 

d) On en déduit comme précédemment que $q^{2}$ est pair, donc que $q$ est pair.

 

e) Puisque la fraction $\dfrac{p}{q}$ est irréductible par hypothèse, les réponses aux questions b) et d) constituent une contradiction, car elles entraînent que $p$ et $q$ sont tous deux pairs, donc que la fraction $\dfrac{p}{q}$ est simplifiable par 2. Il résulte de tout cela que l'hypothèse "$\sqrt{2}$ est un nombre rationnel" mène à une contradiction et par conséquent on conclut que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

On trouve en appliquant les règles de distributivité et en réduisant les termes semblables : 

 

$A=5x^{2}+28x-10\quad B=-17x+8$

 

$C=-x^{2}-5x+24\quad D=21x-21$

 

$E=x^{3}-x^{2}-5x+6\quad F=x^{3}+6x^{2}+11x+6$

 

Pour $F$, on peut d'abord développer les deux premiers facteurs avant de multiplier par le dernier.

(1) : $bx+by-2ay$

 

(2) : $-x^{2}y+xy^{2}+axy-bxy+ax-by$

 

(3) : $30x+21y-21a$

 

(4) : $t-z$

a) $A=1-(x^{2}-3x+x-3)=1-(x^{2}-2x-3)=-x^{2}+2x+4$

 

$B=5-(x^{2}-2x+1)=-x^{2}+2x+4$

 

$A$ et $B$ sont identiques à la même expression. On en déduit que $A=B.$

 

b) Formons la différence $\left(\dfrac{x+4}{3}-\dfrac{x}{2}\right)-\left(1+\dfrac{2-x}{6}\right).$ En réduisant au même dénominateur dans chaque parenthèse, on voit qu'elle est égale à : 

 

$\left(\dfrac{2(x+4)-3x}{6}\right)-\left(\dfrac{6+2-x}{6}\right)$, soit à : $$\dfrac{2x-3x+8}{6}-\dfrac{8-x}{6}=\dfrac{-x+8-8+x}{6}=0$$

 

Cette différence étant nulle, on en conclut que les deux membres sont égaux.

Un nombre est divisible : 

 

a) par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. 

 

b) par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

 

c) par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. 

 

d) par 9 si la somme de ses chiffres est multiple de 9 

 

e) par 10 si son dernier chiffre est 0.

1) a) Dénominateur commun : 6. On obtient après calcul et simplification : 2. 

 

b) Dénominateur commun : 4. On obtient après calcul et simplification : $\dfrac{7}{4}.$ 

 

c) Dénominateur commun : 4. On obtient après calcul et simplification : $\dfrac{3}{4}.$ 

 

2) a) Dénominateur commun : 15. On obtient après calcul et simplification : $\dfrac{2}{5}.$ 

 

b) Dénominateur commun : 12. On obtient après calcul et simplification : $\dfrac{7}{12}.$ 

 

c) Dénominateur commun : 9. On obtient après calcul et simplification : $\dfrac{20}{9}.$ 

a) $5\quad$ b) $\dfrac{7}{3}\quad$ c) $\dfrac{3}{7}\quad$ d) $\dfrac{4}{21}\quad$ e) $\dfrac{1}{6}\quad$ f) $\dfrac{1}{12}\quad$ g) $48\quad$ h) $\dfrac{128}{5}\quad$ i) $-\dfrac{2925}{56}$ 

a) $4\times\left(-\dfrac{1}{6}\right)=-\dfrac{1}{3}\quad$ b) $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{4}{3}=1\quad$ c) $-2\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{2}$ 

 

d) $\dfrac{8}{21}\times\dfrac{7}{4}=\dfrac{2}{3}\quad$ e) $6\times\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)=2$ 

On obtient en effectuant les calculs dans les parenthèses : $-9+\left(-\dfrac{3}{4}\right)\div\dfrac{1}{16}.$ La division étant une opération prioritaire sur l'addition, on calcule d'abord $\left(-\dfrac{3}{4}\right)\div\dfrac{1}{16}=\left(-\dfrac{3}{4}\right)\times 16=-12.$ Puis on effectue $-9+(-12)$ pour trouver finalement $-21.$ Le lecteur pourra vérifier ce calcul à la machine

$p=\dfrac{11}{6}\;;\quad q=-\dfrac{15}{4}$

 

$\begin{array}{rcl} r&=&\dfrac{25}{98}\times\dfrac{-22}{35}\\ \\&=&\dfrac{5\times 5}{2\times 7\times 7}\times\dfrac{-2\times 11}{5\times 7}\\ \\&=&-\dfrac{55}{343}\end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} s&=&-\dfrac{3}{4}\times\dfrac{8}{-35}\\ \\&=&-3\times\dfrac{2}{-5\times 7}\\ \\ &=&\dfrac{6}{35}\end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} t&=&\dfrac{72}{7}\times\dfrac{49}{36}\\ \\&=&\dfrac{9\times 8}{7}\times\dfrac{7\times 7}{9\times 4}\\ \\ &=&14\end{array}$

 

$u=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{27}{5}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{81}{40}$

 

$v=\dfrac{64}{847}\;;\quad w=-\dfrac{55}{126}$

 

$x=\dfrac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{4}{3}}=\dfrac{1}{2}$

 

$y=\dfrac{\left(\tfrac{53}{10}\right)}{\left(-\tfrac{17}{10}\right)}=-\dfrac{53}{17}$

 

$\begin{array}{rcl}\alpha&=&\dfrac{3\times 4\times 5+4\times 5+5+1}{2\times 3\times 4\times 5}\\ \\&=&\dfrac{2\times 43}{2\times 3\times 4\times 5}\\ \\ &=&\dfrac{43}{60}\end{array}$

 

$\begin{array}{rcl}\beta&=&1+\dfrac{1}{2+\tfrac{1}{\left(\tfrac{5}{2}\right)}}\\ \\&=&1+\dfrac{1}{2+\tfrac{2}{5}}\\ \\ &=&1+\dfrac{1}{\left(\tfrac{12}{5}\right)}\\ \\ &=&1+\dfrac{5}{12}\\ \\ &=&\dfrac{17}{12}\end{array}$

 

$\begin{array}{rcl}\gamma&=&\left(\dfrac{\left(\tfrac{1}{2}\right)}{\left(\tfrac{3}{2}\right)}\times\dfrac{\left(\tfrac{5}{6}\right)}{\left(-\tfrac{1}{5}\right)}\times-\dfrac{9}{5}\right)\div\left(\dfrac{2}{7}\times\dfrac{\left(\tfrac{6}{7}\right)}{\left(-\tfrac{1}{5}\right)}\right)\\ \\&=&\left(\dfrac{1}{3}\times\left(-\dfrac{25}{6}\right)\times\left(-\dfrac{9}{5}\right)\right)\div\left(\dfrac{2}{7}\times\dfrac{3}{4}\right)\\ \\&=&\dfrac{5}{2}\div\dfrac{3}{14}\\ \\&=&\dfrac{5}{2}\times\dfrac{14}{3}\\ \\&=&\dfrac{35}{3}\end{array}$

 

$\begin{array}{rcl}\delta&=&\dfrac{\left(-\tfrac{7}{15}\right)}{\left(\tfrac{17}{15}\right)}\times\dfrac{\left(-\tfrac{11}{12}\right)}{\left(\tfrac{29}{12}\right)}\times\dfrac{\left(\tfrac{1}{3}\right)}{\left(-\tfrac{1}{5}\right)}\\ \\&=&-\dfrac{7}{17}\times\left(-\dfrac{11}{29}\right)\times\left(-\dfrac{5}{3}\right)\\ \\&=&-\dfrac{385}{1479}\end{array}$

 

$\begin{array}{rcl}\epsilon&=&\dfrac{\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{\left(\tfrac{4}{3}\right)}}{\tfrac{4}{3}}-\dfrac{1}{\left(\tfrac{2}{3}\right)}\\ \\&=&\dfrac{\tfrac{2}{3}+\tfrac{3}{4}}{\tfrac{4}{3}}-\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{17}{12}\times\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}\\ \\&=&\dfrac{17}{16}-\dfrac{24}{16}\\ \\&=&-\dfrac{7}{16}\end{array}$

Écrire l'expression algébrique qui correspond à chacune des phrases suivantes :

 

1) $x+xy\quad$ 2) $(x-3)^{2}\quad$ 3) $\dfrac{x^{2}}{3y^{2}}\quad$ 4) $\left(\dfrac{x}{y}\right)(3+3y)$

On trouve en développant les carrés : $A=2(a^{2}+b^{2})\quad\text{et}\quad B=4ab$

On obtient en développant les carrés du membre de gauche :

 

$\begin{array}{rcl} (ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}&=&a^{2}x^{2}+2abxy+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}-2abxy+b^{2}x^{2}\\ \\&=&x^{2}(a^{2}+b^{2})+y^{2}(a^{2}+b^{2})\\ \\&=&(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\end{array}$

$\centerdot\ \left(a+\dfrac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}+2\quad\centerdot\ \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}-2$

 

$\centerdot\ \left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)^{2}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+2$

$\centerdot\ a+\dfrac{1}{b}=\dfrac{ab+1}{b}\quad\centerdot\ a+\dfrac{c}{a}=\dfrac{ab+c}{b}\quad\centerdot\ \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\quad\centerdot\ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}$

$\centerdot\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{bc+ca-ab}{abc}\quad\centerdot\ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}}{abc}$

a) $(2x+1)(5x+3)+(2x+1)(x+2)-(2x+1)(2x-1)$

 

Le facteur commun apparent est $(2x+1).$ On a alors :

 

$\begin{array}{rcl} (2x+1)[(5x+3)+(x+2)-(2x-1)]&=&(2x+1)(4x+6)\\&=&2(2x+1)(2x+3)\end{array}$

 

b) $(3x+2)(x-3)+(x-3)^{2}+x^{2}-9$

 

Le facteur commun apparent est $(x-3).$ On a alors :

 

$\begin{array}{rcl} (3x+2)(x-3)+(x-3)^{2}+x^{2}-9&=&(x-3)[(3x+2)+(x-3)+(x+3)]\\&=&(x-3)(5x+2)\end{array}$

 

c) $(2x+3)(x+7)-(2x+3)^{2}+6x+9$

 

$(2x+3)(x+7)-(2x+3)^{2}+6x+9=(2x+3)(x+7)-(2x+3)^{2}+3(2x+3)$

 

Il apparait alors que $(2x+3)$ est un facteur commun. L'expression s'écrit alors :

 

$(2x+3)[(x+7)-(2x+3)+3=(2x+3)(-x+7)$

 

d) $(x-5)^{2}+x^{2}-25-(5-x)(2x+1)$

 

Le facteur commun apparent est $(x-5)$ car l'expression peut s'écrire : $$(x-5)^{2}+(x-5)(x+5)-(5-x)(2x+1)$$

On obtient alors en mettant en facteur ce terme : 

 

$(x-5)[(x-5)+(x+5)+(2x+1)]$, soit finalement : $(x-5)(4x+1).$

 

e) $(2x-3)^{2}+(3-2x)(x-1)-6+4x$

 

L'expression s'écrit : \begin{eqnarray} (2x-3)^{2}+(3-2x)(x-1)-2(2x-3)&=&(2x-3)[(2x-3)-(x-1)-2]\nonumber \\ &=&(2x-3)(x-4)\nonumber \end{eqnarray}

 

f) $x^{2}+y^{2}+2xy-4a^{2}+12ab-9b^{2}$

 

L'expression est en fait une différence de carrés car elle s'écrit, en regroupant les trois premiers termes, puis les trois derniers : $(x+y)^{2}-(2a-3b)^{2}.$ 

 

Elle se factorise donc en $(x+y+2a-3b)(x+y-2a+3b).$

 

g) $ab(x^{2}+y^{2})+xy(a^{2}+b^{2})$

 

Développons d'abord, puis regroupons certains termes : \begin{eqnarray} abx^{2}+aby^{2}+xya^{2}+xyb^{2}&=&abx^{2}+xyb^{2}+xya^{2}+aby^{2}\nonumber \\ &=&bx(ax+by)+ay(ax+by)\nonumber \end{eqnarray}

 

On obtient finalement : $(ax+by)(bx+ay)$

 

h) $a^{2}-2by-y^{2}+x^{2}-2ax-b^{2}$

 

On réorganise les termes de façon à faire apparaitre des carrés :

 

$\begin{array}{rcl} a^{2}-2ax+x^{2}-(b^{2}+2by+y^{2})&=&(a-x)^{2}-(b+y)^{2}\\ \\ &=&(a-x+b+y)(a-x-b-y)\end{array}$

 

i) $9x^{2}y^{3}-3x^{4}y^{2}-6x^{3}y^{3}+18xy^{4}$

 

A première vue, on peut mettre $3xy^{2}$ en facteur dans chaque terme pour obtenir : $$3xy^{2}(3xy-x^{3}-2x^{2}y+6y^{2})$$

On réorganise ensuite les termes dans la parenthèse : $$3xy^{2}(3xy+6y^{2}-2x^{2}y-x^{3})$$

Puis on factorise dans la parenthèse : $$3xy^{2}[3x(x+2y)-x^{2}(x+2y)]$$

On factorise alors par $x(x+2y)$ pour obtenir : $$3x^{2}y^{2}(x+2y)(3-x)$$

j) $(5x+y-3)^{2}-(2+5x)^{2}$

 

On a une différence de carrés qui se factorise en : $$(5x+y-3-2-5x)(5x+y-3+2+5x)=(y-5)(10x+y-1)$$

 

k) $x^{3}+2x^{2}+10+5x$

 

On regroupe les deux premiers termes, puis les deux derniers : $$x^{2}(x+2)+5(2+x)=(x+2)(x^{2}+5)$$

l) $16x^{2}+8xy-4xz-2yz$

 

On regroupe les deux premiers termes, puis les deux derniers : $$8x(2x+y)-2z(2x+y)=2(2x+y)(4x-z)$$

m) $(xy+1)^{2}-(x+y)^{2}$  (On trouvera un produit de 4 facteurs).

 

On factorise cette différence de carrés en $(xy+1-x-y)(xy+1+x+y)$

 

Puis on réorganise les termes dans chaque parenthèse : $$(xy-x+1-y)(xy+x+1+y)$$

Et on factorise en groupant les termes deux par deux : $$[x(y-1)-(y-1)][x(y+1)+y+1]=(y-1)(x-1)(y+1)(x+1)$$ C'est bien un produit de quatre facteurs.

 

n) $ab-a+b-1$

 

Cette expression est égale à : $a(b-1)+(b-1)=(b-1)(a+1)$

 

o) $a^{2}xy+aby^{2}+b^{2}xy+abx^{2}$

 

Cette expression s'écrit en regroupant le premier et le troisième terme, puis le deuxième et le quatrième terme :

 

$\begin{array}{rcl} a^{2}xy+abx^{2}+b^{2}xy+aby^{2}&=&ax(ay+bx)+by(bx+ay)\\ \\ &=&(bx+ay)(ax+by)\end{array}$

 

p) $x^{4}+x^{3}-4x^{2}-4x$

 

On factorise par $x^{2}$ les deux premiers termes et par $-4x$ les deux derniers pour obtenir : $$x^{4}+x^{3}-4x^{2}-4x=x^{2}(x+1)-4x(x+1)$$

On peut alors factoriser par $x(x+1)$ pour avoir finalement : $$x^{4}+x^{3}-4x^{2}-4x=x(x+1)(x-4)$$

q) $a^{2}b^{2}-1+a^{2}-b^{2}$

 

On regroupe le premier et le quatrième terme, puis le deuxième et le troisième :

 

$\begin{array}{rcl} a^{2}b^{2}-1+a^{2}-b^{2}=a^{2}b^{2}-b^{2}+a^{2}-1&=&b^{2}(a^{2}-1)+a^{2}-1\\ \\ &=&(a^{2}-1)(b^{2}+1)\\ \\ &=&(a-1)(a+1)(b^{2}+1)\end{array}$

 

r) $y^{2}-x^{2}+2x-1$

 

On reconnait une identité remarquable dans les trois derniers termes, puis une différence de carrés : $$y^{2}-x^{2}+2x-1=y^{2}-(x-1)^{2}=(y-x+1)(y+x-1)$$

s) $a(x-y)+x(b+c-y)-y(b+c-x)$

 

On développe puis on simplifie : $$a(x-y)+x(b+c-y)-y(b+c-x)=ax-ay+bx+cx-xy-by-cy+xy$$ 

On simplifie alors le terme $xy$ puis on regroupe les termes "en $a$", puis les termes "en $b$", puis les termes "en $c$" pour obtenir :

 

$\begin{array}{rcl} a(x-y)+x(b+c-y)-y(b+c-x)&=&a(x-y)+b(x-y)+c(x-y)\\&=&(x-y)(a+b+c)\end{array}$

$\begin{array}{rcl} F_{1}&=&\dfrac{a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2}}\\ \\&=&\dfrac{(a+b)^{2}-c^{2}}{(a+c)^{2}-b^{2}}\\ \\&=&\dfrac{(a+b-c)(a+b+c)}{(a+c-b)(a+b+c)}\\ \\&=&\dfrac{a+b-c}{a-b+c}\end{array}$

 

valable pour des réels $a\;,\ b\;,\ c$ tels que $a+b\neq b$ et $a+b+c\neq 0$

 

$\begin{array}{rcl} F_{2}&=&\dfrac{a^{2}-(b-c)^{2}}{a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}}\\ \\&=&\dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{(a-b)^{2}-c^{2}}\\ \\&=&\dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{(a-b+c)(a-b-c)}\\ \\&=&\dfrac{a+b-c}{a-b-c}\end{array}$

 

valable pour des réels $a\;,\ b\;,\ c$ tels que $a+c\neq b$ et $a-b+c\neq 0$ et $a-b-c\neq 0$

 

$\begin{array}{rcl} F_{3}&=&\dfrac{25x^{2}-20x+4}{25x^{2}-4}\\ \\&=&\dfrac{(5x-2)^{2}}{(5x-2)(5x+2)}\\ \\&=&\dfrac{(5x-2)}{(5x+2)}\end{array}$

 

valable pour $x\neq\dfrac{2}{5}$ et $x\neq -\dfrac{2}{5}$

 

$\begin{array}{rcl} F_{4}&=&\dfrac{\tfrac{x}{x-y}-\tfrac{y}{x+y}}{\tfrac{y}{x-y}+\tfrac{x}{x+y}}\\ \\&=&\dfrac{\tfrac{x^{2}y^{2}}{(x-y)(x+y)}}{\tfrac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)(x+y)}}\\ \\&=&1\end{array}$

 

(Calcul valable pour $x\neq y$ et $x\neq -y\;,\ x\neq 0$ et $y\neq 0$)

 

$F_{5}=2-\dfrac{4}{1+\tfrac{1}{1+\tfrac{1}{1-\tfrac{x}{2}}}}$. On a successivement :

 

$1-\dfrac{x}{2}=\dfrac{2}{2-x}$

 

$1+\dfrac{1}{1-\tfrac{x}{2}}=1+\dfrac{2}{2-x}=\dfrac{x-4}{x-2}$

 

$\dfrac{1}{1+\tfrac{1}{1-\tfrac{x}{2}}}=\dfrac{x-2}{x-4}$

 

$1+\dfrac{1}{1+\tfrac{1}{1-\tfrac{x}{2}}}=1+\dfrac{x-2}{x-4}=\dfrac{2x-6}{x-4}$

 

$\dfrac{4}{\tfrac{2x-6}{x-4}}=\dfrac{2(x-4)}{x-3}$ et enfin 

 

$F_{5}=2-\dfrac{2(x-4)}{x-3}=\dfrac{2}{x-3}$

1) $\dfrac{10x+3}{3}-\dfrac{3x-1}{5}=x-2$ 

 

L'équation équivaut, après réduction au même dénominateur, à : 

 

$\dfrac{41x+18}{15}=x-2$, soit : $$41x+18=15(x-2)\ \Leftrightarrow\ x=-\dfrac{24}{13}$$ $$S=\left\{-\dfrac{24}{13}\right\}$$

2) $x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}=0$ 

 

L'équation équivaut à : $x\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right)=0.$ 

 

La parenthèse n'étant visiblement pas nulle, l'unique solution est $x=0.$ $$S=\{0\}$$

 

3) $\dfrac{a}{3}-\dfrac{5a-1}{5}-\dfrac{a-1}{4}=0$ 

 

L'équation équivaut, après réduction au même dénominateur, à : $$\dfrac{27-55a}{60}=0$$ $$S=\left\{\dfrac{27}{55}\right\}$$

4) $4\left(\dfrac{2x-7}{9}\right)-\dfrac{3-\tfrac{5(x-2)}{3}}{3}+\dfrac{13}{27}=\dfrac{\tfrac{3x-5}{3}-2}{4}+\dfrac{217}{108}$ 

 

La fraction $\dfrac{3-\tfrac{5(x-2)}{3}}{3}$ se simplifie en $\dfrac{19-5x}{9}$ et la fraction $\dfrac{\tfrac{3x-5}{3}-2}{4}$ se simplifie en $\dfrac{3x-11}{12}.$

 

Le dénominateur commun à toutes les fractions de l'équation est alors 108, et elle s'écrit, après réduction au même dénominateur : $$\dfrac{4(39x-128)}{108}=\dfrac{27x+118}{108}$$ $$S=\left\{\dfrac{210}{43}\right\}$$

5) $(3x-4)^{2}=x^{2}+2x+1$  

 

L'équation s'écrit, en reconnaissant dans le second membre une identité remarquable : $$(3x-4)^{2}=(x+1)^{2}$$

Elle équivaut donc à (factorisation d'une différence de carrés) : \begin{eqnarray} (3x-4-x-1)(3x-4+x+1)=0&\Leftrightarrow&(2x-5)(4x-3)=0\nonumber \\ &\Leftrightarrow&x=\dfrac{5}{2}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{3}{4}\nonumber \end{eqnarray}

$$S=\left\{\dfrac{5}{2}\;;\ \dfrac{3}{4}\right\}$$

6) $(x+1)(x-3)=2x^{2}-18$

 

L'équation équivaut, après factorisation du second membre et factorisation : \begin{eqnarray} (x-3)(x+1)-2(x-3)(x+3)=0&\Leftrightarrow&(x-3)(x+1-2x-6)=0\nonumber \\ &\Leftrightarrow&(x-3)(-x-5)=0\nonumber \end{eqnarray}

C'est une équation-produit qui équivaut à l'annulation de l'un ou l'autre des deux facteurs : $$x-3=0\ \text{ ou }\ -x-5=0\ \Leftrightarrow\ x=3\ \text{ ou }\ x=-5$$ $$S=\{3\;;\ -5\}$$

7) $2x^{3}+x^{2}-2x-1=0$ 

 

Cela ressemble à une équation du troisième degré qu'on sait pas résoudre a priori au niveau Seconde, mais on peut chercher à factoriser le premier membre en groupant les termes deux par deux. L'équation s'écrit alors : \begin{eqnarray} x^{2}(2x+1)-(2x+1)=0&\Leftrightarrow&(2x+1)(x^{2}-1)=0\nonumber \\ &\Leftrightarrow&(2x+1)(x+1)(x-1)=0\nonumber \end{eqnarray}

On a à nouveau une équation-produit qui équivaut à : $$2x+1=0\ \text{ ou }\ x+1=0\ \text{ ou }\ x-1=0$$ $$S=\left\{-1\;;\ 1-\dfrac{1}{2}\right\}$$ 

8) $\dfrac{9}{a}=\dfrac{8}{a+1}+\dfrac{4}{4a-1}$ 

 

On a affaire à une équation dont l'inconnue $a$ apparait au dénominateur. On commence par pose les conditions de définition de l'équation qui traduisent la non annulation des dénominateurs : $$a\neq 0\;,\quad a\neq -1\;,\ a\neq\dfrac{1}{4}$$

Cela étant, l'équation équivaut, après réduction au même dénominateur des termes du second membre, à : $\dfrac{9}{a}=\dfrac{36a-4}{(a+1)(4a-1)}$, soit en appliquant la règle d'égalité de deux quotients (produit en croix) : $$9(a+1)(4a-1)=a(36a-4)\ \Leftrightarrow\ 31a-9=0$$ $$S=\left\{\dfrac{9}{31}\right\}$$

On notera que cette valeur de $a$ est bien différente des "valeurs interdites".

9) $\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{4}{x^{2}-4}$ 

 

C'est une équation où l'inconnue intervient au dénominateur. On écrit d'abord les conditions de définition : $x\neq 2\;,\ x\neq -2$ et $x^{2}-4\neq 0$, soit $(x-2)(x+2)\neq 0.$ En résumé, on doit avoir : $$x\neq 2\;,\quad x\neq -2$$ Dans ces conditions, l'équation équivaut, après réduction au même dénominateur du premier membre : $\dfrac{4}{x^{2}-4}=\dfrac{4}{x^{2}-4}.$ Elle est donc vérifiée pour tout $x$ réel différent de 2 et de -2. $$S=\mathbb{R}\setminus\{2\;;\ -2\}$$

10) $\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{-x^{2}-x+6}{x(x+2)}$

 

L'équation est définie si et seulement si $x\neq -2$ et $x\neq 0.$ Dans ce cas, elle équivaut à : $$\dfrac{2-x}{x(x+2)}=\dfrac{-x^{2}-x+6}{x(x+2)}$$

soit en multipliant les deux membres par $x(x+2)\neq 0$, à : \begin{eqnarray} 2-x=-x^{2}-x+6&\Leftrightarrow&x^{2}-4=0\nonumber \\ &\Leftrightarrow&(x-2)(x+2)=0\nonumber \\ &\Leftrightarrow&x=2\quad\text{ou}\quad x=-2\nonumber \end{eqnarray}

Or -2 fait partie des valeurs interdites (conditions de définition de l'équation). Donc seule la solution 2 convient. $$S=\{2\}$$

11) $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x-2}=0$

 

Comme l'inconnue $x$ figure au dénominateur, on commence par préciser les conditions de définition de l'équation : $x\neq -1\;,\ x\neq 1\;,\ x\neq -2$ et $x\neq 2.$ Dans ce cas, en prenant pour dénominateur commun $(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)$, elle équivaut à : $$\dfrac{2x(2x^{2}-5)}{(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)}=0$$

Le numérateur s'annule pour $x=0\;,\ x=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$ et $x=-\sqrt{\dfrac{5}{2}}$ $$S=\left\{0\;,\ \sqrt{\dfrac{5}{2}}\;,\ -\sqrt{\dfrac{5}{2}}\right\}$$

12) $\dfrac{x-1}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{x-4}{x-5}-\dfrac{x-5}{x-6}$

 

L'équation est définie pour $x\neq 2\;,\ x\neq 3\;,\ x\neq 5$ et $x\neq 6.$ Elle s'écrit alors, après réduction au même dénominateur dans les deux membres : $$\dfrac{-1}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{-1}{(x-5)(x-6)}$$

soit en appliquant la règle d'égalité de deux fractions de même numérateur, à : $$(x-2)(x-3)=(x-5)(x-6)\ \Leftrightarrow\ 6x-24=0$$

L'unique solution est $x=4$ (qui ne fait pas partie des valeurs "interdites". $$S=\{4\}$$

1) $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-3}{4}-6x\leq -5x$ 

 

L'inéquation s'écrit, après réduction au même dénominateur (4) au premier membre : $$\dfrac{-23x+3}{4}\leq -5x$$ soit, en multipliant les deux membres par 4 qui est positif et en transposant : $-3x+3\leq 0.$ $$S= [1\;;\ +\infty[$$

2) $3-\dfrac{x-2}{2}+\dfrac{2}{3}>3x$ 

 

L'inéquation s'écrit, après réduction au même dénominateur (6) au premier membre : $$\dfrac{-3x+28}{6}> 3x$$ soit, en multipliant les deux membres par 6 qui est positif et en transposant : $7(4-3x)>0$ $$S=\left]-\infty\;;\ \dfrac{4}{3}\right[$$

3) $x-\dfrac{3}{2}-x(x+3)\geq 1-x^{2}$

 

L'inéquation s'écrit, après réduction au même dénominateur (2) au premier membre : $$-\dfrac{2x^{2}+4x+3}{6}\geq 1-x^{2}$$ soit, en multipliant les deux membres par 6 qui est positif et en transposant : $-(4x+5)\geq 0$ $$S=\left]-\infty\;;\ -\dfrac{5}{4}\right[$$

4) $\dfrac{4-2x}{x+3}\leq 0$ 

 

On fait un tableau de signes du premier membre :

$$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty& &-3&  &2& &+\infty \\ \hline 4-2x& &+&|&+&|&-& \\ \hline x+3& &-&|&+&|&+& \\ \hline Q& &-&|&+&|&-& \\ \hline\end{array}$$

$$S=]-\infty\;;\ -3]\cup[2\;;\ +\infty[$$

5) $\dfrac{2x-1}{x-3}>3$ 

 

On transpose, on réduit au même dénominateur, puis on fait un tableau de signes du premier membre : \begin{eqnarray} \dfrac{2x-1}{x-3}>3&\Leftrightarrow&\dfrac{2x-1}{x-3}-3>0\nonumber \\ &\Leftrightarrow&\dfrac{-x+8}{x-3}>0\nonumber \end{eqnarray}

$$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty& &3&  &8& &+\infty \\ \hline -x+8& &+&|&+&|&-& \\ \hline x-3& &-&|&+&|&+& \\ \hline Q& &-&||&+&|&-& \\ \hline\end{array}$$

$$S=]-\infty\;;\ 3[\cup]8\;;\ +\infty[$$

6) $\dfrac{3x+1}{x+1}\geq\dfrac{1}{2}$ 

 

Même méthode qu'au 5) : \begin{eqnarray} \dfrac{3x+1}{x+1}\geq\dfrac{1}{2}&\Leftrightarrow&\dfrac{3x+1}{x+1}-\dfrac{1}{2}\geq 0\nonumber \\ &\Leftrightarrow&\dfrac{5x+1}{2(x+1)}\geq 0\nonumber \end{eqnarray}

$$\begin{array}{|c|lcccccr|}\hline x&-\infty& &-1/5&  &-1& &+\infty \\ \hline 5x+1& &-&|&+&|&+& \\ \hline x+1& &-&|&-&|&+& \\ \hline Q& &+&||&-&|&+& \\ \hline\end{array}$$

$$S=\left]-\infty\;;\ -\dfrac{1}{5}\right[\cup]-1\;;\ +\infty[$$

7) $\dfrac{(x^{2}-1)(x-4)}{2x-1}>0$

 

L'inéquation est définie si et seulement si $x\neq\dfrac{1}{2}.$

 

On fait un tableau de signes de l'expression $Q$ au premier membre en remarquant que : $$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$$ Dans le tableau ci-dessous, N désigne le numérateur de cette expression :

$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|}\hline x&-\infty& &-1&  &1/2& &1& &4& &+\infty \\ \hline x-1& &-&|&-&|&-&|&+&|&+& \\ \hline x+1& &-&|&+&|&+&|&+&|&+& \\ \hline x^{2}-1& &+&|&-&|&+&|&+&|&+& \\ \hline x-4& &-&|&-&|&-&|&-&|&+& \\ \hline N& &-&|&+&|&-&|&-&|&+& \\ \hline 2x-1& &-&|&-&|&+&|&+&|&+& \\ \hline Q& &+&|&-&||&-&|&-&|&+& \\ \hline\end{array}$$

$$S=]-\infty\;;\ -1[\cup]4\;;\ +\infty[$$

8) $\dfrac{x}{x-2}-2\geq\dfrac{-x+3}{x+1}$ 

 

L'inéquation est définie si et seulement si $x\neq 2$ et $x\neq -1.$ Elle équivaut, après transposition au second membre et réduction au même dénominateur à : $$\dfrac{2(x-5)}{(x+1)(2-x)}\geq 0$$

$$\begin{array}{|c|lcccccccr|}\hline x&-\infty& &-1&  &2& &5& &+\infty \\ \hline N=2(x-5)& &-&|&-&|&-&|&+& \\ \hline x+1& &-&|&+&|&+&|&+& \\ \hline 2-x& &+&|&+&|&-&|&-& \\ \hline D=(x+1)(2-x)& &-&|&+&|&-&|&-& \\ \hline Q=N/D& &+&||&-&||&+&|&-& \\ \hline\end{array}$$

$$S=]-\infty\;;\ -1[\cup]2\;;\ 5[$$

9) $\dfrac{7x-x^{2}}{(x-1)(x^{2}+4x+4)}\leq 0$ 

 

On fait un tableau de signes de l'expression au premier membre. Son numérateur se factorise en $x(7-x)$ et son dénominateur en $(x-1)(x+2)^{2}.$

$$\begin{array}{|c|lcccccccccr|}\hline x&-\infty& &-2&  &0& &1& &7& &+\infty \\ \hline x& &-&|&-&|&+&|&+&|&+& \\ \hline 7-x& &+&|&+&|&+&|&+&|&-& \\ \hline N& &-&|&-&|&+&|&+&|&-& \\ \hline x-1& &-&|&-&|&-&|&+&|&+& \\ \hline (x+2)^{2}& &+&|&+&|&+&|&+&|&+& \\ \hline D& &-&|&-&|&-&|&+&|&+& \\ \hline Q& &+&||&+&||&-&||&+&|&-& \\ \hline\end{array}$$

$$S=[0\;;\ 1[\cup[7\;;\ +\infty[$$