Solutions des exercices : révision - activités numériques collège - 2nd s

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1

a) appartient àNZDQR18nonouiouiouioui1.25nonnonouiouioui7nonnonnonnonoui2πnonnonnonnonoui0.666¯6nonnonnonouioui0ouiouiouiouioui
b) appartient àNZDQR28/25nonnonouiouioui3.1416/πnonnonnonnonoui901/53nonnonnonouioui676/2(=13)ouiouiouiouioui53/27(=5/3)nonnonnonouioui
c) appartient àNZDQR1.234567891011nonnonnonnonoui246.81012nonnonnonnonoui
d) appartient àNZDQR4.7103nonouiouiouioui3/2nonnonnonnonoui1.11111111/9nonnonnonouioui
e) appartient àNZDQR1357.¯91357nonnonnonouioui21/560nonnonouiouioui2π/5nonnonnonnonoui(7+4)(75)/3ouiouiouiouioui(π+3)/(π+1)nonnonnonnonoui

Exercice 2

a et b sont deux entiers naturels. Montrer les propriétés suivantes :
 
1) Si a et b sont pairs, ils sont par exemple de la forme : a=2p et b=2q, p et q étant des entiers naturels, d'où a+b=2p+2q=2(p+q), donc a+b est bien pair.
 
2) Si a et b sont impairs, ils sont par exemple de la forme : a=2p+1 et b=2q+1, p et q étant des entiers naturels,
 
d'où a+b=2p+1+2q+1=2(p+q+1), donc a+b est bien pair.
 
3) Si a est pair et b impair, on a : a=2p et b=2q+1, p et q étant des entiers naturels, d'où : a+b=2p+2q+1=2(p+q)+1, donc a+b est bien impair.alors a+b est impair.
 
4) Si a et b sont pairs, on a : a=2p et b=2q, p et q étant des entiers naturels, d'où : ab=2p×2q=4pq=2(2pq), donc ab est bien pair.
 
5) Si a et b sont impairs, on a : a=2p+1 et b=2q+1, p et q étant des entiers naturels, d'où : ab=(2p+1)×(2q+1)=4pq+2p+2q+1=2(2pq+p+q)+1, donc ab est bien impair.
 
6) Si a est pair et b impair, on a : a=2p et b=2q+1, p et q étant des entiers naturels, d'où : ab=2p×(2q+1)=2(2pq+p), donc ab est bien pair.
 
7) Si a et b sont deux nombres consécutifs et si on note le plus petit d'entre eux n, alors l'autre est n+1. Deux cas (et deux seulement) sont possibles :
 
a) n est pair : alors n est de la forme n=2p, d'où n+1=2p+1, et on conclut que le premier est pair et le second impair ;
 
b) n est impair : alors n est de la forme n=2p+1
 
d'où n+1=2p+2=2(p+1), et on conclut que le premier est impair et le second pair.
 
Dans tous les cas, l'un de ces nombres est pair et l'autre impair.

Exercice 3(*)

a étant un entier naturel,
 
1) Si a est pair, a est de la forme 2p, où p est un entier naturel, d'où a2=4p2=2(2p2) est bien un nombre pair car 2p2 est aussi un entier naturel.
 
2) Si a est impair, a est de la forme 2p+1, où p est un entier naturel, d'où a2=(2p+1)2=4p24p+1=2(2p2+2p)+1 est bien un nombre pair car (2p2+2p) est aussi un entier naturel.
 
3) Si a2 est pair, alors a ne peut pas être pair, sinon a2 serait pair d'après 1), ce qui constitue une contradiction. De même, si a2 est impair, alors a ne peut pas être impair, sinon a2 serait impair d'après 2), ce qui constitue encore une contradiction..
 
4) a) L'égalité 2=pq entraîne par élévation au carré que 2=p2q2, soit d'après la règle d'égalité de deux quotients, p2=2q2. On en déduit que p2 est pair, puisqu'il est le double de l'entier naturel q2.
 
b) D'après 3), puisque p2 est pair, alors nécessairement p est pair.
 
c) Puisque p est pair, il est évidemment de la forme p=2p, où p est un autre entier naturel. On a alors, d'après 4)a) et b) : p2=(2p)2=4p2=2q2, d'où en simplifiant par 2 : q2=2p2.
 
d) On en déduit comme précédemment que q2 est pair, donc que q est pair.
 
e) Puisque la fraction pq est irréductible par hypothèse, les réponses aux questions b) et d) constituent une contradiction, car elles entraînent que p et q sont tous deux pairs, donc que la fraction pq est simplifiable par 2. Il résulte de tout cela que l'hypothèse "2 est un nombre rationnel" mène à une contradiction et par conséquent on conclut que 2 est un nombre irrationnel.

Exercice 4

On trouve en appliquant les règles de distributivité et en réduisant les termes semblables : 
 
A=5x2+28x10B=17x+8
 
C=x25x+24D=21x21
 
E=x3x25x+6F=x3+6x2+11x+6
 
Pour F, on peut d'abord développer les deux premiers facteurs avant de multiplier par le dernier.

Exercice 5 

(1) : bx+by2ay
 
(2) : x2y+xy2+axybxy+axby
 
(3) : 30x+21y21a
 
(4) : tz

Exercice 6 

a) A=1(x23x+x3)=1(x22x3)=x2+2x+4
 
B=5(x22x+1)=x2+2x+4
 
A et B sont identiques à la même expression. On en déduit que A=B.
 
b) Formons la différence (x+43x2)(1+2x6). En réduisant au même dénominateur dans chaque parenthèse, on voit qu'elle est égale à : 
 
(2(x+4)3x6)(6+2x6), soit à : 2x3x+868x6=x+88+x6=0
 
Cette différence étant nulle, on en conclut que les deux membres sont égaux.

Exercice 7

Un nombre est divisible : 
 
a) par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. 
 
b) par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
 
c) par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. 
 
d) par 9 si la somme de ses chiffres est multiple de 9 
 
e) par 10 si son dernier chiffre est 0.

Exercice 8

1) a) Dénominateur commun : 6. On obtient après calcul et simplification : 2. 
 
b) Dénominateur commun : 4. On obtient après calcul et simplification : 74. 
 
c) Dénominateur commun : 4. On obtient après calcul et simplification : 34. 
 
2) a) Dénominateur commun : 15. On obtient après calcul et simplification : 25. 
 
b) Dénominateur commun : 12. On obtient après calcul et simplification : 712. 
 
c) Dénominateur commun : 9. On obtient après calcul et simplification : 209. 

Exercice 9

a) 5 b) 73 c) 37 d) 421 e) 16 f) 112 g) 48 h) 1285 i) 292556 

Exercice 10

a) 4×(16)=13 b) 34×43=1 c) 2×(14)=12 
 
d) 821×74=23 e) 6×(23)(12)=2 

Exercice 11

On obtient en effectuant les calculs dans les parenthèses : 9+(34)÷116. La division étant une opération prioritaire sur l'addition, on calcule d'abord (34)÷116=(34)×16=12. Puis on effectue 9+(12) pour trouver finalement 21. Le lecteur pourra vérifier ce calcul à la machine

Exercice 12

p=116;q=154
 
r=2598×2235=5×52×7×7×2×115×7=55343
 
s=34×835=3×25×7=635
 
t=727×4936=9×87×7×79×4=14
 
u=32×275×14=8140
 
v=64847;w=55126
 
x=2343=12
 
y=(5310)(1710)=5317
 
α=3×4×5+4×5+5+12×3×4×5=2×432×3×4×5=4360
 
β=1+12+1(52)=1+12+25=1+1(125)=1+512=1712
 
γ=((12)(32)×(56)(15)×95)÷(27×(67)(15))=(13×(256)×(95))÷(27×34)=52÷314=52×143=353
 
δ=(715)(1715)×(1112)(2912)×(13)(15)=717×(1129)×(53)=3851479
 
ϵ=23+1(43)431(23)=23+344332=1712×3432=17162416=716

Exercice 13

Écrire l'expression algébrique qui correspond à chacune des phrases suivantes :
 
1) x+xy 2) (x3)2 3) x23y2 4) (xy)(3+3y)

Exercice 14

On trouve en développant les carrés : A=2(a2+b2)etB=4ab

Exercice 15 

On obtient en développant les carrés du membre de gauche :
 
(ax+by)2+(aybx)2=a2x2+2abxy+b2y2+a2y22abxy+b2x2=x2(a2+b2)+y2(a2+b2)=(a2+b2)(x2+y2)

Exercice 16

 (a+1a)2=a2+1a2+2 (a1a)2=a2+1a22
 
 (ab+ba)2=a2b2+b2a2+2

Exercice 17

 a+1b=ab+1b a+ca=ab+cb 1a1b=baab ab+ba=a2+b2ab

Exercice 18

 1a+1b1c=bc+caababc ab+bc+ca=a2c+ab2+bc2abc

Exercice 19

a) (2x+1)(5x+3)+(2x+1)(x+2)(2x+1)(2x1)
 
Le facteur commun apparent est (2x+1). On a alors :
 
(2x+1)[(5x+3)+(x+2)(2x1)]=(2x+1)(4x+6)=2(2x+1)(2x+3)
 
b) (3x+2)(x3)+(x3)2+x29
 
Le facteur commun apparent est (x3). On a alors :
 
(3x+2)(x3)+(x3)2+x29=(x3)[(3x+2)+(x3)+(x+3)]=(x3)(5x+2)
 
c) (2x+3)(x+7)(2x+3)2+6x+9
 
(2x+3)(x+7)(2x+3)2+6x+9=(2x+3)(x+7)(2x+3)2+3(2x+3)
 
Il apparait alors que (2x+3) est un facteur commun. L'expression s'écrit alors :
 
(2x+3)[(x+7)(2x+3)+3=(2x+3)(x+7)
 
d) (x5)2+x225(5x)(2x+1)
 
Le facteur commun apparent est (x5) car l'expression peut s'écrire : (x5)2+(x5)(x+5)(5x)(2x+1)
On obtient alors en mettant en facteur ce terme : 
 
(x5)[(x5)+(x+5)+(2x+1)], soit finalement : (x5)(4x+1).
 
e) (2x3)2+(32x)(x1)6+4x
 
L'expression s'écrit : (2x3)2+(32x)(x1)2(2x3)=(2x3)[(2x3)(x1)2]=(2x3)(x4)
 
f) x2+y2+2xy4a2+12ab9b2
 
L'expression est en fait une différence de carrés car elle s'écrit, en regroupant les trois premiers termes, puis les trois derniers : (x+y)2(2a3b)2. 
 
Elle se factorise donc en (x+y+2a3b)(x+y2a+3b).
 
g) ab(x2+y2)+xy(a2+b2)
 
Développons d'abord, puis regroupons certains termes : abx2+aby2+xya2+xyb2=abx2+xyb2+xya2+aby2=bx(ax+by)+ay(ax+by)
 
On obtient finalement : (ax+by)(bx+ay)
 
h) a22byy2+x22axb2
 
On réorganise les termes de façon à faire apparaitre des carrés :
 
a22ax+x2(b2+2by+y2)=(ax)2(b+y)2=(ax+b+y)(axby)
 
i) 9x2y33x4y26x3y3+18xy4
 
A première vue, on peut mettre 3xy2 en facteur dans chaque terme pour obtenir : 3xy2(3xyx32x2y+6y2)
On réorganise ensuite les termes dans la parenthèse : 3xy2(3xy+6y22x2yx3)
Puis on factorise dans la parenthèse : 3xy2[3x(x+2y)x2(x+2y)]
On factorise alors par x(x+2y) pour obtenir : 3x2y2(x+2y)(3x)
j) (5x+y3)2(2+5x)2
 
On a une différence de carrés qui se factorise en : (5x+y325x)(5x+y3+2+5x)=(y5)(10x+y1)
 
k) x3+2x2+10+5x
 
On regroupe les deux premiers termes, puis les deux derniers : x2(x+2)+5(2+x)=(x+2)(x2+5)
l) 16x2+8xy4xz2yz
 
On regroupe les deux premiers termes, puis les deux derniers : 8x(2x+y)2z(2x+y)=2(2x+y)(4xz)
m) (xy+1)2(x+y)2  (On trouvera un produit de 4 facteurs).
 
On factorise cette différence de carrés en (xy+1xy)(xy+1+x+y)
 
Puis on réorganise les termes dans chaque parenthèse : (xyx+1y)(xy+x+1+y)
Et on factorise en groupant les termes deux par deux : [x(y1)(y1)][x(y+1)+y+1]=(y1)(x1)(y+1)(x+1) C'est bien un produit de quatre facteurs.
 
n) aba+b1
 
Cette expression est égale à : a(b1)+(b1)=(b1)(a+1)
 
o) a2xy+aby2+b2xy+abx2
 
Cette expression s'écrit en regroupant le premier et le troisième terme, puis le deuxième et le quatrième terme :
 
a2xy+abx2+b2xy+aby2=ax(ay+bx)+by(bx+ay)=(bx+ay)(ax+by)
 
p) x4+x34x24x
 
On factorise par x2 les deux premiers termes et par 4x les deux derniers pour obtenir : x4+x34x24x=x2(x+1)4x(x+1)
On peut alors factoriser par x(x+1) pour avoir finalement : x4+x34x24x=x(x+1)(x4)
q) a2b21+a2b2
 
On regroupe le premier et le quatrième terme, puis le deuxième et le troisième :
 
a2b21+a2b2=a2b2b2+a21=b2(a21)+a21=(a21)(b2+1)=(a1)(a+1)(b2+1)
 
r) y2x2+2x1
 
On reconnait une identité remarquable dans les trois derniers termes, puis une différence de carrés : y2x2+2x1=y2(x1)2=(yx+1)(y+x1)
s) a(xy)+x(b+cy)y(b+cx)
 
On développe puis on simplifie : a(xy)+x(b+cy)y(b+cx)=axay+bx+cxxybycy+xy 
On simplifie alors le terme xy puis on regroupe les termes "en a", puis les termes "en b", puis les termes "en c" pour obtenir :
 
a(xy)+x(b+cy)y(b+cx)=a(xy)+b(xy)+c(xy)=(xy)(a+b+c)

Exercice 20

F1=a2+2ab+b2c2a2+2ac+c2b2=(a+b)2c2(a+c)2b2=(a+bc)(a+b+c)(a+cb)(a+b+c)=a+bcab+c
 
valable pour des réels a, b, c tels que a+bb et a+b+c0
 
F2=a2(bc)2a22ab+b2c2=(ab+c)(a+bc)(ab)2c2=(ab+c)(a+bc)(ab+c)(abc)=a+bcabc
 
valable pour des réels a, b, c tels que a+cb et ab+c0 et abc0
 
F3=25x220x+425x24=(5x2)2(5x2)(5x+2)=(5x2)(5x+2)
 
valable pour x25 et x25
 
F4=xxyyx+yyxy+xx+y=x2y2(xy)(x+y)x2+y2(xy)(x+y)=1
 
(Calcul valable pour xy et xy, x0 et y0)
 
F5=241+11+11x2. On a successivement :
 
1x2=22x
 
1+11x2=1+22x=x4x2
 
11+11x2=x2x4
 
1+11+11x2=1+x2x4=2x6x4
 
42x6x4=2(x4)x3 et enfin 
 
F5=22(x4)x3=2x3

Exercice 21

1) 10x+333x15=x2 
 
L'équation équivaut, après réduction au même dénominateur, à : 
 
41x+1815=x2, soit : 41x+18=15(x2)  x=2413 S={2413}
2) x+x2+x3+x4=0 
 
L'équation équivaut à : x(1+12+13+14)=0. 
 
La parenthèse n'étant visiblement pas nulle, l'unique solution est x=0. S={0}
 
3) a35a15a14=0 
 
L'équation équivaut, après réduction au même dénominateur, à : 2755a60=0 S={2755}
4) 4(2x79)35(x2)33+1327=3x5324+217108 
 
La fraction 35(x2)33 se simplifie en 195x9 et la fraction 3x5324 se simplifie en 3x1112.
 
Le dénominateur commun à toutes les fractions de l'équation est alors 108, et elle s'écrit, après réduction au même dénominateur : 4(39x128)108=27x+118108 S={21043}
5) (3x4)2=x2+2x+1  
 
L'équation s'écrit, en reconnaissant dans le second membre une identité remarquable : (3x4)2=(x+1)2
Elle équivaut donc à (factorisation d'une différence de carrés) : (3x4x1)(3x4+x+1)=0(2x5)(4x3)=0x=52oux=34
S={52; 34}
6) (x+1)(x3)=2x218
 
L'équation équivaut, après factorisation du second membre et factorisation : (x3)(x+1)2(x3)(x+3)=0(x3)(x+12x6)=0(x3)(x5)=0
C'est une équation-produit qui équivaut à l'annulation de l'un ou l'autre des deux facteurs : x3=0  ou  x5=0  x=3  ou  x=5 S={3; 5}
7) 2x3+x22x1=0 
 
Cela ressemble à une équation du troisième degré qu'on sait pas résoudre a priori au niveau Seconde, mais on peut chercher à factoriser le premier membre en groupant les termes deux par deux. L'équation s'écrit alors : x2(2x+1)(2x+1)=0(2x+1)(x21)=0(2x+1)(x+1)(x1)=0
On a à nouveau une équation-produit qui équivaut à : 2x+1=0  ou  x+1=0  ou  x1=0 S={1; 112} 
8) 9a=8a+1+44a1 
 
On a affaire à une équation dont l'inconnue a apparait au dénominateur. On commence par pose les conditions de définition de l'équation qui traduisent la non annulation des dénominateurs : a0,a1, a14
Cela étant, l'équation équivaut, après réduction au même dénominateur des termes du second membre, à : 9a=36a4(a+1)(4a1), soit en appliquant la règle d'égalité de deux quotients (produit en croix) : 9(a+1)(4a1)=a(36a4)  31a9=0 S={931}
On notera que cette valeur de a est bien différente des "valeurs interdites".
9) 1x21x+2=4x24 
 
C'est une équation où l'inconnue intervient au dénominateur. On écrit d'abord les conditions de définition : x2, x2 et x240, soit (x2)(x+2)0. En résumé, on doit avoir : x2,x2 Dans ces conditions, l'équation équivaut, après réduction au même dénominateur du premier membre : 4x24=4x24. Elle est donc vérifiée pour tout x réel différent de 2 et de -2. S=R{2; 2}
10) xx+2x1x=x2x+6x(x+2)
 
L'équation est définie si et seulement si x2 et x0. Dans ce cas, elle équivaut à : 2xx(x+2)=x2x+6x(x+2)
soit en multipliant les deux membres par x(x+2)0, à : 2x=x2x+6x24=0(x2)(x+2)=0x=2oux=2
Or -2 fait partie des valeurs interdites (conditions de définition de l'équation). Donc seule la solution 2 convient. S={2}
11) 1x+1+1x1+1x+2+1x2=0
 
Comme l'inconnue x figure au dénominateur, on commence par préciser les conditions de définition de l'équation : x1, x1, x2 et x2. Dans ce cas, en prenant pour dénominateur commun (x+1)(x1)(x+2)(x2), elle équivaut à : 2x(2x25)(x+1)(x1)(x+2)(x2)=0
Le numérateur s'annule pour x=0, x=52 et x=52 S={0, 52, 52}
12) x1x2x2x3=x4x5x5x6
 
L'équation est définie pour x2, x3, x5 et x6. Elle s'écrit alors, après réduction au même dénominateur dans les deux membres : 1(x2)(x3)=1(x5)(x6)
soit en appliquant la règle d'égalité de deux fractions de même numérateur, à : (x2)(x3)=(x5)(x6)  6x24=0
L'unique solution est x=4 (qui ne fait pas partie des valeurs "interdites". S={4}

Exercice 22

1) x2x346x5x 
 
L'inéquation s'écrit, après réduction au même dénominateur (4) au premier membre : 23x+345x soit, en multipliant les deux membres par 4 qui est positif et en transposant : 3x+30. S=[1; +[
2) 3x22+23>3x 
 
L'inéquation s'écrit, après réduction au même dénominateur (6) au premier membre : 3x+286>3x soit, en multipliant les deux membres par 6 qui est positif et en transposant : 7(43x)>0 S=]; 43[
3) x32x(x+3)1x2
 
L'inéquation s'écrit, après réduction au même dénominateur (2) au premier membre : 2x2+4x+361x2 soit, en multipliant les deux membres par 6 qui est positif et en transposant : (4x+5)0 S=]; 54[
4) 42xx+30 
 
On fait un tableau de signes du premier membre :
x32+42x+|+|x+3|+|+Q|+|
S=]; 3][2; +[
5) 2x1x3>3 
 
On transpose, on réduit au même dénominateur, puis on fait un tableau de signes du premier membre : 2x1x3>32x1x33>0x+8x3>0
x38+x+8+|+|x3|+|+Q||+|
S=]; 3[]8; +[
6) 3x+1x+112 
 
Même méthode qu'au 5) : 3x+1x+1123x+1x+11205x+12(x+1)0
x1/51+5x+1|+|+x+1||+Q+|||+
S=]; 15[]1; +[
7) (x21)(x4)2x1>0
 
L'inéquation est définie si et seulement si x12.
 
On fait un tableau de signes de l'expression Q au premier membre en remarquant que : x21=(x1)(x+1) Dans le tableau ci-dessous, N désigne le numérateur de cette expression :
x11/214+x1|||+|+x+1|+|+|+|+x21+||+|+|+x4||||+N|+|||+2x1||+|+|+Q+|||||+
S=]; 1[]4; +[
8) xx22x+3x+1 
 
L'inéquation est définie si et seulement si x2 et x1. Elle équivaut, après transposition au second membre et réduction au même dénominateur à : 2(x5)(x+1)(2x)0
x125+N=2(x5)|||+x+1|+|+|+2x+|+||D=(x+1)(2x)|+||Q=N/D+||||+|
S=]; 1[]2; 5[
9) 7xx2(x1)(x2+4x+4)0 
 
On fait un tableau de signes de l'expression au premier membre. Son numérateur se factorise en x(7x) et son dénominateur en (x1)(x+2)2.
x2017+x||+|+|+7x+|+|+|+|N||+|+|x1|||+|+(x+2)2+|+|+|+|+D|||+|+Q+||+||||+|
S=[0; 1[[7; +[
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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