Systèmes d'équations et d'inéquations - 1er L
Classe:
Première
I. Systèmes de trois équations linéaires à trois inconnues
1. Exemple
Le système $\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\\2x-y+2z&=&2\\-x+y+z&=&-3\end{array}\right.$ est formé de trois équations.
Chacune d'elle contient trois inconnues $x$ ; $y$ et $z$ avec des exposants tous égaux à $1.$
On dit qu'on a un système de trois équations linéaires à trois inconnues $x$ ; $y$ et $z.$
Résoudre un tel système c'est trouver tous les triplets $(x\;,\ y\;,\ z)$ de nombres réels qui vérifient les trois équations du système.
Question orale :
Qui peut résoudre ce système ?
Réponse orale :
Nous allons voir une méthode permettant de résoudre un tel système : la méthode du pivot de Gauss.
2. Résolution avec la méthode du pivot de Gauss
a. Exemple 1
Résolvons le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss
$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\\2x-y+2z&=&2\\-x+y+z&=&-3\end{array}\right.$
Pour résoudre un tel système, on commence par désigner les $3$ équations respectivement par $L_{1}$ ; $L_{2}$ et $L_{3}$
$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\2x-y+2z&=&2\qquad\left(L_{2}\right)\\-x+y+z&=&-3\qquad\left(L_{3}\right)\end{array}\right.$
$1^{er}$ étape :
On fixe l'équation $\left(L_{1}\right)$ puis on élimine l'inconnue $x$ dans $\left(L_{2}\right)$ en considérant le sous-système $-2\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\2x-y+2z&=&2\qquad\left(L_{2}\right)\end{array}\right.$
$$\text{d'où }\left\lbrace\begin{array}{lcl}-2x-20y+6z&=&-10\\2x-y+2z&=&2\end{array}\right.$$
ainsi on a : $-21y+8z=-8\quad\left(L'_{2}\right)$
$2^{ième}$ étape :
On fixe l'équation $\left(L_{1}\right)$ puis on élimine l'inconnue $x$ dans $\left(L_{3}\right)$ en considérant le sous-système $\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\-x+y+z&=&-3\qquad\left(L_{3}\right)\end{array}\right.$
d'où ainsi on a : $11y-2z=2\quad\left(L'_{3}\right)$
Ainsi, on obtient le système équivalent suivant : $\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\-21y+8z&=&-8\qquad\left(L'_{2}\right)\\11y-2z&=&-3\qquad\left(L'_{3}\right)\end{array}\right.$
$3^{ième}$ étape :
On fixe $\left(L'_{2}\right)$ puis on élimine $y$ dans $\left(L'_{3}\right)$ en considérant le sous-système $\left\lbrace\begin{array}{lcl}-21y+8z&=&-8\qquad\left(L'_{2}\right)\\11y-2z&=&2\qquad\left(L'_{3}\right)\end{array}\right.$
Ainsi on a $46z=-46\left(L"_{3}\right)$
On obtient le système équivalent suivant dit système triangulaire
$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\-21y+8z&=&-8\qquad\left(L'_{2}\right)\\46z&=&-46\qquad\left(L"_{3}\right)\end{array}\right.$
$4^{ième}$ étape :
Pour terminer la résolution, on détermine $z$ dans $\left(L"_{3}\right)$, puis on remplace $z$ par cette valeur dans $\left(L'_{2}\right)$, on obtient la valeur de $y$ puis on obtient celle de $x$, en substituant à $y$ et $z$ par leurs valeurs respectives dans $\left(L'_{1}\right).$
Ainsi on a : $S=\left\lbrace(2\ ;\ 0\ ;\ -1)\right\rbrace$
b. Exemple 2
Résolvons le système suivant par la méthode du pivot de Gauss
$\left\lbrace\begin{array}{lcl}x-5y-7z&=&3\\5x+3y+z&=&3\\3x+y-2z&=&-1\end{array}\right.$
c. Exercice d'application
Résoudre le système suivant par la méthode du pivot de Gauss
$\left\lbrace\begin{array}{lcl}2x+y+z&=&7\\-x+4y-2z&=&1\\3x+2y-4z&=&-5\end{array}\right.$
II. Systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues
1. Inéquations linéaires à deux inconnues
a. Exemple
$2x+y-5>0$ est une inéquation linéaire à deux inconnues $x$ et $y.$
b. Résolution graphique
Pour résoudre graphiquement l'inéquation $2x+y-5>0$, on représente la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $2x+y-5=0$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&0&1\\&& \\\hline y&5&3\\ &&\\\hline \end{array}$$
Ensuite, on choisit un point qui n'est pas sur $(\mathcal{D})$ et dont ses coordonnées sont connues.
Par exemple : le point $O\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}$ puis on remplace dans l'inéquation $x$ et $y$ respectivement par les coordonnées de $O.$
Ainsi, on a $2(0)+0-5>0$ c'est à dire $-5>0$ faux donc les coordonnées de $O$ ne vérifie pas l'inéquation.
On barre donc le demi-plan de frontière $(\mathcal{D})$ contenant $O.$
2. Systèmes de deux inéquations à deux inconnues
a. Exemple
$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x-2y+1&\geq&0\\2x+y-3&<&0 \end{array}\right.$ est un système de deux inéquations linéaires à deux inconnues $x$ et $y$
b. Résolution graphique
Résolvons graphiquement le système $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x-2y+1&\geq&0\\2x+y-3&<&0 \end{array}\right.$
On commence par représenter graphiquement les droites $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ d'équation $x-2y+1=0$ et $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ d'équation $2x+y-3=0$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,,\ \vec{j}).$
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&-1&1\\&& \\\hline y&0&1\\ &&\\\hline \end{array}\qquad\qquad\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&0&1\\ &&\\\hline y&3&1\\ &&\\\hline \end{array}$$
Puis on choisit un point qui n'est ni sur $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$, ni sur $\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ et dont les coordonnées sont connues.
Par exemple le point $O\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}.$
En remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $O$ dans l'inéquation 1, on a : $0-2(0)+1\geq0$ c'est à dire $1\geq 0$ vrai donc les cordonnées de $0$ vérifie l'inéquation 1.
On barre donc le demi-plan de frontière $\left(\mathcal{D}_{1}\right)$ ne contenant pas $O.$
En remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de $O$, dans l'inéquation 2, on a : $2(0)+0-3<0$ c'est à dire $-3<0$ vrai donc les coordonnées de $0$ vérifie l'inéquation 2.
On barre donc le demi-plan de frontière $\left(\mathcal{D}_{2}\right)$ ne contenant pas $O.$
N.B :
le 3. Sera donné comme exercice à faire
3. Systèmes de trois inéquations à deux inconnues
a. Exemple
$\left\lbrace\begin{array}{lcl} -x+y+2&\geq&0\\2x-y-4&<&0\\x-2y-1&>&0 \end{array}\right.$ est un système de trois inéquations à deux inconnues $x$ et $y.$
b. Résolution graphique
Exercice :
Résoudre graphiquement le système$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} -x+y+2&\geq&0\\2x-y-4&<&0\\x-2y-1&>&0 \end{array}\right.$$
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