Systèmes d'équations et d'inéquations - 1er L

Classe: 
Première
 

I. Systèmes de trois équations linéaires à trois inconnues

1. Exemple

Le système {x+10y3z=52xy+2z=2x+y+z=3 est formé de trois équations. 
 
Chacune d'elle contient trois inconnues x ; y et z avec des exposants tous égaux à 1. 
 
On dit qu'on a un système de trois équations linéaires à trois inconnues x ; y et z.
 
Résoudre un tel système c'est trouver tous les triplets (x, y, z) de nombres réels qui vérifient les trois équations du système.
 
Question orale : 
 
Qui peut résoudre ce système ?
 
Réponse orale : 
 
Nous allons voir une méthode permettant de résoudre un tel système : la méthode du pivot de Gauss.

2. Résolution avec la méthode du pivot de Gauss

a. Exemple 1

Résolvons le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss
 
{x+10y3z=52xy+2z=2x+y+z=3
 
Pour résoudre un tel système, on commence par désigner les 3 équations respectivement par L1 ; L2 et L3
 
{x+10y3z=5(L1)2xy+2z=2(L2)x+y+z=3(L3)
 
1er étape : 
 
On fixe l'équation (L1) puis on élimine l'inconnue x dans (L2) en considérant le sous-système 2{x+10y3z=5(L1)2xy+2z=2(L2)
d'où {2x20y+6z=102xy+2z=2
 
ainsi on a : 21y+8z=8(L2)
 
2^{ième} étape : 
 
On fixe l'équation \left(L_{1}\right) puis on élimine l'inconnue x dans \left(L_{3}\right) en considérant le sous-système \left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\-x+y+z&=&-3\qquad\left(L_{3}\right)\end{array}\right. 
 
d'où ainsi on a : 11y-2z=2\quad\left(L'_{3}\right)
 
Ainsi, on obtient le système équivalent suivant : \left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\-21y+8z&=&-8\qquad\left(L'_{2}\right)\\11y-2z&=&-3\qquad\left(L'_{3}\right)\end{array}\right.
 
3^{ième} étape : 
 
On fixe \left(L'_{2}\right) puis on élimine y dans \left(L'_{3}\right) en considérant le sous-système \left\lbrace\begin{array}{lcl}-21y+8z&=&-8\qquad\left(L'_{2}\right)\\11y-2z&=&2\qquad\left(L'_{3}\right)\end{array}\right.
 
Ainsi on a 46z=-46\left(L"_{3}\right)
 
On obtient le système équivalent suivant dit système triangulaire
 
\left\lbrace\begin{array}{lcl}x+10y-3z&=&5\qquad\left(L_{1}\right)\\-21y+8z&=&-8\qquad\left(L'_{2}\right)\\46z&=&-46\qquad\left(L"_{3}\right)\end{array}\right.
 
4^{ième} étape : 
 
Pour terminer la résolution, on détermine z dans \left(L"_{3}\right), puis on remplace z par cette valeur dans \left(L'_{2}\right), on obtient la valeur de y puis on obtient celle de x, en substituant à y et z par leurs valeurs respectives dans \left(L'_{1}\right).
 
Ainsi on a : S=\left\lbrace(2\ ;\ 0\ ;\ -1)\right\rbrace

b. Exemple 2

Résolvons le système suivant par la méthode du pivot de Gauss
 
\left\lbrace\begin{array}{lcl}x-5y-7z&=&3\\5x+3y+z&=&3\\3x+y-2z&=&-1\end{array}\right.

c. Exercice d'application

Résoudre le système suivant par la méthode du pivot de Gauss
 
\left\lbrace\begin{array}{lcl}2x+y+z&=&7\\-x+4y-2z&=&1\\3x+2y-4z&=&-5\end{array}\right.

II. Systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues

1. Inéquations linéaires à deux inconnues

a. Exemple

2x+y-5>0 est une inéquation linéaire à deux inconnues x et y.

b. Résolution graphique

Pour résoudre graphiquement l'inéquation 2x+y-5>0, on représente la droite (\mathcal{D}) d'équation 2x+y-5=0 dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&0&1\\&& \\\hline y&5&3\\ &&\\\hline \end{array}
 
Ensuite, on choisit un point qui n'est pas sur (\mathcal{D}) et dont ses coordonnées sont connues. 
 
Par exemple : le point O\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix} puis on remplace dans l'inéquation x et y respectivement par les coordonnées de O. 
 
Ainsi, on a 2(0)+0-5>0 c'est à dire -5>0 faux donc les coordonnées de O ne vérifie pas l'inéquation. 
 
On barre donc le demi-plan de frontière (\mathcal{D}) contenant O.

2. Systèmes de deux inéquations à deux inconnues

a. Exemple

\left\lbrace\begin{array}{lcl} x-2y+1&\geq&0\\2x+y-3&<&0 \end{array}\right. est un système de deux inéquations linéaires à deux inconnues x et y

b. Résolution graphique

Résolvons graphiquement le système \left\lbrace\begin{array}{lcl} x-2y+1&\geq&0\\2x+y-3&<&0 \end{array}\right.
 
On commence par représenter graphiquement les droites \left(\mathcal{D}_{1}\right) d'équation x-2y+1=0 et \left(\mathcal{D}_{1}\right) d'équation 2x+y-3=0 dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,,\ \vec{j}).
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&-1&1\\&& \\\hline y&0&1\\ &&\\\hline \end{array}\qquad\qquad\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&0&1\\ &&\\\hline y&3&1\\ &&\\\hline \end{array}
 
Puis on choisit un point qui n'est ni sur \left(\mathcal{D}_{1}\right), ni sur \left(\mathcal{D}_{2}\right) et dont les coordonnées sont connues. 
 
Par exemple le point O\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}.
 
En remplaçant x et y par les coordonnées de O dans l'inéquation 1, on a : 0-2(0)+1\geq0 c'est à dire 1\geq 0 vrai donc les cordonnées de 0 vérifie l'inéquation 1. 
 
On barre donc le demi-plan de frontière \left(\mathcal{D}_{1}\right) ne contenant pas O.
 
En remplaçant x et y par les coordonnées de O, dans l'inéquation 2, on a : 2(0)+0-3<0 c'est à dire -3<0 vrai donc les coordonnées de 0 vérifie l'inéquation 2. 
 
On barre donc le demi-plan de frontière \left(\mathcal{D}_{2}\right) ne contenant pas O.

N.B : 

le 3. Sera donné comme exercice à faire

3. Systèmes de trois inéquations à deux inconnues

a. Exemple

\left\lbrace\begin{array}{lcl} -x+y+2&\geq&0\\2x-y-4&<&0\\x-2y-1&>&0 \end{array}\right. est un système de trois inéquations à deux inconnues x et y.

b. Résolution graphique

Exercice : 

Résoudre graphiquement le système\left\lbrace\begin{array}{lcl} -x+y+2&\geq&0\\2x-y-4&<&0\\x-2y-1&>&0 \end{array}\right.
 

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