Équation et Inéquation à une seule inconnue 3e

Classe: 
Troisième

I. Équation

I.1 Équation produit ou équation de la forme (ax+b)(cx+d)=0

La résolution de ce type d'équation s'appuie sur la propriété suivante : un produit de facteurs est nul si l'un de ses facteurs est nul.
 
On a : XY=0 si, et seulement si, X=0 ou Y=0

Exemple 1 :

Résolvons les équations suivantes 
 
  (4x5)(3x+7)=0

On aura : 4x5=0 ou 3x+7=0

Alors, 4x=5 ou 3x=7

Donc, x=54 ou x=73=73

D'où S={54; 73}
 
  (23x4)(32x+54)=0

On aura : 23x5=0 ou 32x+54=0

Alors, 23x=4 ou 32x=54

Donc, x=4×32=6 ou x=54×23=56

D'où S={56; 6}

Exemple 2 :

Certaines équations n'étant pas présentées initialement sous la forme d'équation produit peuvent l'être par la suite par une simple utilisation des techniques de la factorisation.
 
Résolvons les équations suivantes :
 
  4x2=9

On aura : (2x3)(2x+3)=0

Alors, 2x3=0 ou 2x+3=0

Donc, 2x=3 ou 2x=3

Par suite, x=32 ou x=32

D'où S={32; 32}
 
  (3x2)2=(2x+3)2

On aura : (3x2)2(2x+3)2=0

Alors, [(3x2)(2x+3)][(3x2)+(2x+3)]=0

Donc, (5x5)(x+1)=0

Par suite, 5x5=0 ou x+1=0

Ainsi, x=55=1 ou x=1

D'où S={1; 1}
 
  (3x2)2+(3x2)(x+3)+(3x2)=0

On aura : (3x2)[(3x2)+(x+3)+1]=0

Alors, (3x2)(4x+2)=0

Donc, 3x2=0 ou 4x+2=0

Ainsi, x=23 ou x=24=12

D'où S={12; 23}

I.2 Équation du type |ax+b|=c avec c0

La résolution de ce type d'équation s'appuie sur la propriété suivante :
|X|=Y avec Y0 si, et seulement si, X=Y ou X=Y
 
Exemple 1 : résolvons les équations suivantes 
 
  |3x5|=7

On aura : 3x5=7 ou 3x5=7

Alors, 3x=12 ou 3x=2

Donc, x=123=4 ou x=23

D'où S={23; 4}
 
  |23x+5|=3

On aura : 23x+5=3 ou 23x+5=3

Alors, 23x=2 ou 23x=8

Donc, x=(2)(32)=3 ou x=(8)(32)=12

D'où S={3; 12}
 
Exemple 2 : certaines équations n'étant pas présentées sous la forme |ax+b|=c peuvent l'être par la suite, par une utilisation double des deux propriétés suivantes :
 
si {a0b0a=balors a=b et X2=|X|
 
Résolvons les équations suivantes :
 
  4x29=0

On aura : 4x2=9

Alors, x2=94

Donc, x2=94

Par suite |x|=32

Ainsi, x=32 ou x=32

D'où S={32; 32}
 
  3(2x+6)2=108

On aura : (2x+6)2=1083

Alors, (2x+6)2=36

Donc, |2x+6|=6

Par suite 2x+6=6 ou 2x+6=6

Ainsi, x=0 ou x=6

D'où S={6; 0}
 
Remarques : 
 
Si c<0 l'équation |ax+b|=c n'admet pas de solutions (car une valeur absolue n'est jamais négative).

On écrira S=

I.3 Équation du type |ax+b|=|cx+d|

La résolution de ce type d'équation s'appuie sur la propriété suivante :
|X|=|Y| si, et seulement si, X=Y ou X=Y
 
Exemple 1 : résolvons les équations suivantes 
 
  |2x3|=|3x+7|

On aura : 2x3=3x+7 ou 2x3=3x7

Alors, 5x=10 ou x=4

Donc, x=2 ou x=4

D'où S={2; 4}
 
  2|32x+5|=3|23x4|

On aura : 2(32x+5)=3(23x4) ou 2(32x+5)=3(23x4)

Alors, 3x+10=2x12 ou 3x+10=2x+12

Donc, x=22 ou 5x=2

Ainsi, x=22 ou x=25

D'où S={22; 25}
 
Exemple 2 : certaines équations n'étant pas présentées sous la forme |ax+b|=|cx+d| peuvent l'être par la suite, par une simple utilisation des deux propriétés suivantes 
si {a0b0a=balors a=b et X2=|X|
Résolvons les équations suivantes :
 
  (3x5)2=(2x+7)2

On aura : (3x5)2=(2x+7)2

Alors, |3x5|=|2x+7|

Donc 3x5=2x+7 ou 3x5=2x7

Par suite 5x=12 ou x=2

Ainsi, x=125 ou x=2

D'où S={2; 125}
 
  4(3x2)2=9(2x+3)2

On aura : 4(3x2)2=9(2x+3)2

Alors, 2|3x2|=3|2x+3|

Donc 2(3x2)=3(2x+3) ou 2(3x2)=3(2x3)

Par suite 6x4=6x+9 ou 6x4=6x9

Ainsi, 0=13 (impossible)  ou 12x=5

Ce qui donne x=512

D'où S={512}

I.4 Équation faisant intervenir des quotients

La résolution de ce type d'équation s'appuie tout d'abord sur une étude de la condition d'existence de l'équation et dans le cas où la condition d'existence est posée on procède tout simplement à une réduction au même dénominateur et par suite à une élimination des dénominateurs.

Sera solution toute valeur trouvée et différente des valeurs posées au niveau de la condition d'existence.
 
Exemple : résolvons les équations suivantes 
 
  2x33x2=0

L'équation existe si, et seulement si, 3x20 c'est à dire x23.

Pour x23, l'équation devient 2x3=0 c'est à dire x=32

D'où S={32}
 
  3x22x3=12

l'équation existe si, et seulement si, 2x30 c'est à dire x32.
 
Pour x32, l'équation devient
 
6x4=2x34x=1x=14

D'où S={14}
 
  33x2+22x3=0

L'équation existe si, et seulement si, 3x20 et 2x30 c'est à dire x23 et x32
 
Pour x23 et x32, l'équation devient
 
3(2x3)+2(3x2)=06x9+6x4=012x=13x=1312

D'où S={1312}

II Inéquation

II.1 Inéquation produit ou inéquation de la forme (ax+b)(cx+d)0

Exemple 1 : résolvons les inéquations suivantes 
 
  (2x+6)(3x+3)0

On a : (2x+6)(3x+3)=0 si, et seulement si, 2x+6=0 ou 3x+3=0

c'est à dire x=3 ou x=1
x31+2x+60+|+3x+3+|+0(2x+6)(3x+3)0+0
 
S=]; 3][1; +[
 
  2x(3x+2)(x+)20

On a : 2x(3x+2)(x+)2=0 si, et seulement si, 2x=0 ou 3x+2=0 ou (x+1)2=0

Alors, x=0 ou x=23 ou x=1
x12/30+2x+|+|+03x+2|0+|+(x+1)2+0+|+|+2x(3x+2)(x+)200+0
 
S=[23; 0]
 
  (3x)(4+x)<0

On a : (3x)(4+x)=0 si, et seulement si, 3x=0 ou 4+x=0

Alors, x=3 ou x=4
x43+3x+|+04+x0+|+(3x)(4+x)0+0
 
S=]; 4[]3; +[
 
Exemple 2 : résolvons les inéquations suivantes 
 
  4x29<0

On aura : (2x3)(2x+3)<0 

Alors, (2x3)(2x+3)=0 si, et seulement si, 2x3=0 ou 2x+3=0

Donc x=32 ou x=32
x3/23/2+2x3|0+2x+30+|+(2x3)(2x+3)+00+
 
S=]32; 32[
 
  (2x7)2(2x3)20

On aura : [(2x7)(2x3)][(2x7)+(2x3)]0 

Alors, (4)(4x10)=0 si, et seulement si, 4x10=0 c'est à dire x=52
x5/2+4|4x100+4(4x10)+0
 
S=]; 52]

II.2 Inéquation du type |ax+b|c avec c>0

La résolution de ce type d'inéquation s'appuie sur la propriété suivante :
|X|Y avec Y0 si, et seulement si, XY et XY
 
Exemple 1 : résolvons les inéquations suivantes 
 
  |2x+3|5

On aura : 2x+35 et 2x+35

Alors, 2x2 et 2x8

Donc, x1 et x4

 

 

D'où S=[1; 4]
 
  |23x4|2

On aura : 23x42 et 23x42

Alors, 23x6 et 23x2

Donc, x6×32 et x2×32

Ainsi, x9 et x3

 

 

D'où S=[3; 9]
 
Exemple 2 : certaines inéquations n'étant pas présentées sous la forme |ax+b|c peuvent l'être par la suite, par une utilisation successive des deux propriétés suivantes 
 
si {a0b0abalors ab et X2=|X|
 
Résolvons les inéquations suivantes :
 
  4x29<0

On aura : 4x2<9

Alors, x2<94

Donc, x2<94

Par suite |x|<32

Ainsi, x<32 et x>32

 

 

D'où S=]32; 32[
 
  2(x+3)232

On aura : (x+3)2322

Alors, (x+3)216

Donc, |x+3|4

Par suite x+34 et x+34

Ainsi, x1 et x7

 

 

D'où S=[7; 1]
 
Remarques : 
 
Si c<0 l'inéquation |ax+b|c n'admettra pas de solutions.

On écrira S=

II.3 Inéquation du type |ax+b|c avec c0

La résolution de ce type d'inéquation s'appuie sur la propriété suivante :
|X|Y avec Y0 si, et seulement si, XY ou XY
 
Exemple 1 : résolvons les inéquations suivantes 
 
  |2x+7|5

On aura : 2x+75 ou 2x+75

Alors, 2x2 ou 2x12

Donc, x1 ou x6

 

 

D'où S=]; 1][6; +[
 
  |23x3|>5

On aura : 23x3>5 ou 23x3<5

Alors, 23x>2 ou 23x<2

Donc, x>8×32 ou x<2×32

Ainsi, x>12 ou x<3

 
S=]; 3[]12; +[
 
 
Exemple 2 : certaines inéquations n'étant pas présentées sous la forme |ax+b|c peuvent l'être par la suite, par une utilisation successive des deux propriétés suivantes 
 
si {a0b0abalors ab et X2=|X|
 
Résolvons les inéquations suivantes :
 
  25x2490

On aura : 25x249

Alors, x24925

Donc, x24925

Par suite |x|75

Ainsi, x75 ou x75

 

 

D'où S=]; 75][75; +[
 
  2(x+3)2<50

On aura : (x+3)2>502

Alors, (x+3)2>25

Donc, |x+3|>5

Par suite x+3>5 ou x+3<5

Ainsi, x>2 ou x<8

 

 

D'où S=]; 8[]2; +[
 
Remarques :
 
Si c<0 l'inéquation |ax+b|>c est toujours vraie, c'est à dire toute valeur de x est solution.

On écrira S=R ou S=]; +[

II.4 Inéquation faisant intervenir les quotients

Exemples : résolvons les inéquations suivantes :
 
  2x33x+20

L'inéquation existe si, et seulement si, 3x+20, c'est à dire x23.

L'inéquation est nulle si, et seulement si, 2x3=0, c'est à dire x=32.
x2/33/2+2x3|0+3x+2+0|2x33x+2||+0
 
S=]23; 32]
 
  3(x+1)22x(x+3)0

L'inéquation existe si, et seulement si, 2x(x+3)0, c'est à dire 2x0 et x+30

Ce qui donne x0 et x3 

L'inéquation est nulle si, et seulement si, 3(x+1)2=0, c'est à dire x+1=0.

Ce qui donne x=1
x103+3|||(x+1)2+0+|+|+2x|0+|+x+3+|+|+03(x+1)22x(x+3)+0+||||+
 
S=]0; 3[{1}

 
Auteur: 
Abdoulaye Ba

Commentaires

vous avez fait du bon travail bon courage et plus de succes

Telecharger les pages

Excellent travail

Comment télécharger vos documents en PDF ou Word

Excellent comme d'habitude

Ajouter un commentaire