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Série d'exercices : Etudes de fonctions - Ts

Classe:

Terminale

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, démontrer que le point

$A$ est centre de symétrie de la courbe

$\mathcal{C}$

d'équation

$y=f(x).$

$1)\ y=\dfrac{x-1}{x^{2}-2x-2}\;;\ A(1\;;\ 0)\quad 2)\ y=\dfrac{x^{2}-9x+7}{x^{2}-4x-3}\;;\ A(2\;;\ 1)$

$3)\ y=\sqrt{x^{2}-4}-\sqrt{x^{2}+4x}\;;\ A(-1\;;\ 0)\quad 4)\ y=\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt{-x-1}}{x^{3}+6x^{2}+8x}\;;\ A(-2\;;\ 0)$

$5)\ y=\cos 3x+\left(\dfrac{\sqrt{3}\sin x+\cos x}{\sin x-\sqrt{3}\cos x}\right)^{3}\;;\ A\left(-\dfrac{\pi}{6}\;;\ 0\right)$

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, démontrer que la droite

$\mathcal{D}$ est un axe de symétrie de la courbe

$\mathcal{C}$ d'équation

$y=f(x).$

$1)\ y=\dfrac{7}{x^{2}-4x}\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=2\quad 2)\ y=\dfrac{x^{4}+4x^{3}-8x}{|x|+|x+2|}\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=-1$

$3)\ y=5\sin x-3\cos^{2}x+\tan^{2}x\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=\dfrac{\pi}{2}\quad 4)\ y=\sqrt{x^{2}+12x+27}+\sqrt{x^{2}-9}\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=-3$

$5)\ y=\left|\dfrac{x^{4}+4x^{3}+x^{2}-6x}{x+1}\right|\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=-1\quad 6)\ y=\dfrac{\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}}{x^{2}-6x+3}\;;\ \mathcal{D}\ :\ x=3$

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \text{ si }\ x<\dfrac{3}{2} & :\ y=3-x & +\dfrac{1}{2x-3}\\ \\ \text{ si }\ x>\dfrac{3}{2} &:\ y=x &-\dfrac{1}{2x-3} \end{array}\quad \mathcal{D}\ :\ x=\dfrac{3}{2}\right.$

Exercice 3

Démontrer que la courbe

$\mathcal{C}$ d'équation

$y=\dfrac{3}{5}x^{5}+x^{4}-2x^{3}+6x^{2}-1$ n'a qu'un seul point

d'inflexion.

Exercice 4

Discuter suivant les valeurs de

$n\in\;\mathbb{Z}^{\ast}$ le nombre de points d'inflexion de la courbe

$\mathcal{C}$ d'équation

$y=(x-1)^{2n}(x+2)^{-n}.$

Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, déterminer les points d'inflexion éventuels de la courbe

$\mathcal{C}$ d'équation

$y=f(x).$

$1)\ y=(x-1)^{3}(x+2)^{4}\quad 2)\ y=x^{5}+x^{4}-32x^{3}-136x^{2}\quad 3)\ y=\dfrac{x^{2}}{2}+\sin x+\cos x$

Exercice 6

Dans chacun des cas suivants, vérifier que les droites fixées sont asymptotes à la courbe

$\mathcal{C}.$

$1)\ \mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{x+2}{2x-3}\;;\ D_{1}\ :\ x=\dfrac{3}{2}\;;\ D_{2}\ :\ y=2$

$2)\ \mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{2x-3}{3x-|x+1|}\;;\ D_{1}\ :\ x=\dfrac{1}{2}\;;\ D_{2}\ :\ y=\dfrac{1}{2}\;;\ D_{3}\ :\ y=x+3$

$3)\ \mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{x^{2}+1}{x-3}\;;\ D_{1}\ :\ x=3\;;\ D_{2}\ :\ y=\dfrac{1}{2}\;;\ D_{3}\ :\ y=x+3$

$4)\ \mathcal{C}\ :\ y=\dfrac{x^{3}+4x^{2}+3}{x^{2}+2x-1}\;;\ D_{1}\ :\ x=-1-\sqrt{2}\;;\ D_{2}\ :\ x=-1+\sqrt{2}\;;\ D_{3}\ :\ y=3x-\dfrac{1}{2}$

$5)\ \mathcal{C}\ :\ y=\sqrt{4x^{2}-3x+1}+x+\dfrac{1}{4}\;;\ D_{1}\ :\ y=-x+1\;;\ D_{2}\ :\ y=3x-\dfrac{1}{2}$

$6)\ \mathcal{C}\ :\ y=\sqrt{4x^{2}-3x}-\sqrt{x^{2}+x}\;;\ D_{1}\ :\ y=x-\dfrac{5}{4}\;;\ D_{2}\ :\ x=-x+\dfrac{5}{4}$

Exercice 7

Dans chacun des cas suivants, déterminer les branches infinies de la courbe

$\mathcal{C}.$

$1)\ \mathcal{ C}\ :\ y=1-2x-x^{3}\quad 2)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{2x^{2}}{x^{2}+x-3}$

$3)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{x^{2}-|x-1|}{x+3}\quad 4)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\sqrt{x^{2}-3x}$

$5)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{\sqrt{x^{2}+4}}{1-2x}\quad 6)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{x}{\sin x}$

$7)\ \mathcal{ C}\ :\ y=2\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\quad 8)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{2x^{3}-3x^{2}-4x}{2x^{2}+3x-2}$

$9)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{x^{3}-x^{2}+5x}{2x^{2}+3x-|x^{3}-1|}\quad 10)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x^{2}+x-7}$

$11)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}+x-7}\quad 12)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\sqrt{4x^{2}-3x+1}+2x+\dfrac{1}{4}$

$13)\ \mathcal{ C}\ :\ y=x-3\tan x\quad 14)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{2x^{2}-5x-3}{3x^{2}-10x+3}$

$15)\ \mathcal{ C}\ :\ y=\dfrac{\sqrt{x^{2}+x-7}-\sqrt{x^{2}-1}}{2x+1}\quad 16)\ \mathcal{ C}\ :\ y= \dfrac{\sqrt{x^{4}-3x^{2}+2}}{x-2}$

Exercice 8

Étudier et représenter graphiquement les fonctions suivantes :

$1)\ f(x)=x^{6}-2x^{3}+1\quad 2)\ f(x)=x^{2}(x-1)^{2}$

$3)\ f(x)=|x^{3}|+|3x^{2}-4|\quad 4)\ f(x)=\dfrac{1}{4}x^{4}-2x^{2}+2$

$5)\ f(x)=\text{sup}(-x^{3}+x^{2}+5x\;,\ 2x^{3}+x)\quad 6)\ f(x)=\dfrac{2x-3}{3x+3}$

$7)\ f(x)=\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^{2}\quad 8)\ f(x)=\dfrac{|x+1|-2x}{|x-1|}$

$9)\ f(x)=\dfrac{|x^{2}+x|+1}{|x|+1}\quad 10)\ f(x)=\dfrac{x^{2}+4x+3}{x^{2}+6x+8}$

$11)\ f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}-4x+5}\quad 12)\ f(x)=\dfrac{-3x+2}{x^{2}-3x+2}$

$13)\ f(x)=\sqrt{\dfrac{-x^{3}}{x+1}}\quad 14)\ f(x)=x\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$

$15)\ f(x)=x\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}\quad 16)\ f(x)=\sqrt{\dfrac{x^{2}(x+1)}{x-1}}$

$17)\ f(x)=x\sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}\quad 18)\ f(x)=(1-x)\sqrt{1+x}$

$19)\ f(x)=\cos^{2}x\quad 20)\ f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$

$21)\ f(x)=2 \cos 3x+1\quad 22)\ f(x)=3\sin 2x+2\cos 3x-3$

$23)\ f(x)=\dfrac{\cos 3x}{1+\cos 2x}\quad 24)\ f(x)=\dfrac{\cos 3x}{(\cos x-1)^{2}}$

$25)\ f(x)=\dfrac{\cos^{3}x}{(\cos x-1)^{2}}\quad 26)\ f(x)=\sqrt{\dfrac{1-2\sin x}{1+2\sin x}}$

$27)\ f(x)=\dfrac{\cos 2x}{\sin x}\quad 28)\ f(x)=\sin^{2}x-2 \cos x$

$29)\ f(x)=x-\sin x\quad 30)\ f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin 2x}\quad 31)\ f(x)=\dfrac{\tan x}{1-2\sin x}$

$32)\ f(x)=\tan\dfrac{x}{2}+\sin x\quad 33)\ f(x)=\tan x+\cos x$

$34)\ f(x)=\sin^{3}x-\sqrt{3}\cos^{3}x\quad 35)\ f(x)=\cos^{4}+2\cos^{2}x+1$

$36)\ f(x)=\cos 3x \cos^{3}x$

Exercice 9

Soit la fonction

$f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{x^{3}+x^{2}-2x-3}{x^{2}-3}$

1) Déterminer le domaine de définition de

$f$ , les limites et les asymptotes.

Étudier la position relative de

$\mathcal{C}_{f}$ par rapport à son asymptote oblique.

2) Montrer que le point

$I(0\;;\ 1)$ est centre de symétrie.

Déterminer l'équation de la tangente au point

$I$ et montrer que

$I$ est un point d'inflexion.

3) Montrer que

$f'(x)=\dfrac{(x^{2}-1)(x^{2}-6)}{(x^{2}-3)^{2}}\;;$ en déduire le tableau de variation de

$f.$

4) Tracer

$\mathcal{C}_{f}$

Exercice 10

On considère la fonction suivante définie par :

$f(x)=\dfrac{-2x^{2}+3x}{x-1}$

1) Déterminer le domaine de définition de

$f$ , puis calculer les limites aux bornes de

$\mathcal{D}_{f}$ ; préciser les asymptotes.

2) Trouver les réels

$a\;,\ b\text{ et }c$ tels que

$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}.$

En déduire que la droite

$\mathcal{D}$ d'équation,

$y=-2x-1$ est asymptote oblique à la courbe de

$f.$

Donner la position relative de

$\mathcal{D}\text{ et }\mathcal{C}.$

3) Montrer que le point

$I$ d'intersection de

$\mathcal{D}$ et de l'asymptote verticale est centre de symétrie à

$\mathcal{C}.$

4) Étudier les variations de

$f$ , dresser le tableau de variation de

$f$ et construire

$\mathcal{C}.$

5) Déduire du graphique précédent la courbe représentative de la fonction

$g$ définie par :

$g(x)=|f(x)|\text{ pour tout }x\neq 1.$

Exercice 11

On considère la fonction suivante définie par :

$f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+1}{x+2}$

1) a) Déterminer l'ensemble de définition

$\mathcal{D}f$ de

$f.$

b) Déterminer les limites aux bornes de

$\mathcal{D}_{f}.$ En déduire que

$\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote verticale.

2) a) Montrer qu'il existe des réels

$a\text{ et }b$ tels que

$f(x)=ax+\dfrac{b}{x+2}.$

En déduire que la droite

$\Delta$ d'équation,

$y=x$ est asymptote oblique à la courbe de

$f.$

b) Étudier la position relative de

$\mathcal{C}_{f}\text{ et }\Delta.$

3) Étudier les variations de

$f.$ Dresser le tableau de variation de

$f.$

4) Montrer que le point

$I(-2\;;\ -2)$ est centre de symétrie à

$\mathcal{C}_{f}.$

5) Soit

$A$ le point d'intersection de

$\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des ordonnées; donner l'équation de la tangente

$T_{A}$ au point

$A.$

6) Construire la courbe

$\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i};,\ \vec{j}).$

7) Expliquer comment, puis effectuer la construction de la fonction

$g$ définie par :

$g(x)=|f(x)|\text{ pour tout }x\neq 2.$

Exercice 12

Soit la fonction

$g$ définie par :

$g(x)=\dfrac{(x+2)^{2}-|x+2|}{x-1}$

1) Écrire

$g(x)$ sans la barre de valeur absolue.

2) Déterminer les limites, les asymptotes et leur position par rapport à

$\mathcal{C}_{g}$

3) Étudier la continuité et la dérivabilité de

$g\text{ en }-2.$

4) Établir le tableau de variation de

$g.$

5) Tracer

$\mathcal{C}_{g}.$

Exercice 13

Soit la fonction

$f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{4}+2x+1}$

1) Démontrer que

$f$ est paire.

2) Étudier les limites aux bornes de

$\mathcal{D}_{f}.$

Interpréter les résultats.

3) Étudier les variations de

$f.$

4) Démontrer que l'équation

$f(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une solution unique

$\alpha\text{ dans }[0\;;\ 1].$

5) Tracer la courbe de

$f.$

Exercice 14

On considère la fonction

$f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{2x^{2}+3x+1}{x+2}$

1) a) Déterminer l'ensemble de définition

$\mathcal{D}_{f}$ de

$f.$

b) Déterminer les limites aux bornes de

$\mathcal{D}_{f}.$

En déduire que

$\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote verticale.

2) Montrer qu'il existe des réels

$\alpha\;,\ \beta\text{ et }\gamma$ tels que

$f(x)=\alpha x+\beta+\dfrac{\gamma}{x+2}.$

En déduire que la droite

$\Delta$ d'équation ,

$y=2x-1$ est asymptote oblique à la courbe de

$f.$

3) Étudier les variations de

$f.$

Dresser le tableau de variation de

$f.$

4) Démontrer que le point

$I(-2\;;\ -5)$ est centre de symétrie à

$\mathcal{C}_{f}.$

5) Soit

$A\text{ et }B$ les points d'intersection de

$\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses ; donner les

équations des tangentes

$T_{A}\text{et}T_{B}$ aux points

$A\text{ et }B.$

6) Construire

$\Delta\;,\ T_{A}\;,\text{ et }\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

7) Discuter suivant les valeurs de

$m$ le nombre de solutions de l'équation

$f(x)=m$ où

$m$ est un paramètre réel.

Exercice 15

1) Soit

$g$ la fonction définie par :

$g(x)=2x^{3}+3x^{2}+1.$

a) Étudier les variations de

$g.$

b) Démontrer que l'équation

$g(x)=0$ admet une solution unique

$\alpha\in\;]-2\;;\ -1.5[$ ; en déduire le signe de

$g.$

2) On considère la fonction

$f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{1+x}{1-x^{3}}$

a) Déterminer

$\mathcal{C}_{f}$ et les limites aux bornes de

$\mathcal{D}_{f}.$

Préciser les asymptotes.

b) Établir le tableau de variation de

$f.$

c) Soit

$h$ la restriction de

$f$ sur

$]1\;;\ +\infty[$ , montrer que

$h$ permet de définir une bijection de

$]1\;;\ +\infty[$ vers un intervalle

$J$ à préciser.

d) Calculer

$h(2)$ ; en déduire

$(h^{-1})'\left(-\dfrac{3}{7}\right).$

e) Construire la courbe de

$f$ et la courbe de

$h^{-1}$ dans un même repère.

Exercice 16

On considère la fonction

$f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{ax^{3}-4x^{2}+8x+b}{(x-c)^{2}}\;,\text{ où }a\;,\ b\;,\ c$ sont des réels.

1) Déterminer

$a\;,\ b\;,\ c$ sachant que la droite

$(D)\ :\ x=1$ est asymptote verticale à la courbe de

$f$ , que

$f(0)=-4$ et que la courbe admet, au point d'abscisse 2 une tangente parallèle à la droite d'équation

$y=-4x.$

2) Pour la suite, on donne

$f(x)=\dfrac{x^{3}-4x^{2}+8x-4}{(x-1)^{2}}.$

a) Déterminer

$\mathcal{D}_{f}$ calculer les limites aux bornes de

$\mathcal{D}_{f}$

b) Étudier les variations de

$f$ , dresser le tableau de variation de

$f.$

c) Montrer que

$f(x)=x-2-\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^{2}}.$

d) En déduire que la droites

$(D')$ d'équation

$y=x-2$ est asymptote oblique à la courbe de

$f.$

e) Étudier la position relative de

$(D')\text{ et de }\mathcal{C}_{f}.$

3) Soit

$A$ le point d'intersection de

$(D)\text{ et }(D').$

Montrer que

$A$ est un centre de symétrie à la courbe de

$f.$

4) Soit

$B$ le point d'intersection de

$\mathcal{C}_{f}$ et de l'axe des ordonnées.

Donner une équation de la tangente

$T_{B}\text{ en }B.$

5) tracer la courbe de

$f$ dans un repère

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ unité :

$2\;cm.$

6) Soit

$g$ la restriction de

$f$ à

$]3\;;\ +\infty[.$

Montrer que

$g$ réalise une bijection de

$]3\;;\ +\infty[$ vers un intervalle

$J$ à préciser.

7) Construire

$\mathcal{C}_{g}$ dans le même repère.

8) Déduire de l'étude de

$\mathcal{C}_{f}$ le nombre de racines de l'équation :

$x^{3}-(4+m)x^{2}+2(4+m)x-4-m=0$

Exercice 17

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

A) Soit la fonction

$f\text{ de }\mathbb{R}\text{ vers }\mathbb{R}$ définie par :

$f(x)=\dfrac{x^{3}-4x^{2}+8x-4}{(x-1)^{2}}$

1) Lorsque

$f$ est définie, déterminer

$a\;,\ b\;,\ c$ , réels tels que

$f(x)=x+a+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{(x-1)^{2}}$

2) Étudier la fonction

$f.$

3) Démontrer que

$\mathcal{C}$ , courbe représentative de

$f$ , admet deux asymptotes, dont l'une est la droite

$D$ d'équation

$y=x-2.$

Préciser la position de

$\mathcal{C}$ par rapport à

$D$ , et les coordonnées de leur point commun.

4) Construire la courbe

$\mathcal{C}.$

B) En utilisant la courbe

$\mathcal{C}$ , déterminer, suivant les valeurs de

$m$ , paramètre réel, le nombre et le signe des solutions réelles de chaque équation :

$x^{3}-(4+m)x^{2}+2(4+m)x-4-m=0\;,\ \sin^{3}u-(4+m)\sin^{2}u+2(4+m)\sin u-4-m=0.$

(inconnue

$u$ telle que :

$-\pi\leq u<+\pi)$

Exercice 18

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x+\sqrt{|4x^{2}-1|}.$

Soit

$\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Étudier la continuité de

$f.$

2) Étudier la dérivabilité de

$f.$ Calculer sa dérivée sur chaque intervalle où

$f$ est dérivable.

3) Démontrer les équivalences :

$\sqrt{4x^{2}-1}+4x<0 \Leftrightarrow x \in\;]-\infty\;;\ -\dfrac{1}{2}]\text{ et }\sqrt{1-4x^{2}}-4x> 0 \Leftrightarrow x\in\;\left]-\dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{1}{2\sqrt{5}}\right[.$

En déduire le signe de

$f'(x).$

4) a) Calculer

$\lim_{x\rightarrow -\infty}f\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}f.$

Dresser le tableau de variation de

$f.$

b) Calculer

$\lim_{x\rightarrow -\infty}\;[f(x)+x]\text{ et }\lim_{x\rightarrow +\infty}\;[f(x)-3x].$

En déduire que

$\mathcal{C}$ admet deux asymptotes, d'équations

$y=-x\text{ et }y=3x.$

Tracer la courbe

$\mathcal{C}.$

5) a) Soit

$h$ la restriction de

$f$ à

$\left]-\infty\;;\ -\dfrac{1}{2}\right].$

Démontrer que

$h$ admet une réciproque

$h^{-1}.$

En préciser l'ensemble de définition et la variation.

b) Calculer

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\;[x+h^{-1}(x)].$

En déduire que

$\mathcal{C}\text{ et }\Gamma$ , courbe représentative de

$h^{-1}$ , ont une asymptote commune.

Tracer

$\Gamma.$

c) Calculer

$h^{-1}(0).$

Déterminer une équation de la tangente à

$\Gamma$ au point de coordonnées

$(0\;;\ h^{-1}(0)).$

Exercice 19

Soit dans le plan les courbes

$\mathcal{C}m\ :\ y=\dfrac{mx^{2}-mx-1}{x^{2}+mx+1}.$

1) Déterminer

$m$ tel que

$\mathcal{C}_{m}$ soit une droite.

On suppose dans la suite :

$m\in\;\mathbb{R}\setminus\{-1\;;\ 0\}.$

2) Démontrer que

$A(0\;;\ -1)$ est le seul point commun à toutes les courbes

$\mathcal{C}_{m}$ , et qu'elles sont tangentes en

$A.$

3) Déterminer les valeurs de

$m$ telles que

$\mathcal{C}_{m}$ ait trois asymptotes.

4) Calculer

$\alpha \neq 0$ tel que

$f(\alpha)=0.$

Déterminer les valeurs de

$m$ telles que

$f(\alpha)$ soit un minimum de

$f$ ; un maximum.

5) Soit

$M[\alpha\;;\ f(\alpha)].$ Déterminer

$E$ , ensemble des points

$M$ quand

$m$ varie.

6) Tracer, dans un même repère, la courbe

$E$ et les courbes

$\mathcal{C}_{m}$ correspondant à

$m\in\;\left\lbrace -2\;;\ -\dfrac{1}{2}\;;\ 3\right\rbrace.$

Exercice 20

Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)=\sqrt{|x^{2}-6x+5|}\text{ et }\mathcal{C}$ sa courbe.

1) Étudier le signe de

$x^{2}-6x+5$ suivant les valeurs de

$x.$

2) En déduire l'expression de

$f$ sans valeur absolue.

3) Étudier la continuité et la dérivabilité de

$f$ en particulier aux points d'abscisses 1 et 5.

$\mathcal{C}$ admet-elle des tangentes en ces points ?

4) Démontrer que la droite

$\mathcal{D}$ d'équation

$x=3$ est un axe de symétrie de

$\mathcal{C}.$

5) Étudier les variations de

$f.$

6) Démontrer que les droites d'équation

$y=x-3\text{ et }y=-x+3$ sont des asymptotes à

$\mathcal{C}.$

7) Déterminer les coordonnées des points

$A\text{ et }B$ , intersections de

$\mathbb{C}$ avec ses deux asymptotes.

8) Montrer que

$f$ réalise une bijection de

$[5\; +\infty[$ vers un intervalle à déterminer.

9) Représenter

$\mathcal{C}.$

10) Pour

$x\in\;[5\;;\ +\infty[$ , représenter la courbe de

$f^{-1}.$

Exercice 21

Soit

$f\ :\ f\ :x\mapsto\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sqrt{|x^{2}-1|}}{x}$

$f$ est-elle dérivable en 1 ?

Calculer la dérivée de

$f$ là où elle est définie.

2) Pour

$x\geq 1$ , mettre

$f(x)$ sous la forme :

$f(x)=\dfrac{x}{2}-1+\epsilon(x) \text{ où }\lim_{x\rightarrow +\infty}\epsilon(x)=0.$

Que peut-on en conclure ?

3) Construire la courbe représentative de

$f$ dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 22

Soit

$f$ la fonction numérique définie par :

$f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$

1) Déterminer l'ensemble de définition

$\mathcal{D}_{f}$ de

$f.$

2) Démontrer que :

$\forall\;x\in\;\mathcal{D}_{f}\;,\ f(x)=\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}.$

3) Démontrer que la fonction

$f$ est impaire.

4) Étudier la continuité de

$f.$

5) Calculer

$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}.$

Que peut-on en déduire ?

6) Sur quelle partie de

$\mathcal{D}_{f}$ la fonction

$f$ est-elle dérivable ?

Déterminer sa fonction dérivée

$f'.$

7) Établir le tableau de variation de

$f.$

8) Tracer la courbe

$\mathcal{C}_{f}$ représentative de

$f$ dans un repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité :

$5\;cm$ ).

Exercice 23

Soit la fonction

$f$ définie sur

$\mathbb{R}\setminus\{1\}\text{ par : }f(x)=\dfrac{x^{3}-4x^{2}+8x-4}{(x-1)^{2}}\text{ et }\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques :)

$2\;cm\text{ sur }(Ox)\;,\ 1\;cm\text{ sur }(Oy)$

1) Étudier la fonction

$f$ (limites, variations).

2) a) Déterminer les réels

$a\;,\ b\;,\ c\text{ et }d$ tels que, pour tout réel

$x \neq 1\;,\ f(x)=ax+b+\dfrac{cx+d}{(x-1)^{2}}.$

b) En déduire que la droite

$\mathcal{D}$ d'équation

$y=x-2$ est asymptote à la courbe

$\mathcal{C}.$

c) Préciser la position de la courbe

$\mathcal{C}$ par rapport à la droite

$\mathcal{D}$ et les coordonnées du point

$I$ commun à la courbe

$\mathcal{C}$ et à la droite

$\mathcal{D}.$

3) Tracer

$\mathcal{C}\text{ et }\mathcal{D}.$

4) a) Déterminer l'abscisse du point

$J$ de la courbe

$\mathcal{C}$ , où la tangente est parallèle à

$\mathcal{D}$ , puis l'équation de cette tangente.

Tracer cette tangente

$T$ .

b) En déduire graphiquement, suivant les valeurs de

$p$ , le nombre de solutions de l'équation

$f(x)=x+p.$

5) On se propose de retrouver par le calcul le résultat trouvé au 4).

a) Montrer que les abscisses des points d'intersection de

$\mathcal{C}$ et de la droite

$\mathcal{D}$ d'équation

$y=x+p$ sont les solutions de l'équation

$(E)\ :\ (p+2)x^{2}+x(-2p-7)+p+4=0.$

b) Trouver, suivant les valeurs de

$p$ , le nombre de solutions de l'équation

$(E).$

c) Pour quelles valeurs de

$p$ la courbe

$\mathcal{C}$ et la droite d'équation

$y=x+p$ ont-elles deux points communs

$M\text{ et }N$ ?

d) Dans ce cas, calculer, en fonction de

$p$ , l'abscisse du milieu

$P\text{ de }[MN].$

e) Montrer que lorsque

$p$ varie, le point

$P$ appartient à la courbe

$\mathcal{C'}$ d'équation :

$y=x+\dfrac{7x-4x}{2x-2}.$

Exercice 24

Soit

$f$ la fonction définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{llllll} f(x) &=& \dfrac{x(x-2)}{x-1} & \text{si }\ x & < & 0 \\ \\ f(x) &=& x+\sqrt{|x^{2}-x|} & \text{si }\ x & \geq & 0 \end{array}\right.$

On note

$\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ (unité :

$1\;cm$ )

1) a) Déterminer et calculer les limites de

$f$ aux bornes de

$D_{f}.$

b) Étudier la continuité de

$f$ en 0.

c) Étudier la dérivabilité de

$f$ en

$x_{1}=0\text{ et }x_{2}=1.$

Que peut-on en déduire pour

$\mathcal{C}_{f}$ aux points d'abscisses 0 et 1 ?

d) Montrer que

$f$ est dérivable sur

$\mathbb{R}\setminus \{0\;,\ 1\}$ et calculer

$f'(x)$ dans les intervalles où

$f$ est dérivable.

e) Résoudre dans

$]0\;;\ 1[$ l'inéquation

$2\sqrt{x-x^{2}}+1-2x\leq 0.$

En déduire le signe de

$f'(x)\text{ sur }]0\;;\ 1[$ puis étudier son signe sur les autres intervalles.

Dresser le tableau de variation de

$f.$

2) a) Montrer que

$\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote oblique

$\Delta\text{ en }+\infty.$

Étudier la position relative de

$\mathcal{C}\text{ et }\Delta\text{ sur }]1\;;\ +\infty[.$

b) Montrer que

$\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote oblique

$\mathcal{D}\text{ en }-\infty.$

Étudier la position relative de

$\mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathcal{D}\text{ sur }]-\infty\;;\ 0[.$

3) Soit

$g$ la restriction de

$f$ à l'intervalle

$]1\;;\ +\infty[.$

a) Montrer que

$g$ définit une bijection de

$I=]1\;;\ +\infty[$ sur un intervalle

$J$ à préciser.

b) La bijection réciproque

$g^{-1}$ est-elle dérivable sur

$J$ ? Calculer

$(g^{-1})'(2).$

c) Expliciter

$g^{-1}(x)\text{ pour }x\in\;J.$

4) Construire

$\mathcal{C}_{f}$ , ainsi que

$\mathcal{C}_{g^{-1}}$ dans le repère

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

Exercice 25

(d'après le problème du Bac D 1987)

Soit la fonction numérique définie par :

$f(x)=\dfrac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

Partie A

1) Déterminer le domaine de définition de

$f.$

On le notera

$D_{f}.$

2) Montrer que, pour tout

$x\in\;D_{f}$ , on a

$f(x)>0.$

3) Étudier la parité de

$f.$

Que peut-on en déduire pour

$\mathcal{C}_{f}$ courbe représentative de

$f$ dans un repère orthonormé ?

4) Calculer

$f'(x)$ puis étudier le signe de

$f'(x)\text{ pour }x>1.$

En déduire le tableau de variation de

$f$ pour

$x>1.$

Construire

$\mathcal{C}_{f}.$

Partie B

La fonction numérique

$g$ est définie par :

$g(x)=x\sqrt{x^{2}-1}.$

1) Donner l'ensemble de définition de

$g.$

2) Étudier la parité de

$g.$

3) La droite

$(D)$ a pour équation

$y=x.$

Déterminer les coordonnées des points d'intersection de

$(D)$ et de la courbe représentative de

$g.$

4) Calculer

$g'(x)$ et exprimer

$g(x)$ en fonction de

$f(x)$ de A).

5) Soit

$h$ la fonction définie sur

$]1\;;\ +\infty[\text{ par }h(x)=g(x).$

a) Donner le tableau de variation de

$h.$

b) Montrer que

$h$ est une bijection de

$]1\;;\ +\infty[$ sur un intervalle que l'on précisera.

c) Tracer la courbe représentative de

$h$

d) Tracer la courbe représentative de

$h^{-1}$ dans le même repère.

Exercice 26

Soit

$f$ définie par

$f(x)=x-\sqrt{4-x^{2}}.$

1) Déterminer

$D_{f}$ ; calculer

$f'(x)$ et étudier son signe.

2) Étudier la dérivabilité de

$f$ en -2 et en 2 et interpréter géométriquement chaque résultat.

3) Déterminer le tableau de variation de

$f.$

4) a) Résoudre l'équation

$f(x)=0.$

Conclusion.

b) Calculer

$f'(0).$

Conclusion.

c) Construire

$\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé.

Exercice 27

Soit

$f$ définie par :

$f(x)=\sqrt{x^{2}-4}-x.$

1) Déterminer le domaine de définition de

$f.$

2) Calculer la dérivée

$f'(x)$ et étudier son signe.

2) Étudier la dérivabilité de

$f$ en -2 et en 2 ; interpréter géométriquement les résultats obtenus.

3) Déterminer le tableau de variation de

$f.$

4) Étudier les branches infinies de

$\mathcal{C}_{f}$ puis construire

$\mathcal{C}_{f}.$

5) Soit

$g$ la restriction de

$f$ à l'intervalle

$[2\;;\ +\infty[.$

Montrer que

$g$ admet une fonction réciproque

$g^{-1}.$

Construire

$\mathcal{C}_{g}\text{ et }\mathcal{C}_{g^{-1}}$ dans un même repère orthonormé.

6) Calculer

$g^{-1}(2)\;;\ g^{-1}(-1)\;;\ (g^{-1})'(-1).$

7) Déterminer l'expression de

$g^{-1}(x).$

Exercice 28

Soit

$f$ définie par :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llllll} f_{1}(x) &=& \dfrac{x}{x^{2}+1}-x & \text{si }\ x & \leq & 0 \\ \\ f_{2}(x) &=& \sqrt{x^{2}+2x}+x & \text{si }\ x & > & 0 \end{array}\right.$

$f$ est-elle continue en

$x_{0}=0$ ?

2) a) Calculer la dérivée

$f'(x).$

$f$ est-elle dérivable en

$x_{0}=0$ ?

3) Étudier les variations de

$f.$

4) Étudier les branches infinies de

$\mathcal{C}_{f}$

5) Préciser la position de

$\mathcal{C}_{f}$ par rapport à ses asymptotes.

6) Étudier les points d'inflexion et la concavité de

$\mathcal{C}_{f}$

7) Pour

$x\in\;]-\infty\;;\ 0]$ , déterminer le point où

$\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente de coefficient directeur -1.

8) Construire

$\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

9) Montrer que

$f_{1}$ admet une fonction réciproque

$f_{1}^{-1}$

Construire

$\mathcal{C}_{f_{1}}\text{ et }\mathcal{C}_{f^{-1}}$ dans un même repère orthonormé et préciser le point d'inflexion de

$\mathcal{C}_{f_{1}^{-1}}$ ainsi que son asymptote.

Calculer enfin le nombre dérivé de

$f_{1}^{-1}\text{ en }\dfrac{1}{2}$ , c'est-à-dire

$(f_{1}^{-1})'\left(\dfrac{1}{2}\right).$

10) Montrer que

$f_{2}$ admet une fonction réciproque

$f_{2}^{-1}.$

Déterminer l'expression de

$f_{2}^{-1}(x).$

Exercice 29

Soit

$f$ définie par :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llllll} f_{1}(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}} {\sqrt{x^{2}+1}-2} & \text{si }\ x & \leq & 0\\ \\ f_{2}(x) &=& x+\sqrt{x+1}-\dfrac{2}{\sqrt{x^{2}+1}} & \text{si }\ x & > & 0 \end{array}\right.$

1) Déterminer le domaine de définition

$\mathcal{D}_{f}$ de

$f.$

$f$ est-elle continue en

$x_{0}=0$ ?

2) Calculer la dérivée

$f'(x).$

$f$ est-elle dérivable en

$x_{0}=0$ ?

3) Étudier les variations de

$f.$

4) Étudier les branches infinies de

$\mathcal{C}$

5) a) Soit

$u(x)=x^{3}+x^{2}+x-3.$

Calculer

$u(1).$

Étudier le signe de

$u(x)\text{ sur }[0\;;\ +\infty[.$

b) Pour

$x\in\;[0\;;\ +\infty[$ , étudier la position de

$\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite d'équation

$y=x.$

6) Construire

$\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé.

7) Soit

$g$ la restriction de

$f_{1}$ à l'intervalle

$]-\sqrt{3}\;;\ 0].$

Montrer que

$g$ admet une fonction réciproque

$g^{-1}.$

Construire

$\mathcal{C}_{g}\text{ et }\mathcal{C}_{g^{-1}}$ dans un même repère orthonormé.

Calculer le nombre dérivé de

$g^{-1}$ en 3, c'est-à-dire

$(g^{-1})'(3).$

8) Déterminer l'expression de

$g^{-1}(x).$

Exercice 30

Soit

$f$ définie par :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llllll} f_{1}(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{4}+1}-1}{x} & \text{si }\ x & < & 0 \\ \\ f_{2}(x) &=& x\sqrt{x^{4}+8x} & \text{si }\ x & \geq & 0 \end{array}\right.$

1) Déterminer le domaine de définition

$\mathcal{D}_{f}$ de

$f.$

$f$ est-elle continue en

$x_{0}=0$ ?

$f$ est-elle dérivable en

$x_{0}=0$ ?

3) Calculer la dérivée

$f'(x)$ et étudier son signe.

4) Étudier les variations de

$f.$

5) Étudier les branches infinies de

$\mathcal{C}_{f}$

6) Étudier sur

$]-\infty\;;\ 0[$ la position de

$\mathcal{C}_{f}$ par rapport à son asymptote.

7) Calculer

$\lim_{x\rightarrow +\infty} [f(x)-x^{3}].$

Conclusion.

8) Soit

$g$ définie par

$g(x)=x^{3}+4.$

Étudier sur

$[0\;;\ +\infty[$ la position de

$\mathcal{C}_{f}$ par rapport à

$\mathcal{C}_{g}.$

9) Calculer

$g(1)\text{ et }f(1).$

Construire dans un repère orthonormé

$(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ la courbe de

$\mathcal{C}_{g}\text{ pour }x\in\;[0\;;\ +\infty[.$

Construire enfin dans ce même repère la courbe

$\mathcal{C}_{f}$

Problème 31

Soit

$f$ définie par :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{llllll} f_{1}(x) &=& x^{2}+\sqrt{x^{2}+4} & \text{si }\ x & \leq & 0 \\ \\ f_{2}(x) &=& \dfrac{\sqrt{x^{2}+7x+1}}{\sqrt{x}} & \text{si }\ x &>& 0 \end{array}\right.$

1) Déterminer le domaine de définition

$\mathcal{D}_{f}$ de

$f.$

$f$ est-elle continue en

$x_{0}=0$ ?

2) Calculer la dérivée

$f'(x).$

$f$ est-elle dérivable en

$x_{0}=0$ ?

3) Étudier le signe de

$f'(x)$ et les variations de

$f.$

4) Étudier les branches infinies de

$\mathcal{C}_{f}$

5) Soit

$g$ définie par :

$g(x)=x^{2}-x\text{ pour }x\in\;]-\infty\;;\ \dfrac{1}{2}].$

Sur

$]-\infty\;;\ 0]$ , étudier la position de

$\mathcal{C}_{f}$ par rapport à

$\mathcal{C}_{g}$

Calculer

$\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-g(x)].$

Conclusion.

6) Soit

$h$ définie par :

$h(x)=\sqrt{x}-1.$

Sur

$]0\;;\ +\infty[$ , étudier la position de

$\mathcal{C}_{f}$ par rapport à

$\mathcal{C}_{h}.$

Calculer

$\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-h(x)].$

Conclusion.

7) Étudier les variations de

$g\text{ sur }]-\infty\;;\ \dfrac{1}{2}]$ et les variations de

$h\text{ sur }]0\;;\ +\infty[.$

8) Construire

$\mathcal{C}_{g}\;,\ \mathcal{C}_{f}\text{ et }\mathbb{C}_{h}$ dans un même repère orthonormé.

9) Montrer que

$g$ admet une fonction réciproque

$g^{-1}$

Déterminer l'expression de

$g^{-1}(x).$

Exercice 32

Soit

$f$ définie par :

$f(x)=x\sqrt{x^{2}-2x}.$

1) Déterminer et calculer

$f'(x).$

2) Étudier la dérivabilité de

$f$ en 0 et en 2; interpréter géométriquement chaque résultat.

3) Déterminer le tableau de variation de

$f.$

4) Étudier les branches infinies de

$\mathcal{C}_{f}$

5) Préciser les points d'intersection de

$\mathcal{C}_{f}$ et de la droite d'équation

$y=x.$

Construire la courbe

$\mathcal{C}_{f}$

6) Soit

$g$ la restriction de

$f$ à l'intervalle

$]-\infty\;;\ 0]$

Montrer que

$g$ est une bijection de

$]-\infty\;;\ 0]$ sur un intervalle que l'on déterminera.

Soit

$g^{-1}$ la fonction réciproque de

$g.$

a) Donner les valeurs de

$g^{-1}(0)\text{ et }g^{-1}(1-\sqrt{2}).$

b) Construire

$\mathcal{C}_{g}\text{ et }\mathcal{C}_{g^{-1}}$ dans un même repère orthonormé.

7) Soit

$h(x)=x^{4}-2x^{3}-3.$

Calculer

$h(-1).$

En déduire les valeurs de

$g^{-1}(\sqrt{3})\text{ et }(g^{-1})'(\sqrt{3}).$

Exercice 33

Soit la fonction

$f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin 2x}{1+\sin x}$

1) Déterminer l'ensemble de définition

$\mathcal{D}\text{ de }f$ et montrer que

$f$ est périodique.

2) Montrer que, pour tout

$x\in\;\mathcal{D}$ , on a :

$\pi-x\in\;\mathcal{D}\text{ et }f(\pi-x)=-f(x).$

En déduire que la courbe représentative

$\mathcal{C}\text{ de }f\text{ dans }(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ admet le point

$A\left(\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\right)$ pour centre de symétrie.

3) Étudier

$f$ sur l'intervalle

$\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$

4) Tracer la courbe

$\mathcal{C}.$

Construire la tangente en

$A\text{ à }\mathcal{C}.$

Exercice 34

Soit la fonction

$f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin^{2}x}{\sin x-1}$

1) Déterminer l'ensemble de définition

$\mathcal{D}\text{ de }f$ et montrer que

$f$ est périodique.

2) Montrer que, pour tout

$x\in\;\mathcal{D}$ , on a :

$\pi-x\in\;\mathbb{D}\text{ et }f(\pi-x)=f(x).$

En déduire que la courbe représentative

$\mathcal{C}\text{ de }f\text{ dans }(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ admet la droite :

$x=\dfrac{\pi}{2}$ pour axe de symétrie.

3) Étudier

$f$ sur l'intervalle

$\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

4) Tracer la courbe

$\mathcal{C}.$

Exercice 35

Soit

$m$ un réel non nul,

$f_{m}$ la fonction définie par :

$f_{m}(x)=x+m \sin x.$

1) Montrer que

$O$ est centre de symétrie pour

$\mathcal{C}_{m}.$

2) Montrer que l'on a :

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f_{m}(x)}{x}=1.$

Interprétation géométrique ?

3) a) Étudier

$f_{1}$ sur

$[0\;;\ \pi].$

Tracer la courbe représentative

$\Gamma_{0}$ de la restriction de

$f_{1}\text{ à }[-\pi\;;\ \pi].$

b) Soit

$\Gamma$ l'ensemble des points de

$\mathcal{C}_{1}$ qui satisfont à :

$(2k-11)\pi\leq x \leq(2k+1)\pi\;,\ k\in\; \mathbb{Z}.$

Montrer que

$\Gamma$ se déduit de

$\Gamma_{0}$ par une translation de vecteur

$2k\pi(\vec{i}+\vec{j}).$

c) En déduire le tracé de la courbe représentative de la restriction de

$f_{1}\text{ à }[-\pi\;;\ 3\pi].$

4) Étudier

$f_{-2}\text{ sur }[0\;;\ \pi].$

Tracer la courbe représentative de la restriction de

$f_{-2}\text{ à }[-\pi\;;\ 3\pi].$

Exercice 36

Soit la fonction

$f\ :\ x\mapsto x \sin x.$

1) Montrer que la droite

$y'y$ est un axe de symétrie pour la courbe représentative

$\mathcal{C}\text{ de }f.$

2) Déterminer la fonction dérivée

$f'.$

3) a) Tracer la courbe représentative de la fonction tan pour étudier graphiquement le signe de

$\tan x+x$ quand

$x$ varie de 0 à

$2\pi.$

b) En déduire le tableau de variation de

$f\text{ sur }[0\;;\ 2\pi].$

4) a) Tracer sur un autre graphique les droites d'équation

$y=x\text{ et }y=-x.$

b) Montrer que la courbe

$\mathcal{C}$ est tangente à chacune de ces deux droites.

Préciser les coordonnées des points de contact.

c) Tracer la courbe représentative

$\mathcal{C}_{1}$ de la restriction de

$f$ à l'intervalle

$]-2\pi\;;\ 2\pi].$

Construire les tangentes à

$\mathcal{C}_{1}$ aux points d'intersection avec l'axe

$x'x.$

Exercice 37

1) Soit la fonction

$g$ définie sur

$[0\;;\ \pi]$ par :

$g(x)=1-2 \cos x.$

Déterminer le signe de

$g\text{ sur }[0\;;\ \pi].$

2) Soit la fonction

$f$ définie par :

$\dfrac{1+\cos3x}{\cos^{3}x}$

a) Déterminer l'ensemble de définition

$\mathcal{D}_{f}.$

b) Montrer qu'on peut réduire l'étude de

$f\text{ à }\mathcal{D}_{f}\cap [0\;;\ \pi].$

c) Dresser le tableau de variation de

$f.$

d) Construire la courbe

$\mathcal{C}\text{ de }f$ après avoir précisé les points d'intersection avec l'axe

$(Ox).$

Exercice 38

Soit

$f$ définie par :

$f(x)=\sqrt{3} \sin x+ \cos x-1$

1) Montrer qu'il suffit

$f$ sur l'intervalle

$\mathcal{D}_{E}=[-\pi\;;\ \pi].$

2) Étudier le signe de

$g(x)=\sqrt{3} \cos x-\sin x\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$

3) Étudier les variations de

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$

4) Calculer

$f\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\;,\ f\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\;,\ f'\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\;,\ f'\left(\dfrac{5\pi}{6}\right).$

5) Déterminer les équations des tangentes à

$\mathcal{C}_{f}$ aux points

$A\left(-\dfrac{\pi}{6}\;,\ -1\right)\text{ et }B\left(-\dfrac{5\pi}{6}\;,\ -1\right).$

6) Étudier sur les points d'inflexion et la concavité de

$\mathcal{C}_{f}.$

7) Résoudre sur l'équation

$f(x)=0.$

Conclusion ?

8) Construire

$\mathcal{C}_{f}\text{ pour }x\in\;\mathcal{D}_{E}.$

Exercice 39

Partie A

1) Montrer que :

$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos h}{h}\;\dfrac{1}{\sin h}=\dfrac{1}{2}.$

2) En déduire que :

$\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{1+\sin x}{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\cos x}=\dfrac{1}{2}\text{( poser }h=x+\dfrac{\pi}{2}).$

Partie B

Soit

$f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{1+\sin x}{\cos x}.$

1) Montrer qu'il suffit d'étudier

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}=\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

2) Montrer que :

$\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{2}}f(x)=0$

3) Étudier les variations de

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$

4) Préciser la courbe de

$f$ au point

$A\left(-\dfrac{\pi}{2}\;,\ 0\right).$

(Pour cela, considérer sur

$\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ le prolongement

$g$ par continuité de

$f$ à droite en

$-\dfrac{\pi}{2}).$

5) Tracer la courbe de

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$

Compléter cette courbe sur

$\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{3\pi}{2}\right[$ puis sur

$\left]-\dfrac{3\pi}{2}\;;\ \dfrac{5\pi}{2}\right[$ en expliquant les opérations et les transformations utilisées.

Exercice 40

Soit

$f$ définie par :

$f(0)=1$ et

$\left\lbrace\begin{array}{llllll} f_{1}(x) &=& \dfrac{\tan x-1}{\sin x} & \text{ pour }\ x\in\;]-\pi\;;\ 0[\setminus\left\{-\dfrac{\pi}{2}\right\} &=& \mathcal{D}_{1}\\ \\ f_{2}(x) &=& \dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1-\cos x}{\sin x} & \text{ pour }\ x\in\;]0\;;\ \pi[\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\} &=& \mathcal{D}_{2} \end{array}\right.$

1) Préciser que

$-\pi\;,\ \pi\;,\ \dfrac{\pi}{2}\;,\ -\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}$ n'appartiennent pas au domaine de définition de la fonction

$f.$

$f$ est-elle continue en

$x_{0}=0$ ?

$f$ est-elle dérivable en

$x0=0$ ?

4) Étudier le signe de

$\sin x+\cos x\text{ sur }[-\pi\;;\ 0].$

5) Calculer la dérivée

$f'(x).$

6) Étudier le signe de

$f'(x).$

7) Déterminer les limites de

$f$ aux bornes de

$\mathcal{D}_{1}\text{ et }\mathcal{D}_{2}.$

8) Déterminer le tableau de variation de

$f.$

9) Calculer

$f\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\text{ et }f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right).$

Construire

$\mathcal{C}_{f}$

Exercice 41

Soit

$f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{\tan x+1}{\tan^{2}x-3}$

1) Déterminer le domaine de définition

$\mathcal{D}_{f}\text{ de }f.$

2) Montrer qu'il suffit d'étudier

$f$ sur

$\mathcal{D}_{E}=\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[\setminus\left\lbrace-\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right\rbrace$

3) Étudier le signe de

$u(x)=\tan^{2} x-3\text{ sur }\left]-\dfrac{\pi}{2}\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$

En déduire les limites suivantes :

$\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{3}^{-}}f(x)\;;\quad\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{3}^{+}}f(x)$

$\lim_{h\rightarrow \dfrac{\pi}{3}^{-}}f(x)\;;\quad\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{3}^{+}}f(x)$

4) Étudier les variations de

$f$ sur

$\mathcal{D}_{E}.$

5) Soit

$g$ définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{lllll} g(x) &=& f(x) & \text{pour} & x\in\;\mathcal{D}_{E}\\ \\ g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) &=& g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &=& 0 \end{array}\right.$

a) Étudier la dérivabilité de

$g$ à gauche en 2 (poser

$h=\dfrac{\pi}{2}-x).$

b) Étudier la dérivabilité de

$g$ à droite en

$-\dfrac{\pi}{2}$ (poser

$t=\dfrac{\pi}{2}+x).$

6) Construire la courbe représentative

$\mathcal{C}_{g}\text{ de }_{g}$ dans un repère orthonormé.

En déduire la courbe représentative

$\mathcal{C}_{f}\text{ de }f\text{ pour }x\in\;\mathcal{D}_{E}.$

Exercice 42

Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)=\dfrac{1}{2\sin^{4}x-\sin^{2}x}$

1) Déterminer le domaine de définition

$\mathcal{D}f\text{ de }f.$

2) Calculer

$f(\pi+x).$

Conclusion.

En déduire que le domaine d'étude de

$f$ se réduit à l'intervalle

$\mathcal{D}_{E}=\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\setminus\left\{\dfrac{\pi}{4}\right\}.$

3) Étudier le signe de

$4 \sin^{2}x-1\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

Calculer la dérivée

$f'(x)$ et étudier son signe sur

$\mathcal{D}_{E}.$

4) Étudier le signe de

$2 \sin^{4}x-\sin^{2}x\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

En déduire :

$\lim_{x\mapsto 0^{+}}f(x)\;;\quad \lim_{x\mapsto\dfrac{\pi}{4}^{-}}f(x)\text{ et }\lim_{x\mapsto\dfrac{\pi}{4}^{+}}f(x).$

5) Déterminer le tableau de variation de

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$

Construire

$\mathcal{C}_{f}\text{ pour }x\in\;\mathcal{D}_{E}.$

Compléter

$\mathcal{C}_{f}\text{ sur }\left[-\dfrac{\pi}{2}\;;\ 0\right[.$

Exercice 43

Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\sin^{2}x+\sin x\cos x}$

1) Déterminer le domaine de définition de

$f.$

2) Calculer

$f(\pi+x).$

Conclusion.

En déduire qu'il suffit d'étudier

$f$ sur

$\mathcal{D}_{E}\left]-\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{3\pi}{4}\right]\setminus\{0\}$

3) Calculer la dérivée

$f'(x)$ et étudier son signe sur

$\mathcal{D}_{E}.$

4) Calculer

$f\left(-\dfrac{\pi}{8}\right)-g\left(\dfrac{3\pi}{8}\right).$

5) Déterminer le tableau de variation de

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{f}.$

6) Construire la courbe représentative de

$f\text{ pour }x\in\;\mathcal{D}_{f}.$

Exercice 44

Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)\dfrac{\sin x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}$

1) Montrer que :

$\forall\;x\in\;\mathbb{R}\;,\ \sin x+\sqrt{3} \cos x=2 \cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right).$

En déduire le domaine de définition de

$f.$

2) Calculer

$f(\pi+x).$

Conclusion.

En déduire qu'il suffit d'étudier

$f$ sur l'intervalle

$\mathcal{D}_{E}=\left]-\dfrac{\pi}{3}\;;\ \dfrac{2\pi}{3}\right[.$

3) Calculer

$\lim_{h\rightarrow -\dfrac{\pi}{3}^{+}}f(x)\text{ et }\lim_{h\rightarrow\dfrac{2\pi}{3}^{-}}f(x).$

Interpréter géométriquement les résultats obtenus.

4) Étudier les variations de

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$

Montrer que :

$\forall\;x\in\;\mathcal{D}_{E}\;,\ \dfrac{\sqrt{3}\sin x-\cos x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}=\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right).$

6) Étudier sur

$\mathcal{D}_{E}$ les points d'inflexion et la concavité de

$\mathcal{C}_{f}.$

7) Construire

$\mathcal{C}_{f}\text{ pour }x\in\;\mathcal{D}_{E}$ et montrer que le point

$I\left(\dfrac{\pi}{6}\;,\ \dfrac{1}{4}\right)$ est un centre de symétrie.

8) Déterminer 2 nombres réels

$a\text{ et }b$ tels que pour tout

$x\in\;\mathcal{D}_{E}$ , on ait :

$f(x)=a\dfrac{\cos x-\sqrt{3}\sin x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}+b.$

9) En déduire l'aire du domaine plan limité par

$\mathcal{C}_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations

$x=\dfrac{\pi}{6}\text{ et }x=\dfrac{\pi}{2}.$

(on donne

$||\vec{i}=||\vec{j}||=2\;cm).$

Exercice 45

1) Soit

$g(x)=3 \cos^{2}x-1.$

Étudier les variations de

$g\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

En déduire que

$g$ s'annule en

$x_{0}\in\;\left]\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{3}\right[.$

En déduire enfin le signe de

$g(x)\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

2) Soit

$f(x)=3 \sin^{2}x \cos x.$

Démontrer qu'il suffit d'étudier

$f\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

3) Montrer que :

$\forall x\in\;\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\;,\ f'(x)=3 \sin x(3 \cos^{2}x-1).$

4) Déterminer la valeur de

$f(x_{0})\text{ avec }x_{0}$ définie déjà définie en 1).

5) Représenter graphiquement

$f\text{ sur }\left[0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right].$

Compléter

$\mathcal{C}_{f}\text{ sur }\left[-\pi\;;\ \pi\right]$ en expliquant les opérations et les transformations utilisées.

6) Déterminer une primitive de

$f\text{ sur }\mathbb{R}.$

En déduire l'aire du domaine plan limité par

$\mathcal{C}_{f}$ ,l'axe des abscisses et les droites d'équations

$x=0\text{ et }x=\pi.$

(on donne

$||\vec{i}||=||\vec{j}||=2\;cm).$

Exercice 46

1) Soit

$f(x)= \cos \pi x+2 \sin\dfrac{\pi}{2}x.$

Montrer qu'il suffit d'étudier

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}=[-1\;;\ 1].$

2) Déterminer le tableau de variation de

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}.$

3) Montrer que

$f$ s'annule en

$\alpha \in\; \left]-\dfrac{1}{4}\;;\ -\dfrac{1}{6}\right[.$

4) Construire

$\mathcal{C}_{f}\text{ sur }[[-1\;;\ 1].$

Compléter

$\mathcal{C}_{f}\text{ sur }[-1\;;\ 3].$

Exercice 47

1) Soit

$f(x)= \tan\left(\pi \sin\dfrac{\pi}{6}x\right).$

1) Déterminer le domaine de définition de

$f.$

2) Calculer

$f(x+12).$

Conclusion ?

Retrouver ce résultat par une autre méthode.

3) Montrer qu'il suffit d'étudier

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}=[0\;;\ 3]\setminus\{1\}.$

4) Étudier les variations de

$f\text{ sur }\mathcal{D}_{E}$ et représenter graphiquement

$f.$

5) Compléter la courbe de

$f\text{ sur }[-6\;;\ 6]$ en expliquant les opérations et les transformations utilisées.

Commentaires

Menad (non vérifié)

mer, 08/17/2022 - 00:06

Permalien

Merci beaucoup pour ce

Merci beaucoup pour ce travail très instructif. Félicitations à tous ceux qui ont contribué pour la rédaction de ces exercices que je trouve très utiles aux étudiants et aident à la fois: à développer leurs niveaux, à bien métriser toutes les astuces de solutions et à avoir une bonne note en examens. Bonne chance à tous le monde ;)

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Série d'exercices : Etudes de fonctions - Ts

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